I. LOGIKA

Pertemuan ke 1
1. LOGIKA

Logika mempelajari hubungan antar pernyataanpernyataan yang berupa kalimat-kalimat atau
rumus-rumus, sehingga dapat menentukan apakah
suatu pernyataan bernilai benar.

Benar tidaknya suatu pernyataan lebih mengarah
pada bentuknya; bukan pada arti kalimat.
Semua pengendara sepeda motor memakai helm.
Setiap orang yang memakai helm adalah mahasiswa.
Jadi, semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa
Penalaran dengan menggunakan logika membawa kita
pada kesimpulan bahwa pernyataan
semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa
adalah benar
1.1. PROPOSISI
Pernyataan yang mempunyai nilai benar atau salah saja
yang digunakan dalam penalaran. Pernyataan tersebut
disebut Proposisi.
Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai
benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.
Contoh-contoh Proposisi :






6 adalah bilangan genap
Soekarno adalah Presiden
Indonesia yang pertama.
2+2=4
Ibukota propinsi Jawa
Barat adalah Semarang.
12  19
Hari ini adalah hari Kamis
Contoh-contoh bukan Proposisi:
Jam berapa kereta api Argo Bromo
berangkat ?  kalimat tanya
 Isilah gelas tersebut dengan air !  Kalimat
perintah
X>3

Lambang Proposisi:


Proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf
kecil seperti p, q, r,….
Contoh :
p : 6 adalah bilangan genap
q :2+2=4
r : Hari ini adalah hari Kamis
1.2. MENGKOMBINASIKAN PROPOSISI

Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk
menghasilkan proposisi baru.

Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan
proposisi disebut operator logika.

Operator logika yang digunakan adalah : dan (and),
atau (or), tidak (not).

Proposisi Majemuk :
Proposisi baru yang diperoleh dari
pengkombinasian.

Proposisi atomik :
Proposisi yang bukan merupakan kombinasi
proposisi lain.

Proposisi majemuk disusun dari proposisiproposisi atomik.
Tabel Penghubung Proposisi
Simbol
Arti
Dibaca
~
Negasi
Tidak / bukan

Konjungsi
Dan

Disjungsi
Atau

Implikasi
(kondisi tunggal)
Jika...maka...
atau.........hanya jika...

Bi-implikasi
(kondisi ganda)
...Jika dan hanya jika ...
Konjungsi
Misalkan p dan q adalah proposisi.
Konjungsi p dan q dinyatakan dengan notasi p  q ,
adalah proposisi p dan q.
Contoh 1.3 :
p
: Hari ini hujan
q
: Murid-murid diliburkan dari sekolah
pq : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan
sekolah.
Disjungsi
Misalkan p dan q adalah proposisi.
Disjungsi p dan q dinyatakan dengan notasi pq ,
adalah proposisi p atau q.
Contoh 1.4 :
p
: Hari ini hujan
q
: Hari ini dingin
pq : Hari ini hujan atau hari ini dingin.
Negasi ( Ingkaran )
Misalkan p dan q adalah proposisi.
Ingkaran atau negasi dari p, dinyatakan dengan
notasi p atau
adalah proposisi tidak p.
p
Contoh :
p
: Hari ini hujan
p
: Tidak benar hari ini hujan.
Contoh 1.5 : p
q
: Pemuda itu tinggi
: Pemuda itu tampan
Nyatakan dalam bentuk simbolik.
a) Pemuda itu tinggi dan tampan.
pq
b) Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan.
p  ~q
c) Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan.
~p  ~q
Contoh 1.5 : p
q
: Pemuda itu tinggi
: Pemuda itu tampan
Nyatakan dalam bentuk simbolik.
d) Tidak benar pemuda itu pendek atau tidak tampan.
~(~p  ~q )
e) Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan.
p(~ p  q )
f) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan.
~(~ p  q )
1.3 TABEL KEBENARAN
p  q bernilai benar jika
p dan q  keduanya benar, selain itu
nilainya salah.
 Konjungsi
p
q
pq
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
F
Disjungsi p  q bernilai salah, jika p dan q
 keduanya salah, selain itu nilainya
benar.
p
q
pq
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
F
F
p  dua kemungkinan T dan F
q  dua kemungkinan T dan F
n = 22 = 4
2
n=2
2n = 2 3 = 8
p
q
pq
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
F
F
Contoh 1.7 :
p
q
r
p q
~q
~q r
( p  q )  (~q r)
T
T
T
T
T
F
T
T
F
F
F
F
T
T
T
T
F
F
F
F
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
T
F
F
F
T
F
T
F
F
F
T
F
5. TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI


Tautologi adalah proposisi majemuk yang nilai
kebenarannya selalu benar untuk setiap nilai
kebenaran proposisi pembentuknya.
Kontradiksi selalu mempunyai nilai kebenaran
yang salah untuk setiap nilai kebenaran proposisi
pembentuknya.
Tautologi
Contoh 1.8 :
p
q
T
T
F
F
T
F
T
F
p
q
T
T
F
F
T
F
T
F
p q ~(p q) p  ~(p q)
T
F
F
F
F
T
T
T
p qKontradiksi
p  q ~(p  q) ( p  q )  ~(p  q)
T
F
F
F
T
T
T
F
F
F
F
T
F
F
F
F
T
T
T
T
EKUIVALENSI DUA PROPOSISI
Dua buah proposisi dikatakan ekuivalen
secara logika apabila kedua proposisi
tersebut mempunyai nilai kebenaran yang
sama.
 Jika proposisi p ekivalen secara logika
dengan proposisi q, maka ekivalensi tsb.
dapat ditulis sebagai p  q atau dapat
menggunakan lambang bi-implikasi seperti
p  q.

Contoh 1.9 :
p
q
T
T
F
F
T
F
T
F
p q ~(p q)
T
F
F
F
Ekivalen secara logika
p
q
~p
~q
~p  ~q
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
T
T
F
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
T
1.4 DISJUNGSI EKSKLUSIF
OR
Cara 1:
Atau digunakan secara inklusif (inclusive or)
Yaitu dalam bentuk “p atau q atau keduanya”
Tenaga IT yang dibutuhkan harus menguasai Bahasa C++ atau Java
Cara 2:
Atau digunakan secara eksklusif (exclusive or)
Yaitu dalam bentuk “p atau q tetapi bukan keduanya”
Pemenang lomba mendapat hadiah berupa TV atau uang
1.4 DISJUNGSI EKSKLUSIF
p  q adalah proposisi yang bernilai benar bila hanya
salah satu dari p dan q benar,
selain itu nilainya salah
p
q
p q
T
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
F
Pertemuan ke 2
1.5 Hukum-Hukum Logika Proposisi
No
Hukum
1
Identitas
2
Dominasi
3
Negasi
4
Idempoten
Bentuk ekuivalensi
(i)
(ii)
(i)
(ii)
(i)
(ii)
(i)
(ii)
pF  p
pT  p
pF  F
pT  T
p  ~p  T
p  ~p  F
pp  p
pp  p
~(~p)  p
5
Negasi
ganda
6
Penyerapan p  ( p  q )  p
p(pq)  p
7
Komutatif
pq  qp
pq  qp
8
Asosiatif
p  (q  r)  (p  q)  r
p  (q  r)  (p  q)  r
( p)
9
Distributif
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
10
De Morgen
~( p  q )  ~p  ~q
~( p  q )  ~p  ~q
Contoh 1.10 :
Tunjukkan bahwa p  ~( p  q ) dan p  ~q
keduanya ekivalen secara logika
Penyelesaian :
p  ~( p  q ) 



p  (~p  ~q)
(p  ~p)  (p  ~q)
T  (p  ~q)
p  ~q
(De Morgen)
(distributif)
(negasi)
(identitas)
Contoh 1.11 :
Buktikan hukum penyerapan : p  ( p  q )  p
Penyelesaian :
p(pq) 



(p  F)  (p  q)
p  (F  q)
pF
p
(identitas)
(distributif)
(null)
(identitas)
1.7 Proposisi Bersyarat (Implikasi)




Simbol  atau  adalah simbol implikasi
dibaca “jika . . . maka . . .” atau “ . . . hanya
jika . . .”.
contoh kalimat implikasi “jika p maka q” dapat
ditulis dalam bentuk simbol menjadi p  q
Proposisi p disebut hipotesis (anteseden),
sedangkan q disebut konklusi (konsekuen).
Implikasi p  q hanya salah jika p benar tetapi q salah
p : nilai ujian akhir anda 80 atau lebih.
q : anda akan mendapat nilai A untuk kuliah ini.
Tabel kebenaran implikasi
Kasus
1
2
3
4
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
pq
T
F
T
T
Definisi kita mengenai implikasi adalah pada nilai kebenarannya,
bukan didasarkan pada penggunaan bahasa
“ Jika Paris adalah ibukota Perancis, maka 1+1 =2 “
Contoh 1.15 :
Tunjukkan bahwa p  q dan ~p  q
keduanya ekivalen secara logika
p
q
~p
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
T
T
pq
T
F
T
T
~p  q
T
F
T
T
Contoh 1.17 :
p : barang itu bagus.
q : barang itu murah.
Tabel kebenaran p  ~q dan q  ~p
p
q
~p
~q
p  ~q
q  ~p
T
T
F
F
F
F
T
F
F
T
T
T
F
T
T
F
T
T
F
F
T
T
T
T
Pertemuan ke 3
1.8 VARIAN PROPOSISI BERSYARAT
Jika terdapat implikasi p  q
Maka variasinya adalah berikut ini
konversnya adalah
: qp
inversnya adalah
: pq
kontraposisinya adalah :  q   p
p
q
~p
~q
Implikasi
pq
Konvers
qp
Invers
~p  ~q
Kontraposisi
~q  ~p
T
T
F
F
T
T
T
T
T
F
F
T
F
T
T
F
F
T
T
F
T
F
F
T
F
F
T
T
T
T
T
T
Contoh 1.19 :
“Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya”
Jika terdapat implikasi p  q
konversnya adalah
: qp
jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil
inversnya adalah
: pq
Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang kaya
kontraposisinya adalah
: qp
Jika Amir bukan orang kaya, maka ia tidak mempunyai mobil
1.9 BIKONDISIONAL (BI-IMPLIKASI)
Definisi :
Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk
“p jika dan hanya jika q” disebut bikondisional (bi-implikasi)
dan dilambangkan dengan p ↔ q
Simbol  adalah simbol bi-implikasi
 dibaca “. . . jika dan hanya jika . . .”.

p iff q


Proposisi bi-implikasi pq , mempunyai nilai
kebenaran benar (T) apabila nilai kebenaran p dan
q sama.
Selain itu nilai kebenarannya salah.
p
q
pq
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T

Jika terdapat proposisi majemuk “p jika dan hanya jika
q”, maka dapat ditulis dalam bentuk simbol p  q atau
dalam bentuk (p  q)  (q  p).
p q
 (p  q)  (q  p)
p
q
p ↔ q
p → q
q→p
(p → q)  (q → p)
T
T
T
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
T
F
T
F
F
F
F
T
T
T
T
Contoh soal 1 :
Dengan menggunakan tabel kebenaran
buktikan bahwa ( p  q )  q adalah
tautologi !
 Jawab :

p
T
T
q
T
F
(pq)
T
F
(pq)q
T
T
F
F
T
F
F
F
T
T
Contoh soal 2 :

Jawab :

Misal
p : n adalah bilangan prima  3
q : n adalah bilangan ganjil

Implikasi : p  q
jika n adalah bilangan prima  3 maka
n adalah bilangan ganjil.

Konvers : q  p
jika n adalah bilangan ganjil maka n adalah
bilangan prima  3.




Invers : p  q
jika n bukan bilangan prima  3
maka n bukan bilangan ganjil
Kontraposisi : q  p
jika n bukan bilangan ganjil
maka n bukan bilangan prima  3.
Inferensi
Adalah proses penarikan kesimpulan dari
beberapa proposisi
1. Modus Ponens
Misal hipotesis (anteseden) p pada implikasi p  q
bernilai benar. Agar proposisi bersyarat p  q
mempunyai nilai benar, maka q harus bernilai benar.
Kaidah ini didasarkan pada tautologi (p ( p  q ))  q,
yang dalam hal ini, p dan p  q adalah hipotesis,
sedangkan q adalah konklusi.
Secara simbolik modus Ponens dapat dinyatakan
sebagai berikut.
pq
p
q
Modus ponen menyatakan bahwa jika hipotesis p dan
implikasi p  q benar, maka konklusi q benar.
pq
p : 20 habis dibagi 2
q : 20 adalah bilangan genap
p
q
Jika 20 habis dibagi 2, maka 20 adalah bilangan genap
20 habis dibagi 2
────────────────────────────────
Jadi 20 adalah bilangan genap
2. Modus Tollens
modus Tollens mirip dengan modus Ponens. Bedanya terletak
pada hipotesa kedua dan kesimpulan. Hipotesa kedua dan
kesimpulan merupakan negasi dari masing-masing proposisi
pada hipotesa pertama. Dalam bentuk simbol modus Tollens
dapat ditulis sebagai berikut :
pq
~q
~p
pq
p : n bilangan ganjil
q : n2 bernilai ganjil
~q
~p
Jika , n bilangan ganjil, maka n2 bernilai ganjil
n2 bernilai genap
───────────────────────────
Jadi n bukan bilangan ganjil
adalah benar
hipotesis
kesimpulan
3. Silogisme Hipotesis
Jika nilai kebenaran dari implikasi p  q dan q
 r adalah benar, maka implikasi p  r bernilai
benar pula.
pq
qr
 pr
p : saya belajar dengan giat
q : saya lulus ujian
r : saya cepat menikah
pq
qr
 pr
Jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian
Jika saya lulus ujian, maka saya cepat menikah
hipotesis
Jadi Jika saya belajar dengan giat, maka saya cepat menikah
adalah benar
4. Silogisme Disjungtif :
peristiwa memilih diantara dua pilihan. Jika kita
harus memilih diantara p atau q dan misalnya kita
tidak memilih p tentulah pilihan kita adalah q.
pq
~p
q
5. Simplifikasi
pq
 p
6. Penjumlahan / Penambahan Disjungtif

Contoh
Ali menguasai bahasa Pascal.
Ali menguasai bahasa Pascal atau Basic
p
 pq
7. Konjungsi / Penyederhanaan Konjungtif

Contoh
Ali menguasai bahasa Pascal dan bahasa Basic
Ali menguasai bahasa Pascal
p
q
 pq
Argumen
Adalah suatu deret proposisi yang ditulis sebagai
Yang dalam hal ini, p1, p2, …pn disebut hipotesis
(atau premis), dan q disebut konklusi.
p1
p2
.
.
pn
___
q
Definisi :
Sebuah argumen dikatakan sahih jika konklusi benar bilamana
semua hipotesisnya benar, sebaliknya argumen dikatakan palsu
(fallacy atau invalid).
Contoh 1.31 :
Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang.
Air laut surut setelah gempa di laut.
Karena itu tsunami datang.
 Adalah sahih / valid
p : Air laut surut setelah gempa di laut.
q : Karena itu tsunami datang.
pq
p
q
Contoh 1.32 :
Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang.
Tsunami datang
Jadi, air laut surut setelah gempa di laut.
 Adalah tidak benar, dengan kata lain argumennya palsu.
pq
q
─────
p
Jadi :



Hipotesa atau premis dan konklusi / kesimpulan
disebut argumen.
Jika dari suatu argumen semua hipotesanya benar
dan kesimpulannya juga benar maka dikatakan
argumen tersebut valid.
Sebaliknya jika hipotesa bernilai benar dan
kesimpulan nya salah, maka argumen tersebut
tidak valid.
Tuntunan untuk menentukan apakah suatu
argumen dikatakan valid atau invalid.




Tentukan hipotesa dan konklusi / kesimpulan kalimat
Buat tabel yang menunjukkan nilai kebenaran untuk
semua hipotesa dan kesimpulan.
Tandai baris kritis, yaitu baris yang nilai kebenaran
hipotesa bernilai T (benar).
Jika semua kesimpulan pada baris kritis benar, maka
argumen bernilai valid, jika ada kesimpulan pada
baris kritis salah maka argumen invalid.
Dilema



Dilema mempunyai bentuk campuran antara
silogisme disjungtif dan silogisme hipotesis.
Contoh :
Menurut ramalan, tahun depan negara kita akan
mengalami kemarau panjang atau banjir.
Jika kemarau panjang hasil pertanian gagal.
Jika banjir hasil pertanian gagal.
Tahun depan hasil pertanian gagal.
Aksioma, Teorema, Lemma, Corollary
Aksioma adalah proposisi yang diasumsikan benar.
Aksioma tidak memerlukan pembuktian kebenaran lagi.
Contoh :
(b) Jika diberikan dua buah titik yang berbeda, maka hanya ada
satu garis lurus yang melalui dua buah titik tersebut.
Teorema adalah proposisi yang sudah terbukti benar.
Contoh :
(a) Jika dua sisi dari sebuah segitiga sama panjang, maka sudut
yang berlawanan dengan sisi tersebut sama besar.
Aksioma, Teorema, Lemma, Corollary
Corollary adalah teorema yang dapat dibentuk langsung dari
teorema yang telah dibuktikan.
Contoh :
Jika sebuah segitiga adalah sama sisi, maka segitiga tersebut
sama sudut
Lemma adalah teorema sederhana yang digunakan dalam
pembuktian teorema lain.
Contoh :
Jika n adalah bilangan bulat positif, maka n – 1 bilangan positif
atau n – 1 = 0