sudut antara dua vektor

PERTEMUAN X
PERKALIAN
JARAK
DUA VEKTOR
SUDUT ANTARA DUA
VEKTOR
PROJEKSI & KOMPONEN
DUA VEKTOR
PERKALIAN DUA VEKTOR
2 jenis perkalian dua vektor :
a.
Dot Product
b.
Cross Product
DOT PRODUCT
Lambang : u . v
 Hasil : skalar
 Definisi 1 (jika diketahui sudut
antara 2 vektor ):

Jika u dan v adalah vektor di ruang 2 atau
ruang 3, dan  adalah sudut di antara u
dan v, maka hasil kali titik (dot product)
atau hasil kali dalam Euclidis ( Euclidean
inner product ) u.v didefinisikan oleh :
u.v  u v cos θ, jika u, v  0
u.v  0, jika u, v  0

Definisi 2 (Jika tidak diketahui sudut
diantaranya ):
Untuk u=(u1,u2) dan v=(v1,v2) maka :
u.v = u1 v1 + u2 v2
Untuk u=(u1,u2,u3) dan v=(v1,v2,v3) maka :
u.v = u1 v1 + u2 v2+ u3.v3
TEOREMA
Jika v adalah vektor di R2 atau R3, maka :
v.v  v atau v  v.v
2
TEOREMA

Jika u,v dan w adalah vektor di R2
atau R3 dan k adalah skalar, maka :
a. u . v = v. u
b. u. (v
(v + w ) = u.v + u.w
c. k (u.v
(u.v)) = (k u) .v
.v = u . (kv
(kv)
d. v .v > 0 jika v  0 dan v.v = 0 jika
v=0
CROSS PRODUCT




Digunakan khusus untuk vektor di R3
Lambang : u x v
Hasil : vektor
Definisi :
u
u x v  
v
2
2
u u
,
v v
3
1
3
1
u u
,
v v
3
1
3
1
u
v
2
2



TEOREMA

a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
Jika u dan v adalah vektor di R3 maka :
u . (u
(u x v) = 0
v. (u x v) = 0
u x v = - (v x u )
u x (v
(v + w) = (u
(u x v) + ( u x w)
(u+v) x w=(
=(u
u x w) + ( v x w)
k (u
(u x v)=(k u) x v=u x kv
kv
u x 0 =0 x u = 0
u x u =0
u . (v x w) = w. (u x v ) = v. (w x u)
SUDUT ANTARA 2 VEKTOR
Jika u dan v adalah vektor tak nol,
dan  adalah sudut antara vektor u
dan v, maka :
u.v
cos θ 
u v
TEOREMA
Jika u dan v adalah vektor vektor tak
nol dan  adalah sudut di antara
kedua vektor tersebut, maka :
 lancip, jika dan hanya jika u.v  0
 tumpul, jika dan hanya jika u.v  0
 = /2 , jika dan hanya jika u.v = 0
PROJ (U,V) & KOMP (U,V)


Dot product, berguna bila diinginkan
untuk menguraikan vektor ke dalam
penjumlahan dua vektor yang saling
tegak lurus.
Perhatikan gambar di bawah ini :
w2
u
w1
v
Jika u dan v adalah vektor vektor tak
nol dalam R2 atau R3, maka u dapat
dituliskan : u = w1 + w2
di mana w1 adalah kelipatan skalar
dari v, dan w2 tegak lurus kepada v.
Dikatakan :
w1 adalah projeksi ortogonal dari u
pada v
w2 adalah komponen dari u yang
ortogonal kepada v
Menentukan vektor w1 dan w2 :
Karena w1 adalah kelipatan skalar
dari v, maka dapat ditulis dalam
bentuk w1 = kv
kv . Jadi :
u = w1 + w2 = kv + w2
Dengan definisi dari dot product
maka didapatkan :
u.v = (kv + w2).v = k v + w2.v
Karena w2 tegak lurus kepada v,
maka diperoleh w2.v = 0 sehingga
pers menjadi :
2

k
u.v
v
2
dan karena w1 = kv, maka didapat :
w
1
proj
u.v

v
2
v
u.v
(u, v) 
v
2
v
yaitu projeksi ortogonal u pada v
Dengan substitusi u = w1 + w2 untuk
mendapatkan w2 maka didapat
rumus berikut :
u.v
w u v
v
2
2
yaitu komponen dari u yang tegak
lurus pada v

Jadi :
u.v
Proj(u, v) 
v
v
2
u.v
Komp (u, v)  u v
v
2