Dr. Muhamad Ali Misri, M.Si. Perpustakaan Nasional Republik Indonesia Katalog Dalam Terbitan (KDT) ISBN 978-602-0834-40-5 Judul Buku Struktur Grup Penulis Dr. Muhamad Ali Misri, M.Si. Editor Reza Oktiana Akbar, M.Pd. Lay out & Tata Letak Bilqis Print Di Terbitkan oleh: (CV.CONFIDENT) Anggota IKAPI Jabar Jl. Pluto Selatan III. No.51. Margahayu Raya Bandung Jl. Karang Anyar No. 17. Jamblang Cirebon Telp/Fax (0231) 341 253. Hp : 0821 74000 567 Kode Pos 45156 Jawa Barat Email : [email protected] Edisi Desember 2017 Hak Cipta ada pada penulis dan dilindungi Undang-Undang Nomor 19 Tahun 2002, Pasal 2, Ayat (1) dan Pasal 72 Ayat (1) dan (2) tentang Hak Cipta. Dilarang memperbanyak buku ini, tanpa ijin dari penulis dan penerbit Confident. PRAKATA Perkembangan ilmu pengetahuan berlangsung begitu pesatnya. Penggunaan produk ilmu pengetahuan melahirkan teknologi yang mempermudah hidup manusia modern. Setiap produk pengetahuan dan teknologi yang dihasilkan tidak lepas dari peran matematika sebagai alat di dalamnya. Matematika sendiri tidak bisa begitu saja dapat dipahami dan digunakan sesuai perkembangan. Ada kajian tersendiri sehingga matematika dapat dipahami dan menyesuaikan diri dengan perkembangan kebutuhan. Kajian tersebut di antaranya mengenai struktur grup. Kajian ini mendasari teori gelanggang dan modul dalam aljabar. Kondisi ini menuntut kita untuk dapat mempelajari struktur grup agar dapat meningkatkan kemampuan aljabar. Buku ini ditulis untuk memperkenalkan konsep grup berdasarkan pengalaman mengajar penulis pada level sarjana matematika/ pendidikan matematika. Buku ini merupakan edisi revisi dari buku pengantar aljabar abstrak: grup (2014). Pengalaman mengajar dengan melakukan pengamatan langsung pada aktivitas dan kemampuan mahasiswa menghasilkan berbagai materi tambahan dan perbaikan dari edisi sebelumnya. Perubahan nama dilakukan mengingat materi pada buku ini fokus pada struktur grup. Kehadiran buku ini diharapkan dapat membantu mahasiswa pemula dalam mempelajari struktur grup, terutama bagi mahasiswa yang belum mampu belajar dengan menggunakan buku teks berbahasa asing. Buku ini menjelaskan konsep struktur grup secara berjenjang dan sistematis agar mudah dipahami. Penjelasan konsep dimulai dari pendahuluan, konsep dasar grup, kelas khusus pada grup dan kesamaan grup. Semuanya itu disusun menjadi enam pokok bahasan, yaitu: pendahuluan, grup, grup simetri, grup siklis, grup faktor dan homomorfisma grup. Bagian pendahuluan membekali pembaca kemampuan membentuk pernyataan dan membuktikannya serta kemampuan dalam himpunan, partisi dan relasinya. Penguasaan pada bagian ini menjadi syarat untuk mempelajari bagian lainnya. Selanjutnya bagian grup. Pada bagian ini disajikan konsep dasar grup dan subgrup serta beberapa sifat dasar yang harus dikuasai pembaca sehingga memiliki pemahaman dasar grup. Setelah pembaca menguasai bagian grup, pembaca dapat melanjutkan ke bagian grup simetri, grup siklis dan grup faktor untuk memperkaya pengetahuan tentang sifat-sifat grup. Terakhir, bagian homomorfisma. Pada bagian ini, pembaca diperkenalkan alat untuk iii membandingkan struktur grup. Bagian ini menjadi penting karena tidak semua grup berukuran hingga dan tidak semua grup sudah terklasifikasi. Untuk dapat mengetahui struktur grup yang seperti itu diperlukan homomorfisma. Selain itu, pada bagian ini disajikan Teorema Cayley dan teorema dasar homomorfisma. Kedua teorema ini menjadi puncak bahasan dalam buku ini. Dengan Teorema Cayley, kita dapat membandingkan semua struktur dengan struktur grup simetri. Struktur semua grup akan sama dengan struktur suatu subgrup dari grup simetri. Penulis menyadari bahwa dalam buku ini masih terdapat banyak kekurangan. Untuk itu, saran-saran dari semua pihak sangat diperlukan demi sempurnanya buku ini. Akhirnya, penulis ucapkan terima kasih kepada semua pihak sehingga buku ini bisa dinikmati pembaca. Cirebon, Desember 2017 Dr. Muhamad Ali Misri, M. Si iv DAFTAR ISI Prakata ................................................................................................................. iii Daftar Isi ................................................................................................................ v Daftar Tabel ........................................................................................................ vii Daftar Gambar ......................................................................................................ix Bab 1 Pendahuluan ............................................................................................. 1 1.1 Pernyataan dan bentuknya .............................................................. 1 1.2 Kuantor dan pernyataan berkuantor .............................................. 6 1.3 Teknik dalam pembuktian ............................................................... 7 1.4 Himpunan ....................................................................................... 11 1.5 Relasi himpunan ............................................................................. 15 Bab 2 Grup ......................................................................................................... 29 2.1 Struktur aljabar .............................................................................. 29 2.2 Grup dan sifat dasar grup .............................................................. 35 2.3 Subgrup dan sifatnya ..................................................................... 41 2.4 Orde grup dan anggota grup .......................................................... 44 Bab 3 Grup Simetri ........................................................................................... 47 3.1 Permutasi ........................................................................................ 47 3.2 Grup simetri .................................................................................... 54 3.3 Grup permutasi............................................................................... 56 Bab 4 Grup Siklis............................................................................................... 63 Bab 5 Grup Faktor ............................................................................................. 69 5.1 Koset dan subgrup normal ............................................................. 69 5.2 Grup faktor ..................................................................................... 75 Bab 6 Homomorfisma Grup............................................................................... 79 6.1 Konsep dasar................................................................................... 79 6.2 Macam-macam homomorfisma beserta sifatnya ........................... 82 6.3 Teorema Dasar Homomorfisma ..................................................... 90 Daftar Pustaka..................................................................................................... 95 v Riwayat Hidup Penulis ....................................................................................... 97 vi DAFTAR TABEL Tabel 1.1 Tabel 1.2 Tabel 1.3 Tabel 1.4 Tabel 2.1 Tabel 2.2 Tabel 2.3 Tabel 2.4 Tabel 3.1 Tabel 3.2 Tabel 3.3 Tabel 3.4 Tabel 3.5 Tabel 3.6 Tabel 3.7 Tabel 3.8 Tabel 3.9 Tabel 5.1 Tabel 5.2 Tabel 6.1 Kebenaran bentuk pernyataan ........................................................... 2 Kebenaran (๐ซ → ๐ฌ) ↔ (¬๐ซ ∨ ๐ฌ) .......................................................... 3 Kebenaran kontrapositif, konvers dan invers ๐ซ → ๐ฌ ......................... 4 Kebenaran ¬๐ซ → ¬๐ฌ ........................................................................... 5 Operasi ∗ pada himpunan {๐, ๐, ๐} ..................................................... 30 Operasi ⊕ pada himpunan bilangan jam 12-an .............................. 30 Operasi โ pada himpunan bilangan jam 12-an .............................. 32 Operasi ⊕ pada grup โค๐ .................................................................... 45 Operasi โ pada grup simetri ๐2 ......................................................... 56 Operasi โ pada grup simetri ๐3 ......................................................... 56 Operasi โ pada grup permutasi segitiga sama kaki ......................... 58 Operasi โ pada grup permutasi bujur sangkar ................................ 59 Operasi โ pada grup permutasi persegi panjang ............................. 60 Operasi โ pada grup permutasi belah ketupat ................................. 60 Operasi โ pada grup permutasi jajar genjang .................................. 61 Operasi โ pada grup permutasi layang-layang ................................ 62 Operasi โ pada grup permutasi trapesium sama kaki ..................... 62 Operasi koset pada grup โค/2โค .......................................................... 76 Operasi pada grup ๐3 /๐ .................................................................... 77 Operasi ⊕ pada โค๐ dan Operasi โ pada 〈(1 2 3)〉 .............................. 84 vii DAFTAR GAMBAR Gambar 1.1 Himpunan bilangan ...................................................................... 12 Gambar 1.2 Partisi himpunan .......................................................................... 14 Gambar 1.3 Pemetaan ๐ผ dari himpunan ๐ ke himpunan ๐ ............................. 20 Gambar 1.4 Pemetaan ๐ฝ dari himpunan ๐ ke himpunan ๐ ............................. 21 Gambar 1.5 Relasi bukan pemetaan ................................................................. 21 Gambar 1.6 Peta subhimpunan ๐ด oleh ๐ผ .......................................................... 22 Gambar 1.7 Pemetaan surjektif dan bukan surjektif ...................................... 23 Gambar 1.8 Pemetaan satu-satu dan bukan satu-satu ................................... 23 Gambar 1.9 Komposisi dua buah pemetaan ๐ dan ๐ ....................................... 24 Gambar 1.10 Contoh komposisi pemetaan ๐ dan ๐........................................... 25 Gambar 3.1 Siklus pada permutasi ๐ dan ๐ ................................................... 52 Gambar 3.2 Simetri pada segitiga sama sisi .................................................... 57 Gambar 3.3 Simetri pada segitiga sama kaki .................................................. 58 Gambar 3.4 Simetri pada segitiga sembarang ................................................. 58 Gambar 3.5 Simetri pada bujur sangkar .......................................................... 59 Gambar 3.6 Simetri pada persegi panjang ....................................................... 59 Gambar 3.7 Simetri pada belah ketupat .......................................................... 60 Gambar 3.8 Simetri pada jajar genjang............................................................ 61 Gambar 3.9 Simetri pada layang-layang .......................................................... 61 Gambar 3.10 Simetri pada trapesium sama kaki ............................................. 62 Gambar 5.1 Koleksi koset kanan di grup ๐บ ...................................................... 73 Gambar 6.1 Isomorfisma ๐ dari โค๐ ke 〈(1 2 3)〉 ................................................. 84 Gambar 6.2 Pemetaan ๐ dari Grup ๐3 ke Grup ๐3 /๐ ....................................... 91 Gambar 6.3 Teorema dasar homomorfisma ..................................................... 92 Gambar 6.4 Isomorfisma ๐ dari โค12 /〈2ฬ 〉 ke โค๐ .................................................. 93 ix BAB 1 PENDAHULUAN Argumen terdiri atas bentuk pernyataan yang disebut dengan premis (hipotesis) dan bentuk pernyataan yang disebut konklusi (kesimpulan). Suatu argumen disebut sah (valid) jika konklusinya benar ketika semua premisnya benar. Keabsahan suatu argumen ditentukan oleh nilai kebenaran pernyataanpernyataan pembentuknya. Untuk itu, diperlukan kemampuan dalam membuktikan pernyataan-pernyataan tersebut. Tentu saja, penguasaan bentuk-bentuk pernyataan dan teknik pembuktiannya diperlukan dalam buku ini. Selain itu, penguasaan konsep himpunan juga diperlukan, mengingat objek kajian dalam buku ini berupa himpunan. 1.1 Pernyataan dan bentuknya Pernyataan merupakan suatu kalimat yang benar atau salah, tetapi tidak keduanya. Suatu pernyataan disebut benar jika nilai kebenaran pernyataan tersebut benar. Sebaliknya, suatu pernyataan disebut salah jika nilai kebenaran pernyataan tersebut salah. Pernyataan disebut juga dengan proposisi dan ditandai menggunakan huruf kapital skrip, seperti: ๐ซ, ๐ฌ, atau โ. Nilai kebenaran benar ditandai menggunakan huruf kapital ๐ sementara nilai kebenaran salah menggunakan huruf kapital ๐น. Contoh 1.1 Kalimat “dua itu bilangan ganjil” adalah pernyataan salah. Sementara itu, kalimat “di manakah kau temukan itu?” bukan pernyataan. Pernyataan dapat dibentuk dari pernyataan-pernyataan yang ada sebelumnya. Pernyataan hasil bentukan ini disebut bentuk pernyataan. Lima bentuk pernyataan dasar diperoleh dengan cara menegasikan atau merangkai pernyataan menggunakan penghubung logika: ‘dan’, ‘atau’, ‘jika maka’ serta ‘jika dan hanya jika’. Bentuk pernyataan lainnya berasal dari lima bentuk dasar tersebut. Misalkan ๐ซ dan ๐ฌ dua buah pernyataan. Bentuk pernyataan “tidak ๐ซ”, ditulis: ¬๐ซ, disebut negasi ๐ซ. Bentuk pernyataan “๐ซ atau ๐ฌ”, ditulis: ๐ซ ∨ ๐ฌ, disebut disjungsi. Bentuk pernyataan “๐ซ dan ๐ฌ” ditulis: ๐ซ ∧ ๐ฌ, disebut konjungsi. Bentuk pernyataan “Jika ๐ซ, maka ๐ฌ”, dapat ditulis: ๐ซ → ๐ฌ, disebut implikasi. Terakhir, bentuk pernyataan “๐ซ jika dan hanya jika ๐ฌ”, dapat ditulis: ๐ซ ↔ ๐ฌ, disebut biimplikasi. Berikut ini disajikan tabel kebenaran lima bentuk pernyataan dasar tersebut. 1 ๐ T T F F ๐ ¬๐ ๐∨๐ ๐∧๐ ๐→๐ T F T T T F F T F F T T T F T F T F F T Tabel 1.1 Kebenaran bentuk pernyataan ๐↔๐ T F F T Pada implikasi, pernyataan ๐ซ disebut hipotesis, anteseden atau premis sementara pernyataan ๐ฌ disebut konklusi. Berikut ini cara menyatakan implikasi. Jika ๐ซ, ๐ฌ; ๐ซ mengakibatkan ๐ฌ; ๐ซ syarat cukup bagi ๐ฌ ( artinya ๐ซ cukup untuk membuat ๐ฌ terjadi); ๐ฌ jika ๐ซ; ๐ฌ syarat perlu bagi ๐ซ ( artinya jika ๐ซ terjadi, maka ๐ฌ harus terjadi); ๐ฌ bilamana ๐ซ. Contoh 1.2 Perhatikan bentuk-bentuk pernyataan berikut ini. Saya lapar; Saya makan; Saya tidak lapar; Saya tidak makan; Saya lapar tetapi tidak makan; Saya makan atau saya lapar; Jika saya lapar, saya makan; Saya lapar jika dan hanya jika saya tidak makan. Nilai kebenaran semua bentuk pernyataan di atas dapat ditentukan dengan menggunakan Tabel 1.1. Contoh 1.3 Perhatikan bentuk pernyataan “Jika kamu telah membereskan kamarmu, maka kamu boleh pergi ke rumah temanmu.”!. Ketika bentuk pernyataan ini diucapkan kepada anak kita, kapan ia merasakan bahwa kita berbohong? Pada contoh, antesedennya “kamu telah membereskan kamarmu” dan konklusinya “kamu boleh pergi ke rumah temanmu.”. Ketika anak kita telah membereskan kamarnya dan kita membolehkannya pergi ke rumah temannya, tentu saja ia akan senang karena kita tidak berbohong. Implikasi tersebut menjadi benar. Jadi, ketika antesedennya benar dan konklusinya juga benar, pernyataan secara keseluruhan menjadi benar. 2 Ketika kita membolehkan anak kita pergi ke rumah temannya meskipun ia belum membereskan kamarnya, kita tidak berbohong. Jadi, pernyataan secara keseluruhan tetap benar meskipun antesedennya salah. Ketika kita tidak membolehkan anak kita pergi ke rumah temannya karena ia belum membereskan kamarnya, kita juga tidak berbohong. Implikasi tersebut menjadi benar. Jadi, ketika antesedennya salah dan konklusinya juga salah, pernyataan secara keseluruhan menjadi benar. Ketika anak kita telah membereskan kamarnya tetapi kita tidak membolehkannya pergi ke rumah temannya, kita berbohong. Jadi, ketika antesedennya benar tetapi konklusinya salah, implikasinya menjadi salah. Suatu bentuk pernyataan disebut tautologi jika nilai kebenaran bentuk pernyataan tersebut pada tabel kebenaran semuanya “T”. Sebaliknya, suatu bentuk pernyataan disebut kontradiksi jika nilai kebenaran bentuk pernyataan tersebut pada tabel kebenaran semuanya “F”. Dua bentuk pernyataan ๐ซ dan ๐ฌ disebut ekuivalen (secara logis), ditulis: ๐ซ ⇔ ๐ฌ, jika ๐ซ ↔ ๐ฌ adalah tautologi. Perlu diperhatikan bahwa tanda ⇔ bukan penghubung logika dan dengan demikian, ๐ซ ⇔ ๐ฌ bukan bentuk pernyataan. Ia hanya bermakna bahwa ๐ซ ↔ ๐ฌ adalah tautologi. Contoh 1.4 Pandang bentuk pernyataan ๐ซ → ๐ฌ dan bentuk pernyataan ¬๐ซ ∨ ๐ฌ. Dua bentuk pernyataan tersebut ekuivalen, ditulis: (๐ซ → ๐ฌ) ⇔ (¬๐ซ ∨ ๐ฌ), mengingat bentuk pernyataan (๐ซ → ๐ฌ) ↔ (¬๐ซ ∨ ๐ฌ) suatu tautologi. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Tabel 1.2. ๐ T T F F ๐ ¬๐ ¬๐ ∨ ๐ ๐ → ๐ (๐ → ๐ ) ↔ (¬๐ ∨ ๐ ) T F T T T F F F F T T T T T T F T T T T Tabel 1.2 Kebenaran (๐ซ → ๐ฌ) ↔ (¬๐ซ ∨ ๐ฌ) Kolom terakhir pada Tabel 1.2 memperlihatkan bahwa bentuk pernyataan (๐ซ → ๐ฌ) ↔ (¬๐ซ ∨ ๐ฌ) suatu tautologi. Sifat 1.1 Dua bentuk pernyataan ๐ซ dan ๐ฌ ekuivalen jika dan hanya jika kedua bentuk pernyataan tersebut memiliki nilai kebenaran yang sama. Contoh 1.5 Perhatikan Tabel 1.2. Nilai kebenaran ¬๐ซ ∨ ๐ฌ pada kolom 4 sama dengan nilai kebenaran ๐ซ → ๐ฌ pada kolom 5. Untuk itu, kedua bentuk pernyataan tersebut ekuivalen. 3 Sifat 1.2 Misalkan ๐ซ dan ๐ฌ dua buah pernyataan. Berikut ini tautologi. 1. ¬(๐ซ ∨ ๐ฌ) ↔ (¬๐ซ ∧ ¬๐ฌ); 2. ¬(๐ซ ∧ ๐ฌ) ↔ (¬๐ซ ∨ ¬๐ฌ); 3. (๐ซ → ๐ฌ) ↔ (¬๐ซ ∨ ๐ฌ); 4. ¬(๐ซ → ๐ฌ) ↔ (๐ซ ∧ ¬๐ฌ); 5. ¬(¬๐ซ) ↔ ๐ซ. Sifat 1.2 dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran. Silakan coba buktikan sebagai bagian latihan. Selanjutnya perhatikan sifat berikut. Sifat 1.3 Misalkan ๐ซ, ๐ฌ dan โ tiga buah pernyataan. Berikut ini tautologi. 1. Sifat ๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐ข๐ก๐๐ a. (๐ซ ∧ (๐ฌ ∨ โ)) ↔ ((๐ซ ∧ ๐ฌ) ∨ (๐ซ ∧ โ)); b. (๐ซ ∨ (๐ฌ ∧ โ)) ↔ ((๐ซ ∨ ๐ฌ) ∧ (๐ซ ∨ โ)) 2. Sifat ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ก๐๐ a. (๐ซ ∨ (๐ฌ ∨ โ)) ↔ ((๐ซ ∨ ๐ฌ) ∨ โ); b. (๐ซ ∧ (๐ฌ ∧ โ)) ↔ ((๐ซ ∧ ๐ฌ) ∧ โ) 3. Sifat ๐๐๐๐ข๐ก๐๐ก๐๐ a. (๐ซ ∨ ๐ฌ) ↔ (๐ฌ ∨ ๐ซ); b. (๐ซ ∧ ๐ฌ) ↔ (๐ฌ ∧ ๐ซ). Dengan mengacu pada Sifat 1.2, diperoleh ¬(๐ซ ∨ ๐ฌ) ⇔ (¬๐ซ ∧ ¬๐ฌ), ¬(๐ซ ∧ ๐ฌ) ⇔ (¬๐ซ ∨ ¬๐ฌ), (๐ซ → ๐ฌ) ⇔ (¬๐ซ ∨ ๐ฌ), ¬(๐ซ → ๐ฌ) ⇔ (๐ซ ∧ ¬๐ฌ) dan ¬(¬๐ซ) ⇔ ๐ซ. Sementara itu, dari Sifat 1.3 diperoleh, (๐ซ ∧ (๐ฌ ∨ โ)) ⇔ ((๐ซ ∧ ๐ฌ) ∨ (๐ซ ∧ โ)), (๐ซ ∨ (๐ฌ ∧ โ)) ⇔ ((๐ซ ∨ ๐ฌ) ∧ (๐ซ ∨ โ)), (๐ซ ∨ (๐ฌ ∨ โ)) ⇔ ((๐ซ ∨ ๐ฌ) ∨ โ), (๐ซ ∧ (๐ฌ ∧ โ)) ⇔ ((๐ซ ∧ ๐ฌ) ∧ โ), (๐ซ ∨ ๐ฌ) ⇔ (๐ฌ ∨ ๐ซ) dan (๐ซ ∧ ๐ฌ) ⇔ (๐ฌ ∧ ๐ซ). Misalkan ๐ซ dan ๐ฌ dua pernyataan. Bentuk pernyataan ¬๐ฌ → ¬๐ซ disebut kontrapositif implikasi ๐ซ → ๐ฌ. Bentuk pernyataan ๐ฌ → ๐ซ disebut konvers implikasi ๐ซ → ๐ฌ. Sementara itu, bentuk pernyataan ¬๐ซ → ¬๐ฌ disebut invers implikasi ๐ซ → ๐ฌ. Jelas implikasi dan kontrapositifnya ekuivalen, implikasi dan konversnya tidak ekuivalen, sementara implikasi dan inversnya juga tidak ekuivalen. Silakan perhatikan tabel kebenaran berikut. ๐ T T F F Tabel 1.3 ๐ ๐→๐ ¬๐ → ¬๐ ¬๐ → ¬๐ ๐ →๐ T T T T T F F T F T T T F T F F T T T T Kebenaran kontrapositif, konvers dan invers ๐ซ → ๐ฌ Contoh 1.6 Implikasi ๐ซ → ๐ฌ dapat dibentuk menggunakan sembarang pernyataan ๐ซ dan ๐ฌ tanpa harus saling berkait satu sama lain. Misalnya, “jika 4 2 + 3 = 5, saya akan berlibur ke Bali”. Implikasi tersebut tidak pernah ditemukan dalam bahasa. Contoh 1.7 Perhatikan kalimat “jika saya selesai mengerjakan tugas lebih awal, saya akan menjemputmu sebelum makan siang”. Kalimat tersebut berbentuk implikasi ๐ซ → ๐ฌ dengan ๐ซ “saya selesai mengerjakan tugas lebih awal” dan ๐ฌ “saya akan menjemputmu sebelum makan siang.” Interpretasi umum yang menyatakan bahwa bentuk ¬๐ซ → ¬๐ฌ: “jika saya belum selesai mengerjakan tugas lebih awal, saya tidak akan menjemputmu sebelum makan siang” adalah benar, bukan disebabkan oleh implikasi ๐ซ → ๐ฌ. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Tabel 1.4. Pada tabel ini terlihat bahwa ¬๐ซ → ¬๐ฌ โ ๐ซ → ๐ฌ. Bahasa memang tidak setepat logika. ๐ T T F F ๐ T F T F ¬๐ ¬๐ ๐→๐ F F T F T F T F T T T T Tabel 1.4 Kebenaran ¬๐ซ → ¬๐ฌ ¬๐ → ¬๐ T T F T Latihan 1.1 1. Apakah kalimat berikut proposisi? a. Jumlah dua bilangan prima adalah genap. b. 3 + 4 = 7. c. ๐ฅ + ๐ฆ ≤ 10. d. Apakah sedang hujan? e. Ayo kemari! f. ๐ bilangan prima. g. Roti terbuat dari singkong. 2. Negasikan bentuk pernyataan berikut! a. Jika saya muslim, saya salat lima waktu. b. Jika suatu bilangan tidak terbagi oleh dua, bilangan tersebut bukan genap. c. Hidup sebagai muslim atau mati syahid. d. Saya seorang mahasiswa sementara ia bukan. e. Saya muslim jika dan hanya jika saya melaksanakan rukun iman dan rukun Islam. 3. Carilah kontrapositif, konvers dan invers dari implikasi berikut. a. Jika saya muslim, saya salat lima waktu. b. Jika suatu bilangan tidak terbagi oleh dua, bilangan tersebut bukan genap. 4. Pandang implikasi ๐ซ → ๐ฌ. a. Tulis negasi dari konvers implikasi tersebut dalam bentuk yang sesederhana mungkin! 5 b. Tulis negasi dari kontrapositif implikasi tersebut dalam bentuk yang sesederhana mungkin! c. Tulis negasi dari invers implikasi tersebut dalam bentuk yang sesederhana mungkin! 5. Lengkapi implikasi berikut ini jika memang diperlukan sehingga nilai kebenarannya dapat ditentukan! Selanjutnya tentukan nilai kebenarannya menggunakan tabel kebenaran. a. Jika ๐ฅ ≥ 2 maka ๐ฅ 2 ≥ 4. b. Jika ๐ฅ 2 ≥ 4 maka ๐ฅ ≥ 2. c. Jika ๐ฅ 2 ≤ 4 maka ๐ฅ ≤ 2. d. Jika (๐ฅ + ๐ฅ)(๐ฅ − ๐ฅ) = ๐ฅ(๐ฅ − ๐ฅ) maka ๐ฅ = 0.4. 1.2 Kuantor dan pernyataan berkuantor Dalam kajian matematika, untuk menentukan benar salahnya suatu pernyataan, perlu mengetahui terlebih dahulu apakah objek yang sedang dibicarakan tersebut sembarang (bersifat umum) atau tertentu (khusus). Ungkapan “untuk setiap”, “untuk semua”, “untuk suatu”, “ada” dan “terdapat” disebut kuantor. Khususnya, ungkapan “untuk setiap” dan “untuk semua” disebut kuantor umum (universal), ditulis: ∀ sementara ungkapan “untuk suatu”, “ada” dan “terdapat” disebut kuantor khusus, ditulis: ∃. Keberadaan kuantor membuat setiap pernyataan menjadi jelas. Misalkan ๐ฅ objek yang sedang dibicarakan dan ๐ซ suatu pernyataan yang memuat ๐ฅ. Pernyataan ๐ซ ditulis ๐ซ(๐ฅ). Dengan memberikan kuantor umum, pernyataan ๐ซ(๐ฅ) berubah menjadi: “∀๐ฅ, ๐ซ(๐ฅ)” dibaca: “untuk setiap ๐ฅ, ๐ฅ memiliki sifat ๐ซ” atau “untuk setiap ๐ฅ, berlaku ๐ซ(๐ฅ)”. Jika pernyataan ๐ซ(๐ฅ) diberikan kuantor khusus, maka diperoleh pernyataan: “∃๐ฅ, ๐ซ(๐ฅ)” dibaca: “untuk suatu ๐ฅ, ๐ฅ memiliki sifat ๐ซ” atau “untuk suatu ๐ฅ, berlaku ๐ซ(๐ฅ)”. Negasi dari pernyataan “∀๐ฅ, ๐ซ(๐ฅ)” adalah “∃๐ฅ, ¬๐ซ(๐ฅ)” sementara negasi pernyataan: “∃๐ฅ, ๐ซ(๐ฅ)” adalah “∀๐ฅ, ¬๐ซ(๐ฅ)”. Contoh 1.8 Pandang pernyataan “setiap jeruk rasanya asam”. Bagaimana dengan negasi pernyataan ini? Pernyataan “tidak setiap jeruk rasanya asam” merupakan negasinya, tetapi kurang bermanfaat. Lebih baik dengan menyatakan “beberapa jeruk tidak asam” sebagai negasinya, karena lebih bermanfaat. Selanjutnya pandang pernyataan “Ada burung berwarna merah”. Negasi pernyataan tersebut adalah “tidak ada burung berwarna merah”. Contoh 1.9 Pandang kalimat “Mahasiswa yang berprestasi pantang menyontek”. Misalkan ๐ฅ menyatakan mahasiswa, ๐ซ(๐ฅ) menyatakan ๐ฅ berprestasi dan ๐ฌ(๐ฅ) menyatakan ๐ฅ menyontek. Kalimat ini menjadi “untuk setiap ๐ฅ, jika ๐ซ(๐ฅ) maka ¬๐ฌ(๐ฅ)”. Untuk menegasikannya, perhatikan langkahlangkah berikut. 6 ¬ (∀๐ฅ, (๐ซ(๐ฅ) → ¬๐ฌ(๐ฅ))) ⇔ ∃๐ฅ, ¬(๐ซ(๐ฅ) → ¬๐ฌ(๐ฅ)) ⇔ ∃๐ฅ, ¬(¬๐ซ(๐ฅ) ∨ ¬๐ฌ(๐ฅ)) ⇔ ∃๐ฅ, (๐ซ(๐ฅ) ∧ ๐ฌ(๐ฅ)) Negasi tersebut terlihat pada langkah terakhir yaitu ∃๐ฅ, (๐ซ(๐ฅ) ∧ ๐ฌ(๐ฅ)), artinya terdapat mahasiswa yang berprestasi tetapi menyontek. Bisa juga diartikan ada mahasiswa berprestasi yang nyontek. Ada hal penting yang perlu diperhatikan di sini. Pada kalimat “Mahasiswa yang berprestasi pantang menyontek”, kuantor tidak diberikan secara jelas. Ketika menemukan kalimat yang seperti itu, berikanlah kuantor umum. Latihan 1.2 1. Pandang kalimat “untuk setiap ๐ฅ memenuhi ๐ซ(๐ฅ) → ๐ฌ(๐ฅ)”. a. Tuliskan konversi kalimat tersebut? b. Tuliskan inversi kalimat tersebut? c. Tuliskan kontrapositif kalimat tersebut? 2. Negasikan kalimat-kalimat berikut! a. Untuk semua ๐ฅ bilangan riil, ๐ฅ 2 ≥ 0. b. Setiap bilangan bulat ganjil tidak sama dengan nol. c. Ada ๐ฅ sehingga ๐(๐ฅ) > 0. d. Untuk setiap ๐ฅ ada ๐ฆ demikian sehingga ๐ฅ๐ฆ = 1. e. Ada ๐ฆ demikian sehingga ๐ฅ๐ฆ = 0 untuk setiap x. f. Jika ๐ฅ ≠ 0, maka ada ๐ฆ demikian sehingga ๐ฅ๐ฆ = 1. g. Jika ๐ฅ > 0, maka ๐ฅ๐ฆ 2 ≥ 0 untuk setiap ๐ฆ. h. Untuk setiap ๐ > 0, terdapat ๐ฟ > 0 sehingga jika ๐ฅ bilangan real yang memenuhi |๐ฅ − 1| < ๐ฟ, maka |๐ฅ 2 − 1| < ๐. i. Untuk setiap bilangan real ๐, terdapat bilangan real ๐ sehingga |๐(๐)| > ๐ untuk semua ๐ > ๐. 3. Putuskan apakah pernyataan (3) benar, jika pernyataan (1) dan (2) semuanya benar, atau sebaliknya. Sertai jawaban dengan alasan yang tepat dan benar. Ketiga pernyataan tersebut adalah (1) Jika ๐ bilangan asli, maka ada bilangan real ๐ sehingga ๐ > ๐; (2) setiap bilangan real ๐ kurang dari ๐ก; (3) bilangan real ๐ก bukan bilangan asli. 1.3 Teknik dalam pembuktian Pengembangan topik matematika secara formal dimulai dari konsep primitif, suatu konsep yang tidak memerlukan definisi, dan aksioma. Konsep primitif dianggap benar. Aksioma merupakan pernyataan matematis yang digunakan sebagai titik awal untuk menurunkan pernyataan lain secara logis. Konsep primitif dan aksioma digunakan untuk mendefinisikan konsep baru dan 7 membentuk teorema, pernyataan puncak. Untuk membuktikan teorema kadang diperlukan pernyataan yang disebut lemma. Pernyataan yang dihasilkan dari teorema disebut akibat. Dalam buku ini pernyataan lema, teorema dan akibat disebut sifat. Hampir semua sifat dinyatakan dalam bentuk implikasi. Sifat yang tidak dinyatakan dalam bentuk implikasi dapat dirubah ke dalam bentuk implikasi yang ekuivalen. Perubahan bentuk mestinya mengacu pada aturan yang sudah dibahas pada subbab sebelumnya. Untuk menentukan kebenaran suatu sifat, diperlukan teknik-teknik dalam pembuktiannya. Ada enam teknik yang biasa digunakan dalam pembuktian, yaitu: metode pembuktian langsung, metode kontraposisi, pembuktian dengan kontradiksi, pembuktian dengan induksi, metode konstruksi dan pembuktian pernyataan biimplikasi. Ada beberapa langkah dalam menuliskan bukti pernyataan. Pertama kenali dahulu masalahnya sehingga menjadi paham. Langkah berikutnya merancang rencana dan merealisasikannya dengan menuliskan bukti tersebut. Terakhir lihat kembali bukti yang telah ditulis tersebut sehingga tidak ditemukan lagi kesalahan. Jika bukti yang ditulis tersebut telah benar, tambahkan kotak kecil โ pada akhir bukti. Ada juga yang menggunakan ๐. ๐ธ. ๐ท sebagai pengganti โ. Kata “๐. ๐ธ. ๐ท” sendiri merupakan singkatan dari quod erat demonstrandum, yang berarti “telah didemonstrasikan (ditunjukkan)”. Metode Pembuktian Langsung. Metode pembuktian ini sangat bergantung pada kaidah logika dasar dalam penarikan kesimpulan yang disebut modus ponen: jika โ suatu pernyataan yang bernilai benar dan begitu juga dengan bentuk implikasi “โ โถ ๐ฎ”, maka pernyataan ๐ฎ bernilai benar. Untuk menunjukkan bentuk pernyataan implikasi “jika ๐ซ maka ๐ฌ” benar, menggunakan pembuktian langsung, dimulai dengan mengasumsikan premis atau hipotesis ๐ซ benar. Selanjutnya temukan sederetan pernyataan ๐ซ1 , ๐ซ2 , โฏ , ๐ซn−1 , ๐ซn dan pastikan setiap implikasi ๐ซ โถ ๐ซ1 , ๐ซ1 โถ ๐ซ2 , ๐ซ2 โถ ๐ซ3 , โฏ, ๐ซn−1 โถ ๐ซn dan ๐ซn โถ ๐ฌ adalah benar. Dengan menggunakan kaidah modus ponen, diperoleh konklusi ๐ฌ benar. Sederetan implikasi tadi tidak lain adalah informasi yang diberikan dalam pernyataan implikasi yang akan dibuktikan, baik tersirat maupun tidak. Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah langkahlangkah pembuktian Sifat 1.4. Sifat 1.4 Misalkan ๐ฅ bilangan bulat. Jika ๐ฅ ganjil maka ๐ฅ 2 juga ganjil. Sebelum proses pembuktian dimulai, kenali dahulu mana hipotesis dan konklusinya. Hipotesis pada Sifat 1.4 ialah “๐ฅ bilangan bulat ganjil”. Pembuktian dimulai dari hipotesis itu. Selanjutnya, apa yang dimaksud dengan bilangan bulat ganjil? Suatu bilangan bulat ๐ฅ disebut ganjil jika ada suatu bilangan bulat ๐ sehingga ๐ฅ = 2๐ + 1. Mengingat definisi yang diperlukan telah 8 diketahui, masalah dalam pembuktian telah dikuasai sehingga nyaman untuk melanjutkannya. Apa konklusi yang hendak diperlihatkan? Konklusi tersebut ialah “๐ฅ 2 bilangan bulat ganjil” dan tentunya dapat dipahami mengingat definisi bilangan bulat ganjil telah dipahami. Bukti. Ambil ๐ฅ sembarang bilangan bulat ganjil. Tentu saja pengambilan tersebut mengakibatkan adanya bilangan bulat ๐ sehingga ๐ฅ = 2๐ + 1. Untuk itu, ๐ฅ 2 = (2๐ + 1)2 = (2๐)2 + 4๐ + 1 = 2(2๐2 + 2๐) + 1. Dengan memisalkan ๐ = 2๐2 + 2๐, diperoleh ๐ฅ 2 = 2๐ + 1 dan ๐ bilangan bulat. Akibatnya, ๐ฅ 2 juga ganjil. โ Metode Kontraposisi. Misalkan akan menunjukkan pernyataan implikasi “jika ๐ซ maka ๐ฌ” benar. Mengingat setiap implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya, dengan metode ini, kita tinggal membuktikan “jika ¬๐ฌ maka ¬๐ซ” benar. Jika terbukti benar, kesimpulannya bahwa implikasi “jika ๐ซ maka ๐ฌ” juga benar. Sebagai contoh, pembuktian Sifat 1.4, menggunakan metode kontraposisi, dilakukan dengan membuktikan pernyataan kontraposisinya: “Misalkan ๐ฅ bilangan bulat. Jika ๐ฅ 2 genap maka ๐ฅ genap”. Dengan membuktikan pernyataan ini benar, pernyataan “Misalkan ๐ฅ bilangan bulat. Jika ๐ฅ ganjil maka ๐ฅ 2 ganjil” juga benar. Pembuktian dengan Kontradiksi. Misalkan akan menunjukkan pernyataan implikasi “jika ๐ซ maka ๐ฌ” benar, menggunakan pembuktian dengan kontradiksi. Pembuktian menggunakan cara ini, dimulai dengan mengasumsikan premis atau hipotesis ๐ซ benar dan menerapkan kalimat pembuka dengan mengasumsikan bahwa ¬๐ฌ benar. Selanjutnya temukan pernyataan yang menunjukan bahwa ¬๐ฌ → ๐ฎ dengan ๐ฎ suatu pernyataan yang salah, sebagai pertentangan. Akibatnya, pernyataan ¬๐ฌ haruslah salah. Pernyataan ¬๐ฌ salah terjadi tepatnya saat pernyataan ๐ฌ benar. Untuk itu, pernyataan ๐ฌ benar dan pernyataan “jika ๐ซ maka ๐ฌ” terbukti benar. Bukti Sifat 1.5 menggunakan Pembuktian dengan kontradiksi. Sifat 1.5 √2 bukan bilangan rasional. Sebelum memulai pembuktian, pastikan dahulu telah mengetahui semua maksud kata-kata yang digunakan, apa asumsi yang digunakan dan apa yang digunakan untuk membuktikan. Bilangan rasional adalah bilangan yang berbentuk ๐๐ dengan ๐ dan ๐ keduanya bilangan bulat dan ๐ tak nol. Kita akan menunjukkan bahwa √2 tidak berbentuk seperti itu, yakni tidak ada ๐ dan ๐ dengan ๐ ≠ 0 sehingga √2 = ๐๐. Buat asumsi √2 = ๐๐ dengan ๐ ≠ 0. Lihat apa yang terjadi!. Ini ide dibalik pembuktian menggunakan kontradiksi. 9 Bukti. Andaikan √2 bilangan rasional. Akibatnya, ada ๐ dan ๐ keduanya bilangan bulat dan ๐ tak nol yang memenuhi √2 = ๐๐. Jika faktor persekutuan bilangan bulat ๐ dan ๐ tidak ada, maka ia memenuhi √2๐ = ๐. Dengan memberikan kuadrat pada kedua ruas, hasil tadi berubah menjadi 2๐ 2 = ๐2 yang mengakibatkan ๐2 genap. Menurut Sifat 1.4, ๐ harus genap. Untuk itu, ada ๐ bilangan bulat sehingga ๐ = 2๐ dan diperoleh 2๐ 2 = ๐2 = (2๐)2 = 4๐2 . Dengan membagi kedua ruas oleh dua, diperoleh ๐ 2 = 2๐2 yang artinya ๐ 2 genap. Kembali gunakan Sifat 1.4, sehingga diperoleh bahwa ๐ juga genap. Jadi, faktor persekutuan ๐ dan ๐ adalah 2. Pernyataan tersebut kontradiksi dengan pernyataan “๐ dan ๐ tidak memiliki faktor persekutuan”. Artinya, pengandaian bahwa “√2 bilangan rasional” pasti salah dan dengan demikian bukti telah lengkap. โ Pembuktian dengan Induksi. Pernyataan ๐ซ(๐) benar untuk setiap ๐ bilangan cacah jika memenuhi 1. ๐ซ(0) adalah pernyataan yang benar; dan 2. Jika pernyataan ๐ซ(๐) benar maka pernyataan ๐ซ(๐ + 1) juga benar. Pembuktian menggunakan induksi yaitu pembuktian yang dilakukan dengan cara menunjukan dua sifat di atas. Metode Konstruksi. Metode ini lebih tepat untuk pembuktian pernyataan berkuantor, khususnya untuk kuantor khusus (eksistensial). Untuk menunjukkan keberadaan, kita perlu mengkonstruksi dengan cara mencari, memilih, membentuk, mengira dan lain sebagainya. Meskipun contoh cukup untuk menunjukan keberadaan suatu pernyataan, tapi contoh tidak akan pernah bisa menunjukkan kebenaran suatu pernyataan yang memuat kuantor universal baik secara langsung maupun tidak langsung. Untuk menyangkal suatu pernyataan cukup dengan memberikan contoh penyangkal. Pembuktian Pernyataan Biimplikasi. Untuk membuktikan pernyataan biimplikasi ”๐ซ jika dan hanya jika ๐ฌ” benar, kita harus membuktikan implikasi ”jika ๐ซ maka ๐ฌ” dan ”jika ๐ฌ maka ๐ซ” semuanya benar. Pernyataan berbentuk: “Pernyataan berikut ekuivalen (PBE): ๐ซ, ๐ฌ, โ, ๐ฎ” disebut pernyataan multiimplikasi dan berarti setiap salah satu dari pernyataan ๐ซ, ๐ฌ, โ atau ๐ฎ mengakibatkan setiap salah satu yang lain. Penulisan bentuk ini kependekan dari ๐ซ โท ๐ฌ, ๐ซ โท โ, ๐ซ โท ๐ฎ, ๐ฌ โท โ, ๐ฌ โท ๐ฎ dan โ โท ๐ฎ. Untuk membuktikan bentuk pernyataan seperti ini cukup dengan membuktikan: ๐ซ โถ ๐ฌ dan ๐ฌ โถ โ dan โ โถ ๐ฎ dan ๐ฎ โถ ๐ซ. Latihan 1.3 1. Tunjukkan bahwa jika ๐ dan ๐ dua buah bilangan bulat tak nol, maka ๐2 − ๐2 ≠ 1! 2. Berikan contoh penyangkal untuk setiap pernyataan berikut. 10 a. b. c. d. Setiap bilangan ganjil itu prima. Setiap bilangan prima itu ganjil. Untuk setiap bilangan real ๐ฅ, memenuhi ๐ฅ 2 > 0. 1 Untuk setiap bilangan real ๐ฅ ≠ 0, memenuhi ๐ฅ > 0. 3. Misalkan ๐ suatu bilangan bulat. Tunjukan bahwa jika ๐2 habis dibagi 3, maka ๐ habis dibagi 3! 4. Tunjukkan pernyataan berikut ini benar! a. √3 bukan bilangan rasional! b. Akar bilangan bulat tidak dapat berbentuk 3๐ + 2 untuk suatu ๐ bilangan bulat! c. sin2 ๐ฅ ≤ |sin ๐ฅ| untuk semua ๐ฅ ∈ โ! d. Jika ๐ฅ dan ๐ฆ dua buah bilangan real maka |๐ฅ + ๐ฆ| ≤ |๐ฅ| + |๐ฆ|! 5. Misalkan ๐ bilangan asli, ๐0 , ๐1 , โฏ , ๐๐ ∈ โ dan ๐๐ ≠ 0. Tunjukan bahwa suku banyak ๐(๐ฅ) = ๐๐ ๐ฅ ๐ + ๐๐−1 ๐ฅ ๐−1 + โฏ + ๐0 memiliki hampir ๐ buah akar yang berbeda! 1.4 Himpunan Keberadaan definisi yang baik sangat diperlukan dalam mengkaji konsep apa pun sebagai pendukung keberadaan konsep tersebut. Akan tetapi, dengan adanya keterbatasan bahasa, tidak memungkinkan untuk mendefinisikan semua konsep. Untuk itu, muncul istilah konsep primitif. Konsep ini tidak memerlukan definisi dalam memahaminya dan dijadikan sebagai titik awal dalam mendefinisikan konsep lain dalam kajian matematika. Konsep himpunan merupakan salah satunya. Untuk membantu memahami dan menggunakan konsep himpunan, perhatikan fakta berikut ini. 1. Hanya ada satu himpunan tanpa anggota, yakni himpunan hampa atau himpunan kosong, ditulis: ∅. 2. Misalkan ๐ suatu himpunan yang memiliki anggota. Tanda ๐ ∈ ๐, dibaca: “unsur ๐ anggota ๐” atau “๐ anggota ๐” atau “unsur a di ๐”, atau ”๐ di ๐” atau “unsur ๐ milik ๐”, atau “๐ milik ๐”. Sementara itu, tanda ๐ ∉ ๐, dibaca: “unsur ๐ bukan anggota ๐” atau “๐ bukan anggota ๐” atau “unsur a tidak di ๐”, atau”๐ tidak di ๐” atau “unsur ๐ bukan milik ๐”, atau “๐ bukan milik ๐” 3. Himpunan dinyatakan dengan mendaftarkan anggotanya atau dengan menuliskan sifat anggotanya. Saat menyatakan himpunan dengan mendaftarkan anggotanya, setiap anggota dipisahkan dengan tanda koma dan diapit oleh tanda kurung kurawal buka dan tutup, contohnya {1, 2, 3}. Sementara itu, untuk menyatakan himpunan dengan menuliskan sifat anggotanya. Misalkan ๐ซ(๐ฅ) sifat unsur ๐ฅ. Himpunan semua unsur ๐ฅ yang mempunyai sifat ๐ซ(๐ฅ) atau himpunan semua ๐ฅ yang memenuhi ๐ซ(๐ฅ), ditulis: { ๐ฅ | ๐ซ(๐ฅ)}. Contohnya: {๐ฅ | ๐ฅ bilangan asli kurang dari 4 }. 11 4. Himpunan selalu terdefinisi dengan baik. Artinya, jika ๐ suatu himpunan dan ๐ suatu unsur maka berlaku ๐ ∈ ๐ atau ๐ ∉ ๐. Contohnya, misalkan ๐ himpunan bilangan prima. Tentu saja setiap kali mengambil sembarang bilangan, bilangan tersebut masuk ke kelompok prima atau bukan prima dan tidak ada yang tidak masuk ke salah satunya. Berikut ini beberapa tanda himpunan yang sudah umum dan sebagian digunakan dalam buku ini. : Himpunan Bilangan Cacah : { 0,1, 2, โฏ } โค : Himpunan Bilangan Bulat : {โฏ , −2, −1, 0, 1, 2, โฏ } 2โค : Himpunan Bilangan Bulat Genap : {2๐ฅ โฃ ๐ฅ ∈ โค} = {โฏ , −2, 0, 2, โฏ } 2โค + 1 : Himpunan Bilangan Bulat Ganjil : {2๐ฅ + 1 โฃ ๐ฅ ∈ โค} = {โฏ , −3 − 1, 1, 3, โฏ } + โค : Himpunan Bilangan Asli (Bulat Positif ) : {๐ฅ |๐ฅ ∈ โค, ๐ฅ > 0} = {1, 2, โฏ } − โค : Himpunan Bilangan Bulat Negatif : {๐ฅ |๐ฅ ∈ โค, ๐ฅ < 0} = {−1, −2, โฏ } โ : Himpunan Bilangan Rasional (Pecahan) : {๐๐ | ๐, ๐ ∈ โค, ๐ ≠ 0} โ : Himpunan Bilangan Real : Titik-titik pada garis lurus โ : Himpunan Bilangan Kompleks : {๐ + ๐๐ | ๐, ๐ ∈ โ} โ Gambar 1.1 Himpunan bilangan Misalkan ๐ด dan ๐ต dua buah himpunan. Irisan kedua himpunan tersebut, ditulis: ๐ด ∩ ๐ต, tidak lain himpunan yang setiap anggotanya berada di kedua himpunan tersebut. Dengan kata lain, ๐ด ∩ ๐ต = {๐ฅ โฃ ๐ฅ ∈ ๐ด ∧ ๐ฅ ∈ ๐ต}. Sementara untuk gabungannya, ditulis: ๐ด ∪ ๐ต, tidak lain himpunan yang anggotanya berada di himpunan ๐ด atau ๐ต. Untuk gabungan ditulis: ๐ด ∪ ๐ต = {๐ฅ โฃ ๐ฅ ∈ ๐ด ∨ ๐ฅ ∈ 12 ๐ต}. Kedua konsep itu akan digunakan pada buku ini, misalnya untuk konsep saling lepas dan partisi himpunan. Misalkan ๐ suatu himpunan. Bilangan |๐|, lebih dikenal dengan istilah kardinal, menyatakan banyaknya anggota ๐. Himpunan ๐ disebut hingga jika memuat ๐ buah anggota berbeda, ditulis: |๐| = ๐, untuk suatu ๐ ∈ โ. Jika sebaliknya, himpunan ๐ disebut tak hingga. Dua himpunan A dan B disebut ekuivalen jika kedua himpunan tersebut kardinalnya sama besar, ditulis: |๐ด| = |๐ต|. Dua himpunan A dan B disebut saling lepas (terpisah) jika tidak beririsan, ditulis: ๐ด ∩ ๐ต = ∅. Definisi 1.1 Misalkan ๐ dan ๐ป dua buah himpunan. Himpunan ๐ป disebut subhimpunan ๐ jika setiap anggota ๐ป juga menjadi anggota ๐, ditulis: ๐ป ⊆ ๐ atau ๐ ⊇ ๐ป. penulis lain menyebut subhimpunan di dalam bukunya dengan nama himpunan bagian atau subset. Ketika ๐ป menjadi subhimpunan ๐, kita dapat mengatakan himpunan ๐ป termuat di himpunan ๐. Setiap himpunan merupakan subhimpunan atas dirinya sendiri. Khusus bagi himpunan hampa, selain menjadi subhimpunan atas dirinya, ia juga subhimpunan semua himpunan. Misalkan ๐ suatu himpunan. Semua subhimpunan ๐ berjumlah 2|๐| . Misalkan ๐ ⊆ ๐ dan ๐ ≠ ∅. Subhimpunan ๐ disebut subhimpunan sejati jika ia selain subhimpunan ๐, yakni ๐ ≠ ๐. Sebaliknya, himpunan hampa dan ๐ itu sendiri disebut dengan subhimpunan tak sejati. Contoh 1.10. Misalkan ๐ = {1, 2, 3}. Kita memiliki subhimpunan ๐ sebanyak 8 buah, yaitu: ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} dan {1, 2, 3}. Subhimpunan sejatinya adalah {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3} dan {2, 3}. Koleksi himpunan adalah suatu himpunan yang beranggotakan himpunan. Untuk membedakannya dengan himpunan secara umum, koleksi himpunan dapat ditulis dengan menggunakan huruf kapital fraktur atau dengan memadukan huruf kapital dan tanda baca lainnya seperti angka. Perhatikan Contoh 1.10. Anggota koleksi subhimpunan sejati dari ๐ adalah {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3} dan {2, 3}. Koleksi subhimpunan ini ditulis: ๐ = {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} Himpunan kuasa atas ๐, ditulis: 2๐ , adalah koleksi semua subhimpunan ๐. Jika himpunan ๐ seperti disebutkan pada Contoh 1.10, maka diperoleh himpunan kuasa 2๐ = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, ๐}. 13 Banyaknya anggota himpunan kuasa atas ๐ , ditulis: |2๐ |, adalah 2|๐| . Dengan menerapkannya pada koleksi 2๐ , kita peroleh |2๐ | = 2|๐| = 23 = 8. Definisi 1.2 Misalkan ๐ suatu himpunan tak hampa dan ๐ koleksi subhimpunan ๐. Koleksi ๐ disebut partisi himpunan ๐ jika memenuhi tiga syarat berikut. 1. Untuk setiap ๐ด ∈ ๐, ๐ด tidak hampa, 2. โ๐ด∈๐ ๐ด = ๐, dan 3. untuk setiap ๐ด, ๐ต ∈ ๐, jika ๐ด ∩ ๐ต ≠ ∅ maka ๐ด = ๐ต. Ketika koleksi ๐ membentuk partisi, setiap anggota ๐ disebut sel partisi. Himpunan disebut terpartisi (terbagi) menjadi sel-sel partisi jika partisi himpunan tersebut tidak hampa. Misalkan ๐ partisi himpunan ๐ dan |๐| = ๐. Dalam hal ini, himpunan ๐ terpartisi menjadi ๐ buah sel partisi. Untuk memahami Definisi 1.2, mari kita perhatikan contoh berikut ini. Contoh 1.11. Misalkan ๐ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Koleksi subhimpunan, ๐ = {{1, 2, 5}, {3, 6, 7}, {4}} tidak lain partisi himpunan ๐. Partisi ๐ mengakibatkan himpunan ๐ ini terbagi menjadi tiga buah himpunan bagian yang terpisah (saling lepas), yaitu: {1, 2, 5}, {3, 6, 7} dan {4}. Himpunan bagian {1, 2, 5}, {3, 6, 7} dan {4} disebut dengan sel partisi. Akan tetapi, koleksi subhimpunan {{1, 2, 4, 5}, {7}, {3, 4, 6}} bukan partisi himpunan ๐ mengingat 4 berada pada kedua anggota koleksi ini. Begitu pun dengan koleksi subhimpunan {{1, 2, 5}, {7}, {3, 6}} mengingat 4 tidak masuk ke dalam anggota mana pun dalam koleksi tersebut. Dengan demikian, setiap sel partisi selalu saling lepas. Berikut ini ilustrasi untuk Contoh 1.11. Gambar 1.2 Partisi himpunan Pada Gambar 1.2(a), ketiga sel terlihat saling lepas, sedangkan pada Gambar 1.2(b), tampak adanya irisan. Garis putus-putus pada gambar di atas menunjukkan irisan kedua sel. 14 Contoh 1.12. Misalkan ๐ด๐ = [−๐, ๐] untuk setiap ๐ ∈ โ. Koleksi ๐ = {๐ด๐ |๐ ∈ โ} tidak membentuk partisi himpunan โ. Akan tetapi, jika ๐ต๐ = [๐, ๐ + 1) maka koleksi ๐ = {๐ต๐ |๐ ∈ โค} membentuk partisi himpunan โ. Koleksi ๐ bukan partisi himpunan โ mengingat syarat (3) tidak terpenuhi: ๐ด1 ∩ ๐ด2 ≠ ∅ padahal ๐ด1 ≠ ๐ด2 . Sebaliknya, koleksi ๐ memenuhi semua syarat partisi, seperti uraian berikut ini. Jelas ๐ต๐ ≠ ∅ untuk semua ๐ ∈ โค. Perhatikan bahwa โ ๐ต∈๐ ๐ต=โ ๐ต๐ = โ ๐∈โค ๐∈โค [๐, ๐ + 1) = โ Terakhir, ambil ๐ต๐ , ๐ต๐ ∈ ๐ dengan ๐ต๐ ∩ ๐ต๐ ≠ ∅. Hal ini mengakibatkan [๐, ๐ + 1) ∩ [๐, ๐ + 1) ≠ ∅. Mengingat ๐ dan ๐ semuanya bilangan bulat, selang [๐, ๐ + 1) dan [๐, ๐ + 1) pasti saling lepas atau sama. Kesimpulannya, ๐ต๐ = [๐, ๐ + 1) = [๐, ๐ + 1) = ๐ต๐ . Latihan 1.4 1. Misalkan ๐ suatu himpunan dan ๐ suatu unsur. Manakah pernyataan berikut yang benar? a. ๐ ⊆ ๐ atau ๐ โ ๐. b. Jika ๐ suatu himpunan, maka ๐ ∈ ๐ atau ๐ ∉ ๐. 2. Misalkan ๐ suatu himpunan. Manakah pernyataan berikut yang benar? a. ๐ ∈ 2๐ . b. ∅ ⊆ 2๐ . c. ∅ = 2∅ . d. {∅} = 2∅ . e. Jika ๐ ∈ ๐ maka {๐} ⊆ 2๐ . 3. Nyatakan himpunan berikut dengan cara mendaftarkan setiap anggotanya! a. {๐ฅ ∈ โ | ๐ฅ 2 = 3}. b. {๐ ∈ โค | ๐2 = 3}. c. {๐ ∈ โค | ๐๐ = 60 untuk suatu ๐ ∈ โค}. d. {๐ ∈ โค | ๐2 − ๐ ≤ 20}. 4. Misalkan ๐ = {1, 2, 3, 4} a. Tentukan koleksi subhimpunan sejati dari ๐! b. Tentukan koleksi subhimpunan tak sejati dari ๐! c. Tentukan himpunan kuasa atas ๐ dan berapa nilai kardinalnya! d. Beri contoh partisi himpunan ๐! 1.5 Relasi himpunan Misalkan ๐๐ himpunan, ๐๐๐ ∈ ๐๐ , 1 ≤ ๐, ๐ ≤ ๐ dan ๐ ∈ โค+ . Unsur (๐1๐1 , ๐2๐2 , โฏ ๐๐๐๐ ) ∈ ๐1 × ๐2 × โฏ × ๐๐ disebut pasangan terurut n-unsur sementara ๐1 × ๐2 × โฏ × ๐๐ disebut produk (hasil kali) ๐ buah himpunan. Jika 15 ๐1 = ๐2 = โฏ = ๐๐ = ๐, maka ๐1 × ๐2 × โฏ × ๐๐ = ๐ × ๐ × โฏ × ๐ = ๐ ๐ . Unsur (๐1 , ๐2 , โฏ ๐๐ ) ∈ ๐ ๐ disebut pasangan terurut n-unsur pada himpunan ๐. Misalkan ๐ด dan ๐ต dua buah himpunan. Produk (hasil kali) himpunan ๐ด dan ๐ต, ditulis: ๐ด × ๐ต, didefinisikan sebagai berikut. ๐ด × ๐ต = {(๐, ๐) | ๐ ∈ ๐ด, ๐ ∈ ๐ต}. Unsur (๐, ๐) ∈ ๐ด × ๐ต ini cukup disebut dengan pasangan terurut. Sifat pasangan terurut yang sangat penting yakni: (๐, ๐) = (๐, ๐) jika dan hanya jika ๐ = ๐ dan ๐ = ๐. Produk himpunan disebut juga dengan produk Cartesius. Himpunan ๐ด × ๐ต dengan ๐ด dan ๐ต dua himpunan tak hampa akan digunakan untuk mendefinisikan relasi himpunan seperti berikut ini. Definisi 1.3 Misalkan ๐ด dan ๐ต dua buah himpunan tak hampa. Suatu himpunan โ disebut relasi dari ๐ด ke ๐ต jika โ tidak hampa dan โ ⊆ ๐ด × ๐ต. Relasi dari himpunan ๐ด ke ๐ด disebut relasi pada ๐ด. Unsur (๐, ๐) ∈ โ artinya “a berelasi dengan b”. Sebaliknya, (๐, ๐) ∉ โ artinya “a tidak berelasi dengan b”. Tanda (๐, ๐) ∈ โ dapat diganti dengan aโb, sementara tanda (a, b) ∉ โ dengan . Relasi disebut juga dengan istilah pemasangan. Ada juga yang menyebutnya dengan aturan dalam mengaitkan. Untuk itu, (๐, ๐) ∈ โ artinya: “unsur ๐ ∈ ๐ด dipasangkan (dikaitkan) dengan unsur ๐ ∈ ๐ต. Selain dengan tanda tadi, relasi โ dari ๐ด ke ๐ต, dapat juga ditandai dengan โ: ๐ด โถ ๐ต sementara tanda aโb dapat diganti ๐ โฆ ๐. Pandang ๐ด sebagai himpunan dosen pengampu mata kuliah sementara ๐ต himpunan mata kuliah pada suatu universitas. Misalkan relasi โ didefinisikan sebagai pemasangan unsur ๐ ∈ ๐ด dengan unsur ๐ ∈ ๐ต, yakni: dosen ๐ mengampu mata kuliah ๐. Relasi ini ditulis: โ = {(๐, ๐)|๐ ∈ ๐ด, ๐ ∈ ๐ต} atau โ: ๐ด โถ ๐ต dengan ๐ โฆ ๐. Misalkan Mahira seorang dosen pengampu mata kuliah dan matematika sebuah mata kuliah pada universitas tersebut. Mahira seorang dosen pengampu mata kuliah matematika atau Mahira mengampu mata kuliah matematika dapat ditulis dengan tanda relasi menjadi (Mahira, Matematika) ∈ โ atau Mahira โฆ Matematika. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh relasi berikut ini. Contoh 1.13. Relasi yang tidak asing dengan kita ialah relasi kesamaan. Relasi ini merupakan relasi pada himpunan, katakanlah himpunan ๐. Relasi kesamaan, disebut juga dengan nama “sama dengan”, ditulis: =, didefinisikan sebagai {(๐ฅ, ๐ฅ) |๐ฅ ∈ ๐} ⊆ ๐ × ๐. 16 Unsur (๐ฅ, ๐ฆ) ∈ = artinya ๐ฅ = ๐ฆ. Sebaliknya, (๐ฅ, ๐ฆ) ∉ = artinya ๐ฅ ≠ ๐ฆ untuk semua ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐. 1.5.1 Relasi ekuivalen Relasi ekuivalen ialah relasi pada suatu himpunan yang bersifat refleksif, simetris dan transitif. Secara formal, definisi relasi ekuivalen diberikan oleh definisi berikut. Definisi 1.4 Misalkan ∼ suatu relasi pada himpunan ๐. Relasi ∼ disebut ekuivalen jika untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง ∈ ๐ memenuhi tiga sifat berikut. 1. Refleksif: ๐ฅ ∼ ๐ฅ. 2. Simetris: jika ๐ฅ ∼ ๐ฆ, maka ๐ฆ ∼ ๐ฅ. 3. Transitif: jika ๐ฅ ∼ ๐ฆ dan ๐ฆ ∼ ๐ง, maka ๐ฅ ∼ ๐ง. Contoh 1.14. a. Untuk suatu himpunan tak hampa ๐, relasi kesamaan ′ = ′ yang didefinisikan sebagai subhimpunan {(๐ฅ, ๐ฅ) |๐ฅ ∈ ๐} dari ๐ × ๐ merupakan relasi ekuivalen. b. Relasi ~ pada himpunan โค yang didefinisikan oleh ๐ฅ ~ ๐ฆ jika dan hanya jika ๐ฅ๐ฆ ≥ 0, merupakan relasi ekuivalen. c. Relasi ~ pada himpunan โ yang didefinisikan oleh ๐ฅ ~ ๐ฆ jika dan hanya jika ๐ฅ − ๐ฆ ∈ โค, merupakan relasi ekuivalen. Sifat 1.6 Jika ∼ suatu relasi ekuivalen pada himpunan tak hampa ๐ maka himpunan tersebut terpartisi dengan ๐ = {๐ฅ ∈ ๐ |๐ฅ ∼ ๐} sel partisi yang memuat ๐ untuk setiap ๐ ∈ ๐. Sebaliknya, jika himpunan ๐ terpartisi maka akan memunculkan relasi ekuivalen ∼ jika relasi tersebut didefinisikan: ๐ ∼ ๐ jika dan hanya jika ๐ ∈ ๐ (dibaca: ๐ dan ๐ saling berelasi jika dan hanya jika berada pada sel partisi yang sama, yakni sel partisi ๐). Bukti. Misalkan ๐ = {๐ | ๐ ∈ ๐}. Untuk menunjukkan ๐ partisi himpunan ๐, akan ditunjukkan tiga syarat berikut. 1. Setiap subhimpunan ๐ ∈ ๐ tidak hampa, 2. โ๐∈๐ ๐ = ๐, dan 3. untuk setiap ๐, ๐ ∈ ๐, jika ๐ ∩ ๐ ≠ ∅ maka ๐ = ๐. (1) Ambil sembarang ๐ ∈ ๐ dengan ๐ ∈ ๐. Mengingat relasi ∼ bersifat refleksif, kita memperoleh ๐ ∼ ๐ dan mengakibatkan ๐ ∈ ๐. Dengan demikian 17 terlihat bahwa ๐ ≠ ∅. (2) โ๐∈๐ ๐ = โ๐∈๐{๐ฅ ∈ ๐ |๐ฅ ∼ ๐} = {๐|๐ ∈ ๐} = ๐. (3). Ambil ๐, ๐ ∈ ๐. Misalkan ada ๐ฆ ∈ ๐ ∩ ๐, akan ditunjukkan bahwa ๐ = ๐. Ambil ๐ฅ ∈ ๐. Berdasarkan definisi ∼, kita mendapatkan ๐ฅ ∼ ๐. Selain itu, mengingat ๐ฆ ∈ ๐ ∩ ๐, kita memperoleh ๐ฆ ∈ ๐ dan ๐ฆ ∈ ๐. Itu artinya ๐ฆ ∼ ๐ dan ๐ฆ ∼ ๐. Mengingat ∼ bersifat simetris dan transitif, kita memperoleh ๐ ∼ ๐ dan mengakibatkan ๐ฅ ∼ ๐. Dengan demikian, ๐ฅ ∈ ๐ sehingga ๐ ⊆ ๐. Sebaliknya, ambil ๐ฅ ∈ ๐. Berdasarkan definisi, kita memperoleh ๐ฅ ∼ ๐. Selain itu, mengingat ๐ฆ ∈ ๐ ∩ ๐, diperoleh ๐ ∼ ๐ dan mengakibatkan ๐ ∼ a. Karena ∼ bersifat transitif, kita memperoleh ๐ฅ ∼ ๐ dan dengan demikian ๐ ⊆ ๐. Uraian tersebut menunjukan bahwa ๐ = ๐.โ Setiap sel partisi yang dihasilkan oleh relasi ekuivalen disebut kelas ekuivalen. Perhatikan kembali sifat di atas. Sel partisi ๐ dan ๐ termasuk kelas ekuivalen dari himpunan ๐. Misalkan ๐ dan ๐ dua buah bilangan bulat. Bilangan bulat ๐ disebut terbagi oleh ๐ , ditulis: ๐ | ๐, jika terdapat bilangan bulat ๐ yang memenuhi ๐ = ๐๐ . Jika ๐ terbagi oleh ๐ , kita sebut ๐ membagi ๐ atau ๐ faktor dari ๐ atau ๐ kelipatan ๐ . Sebaliknya, jika ๐ tidak terbagi oleh ๐ cukup kita tulis: ๐ โค ๐. Dengan memperhatikan adanya bilangan 2 sehingga memenuhi 8 = 4 ⋅ 2, diperoleh 4 | 8. Sebaliknya, 3 โค 8. Bilangan bulat ๐ disebut prima jika ๐ > 1 dan ๐ tidak terbagi oleh bilangan asli lain selain 1 dan dirinya sendiri. Bilangan 3 adalah prima karena faktornya hanya 1 dan 3. Misalkan ๐ | ๐. Pemisalan ini mengakibatkan adanya suatu ๐ sehingga ๐ = ๐๐. Mengingat −๐ = −๐๐ = (−๐)๐, diperoleh ๐ | (−๐). Oleh karena itu, jika ๐ | ๐, maka ๐ | (−๐). Selanjutnya, misalkan ๐ | ๐ dan ๐ | ๐. Akibatnya ada ๐ dan ๐ yang memenuhi ๐ = ๐๐ dan ๐ = ๐ ๐. Mengingat ada ๐ + ๐ ∈ โค sehingga ๐ + ๐ = ๐๐ + ๐ ๐ = (๐ + ๐ )๐, kita dapat menyimpulkan ๐ | (๐ + ๐). Selain itu, mengingat ada ๐ − ๐ ∈ โค sehingga ๐ − ๐ = ๐๐ − ๐ ๐ = (๐ − ๐ )๐, kita juga menyimpulkan ๐ | (๐ − ๐). Jadi, jika ๐ | ๐ dan ๐ | ๐ maka ๐ | (๐ + ๐) dan ๐ | (๐ − ๐). Definisi 1.5 Misalkan ๐ bilangan asli. Bilangan bulat ๐ dan ๐ disebut kongruen ๐๐๐ ๐๐๐ ๐, ditulis: ๐ ≡ ๐ (๐๐๐ ๐), jika ๐ | (๐ − ๐). Contoh 1.15. Pilih buah bilangan bulat 6 dan 12. Akibatnya, 12 ≡ 6 (๐๐๐ 3) karena 3 | (12 − 6). Di sisi lain, 12 โข 6 (๐๐๐ 5) karena 5 โค (12 − 6). Misalkan ๐ ≡ ๐ (๐๐๐ ๐). Akibatnya ada ๐ ∈ โค sehingga ๐ − ๐ = ๐๐ karena ๐ | (๐ − ๐). Jadi, ๐ = ๐ + ๐๐. Begitu juga sebaliknya, jika ada ๐ ∈ โค sehingga ๐ = ๐ + ๐๐, maka berlaku ๐ ≡ ๐ (๐๐๐ ๐). Dengan demikian, ๐ ≡ ๐ (๐๐๐ ๐) jika dan hanya jika ada ๐ ∈ โค sehingga ๐ = ๐ + ๐๐. 18 Sifat 1.7 Kongruen ๐๐๐๐ข๐๐ ๐ merupakan relasi ekuivalen pada himpunan bilangan bulat, untuk setiap bilangan asli ๐. Bukti. Ambil ๐ ∈ โค. Jelas ๐ ≡ ๐ (๐๐๐ ๐) karena ๐ = ๐ + 0 ⋅ ๐. Jadi, relasi ≡ bersifat refleksif. Selanjutnya ambil ๐ ∈ โค dan ๐ ≡ ๐ (๐๐๐ ๐). Akibatnya ada ๐ ∈ โค yang memenuhi ๐ = ๐ + ๐๐. Mengingat ๐ = ๐ + (−๐)๐, diperoleh ๐ ≡ ๐ (๐๐๐ ๐). Jadi, relasi ≡ bersifat simetris. Terakhir, ambil ๐ ∈ โค dengan ๐ ≡ ๐ (๐๐๐ ๐) dan ๐ ≡ ๐ (๐๐๐ ๐). Hal ini mengakibatkan adanya ๐, ๐ ∈ โค yang memenuhi ๐ = ๐ + ๐๐ dan ๐ = ๐ + ๐๐. Karena ๐ = (๐ + ๐๐) + ๐๐ = ๐ + (๐ + ๐)๐, kita memperoleh ๐ ≡ ๐ (๐๐๐ ๐). Jadi, relasi ≡ bersifat transitif. Dengan terpenuhinya ketiga sifat ini menunjukkan ≡ (kongruen modulo ๐) relasi ekuivalen. โ Mengingat kongruen ๐๐๐๐ข๐๐ ๐ suatu relasi ekuivalen pada himpunan bilangan bulat, tentu saja relasi ini mengakibatkan himpunan bilangan bulat terpartisi menjadi kelas-kelas ekuivalen. Kelas ekuivalen yang diakibatkan oleh relasi kongruen ๐๐๐๐ข๐๐ ๐ disebut kelas kongruen ๐๐๐ ๐. Misalkan ๐ ∈ โค+ , tentunya ada sebanyak ๐ kelas kongruen ๐๐๐ ๐. Misalkan nilai ๐ tetap. Untuk semua ๐ ∈ โค, ๐ฬ menyatakan kelas kongruen ๐๐๐ ๐ yang memuat ๐: ๐ฬ {๐ ∈ โค | ๐ ≡ ๐ (๐๐๐ ๐)} = = {๐ ∈ โค | ๐ = ๐ + ๐๐, ๐ ∈ โค} {๐ + ๐๐ | ๐ ∈ โค} = Untuk ๐ = 12, kita dapatkan kelas-kelas kongruen ๐๐๐ 12 sebagai berikut. 0ฬ 1ฬ โฎ ฬ ฬ ฬ ฬ 11 = = โฎ = {… , −36, −24, −12, 0, 12, 24, 36, … } {… − 35, −23, −11,1,13, 25,37, … } โฎ {… − 25, −13, −1,11,23, 35,47, … } ฬ ฬ ฬ = โฏ. Setelah menyeleksi ฬ ฬ = ฬ 24 ฬ ฬ ฬ = โฏ , 1ฬ = ฬ 13 ฬ ฬ ฬ = ฬ 25 Perhatikan kelas 0ฬ = ฬ ฬ 12 ฬ ฬ }, dan mendata semua kelas yang berbeda, diperoleh himpunan {0ฬ , 1ฬ , … , ฬ ฬ 11 disebut himpunan bilangan bulat ๐๐๐ 12, ditulis: โค12 . Himpunan ini lebih dikenal dengan sebutan himpunan bilangan jam. Secara umum, โค๐ = {0ฬ , 1ฬ , … , ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐ − 1 } disebut dengan himpunan bilangan bulat ๐๐๐ n. Ambil sembarang ๐ฬ , ๐ ฬ ∈ โค๐ sehingga ๐ฬ = ๐ .ฬ Misalkan ๐ ∈ ๐ฬ . Hal ini menimbulkan adanya ๐ ∈ โค sehingga ๐ = ๐ + ๐๐. Selain itu, mengingat ๐ ∈ ๐ฬ dan ๐ฬ = ๐ ,ฬ tentu saja ๐ ∈ ๐ ฬ sehingga ada ๐ ∈ โค dan ๐ = ๐ + ๐๐. Dengan menyubstitusikan kedua tadi, kita memperoleh hasil berikut. 19 ๐ + ๐๐ ⇔ ๐ + ๐๐ ⇔ ๐ ⇔ ๐ = ๐ = ๐ + ๐๐ = (๐ + ๐๐) − ๐๐ = ๐ + (๐ − ๐)๐ Akibatnya, untuk setiap ๐ฬ , ๐ ฬ ∈ โค๐ dengan ๐ฬ = ๐ ฬ mengakibatkan adanya unsur ๐ = ๐ − ๐ ∈ โค yang memenuhi ๐ = ๐ + ๐ ๐. Dengan kata lain, pada โค๐ berlaku ๐ ฬ = ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐ + ๐ ๐ untuk ๐ ∈ โค. Ini berarti bahwa dua unsur yang saling kongruen dimasukkan pada kelas kongruen yang sama. 1.5.2 Pemetaan Suatu relasi yang memasangkan unsur ๐ anggota himpunan ๐ด dengan unsur ๐ anggota himpunan ๐ต yang ditetapkan secara khusus yakni setiap ๐ ∈ ๐ด dipasangkan tepat satu dengan ๐ ∈ ๐ต kita namakan pemetaan. Ada juga yang menyebut pemetaan dengan fungsi. Secara formal, definisi pemetaan yaitu sebagai berikut. Definisi 1.6 Suatu relasi dari ๐ ke ๐ disebut pemetaan dari ๐ ke ๐ jika relasi itu memasangkan setiap anggota ๐ tepat satu dengan anggota ๐. Himpunan ๐ disebut domain dan himpunan ๐ disebut ๐๐๐ ๐๐๐๐๐. Pemetaan dari ๐ ke ๐ disebut pemetaan pada ๐. Pemetaan biasanya ditulis menggunakan abjad Yunani kuno atau menggunakan huruf kecil (lower case) sebagai pengganti tanda โ. Untuk menyatakan ๐ผ sebagai pemetaan dari ๐ ke ๐, kita menuliskannya ๐ผ menggunakan tanda ๐ผ: ๐ โถ ๐ atau ๐ → ๐. Jika ๐ฅ ∈ ๐ maka ๐ผ(๐ฅ) adalah unsur di ๐ yang dipasangkan dengan ๐ฅ. Unsur ๐ผ(๐ฅ) disebut peta ๐ฅ oleh pemetaan ๐ผ sementara unsur ๐ฅ disebut ๐ฉ๐ซ๐๐ฉ๐๐ญ๐ ๐ผ(๐ฅ). Pemetaan ๐ผ disebut terdefinisi dengan baik jika untuk setiap ๐ฅ1 , ๐ฅ2 ∈ ๐ dengan ๐ฅ1 = ๐ฅ2 mengakibatkan ๐ผ(๐ฅ1 ) = ๐ผ(๐ฅ2 ). ๐ผ 1 ๐ฅ 2 ๐ฆ 3 ๐ง S T Gambar 1.3 Pemetaan ๐ผ dari himpunan ๐ ke himpunan ๐ Contoh 1.16. Misalkan ๐ = {1,2 3} dan ๐ = {๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง}. Jika kita buat ๐ผ(1) = ๐ฅ; ๐ผ(2) = ๐ง; dan ๐ผ(3) = ๐ฆ, relasi ๐ผ suatu pemetaan mengingat setiap anggota ๐ 20 dipasangkan tepat satu dengan anggota ๐. Relasi ๐ผ dapat dilihat pada Gambar 1.3. Kita juga bisa mendefinisikan relasi ๐ฝ dengan ๐ฝ(1) = ๐ฅ, ๐ฝ(2) = ๐ฅ, dan ๐ฝ(3) = ๐ฆ. Relasi ๐ฝ yang semacam ini masih pemetaan. ๐ฝ 1 ๐ฅ 2 ๐ฆ 3 ๐ง S T Gambar 1.4 Pemetaan ๐ฝ dari himpunan ๐ ke himpunan ๐ Sebaliknya, jika kita definisikan ๐พ(1) = ๐ฅ, ๐พ(1) = ๐ง, dan ๐พ(3) = ๐ฆ maka ๐พ yang semacam ini bukan pemetaan, mengingat relasi yang semacam itu tidak memberikan pemetaan yang terdefinisi dengan baik. 1 ๐ฅ 2 ๐ฆ 3 ๐ง S T Gambar 1.5 Relasi bukan pemetaan Definisi 1.7 Misalkan ๐ผ dan ๐ฝ dua buah pemetaan dengan ๐ผ, ๐ฝ: ๐ โถ ๐ . Pemetaan ๐ผ dan ๐ฝ disebut sama jika ๐ผ(๐ฅ) = ๐ฝ(๐ฅ) untuk semua ๐ฅ ∈ ๐. Pada Contoh 1.16, pemetaan ๐ผ ≠ ๐ฝ. Hal tersebut terjadi karena adanya unsur 2 ∈ ๐ sehingga mengakibatkan ๐ผ(2) = ๐ง ≠ ๐ฅ = ๐ฝ(2). Pemetaan pada suatu himpunan yang memasangkan setiap anggotanya dengan diri sendiri disebut pemetaan identitas. Pemetaan identitas pada himpunan ๐, ditulis: ๐: ๐ โถ ๐ dengan ๐(๐ฅ) = ๐ฅ untuk setiap ๐ฅ ∈ ๐ (๐ dibaca iota). Untuk menandai ๐ sebagai pemetaan pada ๐, kita tambahkan huruf ๐ sebagai indeks ๐ sehingga menjadi ๐๐ . 21 Jika diberikan ๐ผ: ๐ โถ ๐ dan ๐ด ⊆ ๐, maka ๐ผ(๐ด) menyatakan himpunan semua anggota ๐ yang menjadi peta anggota ๐ด oleh pemetaan ๐ผ, ditulis: ๐ผ(๐ด) = {๐ผ(๐ฅ) | ๐ฅ ∈ ๐ด}. Himpunan ๐ผ(๐ด) disebut juga sebagai himpunan semua peta anggota ๐ด pada ๐ oleh pemetaan ๐ผ. Himpunan ๐ผ(๐ด) juga bisa disebut dengan peta subhimpunan ๐ด pada himpunan ๐ oleh pemetaan ๐ผ. ๐ผ A ๐ผ(๐ด) S T Gambar 1.6 Peta subhimpunan ๐ด oleh ๐ผ Contoh 1.17. Perhatikan kembali Contoh 1.16. Peta subhimpunan {1, 2} dan {2, 3} secara beruntun yaitu: ๐ผ({1, 2}) = {๐ฅ, ๐ง} dan ๐ฝ({2, 3}) = {๐ฅ, ๐ฆ}. Untuk lebih jelasnya lihat Gambar 1.3 dan Gambar 1.4. Misalkan ๐ผ: ๐ โถ ๐ suatu pemetaan dan ๐ ⊆ ๐. Tanda ๐ผ −1 (๐) menyatakan himpunan semua anggota ๐ yang dipasangkan dengan anggota ๐ oleh pemetaan ๐ผ, ditulis: ๐ผ −1 (๐) = { ๐ฅ ∈ ๐ โฃ ๐ผ(๐ฅ) ∈ ๐}. Jika unsur ๐ฅ ∈ ๐ dipasangkan dengan ๐ฆ ∈ ๐ oleh pemetaan ๐ผ, maka berlaku ๐ผ −1 (๐ฆ) = ๐ฅ. Pernyataan ๐ผ −1 (๐ฆ) = ๐ฅ ekuivalen ๐ผ(๐ฅ) = ๐ฆ. Pemetaan ๐ผ −1 (๐ฆ) tidak selalu ada untuk setiap ๐ฆ ∈ ๐. Selain itu, ia juga tidak perlu tunggal. Artinya ๐ผ −1 (๐ฆ) boleh lebih dari satu buah untuk suatu ๐ฆ ∈ ๐ tergantung pemetaan ๐ผ. Untuk itu, relasi ๐ผ −1 : ๐ โถ ๐ tidak selalu membentuk pemetaan. Definisi 1.8 Misalkan ๐ผ: ๐ โถ ๐ suatu pemetaan. Pemetaan ๐ผ disebut ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ (pada) jika ๐ผ(๐) = ๐. Pernyataan “๐ผ(๐) = ๐” ini ekuivalen dengan pernyataan: “untuk setiap ๐ฆ ∈ ๐ ada ๐ฅ ∈ ๐ sehingga ๐ผ(๐ฅ) = ๐ฆ”. Dengan demikian, untuk menunjukkan ๐ผ(๐) = ๐ cukup dengan menunjukkan untuk setiap ๐ฆ ∈ ๐ ada ๐ฅ ∈ ๐ demikian sehingga ๐ผ(๐ฅ) = ๐ฆ. Begitu pun sebaliknya, untuk menunjukkan pernyataan “untuk setiap ๐ฆ ∈ ๐ ada ๐ฅ ∈ ๐ sehingga ๐ผ(๐ฅ) = ๐ฆ” cukup dengan menunjukkan ๐ผ(๐) = ๐. 22 Contoh 1.18. Perhatikan pemetaan ๐ผ: โ โถ โ dengan ๐ผ(๐ฅ) = ๐ฅ 2 . Pemetaan ๐ผ tidak bersifat surjektif (pada) disebabkan semua bilangan real negatif tidak mempunyai prapeta sehingga ๐ผ(โ) ≠ โ. Akan tetapi, jika kodomain kita batasi menjadi โ+ ∪ {0} sehingga ๐ผ: โ โถ โ+ ∪ {0} dengan ๐ผ(๐ฅ) = ๐ฅ 2 untuk setiap ๐ฅ ∈ โ, maka pemetaan ๐ผ menjadi surjektif mengingat ๐ผ(โ) = โ+ ∪ {0}. Contoh 1.19. Perhatikan gambar berikut. ๐ ๐พ ๐พ(๐) S ๐(๐) S T T Gambar 1.7 Pemetaan surjektif dan bukan surjektif Pemetaan ๐พ tidak surjektif karena ๐พ(๐) ≠ ๐ sedangkan pemetaan ๐ surjektif. Definisi 1.9 Misalkan ๐ผ: ๐ โถ ๐ suatu pemetaan. Pemetaan ๐ผ disebut ๐๐๐๐๐๐๐๐ (satu-satu) jika untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐ dengan ๐ผ(๐ฅ) = ๐ผ(๐ฆ) mengakibatkan ๐ฅ = ๐ฆ. Contoh 1.20. Perhatikan gambar berikut. ๐ฝ 1 ๐พ ๐ 2 ๐ 3 S T 1 ๐ 2 ๐ 3 ๐ S T Gambar 1.8 Pemetaan satu-satu dan bukan satu-satu Pemetaan ๐พ satu-satu, sedangkan pemetaan ๐ฝ tidak satu-satu. Pemetaan satu-satu dan pada disebut pemetaan ๐๐ข๐ฃ๐๐ค๐ญ๐ข๐. Pemetaan ๐พ merupakan pemetaan bijektif karena selain satu-satu, ia juga termasuk surjektif. 23 Definisi 1.10 Dua buah himpunan, ๐ dan ๐, disebut mempunyai bilangan ๐๐๐๐๐๐๐๐ sama, ditulis: |๐| = |๐|, jika terdapat pemetaan ๐๐๐๐๐๐ก๐๐ di antara kedua himpunan tersebut. Contoh 1.21. Perhatikan pemetaan ๐: โ โถ โ dengan ๐(๐ฅ) = ๐ฅ 2 . Pemetaan ๐ tidak satu-satu mengingat ada 4 = ๐(2) = ๐(−2) ∈ โ tetapi 2 ≠ −2. Pemetaan ๐ juga tidak pada karena semua bilangan real negatifnya tidak mempunyai prapeta yang mengakibatkan ๐(โ) ≠ โ. Sekarang perhatikanlah pemetaan ๐: โ โถ โ dengan ๐(๐ฅ) = ๐ฅ 3 . Pemetaan ๐ tersebut bijektif. Adanya pemetaan ๐ menjadi alasan |โ| = |โ|. Pandang ๐: ๐ โถ ๐ dan ๐: ๐ โถ ๐ dua buah pemetaan. Jika dari dua buah pemetaan tersebut dibentuk relasi dari ๐ ke ๐ dengan cara memasangkan semua anggota ๐ dengan anggota ๐ jika ada anggota ๐ yang menghubungkannya, seperti tampak pada Gambar 1.9. Relasi seperti ini disebut komposisi pemetaan ๐ dan ๐ dari ๐ ke ๐. Komposisi tersebut membentuk suatu pemetaan. Pada pemetaan ini, setiap ๐ฅ ∈ ๐ dipasangkan tepat satu dengan ๐(๐ฅ) ∈ ๐ lalu dipasangkan lagi tepat satu dengan ๐(๐(๐ฅ)) ∈ ๐. ๐ ๐ ๐ฅ ๐(๐ฅ) ๐(๐(๐ฅ)) S T U Gambar 1.9 Komposisi dua buah pemetaan ๐ dan ๐ Definisi 1.11 Komposisi pemetaan ๐: ๐ โถ ๐ dan ๐: ๐ โถ ๐, ditulis: ๐ โ ๐: ๐ โถ ๐, didefinisikan sebagai berikut. (๐ โ ๐)(๐ฅ) = ๐(๐(๐ฅ)) untuk setiap ๐ฅ ∈ ๐. 24 Contoh 1.22. Pandang himpunan ๐ = {๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง}, ๐ = {1, 2, 3} dan ๐ = {๐, ๐, ๐}. Kemudian definisikan pemetaan ๐: ๐ โถ ๐ dengan ๐(๐ฅ) = 2, ๐(๐ฆ) = 3 dan ๐(๐ง) = 1. Definisikan juga pemetaan ๐: ๐ โถ ๐ dengan ๐(1) = ๐, ๐(2) = ๐ dan ๐(3) = ๐. Komposisi pemetaan ๐ dan ๐ adalah sebagai berikut. (๐ โ ๐)(๐ฅ) = ๐(๐(๐ฅ)) = ๐(2) = ๐ (๐ โ ๐)(๐ฆ) = ๐(๐(๐ฆ)) = ๐(3) = ๐ (๐ โ f)(๐ง) = ๐(๐(๐ง)) = ๐(1) = ๐ Berikut ini grafik komposisi ๐ dan ๐ di atas. ๐ ๐ ๐ฅ 1 ๐ ๐ฆ 2 ๐ ๐ง 3 ๐ T U S Gambar 1.10 Contoh komposisi pemetaan ๐ dan ๐ Contoh 1.23. Misalkan ๐: โ → โ dan ๐: โ → โ, dua buah pemetaan pada himpunan bilangan real dengan ๐(๐ฅ) = ๐ฅ 2 − ๐ฅ dan ๐(๐ฅ) = ๐ฅ − 1 untuk setiap ๐ฅ ∈ โ. Pemetaan komposisi ๐ dan ๐ yaitu (๐ โ ๐)(๐ฅ) = ๐(๐(๐ฅ)) = ๐(๐ฅ 2 − ๐ฅ) = ๐ฅ2 − ๐ฅ − 1 dan (๐ โ ๐)(๐ฅ) = = = = ๐(๐(๐ฅ)) ๐(๐ฅ − 1) (๐ฅ − 1)2 − (๐ฅ − 1) ๐ฅ 2 − 3๐ฅ + 2 Pada dasarnya dengan definisi dan dua contoh di atas sudah cukup memberikan penjelasan mengenai pemetaan ๐ โ ๐ dan ๐ โ ๐. Namun demikian, sifat berikut ini perlu juga diperhatikan untuk menambah penguasaan pemahaman kita. Sifat 1.8 Misalkan ๐: ๐ โถ ๐ dan ๐: ๐ โถ ๐ dua buah pemetaan. a. Jika ๐ dan ๐ dua-duanya ๐ ๐ข๐๐๐๐๐ก๐๐ maka ๐ โ ๐ juga ๐ ๐ข๐๐๐๐๐ก๐๐ 25 b. Jika ๐ dan ๐ dua-duanya ๐๐๐๐๐๐ก๐๐ maka ๐ โ ๐ juga ๐๐๐๐๐๐ก๐๐ c. Jika ๐ โ ๐ ๐ ๐ข๐๐๐๐๐ก๐๐ maka ๐ juga ๐ ๐ข๐๐๐๐๐ก๐๐ d. Jika ๐ โ ๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐๐ maka ๐ juga ๐๐๐๐๐๐ก๐๐ Bukti. (๐). Ambil ๐ง ∈ ๐. Mengingat ๐ surjektif, ada ๐ฆ ∈ ๐ yang memenuhi ๐ง = ๐(๐ฆ). Selain itu, ๐ juga ๐ ๐ข๐๐๐๐๐ก๐๐, artinya ada ๐ฅ ∈ ๐ yang memenuhi ๐ฆ = ๐(๐ฅ). Untuk itu, diperoleh ๐ง = = = ๐(๐ฆ) ๐(๐(๐ฅ)) (๐ โ ๐)(๐ฅ). Jadi, pemetaan ๐ โ ๐ surjektif karena untuk setiap ๐ง ∈ ๐ terdapat ๐ฅ ∈ ๐ yang memenuhi ๐ง = (๐ โ ๐)(๐ฅ). (๐). Ambil ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐ dengan (๐ โ ๐)(๐ฅ) = (๐ โ ๐)(๐ฆ). Berdasarkan definisi komposisi pemetaan, ๐(๐(๐ฅ)) = ๐(๐(๐ฆ)). Mengingat pemetaan ๐ bersifat satusatu, diperoleh ๐(๐ฅ) = ๐(๐ฆ). Selain itu, mengingat pemetaan ๐ juga satu-satu, hasil tersebut menyebabkan ๐ฅ = ๐ฆ. Jadi, komposisi ๐ โ ๐ merupakan pemetaan satu-satu mengingat untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐ dengan (๐ โ ๐)(๐ฅ) = (๐ โ ๐)(๐ฆ) telah memenuhi ๐ฅ = ๐ฆ. (๐). Ambil ๐ง ∈ ๐. Mengingat ๐ โ ๐ surjektif, ada ๐ฅ ∈ ๐ yang memenuhi ๐ง = (๐ โ ๐)(๐ฅ) = ๐(๐(๐ฅ)). Misalkan ๐ฆ = ๐(๐ฅ). Jelas ๐ฆ ∈ ๐ dan ๐ง = ๐(๐ฆ). Jadi, untuk setiap ๐ง ∈ ๐ ada ๐ฆ ∈ ๐ yang memenuhi ๐ง = ๐(๐ฆ) dan ๐ surjektif. (๐). Ambil ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐ dengan ๐(๐ฅ) = ๐(๐ฆ). Mengingat ๐ suatu pemetaan, diperoleh ๐(๐(๐ฅ)) = ๐(๐(๐ฆ)) dan ditulis menjadi (๐ โ ๐)(๐ฅ) = (๐ โ ๐)(๐ฆ). Selanjutnya, sifat injektif ๐ โ ๐ menyebabkan ๐ฅ = ๐ฆ. Jadi, mengingat untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐ dengan ๐(๐ฅ) = ๐(๐ฆ) mengakibatkan ๐ฅ = ๐ฆ, pemetaan ๐ bersifat injektif. โ Telah disinggung sebelumnya, jika kita membentuk pemetaan dari S ke T, belum tentu terbentuk lagi pemetaan dari T ke S sebagai pemetaan balikannya. Berikut ini uraian mengenai definisi pemetaan balikan beserta syarat yang harus dipenuhi agar setiap pemetaan senantiasa memiliki balikan. Definisi 1.12 Pemetaan ๐: ๐ โถ ๐ disebut ๐๐๐๐๐๐ (balikan) pemetaan ๐: ๐ โถ ๐ jika ๐ โ ๐ = ๐๐ dan ๐ โ ๐ = ๐ ๐ . pemetaan ๐ disebut dapat dibalik (invertible) jika ia memiliki ๐๐๐ฃ๐๐๐ (balikan). Contoh 1.24. Pemetaan ๐ pada Contoh 1.22 merupakan pemetaan yang dapat dibalik (invertible). Balikan (invers) pemetaan ๐, adalah ๐ −1 : ๐ โถ ๐ yang didefinisikan dengan ๐ −1 (1) = ๐ง, ๐ −1 (2) = ๐ฅ dan ๐ −1 (3) = ๐ฆ. 26 Sifat 1.9 Suatu pemetaan dapat dibalik (memiliki inversnya) jika dan hanya jika pemetaan tersebut ๐๐๐๐๐๐ก๐๐. Bukti. (โน) Misalkan ๐: ๐ โถ ๐ suatu pemetaan dan ๐ pemetaan balikan dari ๐. Untuk menunjukkan pemetaan ๐ bijektif cukup menunjukkan pemetaan ๐ injektif dan surjektif. Ambil ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐ dengan ๐(๐ฅ) = ๐(๐ฆ). Mengingat ๐: ๐ โถ ๐ suatu pemetaan, diperoleh ๐(๐(๐ฅ)) = ๐(๐(๐ฆ)) dan berakibat ๐๐ (๐ฅ) = (๐ โ ๐)(๐ฅ) = (๐ โ ๐)(๐ฆ) = ๐๐ (๐ฆ) karena ๐ juga balikan ๐. Dengan demikian, ๐ฅ = ๐ฆ dan pemetaan ๐ injektif. Ambil unsur ๐ก ∈ ๐. Mengingat karena ๐ balikan ๐, ๐ก = ๐ ๐ (๐ก) = (๐ โ ๐)(๐ก) = ๐(๐(๐ก)). Dengan memilih unsur ๐ฅ = ๐(๐ก) ∈ ๐, diperoleh ๐ก = ๐(๐ฅ). Jadi, untuk setiap ๐ก ∈ ๐ terdapat ๐ฅ ∈ ๐ yang memenuhi ๐ก = ๐(๐ฅ). Artinya, pemetaan ๐ surjektif. (โธ) Misalkan ๐: ๐ โถ ๐ suatu pemetaan bijektif, akan ditunjukkan bahwa pemetaan ๐ dapat dibalik. Untuk menunjukkan hal tersebut cukup dengan menunjukkan adanya pemetaan ๐ sehingga g โ f = ιS dan f โ g = ιT . Ambil ๐ก ∈ ๐. Karena ๐ surjektif, ada ๐ ∈ ๐ sehingga ๐(๐ ) = ๐ก. Di sisi lain, ๐ juga satu-satu. Ini artinya, setiap unsur ๐ก ∈ ๐ dipasangkan tepat satu dengan ๐ ∈ ๐. Oleh karena itu, kita dapat mendefinisikan pemetaan ๐: ๐ โถ ๐ sehingga ๐ โ ๐ = ๐๐ dan ๐ โ ๐ = ๐๐ . Dengan demikian pemetaan ๐ adalah invertible.โ Latihan 1.5 1. Misalkan ๐ = {๐ฃ, ๐ค, ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง} serta ๐ค ∼ ๐ฅ dan ๐ฅ ∼ ๐ฆ. Apakah setiap pernyataan berikut ini benar jika ∼ relasi ekuivalen pada T? Sertai jawaban dengan alasan! a. ๐ง ∼ ๐ง b. ๐ฅ ∼ ๐ค c. ๐ฃ ∼ ๐ง d. ๐ฆ ∼ ๐ค 2. Definisikan relasi ∼ pada โ, yaitu: ๐ ∼ ๐ jika dan hanya jika |๐| = |๐| untuk setiap ๐, ๐ ∈ โ. a. Tunjukkan bahwa ∼ suatu relasi ekuivalen pada โ! b. Tuliskan kelas-kelas ekuivalennya! 3. Tentukan apakah pemetaan berikut satu-satu, pada atau keduanya, jika ๐: โ โถ โ dengan a. ๐(๐ฅ) = 2๐ฅ b. ๐(๐ฅ) = ๐ฅ 2 + 1 c. ๐(๐ฅ) = ๐ ๐ฅ 4. Tunjukkan ada pemetaan pada suatu himpunan yang injektif tetapi tidak surjektif jika dan hanya jika ada pemetaan yang surjektif pada himpunan yang sama tetapi tidak injektif 27 5. Misalkan ๐ผ: ๐ โถ ๐ suatu pemetaan, ๐ ⊆ ๐ dan ๐ ⊆ ๐. Tunjukkan bahwa pernyataan berikut ini benar! a. Jika ๐ ⊆ ๐ maka ๐ผ(๐) ⊆ ๐ผ(๐). b. ๐ผ(๐ ∪ ๐) = ๐ผ(๐) ∪ ๐ผ(๐), dan c. ๐ผ(๐ ∩ ๐) ⊆ ๐ผ(๐) ∩ ๐ผ(๐) 6. Misalkan ๐ผ: ๐ โถ ๐ suatu pemetaan, ๐ ⊆ ๐ dan ๐ ⊆ ๐. Tunjukkan bahwa pernyataan berikut ini benar! a. Jika ๐ ⊆ ๐ maka ๐ผ −1 (๐) ⊆ ๐ผ −1 (๐). b. ๐ผ −1 (๐ ∪ ๐) = ๐ผ −1 (๐) ∪ ๐ผ −1 (๐), dan c. ๐ผ −1 (๐ ∩ ๐) = ๐ผ −1 (๐) ∩ ๐ผ −1 (๐). 28 BAB 2 GRUP Fokus kajian himpunan pada bagian pendahuluan secara umum belum memandang operasi sebagai satu kesatuan. Operasi jumlah dan kali yang dibicarakan di sana, misalnya ketika membahas relasi kongruen modulo n pada himpunan bilangan bulat, tidak sampai membahas apakah operasi tersebut terdefinisi dengan baik atau tidak pada himpunan tersebut. Operasi di sana kebutuhannya hanya sebatas menjelaskan relasi pada himpunan bilangan bulat, yakni menjelaskan relasi ekuivalen. Tidak memandang himpunan bilangan bulat ketika dilengkapi operasi tersebut sebagai suatu kesatuan yang utuh. Himpunan yang dilengkapi operasi disebut struktur. Struktur pada dasarnya dapat diterapkan pada himpunan mana pun, tidak hanya pada himpunan bilangan, asalkan operasi yang dilekatkan terdefinisi dengan baik. Pada bagian ini akan kita kaji struktur himpunan khususnya grup. Namun sebelum itu, kita bahas operasi terlebih dahulu. 2.1 Struktur aljabar Di awal telah disinggung istilah operasi. Namun apakah itu operasi yang dimaksud di sini. Untuk jelasnya cermati definisi operasi berikut ini. Definisi 2.1 Misalkan ∗ suatu pemetaan dari ๐ × ๐ ke ๐ dengan (๐, ๐) โฆ ๐ ∗ ๐ untuk setiap ๐, ๐ ∈ ๐. Pemetaan ∗ disebut operasi biner pada himpunan ๐. Mengingat operasi ∗ suatu pemetaan, tentunya dua kondisi berikut harus terpenuhi. Pertama, setiap unsur (๐1 , ๐1 ), (๐2 , ๐2 ) ∈ ๐ × ๐ dengan (๐1 , ๐1 ) = (๐2 , ๐2 ), memenuhi keadaan ๐1 ∗ ๐1 = ๐2 ∗ ๐2 . Pernyataan tersebut ekuivalen dengan pernyataan: setiap unsur ๐1 , ๐2 , ๐1 , ๐2 ∈ ๐ dengan ๐1 = ๐2 dan ๐1 = ๐2 , memenuhi ๐1 ∗ ๐1 = ๐2 ∗ ๐2 . Kedua, setiap ๐, ๐ ∈ ๐ memenuhi ๐ ∗ ๐ ∈ ๐, himpunan ๐ tertutup terhadap operasi ∗. Operasi ∗ disebut terdefinisi dengan baik pada himpunan ๐ jika kedua kondisi tadi terpenuhi. Dengan demikian, ketika operasi ∗ terdefinisi dengan baik pada himpunan ๐ pasti himpunan ๐ tertutup terhadap operasi ∗. Selanjutnya, yang dimaksud dengan operasi dalam buku ini operasi biner. Contoh 2.1. Pandang himpunan bilangan asli โค+ . Kali pada himpunan tersebut tidak lain berupa pemetaan (๐, ๐) โฆ ๐๐ dengan ๐๐ menyatakan ๐ kali ๐. Untuk 29 itu, kali merupakan operasi pada โค+ . Sebaliknya, bagi bukan operasi pada โค+ ๐ mengingat ada ๐, ๐ ∈ โค+ yang menyebabkan ๐⁄๐ = ๐ ∉ โค+ . Di sini ada dua 2 bilangan positif ๐ dan ๐ tetapi ๐ tidak habis membagi ๐, misalnya (2,3) โฆ 3 ∉ โค+ . Jumlah, (๐, ๐) โฆ ๐ + ๐, merupakan operasi pada himpunan bilangan asli โค+ . Sama halnya dengan bagi, kurang juga bukan operasi pada โค+ . Pada himpunan berhingga ๐, khususnya ketika ๐ hanya memiliki sedikit anggota, operasi pada himpunan ๐ dapat disajikan dalam suatu tabel yang dikenal dengan sebutan Tabel Cayley. Penamaan ini merujuk pada seorang nama matematikawan Inggris Arthur Cayley yang hidup pada masa 1821 – 1895. Pada Tabel Cayley, kita letakkan nilai ๐ ∗ ๐ pada baris ke-๐ kolom ke-๐. Contoh 2.2. Misalkan operasi ∗ pada himpunan {๐, ๐, ๐} disajikan pada tabel berikut. ∗ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ Tabel 2.1 Operasi ∗ pada himpunan {๐, ๐, ๐} Lihat tabel di atas dengan memperhatikan cara membacanya. Nilai ๐ ∗ ๐ adalah ๐, sedangkan nilai ๐ ∗ ๐ adalah ๐. Begitu juga ๐ ∗ ๐ menghasilkan ๐. Sebaliknya, ๐ ∗ ๐ menghasilkan nilai ๐. Silakan coba untuk yang lain. Contoh 2.3. Pandang himpunan bilangan jam 12-an dan ⊕ operasi jumlah pada himpunan tersebut. Operasi ini dapat kita lihat pada tabel Cayley berikut. ⊕ ฬ ๐ ฬ ๐ ฬ ๐ ฬ ๐ ฬ ๐ ฬ ๐ ฬ ๐ ฬ ๐ ฬ ๐ ฬ ๐ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐๐ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐๐ ฬ ๐ ฬ ๐ ฬ ๐ 0ฬ 1ฬ 2ฬ 1ฬ 2ฬ 3ฬ 3ฬ 4ฬ 5ฬ 4ฬ 5ฬ 6ฬ 7ฬ 8ฬ 7ฬ 8ฬ 9ฬ 8ฬ 9ฬ ฬ 10 ฬ ฬ ฬ 9ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ 10 ฬ 11 ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ 10 ฬ ฬ ฬ ฬ 11 0ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ 11 0ฬ 1ฬ 3ฬ 4ฬ 5ฬ 4ฬ 5ฬ ฬ ๐ ฬ ๐ ฬ ๐ 6ฬ 7ฬ 8ฬ 6ฬ 7ฬ 8ฬ 9ฬ 6ฬ 7ฬ 8ฬ 9ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ 10 6ฬ 7ฬ 8ฬ 9ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ 10 ฬ ฬ ฬ ฬ 11 6ฬ 7ฬ 8ฬ 9ฬ ฬ 10 ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ 11 0ฬ 5ฬ 6ฬ 7ฬ ฬ ๐ ฬ ๐ ฬ ๐ 2ฬ 3ฬ 4ฬ 5ฬ 8ฬ 9ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ 10 ฬ 11 ฬ ฬ ฬ 0ฬ 1ฬ 9ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ 10 ฬ ฬ ฬ ฬ 11 0ฬ 1ฬ 2ฬ ฬ 10 ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ 11 0ฬ 1ฬ 2ฬ 3ฬ 0ฬ 1ฬ 2ฬ 3ฬ 4ฬ 5ฬ 1ฬ 2ฬ 3ฬ 4ฬ 5ฬ 2ฬ 3ฬ 4ฬ 5ฬ ฬ ๐ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐๐ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐๐ 9ฬ ฬ 10 ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ 11 ฬ 10 ฬ ฬ ฬ ฬ 11 ฬ ฬ ฬ 0ฬ ฬ 11 ฬ ฬ ฬ 0ฬ 1ฬ 0ฬ 1ฬ 2ฬ 1ฬ 2ฬ 3ฬ 2ฬ 3ฬ 4ฬ 3ฬ 4ฬ 5ฬ 4ฬ 5ฬ ฬ 11 ฬ ฬ ฬ 0ฬ 1ฬ 2ฬ 3ฬ 4ฬ 5ฬ 6ฬ 6ฬ 7ฬ 6ฬ 7ฬ 8ฬ 6ฬ 7ฬ 8ฬ 9ฬ 6ฬ 7ฬ 8ฬ 9ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ 10 Tabel 2.2 Operasi ⊕ pada himpunan bilangan jam 12-an Pada Tabel 2.2, terlihat hasil 8ฬ ⊕ 6ฬ = 2ฬ sedangkan 2ฬ ⊕ 3ฬ = 5ฬ . Untuk operasi unsur lainnya bisa dilihat sendiri. 30 Definisi 2.2 Suatu himpunan tak hampa disebut struktur aljabar (sistem matematika) jika himpunan tersebut dilengkapi dengan operasi. Pada hakikatnya, setiap struktur aljabar boleh memiliki lebih dari satu buah operasi. Misalkan ๐ suatu himpunan serta ∗ dan โ dua buah operasi pada himpunan ๐. Tanda (๐,∗) digunakan untuk menyatakan struktur aljabar ๐ (yang dilengkapi) dengan operasi ∗ sementara tanda (๐,∗ ,โ ) atau (๐,โ ,∗ ) digunakan untuk menyatakan struktur aljabar ๐ dengan dua buah operasi, ∗ dan โ. Untuk selanjutnya, kata struktur digunakan sebagai pengganti kata struktur aljabar sementara sistem sebagai pengganti kata sistem matematika. Untuk menunjukkan sembarang himpunan tak hampa membentuk struktur, tentu saja harus menunjukkan himpunan tersebut dilengkapi operasi. Untuk itu, cukup menunjukkan bahwa operasinya terdefinisi dengan baik pada himpunan tersebut. Pada bahasan operasi telah dijelaskan bahwa jumlah merupakan operasi pada himpunan bilangan bulat. Untuk itu, himpunan bilangan bulat membentuk struktur dengan operasi +, ditulis: (โค , + ). Di sisi lain, himpunan bilangan bulat juga membentuk struktur dengan operasi ×, ditulis: (โค , ×). Dengan demikian, (โค , + , ×) merupakan struktur dengan dua buah operasi, + dan ×. Sekarang pandang himpunan โค๐ = {0ฬ , 1ฬ , … , ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐ − 1 } dengan operasi jumlah, ditulis: ⊕, dan operasi kali, ditulis: โ, pada โค๐ untuk suatu ๐ ∈ โค+ diberikan: ๐ฬ ⊕ ๐ฬ = ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐ + ๐ untuk setiap ๐ฬ , ๐ฬ ∈ โค๐ . ๐ฬ โ ๐ฬ = ฬ ฬ ฬ ๐๐ untuk setiap ๐ฬ , ๐ฬ ∈ โค๐ . Ambil unsur ๐ฬ 1 , ๐ฬ 2 , ๐ฬ 1 , ๐ฬ 2 ∈ โค๐ dengan ๐ฬ 1 = ๐ฬ 2 dan ๐ฬ 1 = ๐ฬ 2 . Pengambilan unsur ini semua mengakibatkan adanya unsur ๐, ๐ ∈ โค yang memenuhi ๐1 = ๐2 + ๐๐ dan ๐1 = ๐2 + ๐๐. Dengan menggunakan penjumlahan kita peroleh ๐1 + ๐1 (๐1 + ๐1 ) − (๐2 + ๐2 ) = = = (๐2 + ๐๐) + (๐2 + ๐๐) (๐2 + ๐2 ) + (๐ + ๐)๐ (๐ + ๐)๐ Dari hasil di atas kita dapatkan (๐1 + ๐1 ) − (๐2 + ๐2 ) kelipatan n, ini berarti bahwa ๐1 + ๐1 ≡ ๐2 + ๐2 (mod n). Untuk itu, ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐1 + ๐1 = ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐2 + ๐2 dan mengakibatkan ๐ฬ 1 ⊕ ๐ฬ 1 = = = ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐1 + ๐1 ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐2 + ๐2 ๐ฬ 2 ⊕ ๐ฬ 2 . 31 Selanjutnya, ambil ๐ฬ , ๐ฬ ∈ โค๐ . Perhatikan hasil berikut ini. ๐ฬ ⊕ ๐ฬ = = ∈ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐+๐ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ (๐ + ๐) + ๐๐ โค๐ Dua hasil tadi memperlihatkan bahwa operasi ⊕ terdefinisi dengan baik pada himpunan โค๐ . Ini artinya himpunan โค๐ tidak lain struktur dengan operasi ⊕. Di sisi lain, himpunan โค๐ juga membentuk struktur dengan operasi โ. Dengan demikian, jelaslah bahwa (โค๐ , ⊕, โ) struktur (sistem) bilangan bulat ๐๐๐ ๐ (dibaca: modulo ๐). Khususnya, untuk ๐ = 12 kita mengenalnya dengan sebutan struktur (sistem) bilangan jam. Operasi ⊕ untuk sistem bilangan jam dapat dilihat pada Tabel 2.2 sementara untuk operasi โ dapat dilihat pada Tabel 2.3 berikut ini. โ ฬ ๐ ฬ ๐ ฬ ๐ ฬ ๐ ฬ ๐ ฬ ๐ ฬ ๐ ฬ ๐ ฬ ๐ ฬ ๐ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐๐ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐๐ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ 0ฬ 0ฬ 0ฬ 0ฬ 0ฬ 0ฬ 0ฬ 0ฬ 0ฬ 0ฬ 0ฬ ฬ 0 ฬ 1 ฬ 2 ฬ 3 ฬ 6 ฬ 7 ฬ 8 ฬ 9 ฬ 10 ฬ ฬ ฬ ฬ 4 ฬ 5 ฬ ฬ ฬ ฬ 0ฬ 2ฬ 4ฬ 6ฬ 8ฬ 10 0ฬ 2ฬ 4ฬ 6ฬ 8ฬ 0ฬ 3ฬ 6ฬ 9ฬ 0ฬ 3ฬ 6ฬ 9ฬ 0ฬ 3ฬ 6ฬ 0ฬ 4ฬ 8ฬ 0ฬ 4ฬ 8ฬ 0ฬ 4ฬ 8ฬ 0ฬ 4ฬ ฬ 0 ฬ 10 ฬ ฬ ฬ ฬ 3 ฬ 8 ฬ 1 ฬ 6 ฬ 11 ฬ ฬ ฬ ฬ 9 ฬ 5 ฬ 4 2ฬ 0ฬ 6ฬ 0ฬ 6ฬ 0ฬ 6ฬ 0ฬ 6ฬ 0ฬ 6ฬ 0ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ 7ฬ 0ฬ 2ฬ 9ฬ 4ฬ 11 6ฬ 1ฬ 8ฬ 3ฬ 10 0ฬ 8ฬ 4ฬ 0ฬ 8ฬ 4ฬ 0ฬ 8ฬ 4ฬ 0ฬ 8ฬ ฬ 0 ฬ 9 ฬ 6 ฬ 3 ฬ 0 ฬ 9 ฬ 6 ฬ 3 ฬ 0 ฬ 9 6ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ 10 ฬ ฬ ฬ 0ฬ 10 8ฬ 6ฬ 4ฬ 2ฬ 0ฬ 8ฬ 6ฬ 4ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ 10 ฬ ฬ ฬ ฬ 7ฬ 4ฬ 0ฬ 11 9ฬ 8ฬ 6ฬ 3ฬ 2ฬ 5ฬ Tabel 2.3 Operasi โ pada himpunan bilangan jam 12-an ฬ ฬ ฬ ฬ ๐๐ 0ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ 11 ฬ ฬ ฬ ฬ 10 9ฬ 8ฬ 7ฬ 6ฬ 5ฬ 4ฬ 3ฬ 2ฬ 1ฬ Misalkan (๐, ∗) suatu struktur dan ๐ ⊆ ๐. Subhimpunan ๐ dengan operasi ∗ disebut substruktur dari struktur (๐, ∗) jika (๐,∗) juga suatu struktur. Mengingat (๐, ∗) suatu struktur, tentu saja untuk setiap unsur ๐1 , ๐2 , ๐1 , ๐2 ∈ ๐ dengan ๐1 = ๐2 dan ๐1 = ๐2 , memenuhi ๐1 ∗ ๐1 = ๐2 ∗ ๐2 . Sekarang ambil unsur ๐3 , ๐4 , ๐3 , ๐4 ∈ ๐ dengan ๐3 = ๐4 dan ๐3 = ๐4 . Mengingat ๐ ⊆ ๐, pasti didapatkan hasil ๐3 ∗ ๐3 = ๐4 ∗ ๐3. Selain itu, tentu saja subhimpunan ๐ tidak hampa. Dengan demikian, untuk menunjukkan subhimpunan ๐ substruktur dari struktur (๐, ∗) cukup memperlihatkan bahwa subhimpunan ๐ tidak hampa dan tertutup terhadap operasi ∗. Artinya, cukup dengan memperlihatkan bahwa ๐ ≠ ∅ dan semua unsur ๐, ๐ ∈ ๐ memenuhi ๐ ∗ ๐ ∈ ๐. Contoh 2.4. Pandang himpunan bilangan cacah โ. Struktur (โ, +) merupakan substruktur dari struktur (โค, +). Struktur (โ, ×) juga membentuk substruktur dari struktur (โค, ×). 32 Untuk selanjutnya, jika operasi yang dimaksud jelas, maka penulisan (๐, ∗) cukup dengan ๐ saja. Untuk itu, struktur bilangan bulat (โค , + , ×) cukup ditulis dengan struktur โค. Berikut ini disajikan beberapa istilah terkait struktur dan operasinya. Definisi 2.3 Misalkan ∗ operasi pada struktur ๐. Operasi ∗ disebut bersifat asosiatif jika untuk setiap ๐, ๐, ๐ ∈ ๐ memenuhi (๐ ∗ ๐) ∗ ๐ = ๐ ∗ (๐ ∗ ๐). Berdasarkan definisi di atas, terlihat bahwa langkah pengerjaan dalam mengoperasikan ketiga anggota ๐, mengoperasikan unsur yang berada di dalam kurung terlebih dahulu, tidak berpengaruh pada hasil operasi yang diperoleh. Contoh operasi yang asosiatif adalah jumlah dan kali pada struktur bilangan bulat sedangkan yang tidak asosiatif ialah pengurangan pada himpunan bilangan bulat. Definisi 2.4 Misalkan ∗ operasi pada struktur ๐ dan ๐ ∈ ๐. Unsur e disebut identitas struktur ๐ jika ๐ ∗ ๐ = ๐ ∗ ๐ = ๐ untuk setiap ๐ ∈ ๐. Struktur bilangan bulat yang dilengkapi dengan operasi jumlah mempunyai identitas 0, karena untuk setiap ๐ ∈ โค berlaku ๐ + 0 = 0 + ๐ = ๐. Sifat 2.1 Unsur identitas setiap struktur senantiasa tunggal. Bukti. Misalkan ๐, ๐ ∈ ๐ dua buah unsur identitas dan ∗ operasi pada ๐. Karena ๐ identitas, ia memenuhi sifat ๐ ∗ ๐ = ๐. Dengan cara yang sama ๐ juga memenuhi sifat ๐ ∗ ๐ = ๐. Dua hal ini mengakibatkan ๐ = ๐ ∗ ๐ = ๐. Hasil terakhir ini meyakinkan kita bahwa unsur identitas setiap struktur bersifat tunggal.โ Definisi 2.5 Misalkan ∗ operasi pada struktur ๐ dan ๐, ๐ ∈ ๐. Unsur ๐ disebut invers (balikan) ๐ jika ๐ ∗ ๐ = ๐ ∗ ๐ = ๐. Misalkan ๐ ∈ โค. Jika operasi pada โค berupa jumlah, maka invers ๐ adalah – ๐ mengingat ๐ + (−๐) = 0. Sifat 2.2 Misalkan ๐ suatu struktur, ๐ identitas ๐ dan ๐ ∈ ๐ memiliki balikan. Jika operasi pada struktur ๐ asosiatif maka balikan ๐ tunggal. 33 Bukti. Misalkan ๐ dan ๐ dua buah balikan unsur ๐ terhadap operasi ∗, tentu saja ๐ ∗ ๐ = ๐ ∗ ๐ = ๐ = ๐ ∗ ๐ = ๐ ∗ ๐. Sementara itu, mengingat operasi ∗ asosiatif, kita memperoleh unsur ๐ = ๐ ∗ ๐ = ๐ ∗ (๐ ∗ ๐) = (๐ ∗ ๐) ∗ ๐ = ๐ ∗ ๐ = ๐ seperti yang diinginkan. โ Definisi 2.6 Misalkan ∗ operasi pada struktur ๐. Operasi ∗ disebut bersifat komutatif jika untuk setiap unsur ๐, ๐ ∈ ๐ memenuhi ๐ ∗ ๐ = ๐ ∗ ๐. Operasi jumlah dan kali pada struktur bilangan bulat bersifat komutatif sementara operasi perkalian matriks pada struktur matriks 2๐ฅ2 yang determinannya tidak nol tidak komutatif. Misalkan ๐ himpunan tak hampa, ๐(๐) himpunan semua pemetaan pada ๐ dan โ menyatakan komposisi pemetaan. Di sini (๐ โ ๐)(๐ฅ) = ๐(๐(๐ฅ)) untuk setiap ๐ฅ ∈ ๐. Jelas โ operasi pada himpunan ๐(๐) sehingga ๐(๐) membentuk struktur dengan operasi itu. Berikut ini sifat komposisi sebagai suatu operasi. Sifat 2.3 Misalkan ๐ himpunan tak hampa, ๐(๐) himpunan pemetaan pada ๐ dan โ menyatakan operasi komposisi. a. Operasi komposisi pada ๐(๐) bersifat asosiatif dan ๐๐ ∈ ๐(๐) adalah identitas. b. Komposisi pada ๐ = {๐ ∈ ๐(๐)|๐ dapat dibalik} merupakan operasi yang bersifat asosiatif dan ๐๐ ∈ ๐adalah identitas. Bukti. (a). Ambil ๐, ๐, โ ∈ ๐(๐). Perhatikan bahwa ((๐ โ ๐) โ โ)(๐ฅ) = (๐ โ ๐)(โ(๐ฅ)) = ๐ (๐(โ(๐ฅ))) = ๐((๐ โ โ)(๐ฅ)) (๐ โ (๐ โ โ))(๐ฅ) = Dengan demikian, (๐ โ ๐) โ โ = ๐ โ (๐ โ โ). Sekarang pilih ๐๐ ∈ ๐(๐). Perhatikan ๐ โ ๐๐ = ๐ karena (๐ โ ๐๐ )(๐ฅ) = ๐(๐๐ (๐ฅ)) = ๐(๐ฅ), Sementara itu, ๐๐ โ ๐ = ๐ karena (๐๐ โ ๐)(๐ฅ) = ๐๐ (๐(๐ฅ)) = ๐(๐ฅ). Dengan demikian, ๐๐ identitas. (b). Ambil ๐, ๐ ∈ N. Di sini ๐ dan ๐ dapat dibalik. Artinya, pemetaan ๐ dan ๐ keduanya bijektif. Untuk itu, komposisi ๐ โ ๐ juga bijektif sehingga mengakibatkan ๐ โ ๐ dapat dibalik. Jadi dengan kata lain, komposisi operasi pada ๐. Langkah selanjutnya serupa dengan (a). โ Latihan 2.1 1. Jelaskan apakah ∗ merupakan operasi pada bilangan bulat jika untuk setiap ๐, ๐ ∈ โค, diberikan: 34 a. b. c. d. e. f. g. h. ๐∗๐ ๐∗๐ ๐∗๐ ๐∗๐ ๐∗๐ ๐∗๐ ๐∗๐ ๐∗๐ = ๐๐ + 1 = (๐ + ๐)/2 =๐ = ๐๐ 2 = ๐2 + ๐ 2 = 2๐๐ =3 = √๐๐ 2. Apakah operasi berikut (∗) membuat himpunan yang diberikan membentuk suatu struktur aljabar? lengkapi jawaban dengan alasan. a. Operasi ∗ pada โค didefinisikan dengan ๐ ∗ ๐ = ๐๐ b. Operasi ∗ pada himpunan 2โค = {2๐ | ๐ ∈ โค} didefinisikan dengan ๐ ∗ ๐=๐+๐ c. Operasi ∗ pada โ+ didefinisikan dengan ๐ ∗ ๐ = √๐๐ d. Operasi ∗ pada โ didefinisikan dengan ๐ ∗ ๐ = ๐๐ ๐ e. Operasi ∗ pada โ\{0} didefinisikan dengan ๐ ∗ ๐ = ๐ f. Operasi ∗ pada โ didefinisikan dengan ๐ ∗ ๐ = |๐๐| 3. Lengkapi tabel berikut sehingga operasi ∗ menjadi komutatif. ∗ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ 2.2 Grup dan sifat dasar grup Dari struktur yang ada, hanya struktur dengan satu operasi saja yang akan dibahas pada buku ini. Struktur dengan satu operasi yang akan dibahas kali ini berupa grup. Mari perhatikan definisi formal grup seperti berikut ini. Definisi 2.7 Suatu struktur (๐บ, ∗) disebut grup jika memenuhi aksioma berikut. 1. Operasi ∗ pada ๐บ bersifat asosiatif: untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง ∈ ๐บ berlaku sifat (๐ฅ ∗ ๐ฆ) ∗ ๐ง = ๐ฅ ∗ (๐ฆ ∗ ๐ง) 2. Adanya unsur identitas, ditulis: ๐, pada ๐บ: untuk setiap ๐ฅ ∈ ๐บ ada ๐ ∈ ๐บ sehingga berlaku ๐ฅ ∗ ๐ = ๐ ∗ ๐ฅ = ๐ฅ 3. Setiap anggota ๐บ mempunyai invers: untuk setiap ๐ฅ ∈ ๐บ ada ๐ ∈ ๐บ invers ๐ฅ sehingga berlaku ๐ฅ ∗ ๐ = ๐ ∗ ๐ฅ = ๐. Untuk menunjukkan suatu himpunan dengan operasi tertentu adalah grup, kita harus memastikan terlebih dahulu bahwa himpunan itu tidak hampa dan membentuk struktur dengan operasi yang dimaksud tadi. Selanjutnya baru 35 terapkan Definisi 2.7. Berdasarkan definisi ini, setiap grup senantiasa memiliki anggota, setidaknya unsur identitas. Pandang struktur โค๐ untuk suatu ๐ ∈ โค+ . Kemudian ambil tiga buah unsur ๐ฬ , ๐ฬ , ๐ฬ ∈ โค๐ . Perhatikanlah kesamaan berikut ini! ๐ฬ ⊕ (๐ฬ ⊕ ๐ฬ ) = = = = = ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐ฬ ⊕ (๐ + ๐) ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐ + (๐ + ๐) ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ (๐ + ๐) + ๐ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ (๐ + ๐) ⊕ ๐ฬ (๐ฬ ⊕ ๐ฬ ) ⊕ ๐ฬ Kesamaan tadi memperlihatkan sifat asosiatif operasi ⊕ pada โค๐ . Selanjutnya, unsur 0ฬ ∈ โค๐ berperan sebagai identitas mengingat untuk setiap ๐ฬ ∈ โค๐ ia memenuhi 0ฬ ⊕ ๐ฬ = ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ 0 + ๐ = ๐ฬ = ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐ + 0 = ๐ฬ ⊕ 0ฬ . Terakhir, unsur −๐ฬ ∈ โค๐ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ berperan sebagai invers ๐ฬ ∈ โค๐ mengingat ๐ฬ ⊕ (−๐ฬ ) = ๐ + (−๐) = ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐ − ๐ = 0ฬ dan ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ (−๐ฬ ) ⊕ ๐ฬ = (−๐) + ๐ = −๐ + ๐ = 0ฬ . Dengan demikian, struktur โค๐ yang dilengkapi dengan operasi ⊕ membentuk grup. Untuk melihat identitas dan invers tiap unsur pada โค12 silakan lihat kembali Tabel 2.2. Perhatikan contoh berikut ini. Pada contoh ini disajikan himpunan yang berupa grup dan bukan grup. Contoh 2.5. Struktur โค, โ, dan โ dengan operasi + membentuk grup. Sebaliknya, baik struktur โค, โ maupun โ dengan operasi × ketiganya bukan grup mengingat Definisi 2.7(3) tidak terpenuhi. Unsur 2 ∈ โค tidak mempunyai invers kali begitu juga dengan unsur 0 ∈ โ dan 0 ∈ โ. Khususnya untuk struktur โ dan โ dengan operasi ×. Kedua struktur ini masih dapat membentuk grup ketika unsur 0 kita keluarkan dari keduanya, ditulis: โ\{0} dan โ\{0}. ๐ ๐ Contoh 2.6. Misalkan ๐(โ) = {( ) โฃ ๐, ๐, ๐, ๐ ∈ โ}, + operasi jumlah matriks ๐ ๐ dan × operasi kali matriks. Struktur ๐(โ) dengan operasi + membentuk grup, tetapi dengan operasi × tidak membentuk grup. Misalkan ๐ ⊆ ๐(โ) dan setiap anggota ๐ mempunyai invers. Subhimpunan ๐ membentuk grup dengan operasi + maupun ×. Definisi 2.8 Suatu grup disebut komutatif jika operasi pada grup tersebut bersifat komutatif. Grup bilangan bulat โค, bilangan pecahan โ, bilangan riil โ dan bilangan kompleks โ dengan operasi + pada Contoh 2.5 bersifat komutatif. Sementara itu, grup matriks invertible ๐2×2 tidak komutatif. 36 Untuk memudahkan bekerja dengan grup, ada beberapa sifat dasar grup yang perlu kita kuasai. Selain itu, penulisan hasil operasi ๐ dan ๐ yang sebelumnya ditulis ๐ ∗ ๐ mulai sekarang cukup dituliskan ๐๐ saja sementara invers ๐ ditulis: ๐−1 . Sifat 2.4 Misalkan ๐บ suatu grup. Untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐บ berlaku (๐ฅ −1 )−1 = ๐ฅ dan (๐ฅ๐ฆ)−1 = ๐ฆ −1 ๐ฅ −1 . Bukti. Ambil sembarang unsur ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐บ. Mengingat ๐บ suatu grup, ada unsur ๐ฅ −1 , ๐ฆ −1 ∈ ๐บ yang mengakibatkan ๐ฅ −1 ๐ฅ = ๐ dan ๐ฆ −1 ๐ฆ = ๐ untuk suatu ๐ unsur identitas grup ๐บ. Oleh karena ๐ฅ −1 , ๐ฆ −1 ∈ ๐บ, ada (๐ฅ −1 )−1 , ( ๐ฆ −1 )−1 ∈ ๐บ yang juga mengakibatkan (๐ฅ −1 )−1 ๐ฅ −1 = ๐ dan ( ๐ฆ −1 )−1 ๐ฆ −1 = ๐. Dengan demikian, diperoleh (๐ฅ −1 )−1 = = = = = (๐ฅ −1 )−1 ๐ (๐ฅ −1 )−1 (๐ฅ −1 ๐ฅ) ((๐ฅ −1 )−1 ๐ฅ −1 ) ๐ฅ ๐๐ฅ ๐ฅ Selanjutnya, mengingat ๐ฅ๐ฆ ∈ ๐บ tentu saja (๐ฅ๐ฆ)−1 ∈ ๐บ (๐ฅ๐ฆ)−1 (๐ฅ๐ฆ) = ๐. Hal tersebut mengakibatkan hasil berikut ini. (๐ฅ ๐ฆ)−1 (๐ฅ ๐ฆ) (๐ฅ ๐ฆ)−1 (๐ฅ ๐ฆ)( ๐ฆ −1 ๐ฅ −1 ) (๐ฅ ๐ฆ)−1 ๐ฅ(๐ฆ ๐ฆ −1 ) ๐ฅ −1 (๐ฅ ๐ฆ)−1 ๐ฅ๐ ๐ฅ −1 ((๐ฅ ๐ฆ)−1 ๐ฅ)(๐ ๐ฅ −1 ) (๐ฅ ๐ฆ)−1 (๐ฅ ๐ฅ −1 ) (๐ฅ ๐ฆ)−1 ๐ (๐ฅ ๐ฆ)−1 = = = = = = = = sehingga ๐ ๐ฅ −1 ) ๐ฆ −1 ๐ฅ −1 ๐ฆ −1 ๐ฅ −1 ๐ฆ −1 ๐ฅ −1 ๐ฆ −1 ๐ฅ −1 ๐ฆ −1 ๐ฅ −1 ๐ฆ −1 ๐ฅ −1 โ ๐ (๐ฆ −1 Contoh 2.7. Pandang himpunan bilangan bulat sebagai grup dengan operasi jumlah dan himpunan bilangan rasional tak nol sebagai grup dengan operasi kali. Untuk himpunan bilangan bulat berlaku (2−1 )−1 = (−2)−1 = −(−2) = 2 dan (5)−1 = (2 + 3)−1 = (3)−1 + (2)−1 = (−3) + (−2) = −5. Begitu juga untuk himpunan bilangan rasional tak nol akan memenuhi (2−1 )−1 = (12) −1 = 11⁄2 = 2 dan (6)−1 = (2 × 3)−1 = (3)−1 (2)−1 = (13)(12) = 16. 37 Sifat 2.5 Misalkan ๐ suatu struktur asosiatif. Jika ๐ memiliki identitas kiri ๐ dan untuk setiap ๐ฅ ∈ ๐ terdapat ๐ข ∈ ๐ sehingga ๐ข๐ฅ = ๐ maka ๐ grup. Bukti. Misalkan ๐ suatu struktur asosiatif. Struktur ๐ memiliki identitas kiri ๐, artinya untuk setiap ๐ฅ ∈ ๐ berlaku ๐๐ฅ = ๐ฅ. Untuk setiap ๐ฅ ∈ ๐ terdapat ๐ข ∈ ๐ sehingga ๐ข๐ฅ = ๐. Untuk membuktikan ๐ suatu grup cukup dengan menunjukkan bahwa untuk setiap ๐ฅ ∈ ๐ terdapat ๐ข ∈ ๐ yang memenuhi ๐ฅ๐ข = ๐, kemudian menunjukkan ๐ identitas kanan ๐. Ambil ๐ฅ ∈ ๐. Berdasarkan hipotesis, ada ๐ข ∈ ๐ sehingga ๐ข๐ฅ = ๐. Mengingat ๐ข ∈ ๐¸ dengan alasan yang sama, ada ๐ฃ ∈ ๐ sehingga ๐ฃ๐ข = ๐. Perhatikan bahwa ๐ struktur asosiatif dan ๐ identitas kiri. Akibatnya, ๐ข๐ฅ๐ข = (๐ข๐ฅ)๐ข = ๐๐ข = ๐ข. Hal tersebut mengakibatkan ๐ฅ๐ข = ๐(๐ฅ๐ข) = (๐ฃ๐ข)(๐ฅ๐ข) = ๐ฃ(๐ข๐ฅ๐ข) = ๐ฃ๐ข = ๐. Jadi, untuk setiap unsur ๐ฅ ∈ ๐ terdapat unsur ๐ข ∈ ๐ sehingga ๐ฅ๐ข = ๐. Selanjutnya, perhatikan bahwa ๐ฅ๐ = ๐ฅ(๐ข๐ฅ) = (๐ฅ๐ข)๐ฅ = ๐๐ฅ = ๐ฅ. Jadi untuk setiap ๐ฅ ∈ ๐ berlaku ๐๐ฅ = ๐ฅ = ๐ฅ๐, yaitu ๐ unsur identitas di ๐. โ Sifat 2.6 Misalkan ๐ suatu struktur asosiatif. Struktur ๐ membentuk grup jika dan hanya jika untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐ terdapat secara tunggal ๐, ๐ ∈ ๐ yang memenuhi ๐๐ฅ = ๐ฆ dan ๐ฅ๐ = ๐ฆ. Bukti. (⇒). Misalkan struktur ๐ grup. Ambil unsur ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐. Akibatnya, terdapat ๐ฅ −1 , ๐ฆ −1 ∈ ๐ yang memenuhi ๐ฆ๐ฅ −1 , ๐ฅ −1 ๐ฆ ∈ ๐. Pilih unsur ๐ = ๐ฆ๐ฅ −1 ∈ ๐ dan unsur ๐ = ๐ฅ −1 ๐ฆ ∈ ๐. Untuk itu, diperoleh ๐๐ฅ = = = = (๐ฆ๐ฅ −1 )๐ฅ ๐ฆ(๐ฅ −1 ๐ฅ) ๐ฆ๐ ๐ฆ ๐ฅ๐ = = = = ๐ฅ(๐ฅ −1 ๐ฆ) (๐ฅ๐ฅ −1 )๐ฆ ๐๐ฆ ๐ฆ dan Selanjutnya akan ditunjukkan ketunggalan unsur ๐, ๐ ∈ ๐. Misalkan ada ๐ , ๐ ∈ ๐ yang memenuhi ๐′๐ฅ = ๐ฆ dan ๐ฅ๐′ = ๐ฆ. Hal tersebut mengakibatkan ๐′ ๐ฅ = ๐ฆ = ๐๐ฅ dan ๐ฅ๐ ′ = ๐ฆ = ๐ฅ๐. Perhatikan bahwa ′ ′ 38 ๐′ = = = = = ๐′ (๐ฅ๐ฅ −1 ) (๐′ ๐ฅ)๐ฅ −1 (๐๐ฅ)๐ฅ −1 ๐(๐ฅ๐ฅ −1 ) ๐ ๐′ = (๐ฅ −1 ๐ฅ)๐′ = ๐ฅ −1 (๐ฅ๐′) = ๐ฅ −1 (๐ฅ๐) = (๐ฅ −1 ๐ฅ)๐ = ๐ dan ′ Jadi, ๐′ = ๐ dan ๐ ′ = ๐ dan dengan demikian unsur ๐ dan ๐ tunggal. (⇐). Misalkan ๐ struktur asosiatif dan untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐ terdapat secara tunggal ๐, ๐ ∈ ๐ yang memenuhi ๐๐ฅ = ๐ฆ dan ๐ฅ๐ = ๐ฆ. Akan ditunjukkan bahwa ๐ grup. Ambil satu unsur ๐ง ∈ ๐. Untuk itu, terdapat ๐ ∈ ๐ yang memenuhi ๐๐ง = ๐ง. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ๐ identitas kiri. Ambil ๐ฅ ∈ ๐. Ini mengakibatkan ada ๐ ∈ ๐ yang memenuhi ๐ง๐ = ๐ฅ sehingga kita memperoleh ๐๐ฅ = ๐(๐ง๐) = (๐๐ง)๐ = ๐ง๐ = ๐ฅ. Karena untuk setiap ๐ฅ ∈ ๐ berlaku ๐๐ฅ = ๐ฅ, kita menyimpulkan ๐ identitas kiri ๐. Selanjutnya, untuk setiap x ∈ S, terdapat a ∈ S yang memenuhi ax = e. Berdasarkan Sifat 2.5, ๐ suatu grup. โ Sifat 2.6 di atas sebenarnya sudah biasa digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya, ketika berbicara mengenai sistem bilangan bulat dengan operasi jumlah, saat bekerja dengan persamaan ๐ + ๐ฅ = ๐ฆ. Setiap kita mengambil dua buah bilangan bulat ๐ฅ dan ๐ฆ, selalu diperoleh bilangan ๐, dengan cara mengurangkan dua buah bilangan bulat tersebut, ๐ = ๐ฆ − ๐ฅ. Begitu juga ketika dihadapkan dengan struktur bilangan rasional tak nol yang dilengkapi operasi kali (×), kita mempunyai persamaan ๐ × ๐ฅ = ๐ฆ. Untuk itu, setiap kita mengambil dua buah bilangan rasional tak nol ๐ฅ dan ๐ฆ, selalu kita ๐ฆ temukan bilangan ๐, yaitu ๐ = ๐ฅ . Sifat berikut ini ditimbulkan akibat adanya sifat di atas, untuk lebih jelasnya mari kita perhatikan. Sifat 2.7 Unsur identitas dan unsur balikan (invers) pada grup senantiasa tunggal. 39 Bukti. Misalkan ๐บ suatu grup. Ambil ๐ฅ ∈ ๐บ. Berdasarkan Sifat 2.6, ada unsur identitas ๐ ∈ ๐บ yang bersifat tunggal memenuhi ๐๐ฅ = ๐ฅ = ๐ฅ๐ dan ada ๐ฅ −1 ∈ ๐บ secara tunggal sehingga ๐ฅ −1 ๐ฅ = ๐ = ๐ฅ๐ฅ −1 . โ Suatu grup disebut memenuhi hukum pembatalan kiri jika untuk setiap unsur ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง ∈ ๐บ dengan ๐ฅ๐ฆ = ๐ฅ๐ง mengakibatkan ๐ฆ = ๐ง. Di sisi lain, suatu grup disebut memenuhi hukum pembatalan kanan jika untuk setiap unsur ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง ∈ ๐บ dengan ๐ฆ๐ฅ = ๐ง๐ฅ mengakibatkan ๐ฆ = ๐ง. Grup disebut memenuhi hukum pembatalan jika memenuhi pembatalan kiri maupun kanan. Sifat 2.8 Setiap grup senantiasa memenuhi hukum pembatalan kiri maupun pembatalan kanan. Bukti. Misalkan ๐บ suatu grup. Ambil ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง ∈ ๐บ dengan ๐ฅ๐ฆ = ๐ฅ๐ง. Karena ๐บ grup, tentu saja terdapat ๐ฅ −1 , ๐ฆ −1 , ๐ง −1 ∈ ๐บ sehingga diperoleh ๐ฆ = ๐๐ฆ −1 (๐ฅ = ๐ฅ)๐ฆ −1 (๐ฅ๐ฆ) = ๐ฅ = ๐ฅ −1 (๐ฅ๐ง) = (๐ฅ −1 ๐ฅ)๐ง = ๐๐ง = ๐ง ๐ฆ = = = = = = = dan ๐ฆ๐ ๐ฆ(๐ฅ๐ฅ −1 ) (๐ฆ๐ฅ)๐ฅ −1 (๐ง๐ฅ)๐ฅ −1 ๐ง(๐ฅ๐ฅ −1 ) ๐ง๐ ๐ง Jadi setiap grup senantiasa memenuhi hukum pembatalan kiri maupun pembatalan kanan. โ Latihan 2.2 1. Perhatikan soal no. 1 pada Latihan 2.1! Mana saja yang merupakan grup dan yang bukan?. Lengkapi jawaban dengan alasan yang tepat! 2. Misalkan ๐ himpunan semua bilangan real selain −1 dan ∗ operasi pada ๐ yang didefinisikan dengan ๐ ∗ ๐ = ๐ + ๐ + ๐๐. (๐, Tunjukkan bahwa ∗) suatu grup! 3. Tunjukkan bahwa โค4 × โค2 = {(๐, ๐) | ๐ ∈ โค4 , ๐ ∈ โค2 } grup dengan operasi yang didefinisikan oleh 40 (๐, ๐)(๐, ๐) = (๐ ⊕ ๐, ๐ ⊕ ๐) untuk setiap ๐, ๐ ∈ โค4 dan ๐, ๐ ∈ โค2 . 4. Misalkan ๐บ suatu grup. Tunjukkanlah pernyataan berikut benar! a. ๐๐ = ๐๐ jika dan hanya jika ๐−1 ๐ −1 = ๐ −1 ๐−1 untuk setiap ๐, ๐ ∈ ๐บ. b. ๐๐ = ๐๐ jika dan hanya jika (๐๐)2 = ๐2 ๐ 2 untuk setiap ๐, ๐ ∈ ๐บ. c. Grup ๐บ komutatif jika dan hanya jika (๐๐)−1 = ๐−1 ๐ −1 untuk setiap ๐, ๐ ∈ ๐บ. 5. Hanya ada satu cara untuk melengkapi tabel berikut sehingga {๐, ๐, ๐} membentuk grup terhadap operasi ∗. Lengkapilah dan jelaskan kenapa hal tersebut terjadi! ∗ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ 2.3 Subgrup dan sifatnya Misalkan ๐บ suatu grup dan ๐ป ⊆ ๐บ. Jika ๐ป mempunyai struktur yang sama dengan ๐บ maka ๐ป disebut subgrup ๐บ. Berikut ini disajikan definisi formal subgrup. Definisi 2.9 Misalkan ๐บ suatu grup dan ๐ป ⊆ ๐บ. Subhimpunan ๐ป disebut subgrup ๐บ, ditulis: ๐ป ≤ ๐บ, jika ๐ป membentuk grup dengan operasi yang sama pada ๐บ. Misalkan ๐บ suatu grup dan ๐ป subgrup ๐บ, tentu saja subhimpunan ๐ป substruktur ๐บ. Lebih jauh lagi, subhimpunan ๐ป pasti tak hampa dan tertutup terhadap operasi di ๐บ, yakni: setiap unsur ๐, ๐ ∈ ๐ป memenuhi ๐๐ ∈ ๐ป. Selanjutnya, substruktur ๐ป juga memenuhi tiga sifat grup yaitu operasi pada ๐ป bersifat asosiatif, adanya unsur identitas di ๐ป dan setiap unsur di ๐ป memiliki invers. Tidak semua subhimpunan dari sembarang grup membentuk grup. Perhatikanlah struktur bilangan real tak nol dengan operasi kali. Bentuk 3 5 subhimpunan ๐ป1 = {5 , 1, 3 , 2, 3, }. Jelas terlihat subhimpunan ๐ป1 bukan grup mengingat tidak semua unsur di ๐ป1 memiliki invers. Oleh karena itu, ๐ป1 bukan subgrup dari grup bilangan real tak nol dengan operasi kali. Sekarang bentuk subhimpunan ๐ป2 = {−1, 1}. Mengingat subhimpunan ๐ป2 membentuk grup dengan operasi kali, jelas ๐ป2 membentuk subgrup dari grup bilangan real tak nol dengan operasi kali. 41 Contoh 2.8. Berikut ini disajikan beberapa contoh subgrup. 1. Untuk operasi jumlah, grup bilangan bulat dapat dipandang sebagai subgrup dari grup bilangan real. 2. Untuk operasi kali, {1, −1} membentuk subgrup dari himpunan bilangan real tak nol. 3. Setiap grup merupakan subgrup dari dirinya sendiri. 4. Jika ๐ identitas grup ๐บ, maka {๐} subgrup dari ๐บ. Perhatikan grup ๐บ dan subhimpunan {๐๐บ } ⊆ ๐บ. Baik grup ๐บ maupun subhimpunan {๐๐บ }, dua-duanya merupakan subgrup ๐บ. Untuk itu, setiap grup senantiasa memiliki paling tidak subgrup {๐๐บ } dan ๐บ. Subgrup {๐๐บ } disebut subgrup trivial sementara subgrup selain {๐๐บ } disebut subgrup non trivial. Ketika ๐บ = {๐๐บ }, grup ๐บ disebut trivial. Subgrup ๐ป disebut sejati jika subgrup ๐ป tidak sama dengan grup ๐บ, ditulis: ๐ป < ๐บ. Tentu saja grup trivial tidak memiliki subgrup sejati. Subgrup trivial {๐๐บ } disebut subgrup identitas, ditulis: ๐. Untuk grup trivial, subgrup itu disebut grup identitas. Identitas subgrup tidak lain identitas grup induknya. Begitu juga, invers setiap unsur pada subgrup juga invers unsur tersebut pada grup induknya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan sifat berikut ini. Sifat 2.9 Misal G suatu grup dan ๐ป subgrup ๐บ. a. Jika ๐ identitas ๐ป dan ๐ identitas ๐บ, maka ๐ = ๐ b. Jika ๐ฅ ∈ ๐ป, maka invers ๐ฅ di ๐ป sama dengan invers ๐ฅ di ๐บ. Bukti. (๐). Misalkan ๐บ suatu grup dengan unsur identitasnya ๐ dan ๐ป subgrup ๐บ dengan unsur identitas ๐. Mengingat ๐ identitas ๐ป, akibatnya ๐๐ = ๐. Selain itu, karena ๐ ∈ ๐ป ⊆ ๐บ, ada ๐ −1 ∈ ๐บ sehingga ๐ −1 ๐ = ๐ ๐ −1 = ๐. Dengan demikian, diperoleh bahwa ๐ −1 (๐๐) (๐ −1 ๐)๐ ๐๐ ๐ = = = = ๐ −1 ๐ ๐ ๐ ๐ (b). Ambil ๐ฅ ∈ ๐ป. Karena ๐ป subgrup, tentunya terdapat ๐ ∈ ๐ป invers ๐ฅ di ๐ป sehingga ๐ฅ๐ = ๐๐ฅ = ๐. Selain itu, ๐ป ⊆ ๐บ mengakibatkan ๐ฅ ∈ ๐บ dan dengan demikian ada ๐ ∈ ๐บ invers ๐ฅ di ๐บ sehingga ๐ฅ๐ = ๐๐ฅ = ๐. Akan kita tunjukkan bahwa ๐ = ๐. Dengan menggunakan Sifat 2.7 diperoleh bahwa ๐ = ๐. โ Sifat 2.10 Misalkan ๐บ suatu grup dan ๐ป subhimpunan ๐บ. ๐ป subgrup ๐บ jika dan hanya jika a) Subhimpunan ๐ป tidak hampa; b) setiap unsur ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐ป memenuhi ๐ฅ๐ฆ ∈ ๐ป; dan 42 c) setiap unsur ๐ฅ ∈ ๐ป memenuhi ๐ฅ −1 ∈ ๐ป. Bukti. (โน). Misalkan ๐บ grup dan ๐ป subgrup ๐บ. Berdasarkan definisi subgrup, ๐ป membentuk grup dengan operasi yang sama pada ๐บ. Berdasarkan Sifat 2.9, unsur identitas ๐๐บ = ๐๐ป ∈ ๐ป, paling tidak ๐ป memiliki unsur identitas sehingga ๐ป tak hampa. Begitu juga, mengingat ๐ป membentuk grup dengan operasi yang sama di ๐บ, tentu saja grup ๐ป tertutup terhadap operasi itu, yakni semua unsur ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐ป mengakibatkan ๐ฅ๐ฆ ∈ ๐ป. Dengan Sifat 2.9, unsur ๐ฅ −1 ∈ ๐ป untuk setiap ๐ฅ ∈ ๐ป. (โธ). Misalkan ๐บ grup dan ๐ป subhimpunan ๐บ yang memenuhi syarat: ๐). Himpunan tak hampa, ๐). setiap unsur ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐ป memenuhi ๐ฅ๐ฆ ∈ ๐ป dan c). setiap unsur ๐ฅ ∈ ๐ป memenuhi ๐ฅ −1 ∈ ๐ป. Akan kita tunjukkan bahwa subhimpunan ๐ป subgrup ๐บ. Untuk menunjukkan ๐ป subgrup ๐บ, cukup dengan menunjukkan bahwa ๐ป membentuk grup dengan operasi yang sama di grup ๐บ. Untuk itu, akan ditunjukkan hal berikut. Pertama, tunjukkan terlebih dahulu subhimpunan ๐ป membentuk struktur dengan operasi yang sama di ๐บ. Kemudian tinggal terapkan definisi grup, yakni: tunjukkan bahwa operasi pada subhimpunan ๐ป bersifat asosiatif, subhimpunan ๐ป memiliki unsur identitas dan semua unsur ๐ป memiliki invers. Syarat ๐) dan ๐) menunjukkan subhimpunan ๐ป suatu struktur dengan operasi yang sama di ๐บ. Mengingat ๐ป ⊆ ๐บ dan ๐ป struktur dengan operasi yang sama di ๐บ, jelas sifat asosiatif operasi pada ๐บ berlaku juga pada ๐ป. Selanjutnya, berdasarkan syarat ๐), terlihat jelas semua anggota ๐ป memiliki invers. Terakhir, ambil unsur ๐ฅ ∈ ๐ป. Akibatnya, terdapat ๐ฅ −1 ∈ ๐ป dan berdasarkan syarat ๐) diperoleh ๐ = ๐ฅ −1 ๐ฅ ∈ ๐ป. Jadi, ๐ป memiliki unsur identitas. Mengingat subhimpunan ๐ป membentuk grup dengan operasi yang sama pada ๐บ, terbukti ๐ป subgrup ๐บ.โ Sifat 2.11 Misalkan ๐บ suatu grup dan ๐ป subhimpunan ๐บ. Subhimpunan ๐ป membentuk subgrup ๐บ jika dan hanya jika subhimpunan ๐ป tidak hampa dan setiap unsur ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐ป memenuhi ๐ฅ๐ฆ −1 ∈ ๐ป. Bukti. (⇒). Misalkan ๐บ suatu grup dan ๐ป subgrup ๐บ. Berdasarkan Sifat 2.10, diperoleh ๐ป tidak hampa. Ambil ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐ป. Dengan alasan yang sama diperoleh ๐ฅ๐ฆ ∈ ๐ป dan ๐ฅ −1 , ๐ฆ −1 ∈ ๐ป dan mengakibatkan ๐ฅ๐ฆ −1 ∈ ๐ป. (⇐). Misalkan ๐บ suatu grup dan ๐ป subhimpunan ๐บ yang memenuhi sifat ๐ป tidak hampa dan setiap unsur ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐ป memenuhi ๐ฅ๐ฆ −1 ∈ ๐ป. Akan ditunjukkan ๐ป subgrup ๐บ. 43 Mengingat subhimpunan ๐ป tidak hampa dan setiap unsur ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐ป memenuhi ๐ฅ๐ฆ −1 ∈ ๐ป, tentu saja ada โ ∈ ๐ป yang memenuhi ๐ = โโ−1 ∈ ๐ป. Selanjutnya, untuk setiap ๐ฅ ∈ ๐ป mengakibatkan ๐ฅ −1 = ๐๐ฅ −1 ∈ ๐ป. Terakhir, ambil unsur ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐ป. Mengingat ๐ฆ −1 ∈ ๐ป, hal tersebut mengakibatkan ๐ฅ๐ฆ = ๐ฅ(๐ฆ −1 )−1 ∈ ๐ป. Berdasarkan Sifat 2.10, diperoleh ๐ป subgrup ๐บ.โ Latihan 2.3 1. Misalkan ๐บ suatu grup dan ๐ป subgrup dari ๐บ. Tunjukkan bahwa setiap subgrup dari ๐ป juga subgrup dari ๐บ! 2. Misalkan ๐ด dan ๐ต duanya subgrup ๐บ. Tunjukkan pernyataan berikut ini benar! a. ๐ด ∩ ๐ต subgrup ๐บ. b. ๐ด ∪ ๐ต subgrup ๐บ jika dan hanya jika ๐ด ⊆ ๐ต atau ๐ต ⊆ ๐ด. 3. Tunjukkan dengan contoh bahwa ๐ด ∪ ๐ต tidak selalu membentuk subgrup ๐บ untuk setiap ๐ด dan ๐ต keduanya subgrup ๐บ! 4. Misalkan ๐บ suatu grup serta ๐ป dan ๐พ subgrup ๐บ. Tunjukkan bahwa subhimpunan ๐พ๐ป = {๐ฅ๐ฆ | ๐ฅ ∈ ๐พ, ๐ฆ ∈ ๐ป} subgrup ๐บ jika dan hanya jika ๐พ๐ป ⊆ ๐ป๐พ dengan ๐ป๐พ = {๐ฆ๐ฅ | ๐ฅ ∈ ๐พ, ๐ฆ ∈ ๐ป}! 5. Tunjukkan pernyataan soal nomor 4 salah jika grup ๐บ tidak komutatif! 2.4 Orde grup dan anggota grup Orde grup ๐บ, ditulis: |๐บ| atau ๐(๐บ), adalah banyaknya anggota himpunan ๐บ. Suatu grup disebut hingga atau tidak, tergantung pada ordenya. Jika orde grup tersebut hingga, grup itu disebut dengan grup hingga begitu juga sebaliknya. Dengan kata lain, grup hingga adalah grup yang memiliki berhingga buah unsur sedangkan grup tak hingga adalah grup yang memiliki tak hingga buah unsur. Pada pembahasan operasi, telah diperkenalkan tabel Cayley. Mengingat tabel Cayley berfungsi untuk menyajikan operasi pada grup hingga, tabel tersebut tentunya harus memenuhi sifat-sifat grup seperti yang telah kita bahas. Berikut ini beberapa sifat yang harus dimiliki oleh tabel Cayley untuk grup hingga. 1. Terdapat baris (kolom) yang merupakan salinan dari baris (kolom) penunjuk. 2. Setiap baris (kolom) tidak boleh memuat unsur lebih dari satu kali. 3. Unsur identitas harus muncul secara simetris terhadap diagonal utama tabel. 44 Perhatikan tabel Cayley untuk operasi ⊕ pada โค3 berikut ini. ⊕ ฬ ๐ ฬ ๐ ฬ ๐ ฬ ๐ ฬ ๐ 0ฬ 1ฬ 1ฬ 2ฬ 2ฬ 0ฬ ฬ ๐ 2ฬ 0ฬ 1ฬ Tabel 2.4 Operasi ⊕ pada grup โค๐ Pada Tabel 2.4 terlihat bahwa ketiga syarat tabel Cayley telah terpenuhi. Seperti halnya grup, anggota grup juga memiliki orde. Sebelum bahasan orde unsur disajikan, perhatikan terlebih dahulu definisi berikut ini. Definisi 2.10 Misalkan ๐บ suatu grup, ๐ ∈ ๐บ dan ๐ ∈ โ. Pangkat ke-๐ unsur ๐, ditulis: ๐๐ , didefinisikan sebagai operasi n buah unsur ๐, ditulis: ๐0 = ๐, ๐1 = ๐, ๐2 = ๐๐, …, ๐๐ = ๐๐ โ … ๐. ๐ Sementara itu, pangkat ke- −๐ unsur ๐, ditulis: ๐−๐ , didefinisikan sebagai operasi n buah unsur ๐−1 , ditulis: (−๐)(−๐) … (−๐). ๐−๐ = (๐−1 )๐ = โ ๐ Berdasarkan induksi matematika, diperoleh ๐๐ ๐๐ = ๐๐+๐ , (๐๐ )๐ = ๐๐๐ dan (๐๐ )−1 = ๐ −๐ untuk semua bilangan bulat ๐ dan ๐. Untuk operasi +, ๐๐ = ๐ + ๐ + โฏ + ๐ = ๐๐ dan ๐ −๐ = (๐−1 )๐ = (−๐) + (−๐) + โฏ + (−๐) = ๐(−๐). Dengan demikian, ๐๐ ๐๐ = ๐๐ + ๐๐ = (๐ + ๐)๐ = ๐๐+๐ , (๐๐)๐ = (๐๐)๐ = ๐๐๐ dan (๐๐ )−1 = −(๐๐) = (−๐)๐ = ๐−๐ . (๐๐ )๐ = ๐(๐๐) = Definisi 2.11 Misalkan ๐บ suatu grup dan ๐ ∈ ๐บ. Bilangan asli terkecil ๐ disebut orde ๐, ditulis: ๐(๐), jika memenuhi ๐๐ = ๐. Ketika tidak ada ๐ yang memenuhi, orde ๐ disebut tak hingga. Contoh 2.9. Pandang grup (โค6 ,⊕). Himpunan โค6 = {0ฬ , 1ฬ , 2ฬ , 3ฬ , 4ฬ , 5ฬ }. Orde grup โค6 , yaitu: |โค6 | = 6. Orde unsur 2ฬ , ๐(2ฬ ) = 3. Hal tersebut terjadi karena 3 bilangan asli terkecil yang mengakibatkan 2ฬ 3 = 2ฬ ⊕ 2ฬ ⊕ 2ฬ = 6ฬ = 0ฬ . Mengingat 6 > 3, ฬ ฬ = 0ฬ , 6 bukan orde unsur 2ฬ . walaupun 2ฬ 6 = 2ฬ ⊕ 2ฬ ⊕ 2ฬ ⊕ 2ฬ ⊕ 2ฬ ⊕ 2ฬ = ฬ ฬ 12 Contoh 2.10. Pandang grup bilangan bulat, โค, dengan operasi jumlah. Orde grup โค, yaitu: |โค| = ∞. Sementara itu, orde unsur 1 ∈ โค, yaitu: ๐(1) = ∞. Hal ini disebabkan tidak ada ๐ ∈ โค+ yang membuat ๐ = โ 1 + 1 + โฏ + 1 = 1๐ = ๐โค = 0. ๐ 45 Latihan 2.4 1. Apakah pada grup komutatif setiap unsur non identitasnya memiliki orde dua? 2. Tunjukkan jika ๐บ suatu grup dan ๐, ๐ ∈ ๐บ, pernyataan berikut ini benar! a. ๐(๐−1 ) = ๐(๐). b. ๐(๐−1 ๐๐) = ๐(๐). c. ๐(๐๐) = ๐(๐๐). 3. Berikan contoh grup yang persamaan ๐ฅ 2 = ๐ memiliki lebih dari dua buah solusi. 4. Berikan contoh grup yang memuat unsur non identitas dengan orde hingga dan tak hingga 5. Apakah setiap grup dengan orde ๐ memiliki unsur dengan orde ๐? 6. Apakah setiap grup yang mempunyai subgrup dengan orde ๐, mempunyai unsur dengan orde ๐? 46 BAB 3 GRUP SIMETRI Simetri berasal dari dua akar kata dalam bahasa Yunani, yaitu: syn dan metry. Kata syn artinya bersama, berbarengan, serentak, satu sama lain atau sekalian. Sementara kata metry artinya pengukuran atau ukuran. Menurut kamus besar bahasa Indonesia, simetri berarti seimbang atau selaras: bentuk ukuran dan sebagainya. Simetri sendiri secara istilah dapat diartikan sebagai gerakan yang tidak dapat dilacak atau dideteksi. Gerakan tersebut bisa berupa pencerminan, rotasi, gabungan keduanya maupun gerakan lainnya yang menyebabkan perubahan posisi benda tidak dapat dilacak. Dalam hal ini, tidak melakukan gerakan (posisi semula) termasuk simetri. Simetri demikian disebut identitas. Simetri identitas didapat dengan cara melakukan rotasi 00 , mengingat rotasi tersebut merupakan posisi awal. Simetri yang diperoleh melalui pencerminan disebut dengan simetri lipat sementara yang melalui rotasi disebut simetri putar. Benda disebut simetris jika memiliki simetri yang tidak hanya berupa simetri identitas. Banyak sekali bangun simetris yang dapat kita jumpai di sekitar kita. Susunan benda-benda identik juga tidak dapat dilacak jika dilakukan gerakan pada susunan benda-benda tersebut. Gerakan pada susunan ini dapat dilakukan dengan memindahkan langsung, memutar, mencerminkan, dan lain sebagainya. Untuk itu, susunan benda identik tersebut juga disebut simetri. Setiap gerakan yang diberikan pada benda, menimbulkan perubahan posisi benda tersebut. Secara umum, susunan anggota himpunan disebut dengan permutasi himpunan. Dalam hal ini, tentu saja semua anggota harus masuk dalam setiap bentuk susunan. 3.1 Permutasi Secara informal, permutasi himpunan tidak lain susunan anggota himpunan tersebut. Untuk dapat memahami pernyataan itu, perhatikanlah contoh berikut. Contoh 3.1. Ada enam permutasi yang mungkin pada himpunan ๐ = {1,2,3}. 123 132 213 231 312 321 47 Semua permutasi ini dapat dipandang sebagai pemetaan bijektif dari himpunan ๐ ke ๐, yaitu dengan cara memetakan 1 ke unsur pertama, 2 ke unsur ke-2 dan 3 ke unsur ke-3 pada setiap permutasi. Pemetaan bijektif yang dimaksud adalah sebagai berikut. Permutasi 1 2 3 dapat dipandang sebagai pemetaan ๐1 : ๐ โถ ๐ seperti terlihat di bawah ini. 1 ๐1 1 2 2 3 3 S S Permutasi 1 3 2 dapat dipandang sebagai pemetaan ๐2 : ๐ โถ ๐ seperti terlihat di bawah ini. ๐2 1 1 2 2 3 3 S S Permutasi 2 1 3 dapat dipandang sebagai pemetaan ๐3 : ๐ โถ ๐ seperti terlihat di bawah ini. ๐3 1 1 2 2 3 3 S S 48 Permutasi 2 3 1 dapat dipandang sebagai pemetaan ๐4 : ๐ โถ ๐ seperti terlihat di bawah ini. ๐4 1 1 2 2 3 3 S S Permutasi 3 1 2 dapat dipandang sebagai pemetaan ๐5 : ๐ โถ ๐ seperti terlihat di bawah ini. ๐5 1 1 2 2 3 3 S S Permutasi 3 2 1 dapat dipandang sebagai pemetaan ๐6 : ๐ โถ ๐ seperti terlihat di bawah ini. ๐6 1 1 2 2 3 3 S S Setelah mencermati uraian di atas, jelas bahwa permutasi tidak lain pemetaan bijektif. Untuk selanjutnya, mengingat permutasi suatu pemetaan, permutasi dapat dinyatakan dengan menggunakan tanda pemetaan, yakni dengan menggunakan huruf kecil (lower case) latin atau abjad Yunani. Untuk 49 membedakan dengan pemetaan pada umumnya, permutasi pada buku ini ditulis menggunakan huruf kecil (lower case) Yunani. Definisi 3.1 Misalkan ๐ himpunan tak hampa, ๐(๐) himpunan pemetaan pada ๐, โ menyatakan komposisi pemetaan pada ๐(๐) dan ๐ ∈ ๐(๐). Pemetaan ๐ disebut permutasi pada ๐ jika ๐ bijektif. Perhatikan kembali semua permutasi pada ๐ = {1,2,3} yang telah diuraikan dalam Contoh 3.1. Selain menggunakan diagram panah, semua permutasi itu dapat juga disajikan dengan cara berikut. Permutasi ๐1 memetakan 1 โฆ 1, 2 โฆ 2 dan 3 โฆ 3. Permutasi ๐2 memetakan 1 โฆ 1, 2 โฆ 3 dan 3 โฆ 2. Permutasi ๐3 memetakan 1 โฆ 2, 2 โฆ 1 dan 3 โฆ 3. Permutasi ๐4 memetakan 1 โฆ 2, 2 โฆ 3 dan 3 โฆ 1. Permutasi ๐5 memetakan 1 โฆ 3, 2 โฆ 1 dan 3 โฆ 2. Permutasi ๐6 memetakan 1 โฆ 3, 2 โฆ 2 dan 3 โฆ 1. Penyajian permutasi dengan menggunakan cara diagram panah terlalu memakan tempat. Sementara penyajian seperti di atas tidak terpadu. Penyajian permutasi berikut ini dapat mengatasi kedua masalah tersebut untuk permutasi pada himpunan hingga. Misalkan ๐ = {1,2, โฏ , ๐} dan ๐ ∈ ๐(๐) suatu permutasi. Permutasi ๐ ditulis sebagai berikut. 1 2 ( ๐(1) ๐(2) โฏ ๐ ) โฏ ๐(๐) Baris pertama pada tanda permutasi di atas berisi semua anggota domain ๐ sementara pada baris ke dua berisi ๐(๐) ∈ ๐ untuk semua ๐ ∈ ๐. Permutasi ๐ memetakan 1 โฆ ๐(1), 2 โฆ ๐(2), โฏ , ๐ โฆ ๐(๐), โฏ , ๐ โฆ ๐(๐). Dengan cara baru ini, semua permutasi pada Contoh 3.1, dapat dituliskan menjadi 1 2 1 2 3 1 2 3 1 ), ๐2 = ( ), ๐3 = ( 3 1 3 2 2 1 2 2 3 3 1 2 ), ๐5 = ( 1 3 1 ๐1 = ( ๐4 = ( 2 3 ), 1 3 3 1 2 3 ), ๐6 = ( ) 2 3 2 1 Mari kita perhatikan kembali permutasi ๐. Permutasi yang memetakan 1 โค ๐(1), 2 โค ๐(2), โฏ , ๐ โค ๐(๐), โฏ , ๐ โค ๐(๐), disebut invers permutasi ๐, ditulis: ๐ −1 , mengingat permutasi itu memenuhi Definisi 2.5. Untuk itu, kita dapat menentukan invers setiap permutasi pada Contoh 3.1. 1 1 ๐1−1 = ( 2 3 −1 1 ) =( 2 3 1 2 3 1 ), ๐2−1 = ( 2 3 1 50 2 3 −1 1 2 3 ) =( ), 3 2 1 3 2 ๐3−1 = ( 1 2 2 3 −1 1 ) =( 1 3 2 2 3 1 ), ๐4−1 = ( 1 3 2 2 3 −1 1 2 3 ) =( ), 3 1 3 1 2 ๐5−1 = ( 1 3 2 3 −1 1 ) =( 1 2 2 2 3 1 ), ๐6−1 = ( 3 1 3 2 3 −1 1 2 3 ) =( ). 2 1 3 2 1 Selain dengan cara sebelumnya, permutasi juga dapat disajikan dalam bentuk siklus. Misalkan ๐ suatu himpunan hingga, |๐| = ๐, unsur ๐1 , ๐2 , … , ๐๐ ∈ ๐ dengan ๐ ≤ ๐ dan (๐1 ๐2 … ๐๐ ) ∈ ๐(๐) siklus. Siklus (๐1 ๐2 … ๐๐ ) menyatakan permutasi pada ๐ yang mengaitkan ๐1 โฆ ๐2 โฆ โฏ โฆ ๐๐−1 โฆ ๐๐ โฆ ๐1 dan ๐ฅ โฆ ๐ฅ untuk semua ๐ฅ selain ๐1 , ๐2 , … , ๐๐ dengan ๐ฅ ∈ ๐. Perlu diperhatikan bahwa pada siklus (๐1 ๐2 … ๐๐ ), unsur ๐1 , ๐2 , … , ๐๐ semuanya berbeda dengan ๐ disebut panjang siklus (๐1 ๐2 … ๐๐ ). Siklus (๐1 ๐2 … ๐๐ ) dan siklus (๐1 ๐2 … ๐๐ ) disebut saling lepas jika himpunan {๐1 , ๐2 , … , ๐๐ } dan himpunan {๐1 , ๐2 , … , ๐๐ } saling lepas. Setiap permutasi dapat disajikan dalam bentuk siklus tunggal atau komposisi siklus yang saling lepas. Misalkan ๐ = {1, 2, … , ๐} dan ๐ ∈ ๐(๐). Untuk menyajikan permutasi ๐ dalam bentuk siklus, ikuti langkah-langkah berikut. 1. Ambil unsur 1 ∈ ๐. Kemudian lihat nilai ๐(1), ๐(๐(1)), โฏ pada permutasi ๐ sehingga didapatkan barisan 1, ๐(1), ๐(๐(1)), … , ๐ (… (๐(1))) Misalkan diperoleh nilai ๐(1) = ๐1 , ๐(๐(1)) = ๐2 hingga ditemukan nilai ๐ (… (๐(1))) = ๐๐ = 1, satu barisan penuh telah didapatkan, yaitu: 1, ๐1 , ๐2 , … , ๐๐−1 . dengan 1 ≠ ๐1 ≠ ๐2 ≠ … , ≠ ๐๐−1. Dengan demikian, berarti telah diperoleh satu siklus (1 ๐1 ๐2 … ๐๐−1 ). Selanjutnya, jika ๐ = ๐, permutasi ๐ disajikan dalam bentuk satu siklus tunggal mengingat semua anggota ๐ masuk ke dalam siklus, ditulis: ๐ = (1 ๐1 ๐2 … ๐๐−1 ). 2. Sekarang, jika masih ada anggota ๐ yang belum masuk dalam siklus, yaitu: ๐ < ๐, proses pembentukan siklus harus diteruskan lagi seperti langkah pertama untuk ๐ ∈ ๐ tetapi ๐ ∉ {1, ๐1 , ๐2 , … , ๐๐−1 }. Pada proses ini, diperoleh barisan ๐, ๐(๐), ๐(๐(๐)), … , ๐ (… (๐(๐))) Proses ini berhenti sampai diperoleh ๐ (… (๐(๐))) = ๐ sampai dengan semua anggota ๐ habis masuk ke salah satu siklus sehingga ๐ menjadi ๐ = (1 ๐1 ๐2 … ๐๐−1 )(๐๐+1 ๐๐+2 … ) … . 51 Pengambilan awal pada langkah pertama tidak harus dimulai dari 1, bisa dimulai dari anggota ๐ yang mana saja. Contoh 3.2. Perhatikan himpunan ๐ = {1, 2, 3, 4, 5}. Pilih permutasi pada ๐, 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 misalnya ๐ = ( ) dan ๐ = ( ). Bentuk siklus 3 4 5 2 1 2 4 1 5 3 permutasi ๐ = (1 3 5)(2 4) dan ๐ = (1 2 4 5 3). Untuk mendapatkan bentuk siklus permutasi ๐ dalam Contoh 3.2 perhatikan penjelasan berikut ini. 1 2 3 4 5 3 4 5 2 1 = 1 3 5 2 4 Untuk mendapatkan bentuk siklus permutasi ๐ dalam Contoh 3.2 dilakukan dengan cara yang sama seperti mendapatkan siklus permutasi ๐. Pada permutasi ๐, siklus (1 3 5) memiliki panjang 3, sementara siklus (2 4) memiliki panjang 2. Siklus (1 2 4 5 3) pada permutasi ๐ memiliki panjang 5. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut ini. Gambar 3.1 Siklus pada permutasi ๐ dan ๐ Pada Gambar 3.1, terlihat jelas permutasi ๐ memiliki dua siklus yang saling lepas, sedangkan permutasi ๐ hanya memiliki satu siklus. Penulisan unsur dalam satu siklus tidak harus selalu dimulai dari unsur pertama dalam rangkaian barisan unsur pada siklus tersebut, seperti dalam penjelasan langkah-langkah pembentukan siklus. Misalkan siklus (1 3 5), memetakan 1 โฆ 3 โฆ 5, bisa ditulis dengan (3 5 1). Dalam gambar siklus terlihat jelas kesamaan tersebut. Dua siklus yang saling lepas bersifat komutatif. Untuk itu, ๐ = (1 3 5)(2 4) = (2 4)(1 3 5) mengingat siklus (1 3 5) dan (2 4) saling lepas. Contoh 3.3. Semua permutasi dalam Contoh 3.1 dapat dituliskan kembali menjadi bentuk siklus. Perhatikan dahulu penjelasan berikut ini. ๐1 = ( 1 2 1 2 3 ) = (1)(2)(3) = (1) = (2) = (3), 3 52 1 2 ๐2 = ( 1 3 3 ) = (1)(2 3) = (2 3), 2 1 2 ๐3 = ( 2 1 3 ) = (1 2)(3) = (1 2), 3 1 2 2 3 3 ) = (1 2 3), 1 1 2 3 1 3 ) = (1 3 2), 2 ๐4 = ( ๐5 = ( 1 2 ๐6 = ( 3 2 3 ) = (1 3)(2) = (1 3). 1 Berdasarkan penjelasan ini, diperoleh bahwa ๐1 = (1), ๐2 = (2 3), ๐3 = (1 2), ๐4 = (1 2 3), ๐5 = (1 3 2) dan ๐6 = (1 3)(2). Siklus dengan panjang dua disebut transposisi. Siklus (1 2), (1 3) dan (2 3) pada Contoh 3.3 merupakan transposisi. Pada contoh itu, permutasi ๐2 , ๐3 dan ๐6 ditulis sebagai komposisi satu buah transposisi. Selanjutnya, perhatikan permutasi ๐4 dan ๐5 ๐4 = (1 2 3) = (1 3)(1 2), ๐5 = (1 3 2) = (1 2)(1 3), permutasi ๐4 dan ๐5 keduanya ditulis sebagai komposisi dua transposisi. Permutasi ๐4 ditulis sebagai komposisi dua transposisi (1 3)(1 2). Permutasi ๐5 ditulis sebagai komposisi dua transposisi (1 2)(1 3). Sisanya, Permutasi ๐1 = (1) = (1 2)(1 2) = (1 3)(1 3) = (2 3)(2 3). Permutasi ๐1 dapat ditulis sebagai komposisi dua buah transposisi yang sama. Hal tersebut terjadi karena balikan transposisi adalah dirinya sendiri. Tidak semua permutasi dapat dituliskan sebagai komposisi dari transposisi-transposisi yang saling lepas. Meskipun demikian, setiap permutasi bisa dituliskan sebagai komposisi dari beberapa transposisi. Secara umum, siklus yang memuat ๐ unsur dapat dituliskan sebagai komposisi ๐ − 1 transposisi. (๐1 ๐2 โฏ ๐๐−1 ๐๐ ) = (๐1 ๐๐ )(๐1 ๐๐−1 ) โฏ (๐1 ๐2 ) Latihan 3.1 1 3 Misalkan permutasi ๐ผ = ( 2 3 4 5 4 1 5 1 2 3 ) dan ๐ฝ = ( 2 4 3 1 4 5 ) 5 2 1. Nyatakan permutasi ๐ผ dan ๐ฝ dalam bentuk siklus! 2. Apakah siklus yang diperoleh dari permutasi ๐ผ dan ๐ฝ saling lepas? 3. Tentukan panjang siklus yang diperoleh dari masing-masing permutasi itu! 53 4. Apakah permutasi ๐ผ dan ๐ฝ yang diperoleh pada soal No.1 sudah dalam siklus transposisi? Jika tidak, apakah masih bisa dituliskan dalam transposisi? 5. Tentukan invers dan orde permutasi ๐ผ dan ๐ฝ! 3.2 Grup simetri Pada bagian pembahasan struktur aljabar, telah dijelaskan bahwa himpunan ๐(๐) dengan ๐ himpunan tak hampa membentuk struktur jika dilengkapi operasi komposisi pemetaan. Untuk setiap ๐, ๐ ∈ ๐(๐), komposisi pemetaan pada ๐(๐) didefinisikan: (๐๐)(๐ฅ) = ๐(๐(๐ฅ)) untuk setiap ๐ฅ ∈ ๐. Sekarang pandang himpunan ๐๐๐(๐) = {๐ ∈ ๐(๐) | ๐ permutasi}. Himpunan ๐๐๐(๐) tidak lain himpunan semua permutasi pada ๐ dan ๐๐๐(๐) ⊆ ๐(๐). Pilih ๐๐ ∈ ๐(๐) dengan ๐๐ (๐ฅ) = ๐ฅ untuk setiap ๐ฅ ∈ ๐. Jelas pemetaan ๐๐ bijektif dan untuk itu ๐๐ suatu permutasi. Mengingat ๐๐ ∈ ๐๐๐(๐), jelas subhimpunan ๐๐๐(๐) ≠ ∅. Ambil ๐, ๐ ∈ ๐๐๐(๐). Mengingat setiap permutasi itu pemetaan bijektif, menurut Sifat 1.8, komposisi ๐๐ juga bijektif. Itu artinya ๐๐ suatu permutasi dan mengakibatkan ๐๐ ∈ ๐๐๐(๐). Semua penjelasan tadi menunjukkan subhimpunan ๐๐๐(๐) membentuk substruktur dari ๐(๐). Menurut Sifat 2.3(b), operasi komposisi pada substruktur ๐๐๐(๐) bersifat asosiatif dan permutasi (1) sebagai identitas ๐๐๐(๐). Sekarang ambil ๐ ∈ ๐๐๐(๐). Mengingat permutasi ๐ pemetaan yang bijektif, menurut Sifat 1.9, ada pemetaan balikan ๐ sehingga ๐๐ = ๐๐ = ๐๐ . Mengingat ๐๐ bersifat pada, menurut Sifat 1.8, pemetaan ๐ juga pada. Di sisi lain, mengingat ๐๐ satu-satu, dengan alasan yang sama diperoleh ๐ juga satu-satu. Dengan begitu, ๐ suatu pemetaan bijektif dan mengakibatkan ๐ ∈ ๐๐๐(๐). Pada akhirnya ๐ −1 = ๐ ∈ ๐๐๐(๐) untuk setiap ๐ ∈ ๐๐๐(๐). Semua uraian tadi menunjukkan bahwa ๐๐๐(๐) membentuk grup dengan operasi komposisi permutasi. Grup ๐๐๐(๐) disebut grup simetri. Setiap subgrup dari grup simetri disebut grup permutasi. Jika himpunan ๐ hingga dengan |๐| = ๐ untuk suatu ๐ ∈ โค+ , tanda ๐๐๐(๐) diganti dengan ๐๐ dengan |๐๐ | = ๐(๐ − 1) โฏ 2 ⋅ 1 = ๐! Untuk setiap ๐, ๐ ∈ ๐๐ , komposisi permutasi pada ๐๐ sama dengan operasi pada ๐(๐), yaitu: (๐๐)(๐ฅ) = ๐(๐(๐ฅ)) untuk setiap ๐ฅ ∈ ๐. dengan memisalkan ๐=( 1 2 โฏ ๐(1) ๐(2) โฏ ๐ ) ๐(๐) dan 1 ๐=( ๐(1) 2 โฏ ๐(2) โฏ permutasi komposisi ๐๐ menjadi 54 ๐ ), ๐ (๐ ) ๐๐ = = 1 2 ( ๐๐(1) ๐๐(2) 1 2 (๐(๐(1)) ๐(๐(2)) โฏ ๐ ) โฏ ๐๐(๐) โฏ ๐ โฏ ๐(๐(๐))) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 ) dan ๐ = ( 3 4 5 2 1 2 4 1 5 menentukan komposisi ๐๐, ikuti dahulu penjelasan berikut. Contoh 3.4. Misalkan ๐ = ( 5 ). Sebelum 3 Pada permutasi ๐, diperoleh ๐(1) = 2, ๐(2) = 4, ๐(3) = 1, ๐(4) = 5 dan ๐(5) = 3. Hasil ini semua digunakan untuk menentukan ๐(๐(1)) = ๐(2) = 4; ๐(๐(4)) = ๐(5) = 1 ๐(๐(2)) = ๐(4) = 2; ๐(๐(5)) = ๐(3) = 5 ๐(๐(3)) = ๐(1) = 3. Masukan nilai ini semua sehingga diperoleh ๐๐ = ( = = = 1 ๐(๐(1)) 2 ๐(๐(2)) 1 ( 4 (1 3 4 5 ) ๐(๐(3)) ๐(๐(4)) ๐(๐(5)) 2 3 4 5 ) 2 3 1 5 4)(2)(3)(5) (1 4) Secara singkat komposisi ๐๐ dapat dilihat seperti penjelasan di bawah ini Perhatikan arah anak panah pada komposisi permutasi di atas. Komposisi ๐๐ memetakan 1 โฆ 4 karena ia memetakan 1 โฆ 2 kemudian 2 โฆ 4. Dengan cara yang sama didapatkan yang lainnya secara berurutan dari kiri ke kanan yaitu: 2 3 1 5 seperti tampak di atas. Contoh 3.5. Untuk ๐ = 2, diperoleh grup simetri yang anggotanya semua permutasi pada himpunan ๐ = {1,2}, yakni: ๐2 = {(1), (1 2)}. Permutasi (1) menjadi identitas ๐2 , ditulis: ๐๐2 = (1). Permutasi (1 2)−1 = (1 2). Grup ini hanya memiliki subgrup trivial, yaitu: {(1)}. Selain itu, grup ini juga bersifat komutatif dan subgrup sejatinya hanya subgrup {(1)} saja. Perhatikan operasi komposisi pada ๐2 seperti dalam Tabel 3.1. 55 (๐) (๐ ๐) โ (๐) (1) (1 2) (๐ ๐) (1 2) (1) Tabel 3.1 Operasi โ pada grup simetri ๐2 Contoh 3.6. Untuk ๐ = 3, diperoleh grup simetri yang anggotanya semua permutasi pada himpunan ๐ = {1,2,3}, yakni: ๐3 = {(1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}. Permutasi (1) menjadi identitas ๐3 , ditulis: ๐๐3 = (1). Balikan (invers) setiap anggota ๐3 dapat dilihat pada Tabel 3.2. โ (๐) (๐ ๐) (๐ ๐) (๐ ๐) (๐ ๐ ๐) (๐ ๐ ๐) (๐) (1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (๐ ๐) (1 2) (1) (1 3 2) (1 2 3) (2 3) (๐ ๐) (1 3) (1 2 3) (1) (1 3 2) (1 2) (๐ ๐) (2 3) (1 3 2) (1 2 3) (1) (1 3) (๐ ๐ ๐) (1 2 3) (1 3) (2 3) (1 2) (1 3 2) (๐ ๐ ๐) (1 3 2) (2 3) (1 2) (1 3) (1) Tabel 3.2 Operasi โ pada grup simetri ๐3 (1 3 2) (1 3) (2 3) (1 2) (1) (1 2 3) Latihan 3.2 1 2 3 4 1 2 3 4 ) dan ๐ฝ = ( ). Hitunglah 1 4 3 2 3 1 4 2 a. ๐ผ โ ๐ฝ c. ๐ผ −1 e. ๐ผ −1 โ ๐ฝ −1 g. (๐ผ โ ๐ฝ)−1 b. ๐ฝ โ ๐ผ d. ๐ฝ −1 f. ๐ฝ −1 โ ๐ผ −1 h. (๐ฝ โ ๐ผ)−1 Tunjukkan bahwa siklus dengan panjang ๐ di ๐๐ memiliki orde ๐! Tulis semua permutasi di ๐4 ! a. Tentukan invers setiap permutasi di ๐4 ! b. Berapa banyak permutasi di ๐4 yang memetakan 4 ke 4? Tunjukkan bahwa grup simetri ๐๐ bukan grup komutatif jika ๐ > 2! Misalkan ๐ป = {๐ผ ∈ ๐๐ โฃ ๐ผ(1) = 1, ๐ผ(๐) = ๐}. Tunjukkan bahwa ๐ป subgrup ๐๐ ! 1. Misalkan ๐ผ = ( 2. 3. 4. 5. 3.3 Grup permutasi Grup permutasi yang dibahas pada bagian ini hanya pada segitiga dan segi empat saja. Untuk lebih jelasnya ikuti pembahasan berikut ini. 3.3.1 Segitiga Berdasarkan panjang sisinya, segitiga dikelompokan menjadi tiga: segitiga sama sisi, segitiga sama kaki dan segitiga sembarang. Segitiga disebut sama sisi jika ketiga sisinya sama panjang. 56 r 1 2 ๐2 ๐1 3 ๐3 Gambar 3.2 Simetri pada segitiga sama sisi Segitiga disebut sama kaki jika hanya dua sisi saja yang sama panjang, dari tiga sisi yang dimilikinya. Segitiga disebut sembarang jika tidak ada sisi yang sama panjang. Himpunan simetri lipat dan putar (pencerminan) pada segitiga merupakan subgrup ๐3 . Subgrup ini disebut grup permutasi pada segitiga. Pertama kita mulai dari segitiga sama sisi seperti terlihat pada Gambar 3.2. Pada gambar tersebut terlihat sumbu-sumbu untuk mendapatkan simetri pada segitiga sama sisi. Ada enam buah simetri yang diperoleh dari segitiga sama sisi. Tiga buah simetri diperoleh dari hasil pencerminan. Permutasi (1 2) diperoleh dari pencerminan melalui sumbu ๐3 . Permutasi (1 3) diperoleh dari pencerminan melalui sumbu ๐2 . Permutasi (2 3) diperoleh dari pencerminan melalui sumbu ๐1 . Tiga buah simetri sisanya didapat dari hasil rotasi. Permutasi (1) menyatakan posisi awal. Permutasi ini dihasilkan dari rotasi 0โ . Permutasi (1 2 3) dan (1 3 2) diperoleh dari rotasi melalui sumbu ๐ sebesar 120โ dan 240โ . Simetri yang dihasilkan dari pencerminan disebut simetri lipat sementara simetri yang dihasilkan dari rotasi disebut simetri putar. Himpunan semua simetri ini bersama dengan operasi komposisi permutasi membentuk grup permutasi. Grup ini sama dengan grup (๐3 ,โ). Operasi komposisi pada grup ini terlihat pada Tabel 3.2. Selanjutnya simetri pada segitiga sama kaki, silakan lihat Gambar 3.3. Pada pada gambar tersebut terlihat sumbu-sumbu untuk mendapatkan simetri pada segitiga sama kaki. Berbeda dengan segitiga sama sisi, segitiga sama kaki hanya memiliki dua buah simetri. Simetri pertama berupa permutasi (1 3), diperoleh dari pencerminan melalui sumbu ๐2 . Simetri sisanya berupa permutasi (1), didapat dari hasil rotasi 0โ (posisi awal). Operasi komposisi pada grup ini terlihat pada Tabel 3.3. 57 r 1 2 ๐2 3 Gambar 3.3 Simetri pada segitiga sama kaki โ (๐) (๐ ๐) (๐) (1) (1 3) (๐ ๐) (1 3) (1) Tabel 3.3 Operasi โ pada grup permutasi segitiga sama kaki Terakhir segitiga sembarang. Untuk segitiga jenis ini, hanya ada satu buah permutasi yang dihasilkan dari rotasi 0โ (posisi awal), permutasi identitas. Untuk itu, grup permutasi yang diperoleh berupa grup identitas, subgrup sejati dari ๐3 . r 2 1 3 Gambar 3.4 Simetri pada segitiga sembarang 3.3.2 Segi empat Semua grup permutasi yang dibentuk dari segi empat merupakan subgrup ๐4 . Segi empat yang dibahas di sini berupa bujur sangkar, persegi panjang, belah ketupat, jajar genjang, layang-layang dan trapesium. Kita mulai dari bujur sangkar terlebih dahulu. Perhatikan Gambar 3.5. Permutasi (1 3), (2 4), (1 2)(3 4) dan (1 4)(2 3), seperti terlihat pada gambar, tidak lain simetri lipat. Sementara itu, permutasi (1), (1 2 3 4), (1 3)(2 4), dan (1 4 3 2) diperoleh dengan memutar sumbu ๐ secara berurutan yaitu: 00 , 900 , 58 1800 dan 2700 . Dengan demikian, diperoleh delapan buah simetri pada bujur sangkar. 1 2 4 3 Gambar 3.5 Simetri pada bujur sangkar Himpunan semua permutasi pada bujur sangkar ini membentuk grup permutasi dengan operasi komposisi. Grup permutasi ini merupakan subgrup ๐4 . โ (๐) (๐ ๐) (๐ ๐) (๐ ๐)(๐ ๐) (๐ ๐)(๐ ๐) (๐ ๐)(๐ ๐) (๐ ๐ ๐ ๐) (๐ ๐ ๐ ๐) (๐) (1) (1 3) (2 4) (1 2)(3 4) (1 3)(2 4) (๐ ๐) (1 3) (๐ ๐) (2 4) (๐ ๐)(๐ ๐) (1 2)(3 4) (๐ ๐)(๐ ๐) (1 3)(2 4) (1) (1 3)(2 4) (1 3)(2 4) (1 4 3 2) (1) (1 2 3 4) (2 4) (1 3) (1 4 3 2) (1 4)(2 3) (1 2 3 4) (1 4 3 2) (1 2 3 4) (2 4) (1 4 3 2) (1 2)(3 4) (1 4)(2 3) (1 4 3 2) (1 3) (1 2 3 4) (1 4)(2 3) (1 2)(3 4) (1) (1 4)(2 3) (1 4)(2 3) (1 3)(2 4) (1) (1 3)(2 4) (1 2)(3 4) (๐ ๐)(๐ ๐) (1 4)(2 3) (1 2 3 4) (1 2)(3 4) (1) (๐ ๐ ๐ ๐) (1 2 3 4) (1 4)(2 3) (1 2)(3 4) (1 3) (1 4 3 2) (2 4) (๐ ๐ ๐ ๐) (1 4 3 2) (1 2)(3 4) (1 4)(2 3) (2 4) (1 2 3 4) (1 3) (2 4) (1 4 3 2) (1 3) (1 3)(2 4) (1) (1 3) (1 2 3 4) (2 4) (1) (1 3)(2 4) Tabel 3.4 Operasi โ pada grup permutasi bujur sangkar Selanjutnya kita temukan semua permutasi pada persegi panjang. Untuk memudahkan, perhatikan Gambar 3.6. 1 2 4 3 Gambar 3.6 Simetri pada persegi panjang 59 Permutasi pada persegi panjang berjumlah empat buah. Permutasi itu adalah (1), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4) dan (1 4)(2 3). Permutasi (1) dan (1 3)(2 4) tidak lain simetri putar sementara (1 2)(3 4) dan (1 4)(2 3) simetri lipat. Semua simetri ini membentuk subgrup ๐4 . (๐) โ (๐ ๐)(๐ ๐) (๐ ๐)(๐ ๐) (๐ ๐)(๐ ๐) (๐) (1) (1 2)(3 4) (1 3)(2 4) (1 4)(2 3) (๐ ๐)(๐ ๐) (1 2)(3 4) (1) (1 4)(2 3) (1 3)(2 4) (๐ ๐)(๐ ๐) (1 3)(2 4) (1 4)(2 3) (1) (1 2)(3 4) (๐ ๐)(๐ ๐) (1 4)(2 3) (1 3)(2 4) (1 2)(3 4) (1) Tabel 3.5 Operasi โ pada grup permutasi persegi panjang Simetri berikutnya pada belah ketupat. Belah ketupat memiliki empat buah simetri, dua buah berupa simetri lipat dan sisanya simetri putar. Simetri lipat pada belah ketupat yaitu permutasi (1 3) dan (2 4). Simetri putarnya berupa permutasi (1) dan (1 3)(2 4). Untuk lebih jelasnya perhatikan Gambar 3.7. 2 1 3 4 Gambar 3.7 Simetri pada belah ketupat Himpunan semua simetri pada belah ketupat membentuk grup permutasi. Grup ini merupakan subgrup ๐4 . Operasi komposisi pada grup permutasi ini dapat dilihat pada Tabel 3.6. โ (๐) (๐ ๐) (๐ ๐) (๐ ๐)(๐ ๐) (๐) (1) (1 3) (2 4) (1 3)(2 4) (๐ ๐) (1 3) (1) (1 3)(2 4) (2 4) (๐ ๐) (2 4) (1 3)(2 4) (1) (1 3) (๐ ๐)(๐ ๐) (1 3)(2 4) (2 4) (1 3) (1) Tabel 3.6 Operasi โ pada grup permutasi belah ketupat 60 Simetri berikutnya pada jajar genjang. Jajar genjang tidak memiliki simetri lipat tetapi masih memiliki dua simetri putar. Simetri ini berupa permutasi (1) dan (1 3)(2 4). Untuk lebih jelasnya perhatikan Gambar 3.8 berikut ini. 1 2 4 3 Gambar 3.8 Simetri pada jajar genjang Sama halnya segi empat yang dijelaskan sebelumnya, himpunan semua simetri pada jajar genjang juga membentuk grup permutasi, subgrup ๐4 . Operasi komposisi pada grup permutasi ini dapat dilihat pada Tabel 3.7. โ (๐) (๐) (1) (๐ ๐)(๐ ๐) (1 3)(2 4) (๐ ๐)(๐ ๐) (1 3)(2 4) (1) Tabel 3.7 Operasi โ pada grup permutasi jajar genjang Sekarang kita beralih pada layang-layang. Berbeda halnya dengan jajar genjang, layang-layang memiliki simetri lipat. Simetri pada layang berupa permutasi (1) dan (1 3). Semua himpunan tersebut membentuk grup permutasi, subgrup dari ๐4 . Untuk lebih jelasnya perhatikan sumbu pencerminan dan rotasi layang-layang seperti pada Gambar 3.9. 4 3 2 1 Gambar 3.9 Simetri pada layang-layang Untuk operasi komposisi grup permutasi yang dibentuk oleh layanglayang dapat dilihat pada Tabel 3.8. 61 โ (๐) (๐ ๐) (๐) (1) (1 3) (๐ ๐) (1 3) (1) Tabel 3.8 Operasi โ pada grup permutasi layang-layang Akhirnya sampai pada, bangun terakhir, trapesium. Trapesium terbagi menjadi beberapa jenis. Di antaranya ada trapesium sama kaki, trapesium siku-siku dan trapesium sembarang. Trapesium siku-siku dan trapesium sembarang tidak ada yang menarik, mengingat simetri kedua bangun ini hanya berupa simetri identitas saja. Berbeda halnya dengan kedua trapesium tadi, trapesium sama kaki memiliki dua buah simetri, seperti tampak pada Gambar 3.10. Gambar 3.10 Simetri pada trapesium sama kaki Kedua simetri pada trapesium sama kaki berupa permutasi (1) dan (1 2)(3 4). Operasi pada grup permutasi yang diberikan oleh trapesium sama kaki dapat dilihat pada Tabel 3.9. โ (๐) (๐) (1) (๐ ๐)(๐ ๐) (1 2)(3 4) (๐ ๐)(๐ ๐) (1 2)(3 4) (1) Tabel 3.9 Operasi โ pada grup permutasi trapesium sama kaki Latihan 3.3 1. 2. 3. 4. 5. Tentukan semua permutasi pada segi lima! Apakah himpunan permutasi itu membentuk grup permutasi! Ulangi soal No.1 dan 2 untuk elips dan lingkaran! Apakah grup yang dihasilkan pada No.1, 2 dan 3 semuanya grup hingga? Buatkan Tabel Cayley untuk operasi komposisi permutasi pada elips! 62 BAB 4 GRUP SIKLIS Pada subbab orde grup dan anggota grup telah dibahas mengenai pangkat bulat anggota grup. Misalkan ๐บ suatu grup dan ๐ ∈ ๐บ. Himpunan semua pangkat bulat unsur ๐, ditulis: 〈๐〉, yaitu: 〈๐〉 = {๐๐ | ๐ ∈ โค} adalah subgrup ๐บ. Jelas 〈๐〉 subhimpunan ๐บ. Subhimpunan 〈๐〉 tidak hampa karena ๐ = ๐1 ∈ 〈๐〉. Selanjutnya, ambil ๐ฅ, ๐ฆ ∈ 〈๐〉. Akibatnya, ๐ฅ = ๐ ๐1 untuk suatu ๐1 ∈ โค dan ๐ฆ = ๐๐2 untuk suatu ๐2 ∈ โค. Mengingat kedua akibat tersebut dan ๐1 + ๐2 ∈ โค, 〈๐〉 diperoleh ๐ฅ๐ฆ = ๐๐1 ๐๐2 = ๐ (๐1 +๐2 ) ∈ 〈๐〉. Subhimpunan membentuk substruktur mengingat subhimpunan tersebut tidak hampa dan tertutup terhadap operasi yang sama pada ๐บ. Perhatikan untuk setiap ๐ฅ = ๐ ๐1 , ada ๐ฅ −1 = ๐−๐1 yang memenuhi ๐ฅ −1 ๐ฅ = ๐ฅ๐ฅ −1 = ๐. Semua alasan tersebut menunjukkan subhimpunan 〈๐〉 subgrup ๐บ. Contoh 4.1. Pandang grup (๐3 ,โ) yaitu: ๐3 = {(1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}. Ambil salah satu unsur di ๐3 katakanlah (1 2 3). Permutasi (1 2 3)0 = (1 2 3)3 = (1), (1 2 3)1 = (1 2 3) dan (1 2 3)2 = (1 3 2). Dengan demikian, didapatkan himpunan 〈(1 2 3)〉 = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} yang merupakan subhimpunan ๐3 dan memiliki tiga buah anggota. Menurut penjelasan di atas, subhimpunan 〈(1 2 3)〉 subgrup ๐3 . Akibatnya, semua sifat grup dimiliki oleh subhimpunan 〈(1 2 3)〉. Sifat tersebut, yaitu: subhimpunan 〈(1 2 3)〉 membentuk struktur, operasi pada subhimpunan 〈(1 2 3)〉 bersifat asosiatif, ada permutasi yang bertindak sebagai identitas, yaitu permutasi (1), dan setiap permutasi di subhimpunan 〈(1 2 3)〉 memiliki invers. Permutasi (1 2 3)−1 = (1 3 2) dan (1 3 2)−1 = (1 2 3). Definisi 4.1 Misalkan ๐บ suatu grup. Grup ๐บ disebut siklis jika ๐บ = 〈๐〉 untuk suatu ๐ ∈ ๐บ. Unsur ๐ disebut pembangun grup ๐บ. Jika ๐ป ⊆ ๐บ dan 63 ๐ป = 〈๐〉 untuk suatu ๐ ∈ ๐ป maka ๐ป disebut subgrup siklis dari ๐บ (subgrup yang dibangun oleh unsur ๐). Contoh 4.2. Grup bilangan bulat dengan operasi jumlah merupakan grup siklis yang dibangun oleh 1 atau −1. Akibatnya, grup bilangan bulat dapat ditulis menjadi โค = 〈1〉 = 〈−1〉. Berikutnya contoh subgrup. Subhimpunan 〈(1 2 3)〉 subgrup siklis dari grup ๐3 . Sifat 4.1 Setiap grup siklis merupakan grup komutatif. Bukti. Misalkan ๐บ grup siklis. Untuk suatu unsur ๐ ∈ ๐บ, grup ๐บ memenuhi ๐บ = 〈๐〉. Sekarang ambil ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐บ. Dua unsur ini dapat ditulis menjadi ๐ฅ = ๐๐1 dan ๐ฆ = ๐๐2 untuk suatu ๐1 , ๐2 ∈ โค. Penulisan ini mengakibatkan ๐ฅ๐ฆ = ๐๐1 ๐๐2 = ๐๐1 +๐2 = ๐ ๐2 +๐1 = ๐๐2 ๐๐1 = ๐ฆ๐ฅ sesuai yang ingin dibuktikan.โ Algoritme Pembagian Untuk setiap ๐ dan ๐ dua bilangan bulat dengan ๐ > 0, ada secara tunggal dua buah bilangan bulat ๐ dan ๐ yang memenuhi ๐ = ๐๐ + ๐, 0 ≤ ๐ < ๐. Algoritme ini digunakan dalam pembuktian Sifat 4.2. Sifat mengutarakan tentang subgrup dari grup siklis yang memiliki orde hingga. Pada sifat ini subgrup yang dimaksud itu bersifat siklis juga. Sifat 4.2 Misalkan ๐บ suatu grup. Jika grup ๐บ siklis berorde hingga dan ๐ป ≤ ๐บ, subgrup ๐ป siklis. Bukti. Misalkan ๐บ = 〈๐〉 = {๐, ๐, … , ๐๐−1 } untuk suatu n ∈ โค+ dan H ≤ ๐บ. Jika ๐ป = {๐}, tentu saja ๐ป = 〈๐〉 siklis. Sekarang jika ๐ป ≠ {๐} serta ๐ menyatakan bilangan bulat terkecil sehingga 1 ≤ ๐ < ๐ dan ๐๐ ∈ ๐ป. Kita akan menunjukkan bahwa ๐ป = 〈๐๐ 〉. Ambil ๐ ๐ ∈ ๐ป. Berdasarkan algoritma pembagian, ada bilangan bulat ๐ dan ๐ sehingga ๐ = ๐๐ + ๐ dengan 0 ≤ ๐ < ๐. Perhatikan bahwa ๐๐ = ๐ ๐ −๐๐ = ๐ ๐ (๐๐ )−๐ karena ๐ ๐ = ๐๐๐+๐ . Jadi ๐๐ ∈ ๐ป karena ๐ ๐ ∈ ๐ป dan ๐๐ ∈ ๐ป. Untuk itu, ๐ = 0 mengingat 0 ≤ ๐ < ๐ dan ๐ bilangan bulat terkecil yang memenuhi ๐๐ ∈ ๐ป. Dengan demikian, ๐ ๐ = (๐๐ )๐ ∈ ๐ป mengakibatkan ๐ป = 〈๐๐ 〉 dan subgrup ๐ป siklis.โ Sifat 4.3 Misalkan ๐บ grup. Jika untuk setiap ๐ ∈ ๐บ ada bilangan bulat berbeda ๐ dan ๐ sehingga ๐๐ = ๐ ๐ , maka a. ada bilangan asli terkecil ๐ sehingga berlaku ๐๐ = ๐. 64 b. jika ๐ก suatu bilangan bulat maka ๐๐ก = ๐ jika dan hanya jika ๐ membagi ๐ก. c. unsur ๐ = ๐0 , ๐, ๐2 , ..., ๐๐−1 semuanya berbeda satu sama lain dan 〈๐〉 = {๐, ๐, ๐2 , ..., ๐๐−1 }. Bukti. ๐. Misalkan ๐บ suatu grup. Ambil ๐ ∈ ๐บ sehingga ๐๐ = ๐ ๐ untuk suatu ๐, ๐ ∈ โค dengan ๐ ≠ ๐ . Jika ๐ > ๐ , pilih ๐ = ๐ − ๐ > 0 sehingga diperoleh ๐๐ = ๐(๐−๐ ) = ๐๐ ๐−๐ = ๐0 = ๐. Begitu juga untuk sebaliknya, ๐ > ๐. Selanjutnya, andaikan ada ๐ bilangan asli dengan ๐ < ๐ dan memenuhi ๐๐ = ๐. Mengingat ๐๐ = ๐ = ๐๐ , tentu saja diperoleh ๐ = ๐. Ini kontradiksi dengan pengandaian tadi. Jadi haruslah berlaku ๐ ≤ ๐. Dengan demikian, benar bahwa ๐ bilangan asli terkecil. ๐. Misalkan ๐บ suatu grup dan ๐ membagi ๐ก untuk suatu ๐, ๐ก ∈ โค. Ingat kembali, ๐ membagi ๐ก artinya ada ๐ ∈ โค sehingga ๐ก = ๐๐. Ambil ๐ ∈ ๐บ, akibatnya diperoleh ๐๐ก = ๐๐๐ = (๐๐ )๐ = ๐ ๐ = ๐. Sekarang kita buktikan arah sebaliknya. Misalkan ๐บ suatu grup dan untuk suatu unsur ๐ก ∈ โค berlaku ๐๐ก = ๐. Akan ditunjukkan bahwa ๐ membagi ๐ก. Ambil ๐ก ∈ โค dengan ๐๐ก = ๐. Berdasarkan algoritma pembagian, ada bilangan bulat ๐ dan ๐ sehingga memenuhi ๐ก = ๐๐ + ๐ dengan 0 ≤ ๐ < ๐. Oleh karena itu, diperoleh bahwa: ๐๐ก ๐ ๐0 ๐0 ๐0 = = = = = ๐๐๐+๐ ๐๐๐ ๐๐ (๐๐ )๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐๐ sehingga ๐ = 0. Jadi ๐ก = ๐๐ atau dengan kata lain ๐ membagi ๐ก. c. Ambil ๐๐ข , ๐๐ฃ ∈ ๐บ dengan ๐ข, ๐ฃ ∈ โค, 0 ≤ ๐ข < ๐ dan 0 ≤ ๐ฃ < ๐ sehingga ๐ข ≠ ๐ฃ. Akan kita tunjukkan bahwa ๐๐ข ≠ ๐๐ฃ . Misalkan ๐ข ≥ ๐ฃ sehingga ๐๐ข = ๐๐ฃ . Akibatnya, ๐๐ข−๐ฃ = ๐๐ข ๐−๐ฃ = ๐๐ฃ ๐−๐ฃ = ๐ dengan ๐ข − ๐ฃ ≥ 0. Berdasarkan (b), ๐ membagi ๐ข − ๐ฃ, artinya ada bilangan ๐ yang memenuhi ๐ข − ๐ฃ = ๐๐. Karena ๐ข − ๐ฃ < ๐, haruslah ๐ = 0 dan ๐ข − ๐ฃ = 0. Jadi ๐ข = ๐ฃ. Dengan demikian, jelas bahwa setiap unsur ๐ = ๐0 , ๐, ๐2 , ..., ๐๐−1 semuanya berbeda satu sama lain. Sekarang kita tunjukkan bahwa 〈๐〉 = {๐, ๐, ๐2 , ..., ๐๐−1 }. Ambil ๐๐ ∈ 〈๐〉. Berdasarkan algoritma pembagian, ada bilangan bulat ๐ dan ๐ sehingga memenuhi ๐ = ๐๐ + ๐ dengan 0 ≤ ๐ < ๐. Dengan demikian, ๐๐ = ๐๐๐+๐ = (๐๐ )๐ ๐๐ = ๐ ๐ ๐๐ = ๐๐ . 65 Jadi, ๐ = ๐ < ๐ atau dapat ditulis ๐ = 1, 2, … , ๐ − 1. Oleh karena itu, 〈๐〉 = {๐, ๐, ๐2 , ..., ๐๐−1 }.โ Definisi 4.2 Misalkan ๐ dan ๐ dua buah bilangan bulat tak nol. Bilangan asli ๐ disebut faktor persekutuan terbesar dari ๐ dan ๐, ditulis: ๐ = ๐น๐๐ต(๐, ๐), jika memenuhi 1. ๐ | ๐ dan ๐ |๐ dan 2. jika ๐ bilangan bulat sehingga ๐ | ๐ dan ๐ | ๐, maka ๐ | ๐. Berikut ini disajikan beberapa sifat yang berkaitan dengan persekutuan bilangan bulat. Sifat 4.4 Faktor persekutuan terbesar bilangan bulat tak nol ๐ dan ๐, yaitu ๐น๐๐ต(๐, ๐), dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari ๐ dan ๐: ๐น๐๐ต(๐, ๐) = ๐๐ + ๐๐, untuk suatu ๐, ๐ ∈ โค. Bukti sifat diperoleh dengan menggunakan Definisi 4.2. Selanjutnya perhatikan sifat berikut ini. Sifat 4.5 Jika ๐ dan ๐ relatif prima serta ๐ | ๐ ๐ maka ๐ | ๐. Bukti. Bilangan bulat ๐ dan ๐ relatif prima artinya terdapat bilangan bulat ๐ฃ dan ๐ค sehingga 1 = ๐ฃ๐ + ๐ค๐ . Dengan mengalikan bilangan bulat ๐ pada masing-masing ruas, kita memperoleh hasil berikut ini. ๐ = ๐ฃ๐๐ + ๐ค๐ ๐ Selain itu, mengingat ๐ | ๐ ๐, diperoleh ๐ | ๐ฃ๐๐ dan ๐ | ๐ค๐ ๐. Akibatnya, mengingat ๐ membagi ruas kanan, tentu saja ๐ | ๐.โ Sifat 4.6 Jika unsur ๐ anggota suatu grup maka ๐(๐) = |〈๐〉|. Pada grup (โค6 ,⊕), orde subgrup siklis 〈2ฬ 〉 = {0ฬ , 2ฬ , 4ฬ }, yaitu: |〈2ฬ 〉| = 3. Perhatikan Contoh 2.9 untuk melihat cara mendapatkan nilai ๐(2ฬ ). Pada contoh tersebut terlihat ๐(2ฬ ) = 3. Akibatnya, ๐(2ฬ ) = 3 = |〈2ฬ 〉|. Latihan 4.1 1. Tentukan subgrup siklis dari grup โค5 dan ๐5 ! 2. Tentukan pembangun dari grup โค5 dan ๐5 ! 3. Tunjukkan bahwa jika grup ๐บ tidak mempunyai subgrup selain subgrup identitas, {๐}, dan dirinya sendiri, ๐บ, maka grup ๐บ adalah siklis! 66 4. Apakah setiap grup siklis itu hingga? 5. Apakah orde setiap grup siklis itu hingga? 67 BAB 5 GRUP FAKTOR Pada bagian ini, kita akan mempelajari cara membentuk grup dari grup yang ada. Anggota grup bentukan ini berupa koset-koset subgrup dari grup yang sudah ada tadi. Tidak semua subgrup, himpunan koset-kosetnya dapat membentuk grup. Subgrup yang himpunan koset-kosetnya membentuk grup hanya berupa subgrup normal. Grup bentukan ini disebut grup faktor (kuosien). 5.1 Koset dan subgrup normal Misalkan ๐บ suatu grup dan ๐ป subgrup ๐บ. Bentuk relasi ~ pada grup ๐บ dengan ketentuan berikut. ๐~๐ jika dan hanya jika ๐๐ −1 ∈ ๐ป untuk setiap ๐, ๐ ∈ ๐บ. Relasi ini tidak lain relasi ekuivalen. Untuk lebih jelasnya, perhatikan bukti berikut ini. Ambil ๐ ∈ ๐บ. Mengingat ๐ป subgrup dari ๐บ, diperoleh ๐๐ป = ๐๐บ = ๐ dan mengakibatkan ๐๐−1 = ๐๐บ = ๐๐ป = ๐ ∈ ๐ป. Menurut ketentuan di atas, ๐ ~ ๐ dan dengan kata lain relasi ~ bersifat refleksif. Kemudian kita ambil ๐ ∈ ๐บ sehingga ๐ ~ ๐. Karena ๐๐ −1 ∈ ๐ป dan ๐ป subgrup ๐บ, ๐๐ −1 = (๐ −1 )−1 ๐−1 = (๐๐ −1 )−1 ∈ ๐ป. Jadi ๐ ~ ๐ dan dengan demikian relasi ~ bersifat simetris. Terakhir, kita ambil unsur ๐ ∈ ๐บ sehingga ๐ ~ ๐ dan ๐ ~ ๐. Karena ๐๐ −1 ∈ ๐ป, ๐๐ −1 ∈ ๐ป dan ๐ป subgrup dari ๐บ kita mendapatkan ๐๐ −1 = ๐๐๐ −1 = ๐(๐ −1 ๐)๐ −1 = (๐๐ −1 )(๐๐ −1 ) ∈ ๐ป. Jadi ๐ ~ ๐ dan dengan demikian relasi ~ ini bersifat transitif. Terlihat jelas tiga syarat relasi ekuivalen terpenuhi oleh relasi ~ ini. Relasi ekuivalen ~ pada ๐บ membuat grup ๐บ terpartisi menjadi kelaskelas ekuivalen. Misalkan ๐ ∈ ๐บ, kelas ekuivalen yang memuat ๐ berupa himpunan ๐ฬ = {๐ ∈ ๐บ | ๐ ~ ๐}. Ketika ๐ ~ ๐, kita dapatkan ๐๐ −1 = โ untuk suatu โ ∈ ๐ป karena ๐๐ −1 ∈ ๐ป. Dengan kata lain ๐ = ๐๐ = ๐(๐−1 ๐) = (๐๐ −1 )๐ = โ๐. Ini berakibat pada ๐ฬ . Dengan memasukkan hasil tadi, kelas ๐ฬ menjadi seperti berikut. ๐ฬ = = = {๐ ∈ ๐บ | ๐ ~ ๐} {โ๐ | โ ∈ ๐ป} ๐ป๐ 69 Kelas ekuivalen ๐ฬ = ๐ป๐ disebut koset kanan subgrup ๐ป yang memuat unsur ๐ ∈ ๐บ. Himpunan semua koset kanan subgrup ๐ป merupakan partisi grup ๐บ. Jadi, koset kanan subgrup ๐ป merupakan kelas ekuivalen milik partisi yang dihasilkan oleh relasi ekuivalen ~ pada grup ๐บ. Seperti halnya koset kanan, kita pun bisa mendapatkan koset kiri subgrup ๐ป dengan cara mengganti relasi pada ๐บ menjadi ๐ ~ ๐ jika dan hanya jika ๐ −1 ๐ ∈ ๐ป untuk setiap ๐, ๐ ∈ ๐บ. Koset kiri ini tidak lain kelas ekuivalen ๐ฬ = ๐๐ป. Himpunan koset kiri sama dengan partisi grup ๐บ. Jika grup ๐บ bersifat komutatif, tentu saja koset kiri akan sama dengan koset kanan, ditulis: ๐๐ป = ๐ป๐. Berikut ini definisi formal koset kiri dan kanan subgrup suatu grup. Definisi 5.1 Misalkan ๐บ suatu grup, ๐ป subgrup ๐บ dan ๐ ∈ ๐บ. Subhimpunan ๐๐ป = {๐โ | โ ∈ ๐ป} disebut sebagai koset kiri ๐ป yang memuat ๐ dan subhimpunan ๐ป๐ = {โ๐ | โ ∈ ๐ป} disebut sebagai koset kanan ๐ป yang memuat ๐. Sebelum kita membahas sifat-sifat koset, mari kita perhatikan contoh koset berikut ini. Pandang sistem bilangan bulat, โค, sebagai grup dengan operasi tambah dan ๐ป = 〈2〉 subgrup siklis yang dibangun oleh 2. Ambil ๐ ∈ โค. Koset ๐ป๐ = ๐ป + ๐ karena operasi pada grup โค berupa jumlah. Sebelum menentukan koset, perhatikan dahulu kesamaan berikut ini. 〈2〉 = {2๐ | ๐ ∈ โค} = {2 โ+ 2 + โฏ + 2 | = = ๐ ∈ โค} ๐ {2๐ | ๐ ∈ โค} 2โค Jelas terlihat subgrup ๐ป = 2โค. Sekarang baru kita cari semua koset kanan ๐ป. Kita mulai dari ๐ = 0. ๐ป+0 = = = 2โค + 0 {2๐ + 0 | ๐ ∈ โค} {โฏ , −4, −2, 0, 2, 4, โฏ } ๐ป+1 = = = 2โค + 1 {2๐ + 1 | ๐ ∈ โค} {โฏ , −3, −1, 1, 3, 5, โฏ } 70 ๐ป+2 = = = = = ๐ป+3 = = = = 2โค + 2 {2๐ + 2 | ๐ ∈ โค} {2(๐ + 1) | ๐ ∈ โค} {2๐ |๐ = ๐ + 1 ∈ โค} ๐ป+0 2โค + 3 {2๐ + 3 | ๐ ∈ โค} {โฏ , −3, −1, 1, 3, 5, โฏ } ๐ป+1 ๐ป + 0 = ๐ป = 2โค tidak lain himpunan bilangan bulat genap dan ๐ป + 1 = 2โค + 1 himpunan bilangan bulat ganjil. Subgrup ๐ป hanya memiliki dua buah koset kanan, yakni: ๐ป dan ๐ป + 1, karena koset-koset kanan lainnya sama dengan salah satu dari kedua koset kanan ini. Koset kiri ๐ป = 2โค, sama dengan koset kanan yaitu 0 + ๐ป = ๐ป = 2โค dan 1 + ๐ป = 1 + 2โค = 2โค + 1. Misalkan grup ๐บ = ๐3 dan subgrup ๐ป = {(1), (1 3)}. Untuk semua anggota ๐3 , yaitu: (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2), kita memperoleh koset kanan ๐ป. ๐ป(1) ๐ป(1 2) ๐ป(1 3) ๐ป (2 3) ๐ป(1 2 3) ๐ป(1 3 2) = = = = = = {(1)(1), (1 3)(1)} = {(1), (1 3)} {(1)(1 2), (1 3)(1 2)} = {(1 2), (1 2 3)} {(1)(1 3), (1 3)(1 3)} = {(1 3), (1)} {(1)(2 3), (1 3)(2 3)} = {(2 3), (1 3 2)} {(1)(1 2 3), (1 3)(1 2 3)} = {(1 2 3), (1 2)} {(1)(1 3 2), (1 3)(1 3 2)} = {(1 3 2), (2 3)} Dari semua koset kanan yang diperoleh ini, ada beberapa yang sama. Berikut ini daftar koset-koset yang sama tadi. ๐ป(1) = ๐ป(1 3) = {(1), (1 3)} ๐ป(1 2) = ๐ป(1 2 3) = {(1 2), (1 2 3)} ๐ป(2 3) = ๐ป(1 3 2) = {(2 3), (1 3 2)} Dengan demikian, subgrup ๐ป = {(1), (1 3)} hanya memiliki tiga buah koset kanan: ๐ป(1), ๐ป(1 2) dan ๐ป(2 3). Untuk dapat memahami koset dengan lebih baik lagi, kita cermati sifatsifat koset berikut ini. Sifat 5.1 Misalkan ๐บ suatu grup, ๐ป subgrup ๐บ dan ๐, ๐ ∈ ๐บ. Pernyataan berikut ekuivalen. 1. ๐๐ −1 ∈ ๐ป 2. ๐ = โ๐ untuk suatu โ ∈ ๐ป 3. ๐ ∈ ๐ป๐ 4. ๐ป๐ = ๐ป๐ 71 Bukti. (1 โน 2). Misalkan ๐ป subgrup ๐บ dan ๐๐ −1 ∈ ๐ป untuk ๐, ๐ ∈ ๐บ. Unsur ๐ dapat ditulis menjadi ๐ = ๐(๐ −1 ๐) = (๐๐ −1 )๐ = โ๐ mengingat ๐๐ −1 = โ untuk suatu โ ∈ ๐ป. (2 โน 3). Jika ๐ป๐ = {โ๐ | โ ∈ ๐ป} dan ๐ = โ๐ untuk suatu โ ∈ ๐ป, jelas ๐ ∈ ๐ป๐. (3 โน 4). Jelas ๐ป๐ ⊆ ๐ป๐ karena untuk setiap ๐ฅ ∈ ๐ป๐ mengakibatkan ๐ฅ = โ1 ๐ = โ1 (โ2 ๐) = (โ1 โ2 )๐ = โ3 ๐ ∈ ๐ป๐ dengan โ3 = โ1 โ2 ∈ ๐ป. begitu juga, ๐ป๐ ⊆ ๐ป๐ karena untuk setiap ๐ฆ ∈ ๐ป๐ mengakibatkan ๐ฆ = โ1 ๐ = โ1 (โ2−1 ๐) = (โ1 โ2−1 )๐ = โ3 ๐ ∈ ๐ป๐ dengan โ3 = โ1 โ2−1 ∈ ๐ป. (4 โน 1). Misalkan ๐ป๐ = ๐ป๐. Karena ๐ ∈ ๐ป๐, tentu saja ๐ ∈ ๐ป๐ = ๐ป๐ dan mengakibatkan unsur ๐ dapat ditulis menjadi ๐ = โ๐ untuk suatu โ ∈ ๐ป sehingga ๐๐ −1 = โ ∈ ๐ป โ. Berdasarkan sifat di atas, yaitu: jika ๐ ∈ ๐ป๐ maka ๐ป๐ = ๐ป๐, setiap koset kanan dapat ditulis dengan lebih dari satu cara. Begitu juga dengan koset kiri, dapat dituliskan lebih dari satu cara pula. Sifat 5.2 Misalkan ๐บ suatu grup dan ๐ป subgrup ๐บ. Jika orde subgrup ๐ป hingga, |๐ป| = |๐ป๐| untuk setiap ๐ ∈ ๐บ. Bukti. Ambil unsur ๐ ∈ ๐บ lalu konstruksi pengaitan ๐ sebagai berikut. ๐: ๐ป โ โถ โฆ ๐ป๐ โ๐ untuk setiap โ ∈ ๐ป. Jelas ๐ ini suatu pemetaan karena untuk setiap โ, ๐ ∈ ๐ป dengan โ = ๐ mengakibatkan ๐(โ) = โ๐ = ๐๐ = ๐(๐). Ambil โ, ๐ ∈ ๐ป dengan ๐(โ) = ๐(๐). Dengan begitu, kita memperoleh ๐(โ) โ๐ (โ๐)๐−1 โ(๐๐−1 ) โ = = = = = ๐(๐) ๐๐ (๐๐)๐−1 ๐(๐๐ −1 ) ๐ Ini artinya ๐ pemetaan satu-satu. Terakhir kita ambil ๐ฆ ∈ ๐ป๐. Pengambilan ini mengakibatkan ๐ฆ = โ๐ untuk suatu โ ∈ ๐ป. Pilih ๐ฅ = โ ∈ ๐ป sehingga ๐ฆ = โ๐ = ๐ฅ๐ = ๐(๐ฅ). Karena untuk setiap ๐ฆ ∈ ๐ป๐ terdapat ๐ฅ ∈ ๐ป sehingga ๐ฆ = ๐(๐ฅ), tentu saja ๐ suatu pemetaan pada. 72 Mengingat adanya pemetaan bijektif dari ๐ป ke ๐ป๐, kita simpulkan bahwa |๐ป| = |๐ป๐| untuk semua ๐ ∈ ๐บ, begitu juga untuk koset kiri. โ Indeks ๐ป di ๐บ, ditulis: |๐บ: ๐ป|, menyatakan banyaknya koset kanan subgrup ๐ป di grup ๐บ. Sifat berikut ini, lebih dikenal dengan nama Teorema Lagrange, dapat digunakan untuk menghitung banyaknya koset kanan setiap grup jika orde grup dan subgrup tersebut diketahui. Mari kita simak bersamasama Teorema Lagrange dalam sifat berikut ini. Sifat 5.3 (Teorema Lagrange) Misalkan ๐บ grup hingga dan ๐ป subgrup ๐บ. Orde grup ๐บ dan subgrup ๐ป memenuhi ๐(๐บ) = |๐บ: ๐ป| ๐(๐ป). Bukti. Misalkan ๐ป subgrup dari grup ๐บ. Himpunan semua koset kanan ๐ป di ๐บ membentuk partisi grup ๐บ dan di dalam partisi ini ada sebanyak |๐บ: ๐ป| buah koset kanan. Mengingat setiap koset kanan saling lepas dan |๐ป| = |๐ป๐๐ | untuk semua ๐๐ ∈ ๐บ, kita mendapat ๐(๐บ) = = |๐ป๐1 | + |๐ป๐2 | + โฏ + |๐ป๐|๐บ:๐ป| | |๐ป| + |๐ป| + โฏ + |๐ป| โ |๐บ:๐ป| buah = = |๐บ: ๐ป||๐ป| |๐บ: ๐ป| ๐(๐ป) โ Sebagai ilustrasi, perhatikan gambar berikut ini. Gambar 5.1 Koleksi koset kanan di grup ๐บ Misalkan ๐บ suatu grup dan ๐ป subgrup ๐บ. Pada bagian awal telah disinggung sedikit mengenai partisi grup ๐บ. Seperti diketahui bahwa partisi grup ๐บ tidak lain himpunan semua koset kanan subgrup ๐ป di grup ๐บ. Partisi ini dapat membentuk struktur jika diberikan operasi yang terdefinisi dengan baik. Untuk mendefinisikan operasi pada partisi ini diperlukan konsep subgrup normal. Berikut ini definisi subgrup normal. Definisi 5.2 Misalkan ๐บ suatu grup dan ๐ subgrup ๐บ. Subgrup ๐ disebut normal jika ๐๐ = ๐๐ untuk setiap ๐ ∈ ๐บ. Contoh 5.1. Pandang grup bilangan bulat โค dengan operasi jumlah dan subgrup 2โค = {… , −2, 0, 2, … }. Koset kanan 2โค hanya ada dua buah yaitu 2โค dan 73 2โค + 1. Begitu juga koset kiri 2โค hanya ada dua buah, yaitu 2โค dan 1 + 2โค. Perhatikan bahwa 2โค + 1 = 1 + 2โค. Jadi, subgrup 2โค normal. Misalkan ๐บ suatu grup. Grup ๐บ disebut sederhana jika subgrup normalnya hanya subgrup {๐๐บ } dan grup ๐บ itu sendiri. Jelas grup bilangan bulat โค dengan operasi jumlah seperti dalam Contoh 5.1 bukan grup sederhana. Di sisi lain, grup โค2 sederhana untuk operasi jumlah. Selain itu, grup simetri ๐1 dan ๐2 juga sederhana seperti penjelasan dalam Contoh 3.5. Sifat 5.4 Misalkan ๐บ suatu grup dan ๐ subgrup ๐บ. Subgrup ๐ normal jika dan hanya jika ๐๐๐−1 ∈ ๐ untuk setiap ๐ ∈ ๐ dan ๐ ∈ ๐บ. Bukti. (โน). Misalkan ๐ subgrup normal, berdasarkan Definisi 5.2, ๐๐ = ๐๐ untuk setiap ๐ ∈ ๐บ. Sekarang ambil ๐ ∈ ๐. Pengambilan ini mengakibatkan ๐๐ ∈ ๐๐ = ๐๐. Ini artinya ada unsur ๐ ∈ ๐ yang memenuhi ๐๐ = ๐๐ sehingga diperoleh ๐๐๐−1 = (๐๐)๐−1 = ๐ ∈ ๐. Jadi, ๐๐๐−1 ∈ ๐ untuk setiap ๐ ∈ ๐ dan ๐ ∈ ๐บ. (โธ). Misalkan ๐๐๐−1 ∈ ๐ untuk setiap ๐ ∈ ๐ dan ๐ ∈ ๐บ. Berdasarkan Sifat 5.1, ๐๐ ∈ ๐๐. Ketika semua ๐๐ ∈ ๐๐ mengakibatkan ๐๐ ∈ ๐๐, diperoleh ๐๐ ⊆ ๐๐. Perhatikan bahwa ๐๐๐−1 ∈ ๐ untuk setiap ๐ ∈ ๐ dan ๐ ∈ ๐บ. Artinya, ๐๐๐−1 = ๐ untuk suatu ๐ ∈ ๐. Akibatnya, untuk setiap ๐ ∈ ๐ dan ๐ ∈ ๐บ ada ๐ ∈ ๐ sehingga memenuhi ๐๐ = ๐๐. Sekarang kita ambil ๐ฅ ∈ ๐๐. Akibatnya, untuk suatu ๐1 , m2 ∈ ๐, ๐ฅ dapat ditulis menjadi ๐ฅ = ๐1 ๐ = ๐๐2 ∈ ๐๐ dan dengan demikian ๐๐ ⊆ ๐๐. Akibatnya, ๐๐ = ๐๐ untuk setiap ๐ ∈ ๐บ.โ Pandang grup S3 dan subgrup 〈(1 2)〉 = {(1), (1 2)}. Subgrup ini tidak normal karena ada permutasi (1 2 3) ∈ S3 . Permutasi ini menyebabkan (1 2 3)(1 2)(1 3 2) = (2 3) ∉ 〈(1 2)〉. Untuk setiap a ∈ G. Unsur gag −1 disebut konjugat a di G. Oleh karena itu, subgrup N normal di G jika setiap konjugat N juga ada di N. Latihan 5.1 1. Pandang grup โค๐ untuk suatu ๐ bilangan prima. a. Tentukan subgrup normal grup โค๐ ! b. Apakah grup โค๐ sederhana? 2. Tentukan koset kiri dan kanan subgrup berikut! ๐ = {(1), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} Apakah ia membentuk subgrup normal ๐4 ? 74 3. Jika ๐พ dan ๐ฟ keduanya subgrup normal ๐บ, tunjukkan ๐พ ∩ ๐ฟ juga subgrup normal ๐บ 4. Misalkan ๐พ dan ๐ keduanya subgrup ๐บ. Tunjukkan pernyataan berikut ini benar a. Jika ๐ normal di ๐บ, ๐ ∩ ๐พ subgrup normal ๐พ b. Jika ๐ normal di ๐บ, ๐๐พ = {๐๐ โฃ ๐ ∈ ๐, ๐ ∈ ๐พ} subgrup ๐บ. c. Jika ๐ dan ๐พ keduanya normal di ๐บ, ๐๐พ subgrup normal. 5. Jika ๐ dan ๐พ keduanya normal di ๐บ yang memenuhi ๐พ ∩ ๐ = 〈๐〉, tunjukkan bahwa ๐๐ = ๐๐ untuk semua ๐ ∈ ๐ dan ๐ ∈ ๐พ. 6. Misalkan ๐บ suatu grup yang semua subgrupnya normal. Tunjukkan bahwa jika ๐, ๐ ∈ ๐บ, ada bilangan bulat ๐ yang memenuhi ๐๐ = ๐๐๐ . 5.2 Grup faktor Pandang himpunan semua koset kanan subgrup ๐ป di grup ๐บ, ditulis: ๐บ ⁄๐ป = {๐ป๐ | ๐ ∈ ๐บ}. Himpunan ini tentu saja tak hampa karena kita tahu subgrup ๐ป = ๐ป๐ ∈ ๐บ ⁄๐ป . Pada bagian koset dan subgrup normal, himpunan ini tidak lain partisi grup ๐บ. Oleh karena itu, jika ๐ป๐ ∩ ๐ป๐ ≠ ∅ maka ๐ป๐ = ๐ป๐. Sekarang definisikan operasi koset pada himpunan ๐บ ⁄๐ป sebagai berikut. (๐ป๐)(๐ป๐) = ๐ป(๐๐) untuk setiap ๐ป๐, ๐ป๐ ∈ ๐บ ⁄๐ป . Ambil koset ๐ป๐ฅ, ๐ป๐ฆ, ๐ป๐, ๐ป๐ ∈ ๐บ ⁄๐ป dengan ๐ป๐ฅ = ๐ป๐ dan ๐ป๐ฆ = ๐ป๐ untuk suatu ๐ฅ, ๐ฆ, ๐, ๐ ∈ ๐บ. Untuk suatu โ1 , โ2 ∈ ๐ป, unsur ๐ฅ dan ๐ฆ dapat ditulis menjadi ๐ฅ = โ1 ๐ dan ๐ฆ = โ2 ๐. ๐ฅ๐ฆ = (โ1 ๐)(โ2 ๐) = โ1 (๐ โ2 )๐ Agar operasi koset ini terdefinisi dengan baik, subgrup ๐ป haruslah normal sehingga ๐โ2 ๐−1 = โ3 ∈ ๐ป dan diperoleh hasil ๐ฅ๐ฆ = (โ1 ๐)(โ2 ๐) = โ1 (๐โ2 )๐ = โ1 (โ3 ๐)๐ = (โ1 โ3 )๐๐. Hasil ini menyebabkan ๐ป(๐ฅ๐ฆ) = ๐ป(๐๐) sehingga diperoleh ๐ป(๐ฅ)๐ป(๐ฆ) = ๐ป(๐ฅ๐ฆ) = ๐ป(๐๐) = ๐ป(๐)๐ป(๐). Di sisi lain, ๐ป(๐ฅ)๐ป(๐ฆ) = ๐ป(๐ฅ๐ฆ) ∈ ๐บ ⁄๐ป . Berdasarkan uraian tersebut, operasi koset ini terdefinisi dengan baik pada himpunan ๐บ ⁄๐ป jika ๐ป subgrup normal di ๐บ. Dengan kata lain, himpunan ๐บ ⁄๐ป membentuk struktur jika subgrup ๐ป normal. Misalkan ๐บ suatu grup dan ๐ subgrup normal ๐บ. Struktur ๐บ ⁄๐ bersifat asosiatif dikarenakan memenuhi (๐๐๐๐)๐๐ = ๐(๐๐)๐๐ = ๐(๐๐)๐ = ๐๐(๐๐) = ๐๐๐(๐๐) = ๐๐(๐๐๐๐). 75 Subgrup normal ๐ tidak lain identitas struktur ๐บ ⁄๐ mengingat ๐๐๐ = ๐๐ dan ๐๐๐ = ๐๐ untuk setiap ๐๐ ∈ ๐บ ⁄๐ . Sementara itu, koset ๐๐ −1 ∈ ๐บ ⁄๐ menjadi invers koset ๐๐ ∈ ๐บ ⁄๐ disebabkan ๐๐−1 ๐๐ = ๐(๐−1 ๐) = ๐ = ๐(๐๐ −1 ) = ๐๐๐๐ −1 Melihat semua itu, struktur ๐บ ⁄๐ dengan operasi koset tidak lain grup. Grup semacam ini disebut grup faktor (kuosien). Definisi 5.3 Misalkan ๐บ suatu grup dan ๐ subgrup normal ๐บ. Grup faktor dari grup ๐บ oleh ๐, ditulis: ๐บ ⁄๐, adalah himpunan semua koset kanan ๐ di ๐บ dengan operasi koset sebagai berikut. (๐๐)(๐๐) = ๐(๐๐) untuk setiap ๐๐, ๐๐ ∈ ๐บ ⁄๐ Contoh 5.2. Pandang grup bilangan bulat โค dengan operasi jumlah dan subgrup 〈2〉 = {2๐ง | ๐ง ∈ โค} = {2๐ง | ๐ง ∈ โค} = 2โค. Jelas subgrup 2โค normal sehingga kita dapat membentuk grup faktor dari โค oleh 2โค. Anggota grup ini semua koset kanan subgrup 2โค, yaitu: koset 2โค dan 2โค + 1. Berikut ini operasi pada grup faktor โค⁄2โค = {2โค, 2โค + 1}. ๐โค + ๐ ๐โค ๐โค 2โค 2โค + 1 ๐โค + ๐ 2โค + 1 2โค Tabel 5.1 Operasi koset pada grup โค⁄2โค Misalkan ๐บ suatu grup dengan orde hingga. banyaknya anggota grup faktor ๐บ ⁄๐ sejumlah koset kanan ๐ di ๐บ yaitu |๐บ: ๐|. Berdasarkan teorema Lagrange kita ketahui bahwa |๐บ| = |๐บ: ๐||๐|. Oleh karena itu, |๐บ| = |๐บ ⁄๐||๐| atau dengan kata lain |๐บ ⁄๐| = |๐บ|⁄|๐| Contoh 5.3. Pandang grup simetri {(1), (1 2 3), (1 3 2)}. Perhatikan bahwa ๐(1 2) = ๐(1 3) = ๐(2 3) = ๐3 dan subgrup {(1)(1 2), (1 2 3)(1 2), (1 3 2)(1 2)} = {(1)(1 3), (1 2 3)(1 3), (1 3 2)(1 3)} = {(1)(2 3), (1 2 3)(2 3), (1 3 2)(2 3)} = ๐ = 〈(1 2 3)〉 = {(1 2), (1 3), (2 3)} {(1 3), (2 3), (1 2)} {(2 3), (1 2), (1 3)} Jadi ๐3 ⁄๐ = {๐, ๐(1 2)}, karena ๐(1 2) = ๐(1 3) = ๐(2 3). Perhatikan bahwa jumlah unsur pada grup ๐3 ⁄๐, yaitu |๐3 ⁄๐| = 2. Menurut Lagrange, nilai 6 ini bisa diperoleh dari kesamaan |๐3 ⁄๐| = |๐3 |⁄|๐| = 3 = 2 tanpa harus mencacah anggota grup S3 . Subgrup normal ๐ tidak lain unsur identitas grup ๐3 ⁄๐ dan invers ๐(1 2) ialah dirinya sendiri karena ๐(1 2)๐(1 2) = ๐((1 2)(1 2)) = ๐(1) = ๐. Untuk 76 lebih jelasnya, mari kita perhatikan operasi pada grup ๐3 ⁄๐ seperti pada berikut ini. ๐ต(๐ ๐) ๐ต ๐ต ๐ ๐(1 2) ๐ต(๐ ๐) ๐(1 2) ๐ Tabel 5.2 Operasi pada grup ๐3 ⁄๐ Latihan 5.2 1. Misalkan ๐บ suatu grup dan ๐ subgrup normal ๐บ. Tunjukkan pernyataan berikut ini benar. a. Jika grup ๐บ komutatif maka begitu juga dengan grup ๐บ/๐. b. Jika grup ๐บ/๐ komutatif maka ๐๐๐−1 ๐ −1 ∈ ๐ untuk semua ๐, ๐ ∈ ๐บ. 2. Apakah setiap subgrup dari grup komutatif itu normal? 3. Misalkan ๐บ suatu grup dan ๐(๐บ) = {๐ ∈ ๐บ โฃ ๐๐ = ๐๐, ∀๐ ∈ ๐บ}. Tunjukkan bahwa Jika grup ๐บ/๐(๐บ) siklis maka grup ๐บ komutatif! 4. a. Berikan contoh grup non komutatif ๐บ sehingga grup ๐บ/๐(๐บ) komutatif! b. Berikan contoh grup ๐บ sehingga grup ๐บ/๐(๐บ) tidak komutatif! 8 14 48 5. a. Cari orde 9 , 5 , 28 anggota grup โ/โค dengan operasi jumlah. b. Tunjukkan bahwa setiap anggota โ/โค memiliki orde hingga! 77 BAB 6 HOMOMORFISMA GRUP Pada bagian ini, kita pelajari alat pembanding dua struktur grup, yaitu homomorfisma grup. Dengan homomorfisma kita dapat mengetahui apa yang dimiliki oleh dua buah grup yang strukturnya sama. Alat ini sangat penting dalam mempelajari struktur grup. Khususnya, ketika kita bekerja pada suatu grup berukuran besar dan rumit. Kita bisa gunakan homomorfisma sehingga kita memperoleh subgrup berukuran kecil dan sederhana, tetapi masih memiliki beberapa sifat esensial dari suatu grup besar dan rumit tersebut. Peta dari homomorfisma serta subgrup berukuran kecil dan sederhana tersebut memberikan gambaran tentang grup besar dan rumit yang kita kaji. 6.1 Konsep dasar Homomorfisma grup tidak lain pemetaan yang mengawetkan operasi. Untuk itu, dua grup yang di antara keduanya dapat dibentuk homomorfisma, memiliki kesamaan struktur. Secara formal homomorfisma didefinisikan sebagai berikut. Definisi 6.1 Misalkan ๐บ dan ๐ป dua buah grup. Pemetaan ๐: ๐บ โถ ๐ป disebut homomorfisma jika ๐(๐1 ๐2) = ๐(๐1 ) ๐(๐2 ) untuk setiap ๐1 , ๐2 ∈ ๐บ. Perlu diperhatikan ketika membaca tanda ๐1 ๐2 . Ketika operasi pada grup ๐บ disebutkan, sesuai kesepakatan penulisan operasi, tanda ๐1 ๐2 harus disesuaikan dengan operasi di grup ๐บ. Sementara itu, untuk ๐(๐1 ) ๐(๐2 ) harus disesuaikan dengan operasi pada grup ๐ป. Contoh 6.1. Pandang pemetaan ๐(๐ฅ) = ๐ ๐ฅ dari grup (โ, +) ke grup (โ+ , ⋅). Pemetaan ini tidak lain homomorfisma karena untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ ∈ โ memenuhi: (๐ฅ + ๐ฆ) = = = ๐ (๐ฅ+๐ฆ) ๐ ๐ฅ๐๐ฆ ๐(๐ฅ)๐(๐ฆ) Pada homomorfisma ๐ terlihat jelas operasi pada masing-masing grup. Contoh 6.2. Perhatikan grup bilangan bulat (โค, +) dan grup bilangan bulat ๐๐๐ ๐ (โค๐ ,⊕), untuk suatu bilangan bulat ๐. Misalkan kita definisikan 79 pemetaan ๐: โค โถ โค๐ dengan ๐(๐ง) = ๐งฬ untuk setiap ๐ง ∈ โค. Pemetaan ๐ seperti ini tentu saja homomorfisma mengingat untuk setiap ๐ฆ, ๐ง ∈ โค memenuhi ๐(๐ฆ + ๐ง) = = = ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐ฆ+๐ง ๐ฆฬ ⊕ ๐งฬ ๐(๐ฆ) ⊕ ๐(๐ง) Contoh 6.3. Semua pemetaan berikut homomorfisma. 1. 2. 3. 4. 1 2 ๐ฅ ๐ฅ Pemetaan ๐ ((๐ฆ)) = (3 1) (๐ฆ) dari grup (โ2 , +) ke grup (โ3 , +). 2 4 Pemetaan ๐ผ dari grup (โค, +) ke grup (2โค, +) dengan ๐ผ(๐ง) = 2๐ง untuk setiap ๐ง ∈ โค. Pemetaan ๐ฝ dari grup (โ+ , ⋅) ke grup (โ, +) dengan ๐ฝ(๐ฅ) = ๐๐๐10(๐ฅ), untuk setiap ๐ฅ ∈ โ+ . Pemetaan ๐พ(๐ฅ) = ๐๐ป , pemetaan yang mengaitkan setiap unsur ๐ฅ ∈ ๐บ ke unsur identitas grup ๐ป. Sifat 6.1 Jika ๐บ dan ๐ป dua buah grup serta pemetaan ๐: ๐บ โถ ๐ป suatu homomorfisma, pernyataan berikut benar. a. ๐(๐๐บ ) = ๐๐ป b. ๐(๐−1 ) = ๐ −1 (๐) untuk setiap ๐ ∈ ๐บ c. ๐(๐๐ ) = ๐ ๐ (๐) untuk setiap ๐ ∈ ๐บ, ๐ ∈ โค d. ๐(๐บ), peta homomorfik ๐บ, subgrup ๐ป Bukti. (๐). Misalkan ๐ homomorfisma dari grup ๐บ dengan identitas ๐๐บ ke grup H dengan identitas ๐๐ป . Dengan menggunakan ๐๐บ = ๐๐บ ๐๐บ dan ๐(๐๐บ ) ∈ ๐ป kita memperoleh ๐(๐๐บ ) ๐๐ป = ๐(๐๐บ ) = ๐(๐๐บ ๐๐บ ) = ๐(๐๐บ )๐(๐๐บ ) Selanjutnya kita gunakan hukum pembatalan kiri sehingga diperoleh ๐(๐๐บ ) = ๐๐ป . (๐). Ambil ๐ฅ ∈ ๐บ. Akibatnya ada ๐ฅ −1 ∈ ๐บ sehingga ๐ฅ −1 ๐ฅ = ๐๐บ . Selain itu, mengingat ๐(๐ฅ) ∈ ๐ป, tentu saja ada ๐ −1 (๐ฅ) ∈ ๐ป sehingga ๐ −1 (๐ฅ)๐(๐ฅ) = ๐๐ป . Dengan menggunakan informasi ini semua kita dapatkan ๐(๐๐บ ) ๐(๐ฅ −1 ๐ฅ) ๐(๐ฅ −1 )๐(๐ฅ) ๐(๐ฅ −1 ) = ๐๐ป −1 (๐ฅ)๐(๐ฅ) = ๐ = ๐ −1 (๐ฅ)๐(๐ฅ) = ๐ −1 (๐ฅ) 80 (๐). Ambil ๐ฅ ∈ ๐บ, ๐ ∈ โค. Untuk menunjukkan ๐(๐ฅ ๐ ) = ๐ ๐ (๐ฅ), kita bagi menjadi tiga kasus, yaitu ๐ < 0, ๐ = 0 dan ๐ > 0. Untuk kasus ๐ = 0, jelas karena ๐(๐ฅ 0 ) = ๐(๐๐บ ) = ๐๐ป = ๐ 0 (๐ฅ). Selanjutnya, untuk kasus ๐ > 0 kita gunakan induksi matematika. Untuk ๐ = 1 tidak ada yang perlu kita buktikan. Misalkan untuk ๐ > 1 berlaku ๐(๐ฅ ๐−1 ) = ๐ ๐−1 (๐ฅ). ๐(๐ฅ ๐ ) = = = = ๐(๐ฅ ๐−1 ๐ฅ) ๐(๐ฅ ๐−1 )๐(๐ฅ) ๐ ๐−1 (๐ฅ)๐(๐ฅ) ๐ ๐ (๐ฅ) Terakhir untuk kasus ๐ < 0 atau ๐ = −|๐|. Kita memperoleh ๐(๐ฅ ๐ ) = ๐(๐ฅ −|๐| ) −1 = ๐ ((๐ฅ |๐| ) ) = ๐ −1 (๐ฅ |๐| ) = [๐(๐ฅ |๐| )] ([๐(๐ฅ)]−1 )|๐| = = = = −1 (๐(๐ฅ)) −|๐| ๐ (๐(๐ฅ)) ๐ ๐ (๐ฅ) (๐). Jelas ๐(๐บ) = {๐(๐ฅ) | ๐ฅ ∈ ๐บ} ⊆ ๐ป. Himpunan ๐(๐บ) ≠ ∅, karena ๐๐ป = ๐(๐๐บ ) ∈ ๐(๐บ), Ambil ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐(๐บ), Untuk itu, ada ๐ฃ, ๐ค ∈ ๐บ yang memenuhi ๐ฅ = ๐(๐ฃ) dan ๐ฆ = ๐(๐ค). Untuk menunjukkan ๐(๐บ) subgrup ๐ป, kita cukup menunjukkan ๐ฅ๐ฆ −1 ∈ ๐(๐บ). Perhatikan bahwa ๐ฅ๐ฆ −1 = ๐(๐ฃ)๐ −1 (๐ค) = ๐(๐ฃ)๐(๐ค −1 ) = ๐(๐ฃ๐ค −1 ) ∈ ๐(๐บ) karena ๐ฃ๐ค −1 ∈ ๐บ Jadi, terbukti bahwa ๐(๐บ) adalah subgrup dari ๐ป.โ Sebelum kita melanjutkan ke sifat-sifat berikutnya, mari perhatikan definisi berikut ini. Definisi 6.2 Misalkan ๐บ dan ๐ป semuanya grup serta ๐: ๐บ โถ ๐ป suatu homomorfisma. Himpunan semua unsur di ๐บ yang dipetakan oleh ๐ ke identitas ๐ป disebut inti homomorfisma, ditulis: ๐ผ๐๐ก๐(๐). ๐ผ๐๐ก๐(๐) = {๐ฅ ∈ ๐บ | ๐(๐ฅ) = ๐๐ป } Contoh 6.4. Pandang ๐: โ โถ โ+ dengan ๐(๐ฅ) = ๐ ๐ฅ seperti dalam Contoh 6.1. Himpunan ๐ผ๐๐ก๐(๐) = {0}. Hal ini terjadi disebabkan karena ๐ฅ = ๐๐ ๐ ๐ฅ = ๐๐ ๐(๐ฅ) = ๐๐ 1 = 0. 81 Sifat 6.2 Misalkan ๐บ dan ๐ป dua buah grup serta ๐: ๐บ โถ ๐ป suatu pemetaan. Jika pemetaan ๐ homomorfisma maka ๐ผ๐๐ก๐(๐) subgrup ๐บ. Bukti. Berdasarkan Definisi 6.2, jelas ๐ผ๐๐ก๐(๐) ⊆ ๐บ. Di sisi lain, menurut Sifat 6.1(a), ๐ผ๐๐ก๐(๐) ≠ ∅. Sekarang ambil ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐ผ๐๐ก๐(๐). Akibatnya, kita memperoleh ๐(๐ฅ) = ๐๐ป dan ๐(๐ฆ) = ๐๐ป . Perhatikan bahwa ๐(๐ฅ๐ฆ −1 ) = ๐(๐ฅ)๐(๐ฆ −1) = ๐(๐ฅ)๐ −1 (๐ฆ) = ๐๐ป ๐๐ป−1 = ๐๐ป Dengan demikian ๐ฅ๐ฆ −1 ∈ ๐ผ๐๐ก๐(๐) dan ini melengkapi bukti kita, yakni ๐ผ๐๐ก๐(๐) subgrup ๐บ.โ Sifat 6.3 Misalkan ๐บ dan ๐ป dua buah grup serta ๐: ๐บ โถ ๐ป suatu pemetaan. Jika pemetaan ๐ homomorfisma maka ๐ผ๐๐ก๐(๐) subgrup normal ๐บ. Bukti. Berdasarkan Sifat 6.2, subhimpunan ๐ผ๐๐ก๐(๐) subgrup ๐บ. Untuk itu, cukup menunjukkan subgrup ๐ผ๐๐ก๐(๐) normal di ๐บ. Sekarang ambil ๐ ∈ ๐บ dan ๐ ∈ ๐ผ๐๐ก๐(๐). Perhatikan bahwa ๐(๐๐๐−1 ) = ๐(๐)๐(๐)๐(๐−1 ) = ๐(๐)๐๐ป ๐ −1 (๐) = ๐๐ป . Mengingat untuk setiap ๐ ∈ ๐ผ๐๐ก๐(๐) dan ๐ ∈ ๐บ mengakibatkan ๐๐๐−1 ∈ ๐ผ๐๐ก๐(๐), subgrup ๐ผ๐๐ก๐(๐) normal di ๐บ. โ Latihan 6.1 1. Periksa apakah pemetaan berikut ini suatu homomorfisma! a. ๐: โ โถ โ dengan ๐(๐ + ๐๐) = ๐ b. ๐: โ × โค โถ โค dengan ๐((๐ฅ, ๐ฆ)) = ๐ฆ 2. Tentukan peta homomorfik dan inti homomorfisma jika pemetaan pada soal No.1 homomorfisma! 3. Jika ๐, ๐, ๐ ∈ โค+ demikian sehingga ๐|๐. Tunjukkan bahwa pemetaan ๐: โค๐ โถ โค๐ dengan ๐([๐]๐ ) = [๐๐]๐ suatu homomorfisma! 4. Tentukan inti homomorfisma dan peta homomorfik ๐(โค๐ )! 5. Misalkan ๐บ dan ๐ป dua buah grup hingga serta pemetaan ๐: ๐บ โถ ๐ป suatu homomorfisma. Tunjukkan bahwa |๐(๐บ)| membagi ๐บ dan ๐ป. 6.2 Macam-macam homomorfisma beserta sifatnya Misalkan ๐บ dan ๐ป dua buah grup serta ๐: ๐บ โถ ๐ป suatu homomorfisma. Homomorfisma ๐ disebut endomorfisma jika grup ๐บ = ๐ป. Endomorfisma yang bersifat bijektif disebut otomorfisma. 82 Berdasarkan sifat pemetaannya, homomorfisma grup terbagi menjadi tiga bagian yaitu: monomorfisma, epimorfisma dan isomorfisma. Suatu homomorfisma disebut monomorfisma jika ia bersifat satu-satu (injektif). Suatu homomorfisma disebut epimorfisma jika ia bersifat pada (surjektif). Terakhir, homomorfisma disebut isomorfisma jika ia bersifat satu-satu dan pada (bijektif). Contoh 6.5. Homomorfisma ๐ dalam Contoh 6.1 tidak lain monomorfisma. Homomorfisma ๐ dalam Contoh 6.2 merupakan epimorfisma yang bukan monomorfisma sementara homomorfisma ๐พ dalam Contoh 6.3(4) merupakan homomorfisma yang bukan monomorfisma maupun epimorfisma. Contoh 6.6. Dalam Contoh 6.3(2) telah disebutkan pemetaan ๐ผ dari grup (โค, +) ke grup (2โค, +) dengan ๐ผ(๐ง) = 2๐ง untuk setiap ๐ง ∈ โค suatu homomorfisma. Sekarang kita tunjukkan ๐ผ bijektif. Ambil ๐ฆ ∈ 2โค. Untuk suatu ๐ง ∈ โค, kita memperoleh ๐ฆ = 2๐ง = ๐ผ(๐ง) dan mengakibatkan ๐ผ bersifat surjektif. Sekarang ambil ๐ฃ, ๐ค ∈ โค dengan ๐ผ(๐ฃ) = ๐ผ(๐ค). Mengingat 2๐ฃ = 2๐ค tentu saja ๐ฃ = ๐ค. Jadi homomorfisma ini bersifat injektif. Mengingat homomorfisma ๐ผ bijektif, tentu saja isomorfisma. โ Sifat 6.4 Misalkan ๐บ dan ๐ป dua buah grup serta ๐: ๐บ โถ ๐ป suatu homomorfisma grup. Homomorfisma ๐ suatu monomorfisma jika dan hanya jika ๐ผ๐๐ก๐(๐) = {๐๐บ }. Bukti. (โน). Misalkan ๐: ๐บ โถ ๐ป monomorfisma dan ๐๐บ identitas grup ๐บ. Ambil ๐ฅ ∈ ๐ผ๐๐ก๐(๐). Unsur ini oleh ๐ dipetakan ke identitas ๐๐ป , ditulis: ๐(๐ฅ) = ๐๐ป . Berdasarkan Sifat 6.1, kita memperoleh ๐(๐ฅ) = ๐๐ป = ๐(๐๐บ ). Selanjutnya dengan menggunakan sifat ๐ pemetaan satu-satu, kita mendapatkan ๐ฅ = ๐๐บ . Jadi ๐ผ๐๐ก๐(๐) = {๐๐บ }. (โธ). Sekarang kita buktikan sebaliknya. Misal ๐ homomorfisma dan ๐ผ๐๐ก๐(๐) = {๐๐บ }. Akan kita tunjukkan ๐ monomorfisma. Ambil ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐บ dengan ๐(๐ฅ) = ๐(๐ฆ). Perhatikan bahwa ๐(๐ฅ)๐ −1 (๐ฆ) = ๐(๐ฅ)๐(๐ฆ −1 ) = ๐(๐ฅ๐ฆ −1 ) = ๐(๐ฆ)๐ −1 (๐ฆ) ๐๐ป ๐๐ป Karena ๐ฅ๐ฆ −1 ∈ ๐ผ๐๐ก๐(๐) = {๐๐บ }, itu artinya ๐ฅ๐ฆ −1 = ๐๐บ . Hal ini mengakibatkan ๐ bersifat injektif mengingat ๐ฆ = ๐๐บ ๐ฆ = (๐ฅ๐ฆ −1 )๐ฆ = ๐ฅ(๐ฆ −1 ๐ฆ) = ๐ฅ ๐๐บ = ๐ฅ. Jadi, homomorfisma ๐ suatu monomorfisma. โ Definisi 6.3 Kedua grup ๐บ dan ๐ป disebut isomorfik, ditulis: ๐บ ≅ ๐ป, jika ada isomorfisma dari grup ๐บ ke grup ๐ป. 83 Contoh 6.7. Perhatikan kembali Contoh 6.6. Dalam contoh ini, โค ≅ 2โค mengingat ada isomorfisma ๐ผ: โค โถ 2โค. Contoh 6.8. Pandang grup โค3 = {0ฬ , 1ฬ , 2ฬ } dengan operasi jumlah modulo ⊕ dan grup 〈(1 2 3)〉 = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} dengan operasi komposisi โ seperti terlihat pada tabel Cayley berikut. ฬ ๐ ฬ ๐ ฬ (๐) (๐ ๐ ๐) (๐ ๐ ๐) ⊕ ๐ โ ฬ 0ฬ 1ฬ 2ฬ (1) (1) (1 2 3) (1 3 2) ๐ ฬ 1ฬ 2ฬ 0ฬ (1 2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1) ๐ ฬ ฬ ฬ ฬ (1 3 2) (1 3 2) (1) (1 2 3) ๐ 2 0 1 Tabel 6.1 Operasi ⊕ pada โค๐ dan Operasi โ pada 〈(1 2 3)〉 Perhatikan bahwa โค3 ≅ 〈(1 2 3)〉 karena kita bisa mengkonstruksi pemetaan ๐: โค3 โถ 〈(1 2 3)〉 dengan mengaitkan 0ฬ โฆ (1), 1ฬ โฆ (1 2 3) dan 2ฬ โฆ (1 3 2). 0ฬ ๐ (1) 1ฬ (1 2 3) 2ฬ (1 3 2) โค3 〈(1 2 3)〉 Gambar 6.1 Isomorfisma ๐ dari โค๐ ke 〈(1 2 3)〉 Sebagai gambaran kesamaan struktur di grup โค๐ dan grup 〈(1 2 3)〉. Peran 0ฬ di grup โค๐ sama dengan peran (1) di dalam grup 〈(1 2 3)〉, sama-sama sebagai identitas. Peran 1ฬ di grup โค๐ sama dengan peran (1 2 3) di grup 〈(1 2 3)〉. Begitu juga dengan peran 2ฬ di grup โค๐ tentu saja sama dengan peran (1 3 2) di grup 〈(1 2 3)〉. Perhatikan unsur (1 2 3) ∈ 〈(1 2 3)〉. Yang bersesuaian dengan unsur ini di grup โค๐ tidak lain unsur 1ฬ . Dapat dilihat bersama pada Tabel 6.1, (1 2 3)−1 = (1 3 2). Unsur (1 3 2) ini ternyata bersesuaian dengan 2ฬ dan 2ฬ = (1ฬ )−1 . Sifat 6.5 Misalkan ๐บ dan ๐ป dua buah grup. Jika ๐บ ≅ ๐ป maka pernyataan berikut benar. a. |๐บ| = |๐ป| b. Jika ๐บ memiliki subgrup berorde ๐, maka ๐ป juga memilikinya c. Jika ๐(๐) = ๐ maka ๐(๐(๐)) = ๐ untuk setiap ๐ ∈ ๐บ dan ๐: ๐บ โถ ๐ป suatu isomorfisma. 84 Bukti. (a). Misalkan ๐บ dan ๐ป dua buah grup dengan ๐บ ≅ ๐ป. Akibatnya, ada pemetaan isomorfisma ๐: ๐บ โถ ๐ป. Tentu saja pemetaan ๐ ini bersifat bijektif. Akhirnya, menurut Definisi 1.10, |๐บ| = |๐ป| sesuai yang ingin kita buktikan. (b). Misalkan ๐บ dan ๐ป dua buah grup dengan ๐บ ≅ ๐ป. Misalkan K subgrup ๐บ dengan |๐พ| = ๐ dan pemetaan ๐: ๐บ โถ ๐ป isomorfisma. Ada dua alasan penyebab ๐(๐พ) = {๐(๐) โฃ ๐ ∈ ๐พ} membentuk subgrup ๐ป. Pertama, ๐(๐พ) ≠ ∅. Tentu ini disebabkan adanya ๐๐ป = ๐(๐๐พ ) ∈ ๐(๐พ) mengingat ๐ suatu homomorfisma. Kedua, ๐(๐)๐ −1 (๐) = ๐(๐๐ −1 ) ∈ ๐(๐พ) karena ๐ homomorfisma dan ๐๐ −1 ∈ ๐พ untuk setiap ๐, ๐ ∈ ๐พ. Selanjutnya tinggal menunjukkan |๐(๐พ)| = ๐. Batasi domain ๐ menjadi ๐พ. Pembatasan ini mengakibatkan ๐: ๐พ โถ ฯ(๐พ) masih tetap isomorfisma. Dengan menggunakan hasil (๐), kita memperoleh |๐(๐พ)| = |๐พ| = ๐. Jadi ada ๐(๐พ) subgrup ๐ป berorde ๐. (c). Misalkan ๐บ dan ๐ป dua buah grup dengan ๐: ๐บ โถ ๐ป suatu isomorfisma. Ambil ๐ ∈ ๐บ sehingga ๐(๐) = ๐ untuk suatu bilangan asli terkecil ๐, ditulis: ๐๐ = ๐๐บ . Pengambilan ini mengakibatkan ๐(๐(๐)) ≤ ๐ karena ๐ ๐ (๐) = ๐(๐๐ ) = ๐(๐๐บ ) = ๐๐ป . Andaikan ๐(๐(๐)) = ๐ < ๐. Pengandaian ini memberikan ๐๐ป = ๐ ๐ (๐) = ๐(๐๐ ) dan mengakibatkan ๐(๐๐ ) = ๐๐ป = ๐(๐๐ ). Dengan demikian, ๐๐ป = = = = = −1 ๐(๐๐ )(๐(๐๐ )) ๐(๐๐ )๐ −1 (๐๐ ) ๐(๐๐ )๐((๐๐ )−1 ) ๐(๐๐ )๐(๐−๐ ) ๐(๐๐−๐ ) Untuk itu, ๐๐−๐ ∈ ๐ผ๐๐ก๐(๐) sehingga ๐๐−๐ = ๐๐บ karena ๐ injektif. Hal ini bertentangan dengan pernyataan ๐(๐) = ๐. Jadi, haruslah ๐(๐(๐)) = ๐. โ Sifat 6.6 Misalkan ๐บ dan ๐ป dua buah grup yang isomorfik. a. Jika ๐บ komutatif maka ๐ป komutatif. b. Jika ๐บ siklis maka ๐ป siklis. Bukti. (a). Misalkan ๐บ dan ๐ป dua buah grup yang isomorfik serta grup ๐บ komutatif. Bentuk pemetaan isomorfisma ๐: ๐บ โถ ๐ป. Ambil ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐บ dengan ๐ฅ๐ฆ = ๐ฆ๐ฅ. Mengingat pemetaan ๐ suatu homomorfisma, kita memperoleh ๐(๐ฅ)๐(๐ฆ) = ๐(๐ฅ๐ฆ) = ๐(๐ฆ๐ฅ) = ๐(๐ฆ)๐(๐ฅ) untuk setiap ๐(๐ฆ), ๐(๐ฅ) ∈ ๐ป atau dengan kata lain grup ๐ป komutatif. (b). Misalkan ๐บ dan ๐ป dua buah grup yang isomorfik serta grup ๐บ siklis. Bentuk pemetaan isomorfisma ๐: ๐บ โถ ๐ป. Ambil ๐ฅ ∈ ๐บ sehingga ๐บ = 〈๐ฅ〉 = 85 {๐ฅ ๐ | ๐ ∈ โค}. Berdasarkan Sifat 6.1, kita memperoleh ๐ ๐ (๐ฅ) = ๐(๐ฅ ๐ ) sehingga diperoleh hasil berikut ini. ๐(๐บ) = = = = ๐(〈๐ฅ〉) ๐({ ๐ฅ | ๐ฅ ∈ ๐บ, ๐ ∈ โค}) {๐(๐ฅ ๐ ) | ๐ฅ ∈ ๐บ, ๐ ∈ โค} {๐ ๐ (๐ฅ) | ๐(๐ฅ) ∈ ๐ป, ๐ ∈ โค} ๐ Sifat pemetaan ๐ yang surjektif mengakibatkan ๐(๐บ) = ๐ป dan dengan demikian ๐ป = ๐(๐บ) = {๐ ๐ (๐ฅ) | ๐(๐ฅ) ∈ ๐ป, ๐ ∈ โค} = 〈๐(๐ฅ)〉 atau dengan kata lain grup ๐ป siklis. Sifat 6.7 Isomorfik suatu relasi ekuivalen. Bukti. bentuk relasi ≅ pada himpunan koleksi semua grup sebagai berikut. Untuk setiap grup ๐บ dan ๐ป, ๐บ ≅ ๐ป jika dan hanya jika ada isomorfisma ๐: ๐บ โถ ๐ป Untuk menunjukkan relasi ≅ ekuivalen, akan kita tunjukkan relasi ini memenuhi sifat refleksif, simetris dan transitif. Misalkan ๐บ grup. Bentuk pemetaan ๐: ๐บ โถ ๐บ dari grup ๐บ terhadap dirinya sendiri dengan ๐(๐ฅ) = ๐ฅ untuk setiap ๐ฅ ∈ ๐บ. Mudah untuk menunjukkan pemetaan ini isomorfisma sehingga ๐บ ≅ ๐บ atau dengan kata lain ≅ bersifat refleksif. Misalkan ๐ป grup dan ๐บ ≅ ๐ป. Untuk itu, ada isomorfisma ๐: ๐บ โถ ๐ป. Karena ๐ bijektif, menurut Sifat 1.9, tentu saja ada ๐ −1 : ๐ป โถ ๐บ yang bijektif. Ambil ๐, ๐ ∈ ๐ป dengan ๐ −1 (๐) = ๐ฅ dan ๐ −1 (๐) = ๐ฆ. Pengambilan ini mengakibatkan ๐(๐ฅ) = ๐ dan ๐(๐ฆ) = ๐ sehingga kita memperoleh ๐(๐ฅ๐ฆ) = ๐(๐ฅ)๐(๐ฆ) = ๐๐. Mengingat pemetaan bijektif ๐ −1 memenuhi ๐ −1 (๐๐) = ๐ฅ๐ฆ = ๐ −1 (๐)๐ −1 (๐), tentu saja ๐ −1 suatu isomorfisma. Ini artinya ๐ป ≅ ๐บ. Jadi ≅ bersifat simetris. Misalkan ๐พ grup serta ๐บ ≅ ๐ป dan ๐ป ≅ ๐พ. Pemisalan ini mengakibatkan adanya ๐: ๐บ โถ ๐ป dan ๐: ๐ป โถ ๐พ suatu isomorfisma sehingga ๐ โ ๐: ๐บ โถ ๐พ bersifat bijektif berdasarkan Sifat 1.8. Ambil unsur ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐บ. Karena ๐ dan ๐ suatu homomorfisma, kita memperoleh hasil berikut ini. (๐ โ ๐)(๐ฅ๐ฆ) = = ๐(๐(๐ฅ๐ฆ)) ๐(๐(๐ฅ)๐(๐ฆ)) = ๐(๐(๐ฅ))๐(๐(๐ฆ)) = (๐ โ ๐)(๐ฅ)(๐ โ ๐)(๐ฆ) 86 Akibatnya komposisi ๐ โ ๐ suatu isomorfisma dan menimbulkan ๐บ ≅ ๐พ. Dengan kata lain, relasi ≅ bersifat transitif. Uraian semua itu menunjukkan relasi ≅ ekuivalen. โ Sifat 6.8 (Teorema Cayley ) Setiap grup ๐บ isomorfik dengan suatu grup permutasi pada ๐บ. Bukti. Pandang pemetaan ๐: ๐บ โถ ๐๐๐(๐บ) dengan ๐(๐) = ๐๐ untuk setiap ๐ ∈ ๐บ dan ๐๐ : ๐บ โถ ๐บ dengan ๐๐ (๐ฅ) = ๐๐ฅ untuk setiap ๐ฅ ∈ ๐บ. Subgrup ๐(๐บ) ⊆ ๐๐๐(๐บ) adalah grup permutasi pada G. Untuk itu kita tinggal menunjukkan bahwa ๐บ ≅ ๐(๐บ). Ambil sembarang unsur ๐ ∈ ๐บ dan ๐๐ : ๐บ โถ ๐บ dengan ๐๐ (๐ฅ) = ๐๐ฅ untuk setiap ๐ฅ ∈ ๐บ. Untuk menunjukkan ๐๐ ∈ ๐๐๐(๐บ), cukup dengan menunjukkan ๐๐ pemetaan bijektif. Jelas pemetaan ๐๐ terdefinisi dengan baik karena untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐บ dengan ๐ฅ = ๐ฆ berlaku ๐๐ (๐ฅ) = ๐๐ฅ = ๐๐ฆ = ๐๐ (๐ฆ). Pemetaan ๐๐ juga bersifat injektif karena untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ ∈ ๐บ dengan ๐๐ (๐ฅ) = ๐๐ (๐ฆ) mengakibatkan ๐ฅ = (๐−1 ๐)๐ฅ = ๐−1 (๐๐ฅ) = ๐−1 ๐๐ (๐ฅ) = ๐ −1 ๐๐ (๐ฆ) = ๐−1 (๐๐ฆ) = (๐−1 ๐)๐ฆ = ๐ฆ Terakhir, akan kita tunjukkan ๐๐ pemetaan surjektif. Ambil ๐ฆ ∈ ๐บ. Berdasarkan Sifat 2.6, terdapat ๐ฅ ∈ ๐บ sehingga ๐ฆ = ๐๐ฅ = ๐๐ (๐ฅ) untuk setiap ๐ ∈ ๐บ. Jadi ๐๐ merupakan pemetaan surjektif. Karena ๐๐ pemetaan bijektif maka ๐๐ ∈ ๐๐๐(๐บ). Ambil dua unsur ๐, ๐ ∈ ๐บ dengan ๐ = ๐. Akibatnya, ๐(๐) = ๐(๐) karena untuk setiap unsur ๐ฅ ∈ ๐บ, memenuhi persamaan ๐(๐)(๐ฅ) = ๐๐ (๐ฅ) = ๐๐ฅ = ๐๐ฅ = ๐๐ (๐ฅ) = ๐(๐)(๐ฅ). Jadi jelas pemetaan ๐ terdefinisi dengan baik mengingat untuk setiap dua unsur ๐, ๐ ∈ ๐บ dengan ๐ = ๐ mengakibatkan ๐(๐) = ๐(๐). Selanjutnya kita tunjukkan pemetaan ๐ suatu homomorfisma. Sekarang ambil ๐, ๐ ∈ ๐บ. Perhatikan bahwa 87 ๐(๐๐)(๐ฅ) = = = = = = = ๐(๐๐) = ๐๐๐ (๐ฅ) (๐๐)๐ฅ ๐(๐๐ฅ) ๐๐ (๐๐ฅ) ๐๐ (๐๐ (๐ฅ)) (๐๐ โ ๐๐ )(๐ฅ) (๐(๐) โ ๐(๐))(๐ฅ) ๐(๐) โ ๐(๐) Mengingat ๐(๐๐) = ๐(๐) โ ๐(๐), pemetaan ๐ suatu homomorfisma. Terakhir akan ditunjukkan ๐ pemetaan bijektif. Ambil sembarang unsur ๐ ∈ ๐ผ๐๐ก๐(๐บ). Ini artinya ๐(๐) = ๐๐บ dengan ๐(๐)(๐ฅ) = ๐(๐ฅ) = ๐ฅ untuk setiap ๐ฅ ∈ ๐บ dan ๐ ∈ ๐๐๐(๐บ) pemetaan identitas di ๐๐๐(๐บ). Di sisi lain, ๐(๐)(๐ฅ) = ๐๐ (๐ฅ) = ๐๐ฅ. Untuk itu, ๐๐ฅ = ๐ฅ untuk setiap ๐ฅ ∈ ๐บ dan mengakibatkan ๐ = ๐(๐ฅ๐ฅ −1 ) = (๐๐ฅ)๐ฅ −1 = ๐ฅ๐ฅ −1 = ๐๐บ sehingga diperoleh ๐ผ๐๐ก๐(๐บ) = {๐๐บ }. Dengan demikian, homomorfisma ๐ injektif berdasarkan Sifat 6.4. Jadi, ๐(๐บ) ≅ ๐บ karena ๐(๐บ) subgrup ๐บ. Pandang grup dengan orde tiga โค3 = {0ฬ , 1ฬ , 2ฬ } dengan operasi ⊕. Menurut Sifat 6.8, grup ini isomorfik dengan suatu subgrup ๐3 (grup permutasi pada โค3 ). Bentuk pemetaan homomorfisma ๐: โค3 ๐ฬ โถ โฆ ๐3 ๐๐ฬ Dengan ๐๐ฬ (๐ฅฬ ) = ๐ฬ ⊕ ๐ฅฬ untuk sehingga memenuhi ๐(๐ฬ )(๐ฅฬ ) = = = ๐๐ฬ (๐ฅฬ ) ๐ฬ ⊕ ๐ฅฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐+๐ฅ untuk setiap ๐ฅฬ ∈ โค3 . Dengan adanya pemetaan ๐(๐ฬ ), kita dapatkan semua permutasi anggota grup permutasi pada โค3 yaitu sebagai berikut. Untuk ๐ฬ = 0ฬ kita memperoleh ๐(0ฬ )(0ฬ ) = ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ 0+0 ๐(0ฬ )(1ฬ ) = ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ 0+1 ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐(0)(2) = 0 + 2 ฬ ฬ Sehingga permutasi ๐(0ฬ ) = (0 1 0ฬ 1ฬ = 0ฬ = 1ฬ = 2ฬ 2ฬ ) 2ฬ Untuk ๐ฬ = 1ฬ kita memperoleh ๐(1ฬ )(0ฬ ) = ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ 1+0 ๐(1ฬ )(1ฬ ) = ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ 1+1 ๐(1ฬ )(2ฬ ) = ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ 1+2 88 = 1ฬ = 2ฬ = 0ฬ ฬ ฬ Sehingga permutasi ๐(1ฬ ) = (0 1 1ฬ 2ฬ 2ฬ ) 0ฬ Untuk ๐ฬ = 2ฬ kita memperoleh ๐(2ฬ )(0ฬ ) = ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ 2+0 ๐(2ฬ )(1ฬ ) = ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ 2+1 ๐(2ฬ )(2ฬ ) = ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ 2+2 ฬ ฬ Sehingga permutasi ๐(2ฬ ) = (0 1 2ฬ 0ฬ = 2ฬ = 0ฬ = 1ฬ 2ฬ ). 1ฬ Akhirnya kita memperoleh semua permutasi pada โค3 , yaitu: ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐(0ฬ ) = (0 1 2), ๐(1ฬ ) = (0 1 ฬ 0 1ฬ 2ฬ 1ฬ 2ฬ 2ฬ ) dan ๐(2ฬ ) = (0ฬ 1ฬ 0ฬ 2ฬ 0ฬ 2ฬ ) 1ฬ Namun bila diperhatikan, semua permutasi ini masih belum menggunakan notasi baku di dalam penulisannya. Untuk itu, kita perlu menuliskan ulang dengan mengganti tanda 1ฬ dengan 1, 2ฬ dengan 2 dan 0ฬ dengan 3 sehingga penulisan semua permutasi menjadi baku, yaitu: 1 2 ๐(0ฬ ) = ( 1 2 3 1 2 ), ๐(1ฬ ) = ( 3 2 3 3 1 2 3 ) dan ๐(2ฬ ) = ( ) 1 3 1 2 dan jika ditulis dalam notasi siklus, permutasi-permutasi ini secara berurutan menjadi ๐(0ฬ ) = (1), ๐(1ฬ ) = (1 2 3) dan ๐(2ฬ ) = (1 3 2). Dengan demikian kita memperoleh ๐(โค3 ) {๐(๐ฬ ) โฃ ๐ฬ ∈ โค3 } = {๐(0ฬ ), ๐(1ฬ ), ๐(2ฬ )} = = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} 〈(1 2 3)〉 = Mengingat ๐: โค3 โถ ๐(โค3 ) isomorfisma dan ๐(โค3 ) = 〈(1 2 3)〉 ≤ ๐3, untuk itu dapat kita simpulkan bahwa โค3 ≅ ๐(โค3 ) = 〈(1 2 3)〉 ≤ ๐3 . Dengan kata lain, grup โค3 isomorfik dengan grup permutasi 〈(1 2 3)〉 ≤ ๐3. Perhatikan kembali Tabel 6.1 dan Gambar 6.1. Latihan 6.2 1. Carilah subgrup ๐4 yang isomorf dengan โค4 . 2. Tunjukkan bahwa jika ๐|๐ maka โค๐ /〈๐〉 ≅ โค๐ . 3. Misalkan ๐: ๐บ โถ ๐ป epimorfisma dengan inti ๐พ. Tunjukkan ada pemetaan bijektif dari himpunan semua subgrup ๐ป dan himpunan subgrup ๐บ yang memuat ๐พ! 89 4. Misalkan ๐บ grup komutatif dengan orde ๐, ๐ bilangan asli dan ๐: ๐บ โถ ๐บ dengan ๐(๐) = ๐๐ . Tunjukkan bahwa jika faktor persekutuan ๐ dan ๐ ialah 1, pemetaan ๐ suatu isomorfisma. 5. Misalkan ๐บ grup siklis a. Jika ๐บ tak hingga, maka grup ๐บ isomorf dengan grup jumlah โค. b. Jika ๐บ hingga dengan orde ๐, maka grup ๐บ isomorf dengan grup jumlah โค๐ . 6.3 Teorema Dasar Homomorfisma Misalkan ๐ subgrup normal grup ๐บ. Kita bisa kaitkan setiap unsur di ๐บ dengan koset kanan ๐ yang memuat unsur tersebut. relasi ini disebut homomorfisma alami dan inti relasi ini membentuk subgrup normal. Untuk lebih jelasnya, perhatikan sifat berikut ini. Sifat 6.9 Jika ๐บ suatu grup dan ๐ subgrup normal ๐บ, maka pemetaan ๐: ๐บ ๐ โถ โฆ ๐บ ⁄๐ ๐๐ ๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐ ๐๐ก๐๐๐ ๐ ∈ ๐บ suatu epimorfisma dari ๐บ ke ๐บ ⁄๐ dengan ๐ผ๐๐ก๐(๐) = ๐. Bukti. Jelas ๐ suatu pemetaan yang terdefinisi dengan baik karena untuk setiap ๐, ๐ ∈ ๐บ dengan ๐ = ๐ mengakibatkan ๐(๐) = ๐๐ = ๐๐ = ๐(๐). Pemetaan ๐ juga dan bersifat surjektif, karena untuk setiap ๐ฆ = ๐๐ ∈ ๐บ ⁄๐ ada unsur ๐ ∈ ๐บ sehingga ๐ฆ = ๐๐ = ๐(๐). Perhatikan bahwa ๐(๐๐) = ๐(๐๐) = ๐๐๐๐ = ๐(๐)๐(๐) untuk setiap ๐, ๐ ∈ ๐บ. Jadi, pemetaan ๐ juga homomorfisma. Dengan demikian, pemetaan ๐ suatu epimorfisma. Sekarang ambil ๐ ∈ ๐ผ๐๐ก๐(๐). Pengambilan ini mengakibatkan ๐(๐) = ๐. Mengingat ๐๐ = ๐(๐) = ๐, kita memperoleh ๐ ∈ ๐. Jadi ๐ผ๐๐ก๐(๐) ⊆ ๐ karena untuk setiap ๐ ∈ ๐ผ๐๐ก๐(๐) mengakibatkan ๐ ∈ ๐. Sebaliknya, jika ๐ ∈ ๐, ๐๐ = ๐ dan hal ini mengakibatkan ๐(๐) = ๐๐ = ๐ sehingga kita memperoleh ๐ ∈ ๐ผ๐๐ก๐(๐). Jadi ๐ ⊆ ๐ผ๐๐ก๐(๐) karena untuk setiap ๐ ∈ ๐ mengakibatkan ๐ ∈ ๐ผ๐๐ก๐(๐). Dengan demikian dapat kita simpulkan bahwa ๐ผ๐๐ก๐(๐) = ๐, karena ๐ผ๐๐ก๐(๐) ⊆ ๐ dan ๐ ⊆ ๐ผ๐๐ก๐(๐).โ Contoh 6.9. Bentuk pemetaan ๐: ๐3 โถ ๐3 ⁄๐ dengan subgrup normal ๐ = 〈(1 2 3)〉 = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} seperti terlihat pada gambar berikut ini. 90 (1) (1 2) ๐ (1 3) (2 3) (1 2 3) ๐(1 2) (1 3 2) ๐3 ๐3 /๐ Gambar 6.2 Pemetaan ๐ dari Grup ๐3 ke Grup ๐3 ⁄๐ Pembentukan grup ๐3 ⁄๐ dapat dilihat dalam Contoh 5.3 sementara untuk tabel operasi koset pada grup ini dapat di lihat dalam Tabel 5.2. Sifat 6.10 (Teorema Dasar Homomorfisma) Misalkan ๐บ dan ๐ป dua buah grup serta ๐: ๐บ โถ ๐ป suatu epimorfisma dengan ๐ผ๐๐ก๐(๐) = ๐พ. Pemetaan ๐: ๐บ ⁄๐พ ๐พ๐ โถ ๐ป ๐(๐) untuk setiap ๐พ๐ ∈ ๐บ ⁄๐พ suatu isomorfisma dari ๐บ ⁄๐พ ke ๐ป. Oleh karena itu, ๐บ ⁄๐พ ≅ ๐ป Bukti. Pertama-tama kita cek dahulu apakah ๐ pemetaan yang terdefinisi dengan baik. Selanjutnya, jika pemetaan ini terdefinisi dengan baik, baru kita tunjukkan pemetaan ini isomorfisma. Ambil ๐พ๐, ๐พ๐ ∈ ๐บ ⁄๐พ dengan ๐พ๐ = ๐พ๐ dan ๐, ๐ ∈ ๐บ. Perhatikan bahwa ๐ = ๐๐ untuk suatu ๐ ∈ ๐พ = ๐ผ๐๐ก๐(๐). Untuk itu, ๐(๐พ๐) = = = = = = ๐(๐) ๐(๐๐) ๐(๐)๐(๐) ๐๐ป ๐(๐) ๐(๐) ๐(๐พ๐) Jadi jelas bahwa pemetaan ๐ terdefinisi dengan baik. Untuk menunjukkan pemetaan ๐ mengawetkan operasi, ambil dua unsur ๐พ๐, ๐พ๐ ∈ ๐บ ⁄๐พ . Perhatikan bahwa 91 ๐((๐พ๐)(๐พ๐)) = = = = ๐(๐พ(๐๐)) ๐(๐๐) ๐(๐)๐(๐) ๐(๐พ๐)๐(๐พ๐) Jadi jelas ๐ homomorfisma atau dengan kata lain ๐ mengawetkan operasi. Ambil unsur ๐ฆ ∈ ๐ป. Pemetaan ๐ surjektif mengakibatkan ada unsur ๐ ∈ ๐บ yang memenuhi ๐ฆ = ๐(๐). Perhatikan bahwa ๐(๐พ๐) = ๐(๐) untuk setiap ๐พ๐ ∈ ๐บ ⁄๐พ . Jadi pemetaan ๐ juga bersifat surjektif karena untuk setiap ๐ฆ ∈ ๐ป ada ๐พ๐ ∈ ๐บ ⁄๐พ sehingga memenuhi ๐ฆ = ๐(๐พ๐). Terakhir, ambil unsur ๐พ๐, ๐พ๐ ∈ ๐บ ⁄๐พ dengan ๐(๐พ๐) = ๐(๐พ๐). Di sisi lain, kita tahu bahwa ๐(๐พ๐) = ๐(๐) dan ๐(๐พ๐) = ๐(๐) sehingga kita memperoleh ๐(๐) = ๐(๐). Perhatikan bahwa unsur ๐๐ −1 ∈ ๐พ karena ๐(๐๐ −1 ) = ๐(๐)๐ −1 (๐) = ๐๐ป dan ๐ผ๐๐ก๐(๐) = ๐พ. Berdasarkan Sifat 5.1(4), kita memperoleh ๐พ๐ = ๐พ๐ karena ๐๐ −1 ∈ ๐พ. Jadi terbukti ๐ satu-satu dan dengan demikian terbukti ada isomorfisma dari ๐บ ⁄๐พ ke ๐ป, ditulis: ๐บ ⁄๐พ ≅ ๐ป. โ Misalkan ๐บ dan ๐ป dua buah grup. Jika kita membentuk pemetaan epimorfisma ๐: ๐บ โถ ๐ป dengan ๐ผ๐๐ก๐(๐) = ๐พ seperti pada Sifat 6.10, maka akan ada pemetaan isomorfisma ๐: ๐บ ⁄๐พ โถ ๐ป sehingga ๐ โ ๐ = ๐ dengan ๐: ๐บ โถ ๐บ ⁄๐พ suatu epimorfisma alami seperti pada gambar berikut. Gambar 6.3 Teorema dasar homomorfisma Contoh 6.10. Pandang grup โค12 dan grup โค2 . Ambil ๐ ∈ โค, ๐ฬ 12 ∈ โค12 dan ๐ฬ 2 ∈ โค2 . Kemudian definisikan pemetaan ๐, yaitu: ๐: โค12 ๐ฬ 12 โถ โฆ โค2 ๐ฬ 2 untuk setiap ๐ฬ 12 ∈ โค12 Ambil ๐ฬ 12 , ๐ฬ 12 ∈ โค12 dengan ๐ฬ 12 = ๐ฬ 12. Karena 12 | (๐ − ๐), tentu saja 2 | (๐ − ๐) dan ini mengakibatkan ๐(๐ฬ 12 ) = ๐ฬ 2 = ๐ฬ 2 = ๐(๐ฬ 12 ). Dengan demikian, jelas pemetaan ๐ terdefinisi dengan baik. Sekarang perhatikan kesamaan berikut ini. ๐(๐ฬ 12 ⊕ ๐ฬ 12 ) = ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐ ((๐ + ๐)12 ) ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ (๐ + ๐ )2 ๐ฬ 2 ⊕ ๐ฬ 2 = = = ๐(๐ฬ 12 ) ⊕ ๐(๐ฬ 12 ) 92 Jadi ๐ suatu homomorfisma karena ๐(๐ฬ 12 ⊕ ๐ฬ 12 ) = ๐(๐ฬ 12 ) ⊕ ๐(๐ฬ 12 ) untuk setiap ๐ฬ 12 , ๐ฬ 12 ∈ โค12 . Ambil ๐ฆฬ ∈ โค2 untuk suatu ๐ฆ ∈ โค pilih ๐ฆฬ = ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ 2๐ + ๐ฆ ∈ โค12 dengan 0 ≤ ๐ ≤ 5 sehingga ๐ฆฬ 2 = ๐(๐ฆฬ 12 ). Jadi ๐ bersifat surjektif. ฬ ฬ ฬ 12 } = 〈2ฬ 12 〉 ๐ผ๐๐ก๐(๐) = {0ฬ 12 , 2ฬ 12 , 4ฬ 12 , 6ฬ 12 , 8ฬ 12 , ฬ 10 Berdasarkan Sifat 6.10, ada isomorfisma ๐: โค12 ⁄〈2ฬ 12 〉 โถ โค2 sehingga kita simpulkan โค12 ⁄〈2ฬ 12 〉 ≅ โค2 seperti terlihat pada gambar di bawah ini. 0ฬ 2ฬ 4ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ 6ฬ 8ฬ 10 0ฬ 1ฬ 1ฬ 3ฬ 5ฬ ฬ ฬ ฬ 7ฬ 9ฬ ฬ 11 โค12 /〈2ฬ 〉 โค2 Gambar 6.4 Isomorfisma ๐ dari โค12 ⁄〈2ฬ 〉 ke โค๐ Latihan 6.3 1. Dengan menggunakan teorema dasar homomorfisma, tunjukkan bahwa a. ๐บ ⁄{๐} ≅ ๐บ untuk suatu grup ๐บ dan ๐ identitas dari ๐บ! b. ๐บ ⁄๐บ ≅ {๐} untuk suatu grup ๐บ dan ๐ identitas dari ๐บ! c. Jika ๐บ adalah grup dan ๐ adalah suatu homomorfisma dari ๐บ maka ๐บ ⁄๐ผ๐๐ก๐(๐) ≅ ๐(๐บ)! 2. Tunjukkan bahwa jika ๐|๐ maka โค๐ /〈๐〉 ≅ โค๐ 3. Tunjukkan bahwa โค12 ≅ โค3 × โค4 . Catatan: pertimbangkan pemetaan ๐: โค โถ โค3 × โค4 yang diberikan oleh ๐(๐) = ([๐]3 , [๐]4 ). 4. Misalkan ๐พ dan ๐ subgrup ๐บ dengan ๐ normal di ๐บ. Tunjukkan pernyataan berikut ini a. ๐๐พ = {๐๐ โฃ ๐ ∈ ๐, ๐ ∈ ๐พ} subgrup yang memuat ๐ dan ๐พ. b. Subgrup ๐ normal di ๐๐พ. c. Pemetaan ๐: ๐พ โถ ๐๐พ/๐ dengan ๐(๐) = ๐๐ adalah epimorfisma dengan inti ๐พ ∩ ๐. d. ๐พ/๐พ ∩ ๐ ≅ ๐๐พ/๐ 93 DAFTAR PUSTAKA Arifin, A. (2000). Aljabar. Bandung: Penerbit ITB. Choudhary, P. (2008). Abstract Algebra. Jaipur, India: Oxford Book Company. Daepp, U., & Gorkin, P. (2011). Reading, Writing and Proving. New York: Springer. Durbin, J. R. (2009). Modern Algebra: an Introduction (6 ed.). USA: John Wiley & Sons, Inc. Fraleigh, J. B. (t.thn.). A First Course in Abstract Algebra (7 ed.). New York: Addison Wesley. Gallian, J. A. (2013). Contemporary Abstract Algebra. Boston: Brooks/Cole. Gilbert, W. J., & Nicolson, W. K. (2004). Modern Algebra with Application. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. Goodman, F. (2006). Algebra: Abstract and Concrete. Iowa city: Semisimple press. Grillet, P. A. (2007). Abstract Algebra (2 ed.). Newyork: Springer. Herstein, I. N. (1996). Abstract Algebra (3 ed.). New Jersey: Prentice-Hall. Hungerford, T. W. (2014). Abstract Algebra: An Introduction (3 ed.). Boston, USA: Brooks/Cole. Meijer, A. R. (2016). Algebra for Cryptologists. Switzerland: Springer International Publishing. Misri, M. A. (2014). Pengantar Aljabar Abstrak: Grup. Cirebon: Syariah Nurjati Press. Muchlis, A., & Astuti, P. (2007). Aljabar 1. Jakarta: Penerbit UT. Paulsen, W. (2016). Abstract Algebra: An Interactive Approach (2 ed.). USA: CRC Press. Ronan, M. (2006). Symmetry and the Monster: One of the greatest quests of mathematics. New York: Oxford University Press. 95 RIWAYAT HIDUP PENULIS Penulis adalah anak kedua dari pasangan Bapak Bocin dan Ibu Siti Husniah, dilahirkan di Kabupaten Tangerang Banten pada hari Jumat tanggal 30 Oktober 1981. Penulis menempuh pendidikan dasar dan menengah pertama di Kabupaten Tangerang. Pada tahun 1998, penulis melanjutkan pendidikan menengah atas di SMUN 2 Tangerang. Selama menempuh pendidikan menengah, penulis berkesempatan mendapat beasiswa. Kemudian pada tahun 2001, penulis diterima di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jenderal Soedirman dengan beasiswa Damandiri dan memperoleh gelar sarjana sains pada bulan Agustus tahun 2005. Tiga tahun kemudian, penulis mendapatkan kesempatan untuk melanjutkan pendidikan program magister di Departemen Matematika FMIPA Institut Teknologi Bandung dengan beasiswa BPPS. Penulis berhasil menempuh pendidikan tersebut dan memperoleh gelar Magister Sains pada tahun 2010. Pada tahun yang sama, penulis kembali menerima beasiswa BPPS untuk mengikuti Program Doktor Matematika Institut Teknologi Bandung dan memperoleh gelar doktor matematika pada bulan Oktober 2015. Awal tahun 2011, penulis diterima sebagai Dosen PNS Institut Agama Islam Negeri Syekh Nurjati Cirebon. Kemudian pada hari Jumat tanggal 6 April 2012, penulis menikah dengan Tria Oktiani. Sekarang, penulis telah dikaruniai dua orang putri bernama: Siti Zahratul Misri, lahir pada tanggal 15 April 2013 dan Mahira Farihatul Misri, lahir pada tanggal 16 Mei 2014. Hingga tulisan ini dibuat, penulis berkesempatan untuk melakukan kunjungan penelitian di Department of Mathematics and Statistic, Sultan Qaboos University, Al-Khoud, Oman, di bawah bimbingan Prof. Majid Ali. Program tersebut didanai oleh Kementerian Agama Republik Indonesia. Pengalaman lainnya dalam kegiatan penelitian yaitu pernah menjadi asisten peneliti dalam Tim Penelitian Hibah Desentralisasi DIKTI 2015 dengan judul ”Karakterisasi Modul Prima dan Modul Dedekind dan Aplikasinya dalam Teori Koding” yang diketuai Dr. Intan Muchtadi. Selain itu, pernah menjadi asisten peneliti dalam Tim Penelitian Program Riset dan Inovasi ITB 2014 Batch II dengan judul ”Karakterisasi Modul P-B๐ฬ zout dan P-valuasi” yang diketuai Dr. 97 Hanni Garminia Y. Kedua pengalaman tersebut diperoleh ketika menjadi mahasiswa doktor. Setelah menjadi doktor, penulis masih aktif meneliti sebagai dosen IAIN Syekh Nurjati Cirebon. Penelitian “Kajian Modul P-B๐ฬ zout dan Idealisasinya untuk Buku Ajar Mata Kuliah Teori Gelanggang Berbasis Riset” dengan anggaran DIPA IAIN Syekh Nurjati Cirebon, dilakukan tahun 2016. Saat ini penulis masih sedang melakukan penelitian tentang idealisasi modul P-B๐ฬ zout dengan anggaran dana DIPA IAIN Syekh Nurjati Cirebon tahun 2017. Berikut ini adalah beberapa makalah yang sedang dan telah dibuat serta kegiatan ilmiah yang telah dilakukan peneliti enam tahun terakhir. Hasil karya penelitian dalam bentuk makalah jurnal 1. Misri, M.A., Garminia, H., and Irawati (2016): A Note on B๐ฬ zout Modules. Far East J. Math. Sci, Vol.99, No.11. 2. Misri, M.A (2016): Kajian Modul P-B๐ฬ zout dan Idealisasinya untuk Buku Ajar Mata Kuliah Teori Gelanggang Berbasis Riset. EduMa, Vol. 5, No. 2. 3. Misri, M.A., Garminia, H., and Irawati (2013): Generalization of B๐ฬ zout Modules, Far East J. Math. Sci, Vol.72, No.1. 4. Misri, M.A., Garminia, H., and Irawati (2012): Cyclic and Multiplication P-B๐ฬ zout Modules, International Journal of Algebra, Vol. 6, No. 23. Hasil karya penelitian yang dipresentasikan di konferensi/ seminar 1. Misri, M.A., Garminia, H., and Irawati (2015): Suatu sifat dari Modul B๐ฬ zout, Seminar Nasional dan Workshop Aljabar dan Pembelajarannya, FMIPA UNRAM, Mataram. 2. Misri, M.A., Garminia, H., and Irawati (2014): Modul Siklik P-B๐ฬ zout, Seminar Nasional dan Workshop Aljabar dan Pembelajarannya, FMIPA Unhas, Makassar. 3. Misri, M.A., Garminia, H., and Irawati (2013): Modul P-B๐ฬ zout 2, Seminar Nasional dan Workshop Aljabar dan Pembelajarannya, UM, Malang. 4. Irawati, Misri, M.A., and Garminia, H. (2012): P-B๐ฬ zout Modules, Internasional Conference: Mathematical Science and Applications, Abu Dhabi University, Abu Dhabi-UEA. 5. Misri, M.A., Garminia, H., and Irawati (2012): Modul P-B๐ฬ zout, KNM XVI, Unpad, Jatinangor. 6. Irawati, Misri, M.A., and Garminia, H. (2011): Generalization of B๐ฬ zout Modules, International Conference in Mathematics and Application (ICMA), University of Economics and Law (UEL), HCMC-Vietnam. 98