1. Perkalian Skalar , Sudut Antara Dua Vektor dan Titik Kolinier a

 1. Perkalian Skalar , Sudut Antara Dua Vektor dan Titik Kolinier a. Perkalian Vektor Dengan Bilangan Real 𝑥
Jika 𝑘 adalah bilangan real dikalikan dengan vektor 𝑎 = 𝑦 = 𝑥ı + 𝑦ȷ hasilnya adalah 𝑘𝑥
𝑘𝑎 =
= 𝑘𝑥ı + 𝑘𝑦ȷ 𝑘𝑦
b. Vektor Satuan Berdasarkan defenisi panjang vektor dan panjang vektor satuan maka !
! !
!
𝑎 = 𝑥ı + 𝑦ȷ
=
+
!
!
!
!
!
=
𝑥ı + 𝑦ȷ
!
!
!
!
!
!
!
= !!+ !!
!
!
!
!
= ı+ ȷ
!
!
!
!
!
=
!
!
=
!
!
!
𝑥! + 𝑦!
𝑥! + 𝑦!
!
!
𝑎
!
=1
!
𝑥
Vektor satuan dari vektor 𝑎 = 𝑦 = 𝑥ı + 𝑦ȷ adalah 𝑎
𝑎
!
!!
=
!
!
c. Perkalian Titik Antara Dua Vektor 𝑥!
Perkalian titik/dot antara vektor 𝑎 = 𝑦 = 𝑥! ı + 𝑦! ȷ dan vektor !
𝑥!
𝑏 = 𝑦 = 𝑥! ı + 𝑦! ȷ adalah !
𝑎. 𝑏 = 𝑥! 𝑥! + 𝑦! 𝑦! i. Sifat Komutatif Perkalian Titik 𝑎. 𝑏 = 𝑥! 𝑥! + 𝑦! 𝑦! 𝑏. 𝑎 = 𝑥! 𝑥! + 𝑦! 𝑦! Karena sifat komutatif perkalian 𝑥! 𝑥! = 𝑥! 𝑥! maka Pada perkalian titik berlaku sifat komutatif perkalian 𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎 ii. Perkalian Titik Vektor Yang Sama 𝑎. 𝑎 = 𝑥! 𝑥! + 𝑦! 𝑦!
𝑎. 𝑎 = 𝑥! ! + 𝑦! !
! 𝑎. 𝑎 = 𝑥! ! + 𝑦! !
𝑎. 𝑎 = 𝑎 !
Perkalian titik vektor yang sama sama dengan kuadrat dari panjang vektor itu sendiri 𝑎. 𝑎 = 𝑎 ! iii. Perkalian Titik dan Bilangan Real 𝑥!
𝑘𝑥!
Jika 𝑎 = 𝑦 = 𝑥! ı + 𝑦! ȷ maka 𝑘𝑎 =
= 𝑘𝑥! ı + 𝑘𝑦! ȷ 𝑘𝑦
!
!
𝑥!
𝑘𝑥!
Jika 𝑏 = 𝑦 = 𝑥! ı + 𝑦! ȷ maka 𝑘𝑏 =
= 𝑘𝑥! ı + 𝑘𝑦! ȷ 𝑘𝑦!
!
Substitusi Substitusi 𝑥!
𝑘𝑥!
𝑥!
𝑘𝑥!
𝑎. 𝑘𝑏 = 𝑦 .
𝑘𝑎 . 𝑏 =
. 𝑦
𝑘𝑦!
!
𝑘𝑦!
!
𝑎. 𝑘𝑏
𝑎. 𝑘𝑏
= 𝑥! . 𝑘𝑥! + 𝑦! . 𝑘𝑦! = 𝑘 𝑥! 𝑥! + 𝑦! 𝑦!
𝑘𝑎 . 𝑏
= 𝑘𝑥! . 𝑥! + 𝑘𝑦! . 𝑦! 𝑘𝑎 . 𝑏
= 𝑘 𝑥! 𝑥! + 𝑦! 𝑦!
𝑘𝑎 . 𝑏 = 𝑘 𝑎. 𝑏
𝑎. 𝑘𝑏 = 𝑘 𝑎. 𝑏
Pada perkalian titik dengan bilangan real berlaku 𝑘𝑎 . 𝑏 = 𝑎. 𝑘𝑏 = 𝑘 𝑎. 𝑏 iv. Sifat Distributif Perkalian Titik 𝑥!
𝑥!
𝑥!
Jika 𝑎 = 𝑦 , 𝑏 = 𝑦 dan 𝑐 = 𝑦 maka !
!
!
𝑎. 𝑐 = 𝑥! 𝑥! + 𝑦! 𝑦! 𝑎. 𝑏 = 𝑥! 𝑥! + 𝑦! 𝑦! 𝑥!
𝑥!
𝑏+𝑐 = 𝑦 + 𝑦
!
!
𝑥! + 𝑥!
𝑏+𝑐 = 𝑦 +𝑦
!
!
Substitusi 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐 = 𝑥! 𝑥! + 𝑦! 𝑦! + 𝑥! 𝑥! + 𝑦! 𝑦!
𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐
= 𝑥! 𝑥! + 𝑦! 𝑦! + 𝑥! 𝑥! + 𝑦! 𝑦!
𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐
= 𝑥! 𝑥! + 𝑥! 𝑥! + 𝑦! 𝑦! + 𝑦! 𝑦!
𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐
= 𝑥! 𝑥! + 𝑥! + 𝑦! 𝑦! + 𝑦!
𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐
= 𝑎. 𝑏 + 𝑐
Pada perkalian titik berlaku sifat ditributitif perkalian 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐 = 𝑎. 𝑏 + 𝑐 d. Sudut Antara Dua Vektor Gambar 18 Lihat ∆𝑂𝐴𝐵 dengan menggunakan aturan kosinus dalam pengurangan maka 𝐴𝐵
!
𝑏−𝑎
= 𝑂𝐴
!
= 𝑎
𝑏−𝑎 . 𝑏−𝑎
!
!
+ 𝑂𝐵
+ 𝑏
!
!
− 2 𝑎 𝑏 cos 𝛼
= 𝑎. 𝑎 + 𝑏. 𝑏 − 2 𝑎 𝑏 cos 𝛼
𝑏. 𝑏 − 2𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑎
= 𝑎. 𝑎 + 𝑏. 𝑏 − 2 𝑎 𝑏 cos 𝛼
−2𝑎. 𝑏
= −2 𝑎 𝑏 cos 𝛼
𝑎. 𝑏
= 𝑎 𝑏 cos 𝛼
= cos 𝛼
!
𝑂𝐵 cos 𝛼
= 𝑎. 𝑎 + 𝑏. 𝑏 − 2 𝑎 𝑏 cos 𝛼
! !
− 2 𝑂𝐴
𝑏. 𝑏 − 𝑎. 𝑏 − 𝑏. 𝑎 + 𝑎. 𝑎
!.!
!
Sudut antara dua vektor adalah 𝑎. 𝑏
cos 𝛼 =
𝑎 𝑏
e. Dua Vektor Tegak Lurus Kita ketahui sudut antara dua vektor yang saling tegak lurus adalah 90! maka !.!
cos 𝛼
=
cos 90!
=
0
=
0× 𝑎 𝑏
= 𝑎. 𝑏
! !
!.!
! !
!.!
! !
0
= 𝑎. 𝑏
Vektor 𝑎 dan vektor 𝑏 saling tegak lurus jika dan hanya jika 𝑎. 𝑏 = 0 f. Dua Vektor Sejajar Kita ketahui sudut antara dua vektor yang sejajar adalah 0! maka cos 𝛼
=
cos 0!
=
1
𝑎 𝑏
=
!.!
! !
!.!
! !
!.!
! !
= 𝑎. 𝑏
Vektor 𝑎 dan vektor 𝑏 saling sejajar jika dan hanya jika 𝑎. 𝑏 = 𝑎 𝑏 g. Perkalian Bilangan Real Pada Vektor dan Tiga Titik Segaris (Kolinier) Titik 𝑃 , 𝑄 dan 𝑅 segaris atau terletak pada garis yang sama atau kolinier jika dan hanya jika ketiga vektor 𝑃𝑄 ∥ 𝑄𝑅 ∥ 𝑃𝑅 Jika 𝑃𝑄 ∥ 𝑄𝑅 maka 𝑃𝑄. 𝑄𝑅 = 𝑃𝑄 𝑄𝑅
!".!"
= 𝑄𝑅
!"
Substitusi !".!"
= 𝑄𝑅
!"
!".!"
!"
!".!"
!"
𝑃𝑄
=
=
=
Gambar 19 Jika 𝑄𝑅 ∥ 𝑃𝑅 maka 𝑄𝑅. 𝑃𝑅
= 𝑄𝑅 𝑃𝑅
!".!"
= 𝑄𝑅
!"
!".!"
!"
!"
!"
!"
!"
𝑃𝑅
𝑃𝑅
Jika perbandingan panjang 𝑃𝑄 dan 𝑃𝑅 adalah 𝑘 =
!"
!"
maka Suatu vektor dikalikan dengan bilangan real 𝑘 hasilnya adalah vektor yang saling sejajar Titik 𝑃 , 𝑄 dan 𝑅 terletak pada garis yang sama atau segaris atau kolinier jika dan hanya jika berlaku 𝑃𝑄 = 𝑘𝑃𝑅 h. Perbandingan Ruas Garis Gambar 20 Titik 𝑃 , 𝑄 dan 𝑅 terletak pada garis yang sama dan titik 𝑄 terletak di antara titik 𝑃 dan 𝑅 sehingga 𝑃𝑄 ∶ 𝑄𝑅 = 𝑚: 𝑛 maka 𝑃𝑄 ∶ 𝑄𝑅
=𝑚∶𝑛
𝑞−𝑝 ∶ 𝑟−𝑞 =𝑚 ∶𝑛
𝑛 𝑞−𝑝
=𝑚 𝑟−𝑞
𝑛𝑞 − 𝑛𝑝
= 𝑚𝑟 − 𝑚𝑞 𝑛𝑞 + 𝑚𝑞
= 𝑚𝑟 + 𝑛𝑝
𝑚+𝑛 𝑞
= 𝑚𝑟 + 𝑛𝑝
!!!!!
𝑞
= !!!
Absis dan Ordinat titik 𝑄 adalah 𝑥! − 𝑥! ∶ 𝑥! − 𝑥!
=𝑚∶𝑛
𝑛 𝑥! − 𝑥!
𝑛𝑥! − 𝑛𝑥!
𝑛𝑥! + 𝑚𝑥!
𝑚 + 𝑛 𝑥!
= 𝑚 𝑥! − 𝑥!
= 𝑚𝑥! − 𝑚𝑥!
= 𝑚𝑥! + 𝑛𝑥! = 𝑚𝑥! + 𝑛𝑥!
𝑥!
=
!!! !!!!
!!!
!!! !!!!
Dengan cara yang sama akan didapatkan 𝑦! = !!!
Jika titik 𝑃 , 𝑄 dan 𝑅 terletak pada garis yang sama dan titik 𝑄 terletak antara titik 𝑃 dan 𝑅 dengan perbandingan 𝑃𝑄 ∶ 𝑄𝑅 = 𝑚 ∶ 𝑛 maka 𝑚𝑟 + 𝑛𝑝
𝑞=
𝑚+𝑛
Koordinat titik 𝑄 adalah 𝑚𝑥! + 𝑛𝑥! 𝑚𝑦! + 𝑛𝑦!
𝑥! , 𝑦! =
,
𝑚+𝑛
𝑚+𝑛