Menentukan barisan jika rumus suku ke-n diketahui

BARISAN
Pengertian barisan
Barisan adalah su,sunan bilangan – bilangan atau angka –angka yang
ditulis dengan dipisahkan tanda koma dengan mempunyai pola
tersendiri.
Berikut ini contoh beberapa barisan :
a. 1 , 2 , 3 , 4 , ….
b. -1 , 1 , -1 , 1 , -1 , …
c. 4 , 9 , 16 , …
Barisan – barisan pada contoh diatas mempunyai aturan tertentu
atau pola tertentu.
# Pada a bilangan berikutnya adalah 5 karena setiap bilangan
berikutnya ditambah 1
# Pada b bilangan berikutnya adalah 1 karena setiap bilangan
berikutnya dikalikan -1
#Pada c bilangan berikutnya adalah 25 sebab barisan tersebut
mempunyai aturan yaitu bilangan ke-1 = 4 dimana (1+1)2 = 22 = 4,
bilangan ke-2 = 9 dimana (2+1)2 = (3)2 = 9 bilangan ke-3 =16 dimana
(3+1)2 = 16, maka bilangan ke-4 = 25 dimana (4+1)2 = (5)2 =25.
Kesimpulan :
“Jadi aturan yang dimiliki oleh setiap barisan bilangan pada contoh
diatas pola bilangan atau aturan tidak tunngal yaitu mempunyai
aturan yang tidak sama.
 Selanjutnya pada materi berikutnya kita akan mempelajari
suatu barisan dan deret bilangan dengan pola khusus yang
disebut dengan barisan dan deret.
BARISAN &DERET
Dari barisan dan deret yang akan kita pelajari adalah :
a. Barisan Aritmetika
b. Deret Aaritmetika
c. Barisan Geometri
d. Deret Geometri
e. Deret Geometri tak hingga
Kegiatan Belajar 1.
Barisan Arimetika
Tujuan kegiatan ini adalah :
*Memahami barisan arimetika
*Menentukan unsure ke-n suatu barisan aritmetika
Uraian Materi
A. Pengertian barisan aritmetika
Barisan arimetika adalah susunan bilangan – bilangan atau angkaangka yang ditulis dipisahkan tanda koma dan mempunyai beda yang
sama antara suku yang satu denga suku berikutnya dimana beda
ditulis “ b “
Berikut ini beberapa contoh dari barisan arimetika :
a. 3 , 5 , 7, 9 ,…
b. 12 , 10 , 8 , 6 , …
c. -8 , -6 , -4 , -2 , ….
Dari contoh diatas
Pada a. suku berikutnya adalah 11 karena barisan tersebut
mempunyai beda (b)=2 maka setiap suku berikutnya ditambah 2
Pada b. Suku berikutnya adalah 4 karena barisan tersebut
mempunyai beda (-2), karena makin kedepan barisan nilainya
mengecil atau berkurang maka setiiap suku berikutnya dikurangi 2
atau ditambah dengan -2
Pada c. suku berikutnya adalah 0 karena barisan tersebut
mempunyai beda (2) karena makin kedepan barisan bilangan
bertambah maka setiap suku berikutnya ditambah 2.
Bentuk Umum Barisan Aritmetika
U1 , U2 ,
U3 ,
U4 ,
U5 , U 6
, U7
, …… Un
a , a+b , a+2b , a+3b , a+4b , a+5b , a+6b , …… a+(n-1)b
Maka : Un = a + (n-1)b
Dari bentuk umum barisan aritmetika hal-hal yang harus
diperhatikan adalah :
U1 = a yaitu suku pertama
U2 = suku kedua
U3 = suku ketiga
Un = suku ke-n
b = beda , menghitung beda b= U2 – U1 , atau U3 – U2 , atau
U4 – U3 yaitu suku didepan dikurang suku dibelakangnya.
n = nomor suku dimana n = 1,2,3,4,5,….
Contoh :
Diketahui beberapa barisan
a. 1 , 5 , 9 , 13 , ….. a=…
b= …. U5 = ….
b. 10 , 7 , 4 , 1 , ….
b=…. U10 = ….
a=…
c. -12 , -10 , -8 , -6 , … a =… b= … U12 = ….
Penyelesaian :
*a. suku pertama (a)=1
beda (b) = 5-1 atau 9-5 atau 13-9 = 4
U5 = a + 4b ( lihat bentuk umum barisan aritmetika)
= 1 + 4.4 =1 +16 = 17
*b. suku pertama (a)=10
beda (b) = 7-10 atau 4-7 atau 1-4 = -3
U10 = a + 9b (bentuk umum barisan aritmetika )
= 10 + 9.(-3) =10 + (-27) = -17
*c . suku pertama (a)= -12
beda (b) = -10 – (-12) atau -8 – (-10) atau -6 – (-8)
= -10 + 12 atau -8 + 10 atau -6 +8 =2
U12 = a +11b
= 10 + 11.2 = 10 + 22 =32
Kesimpulan dari contoh diatas :
Dalam menyelesaikan soal barisan arimetika harus terlebih dahulu
dicari suku pertama dan beda dan untuk menghitung suku keberapa
saja yang diminta kembali menggunakan bentuk umum barisan
arimetika diatas.
Tugas 1.
1. Tentukan suku pertama dan beda dari barisan dibawa ini
a. 5 , 9 ,13 , 17 , …..
b. 40 , 35 , 30 , 25 , …..
c. 21 , 15 , 9 , 3 , …..
d. -19 , -14 , -9 , …..
2.Buatlah suatu barisan aritmetika paling sedikit 4 suku jika suku
Pertama dan beda diketahui :
a. a = 8 dan b = 5
b. a = 20 dan b = -3
c. a = -16 dan b = 4
3.Dari barisan berikut ini tentukan besar suku yang dimaksud :
a. 1 , 4 , 7 , 10 , ….. U15 = …..
b. -5 , -2 , 1 , 4 , ….. U21 = …..
c. 20 , 15 , 10 , 5 , …. U15 = ….
Menentukan Rumus suku ke-n
Dari barisan aritmetika yang diketahui kita bias menentukan rumus
suku ke-n atau pun sebaliknya dari rumus suku ke-n kita bias
menentukan barisannya.
Perhatikan contoh –contoh berikut !
a. 3 , 8 , 13 , ….. rumus suku ke-n (Un) = ….
b. 14 , 10 , 6 , …. Rumus suku ke-n (Un) =…..
c. -2 , 0 , 2 , ….. rumus suku ke-n (Un) = …..
Penyelesaian :
a. a = 3 , b = 8-3 =5
masukan nilai a dan b pada suku ke-n yaitu;
Un = a + ( n-1 )b
Un = 3 + ( n-1 )5
Un = 3 + 5n – 5 , maka Un = 5n +3-5 = 5n – 2
b. a = 14 , b = 10 -14 = -4
Masukan nilai a dan b pada suku ke-n yaitu ;
Un = a + ( n – 1 )b
Un = 14 + ( n – 1 ) -4
Un = 14 + (-4n + 4 ) = -4n + 14 +4 = -4n + 18
c. a = -2 , b = 0 – (-2) = 0+2 = 2
masukan nilai a dan b pada suku ke-n yaitu;
Un = a + ( n – 1 )b
Menentukan barisan jika rumus suku ke-n diketahui
Buatlah barisan bilangan dari rumus suku ke-n yang diketahui
a. Un = 3n – 10
b. Un = -4n +11
c. Un = 5n – 12
Penyelesaian :
a. Un = 3n -10
U1 = 3.1 – 10 = 3 – 10 = -7
U2 = 3.2 - 10 = 6 – 10 = -4
U3 = 3.3 – 10 = 9 – 10 = -1
U4 = 3.4 – 10 = 12 – 10 = 2
Jadi barisan yang dimaksud : -7 , -4 , -1 , 2 , …
b. Un = -4n + 11
U1 = -4.1 + 11 = -4 + 11 = 7
U2 = -4.2 + 11 = -8 + 11 = 3
U3 = -4.3 + 11 = -12 +11 = -1
U4 = -4.4 + 11 = -16 + 11 = -5
Jadi barisan yang dimaksud : 7 , 3 , -1 , -5 , ….
c. Un = 5n -12
U1 = 5.1 - 12 = 5 – 12 = -7
U2 = 5.2 – 12 = 10 – 12 = -2
U3 = 5.3 – 12 = 15 – 12 = 3
U4 = 5.4 – 12 = 20 – 12 = 8
Jadi barisan yang dimaksud : -7 , -2 , 3 , 8, ….
MENYELESAIKAN SOAL-SOAL BARISAN ARITMETIKA DENGAN
MENERAPKAN BENTUK UMUM
Perhatikan beberapa soal berikut ini!
1. Tentukan suku pertama dan beda jika diketahui suku tertentu
a. U6 = 5 dan U12 = -13
b. U13 = 8 dan U17 = 48
2. Suatu barisan aritmetika dimana suku ke-7 adalah 14 dan suku
Ke-10 adalah 20 maka hitunglah suku ke-11
3, Tentukan banyaknya bilangan asli antara 10 sampai 50 yang
Habis dibagi 4
4. Hitunglah banyaknya bilangan asli antara 60 sampai 100 yang
habis dibagi 5
Penyelesaian :
1, a. U6 = 5
U12 = -13
a + 5b = 5 ( lihat bentuk umum barisan)
a + 11b = -13 _
-6b = 18
b = 18/-6 = -3
Subtitusi nilai b = -3 pada salah satu persamaan diatas missal pada
a + 5b = 5 maka didapat a + 5. (-3 ) = 5
a + (-15) = 5 maka
a = 5 + 15 = 20 jadi suku pertama adalah -3 dan beda adalah 20.
2. b. U13 = 8
U17 = 48
a + 12b = 8
a + 16b = 48 _
-4b = -40
b = -40/-4 =10
Lakukan subtitusi kembali seperti diatas pada alah satu persamaan
maka didapat a + 12b = 8 a + 12(10) =8 a + 120 =8 maka
a = 8 – 120 = -108 jadi didapat suku pertama -108 dan beda 10
2.
Untuk menhitung suku ke-11 cari dulu suku
pertama dan beda seperti soal no.1 ubah dulu suku yang
diketahui kedalam bentuk umum seperti berikut ini:
U7 = 14
a + 6b = 14
U10 = 20
a + 9b = 20 _
-3b = -6
a + 6b = 14
a + 6.(2) =14
b = -6/-3 = 2
a + 12 = 14 maka a = 14 -12 = 2.

Maka nilai suku U11 = a + 10 b masukan nilai a
dan b yang didapat diatas U11 = 2 + 10.(2) = 2 + 20 = 22
3.
Bilangan asli antara 10 sampai dengan 50
adalah 11,12,13,14,15,16 ,….. 49 dari bilangan ini yang habis
dibagi 3
Adalah : 12 , 15 , 18 , 21 , 24 , …..48 maka dari barisan yang kita
buat ini maka didapat suku pertama (a) =12 , b = 3 dan Un = 48
Pakai bentuk umum Un = a + 9( n- 1 )b, masukan nilai a , b dan
Un maka 48 = 12 + (n – 1 )3 48 = 12 + 3n –3 48 = 9 + 3n
3n + 9 = 48
3n = 48 – 9 maka 3n = 39
n = 39/3 = 13
Jadi banyaknya bilangan asli antara 10 sampai 50 yang habis
dibagi tiga adalah : 13
4.
Bilangan asli antara 60 sampai 100 yaitu :
61,62,63,64,65,66,…,99 dari bilangan ini yang habis dibagi 5
adalah : 65,70,75,80,85,….,95 maka dari barisan ini kita
dapatkan suku pertama (a) =65 , b = 5 dan Un = 95 pakai bentuk
umum Un = a + ( n- 1 )b masukan nilai a ,b dan Un maka
95 = 65 + (n-1)5
95 = 65 + 5n – 5
95 – 60 = 5n
95 = 5n +60
5n = 35 maka n = 35/5 = 7
Jadi banyaknya bilangan asli yg habis dibagi 5 adalah : 7
Tugas 2.
1.
Tentukan suku pertama dan beda dari barisan
aritmetika jika diketahui suku-suku tertentu :
a.
U3 = 21 dan U8 = 46
b.
U5 = 28 dan U11 = 10
2.
Suatu barisan aritmetika dimana suku ke-2
adalah -2 dan suku ke-10 adalah 38 maka hitunglah suku
ke -15
3.
Tentukan banyaknya bilangan asli antara 20
sampai dengan 56 yang habis dibagi 2.
4.
Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut
:
5.
a.
3 , 7 , 11 , 15 , ….
b.
-10 , -7 , -4 , -1, …
Buatlah barisan aritmetika minimal empat suku
pertama jika rumus suku ke-n diketahui:
a.Un = 2n -1
b. Un = -3n +10
DERET ARITMETIKA
Apabila suku-suku suatu barisan aritmetika dijumlahkan,maka
diperoleh deret aritmetika.Jumlah n suku atau jumlah beberapa
suku dari barisan aritmetika disebut Sn jadi :
Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + …. + Un atau dengan rumus :
Sn = ½ n
atau dengan rumus :
Sn = 1/2n
Keterangan:
Sn = jumlah n suku atau jumlah beberapa suku
= suku terakhir
n = banyak suku
a = suku pertama
b = beda
Contoh : 1
Carilah jumlah 15 suku dari barisan barisan berikut :
2 , 5 , 8, ….
Penyelesaian : dari barisan diatas dicari dahulu nilai a dan b karena
soalnya sudah dalam bentuk barisan maka nilai a dan b langsung
didapat yaitu : a =2 ,b=3 jumlah 15 suku maka n=15
Maka S15 = ½ n
= ½.15
= 15/2
= 7,5(4+ 42) = 7,5(46) = 345
Contoh 2:
Carilah semua bilangan asli antara 1 sampai dengan 100 yang habis
dibagi 4.
Jawab :
Bilangan-bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 4 ialah : 4 ,
8 ,12 , 16 , ….., 96 .Bilangan –bilangan itu apabila dijumlahkan akan
menjadi membentuk deret aritmetika dalam hal ini maka didapat
a = 4 ,b = 4 dan suku terakhir = l =96 maka harus dicari dulu banyak
sukunya atau nilai n sbb:
a + (n-1)b = l
4 + (n-1)4 =96
4 +4n – 4 = 96
4n = 96 -4 + 4
4n = 96
n =96:4 =24
Maka : Sn = ½ n
S33 = ½.24 ( 4 + 96) = 12 (100) = 1200 atau pakai rumus
S33 = 1/2n
S33 = ½.24
= 12
= 12(8 + 92) = 12(100) = 1200
Contoh:3
Suatu perusahaan memproduksi 400 satuan barang pada tahun
pertama dan menaikan produksinya tiap tahun dengan 150
satuan.hitunglah besarnya produksi pada tahun ke-9 dan hitunglah
hasil produksi selama 9 tahun.
Jawab: a =400 , b = 150 , n= 9
S9 = ½ .9
= 4,5(800+8.150)= 4,5(800+1200)=9000
Tugas 3
1. Carilah jumlah n suku dari deret dibawah ini:
a. 1 + 5 + 9, …. Jumlah 14 suku
b. 18 + 16 + 14 , …… jumlah 20 suku
2. Carilah jumlah bilangan asli dibawah ini :
a. Bilangan asli antara 20 sampai dengan 70 yang habis dibagi3
b. Bilangan asli antara 50 sampai 100 yang habis dibagi 5
3. Suatu barisan aritmetika diketahui suku ketiga adalah 20 dan
suku dan suku kedelapan adalah 45 carilah :
a. Suku pertama dan beda
b. Suku ke duabelas
c. Jumlah 12 suku pertam
4. Banyak pesanan baju toga pada sanggar busana pada bulan
pertama sebanyak 75 set, setiap bulannya pesanan naik sebanyak 10
set maka hitunglah banyak pesanan selama satu tahun!
5 . Diketahui bilangan asli antara 10 dan 100 yang habis dibagi
maka tentukanlah :
a. Suku pertama dari barisan itu
b. Beda dari barisan itu
c. Suku terakhir barisan itu
d. Banyaknya suku-suku pada baris tersebut
e. Jumlah bilangan – bilangan dari barisan itu.
Test 1.
1.Tentukan empat suku berikutnya!
a. 1 , 4 , 7 , 10 , …
b. 80 , 76 , 72 , 68 , …
2. Tulislah rumus suku ke-n dari barisan berikut :
a. 6 , 9 , 12 , ….
b. 16 , 12 , 10 , …
3. Buatlah barisan arimetika dari rumus suku ke-n berikut!
a. Un = 3n – 2
b. Un = -4n +7
4.Carilah suku pertama dan beda dari barisan berikut!
a. 3 , 5 , 7 , 9 , …
b. 64 , 55 , 46 , 37 , …
c. -10 , -8 , -6 , -4 , …
5. Carilah suku yang dimaksud dari barisan berikut!
a. 3, 7 , 11 , …. ;suku ke-16
b. -5 , -3 , -1 , … ; suku ke-21
6. Carilah suku pertama, beda dan suku ke-13 jika suku ke-3 adalah 9
dan suku kesepuluh adalah 23 !
7. Dari suatu barisan arimetika diketahui suku ke-3 adalah 16 dan
suku ke-5 adalah 20 . Hitunglah suku ke-20!
Test 2.
1. Carilah jumlah 12 suku dari deret :
a. 1 + 3 + 5 + ….
b. 60 + 55 + 50 + 45 + …
2. Suatu bilangan asli antara 20 sampai 80 yang habis dibagi 6 maka
tentukanlah :
a. Suku pertama
b. Beda
c. Suku akhir deret tersebut
d. Banyaknya suku tersebut
e. Jumlah deret tersebut
3. Carilah jumlah bilangan asli dibawah 50 yang habis dibagi 3.
4. Suatu barisan arimetika dimana suku ke-5 adalah 42 dan suku ke8 adalah 27 hitunglah jumlah 20 suku pertama !
5. Suatu perusahaan sepatu pada bulan pertama memproduksi
sepatu sebanyak 100 pasang setiap bulannya hasil produksi
meningkat sebanyak 25 pasang berapa banyak hasil produksi yang
dihasilkan selama setahun !
BARISAN GEOMETRI
Berikut ini contoh-contoh barisan geometri !
a. 2 , 4 , 8 , 16 , …
b. 1 , 3 ,9 ,27 , ….
c. 27 , -9 , 3 , -1 , ….
d. -3 , -6 , -12 , -24 , …
Dari contoh diatas dapat dilihat bahwa setiap suku dapat diperoleh
dari suku dimukanya dengan mengalikannya terhadap bilangan
tertentuyang konstan. Bilangan itu disebut pembanding atau rasio
dan disimbulkan dengan “r”. atau rumus untuk menghitung rasio
adalah : U2/U1 = U3 /U2 = U4/U3 = Un/Un-1.
Dari contoh-contoh diatas kita dapat menghitung rasio dari masingmasing barisan :
a. r = 4/2 atau 8/4 atau 16/8 hasilnya sama yaitu r = 2
b. r= 3/1 atau 9/3 atau 27/9 hasilnya sama yaitu r = 3
c. r = -9/27 atau 3/-9 atau -1/3 hasilnya sama yaitu r = -1/3
d. r = -6/-3 = -12/-6 = -24/-12 = 2
Bentuk umum barisan geometri
U1 = a
Keterangan : U1 = a = suku pertama
U2 = ar
r = rasio
U3 = ar2
n = nomor suku
U4 = ar3
Un = suku ke-n
Un = ar n-1
Contoh soal.
1.Carilah suku pertama ,rasio ,dan suku ke-5 dari barisan 3, 6, 12, ..
Jawab : a = 3 rasio = 6/3 = 2
U5 = ar 4 (lihat bentuk umum)
U5 = 3.(2)4 = 3.(2.2.2.2) = 3.16 = 48
2.