modul-bahan-ajar

MODUL
MATEMATIKA
KELAS X SEMESTER I
BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA
Oleh :
Fitrotul ‘Aini
3214113074
APRIL 2013
Kata pengantar
‫بسم هللا الر حمن الر حيم‬
Segala puji bagi Alloh Rabb. Terimakasih atas segala kebaikan, taufiq
dan hidayahnya yang mengantarkan penulis hingga terselesaikannya Modul
Matematika ini, Bab Akar, pangkat dan trigonometri merupakan salah satu
Bab yang harus dikuasai oleh siswa kelas x semester I,agar dapat
mempelajari Bab selanjutnya. Karena mempelajari matematika itu bersifat
kontinu,harus berkesinambungan dan terurut.
Isi dari modul ini terdiri atas 3 Sub Bab yaitu Akar,Pangkat dan
Trigonometri dan di lengkapi dengan contoh soal dan latihan-latihan soal
untuk aktivitas siswa. Di sisipkan pula Ulangan Harian untuk mengecek
seberapa jauh pemahaman siswa.
Dasar penyusunan modul ini adalah
standar isi 2006 (KTSP) dan Standar Kompetensi Lulusan Pendidikan Dasar
dan Menengah.
Yang sempurna hanya milik Alloh dan segala kekurangan hanyalah
milik kita, maka Penulis menyadari bahwa penyusunan modul ini masih
banyak kekurangan yang perlu diperbaiki, oleh karenanya saran dan kritik
yang bersifat konstruktif sangat diharapkan agar dapat dilakukan perbaikan
dalam penyusunan modul yang akan datang. Dan semoga modul ini berguna
dan bermanfaat bagi para pembaca khususnya para siswa kelas x semester I.
Amiin!
Blitar,
April 2013
Penulis
BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
Standar Kompetensi :
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat,akar, dan
logaritma.
Kompetensi Dasar :
1.1. Menggunakan aturan pangkat, akar dan logaritma.
1.2. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan
pangkat,akar dan logaritma.
Indikator :

Mengubah bentuk pangkat negative ke pangkat positif dan sebaliknya.

Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat pangkat rasional.

Mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya.

Mengubah bentuk pangkat kebentuk logaritma dan sebaliknya.
Tujuan pembelajaran :
Setelah selesai pembelajaran siswa di harapkan dapat :
a. mengubah bentuk pangkat negative kebentuk pangkat positif dan
sebaliknya.
b. Mengubah bentuk akar kebentuk pangkat dan sebaliknya.
c. Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat pangkat rasional.
d. Mengubah bentuk pangkat kebentuk logaritma.
e. Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat pangkat rasional
BAB I
PENDAHULUAN
Deskripsi
Dalam modul ini siswa dapat mempelajari tentang bilangan pangkat
bulat positif, negatif, rasional, bentuk akar, merasionalkan penyebut,
menentukan persamaan pangkat, dan menentukan nilai logaritma.
Prasyarat
Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah menguasai
dasar-dasar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan
real.
Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu siswa lakukan
adalah sebagai berikut:
1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang
mendahului
merupakan
prasyarat
untuk
mempelajari
materi
berikutnya.
2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal
latihan
yang
ada.
Jika
dalam
mengerjakan
soal
menemui
kesulitan,kembalilah mempelajari materi yang terkait.
3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika menemui kesulitan
dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi
yang terkait.
4. jika mempunyai kesulitan yang tidak dapat dipecahkan, catatlah,
kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau
bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini.
Dengan membaca referensi lain,
anda
juga
akan
mendapatkan
pengetahuan tambahan.
Tujuan akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan siswa dapat :
 Menghitung bilangan pangkat bulat positif dan negative
 Menghitung bilangan pangkat rasional
 Menentukan bentuk akar
 Merasionalkan penyebut
 Menentukan persamaan pangkat
 Menentukan nilai logaritma
BAB II
PEMBELAJARAN
A. PANGKAT BULAT POSITIF, BULAT NEGATIF, DAN NOL
 Pangkat bulat positif
Apabila terdapat bilangan real a dan bilangan bulat positif, maka 𝑎𝑛
(bisa dibaca a pangkat n) didefinisikan sebagai perkalian berulang
sebanyak n faktor dari bilangan real a tersebut. Secara matematis
dinotasikan sebagai berikut :
𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × … .× 𝑎 × 𝑎
n faktor
Pada bilangan 𝑎𝑛 : a = bilangan pokok
b = pangkat (eksponen)
jika a dan b bilangan real, p dan q bilangan bulat positif, maka
berlaku sifat-sifat :
1. 𝑎𝑝 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑝+𝑛
2. 𝑎𝑝 : 𝑎𝑛 = 𝑎𝑝−𝑛
3. (𝑎𝑝 )𝑞 = 𝑎𝑝×𝑞
4. (𝑎 × 𝑏)𝑝 = 𝑎𝑝 × 𝑏 𝑝
𝑎 𝑝
𝑎𝑝
5. (𝑏 ) = 𝑏𝑝 , 𝑏 ≠ 0
Catatan :
 Jika n=1 maka 𝑎𝑛 = 𝑎1 = 𝑎
 Jika n = 0 maka :
𝑎0 = 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑎 ≠ 0
𝑎 = 0, maka 00 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑡𝑒𝑟𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑠𝑖
 Pangkat bulat negatif
Misalkan 𝑎 𝜀 𝑹 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠
0, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎−𝑚 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑘𝑒𝑏𝑎𝑙𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑎𝑚 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑙𝑖𝑘𝑛𝑦𝑎
1
a0
 m  a 0 m  a  m
m
a
a
m
Jadi a 
𝑎𝑚 =
1
atau
am
1
𝑎 −𝑚
Contoh :
1. Sederhanakan (a3b6c4)2
Jawab:
(a3b6c4)2 = a3.2b6.2c4.2 = a6b12c8
2. Tentukan nilai x dari persamaan eksponen berikut:
1 𝑥+1
(2)
= 64
Jawab :
1 𝑥+1
2
( )
= 64
2−1(𝑥+1) = 26
2−1𝑥−1 = 26
−𝑥 − 1 = 6
𝑥 = −1 − 6 = −7
3. Nyatakan dengan eksponen positif :
5
a. a 
b.
1
a5
12a 2 4b 5
 2
3b 5
a
Latihan Soal!!!
Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan jelas!
1. Sederhanakan :


a. a 3 .b 4 .c 6 . a.b 3 .c 2
 x 5 y 6  3 
b.  3 2  
 x y  
c.
2
5
27 p 5 q 3
9 p 6 q 4
 2  13 
a b 
d.  2

 a  3 b 1 


2.


3
2
Tentukan nilai dari :
a. 643 25
1
1
3
64 .9
b.


3
2
2
64 3 .9 2
1
2
3.
4.
Sederhanakan dan nyatakan dalam pangkat positif
a.
x 1  y 2
x  2  y 1
b.
a 2  a 1  a 0
a  4  a 3  a  2
Hitunglah :
3
4

2
3
1

3
16  8.16
27  6.27
1
2
5
3
B. BENTUK AKAR
Bentuk akar adalah bilangan-bilangan dibawah akar yang hasilnya
merupakan bilangan irasional.
Contoh :
3 , 5 , 8 , dsb
Sifat-sifat bentuk akar :
ab  a . b
1.
2.
a
a

b
b
3.
a ( b  c )  ab  ac
4. m a  n a  (m  n) a
5.
m a  m b  m( a  b )
a. a  a
6.
m
7.
n
am  a n
1
8.
a  a2
9. √𝑎 + √𝑏 = √(𝑎 + 𝑏) + 2√𝑎𝑏
10. √𝑎 − √𝑏 = √(𝑎 + 𝑏) − 2√𝑎𝑏
Contoh :
Sederhanakanlah :
1. 2 162  2 81.2  2.9 2  18 2
2. 108  48  36.3  16.3  6 3  4 3  10 3
5. 4 20  2 45  4 4.5  2 9.5  4.2 5  2.3 5  8 5  6 5
6. 4 6 ( 3  5 2 )  4 18  20 12  4 9.2  20 4.3  12 2  40 3
7. (3 2  6 )(3 2  6 )  (3 2 ) 2  3 12  3 12  ( 6 ) 2
= 18  6  12
 MERASIONALKAN PENYEBUTPECAHAN BENTUK AKAR
1. Pecahan Bentuk
𝑎
Bentuk
√𝑏
𝑎
√𝑏
dirasionalkan penyebutnya dengan cara baik pembilang
maupun penyebut di kalikan dengan √𝑏, sehingga diperoleh :
𝑎
√𝑏
=
𝑎
𝑥
√𝑏
√𝑏 √𝑏
=
𝑎√𝑏
𝑏
Contoh :
6
2

6
2
.
2
2
6 2
3 2
2

𝑎
2. Pecahan berbentuk 𝑏+
Pecahan bentuk
𝑎
√𝑐
𝑎
𝑏−√𝑐
dan 𝑏−
√𝑐
dapat di rasionalkan penyebutnya yang masih
mengandung akar dengan mengalikan pembilang n penyebut dengan
sekawannya dari 𝑏 + √𝑐 yaitu 𝑏 − √𝑐 . Demikian bentuk
dengan sekawannya 𝑏 + √𝑐
Contoh :
3
=
6+√3
3
(6+√3)
(6−√3)
× (6−√3) =
3. Pecahan Bentuk
Contoh :
𝑎
√𝑏+√𝑐
3(6+√3)
36−3
dan
=
𝑎
√𝑏−√𝑐
3(6+√3) 6−√3)
33
=
11
𝑎
𝑏−√𝑐
dikalikan
6

5 2
6
5 2
.
5 2
5 2
6.( 5  2 ) 6.( 5  2 )

 2.( 5  2 )
52
3

 PANGKAT PECAHAN
1
1. Pangkat Pecahan Berbentuk 𝑎𝑛
Untuk a bilangan real dan n bilangan asli 𝑛 ≥ 2, maka berlaku:
1
𝑛
𝑎 𝑛 = √𝑎
Contoh :
1
3
53 = √5
𝑝
2. Pangkat pecahan berbentuk 𝑎 𝑞
𝑝
Pangkat pecahan berbentuk 𝑎 𝑞 dapat dinyatakan dengan bentuk akar
yaitu sebagai berikut :
𝑝
𝑞
𝑎 𝑞 = √𝑎 𝑝
Contoh :
4
3
73 = √74
3. Mengubah pangkat pecahan negative menjadi pecahan positif
Pangkat bulat negative dapat di ubah menjadi pangkat positif dan
bentuk akar.
Contoh :
2
3
𝑚 𝑥𝑛
−
3
4
2
=
𝑚3
3
𝑛4
3
=
√𝑚2
4
√𝑛3
Latihan soal!!!
1. Sederhanakan :
a.
288
b. 75  50  32
c. 2 18  3 12  98
d. ( 7  3 2 )( 7  3 2 )
2.
Sederhanakan pecahan-pecahan berikut dengan merasionalkan
penyebutnya!
3 32 2
2 34 2
2 3 2
6
6 3
6 3
3. Diketahui a  5  3  2 dan b  2  5  3 Tentukan a.b
4. Carilah semua nilai x yang memenuhi persamaan-persamaan berikut
3x2  3 3x3
16x3  4 64x4
5. Sederhanakan dan tulis dalam bentuk akar :

a.
1
2
a .b
a 1 .b
2
3
2

b.
2
3
1
2
x .y
x 2 . y 3
6. Diketahui segitiga ABC sama kaki dengan AB = AC = 8 2 dan BC = 8.
Tentukan :
a. tinggi segitiga dari titik sudut A
b. Luas segitiga tersebut
C. LOGARITMA
Logaritma adalah kebalikan dari perpangkatan. Jadi apabila diketahui
ax=b maka x dapat ditentukan dengan logaritma yang berbentuk x = a log b
a : bilangan pokok logaritma dengan a > 0, a  1
b : Numerus , b > 0
x : hasil penarikan logaritma
Contoh :
* 25 = 32
* 3-4 =
1
81
2
log 32 = 5
3
log
1
=-4
81
Sifat-sifat logaritma
Bila a, b, c dan p bilangan real yang memiliki sifat a > 0, b > 0, p > 0 dan p  1,
maka berlaku :
1.
p
log b = x ,maka px = b
2.
p
log ab = p log a + p log b
3.
p
log
4.
p
log an = n. p log a
5.
p
log a.a log b.b log c = p log c ; a  1, b  1
6.
a
log b =
p
7.
p
log x =
x
a p
= log a - p log b
b
p
8. a
9.
am
a
log x
log b
log a
1
; x 1
log p
x
log b n 
10. plog 1 = 0
n a
. log b
m
11.
plog
p=1
12.
plog
pn = n
Contoh :
1. Sederhanakan :
4.12 2
= log 8 = 3
6
a.
2log
4 – 2log 6 + 2log 12 = 2log
b.
3log
4. 2log 125. 5log 81 = 3log 22. 2log 53. 5log 34
= 2. 3log 2. 3.2log 5. 4. 5log 3
= 2.3.4. 3log 2. 2log 5. 5log 3
= 24. 3log 3
= 24
c. 36
6
log 3
d. log 5 
 36
4
36
log 9
1

log 10
9
25
1
 log 510 log 4100 log 25
log 100
= log 5 + log 4 + log 5
= log 100
= 10
2. Diketahui 2log 3 = a dan 3log 5 = b
Nyatakan dengan a dan b bentuk-bentuk berikut :
3=
24
32 =
32
a.
16log
b.
9log
1
1
log 3  .2 log 3  a
4
4
5
5
1
5
log 2 5  .3 log 2  . 2

2
2 log 3 2a
Latihan Soal!!!!!!!
1.
Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk logaritma!
a. 101  0,1
b. 16
 34
 18
c. 6 2  6 6
3
2.
Tentukanlah nilai x dari setiap persamaan berikut!
3
a.
2
b.
3.
2
3
4
b.
5
c.
log 321
log 169
log 5 5
Tentukan/sederhanakan nilai logaritma berikut!
a.
6
log 4  6 log 9
b.
6
log 72  6 log 12
c.
d.
5.
log 8  x
Hitunglah nilai dari:
a.
4.
log 3  x
 x 1
a


log  x  1   x 1 log x 2  1
log x 4  3 a log x  7 a log x
Jika 8 log 5  p , tentukan nilai logaritma berikut !
a.
4
log 15
b.
2
log 5
Ujian Harian
Petunjuk!!

Berilah tanda silang (x) pada huruf a, b, c, d atau e di depan
jawaban yang benar!
1
1. Bentuk sederhana dari
8𝑎8 𝑏 −3 𝑐 2
3
2𝑎3 𝑏 −2 𝑐 2
adalah………..
a. 4𝑎5 𝑏1 𝑐 −1
b. 4𝑎5 𝑏 −1 𝑐 −1
c. 2𝑎5 𝑏 −1 𝑐 −1
d. 2𝑎5 𝑏 −1 𝑐 1
e. 4𝑎 −5 𝑏 −1 𝑐 −1
 12 
2
 12 
4
2. Nilai dari
a.
b.
c.
adalah………
1
2
1
8
1
4
d. 2
e.
1
6
3. Hasil dari 2 28  3 63  5 112 adalah…………
a. 33√2
b. 33√3
c. 33√6
d. 33√7
e. 33√8
4. Bentuk sederhana dari
a.
5
9
1
√3 + 9 √21
2 3
adalah…………..
5 7
b.
c.
d.
e.
5
9
1
√3 − 9 √21
1
5
√3 + 9 √21
9
5
1
√21 + 9 √21
9
5
9
1
√3 + 9 √3
5. Nilai dari 𝑎 + 𝑏, 𝑗𝑖𝑘𝑎
√2−√3
√2+√3
= 𝑎√6 + 𝑏 adalah………
a. -5
b. -3
c. 2
d. 3
e. 5
6. Penyelesaian dari 2 x 2  64 adalah…………
a. 4
b. 2
c. 6
d. -6
e. -4
1
7. Berapakah nilai x dari 4 x  2   
 16 
x2
……………………….
a. 4
b. 2
c. -4
d. 16
e. -2
1
8. Bentuk logaritma dari 84 = 𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ … … …
a.
b.
c.
d.
1
4
x
1
4
8
log x = 8
1
log 8 = 4
log 8 = x
1
log x = 4
8
e.
1
log 4 = x
9. Nilai x yang memenuhi 3 log  19   x adalah………..
a. 3
b. 3−2
c. −2
d. 2−2
e. 2
27
10. Nilai dari
a.
b.
16
log 9 +
log 2 adalah…………………
1
4
1
2
7
c.
12
d.
e.
8
12
11
12
Petunjuk!!
Kerjakan semua soal berikut dengan singkat dan jelas!!
1
1
11. Jika 𝑎 = 8 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = 243, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 3𝑎 3 × 2𝑏 5 =……………….
2
1
2
12. Nilai dari 27 × (64)2 + (81)4 = (27)3 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ……………..
13. Bentuk
4
√3+√2
dapat disederhanakan menjadi………….
14. Hitunglah nilai dari
125
log 25 …………………………
15. Jika 4 log 3  p, 9 log8  q ,nyatakan logaritma berikut dalam p dan q.
2
log 3 
3
Catatan Guru
log 64
Nilai
Paraf Guru
Paraf Orang Tua
BAB III
PENUTUP
Setelah menyelesaikan modul ini, siswa berhak untuk mengikuti tes
untuk menguji kompetensi yang telah dipelajari. Apabila anda dinyatakan
memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda
berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.
DAFTAR PUSTAKA
Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X, Jakarta :
Penerbit Erlangga.
Tim penyusun modul siswa, 2010. Aspirasi, Surakarta : PT Widya Duta
Grafika.