Document

KOMPUTASI NUMERIK
PENYELESAIAN PERSAMAAN LINIER
EIGEN VALUE DAN EIGEN VEKTOR
DEKOMPOSISI QR
Cipta Ramadhani
Laode Muhammad Tajidun
Eigen Value dan Eigen vector
Tinjau persamaan linier :
Ax=b dimana A adalah matriks bujur sangkar
Dapat dinyatakan bahwa :
Ax = λIx
dimana λ : suatu konstanta , dan I adalah matriks satuan
Sehingga :
(A- λ I)x = 0
Dapat dinyatakan : (A- λ I)=0
Harga determinan dari (A- λ I) berupa polynomial derajat n, yaitu :
Det (A- λ I)= λ n + c1 λ n-1 + c2 λ n-2 + …… + cn-1 λ + cn =0
Persamaan diatas disebut persamaan karakteristik, dengan derajat polynomial
n sama dengan derajat matriks A.
Akar-akar persamaan karakteristik itu diberi symbol λ1, λ2, λ3, …. λ n (ada n
akar) dan dinamai nilai pribadi (eigen value).
Dari A x= λ x dapat dioperasikan :
A2 x= λ 2x
A3 x= λ 3x
………. dst
Ai x= λ ix
Harga x dalam pasangan diatas , x dinamai vector pribadi (eigen vektor).
Contoh :
Misal Matriks
8 16 
5


A 4
1
8 
  4  4  11


akar persamaan karakteristiknya adalah : 1 , -3, -3  (λ - 1) (λ + 3) (λ + 3) = 0
λ 3 - λ 2 - 6λ - 9 = 0
Tentukan nilai pribadi (eigen value) dan vektor pribadi (eigen vektor)
Matriks T dan D, serta kebenarannya.
Nilai pribadi dari matriks A merupakan akar-akar
persamaan matriks tersebut.
Nilai-nilai pribadinya adalah : λ1= 1, λ2=-3, λ3=-3
Vektor pribadi untuk λ1= 1
A x= λ Ix
8 16 
5


1
8 
 4
  4  4  11


 x1 
x 
 2
 x3 
 
x4 
=
1 0 0


1 0 1 0 
0 0 1


 x1 
x 
 2
 x3 
 
x4 
Lanjutan ….
8 x2
16 x3 
 5 x1


4
x
1
x
8
x
 1
2
3 
  4 x  4 x  11x 
1
2
3

8 x2 16 x3 
 4 x1


0
8 x3 
 4 x1
  4 x  4 x  8x 
1
2
3

-
 x1 
x 
 2
 x3 
 
x4 
=0
=0
4x1 + 8x2 + 16x3 = 0 …. ( persamaan 1 )
4x1 + 0 + 8x3 = 0 …. ( persamaan 2 )
Dengan cara eliminasi persamaan 1 dan 2 diperoleh :
Maka dapat diperoleh nilai x1= -2, x2=-1, x3= 1
sehingga vektor yang didapat untuk λ1= 1 adalah X1 = k
 x1 
x 
 2
 x3 
 
x4 
Nilai Vektor pribadi untuk λ2= -3 , λ3= -3 dapat dicari dengan cara yang
sama yaitu dengan menggunakan persamaan
A x= λ Ix sehingga didapat vektor X1 , X2 , X3 dalam bentuk matriks
sebagai berikut :
T = [ x1 x2 x3] =
D=
 1

 0
 0

0
2
0
0

0
2 
2 0

 1 0

1 0

=
0 

0

0

1

0

0

0 

3 0 

0  3

0
Buktikan bahwa A T = T D
Jika nilai A T = T D maka matriks tersebut diatas adalah BENAR
AT =
AD =
8 16 
5


1
8 
 4
  4  4  11


2 0

 1 0

1 0

0 

0

0

1

0

0

2 0

 1 0

1 0

0 

3 0 

0  3

0 

0

0

0
=
=
2 0

 1 0

1 0

2 0

 1 0

1 0

0 

0

0

0 

0

0

Dari persamaan diatas terbukti bahwa AT = TD =
2 0

 1 0

1 0

0 

0

0

QR DECOMPOSISI
 Matriks : Kumpulan dari vektor
 Ruang kolom dari sebuah matriks dapat menjadi
langkah awal dari penyusunan sebuah dekomposisi.
Untuk memulai, pandanglah sebuah matriks A yang
disusun oleh kolom-kolom seperti ini :
 A=[ a1 a2
… an ]
 dengan ai berwujud vektor Cm Sehingga dimensi dari
matriks A tersebut adalah mxn
 Vector ai bisa jadi adalah kombinasi linear dari sembarang
vector !!!
 Begitupun juga dengan vector a1 , a2 , a3 …… an yang dapat
dibentuk dari kombinasi linear sebarang vektor. Sebarang
kombinasi linear biasa tidak menarik minat kita, kita akan
menelaah suatu kombinasi linear khusus yang disebut
dengan basis.
 Basis adalah sekumpulan vektor-vektor yang bebas linear
serta merentang ruang vektor. Apa yang dimaksud dengan
kombinasi linear khusus itu tidak lain adalah sifat bebas
linear.
 Penerapannya, jika Q= {q1 q2 q3 ….. qn} Adalah himpunan
basis untuk sebuah ruang vector V dimana a1 , a2 , a3 …… an,
,ε V ,
maka a1 , a2 , a3 …… an dapat dibangun oleh Q.
 lebih khusus lagi jika vector ai dibangun oleh kombinasi
linear vector-vektor q1, q2, q3 ….. qn Maka kita dapat
membentuk sebuah vector ri sehingga ai = ri (q1 q2 q3 ….. qi)
perhatikan persamaan dibawah ini :
 Dengan ini maka ri = (r1i , r2i , r3i ….. rii)
 Sehingga dapat dibentuk matriks :
A = Q R dengan
Q : Matriks Unitary
R : Matriks Segitiga Atas
A MATRIKS m x n
PERMASALAHAN
 Permasalahan kita adalah bagaimana cara
menentukan himpunan vector-vektor
Q= {q1 q2 q3 ….. qn} Agar dapat menjadi basis untuk
vector a1 , a2 a3 …… an. salah satu cara yang cukup
popular (bahkan sampai tidak ada yang membahas
cara lain selain cara ini) adalah dengan menggunakan
proses orthogonalisasi Gram-Schmidt.
ALGORITMA GRAM-SMIDTH
 Kita tahu bahwa jika Q= {q1 q2 q3 ….. qn} Adalah himpunan
vector-vektor yang ortonormal maka himpunan vector q1 q2
q3 ….. qn Merupakan basis untuk ruang vector yang
direntang. Maka dari itu kita akan membentuk vector q1 q2
q3 … qn Dari vector a1 , a2 a3 …an Dengan menggunakan
proses ortogonalisasi Gram-schmidt.
Yaitu :
Ini akan membentuk vector-vektor q1 q2 q3 … qn Yang
digunakan untuk membentuk matriks Q,
 lalu bagaimana dengan matriks R ? matriks tersebut
dibentuk oleh entri rij dengan :
Contoh Soal
Tentukan Dekomposisi QR dari matriks dibawah ini :
0
1

1

0
1 0 0 1
1 1 1 0
0 0 0 0

0 1 0 1
Matriks A dapat dinyatakan kedalam bentuk Matriks
Kolom A = [ a1 a2 a3 a4 ]
1 
0 
a1 = 1  , a2 = 1  , a3 =
 
 
0 
1 
 
 
0
0 
 
0 
1  ,
 
0 
 
1 
0 
a4 = 1  ,
 
0 
 
0 
a5=
1 
0 
 
0 
 
1 
Kemudian akan ditransformasikan { a1 , a2 , a3 , a4} menjadi basis
orthonormal melalui proses orthogonalisasi Gram-Schmidt
Untuk vektor a1 , q1 =
Untuk vektor a2 , q2 =
Untuk vektor a3 , q3 =
a1
|| a1 ||
1
=
2
0 
1 
 
1 
 
0 
=
a2   q1 , a2  q1
|| a2   q1 , a2  q1 ||






=
0 
2 
2
2 
2
0 
1
6
2
0
1 
 2
1 
 2
 0 
a3   q2 , a3  q2   q1 , a3  q1
|| a3   q2 , a3  q2   q1 , a3  q1 ||
=
=
2






6 
6
6 
6 
6 
6
0 
 2 
 6
1 2 
6
48  2 
6  6
 1 


 2


2
= 
 2

  6

48
48 
48 
48 
48
48 
48
48
Untuk vektor a4, q4
=
a4   q3 , a4  q3   q2 , a4  q2   q1 , a4  q1
|| a4   q3 , a4  q3   q2 , a4  q2   q1 , a4  q1 ||
1
= 1
2
 1 
 4
 14 
 1 
 4 
 1 
 4 
=
 1 
 2
 12 
 1 
 2 
 1 
 2 
Untuk vektor a5, q5
=
a5   q4 , a5  q4   q3 , a5  q4   q2 , a5  q5   q1 , a5  q1
|| a5   q4 , a5  q4   q3 , a5  q4   q2 , a5  q5   q1 , a5  q1 ||
=
0 
0 
 
0 
 
0 



Sehingga Matriks Q menjadi A =





Sedangkan untuk Matriks R =









0
2 6
2
6
2
6
 2 48
48
2 48
1
1
2
6
48
2
 6
 2 48
2
1
2
6
48
2
6 48
1
0
0
48
2
2
2
0
6
0
0
0
0
0
0
2
2
0

0

0

0

0 
2
2
6
6
2 6 
6
6
6
48
2 48
48 
6
48
48
1
0
0 
2

0
0
0 
2
2
Sehingga diperoleh bentuk dekomposisi QR dari Matriks A
sebagai berikut :
0
1

1

0
1 0 0 1
1 1 1 0
0 0 0 0 =

0 1 0 1
A








0
2 6
2
6
2
6
 2 48
2 48
48
1
1
2
6
48
2
 6
 2 48
2
1
2
6
48
2
6 48
1
0
0
48
2
Q
0

0

0

0










2
2
0
6
0
0
0
0
0
0
2
2
0 
6
6
2 6 
6
6
6
48
2 48
48 
6
48
48
1
0
0 
2

0
0
0 
2
2
2
2
R
Tujuan akhir dari hasil Dekomposisi QR ini adalah untuk penyelesaian
persamaan linier
KESIMPULAN
1. Apabila Eigen Value dan Eigen Vektor memenuhi
AT=TD
maka matriks tersebut diatas adalah BENAR
2. Setiap Matriks AЄ C mxn mempunyai bentuk QR
dekomposisi