Bahan Ajar Logaritma

Logaritma
Kompetensi Dasar :
KOMPETENSI DASAR DARI KI 3
3. 1 Menerapkan konsep bilangan berpangkat,
bentuk akar dan logaritma dalam
menyelesaikan masalah
KOMPETENSI DASAR DARI KI 4
4.1 Menyajikan penyelesaian masalah bilangan
berpangkat, bentuk akar dan logaritma
BAB I. PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Dalam bahan ajar ini Anda akan mempelajari konsep logaritma, sifat – sifat logaritma dan penerapannya
B.
Prasyarat
Untuk mempelajari bahan ajar ini, para siswa diharapkan telah menguasai dasar-dasar bilangan berpangkat,
penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan real.
C. Petunjuk Penggunaan Bahan Ajar
Untuk mempelajari bahan ajar ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah sebagai berikut:
1. Untuk mempelajari bahan ajar ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan
prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.
2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam
mengerjakan soal Anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.
3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal
evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.
4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan
kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan
materi bahan ajar ini. Dengan membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan pengetahuan
tambahan.
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari bahan ajar ini diharapkan Anda dapat:
1. Menentukan konsep logaritma
2. Menentukan sifat – sifat logaritma
3. Menerapkan sifat – sifat logaritma dan permasalahannya
Matematika untuk Kelas X SMK
BAB II PEMBELAJARAN
Logaritma
Pada pembahasan sebelumnya, Anda telah mempelajari mengenai bilangan berpangkat, misalnya 24 = 16, 2
disebut sebagai basis, 4 sebagai pangkat (eksponen), dan 16 sebagai hasil pemangkatan 2 oleh 4. Jika
pertanyaannya dibalik, 2 pangkat berapa menghasilkan nilai 16, Anda akan menjawab 4. Operasi kebalikan
dari menentukan nilai pemangkatan menjadi menentukan pangkatnya disebut sebagai operasi logartima, yang
dapat ditulis:
24 = 16 ↔ 2log 16 = 4
Secara umum:
Jika x = an maka alog x = n, dan sebaliknya jika alog x = n maka x = an. Hubungan antara bilangan berpangkat
dan logaritma dapat dinyatakan sebagai berikut:
a
log x = n ↔ x = an
dengan: a = bilangan pokok atau basis, a > 0; a ≠ 1;
x = numerus (yang dicari nilai logaritmanya), x > 0
n = hasil logaritma.
(alogx dibaca"logaritma x dengan basis a")
Bentuk logaritma dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat dan sebaliknya, bentuk pangkat dapat dinyatakan dalam
bentuk logaritma.
Materi Logaritma
Bentuk Umum Logaritma
ax = b ↔ x = alog b
Dengan syarat b > 0, a > 0 dan a ≠ 1
Keterangan:
a = bilangan pokok atau basis logaritma
b = numerus, yaitu bilangan yang akan dicari nilai logaritmanya
x = hasil logaritma, dapat positif, nol atau bahkan negatif.
Rumus Identitas Logaritma
1alog an = n
2alog a = 1
3alog 1 = 0
Pembuktian ketiga rumus identitas logaritma di atas adalah sebagai berikut
1alog an = n → an = an
2alog a = 1 → a1 = a
3alog 1 = 0 → a0 = 1
Macam-Macam Sifat Logaritma dan Rumusnya
#Sifat 1 (Perkalian Logaritma)
a
log (b × c) = alog b + alog c
Pembuktian sifat 1 logaritma
Misalkan
a
log b = n maka an = b
a
log c = m maka am = c
b × c = an × am
dengan menggunakan sifat operasi hitung bilangan berpangkat diperoleh
b × c = an + m sehingga
a
log (b × c) = n + m, karena n = alog b dan m = alog c maka
a
log (b × c) = alog b + alog c
Contoh Soal
Sederhanakanlah:
a. 2log 4 + 2log 8
b. 5log ½ + 5log 50
Jawab
a. 2log 4 + 2log 8 = 2log (4 × 8) = 2log 32 = 5
b. 5log ½ + 5log 50 = 5log (½ × 50) = 5log 25 = 2
#Sifat 2 (Pembagian Logaritma)
a
log (b/c) = alog b − alog c
Pembuktian sifat 2 logaritma
Misalkan
a
log b = n maka an = b
a
log c = m maka am = c
b/c = an /am
dengan menggunakan sifat operasi hitung bilangan berpangkat diperoleh
b/c = an − m sehingga
a
log (b/c) = n − m, karena n = alog b dan m = alog c maka
a
log (b/c) = alog b − alog c
Matematika untuk Kelas X SMK
Contoh Soal
Sederhanakanlah:
a. 7log 217 − 7log 31
b. log 0,05 − log 5
Jawab
a. 7log 217 − 7log 31 = 7log (217/31) = 7log 7 = 1
b. log 0,05 − log 5 = log (0,05/5) = log 0,01 = −2
#Sifat 3 (Perpangkatan Logaritma)
a
log bn = n × alog b
Pembuktian sifat 3 logaritma
Dari sifat 1 logaritma,
a
log b + alog b = alog (b × b)
2 alog b = alog b2
Dengan cara yang sama:
a
log b2 + alog b = alog (b2 × b)
2 alog b + alog b = alog b3
3 alog b = alog b3
Dengan cara yang sama:
a
log b3 + alog b = alog (b3 × b)
3 alog b + alog b = alog b4
4 alog b = alog b4
Dengan demikian dapat disimpulkan:
n alog b = alog bn
atau
a
log bn = n × alog b
Contoh Soal
Sederhanakanlah:
a. 2 log 25 – 3 log 5 + log 20
b. ½ 2log 82 – 3 2log 3 + 2log 48
Jawab
a. 2 log 25 – 3 log 5 + log 20
= log 252 – log 53 + log 20
= log (252/53) + log 20
= log 5 + log 20
= log (5 × 20)
= log 100 = 2
b. ½ 2log 82 – 3 2log 3 + 2log 48
= 2log 82½ – 2log 33 + 2log 48
= 2log (9/27) + 2log 48
= 2log 1/3 + 2log 48
= 2log (1/3 × 48)
= 2log 16 = 4
#Sifat 4 (Pengubahan Bilangan Pokok Logaritma 1)
n
log b
a
log b =
n
log a
Pembuktian sifat 4 logaritma
Misalkan
Materi Logaritma
a
log b = m maka b = am
log b = nlog am
n
log b = m × nlog a
m = nlog b/ nlog a
a
log b = nlog b/ nlog a
n
Contoh Soal
Jika 2log 3 = a, nyatakan bentuk logaritma 8log 3 ke dalam a.
Jawab
8
log 3 = log 3/log 8
8
log 3 = log 3/log 23
8
log 3 = 1/3 × (log 3/log 2)
8
log 3 = 1/3 × 2log 3
8
log 3 = 1/3 a
#Sifat 5 (Pengubahan Bilangan Pokok Logaritma 2)
1
a
log b =
b
log a
Pembuktian sifat 5 logaritma
Sifat logaritma yang ke-5 ini adalah sifat logaritma ke-4 dengan n = b.
a
log b = nlog b/nlog a
a
log b = blog b/ blog a
a
log b = 1/ blog a
Contoh Soal
Tentukan nilai dari 2log 8 dan 64log 4
Jawab
2
log 8 = 1/8log 2
2
log 8 = 1/8log 81/3
2
log 8 = 1/(1/3)
2
log 8 = 3
64
log 4 = 1/4log 64
log 4 = 1/4log 43
64
log 4 = 1/3
64
#Sifat 6 (Perluasan Sifat Perkalian Logaritma)
a
log b × blog c = alog c
Pembuktian sifat 6 logaritma
Dengan menggunakan sifat logaritma nomor 4 di atas maka:
a
log b = nlog b/nlog a
b
log c = nlog c/nlog b
sehingga
a
log b × blog c = (nlog b/nlog a) × (nlog c/nlog b)
a
log b × blog c = nlog c/ nlog a
a
log b × blog c = alog c
Contoh Soal
Matematika untuk Kelas X SMK
Hitunglah nilai logaritma dari
a. 2log 5 × 5log 64
b. 2log 25 × 5log 3 × 3log 32
Jawab
a. 2log 5 × 5log 64 = 2log 64 = 2log 26 = 6
b. 2log 25 × 5log 3 × 9log 32
= 2log 52 × 5log 3 × 3log 25
= 2 2log 5 × 5log 3 × 5 3log 2
= 2 × 5 × 2log 5 × 5log 3 × 3log 2
= 10 × 2log 2
= 10 × 1
= 10
#Sifat 7 (Perluasan Sifat Perpangkatan Logaritma 1)
an
log bm = m × alog b
n
Pembuktian sifat 7 logaritma
Misalkan
an
log bm = c maka (an)c = bm
(an)c = bm
an×c = bm
b = m√(anc)
b = anc/m (bentuk pangkat ini kita ubah menjadi bentuk logaritma)
a
log b = nc/m (ruas kanan dan kiri dikalikan m/n)
m/n × alog b = c
m/n × alog b = anlog bm
Contoh Soal
Hitunglah nilai logaritma dari
a) 22log 43
b) 24log √32
Jawab
a) 22log 43 = 3/2 × log 4 = 3/2(2) = 3
b) 24log √32 = 24log 32½ = 1/8 × 2log 32 = 1/8 (5) = 5/8
#Sifat 8 (Perluasan Sifat Perpangkatan Logaritma 2)
an
log bn = alog b
Pembuktian sifat 8 logaritma
Dengan menggunakan sifat 7 logaritma, sifat 8 ini sudah terbukti dengan jelas jadi tidak perlu di uraikan
pembuktiannya.
Contoh Soal
Jika 2log 3 = a, nyatakan logaritma 8log 27 ke dalam bentuk a
Jawab
8
log 27 = 23log 33 = 2log 3 = a
#Sifat 9 (Perluasan dari Bentuk Umum Logaritma)
aalog b = b
Pembuktian sifat 9 logaritma
Misalkan alog b = c maka ac = b, sehingga
Materi Logaritma
aalog b = ac = b
aalog b = b
Contoh Soal
Sederhanakanlah
a) 22log 5
b) 33log 4
c) 55log 10
d) 77log 25
Jawab
a) 22log 5 = 5
b) 33log 4 = 4
c) 55log 10 = 10
d) 77log 25 = 25
#Sifat 10 (Invers Pembagian Logaritma)
a
log (b/c) = − alog (c/b)
Pembuktian sifat 10 logaritma
Sifat 10 logaritma dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat 2 logaritma, pembuktiannya adalah sebagai
berikut:
a
log (b/c) = alog b − alog c
a
log (b/c) = − (alog c − alog b)
a
log (b/c) = − {alog (c/b)}
a
log (b/c) = − alog (c/b)
Contoh Soal
Tentukan nilai logaritma dari
a. 2log (4/2)
b. 4log (32/2)
Jawab
a. 2log (4/2) = −2log (2/4) = − 2log ½ = − 2log 2−1 = − (−1) 2log 2 = 1
b. 4log (32/2) = −4log (2/32) = − 4log (1/16) = −4log 4-2 = − (−2) 4log 4 = 2
Matematika untuk Kelas X SMK
LATIHAN SOAL
1. Nyatakan dalam bentuk logaritma dari :
a. 5  25
2
b. 3
2
1

9
4
c. 5  1
0
2. Nyatakan dalam bentuk perpangkatan dari :
1
 4 c. 7 log 1  0
a. log 10.000 = 4 b. 2 log
16
1/ 2
d. 9
1
1
e.   
16
2
3
d. 9 log 3 
1
2
1
e. 4 log
1
2
16
3. Tentukan nilainya dari :
a. 5 log 625
b. 4 log 4
f. 2 log 16
g. 3 log
2
k.
log 8
1
27
1
l. 3 log
81
4. Sederhanakan
a. 6 log 86 log 26 log 9
c. 7 log 1
1
1
h. 2 log 1
3 3
m.
d. log 0,1
i. 2 log 8
log 9
f. 2 log 15.3 log 16.15 log 9
b. 2 log 50 2 log 42 log 10
g. 3 log 4.2 log 3.4 log 8
c. 2 log 3  log 2  log 18
h. 8 log 16
d.
log 2  log 3  log 3 2
log 6
3
e.
log 5 3 log 63 log 2
9
log 15
1
4
1
1
j. 2 log
8
e. 2 log
i.
16
3
j.
log 625
log 2 3 log 253 log 5
3
log 10
5. Jika log 2 = 0,3010 dan log 5 = 0,6990, maka tentukan :
a. log 20
b. log 500
c. log 40
d. 2 log 5
e. 5 log 8
6. Jika 2 log 3  m dan 3log 5  n , maka tentukan :
a. 2 log 5
b. 2 log 75
c. 2 log 500
d. 8 log 25
e.
125
log 4
Materi Logaritma
DAFTAR PUSTAKA
Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X, Jakarta : PT. Galaxy Puspa Mega.
Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X, Jakarta : Penerbit Erlangga.
MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA / MA, Semarang : CV. Jabbaar Setia.
Matematika untuk Kelas X SMK