File

Vektor pada bidang datar
1. Pengertian vektor dan penulisan

Adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Suatu vektor digambarkan
dengan garis berarah. Panjang garis yang diukur menggunakan penggaris
menunjukan panjang vektor tersebut karena titik pangkal P dan titik ujung Q, maka
vektor disebut sebagai vektor ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄 . Panjang vektor ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄 ini dilambangkan dengan
⃗⃗⃗⃗⃗ |.
|𝑃𝑄
Selain cara diatas, sebuah vektor dapat pula ditulis menggunakan :
 Huruf kecil yang dicetak tebal.
Seperti a, b, c, dan sebagainya. Misalnya, vektor ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄 P
Di samping ditulis sebagai vektor a
 Huruf kecil yang di atas huruf itu dibubuhi tanda panah.
Seperti 𝑎 , 𝑏⃗, 𝑐 dan sebagainya. Misalnya vektor ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄
P
Dapat ditulis sebagai vektor 𝑎 .
a
Q
→
𝒂
Q
Di dalam bidang datar (𝑅 2 ), suatu vektor yang titik pangkalnya 𝑝(𝑥1 , 𝑦1 ) dan
titik ujungnya 𝑄(𝑥2 , 𝑦2 ) dapat dituliskan dalam bentuk komponen sebagai
berikut:
𝑥2 − 𝑥1
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄 = 𝑝 = (𝑦 − 𝑦 )
2
1
Perhatikan gambar di samping!
𝑦
𝑦2 −
𝑄
→
𝑝
𝑦1 −
𝑃
𝑥1
𝑥2
𝑥
Contoh : gambarkan vektor dengan titik pangkal 𝐴(0,1) dan titik ujung 𝐵(3,5).
Tuliskan dalam bentuk komponen vektor!
y
5
1 A
0
Penyelesaian :
3 −
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = 𝑎
⃗⃗⃗ = (
5 −
3
x
0
3
)=( )
1
4
2. Lingkup Vektor
a. Modulus vektor
Modulus vektor adalah besar atau nilai vektor. Jika 𝑎
(𝑦𝑥 ), besar vektor 𝑎 :
|𝑎| = √𝑥 2 + 𝑦 2
Contoh : Diketahui vektor 𝑎
Jawab : |𝑎|
√𝑥 2 + 𝑦 2
3
( ). Teuntukan besar vektor 𝑎!
4
√32 + 42 = 5
b. Vektor posisi
Vektor posisi adalah suatu vektor yang titik pangkalnya O (0,0). Jika titik A (x,y),
𝑥
𝑥
0
vektor posisi A adalah ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 = 𝑎 = 𝐴 − 𝑂 = (𝑦) − ( ) = (𝑦)
0
Contoh : Tentukan vektor posisi dari titik B(-3,4)!
0
−3
−3
Jawab : Vektor posisi dari titik B adalah 𝑏⃗ = ( ) − ( ) = ( )
4
0
4
c. Kesamaan dua vektor
Dua buah vektor dikatakan sama jika kedua vektor tersebut mempunyai arah
dan besar yang sama. (𝑥1 , 𝑥2 ) = (𝑦1 , 𝑦2. )
Contoh : Diketahui titik-titik 𝐴(2,3), 𝐵 (6,6), 𝐶 (1,2)𝐷(5,5). Tentukan ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
dan ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷 ! Apakah ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷 ?
Jawab :
6− 2
4
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = (
) = ( ), besar vektor ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 adalah |𝑎| =
3
6− 3
√42 + 32 = 5
4
5− 1
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷 = 𝐷 − 𝐶 = (
) = ( ), besar vektor ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷 adalah |𝑐 | =
3
5− 2
√42 + 32 = 5
⃗⃗⃗⃗⃗ dan CD
⃗⃗⃗⃗⃗ mempunyai besar dan arah yang sama, AB
⃗⃗⃗⃗⃗ = CD
⃗⃗⃗⃗⃗
Karena AB
d. Vektor Negatif
Vektor negatif adalah invers (kebalikan) dari suatu vektor positif. Invers
⃗⃗⃗⃗⃗ atau ⃗⃗⃗⃗⃗
dari 𝑎 adalah -𝑎 . Invers dari ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 adalah -𝐴𝐵
𝐵𝐴.
−3
Contoh : Tentukan invers dari vektor 𝑏⃗ = ( ) !
4
−3
−3
3
Jawab : Invers dari vektor 𝑏⃗ = ( ) adalah -𝑏⃗ = − ( ) = ( )
4
4
−4
e. Vektor Nol
Vektor nol adalah jumlah dan inversnya. Misalnya, diberikan vektor 𝑎.
⃗⃗⃗ Vektor nol
diperoleh dengan menjumlahkan vektor 𝑎 dengan inversnya, yaitu 𝑎 + (−𝑎) = 0
4
Contoh : Jika 𝑎 = ( ), tentukan vektor 𝑎 + (−𝑎)!
3
4
−4
0
Jawab : 𝑎 + (−𝑎) = ( ) + ( ) = ( ) = 0
3
−3
0
f. Vektor Satuan
Vektor satuan adalah suatu vektor yang dibagi dengan besar vektor tersebut. Vektor
𝑎⃗
satuan dinyatakan dengan 𝑒 = |𝑎⃗|.
−3
Contoh : Tentukan vektor satuan dari vektor 𝑎 = ( )!
4
Jawab :
|𝑎| = √(3)2 + 42 = 5
−3
−3
)
𝑎
𝑒=
= 4 =( 5 )
4
|𝑎|
5
5
(
3. Operasi pada Vektor
a. Perkalian Vektor dengan Skalar
Mengalikan vektor a⃗ dengan bilangan skalar k adalah menjumlahkan k buah vektor a⃗ yang
segaris.
Contoh : Diketahui a⃗ = (−3
). Tentukan 3a⃗!
4
Jawab :
−9
3a⃗ = 3(−3
) = (−12
)
4
b. Penjumlahan Vektor
Jika vektor diberikan dalam bentuk gambar, penjumalah dua vektor dapat dilakukan
dengan cara sebagai berikut :
1). Cara Segitiga
Untuk mengetahui penjumalahan dua vektor dengan cara segitiga, perhatikan contoh
berikut ini!
Contoh :
Jika a⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
AB dan ⃗b = ⃗⃗⃗⃗⃗
BC , maka a⃗ + ⃗b = ⃗⃗⃗⃗⃗
AB + ⃗⃗⃗⃗⃗
BC = ⃗⃗⃗⃗⃗
AC
A
a⃗
B
A
B
a⃗
⃗b
B
⃗b
c = a⃗ + ⃗b
C
C
2). Cara jajargenjang
Untuk mengetahui penjumlahan dua vektor dengan cara jajargenjang, perhatikan contoh
berikut ini!
Contoh :
Jika
a⃗
⃗b
maka
a⃗
𝑏⃗
a⃗ + ⃗b ⃗b
𝑎
Jika vektor diberikan
dalam bentuk komponen, penjumlahannya dapat dilakukan dengan menjumlahkan setiap
komponennya.
𝑥1
Misalnya, vektor 𝑝 = (𝑦 ) dan vektor 𝑞 sebagai berikut:
1
𝑥 +𝑥
𝑟 = 𝑝 + 𝑞 = (𝑦1 + 𝑦2 )
1
2
Contoh : Diketahui 𝑎 = (
−2
5
) dan 𝑏⃗= ( ). Tentukan𝑎 + 𝑏⃗!
1
−4
3
−2
5
Jawab : 𝑎 + 𝑏⃗ = ( ) + ( ) = ( )
1
−3
−4
c. Selisih Dua Vektor
Pengurangan vektor 𝑎 dengan vektor 𝑏⃗ dilakukan dengan cara melakukan penjumlahan
vektor 𝑎 dengan invers dari vektor 𝑏⃗, ditulis sebagai berikut :
𝑎 + 𝑏⃗ = 𝑎 + (𝑏⃗)
A
Jika 𝑎 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 dan 𝑏⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐵,
𝑎
B
𝑎 − 𝑏⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 − ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐶 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶
Contoh : Diketahui 𝑎 = (
−2
5
) dan 𝑏⃗ = ( ). Tentukan 𝑎 − 𝑏⃗ dan 𝑏⃗ − 𝑎!
1
−4
Jawab :
−7
−2
−5
𝑎 − 𝑏⃗ = 𝑎 + (𝑏⃗) = ( ) + ( ) = ( )
5
1
4
7
2
5
𝑏⃗ − 𝑎 = 𝑏⃗ + (−𝑎) = ( ) + ( ) = ( )
−5
−1
−4
−𝑏⃗
Vektor pada bangun ruang
1) Lingkup Vektor
a. Modulus vektor
𝑥
Adalah besar atau nilai suatu vektor. Jika ⃗⃗⃗
𝑎 = (𝑦), besar vektor 𝑎
𝑧
adalah |𝑎| = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2
2
- Contoh : jika 𝑎 = (3), tentukan besar vektor 𝑎 !
4
Jawab : |𝑎| = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = √22 + 32 + 42 =
√4 + 9 + 16 = √29
b. Vektor posisi
Vektor posisi pada bangun ruang adalah suatu vektor yang titik pangkalnya
𝑂(0, 0, 0). Jika titik 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧), vektor posisi 𝐴 adalah ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 = 𝐴 −
𝑥
𝑂 = 𝑎 = (𝑦 )
𝑧
- Contoh : tentukan vektor posisi dari titik 𝐴(1, 2, 3)!
1
0
Jawab : 𝐴(1, 2, 3) adalah ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 = 𝐴 − 𝑂 = (2) − (0) =
3
0
1
(2 )
3
c. Kesamaan dua vektor
Dua buah vektor dikatakan sama jika dua vektor tersebut mempunyai arah
dan besar yang sama.
(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) = (𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 ) jika dan hanya jika 𝑥1 = 𝑦1 , 𝑥2 =
𝑦2 , 𝑥3 = 𝑦3 .
- Contoh : diketahui titik-titik 𝐴(2, 3, 4), 𝐵(6, 6, 5), dan 𝐷 (5, 5,4).
Tentukan ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 dan ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷 ! Apakah ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷 ?
Jawab :
6−2
4
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = (6 − 3) = (3), besar vektor ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 adalah
5−4
1
|𝑎| = √42 + 32 + 12 = √26
4
5−1
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷 = 𝐶 − 𝐷 = (5 − 2) = (3), besar vektor ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷 adalah
1
4−3
|𝑐 | = √42 + 32 + 12 = √26
∴ Karena ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 dan ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷 mempunyai besar dan arah yang sama, ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 =
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷
d. Vektor negatif
Adalah invers (kebalikan) dari suatu vektor positif. Invers dari 𝑎
⃗⃗⃗ adalah
−𝑎. Invers dari ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 adalah ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
−𝐴𝐵 atau ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐴.
−2
⃗
- Contoh : tentukan invers dari vektor 𝑏 = ( 3 ) !
−4
−2
−2
Jawab : invers dari vektor 𝑏⃗ = ( 3 ) adalah −𝑏⃗ = − ( 3 ) =
−4
−4
2
(−3)
4
e. Vektor nol
Adalah jumlah bektor dan inversnya. Misalnya, diberikan vektor 𝑎. Vektor
nol diperoleh dengan mengalikan vektor 𝑎 dengan inversnya, yaitu 𝑎 +
(−𝑎) = 0.