4. VEKTOR-VEKTOR DI RUANG-2 DAN RUANG-3

Diktat Aljabar Linear
Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3
4. VEKTOR-VEKTOR DI RUANG-2 DAN RUANG-3
4.1. PENGANTAR
DEFINISI 4.1: VEKTOR
Vektor adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah. Vektor yang memiliki
panjang dan arah yang sama dikatakan ekivalen. Dua vektor v,w ekivalen, dapat
dituliskan sebagai v = w
B titik terminal
V
W
Z
→
V = AB
V=W=Z ketiganya ekivalen
(b) Vektor Ekivalen
A titik awal
Gb.4.1 (a) Vektor
DEFINISI 4.2:
1. Penjumlahan Vektor
W
V
V+W
V
2. Vektor Negatif
Besar V= Besar(-V)
Namun arahnya
Berlawanan.
Gb.4.2 (a) Penambahan Vektor
-V
(b) Vektor negatif
3. Pengurangan Vektor
V-W
V
V
W
-W
(c) Pengurangan Vektor
V-W
W
DEFINISI 4.3:
Jika v adalah vektor tak nol, k-skalar, k ∈ℜ, k ≠ 0, maka k v didefinisikan sebagai vektor
yang panjangnya |k| kali panjang v , jika
k > 0 , arah k v searah dengan arah v
k < 0 , arah k v berlawanan dengan arah v
k v = 0, jika k = 0 atau v = 0
v
-v
2v
½v
Gb. 4.2 Perkalian Vektor dengan skalar
Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra 15
Diktat Aljabar Linear
Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3
4.1.1 VEKTOR DI RUANG-2
Jika V – Vektor pada bidang
Titik awal adalah titik asal koordinat
V = (v1,v2) , W = (w1,w2)
v1,v2 – Komponen-komponen dari V
Sifat-sifat yang berlaku pada pada vektor di Ruang-2 adalah
Ekivalen bila v1=w1 dan v2=w2
Penjumlahan : V + W = (v1+w1, v2+ w2)
Perkalian scalar: kV =(kv1,kv2)
Pengurangan : V-W = (v1 - w1, v2 - w2)
(v1+w1,v2+w2)
Y
W
V+W
(v1,v2)
V
X
X
Gb.4.3 Vektor-vektor di ruang-2
4.1.2 VEKTOR DI RUANG-3
Jika V – Vektor di ruang berdimensi 3
V = (v1,v2,v3)
W =(w1,w2,w3)
Sifat-sifat yang berlaku pada pada vektor di Ruang-3adalah
Ekivalen bila v1=w1 ; v2 =w2 dan v3=w3
Penjumlahan : V + W = (v1+w1, v2+ w2,v3+w3)
Perkalian scalar:
kV =(kv1,kv2, kv3)
Pengurangan : V-W = (v1 - w1, v2 - w2, v3-w3)
4.2. NORM VEKTOR
DEFINISI 4.4 : NORM VEKTOR
n
+
n
• : ℜ →ℜ 0 adalah norm vektor jika ∀x,y ∈ℜ , α ∈ ℜ
(a) x ≥ 0 dan x = 0 ⇔ x=0
(b) αxx = α x
(c) x + y ≤ x + y
(Pertidaksamaan segitiga)
Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra 16
Diktat Aljabar Linear
Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3
CONTOH 4.5
• Euclidean Norm in ℜ2
V = (v1,v2) V 2 = v12 + v 22
•
Jika P1 (x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) adalah 2 titik di ruang-3, maka jarak d diantara
kedua titik tersebut adalah norm vector P1P2
→
P1 P2
= (x2-x1, y2-y1,z2-z1)
d = (x 2 − x1 )2 + (y 2 − y1 )2 + (z 2 − z1 )2
z
P2
P1
y
x
Gb. 4.3 Jarak antara dua vektor
4.3. HASIL KALI TITIK DAN PROYEKSI
4.3.1 HASIL KALI TITIK
DEFINISI 4.6: HASIL KALI TITIK
Jika u dan v adalah vector- vektor di ℜ2 atau ℜ3 dan θ adalah sudut antara u dan v, maka
hasil kali titik (dot product) atau Euclidean Inner Product u.v didefinisiakan oleh
 u v cos θ
u.v = 
0
jika u ≠ 0 dan v ≠ 0
Jika u = 0 atau v = 0
(4.1)
TEOREMA 4.7:
Misalkan u dan v adalah vektor di ruang-2 atau di ruang-3
(a) v.v = v 2, i.e., v = (v.v)1/2
(b) Jika u ≠ 0 dan v ≠ 0, θ sudut antara kedua vektor tersebut, maka
θ lancip jika dan hanya jika u.v > 0
θ tumpul jika dan hanya jika u.v < 0
θ = π/2 jika dan hanya jika u.v = 0
Bukti :
(a) karena sudut θ diantara v dan v adalah 0, maka dapat diperoleh :
v.v = v v cos θ = v 2 cos 0 = v 2
(b) karena u > 0 , v > 0 dan u.v = u v cos θ
u.v < 0 ⇔ cos θ < 0 ⇒ θ tumpul
berarti
u.v > 0 ⇔ cos θ > 0 ⇒ θ lancip
u.v = 0 ⇔ cos θ = 0 ⇒ θ = π/2
Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra 17
Diktat Aljabar Linear
Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3
CATATAN 4.8
Jika u ⊥ v maka u dan v dikatakan orthogonal
TEOREMA 4.9:
Jika u,v dan w adalah vektor-vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan k adalah skalar, maka
(a) u.v = v.u
(b) u.(v+w) = u.v + u.w
(c) k (u.v) = (ku).v = u.(kv)
(d) v.v > 0 jika v ≠ 0 dan
v.v = 0 jika v = 0
4.3.2 PROYEKSI
u
w2
w2
w1
a
u
a
u
w1
w2
w1
a
w1
Gb.4.4 proyeksi vektor u
w1 // a
w2 ⊥ a
w1 + w2 = u
w2 = u – w1
w2
u
w1 dinamakan proyeksi orthogonal u pada a (komponen vektor u sepanjang a)
Proya u
w2 dinamakan komponen vektor u yang ortogonal terhadap a
w2 = u – w1 = u - Proya u
TEOREMA 4.10
Jika u dan a adalah vektor-vektor di ruang-2 atau di ruang-3, dan jika a≠ 0, maka
(w1 = ) Proya u =
u.a
a
2
a
(w2 = ) u- Proya u = u -
u.a
a
2
a
Bukti
Diketahui jika w1 // a maka w1 = k a, k – skalar
u = w1 + w2 = k a + w2
⇒ u . a = (k a + w2) . a = k a 2 + w2 . a (w2 . a = 0, karena w2 ⊥ a )
⇒ k=
u.a
a
2
⇒ w1 =
u.a
a
2
a
Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra 18
Diktat Aljabar Linear
Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3
Panjang komponen vector u sepangan vektor a dapat diperoleh dengan menarik norm
sebagai berikut :
Pr oy a u =
u.a
a
=
a =
2
a
u.a
a
u.a
2
a
( a 2 > 0}
a
2
Pr oy a u =
u.a
(4.2)
a
Jika θ menyatakan sudut antara u dan a, maka
u.a = u a cos θ
maka persamaan (4.2) dapat dituliskan menjadi :
Pr oy a u = u
cos θ
(4.3)
4.4. HASIL KALI SILANG (CROSS PRODUCT)
DEFINISI 4.11
Jika U = (u1,u2,u3) dan V = (v1,v2,v3) adalah vektor di ruang-3, maka hasil kali silang
U x V adalah vektor yang didefinisikan oleh :
u
u
u u
u u 
U x V =  2 3 , − 1 3 , 1 2 
 v2
v3
v1
v3
v1
(4.4)
v3 
TEOREMA 4.12
Jika u dan v adalah vektor di ruang-3 maka
(a) u.(u x v) = 0
(u x v ortogonal ke u)
(b) v.(u x v) = 0
(u x v ortogonal ke v)
2
2
2
2
(Identitas Lagrange)
(c) u x v = u v − (u.v)
TEOREMA 4.13
Jika u, v dan w adalah sebarang vektor di ruang-3, dan k adalah sebarang skalar, maka :
(a) u x v = - (v x u)
(b) u x (v+w) = (u x v) + (u x w)
(c) (u + v) x w = (u x w) + (v x w)
(d) k (u x v) = (k u) x v = u x (kv)
(e) u x 0 = 0 x u = 0
(f) u x u = 0
Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra 19
Diktat Aljabar Linear
Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3
4.4.1 UNIT VEKTOR
i = (1, 0, 0)
j = (0,1,0)
k = (0,0,1)
ixi=jxj=kxk =0
i x j = k, j x k = i , k x i = j
j x i = -k, k x j = -i, i x k = -j
z
i
j
k
⇒ u x v = u1 u 2 u 3
k = (0,0,1)
v1
j = (0,1,0)
v2
v3
y
i = (1,0,0)
x
Gb.4.5 Unit Vektor
Makna dari cross product
uxv
Jika θ menyatakan sudut antara u dan v, maka
u.v = u v cos θ
u xv
2
= u
=u
2
v
2
2
v
− (u.v) 2
2
v cos θ)
2
–( u
= u 2 v 2 (1 – cos 2 θ)
= u 2 v 2 sin2 θ
u
θ
⇒ uxv = u
v sin θ
v
Gb. 4.6 Ilustrasi Cross Product
v
Luas = Alas Tinggi
= u v sin θ
v sin θ
v
= uxv
θ
u
Gb. 4.7 Jajaran Genjang (Paralel Epipedum )
Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra 20
Diktat Aljabar Linear
Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3
4.5. RUANG VEKTOR UMUM
DEFINISI 4.14 : RUANG VEKTOR UMUM
Jika V adalah sebuah ruang vektor
(a) Jika u,v ∈ V, maka u + v ∈ V
(b) u+v = v+u
(c) u+(v+w) = (u+v)+w
(d) Jika 0 ∈ V sehingga 0 + u = u+ 0, ∀ u ∈ V
(e) ∀ u ∈ V , ∃ - u ∈ V (negatif u). sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0
(f) Jika k,l ∈ ℜ, u ∈ V, maka k u ∈V
(g) k (u + v) , k u + k v
(h) (k+l) u = k u + l u
(i) k(l u) =(kl) u
(j) 1 u = u
CONTOH 4.15
1. Himpunan semua tripel bilangan riil (x,y,z) dengan operasi –operasi (x,y,z) +
(x’,y’,z’) = (x+x’, y+ y’, z + z’) dan k (x,y,z) = (kx, y,z) BUKAN merupakan ruang
vector, karena (f) TIDAK terpenuhi.
2. Himpunan semua pasangan bilangan riil (x,y ) , x ≥ 0 dengan operasi-operasi baku
pada ℜ2 BUKAN merupakan ruang vector karena (e) dan (f) TIDAK terpenuhi.
Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra 21