MATA KULIAH - TEORI PROBABILITAS
Permutasi dan
Kombinasi
S1 Sains Data
Universitas Negeri Surabaya
2025
Outline
1
Dasar Perhitungan (Counting)
2
Konsep Permutasi
3
Konsep Kombinasi
S1
SAINS
DATA
Permainan Peluang
S1
SAINS
DATA
• Permainan peluang umumnya melibatkan pelemparan koin, pelemparan dadu, atau
pengambilan dan pengacakan satu pak kartu bridge
• Pelemparan dadu:
- Ruang sampel dari dadu secara umum S = {1,2,3,4,5,6}
- Jika dua dadu dilempar, maka ruang sampelnya adalah……….
D i a g r a m P o h o n ( Tree)
S1
SAINS
DATA
Kita dapat menyelesaikan masalah counting dengan menggunakan bantuan diagram
pohon (tree). Suatu percabangan merepresentasikan pilihan yang mungkin
terpilih/terseleksi.
Lintasan dari akar ke titik akhir (simpul daun) adalah salah satu solusi/cara yang
mungkin:
Leaf nodes
root
branches
S1
SAINS
DATA
D i a g r a m P o h o n ( Tree)
Berapa banyak bit strings dengan panjang 4 yang tidak memiliki dua
angka 1 berurutan ?
Jawaban: 8 bit strings
1st bit
2nd bit
3rd
bit
4th bit
Mari
Menghitung !
S1
SAINS
DATA
• Misalkan panjang password suatu komputer memuat 6, 7, atau 8 karakter.
Masing-masing karakter harus berupa digit bilangan atau huruf alfabet. Berapa
banyak kemungkinan password yang mungkin dibuat?
• Terdapat 100 pesera pada suatu kontes musik. Berapa banyak kemungkinan
susunan Top-10 ?
Alat bantu dasar
(fundamental)
• Aturan Penjumlahan
• Aturan Perkalian
• Aturan Pengurangan
(Inklusi-Eksklusi untuk Dua Himpunan)
• Aturan Pembagian
• Diagram Pohon
S1
SAINS
DATA
S1
SAINS
DATA
Aturan
Penjumlahan
(Sum Rule)
Aturan Penjumlahan (Sum Rule)
Jika suatu pekerjaan dapat diselesaikan dengan salah satu dari suatu cara
sebanyak n1 cara atau cara lainnya sebanyak n2 cara, dimana tidak ada
himpunan dari n1 cara yang sama dengan sebarang himpunan dari n2 cara,
maka terdapat
n1 + n2
Cara untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut.
S1
SAINS
DATA
Secara umum/general…
S1
SAINS
DATA
Misalkan terdapat suatu pekerjaan dapat diselesaikan dengan salah satu dari
suatu cara sebanyak n1 cara, atau suatu cara lain sebanyak n2 cara, …, atau cara
lainnya sebanyak nm cara, diamana tidak ada dari masing-masing himpunan di ni
cara yang sama dengan nj cara (1 ≤ i < j ≤ m), maka terdapat
n1 + n2 + ... + nm
cara untuk mengerjakan pekerjaan tersebut.
Aturan Penjumlahan dalam Himpunan
S1
SAINS
DATA
Jika A1, A2, ..., Am adalah pasangan dari himpunan yang disjoint finite
(Ai ∩ Aj = ∅, i,j ∈ {1, 2, ..., m}), maka banyak cara yang mungkin untuk memilih satu
elemen dari A1 𝖴 A2 𝖴 ... 𝖴 Am sama dengan jumlah dari banyak elemen di setiap
himpunan Ai
|A1 𝖴 A2 𝖴 ... 𝖴 Am| = |A1| + |A2| + ... + |Am|
Contoh 1
S1
SAINS
DATA
Seorang murid dapat memilih proyek komputer dari tiga daftar pilihan. Daftar
pilihan kesatu, kedua dan ketiga masing-masing memuat 23, 15, dan 19
kemungkinan proyek. Tidak ada proyek yang ada di lebih dari satu daftar
pilihan. Berapa banyak kemungkinan proyek yang dapat dipilih?
Jawab :
Tugas dapat diselesaikan dengan memilih suatu projek dari daftar pilihan
pertama atau daftar pilihan kedua, atau daftar pilihan ketiga.
Oleh karena itu, menurut aturan penjumlahan, ada 23 + 15 + 19 = 57 cara
untuk memilih proyek komputer.
Contoh 2
Misalkan anda berada di sebuah restoran, dan akan memilih antara sup
atau salad tapi tidak keduanya. Terdapat dua menu sup (sup ayam dan sup
daging) dan empat menu salad. Berapa banyak cara kamu dapat memilih?
Jawab :
Berdasarkan aturan penjumlahan, diperoleh 2 + 4 = 6 cara.
S1
SAINS
DATA
S1
SAINS
DATA
Aturan
Perkalian
Product Rule
Aturan Perkalian
S1
SAINS
DATA
Misalkan terdapat prosedur yang dapat dipecah menjadi barisan dari dua tugas
T1 dan T2 . Jika ada n1 cara untuk mengerjakan T1 , dan terdapat n2 cara untuk
mengerjakan T2, maka terdapat
n1 x n2
cara untuk mengerjakan prosedur.
Secara umum/general...
S1
SAINS
DATA
Misalkan suatu prosedur dilakukan dengan memecah tugas T1, T2, ..., Tm dalam
barisan. Jika setiap tugas dapat diselesaikan dengan n1, n2, ..., nm cara terlepas
dari bagaimana tugas sebelumnya dilakukan, maka terdapat
n1 x n2 x ... x nm
cara untuk melaksanakan prosedur tersebut.
Aturan Perkalian dalam Himpunan
S1
SAINS
DATA
Jika A1, A2, ..., Am adalah himpunan berhingga (finite), maka elemen hasil Cartesian
Product A1 X A2 X ... X Am diperoleh dengan memilih satu elemen dari A1, satu
elemen dari A2, ... , dan satu elemen dari Am.
|A1 X A2 X ... X Am| = |A1| . |A2|. ... . |Am|
Contoh 1
S1
SAINS
DATA
Suatu perusahaan hanya memiliki 2 karyawan, Rudi dan Rani. Perusahaan ini
menyewakan gedung dengan 12 kantor. Berapa banyak cara untuk
menugaskan kantor yang berbeda untuk 2 karyawan ini?
Jawab:
Prosedur memuat 2 barisan tugas:
(1) Menugaskan kantor ke Rudi : 12 cara (12 options)
(2) Menugaskan kantor ke Rani (kantor yang berbeda) : 11 cara (11
options)
Oleh karena itu, berdasarkan aturan perkalian,
terdapat 12 x 11 = 132 cara untuk menugaskan kedua
karyawan tersebut.
S1
SAINS
DATA
Contoh 2
Suatu sistem plat nomor di beberapa negara berisi satu huruf kapital (dari A-Z),
diikuti tiga digit (0-9), dan dua huruf kapital lagi (dari A-Z). Berapa banyak plat
nomor yang dapat dibuat di negara tersebut?
P1
P2 P3 P4
P5 P6
Prosedur memuat 6 barisan:
(1) Pilih huruf untuk slot P1: 26 cara
(2) Pilih bilangan (digits) untuk P2, P3, dan P4 : setiap slot memiliki 10
cara.
(3)Pilih huruf untuk P5 dan P6 : setiap slot memiliki 26 cara.
Maka, dengan aturan perkalian, diperoleh 26 x 10 x 10 x 10 x 26 x 26 =
17.576.000 kemungkinan plat
Contoh 3
Berapa banyak fungsi dari himpunan A dengan m elemen yang dipetakan ke
himpunan B dengan n elemen?
A = {a1, a2, ..., am}, B = {b1, b2, ..., bn}
Prosedur memuat m barisan tugas:
(1) Memetakan a1 ke bi ∈ B, f(a1) : n cara
(2) Memetakan a2 ke bi ∈ B, f(a2) : n cara
...
(m) Memetakan am ke bi ∈ B, f(am) : n cara
Maka, berdasarkan aturan perkalian terdapat nm cara.
S1
SAINS
DATA
Contoh 4
S1
SAINS
DATA
Misalkan suatu password komputer memuat 6,7, atau 8 karakter. Masing-masing
karakter dapat diisi bilangan (digit) ataupun alfabet (A-Z).
Berapa banyak password yang bisa dibuat?
Jawab:
Misalkan P adalah total password yang mungkin dan Pi adalah password dengan panjang i.
Maka, berdasarkan aturan penjumlahan, P = P6 + P7 + P8.
Maka kita menghitung P6 , P7 , dan P8.
Karakter Password : 26(A-Z) + 10(0-9) = 36 karakter
P6 = (36)(36)(36)(36)(36)(36) = 366 = 2.176.782.336
P7 = (36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 367 = 78.364.164.096
P8 = (36)(36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 368 = 2.821.109.907.456
Jadi, total password yang mungkin = 2.176.782.336 + 78.364.164.096 + 2.821.109.907.456
= 2.901.650.833.888
S1
SAINS
DATA
Aturan
Pengurangan
Substraction Rule
S1
SAINS
DATA
Aturan Pengurangan
Misalkan suatu tugas dapat diselesaikan dengan suatu himpunan n1 cara atau
himpunan lainnya dengan n2 cara. Bagaimanapun, beberapa cara untuk mengerjakan
tugas tersebut common (sama/berulang) di himpunan yang memuat n1 cara dan di
himpunan yang memuat n2 cara.
Konsekuensinya, kita tidak dapat menggunakan aturan penjumlahan untuk
menghitung banyak cara untuk menyelesaikan tugas. Jika kita menjumlahkan banyak
cara untuk menyelesaikan tugas dengan dua cara ini, terdapat hitungan berlebih
(overcounting) karena ada cara yang sama atau berulang (common) dihitung dua kali.
Set 1: n cara
1
Dihitung 2X
Set 2: n2 cara
Aturan Pengurangan
S1
SAINS
DATA
Misalkan suatu tugas dapat diselesaikan dengan suatu himpunan n1 cara atau
himpunan lainnya dengan n2 cara. Bagaimanapun, beberapa cara untuk
mengerjakan tugas tersebut common (sama/berulang) di himpunan yang
memuat n1 cara dan di himpunan yang memuat n2 cara, maka terdapat
n1 + n2 - m
Cara untuk menyelesaikan tugas.
m adalah banyak cara untuk menyelesaikan tugas yang sama/berulang
(common)
dengan dua cara berbeda.
Aturan Pengurangan dalam Himpunan
S1
SAINS
DATA
Dikenal juga sebagai prinsip inklusi-eksklusi
Misalkan terdapat himpunan A1 dan A2. Maka, terdapat |A1| cara untuk memilih
elemen dari A1 dan |A2| cara untuk memilih elemen dari A2. Maka banyak cara untuk
memilih elemen dari A1 atau dari A2?
Karena ada|A1 𝖴 A2| cara untuk memilih elemen dari A1 atau A2 dan |A1 ∩ A2| cara
memilih elemen yang sama pada keduanya (common to both sets), maka :
|A1 𝖴 A2| = |A1| + |A2| - |A1 ∩ A2|
Contoh 1
Suatu bit string merupakan string yang hanya memuat karakter dengan
elemen {0, 1}. Berapa banyak bit strings dengan panjang 8 yang dimulai
dengan bit 1 atau berakhir dengan dua bit 00.
S1
SAINS
DATA
Solusi contoh 1
Tugas 1: bit string yang dimulai dengan 1
• Bit pertama hanya bisa diisi 1 cara (bit pertama diisi 1).
• Setiap 7 bit lainnya dapat diisi 2 cara (diisi 0 atau 1).
Maka, berdasarkan aturan perkalian terdapat 1 x 27 = 128 cara
untuk mengerjakan tugas 1.
Tugas 2: bit string yang diakhiri dengan 00
• Terdapat 2 cara untuk mengisi setiap bit untuk enam pertama.
• Hanya ada 1 cara untuk mengisi sisanya (ututan bit ke 7-ke-8).
Maka, berdasarkan aturan perkalian terdapat 26 x 1 x 1 = 64 cara
untuk mengajarkan tugas 2.
S1
SAINS
DATA
Lanjutan Contoh
1
Kita tidak dapat menggunakan aturan penjumlahan pada
permasalahan ini, hal ini karena total banyak cara: 128 + 64 =
192.
Terdapat beberapa cara di tugas 1 yang juga ada di tugas 2
(tugas pertama dan kedua memiliki beberapa cara yang
sama/berulang/common) !
Tugas 1 & 2: Bit string yang dimulai dengan 1 dan berakhir
dengan 00
• Terdapat 1 cara untuk mengisi bit ke-1, ke-7, dan ke-8.
• Terdapat 2 cara untuk mengisi setiap 5 bit di urutan ke2,3,4,5,6.
Maka, berdasarkan aturan perkalian terdapat 1 x 25 x 1 x 1 = 32
cara untuk mengerjakan tugas ini.
S1
SAINS
DATA
S1
SAINS
DATA
Lanjutan contoh 1
Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan sebagai berikut : terdapat 128
cara untuk mengerjakan tugas 1, 64 cara untuk mengerjakan tugas 2, dan 32
cara untuk mengerjakan keduanya baik tugas 1 dan 2 (32 cara yang sama).
Berdasarkan aturan pengurangan (prinsip inklusi-eksklusi), diperoleh:
128 + 64 – 32 = 160
cara untuk mengerjakan tugas 1 atau tugas 2.
Contoh 2
Berapa banyak bilangan bulat positif kurang dari atau sama
dengan 100 yang habis dibagi dengan 3 atau 5?
S1
SAINS
DATA
S1
SAINS
DATA
|A ∪ B ∪ C | = ?
|A 𝖴 B 𝖴 C|
= |A| + |B| + |C|
- (|A ∩ B| + |A ∩ C| + |B ∩
C|)
+ |A ∩ B ∩ C|
Contoh 3
S1
SAINS
DATA
Terdapat 115 mahasiswa yang mendapat mengambil matakuliah Matematika, 71
mahasiswa mengambil matakuliah Pemrograman, dan 56 mahasiswa mengambil
matakuliah Fisika.
Diantaranya, 25 mahasiswa mengambil matakuliah Matematika dan Pemrograman, 14
mahasiswa mengambil matakuliah matematika dan Fisika, dan 9 mahasiswa mengambil
matakuliah pemrograman dan fisika.
Jika terdapat sebanyak 196 siswa yang mengambil minimal salah satu matakuliah
matematika, Pemrograman, atau Fisika, berapa banyak mahasiswa yang mengambil
ketiganya ?
Lanjutan Contoh 3
S1
SAINS
DATA
M = {x | x adalah banyaknya mahasiswa yang mengambil matakuliah Matematika}
P = {x | x adalah banyaknya mahasiswa yang mengambil matakuliah Pemrograman}
F = {x | x adalah banyaknya mahasiswa yang mengambil matakuliah Fisika}
Maka |M| = 115, |P| = 71, |F| = 56, |M ∩ P| = 25, |M ∩ F| = 14, |P ∩ F| = 9.
terdapat sebanyak 196 siswa yang mengambil minimal salah satu dari matakuliah
Matematika, Pemrograman, atau Fisika, |M 𝖴 P 𝖴 F| = 196.
Berdasarkan prinsip inklusi-eksklusi:
|M 𝖴 P 𝖴 F|
= |M| + |P| + |F| - (|M ∩ P| + |M ∩ F| + |P ∩ F|) + |M ∩ P ∩ F|
196 = 115 + 71 + 56 – (25 + 14 + 9) + |M ∩ P ∩ F|
Jadi, |M ∩ P ∩ F| = 2
S1
SAINS
DATA
Aturan
Pembagian
Division Rule
Aturan Pembagian
Terdapat n/d cara berbeda untuk mengerjakan tugas jika itu dapat
diselesaikan menggunakan prosedur yang dapat dipecah menjadi n cara, dan
untuk setiap cara w, terdapat tepat d pada n cara yang berkorespondensi
dengan cara w.
S1
SAINS
DATA
Atran Pembagian pada Himpunan
Jika suatu himpunan berhingga A adalah gabungan dari n
subhimpunan yang pairwise disjoint dan setiap subhimpunan
memiliki d elemen, maka n = |A| / d.
A = S1 𝖴 S2 𝖴 ... 𝖴 Sn
Sj dan Sk are disjoint, for 1 ≤ j < k ≤ n
|Sj| = d
maka, n = |A| / d
S1
SAINS
DATA
Contoh 1
Berapa banyak kemungkinan menyusun
(1,1,2,3,4) ?
Jawab :
Pertama kita asumsikan bahwa terdapat dua 1
yang berbeda, maka kita mempunyai 5! Cara
untuk menyusun:
(1𝑎,1𝑏,2,3,4)
Tetapi untuk setiap cara pada 5! cara, kita
melakukan over-counted untuk kelas tertentu:
Setiap 2! pada 5! cara berkorespondensi ke satu
susunan yang sama.
Inilah alasan mengapa menyusun (1,1,2,3,4) dalam
baris, diperoleh:
S1
SAINS
DATA
Contoh 2
Berapa banyak cara berbeda untuk mengatur duduk 4 orang jika dua
tempat duduk dianggap sama bila setiap orang memiliki tetangga kiri yang
sama dan tetangga kanan yang sama.
S1
SAINS
DATA
S1
SAINS
DATA
Pembahasan contoh 2
Kita pilihlah tempat duduk di meja secara arbitary dan beri label tempat
duduk k1. Kami memberi label sisanya k2, k3, k4 berjalan searah jarum jam
mengelilingi meja.
Catatan:
Terdapat 4 cara untuk memilih seseorang duduk dir
k1. Terdapat 3 cara untuk memilih seseorang duduk
di k2. Terdapat 2 cara untuk memilih seseorang
duduk di k3. Terdapat 1 cara untuk memilih
seseorang duduk di k4
k1
k2
k4
k3
Maka, terdapat 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara untuk 4 orang duduk di meja
tersebut.
To be continued……………
S1
SAINS
DATA
Lanjutan contoh 2
Bagaimanapun, untuk setiap 4 cara memilih orang duduk di k1, terdapat 4 cara
identik (kiri dan kanannya adalah tetangga yang sama) !
Sebelumnya, dikatakan bahwa kita memilih k1 secara arbitrarily ....
k1
k4
k2
k4
k1
k3
k3
k2
k3
k2
k4
k1
k2
k3
k1
k4
S1
SAINS
DATA
Lanjutan contoh 2
Karena terdapat 4 cara yang sama untuk memilih orang yang duduk di k1, maka
berdasarkan aturan pembagian,
terdapat 24 / 4 = 6
Cara berbeda
melingkar.
(susunan yang berbeda)
untuk duduk 4 orang pada meja
S1
SAINS
DATA
Permutasi &
Kombinasi
S1
SAINS
DATA
Permutasi
S1
SAINS
DATA
Permutasi
Berapa banyak cara memilih 3 mahasiswa dari 5 mahasiswa yang ada di
gambar untuk berbaris membentuk satu garis?
Order matters !
≠
Pemilihan pertama (first slot) sebanyak 5 cara. Karena mahasiswa sudah
terpilih satu pada pemilihan pertama, maka hanya ada 4 cara untuk pemilihan
kedua (second slot), dan 3 cara untuk pemilihan terakhir. Berdasarkan aturan
perkalian, terdapat 5 x 4 x 3 = 60 cara.
Permutasi
Menghitung berapa banyak cara untuk menyusun objek jika urutan
diperhatikan.
Definisi (Permutasi pada himpunan objek)
Suatu permutasi dari himpunan berbeda adalah objek terurut yang
disusun dari objek yang ada
Definisi (r-permutasi)
r-Permutation adalah suatu susunan terurut dari himpunan r-elemen
S1
SAINS
DATA
Permutasi
Misalkan, S = {a, b, c}
• Suatu permutasi dari S adalah (a, b, c). Sebagai catatan bahwa (a, b, c) adalah
berbeda dengan (c, b, a).
• 2-permutation dari S adalah susunan terurut (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b).
Banyak r-permutasi dari himpunan dengan n-elemen dinotasikan dengan:
S1
SAINS
DATA
Permutasi
Teorema I
Untuk n ϵ Z+, dan 1 ≤ r ≤ n, maka:
P(n, r) = n (n – 1) (n – 2) ... (n – r + 1)
Bukti Teorema I
Gunakan aturan perkalian untuk membuktikan teorema ini.
Terdapat (n – i + 1) cara untuk memilih objek ke-I ketika menyusun objek yang terpisah
.
Catatan
P(n, 0) = 1 karena terdapat 1 cara untuk menyusun 0 elemen ☺
S1
SAINS
DATA
Permutasi
S1
SAINS
DATA
Contoh 1
Tiga ujian akan dilaksanakan selama 5 hari. Jika dalam sehari
tidak dapat dilakukan 2 ujian atau lebih dalam sehari, maka
berapa banyak jadwal yang dapat dibuat?
Perhatikan!
Urutan diperhatikan
Maka ada 3 permutasi dari 5 objek
Sehingga terdapat P(5,3) = 5! / (5-3)! = 60 jadwal berbeda yang
dapat dibuat,
S1
SAINS
DATA
Contoh 2
Seorang salesman harus mengunjungi 8 kota. Dia mulai perjalanan di
kota tertentu. Kemudian, dia bisa mengunjungi 7 kota lainnya pada
sebarang urutan yang dia inginkan. Berapa banyak kemungkinan
yang dapat salesman gunakan dalam melewati kota-kota ini?
Jawab
Kota pertama spesifik. Ini berarti kita dapat menyusun 7 kota
berikutnya, Artinya P(7,7) = 7! = 5040 cara memilih rute.
S1
SAINS
DATA
S1
SAINS
DATA
Kombinasi
Kombinasi
Urutan objek pada permutasi bersifat penting!
Namun, terkadang kita perlu menghitung atau memilih objek yang
tidak memperhatikan urutan.
Definisi (Kombinasi)
Suatu kombinasi dari himpunan berbeda adalah objek tak terurut
(urutan tidak diperhatikan) yang disusun dari objek yang ada
Definisi (r-kombinasi)
r-Kombinasi adalah suatu susunan tak terurut (urutan tidak
diperhatikan) dari himpunan r-elemen
S1
SAINS
DATA
Kombinasi
Misalkan, S = {1,2,3,4}
• {1,3,4} adalah 3-kombinasi dari himpunan S.
Sebagai catatan bahwa {1, 3, 4} dan {4,3,1} adalah sama 3-kombinasi dari S.
Banyak r-kombinasi dari himpunan dengan n-elemen dinotasikan dengan:
S1
SAINS
DATA
Kombinasi
S1
SAINS
DATA
Teorema 2
Untuk 0 ≤ r ≤ n:
Bukti:
Terdapat P(n,r) cara untuk memilih r objek dari n objek.
Bagaimanapun jika urutan tidak diperhatikan, maka berdasarkan aturan pembagian,
terdapat P(n,r)/r! = P(n,r) / P(r,r) cara untuk memilih r objek dari n objek.
Karena setiap r-kombinasi C(n,r) adalah himpunan dengan n-elemen yang
berkorespindensi dengan tepat satu P(r,r) r-permutasi. Contoh : Kombinasi {1,3}
berkorespondensi dengan 2! r-permutasi yaitu {1,3} dan {3,1}.
Contoh 1
Berapa banyak cara memilih 5 pemain dari
10 pemain pada pertandingan voli RW 03
pada pertandingan voli yang akan datang?
Ini adalah masalah 5-kombinasi.
Berdasarkan teorema 2, maka C(10,5) =
10! / 5! . 5! = 252 cara memilih pemain voli
yang representatif
S1
SAINS
DATA
Contoh 2
Terdapat 6 staf akademik dari FMIPA dan 5 staf
akademik dari FT. Berapa banyak cara memilih
komite di sekolah jika komite memuat 3 staf FMIPA
dan 4 staf FT?
Berdasarkan aturan perkalian, maka cara memilih
komite adalah 3-kombinasi dari himpunan FMIPA
dan 4-kombinasi dari himpunan FT.
C(6,3) . C(5,4) = (6! / (3! . 3!)) . (5! / (4! .1!)= 100
cara
S1
SAINS
DATA
S1
SAINS
DATA
S1
SAINS
DATA
S1
SAINS
DATA
So far….
Kita telah belajar :
• Permutasi tanpa perulangan
• Kombinasi tanpa perulangan
Tanpa perulangan : setiap item atau elemen digunakan /
dipilih sekali
Maka, dengan perulangan: setiap item / elemen dapat
dipilih lebih dari sekali (berulang)
S1
SAINS
DATA
S1
SAINS
DATA
Permutasi dengan
Pengulangan
S1
SAINS
DATA
Permutasi dengan Pengulangan
S1
SAINS
DATA
S1
SAINS
DATA
Kombinasi dengan
Pengulangan
S1
SAINS
DATA
S1
SAINS
DATA
S1
SAINS
DATA
S1
SAINS
DATA
S1
SAINS
DATA
S1
SAINS
DATA
S1
SAINS
DATA
S1
SAINS
DATA
S1
SAINS
DATA
S1
SAINS
DATA
Contoh 2
Angka dari cara untuk memilih 6 kue = angka dari cara untuk menyusun 3
garis vertikal | pada (6+3) posisi yang berbeda.
Contoh 3
Ada 10 siswa pergi ke kantin, setiap siswa memesan 1 dari 5
menu yang tersedia. Ada berapa kemungkinan untuk memesan
menu yang berbeda?
Jawabannya 10 kombinasi dari satu set 5 elemen dengan
pengulangan.
Nomor dari susunan-susunan yang berbeda, mendistribusikan
10 objek ke dalam 5 kotak
S1
SAINS
DATA
Contoh 4
Ada berapa solusi untuk persamaan di bawah ini:
Ada tiga kotak (yaitu x1, x2, dan x3) yang dipisahkan
dengan 2 sekat. Selanjutnya, ada 11 objek (11 1s) yang
akan didistribusikan menjadi 3 kotak.
Ada berapa cara yang dapat kamu gunakan untuk
mendistribusikan 11 objek ke dalam 3 kotak?
S1
SAINS
DATA
S1
SAINS
DATA
S1
SAINS
DATA
S1
SAINS
DATA
