Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE

Chapter 5
GENERAL VECTOR SPACE
5.1. REAL VECTOR SPACES
5.2. SUB SPACES
Definisi : VECTOR SPACE
• Jika V adalah ruang vektor dimana u,v,w merupakan objek
dalam V sebagai vektor, dan terdapat skalar k dan l, maka
perhatikan 10 aksioma berikut;
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
If u and v are objects in V, then u + v is in V.
u +v = v +u
u + (v + w) = (u + v) + w
There is an object 0 in V, called a zero vector for V, such that 0 + u = u
+ 0 = u for all u in V.
For each u in V, there is an object -u in V, called a negative of u, such
that u + (-u) = (-u) + u = 0.
If k is any scalar and u is any object in V, then ku is in V.
k (u + v) = ku + kv
(k + l) u = ku + lu
k (lu) = (kl) (u)
1u = u
Definisi : VECTOR SPACE
• Skalar k, l dapat berupa bilangan real atau bilangan
complex.
• Ruang vektor dengan skalar bilangan real : ruang vektor
real
• Ruang vektor dengan skalar bilangan kompleks : ruang
vektor kompleks.
• Setiap jenis objek bisa menjadi suatu vektor, namun ke-10
aksioma harus dipenuhi.
Real Vector Spaces
Real Vector Spaces
Example Vector Spaces of 2x2 Matrices
• The set V of all 2 2 matrices with real entries is a vector
space if vector addition is defined to be matrix addition and
vector scalar multiplication is defined to be matrix scalar
multiplication.
• Let u
u11
u12
u21 u22
and v
v11
v12
v21 v22
• If u and v is an object in V; then u + v is a 2 2 matrix in V.
Axiom 1
:
:
:
Axiom 10
Real Vector Spaces
Example Plane Through The Origin
Jika V merupakan sebarang bidang yang melalui titik asal dalam R3,
maka; Titik-titik dalam V membentuk suatu ruang vektor yang
memenuhi ke-10 aksioma ruang vektor untuk operasi penjumlahan dan
perkalian skalar vektor –vektor dalam R3.
Suatu vektor V yang melalui titik asal memiliki persamaan :
ax + by + cz = 0
Bukti :
Jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah titik-titik dalam V, maka:
au1 + bu2 + cu3 = 0
av1 + av2 + av3 = 0
+
a(u1+v1) + b(u2+v2) + c(u3+v3) = 0
Koordinat titik
u + v = (u1+v1, u2+v2, u3+v3)
Memenuhi aksioma (1), jadi u+ v terletak pada bidang V.
Real Vector Spaces
Example Polynomial Pn
P2 adalah himpunan semua polinomial berderajat 2 atau kurang dengan
koefisien bilangan real. Didefinisikan penjumlahan dan perkalian
skalar sebagai berikut:
p(x) = a0 + a1x + a2x2
dan
q(x) = b0 + b1x + b2x2
maka,
p(x) + q(x) = (a0+ b0) + (a1+ b1) x + (a2+ b2) x2
Dan bila c suatu skalar, maka:
cp(x) =c a0 + ca1x +ca2x2
P2 merupakan ruang vektor dan dapat diperluas untuk Pn dengan n ≠0
Real Vector Spaces ; Zero Vector Space
• Jika V terdiri dari suatu objek tunggal 0, maka :
0 + 0 = 0 dan k 0 = 0 untuk semua skalar k.
• Seluruh aksioma terpenuhi dan disebut zero vector space.
• Jika V adalah ruang vektor, u suatu vektor dalam V, and k
suatu skalar; maka:
o 0u=0
o k0=0
o (-1) u = -u
o Jika k u = 0 , maka k = 0 or u = 0.
5.2. SubSpaces
SubSpaces
Definisi:
Suatu himpunan bagian W dari suatu ruang vektor V disebut sub
ruang dari V jika W merupakan suatu ruang vektor yang
penjumlahan dan perkalian skalarnya didefinisikan pada V.
V adalah
ruang vektor
W adalah sub ruang
vektor jika 10
aksioma yang ada
dipenuhi oleh W
SubSpaces
Contoh 1. Titik-titik pada suatu bidang melalui titik asal R3
membentuk sub ruang R3.
• W merupakan bidang yang melalui
titik asal dan anggap u dan v
sebarang vektor dalam W.
o u + v pasti terletak dalam W
(diagonal jajaran genjang).
o ku pasti terletak di W
Vektor u +v dan ku
terletak pada bidang yang
sama dengan u dan v.
• W tertutup terhadap penjumlahan
dan perkalian skalar, sehingga W
merupakan sub ruang dari R3.
SubSpaces
Contoh 2:
Garis yang Melalui Titik Asal R3 merupakan sub ruang R3
• W garis yang melalui titik asal R3 dengan 2 vektor u dan v.
• Maka u+v dan ku  terletak pada garis tersebut di R3
• Jadi W tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar
• Terbukti bahwa W adalah sub ruang R3.
Subset of R2 That Is Not a Subspace
Contoh 3:
W bukan Ruang Vektor
• Jika W adalah himpunan
semua titik (x, y) dalam R2
dimana x 0 dan y 0 :
titik-titik dalam Q1.
• Himpunan W bukan Sub Ruang
R2 karena tidak tertutup
terhadap perkalian skalar.
• v = (1, 1) terletak pada W,
tetapi (-1)v = -v = (-1, -1)
tidak terletak pada W.
SubSpaces
PERHATIKAN !!
Setiap ruang vektor tak nol V setidaknya memiliki:
1. V sendiri sebagai suatu sub ruang dan;
2. Himpunan {0} yang terdiri dari vektor nol dalam V
dan disebut sub ruang nol.
Sub-ruang dari R2:
• {0}
• Garis-garis yang melalui titik asal
• R2
Sub-ruang dari R3:
• {0}
• Garis-garis yang melalui titik asal
• Bidang yang melalui titik asal
• R3
Subspaces of Mnn
Contoh 4:
Matriks Simetris n x n  sub Ruang dari ruang vektor Mnn
• Jumlah dua matriks simetris adalah simetris.
• Perkalian skalar matriks simetris adalah simetris
• Himpunan matriks simetris n x n merupakan sub ruang
dari ruang vektor Mnn dari semua matriks-matriks nxn.
• Setiap himpunan matriks (matriks segitiga atas,
matriks segitiga bawah dan matriks diagonal) nxn
tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar.
A Subspace of Polynomials
Contoh 5:
Polinom real berderajat n
Anggap n adalah suatu bilangan bulat positif dan anggap W
terdiri dari semua fungsi yang dinyatakan dalam bentuk :
p(x) = a0 + a1x + … + anxn
dimana : a0,…, an adalah bilangan-bilangan real ;
n bilangan bulat positif
Jika p dan q terletak pada W, maka:
p(x) = a0 + a1x + … + anxn
q(x) = b0 + b1x + … + bnxn
(p+q)(x) = p(x) + q(x)
(p+q)(x) = (a0+ b0) + (a1+ b1)x + … + (an+bn)xn
dan
(kp)(x) = kp (x)= (ka0) + (ka1)x + … + (kan)xn
Ruang Penyelesaian untuk Sistem Homogen
o Jika Ax = b adalah suatu sistem persamaan linear, maka setiap
vektor x yang memenuhi persamaan ini disebut vektor penyelesaian
dari sistem tersebut.
o Vektor penyelesaian dari suatu sistem linear homogen Ax = 0
membentuk suatu ruang vektor atau ruang penyelesaian dari sistem
homogen tersebut.
[A]
[x]
=
vektor penyelesaian
[0]
Ruang vektor/
ruang penyelesaian
• Theorema
Jika Ax = 0 adalah suatu sistem linear homogen dari m
persamaan dalam n peubah, maka himpunan vektor
penyelesaiannya adalah subruang dari Rn.
SubSpaces
Example 1.
• Find the solution spaces of the linear systems.
mempunyai tiga peubah, sehingga
penyelesaiannya membentuk subruang dari R3.
Mis al y = s, z = t, maka x = 2s - 3t,
x = 2y - 3z or x – 2y + 3z = 0
This is the equation of the plane through the origin with
n = (1, -2, 3) as a normal vector.
SubSpaces
Example 2.
• Find the solution spaces of the linear systems.
mempunyai tiga peubah, sehingga
penyelesaiannya membentuk subruang dari R3.
SubSpaces
Example 3.
• Find the solution spaces of the linear systems.
mempunyai tiga peubah, sehingga
penyelesaiannya membentuk subruang dari R3.
Solution
Kombinasi Linear
 Definisi
o Suatu vektor w adalah Kombinasi Linear dari vektor v1,
v2,…, vr jika vektor w tersebut bisa dinyatakan dalam
bentuk
w = k1v1 + k2v2 + · · · + kr vr
dimana k1, k2, …, kr adalah skalar.
Vektor in R3 are Linear Combination of i, j, and k
Setiap vektor v = (a, b, c) dalam R3 bisa dinyatakan sebagai
suatu Kombinasi Linear dari vektor – vektor basis standar
i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)
karena
v = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = a i + b j + c k
Example : Checking a Linier Combination
Diketahui vektor u = (1, 2, -1) dan v = (6, 4, 2) in R3. Tunjukkan
bahwa w = (9, 2, 7) adalah sebuah Kombinasi Linear dari u dan v
Syarat w merupakan Kombinasi Linear dari u dan v, hrs terdpt skalar k1 dan
k2 sedemikian hingga w = k1u + k2v;
(9, 2, 7) = k1 (1,2,-1) +k2 (6,4,2)
(9, 2, 7) = (k1 + 6k2, 2k1 + 4k2, -k1 + 2k2)
Atau :
k1 + 6k2 = 9
2k1+ 4k2 = 2
-k1 + 2k2 = 7
Didapat k1 = -3, k2 = 2, sehingga
w = -3u + 2v
Kombinasi Linear
Diketahui vektor u = (1, 2, -1) dan v = (6, 4, 2) in R3. Tunjukkan
bahwa w = (4, -1, 8) bukan suatu Kombinasi Linear dari u dan v.
Agar w‘ merupakan Kombinasi Linear of u dan v, harus ada k1 dan k2 sehingga
w'= k1u + k2v;
(4, -1, 8) = k1(1, 2, -1) + k2(6, 4, 2)
(4, -1, 8) = (k1 + 6k2, 2k1 + 4k2, -k1 + 2k2)
Atau
k1 + 6k2 = 4
2 k1+ 4k2 = -1
- k1 + 2k2 = 8
Sistem persamaan ini tidak konsisten sehingga tidak ada k1 dan k2.
Maka w' bukan Kombinasi Linear u dan v.
Kombinasi Linear
 Theorema
Jika v1, v2, …, vr adalah vektor-vektor dalam ruang vektor V,
maka:
o Himpunan W
sebagai kombinasi linier v1, v2, …, vr
merupakan sub-ruang dari V.
o W adalah sub ruang terkecil dari V berisi v1, v2, …, vr dalam
arti bahwa setiap sub ruang lain dari V yang v1, v2, …, vr
pasti mengandung W.
Kombinasi Linear dan Rentang
 Definition
o Jika S = {v1, v2, …, vr} adalah suatu himpunan vektor dalam suatu
ruang vektor V, maka sub ruang W dari V yang mengandung
semua kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S disebut
ruang terentang oleh v1, v2, …, vr, dan disebut vektor-vektor v1,
v2, …, vr adalah terentang W.
o W ruang terentang oleh vektor-vektor dalam himpunan
S = {v1, v2, …, vr}, ditulis;
W = rent(S) or W = span{v1, v2, …, vr}.
Kombinasi Linear dan Rentang
• Jika v1 and v2 adalah vektor-vektor tak kolinear dalam R3 dengan
titik pangkal di titik asal, maka span{v1, v2} berisi semua kombinasi
linear k1v1 + k2v2 adalah bidang yang ditentukan oleh v1 and v2 (a).
• Jika v vektor tidak nol dalam R2 atau R3, maka span{v} merupakan
himpunan perkalian skalar kv, adalah garis yang dibentuk oleh v (b).
Rent (v1, v2) adalah bidang yang melalui
titik asal yang dibentuk oleh v1 dan v2
Rent (v) adalah garis yang melalui titik asal
yang dibentuk oleh v
Kombinasi Linear dan Rentang
Theorema
• J ika S = {v1, v2, …, vr} dan S = {w1, w2, …, wr} adalah dua
himpunan vektor dalam suatu ruang vektor V, maka
span{v1, v2, …, vr} = span{w1, w2, …, wr}
jika dan hanya jika setiap vektor dalam S adalah Kombinasi
Linear dari S dan tiap vector dalam S adalah sebuah
Kombinasi Linear dari vektor-vektor dalam S.
Three Vectors that Do Not Span R3
Tentukan apakah v1 = (1, 1, 2), v2 = (1, 0, 1), and v3 = (2, 1, 3)
merentang dalam ruang vektor R3.
• Misal kan vektor b = (b1, b2, b3) in R3 diekspresikan sebagai
Kombinasi Linear
b = k1v1 + k2v2 + k3v3
b = (b1, b2, b3) = k1(1, 1, 2) + k2(1, 0, 1) + k3(2, 1, 3)
= (k1+k2+2k3, k1+k3, 2k1+k2+3k3)
k1 + k2 + 2k3 = b1
k1
+ k3 = b2
2k1 + k2 + 3 k3 = b3
• Sistem ini konsisten untuk semua b1, b2, b3 jika dan hanya jika
matriks koefisien memiliki invers atau determinan matriks
koefisien ≠ 0.
• Buktikan bahwa det (A) = 0, sehingga v1, v2, and v3, tidak
terentang pada R3.