Limit Fungsi Trigonometri: Pengertian, Sifat, Teorema Apit & Contoh Soal

9.9.9 Limit Fungsi Trigonometri
Pengertian Limit Trigonometri
Sebelum kita masuk ke materinya, Kita harus tahu dulu apa pengertian dari limit
dan trigonometri.
Nah, Limit sendiri adalah suatu batasan nilai yang menggunakan pendekatan
fungsi. Dengan kata lain, limit merupakan nilai yang didekati oleh suatu fungsi
saat mendekati nilai tertentu.
Biar semakin paham, coba lihat bentuk umum dari limit fungsi di bawah.
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿
𝑥→0
Dari contoh di atas, bisa dikatakan kalau limit f(x) mendekati C nilainya akan
sama dengan L, jika dan hanya jika limit kiri dan limit kanannya mendekati L.
Trigonometri adalah cabang ilmu Matematika yang berkaitan dengan fungsi
sudut dan penerapannya pada segitiga. Jadi, limit trigonometri adalah nilai yang
mendekati suatu sudut fungsi trigonometri. Cara hitungnya mirip dengan limit
fungsi aljabar, tapi di sini, ada fungsi trigonometri yang harus diubah lebih dulu.
Limit trigonometri ini punya rumus penting. Salah satunya, saat diketahui limit x
mendekati 0 dari sin x dibagi x sama dengan 1. Maka, penulisan rumusnya
adalah sebagai berikut:
sin 𝑥
=1
𝑥→0 𝑥
lim
seperti yang sudah kita tahu. Di trigonometri nggak cuma ada sin, tapi juga tan.
Maka, sekarang kita akan coba pakai rumus di atas untuk kasus yang memiliki
tan di dalamnya. contoh:
tan 𝑥
=⋯
𝑥→0 𝑥
lim
tan adalah sin dibagi cos. Jadi, tan x di atas bisa kita ubah menjadi sin x dibagi
cos x. Terus, karena ada bentuk yang sama dengan rumus sebelumnya, kita
bisa ubah lagi bentuknya jadi seperti di bawah ini.
lim
𝑥→0
tan 𝑥
𝑥
sin 𝑥
1
= lim cos 𝑥 ∙ 𝑥
𝑥→0
sin 𝑥
1
∙ lim
𝑥→0 𝑥
𝑥→0 cos 𝑥
= lim
= 1.1
=1
Setelah baca pengertian dan lihat contoh bentuk limit trigonometri, kita pasti jadi
berpikir “Sebenarnya apa sih fungsi penghitungan limit trigonometri?
Manfaat Limit Trigonometri
Tanpa kita sadari, sebenarnya ada banyak aplikasi limit trigonometri dalam
kehidupan. Salah satu yang paling dekat adalah di bidang kedokteran. Seperti
Memanfaatkan limit trigonometri untuk kacamata lensa cekung
Bagi orang-orang yang mengalami rabun jauh, mereka membutuhkan kacamata
lensa cekung agar bisa melihat lebih jelas. Nah, perhitungan di lensanya
menggunakan bantuan limit trigonometri.
Limit trigonometri juga digunakan untuk menghitung rotasi bumi atau benda
lainnya yang berbentuk elips, menghitung kerusakan jantung menggunakan
USG, serta mengetahui besarnya perpindahan kalor, kecepatan, dan
percepatan.
4 Sifat Limit Trigonometri
Sifat-sifat limit trigonometri penting banget buat kita pahami. Karena, sifat-sifat
ini jadi bekal mendasar yang kita butuhkan untuk menyelesaikan soal limit
trigonometri. Jadi, langsung aja kita simak apa aja sifatnya.
lim 𝑓 (𝑥) = 𝐿 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑓(𝑎) ≠
𝑥→𝑎
0
∞
, ∞ − ∞, ∞∞ ,
0
∞
Sifat ini sama dengan sifat limit fungsi aljabar. Di sifat ini, limit x menuju a dari
f(x) akan mempunyai nilai L atau akan sama dengan f(a) kalau f(a)-nya bukan:
lim 𝑓 (𝑥) = ±𝑔(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) ± lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
Artinya, limit x menuju a dari f(x) kurang tambah g(x) sama dengan limit x
menuju a dari f(x) kurang tambah limit x menuju a dari g(x).
lim 𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥) = lim 𝑓 (𝑥) ∙ lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
Maksud dari sifat ini adalah limit x menuju a dari f(x) dikali g(x) nilainya akan
sama dengan limit x menuju a dari f(x) dikali limit x menuju a dari g(x).
lim 𝑓(𝑥)
𝑓 (𝑥) 𝑥→𝑎
=
, lim 𝑔(𝑎) ≠ 0
𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
lim 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎
lim
𝑥→𝑎
Artinya, limit x menuju a dari f(x) dibagi g(x) sama dengan limit x menuju a dari
f(x) dibagi limit x menuju a dari g(x), asalkan syaratnya limit x menuju a dari g(x)
tidak sama dengan 0. Karena, jika g(x) itu adalah 0, hasilnya akan tidak
terdefinisi.
Teorema Apit Limit Trigonometri
Teorema apit digunakan untuk menghitung batas fungsi trigonometri yang sulit
atau nggak bisa diselesaikan dengan cara umum. Dengan teorema ini, kita bisa
menghitung limit suatu fungsi dengan membandingkan dua fungsi lain yang
limitnya sudah diketahui atau ditentukan secara pasti.
Contohnya, diketahui ada tiga fungsi yaitu g(x), f(x), dan h(x). Ketiganya
memenuhi sebuah kondisi di mana
𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥)
hal yang perlu kita ingat, g(x), f(x), dan h(x) nggak hanya berlaku pada satu titik
atau beberapa titik. Tapi, harus berlaku untuk semua titik. Maka, dari tiga fungsi
di atas, teorema apit akan menjamin bahwa
lim 𝑔(𝑥) ≤ lim 𝑓(𝑥) ≤ lim ℎ(𝑥)
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
Coba kita perhatikan contoh di bawah ini.
lim 𝑥 2 ∙ cos
𝑥→0
1
=⋯
𝑥
Meskipun kita udah pakai berbagai cara, pasti bakal sulit buat menemukan hasil
dari soal di atas. Tapi, kalau kita pakai teorema apit, langkah-langkahnya jadi
lebih sederhana.
Karena limit x menuju 0, maka x nggak boleh sama dengan 0. Jadi,
pertidaksamaannya bakal menjadi
−1 ≤ cos
1
≤1
𝑥
Nah, dari pertidaksamaan ini, coba kita kalikan semua ruas dengan x2. Dari hasil
itu, kita bisa menerapkan bentuk teorema apit sebelumnya, yaitu
lim 𝑔(𝑥) ≤ lim 𝑓(𝑥) ≤ lim ℎ(𝑥)
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
Berdasarkan tahap-tahap tersebut, maka didapatkan hasil:
−1 ≤ cos
1
≤1
𝑥
−𝑥 2 ≤ −𝑥 2 cos
1
≤ 𝑥2
𝑥
lim(−𝑥 2 ) ≤ lim 𝑥 2 ∙ cos
𝑥→0
𝑥→0
0 ≤ lim 𝑥 2 ∙ cos
𝑥→0
= lim 𝑥 2 ∙ cos
𝑥→0
1
≤ lim 𝑥 2
𝑥 𝑥→0
1
≤0
𝑥
1
=0
𝑥
Contoh Soal Limit Trigonometri
1. Lengkapi nilai dari limit trigonometri berikut,
sin 10𝑥
lim
=⋯
𝑥→0
5𝑥
Jawab:
sin 10𝑥 10
=
= 2
𝑥→0
5𝑥
5
lim
2. Lengkapi nilai dari limit trigonometri berikut,
lim𝜋(sin 𝑥 + cos 𝑥) = ⋯
𝑥→
2
3. Nilai untuk melengkapi limit trigonometri di bawah ini adalah …
lim 𝑥 sin
𝑥→0
1
𝑥
Jawab:
lim 𝑥 sin
𝑥→0
1
1
= −𝑥 ≤ sin ≤ 1
𝑥
𝑥
lim(−𝑥) ≤ lim 𝑥 𝑠𝑖𝑛
𝑥→0
𝑥→0
0 ≤ lim 𝑥 𝑠𝑖𝑛
𝑥→0
= lim 𝑥 𝑠𝑖𝑛
𝑥→0
=0
1
𝑥
1
≤0
𝑥
1
≤ lim 𝑥
𝑥 𝑥→0