NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET

BARISAN DAN
DERET GEOMETRI
Tri Rahajoeningroem, MT
Teknik Elektro - UNIKOM
KOMPETENSI DASAR

MENENTUKAN SUKU KE – n BARISAN DAN JUMLAH n SUKU
DERET GEOMETRI

MENGGUNAKAN NOTASI SIGMA DALAM DERET DAN INDUKSI
MATEMATIKA DALAM PEMBUKTIAN

MERANCANG MODEL MATEMATIKA DARI MASALAH YANG
BERKAITAN DENGAN DERET

MENYELESAIKAN MODEL MATEMATIKA YANG BERKAITAN
DENGAN DERET DAN PENAFSIRANNYA

MENGGUNAKAN KONSEP BARISAN DAN DERET GEOMETRI
DALAM PEMECAHAN MASALAH
MATERI POKOK / URAIAN MATERI
 BARISAN DAN DERET GEOMETRI
 SUKU KE n BARISAN DAN DERET
GEOMETRI
 SISIPAN
 SUKU TENGAH
 JUMLAH n SUKU DERET GEOMETRI
 DERET GEOMETRI TAK HINGGA
 NOTASI SIGMA
 INDUKSI MATEMATIKA
 MODEL MATEMATIKA DARI MASALAH
 SOLUSI DARI MASALAH MATEMATIKA
BARISAN GEOMETRI
 Pengertian
Barisan Geometri adalah barisan
bilangan yang memiliki rasio konstan
rasio : perbandingan antara 2 suku berurutan
U1, U2, U3, U4, U5, … Un,
Un
U2 U3 U4
r


 ... 
U1 U 2 U 3
U n 1
r
= rasio = perbandingan 2 suku yang berdekatan
= Un / Un-1
a = U1 = Suku = bilangan pada urutan pertama
Un = Suku ke-n = bilangan pada urutan ke-n
=
n 1
ar
Pembuktian
U1, U2, U3, U4, U5, … Un,
Jika U1 = a 
U1 = a
U2 = ar
U3 = ar2
U4 = ar3
….
Maka
Un = ar n-1
Contoh soal 1
 Suku ke lima suatu barisan geometri 96, suku
kedua 12. Nilai suku ke 8 adalah ….
A. 768
B. 512
C. 256
D. 6
E. 2
U5 = ar4
U2 = ar
= 96
= 12
ar4 = 96 
r3
ar
= 12
U2 = ar
= 12
a.2 = 12  a = 6
U8 = a.r7 = 6.27 = 768
=8r=2
Suku tengah
 Suku tengah barisan geometri dapat
dilihat berikut ini :
 U1, U2, U3, maka suku tengahnya U2,
 U2 =
2 2
a r
a.ar
2
U1.U 3
Lanjutan :
• U1, U2, U3, U4, U5, maka suku
tengahnya U3,
• U3 =
2 4
a r
a.ar
4
U1.U 5
Lanjutan :
• Dengan cara yang sama jika U1, U2, U3, U4,
… Uk
• Dengan k adalah ganjil maka suku
tengahnya U .U
1
k
• Ut =
dengan k = ganjil
Ut = suku tengah
Uk = suku ke – k (terakhir)
DERET GEOMETRI
Andaikan U1, U2, U3, …, Un merupakan
suku-suku barisan Geometri, maka U1 +
U2 + U3 + … + Un
disebut deret geometri.
Andaikan jumlah n suku pertama deret
tersebut Sn maka : (Sn)
Pembuktian
Sn = U1 + U2 + U3 + … + Un
Sn = a + ar + ar2 + … + arn-1
Sn = a + ar + ar2 + … + arn-1
r. Sn = r.(a + ar + ar2 + … + arn-1)
-
Sn – r.Sn = a - arn
(1 – r).Sn = a(1 – rn)
a (1  r )
a(r  1)
atau sn 
sn 
1 r
r 1
n
n
Sn
= Jumlah n buah suku pertama sampai dengan suku
ke-n
= U1 + U2 + U3 + ...+ Un
r = rasio = perbandingan 2 suku yang berdekatan
= Un / Un-1
a = U1 = Suku = bilangan pada urutan pertama Jumlah
Contoh soal 2
 Tentukan jumlah 10 suku pertama deret
geometri 2, 4, 8, ….
jawab :
a2
4
r 2
2
n
a ( r  1)
Sn 
r 1
10
2( 2  1) 2(1024  1)
S10 

 2(1023)  2046
2 1
1
Contoh soal 3
 Kertas yang dibutuhkan Andi untuk
menggambar setiap minggu berjumlah 2 kali
lipat dari minggu sebelumnya. Jika minggu
pertama Andi membutuhkan 20 kertas.
Banyak kertas yang dipergunakan selama 6
minggu adalah …
A. 1260
B. 310
C. 256
D. 64
E. 20
Dik. U1 = a
r
=2
= 20
Dit S6
S6 = a. rn -1 = 20. 26 – 1= 1260
r -1
2 -1
Jumlah selama 6 minggu = 1260 lembar
DERET GEOMETRI TAK
HINGGA
a
Sn 
1 r
PEMBUKTIAN
Dari rumus jumlah deret geometri
a (1  r )
sn 
1 r
n
apabila n mendekati tak hingga, maka diperoleh
a
a(1  r )
a
atau S  
S   lim

n 
1 r
1 r
1 r
n
Contoh soal 4
 Jumlah tak hingga dari sebuah deret geometri
tak hingga adalah 36. Jika suku pertama 24.
Besar suku rasionya adalah ….
A. 3
B. 2
C. 0
D. ½
E. 1/3
Jawab
Dik. S~ = 36
a
= 24
Dit : r
a
S~ 
1-r
36(1 – r)
36 -36r
-36r
-36r
r
= 36 
24
1- r
= 24
= 24
= 24 – 36
= -12
= 1/3
Latihan 1
Seorang karyawan menerima gaji pertama
sebesar Rp 100.000, setiap tiga bulan gajinya
naik Rp 50.000. Gaji yang telah diterima
karyawan tersebut selama 2 tahun adalah ....
U1  100.000 + 100.000 + 100.000
=
300.000
U2  150.000+150.000+150.000
=450.000
U3  200.000+200.000 + 200.000
=
600.000
Dst
 a
= 300.000
b
= 150.000
n
= 2*12/3 = 8
Sn
= 8/2 {2x300.000 + 7x150.000)
= Rp 6.600.000
Latihan 2
 Harga sebuah barang setiap tahun menyusut
20%. Jika harga pembelian barang tersebut Rp
40.000.000. Harga pada tahunke-4 adalah ….
 a = 40.000.000
 r = 100% - 20% = 80% = 0,8
 U4 = a.r3
3
= 40.000.000 *0,8
= Rp 20.480.000
Latihan 3
Jumlah suku ke-n suatu barisan ditentukan
dengan rumus n2 + n. Nilai suku ke-10 adalah
…
 Sn = n2 + n
 Dit U10
U10 = S10 – s9
2
2
= (10 + 10) – (9 + 9)
= 110 – 90
= 20