statistik

STUDI METODE QUINE-McCLUSKEY UNTUK MENYEDERHANAKAN
RANGKAIAN DIGITAL
SAFRINA AMANAH
SITEPU
030823042
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2009
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
STUDI METODE QUINE-McCLUSKEY UNTUK MENYEDERHANAKAN
RANGKAIAN DIGITAL
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
SAFRINA AMANAH
SITEPU
030823042
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2009
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
PERSETUJUAN
Judul
: STUDI METODE QUINE-McCLUSKEY UNTUK
MENYEDERHANAKAN RANGKAIAN DIGITAL
Kategori
: SKRIPSI
Nama
:SAFRINA AMANAH
Nomor Induk Mahasiswa
:030823042
Program Studi
: SARJANA (S1) MATEMATIK
Departemen
: MATEMATIKA
Fakultas
: MATEMATIKA DAN ILMU PEGETAHUAN
SITEPU
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA
Diluluskan
Medan,
Komisi Pembimbing
Pembimbing 2
Drs.Sawaluddin, M.IT
NIP.132206398
Pembimbing 1
Drs. Bambang Irawan, M.Sc
NIP.130535480
Diketahui/Disetujui oleh
Departemen Matematikan FMIPA USU
Dr. Saib Suwilo, M.Sc
Nip 131796149
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
PERNYATAAN
STUDI METODE QUINE-McCLUSKEY UNTUK MENYEDERHANAKAN
RANGKAIAN DIGITAL
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, 28 Maret 2009
SAFRINA AMANAH SITEPU
030823042
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
ABSTRAK
Dalam sistem penyederhanaan fungsi Boolean rangkaian digital, metode aljabar dan
metode Kornaugh‘ Map hanya mampu menyederhanakan fungsi Boolean dengan
jumlah variabel maksimun 4 (empat) variabel. Karena itu disimulasikan metode
Quine-McCluskey yang mampu menyerderhanakan fungsi Boolean rangkaian digital
dengan lebih dari 4 (empat) variabel. Metode ini merupakan metode tabulasi dengan
dua langkah utama yaitu pencarian prime implicant (implikan utama) dan penentuan
prime implicant (implikan utama) inti.
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
DAFTAR
ISI
Halaman
Persetujuan ................................................................................................................. ii
Abstrak ...................................................................................................................... iii
Abstract ..................................................................................................................... iv
Daftar Isi .................................................................................................................... v
Daftar Tabel .............................................................................................................. vi
Daftar Istilah............................................................................................................. vii
Bab 1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
PENDAHULUAN
Latar Belakang ......................................................................................... 1
Perumusan Masalah .................................................................................. 1
Tujuan ...................................................................................................... 1
Pembatasan Masalah ................................................................................ 2
Metodologi Penelitian............................................................................... 2
Kontribusi Penelitian ................................................................................ 2
Tinjauan Pustaka ...................................................................................... 2
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1
Aljabar Boolean...................................................................................... 4
2.1.1 Definisi Aljabar Boolean ........................................................................ 4
2.2
Aljabar Boolean Dua Nilai...................................................................... 5
2.3
Prinsip Dualitas ...................................................................................... 7
2.4
Sifat-sifat Aljabar Boolean ..................................................................... 8
2.5
Fungsi Boolean ....................................................................................... 9
2.6
Fungsi Komplemen .............................................................................. 11
2.7
Bentuk Kanonik .................................................................................... 13
2.8
Konversi Antar Bentuk Kanonik ........................................................... 16
2.9
Bentuk Baku ......................................................................................... 16
2.10 Penyederhanaan Fungsi Boolean........................................................... 17
2.11 Aplikasi Aljabar Boolean...................................................................... 18
2.11.1 Rangkaian Digital ................................................................................. 18
Bab 3
3.1
3.2
3.2
PEMBAHASAN
Metode Quine-McCluskey .................................................................... 22
Menyederhanakan Fungsi Tunggal ....................................................... 24
Keunggulan dan Kelemahan Metode Quine-McCluskey
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1
Kesimpulan .......................................................................................... 33
4.2
Saran .................................................................................................... 33
DAFTAR PUSTAKA
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
DAFTAR TABEL
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
Tabel Operator Biner dalam Perkalian dan Penjumlahan ................... 5
Tabel Hukum Distributif........................................................................ 6
Tabel Fungsi f(x,y,z) = x y’z ............................................................ 9
Tabel Fungsi f(x,y,z) = x’y’z + x’y z + x y’
dan Fungsi g(x, y, z) = x’z + x y’ .................................................. 9
Tabel Minterm dan Maxterm 2 (dua) Variabel .................................. 12
Tabel Minterm dan Maxterm 3 (tiga) Variabel .................................. 12
Tabel Fungsi f(x,y,z) dalam bentuk Kanonik SOP dan POS .............. 13
Tabel Gerbang (Gate) Rangkaian Logika Dasar ................................ 17
Tabel Kebenaran Suatu Fungsi dengan don’t Care ............................ 21
Tabel Proses Reduksi Tabulasi ............................................................ 22
Tabel Reduksi Esensial......................................................................... 25
Tabel Tereduksi Non Esensial.............................................................. 25
Tabel Ekspresi Logis Dalam Pilihan Tereduksi .................................. 26
Tabel Reduksi Fungsi Boolean Tunggal .............................................. 27
Tabel Reduksi Fungsi Boolean Jamak ............................................... 29
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
DAFTAR ISTILAH
Fundamental Product
: Suatu perkalian Boolean yang merupakan
sebuah literal, atau perkalian dari 2 (dua) atau
lebih literal, dengan ketentuan tidak ada dua
literal yang mengandung variabel yang sama.
Karnaugh Map
: Metode Grafik Untuk mnyederhanakan
Fungsi Boolean rangkaian digital. Metode ini
diperkenalkan oleh Maurice Karnaugh pada
tahun 1953.
Literal
: Suatu Variabel Boolean atau Komplemennya.
Literal Lengkap
: Suatu Variabel yang mewakili dari tiap suku.
Maximum Term (Maxterm)
: Suku penjumlahan Boolean yang memuat
seluruh variabel. Maxterm juga sering disebut
sebagai suku penjumlahan fundamental.
Minimum Term (Minterm)
: Suku perkalian Boolean yang memuat seluruh
variabel. Minterm juga sering disebut sebagai
suku perkalian fundamental.
Prime Implicant (Implikan Utama)
: Suku Perkalian yang diperoleh dari
pengkombinasian 2 (dua) buah minterm dan
tidak dapat dikombinasikan lagi dengan
minterm yang lain.
Product Of Sum Boolean
: Perkalian dari suku-suku penjumlahan
Boolean
Sum Of Product Booean
: Penjumlahan dari suku-suku perkalian
Boolean
Prosedur Covering
: Prosedur Penentuan Prime implicant
(implikan utama) Inti yang mencakup sluruh
minterm pada fungsi Boolean
Suku don’t care
: Kombinasi nilai masukan rangkaian yang
tidak mempunyai nilai keluaran sehingga
dapat diabaikan.
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Dalam perancangan suatu rangkaian digital diperlukan adanya penyederhanaan untuk
memperoleh jumlah gerbang logika minimum ketika mengimplementasikan Fungsi
Boolean rangkaian, karena semakin sedikit jumlah gerbang yang digunakan, akan
menekan biaya dalam pembuatan rangkaian tersebut.
Adapun
penyederhanaan
rangkaian
digital
dapat
dilakukan
dengan
menggunakan sifat-sifat dari Aljabar Boolean, akan tetapi membutuhkan waktu yang
lama, sementara hasil yang diperoleh belum tentu merupakan Fungsi Boolean
rangkaian yang paling sederhana.
Sedangkan metode tabulasi Quine-McCluskey dapat digunakan untuk variabel
Fungsi yang lebih dari empat. Kelebihan lain dari metode ini yaitu dapat
menyederhanakan Fungsi Boolean rangkaian mulai dari 2 (dua) variabel sampai ke n
variabel, dan juga lebih mudah untuk mengimplementasikannya ke dalam sebuah
program Komputer dikarenakan langkah-langkah dalam metode ini lebih sistematis.
Dengan demikian waktu yang diperlukan untuk menyederhanakan sebuah Fungsi
Boolean akan semakin singkat.
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
1.2
Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, yang menjadi permasalahan dalam Tugas Akhir ini
adalah
bagaimana
cara
menyederhanakan
suatu
rangkaian
digital
dengan
menggunakan metode Quine-McCluskey.
1.3
Tujuan
Adapun
tujuan
penelitian
ini
adalah
untuk
mempelajari/memahami
cara
menyederhanakan suatu rangkaian digital yang rumit dengan menggunakan metode
Quine-McCluskey.
1.4
Pembatasan Masalah
Agar pembahasan tidak menyimpang dari pokok permasalahan, penulis membatasi
permasalahan hanya pada teori dan studi kasus dari metode Quine-McCluskey dalam
penyederhanaan rangkaian digital.
1.5
Metodologi Penelitian
Adapun metode yang digunakan adalah sebagai berikut:
1.
Menggunakan metode Quine-McCluskey untuk menyederhanakan Fungsi
Boolean.
2.
Mengimplementasikan Fungsi Boolean yang sederhana ke gerbang logika.
1.6
Kontribusi Penelitian
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
Memahami proses penyederhanaan Fungsi Boolean suatu rangkaian digital dengan
menggunakan metode Quine-McCluskey.
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1
Aljabar Boolean
Seorang ahli matematika dari Inggris, George Boole (1815-1864) pada tahun 1854
memaparkan aturan-aturan dasar logika dalam bukunya yang berjudul An
Investigation of the Laws of Thought, on Which Are Founded the Mathematical
Theorities of Logic and Probabilities, yang kemudian dikenal sebagai logika Boolean.
Boole menyusun beberapa aturan hubungan antara nilai-nilai matematis yang dibatasi
hanya dengan 2 (dua) nilai, yaitu true atau false, yang disimbolkan sebagai angka 1
atau 0. Sistem matematikanya ini kemudian dikenal sebagai aljabar Boolean. Dewasa
ini aljabar Boolean telah menjadi dasar teknologi Komputer digital. Saat ini aljabar
Boolean digunakan secara luas dalam perancangan rangkaian.
2.1.1 Definisi Aljabar Boolean
Aljabar Boolean adalah aljabar yang terdiri atas suatu himpunan B dengan 2 (dua)
operator biner yang didefinisikan pada himpunan tersebut, yaitu: + (penjumlahan) dan
• (perkalian). Sehingga untuk setiap x, y, z ∈ B berlaku aksioma atau postulat
sebagai berikut:
1.
Closure
: (i). x + y ∈ B
(ii). x • y ∈ B
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
2.
Identitas
: (i). Ada elemen tunggal 0 ∈ B, sedemikian hingga
berlaku: x + 0 = 0 + x = x
(ii). Ada elemen tunggal 0 ∈ B, sedemikian hingga
berlaku: x • 1 = 1 • x = 1
3.
Komutatif
: (i). x + y = y + x
(ii). x • y = y • x
4.
Distributif
: (i). x • (y + z) = (x • y) + (x • z)
(ii). x + (y • z) = (x + y) • (x + z)
(iii). (x • y) + z = (x + z) • (y + z)
5.
Komplemen
: Untuk setiap x ∈ B, terdapat elemen tunggal x’ ∈ B
sedemikian hingga berlaku: x + x’= 1 dan x • x’= 0
6.
7.
Terdapat sedikitnya 2 (dua) buah elemen, x dan y ∈ B , sedemikian
hingga berlaku
: x ≠ y.
Idempoten
: (i). x • x = x
(ii). x + x = x
8.
Asosiatif
: (i). x + (y + z) = (x + y) + z
(ii). x • (y • z) = (x • y) • z
Kecuali aksioma 7 dan 8, ke enam aksioma pertama disebut Postulat Huntington,
karena diformulasikan secara formal oleh E.V Huntington.
Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus memperlihatkan:
1.
Elemen himpunan B
2.
Kaidah/aturan operasi untuk 2 (dua) operator biner
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
3.
Himpunan B, bersama-sama dengan 2 (dua) operator tersebut, memenuhi
postulat Huntington.
2.2
Aljabar Boolean Dua Nilai
Aljabar Boolean 2 (dua) nilai didefinisikan pada sebuah himpunan dengan 2 (dua)
buah elemen, yaitu: B = {0,1}, dengan kaidah untuk operator biner + (penjumlahan)
dan • (perkalian), ditunjukkan pada Tabel 2.1.
Tabel 2.1 Operator Biner untuk Perkalian dan Penjumlahan Logika
x
y
x • y
x
Y
x + y
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
Harus ditunjukkan bahwa postulat Huntington benar untuk himpunan B = {0,1} dan
2 (dua) operator biner yang didefinisikan di atas.
1.
Closure, jelas dari Tabel karena hasil tiap operasi adalah 0 dan 1 ∈ B
2.
Dari Tabel terlihat bahwa:
(i). 0 + 1 = 1 + 0 = 1
(ii). 1 • 0 = 0 • 1 = 0
yang memenuhi elemen identitas 0 dan 1
3.
Hukum komutatif jelas terpenuhi.
4.
(i). Hukum distributif:
x • (y + z) = (x • y) + (x • z) dipenuhi, dapat ditunjukkan pada
Tabel 2.2.
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
Tabel 2.2 Kebenaran Hukum Distributif
x
y
z
y + z
x • (y + z)
x • y
x • z
(x • y) + (x • z)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(ii). Hukum distributif:
x + (y • z) = (x + y) • (x + z)
dapat ditunjukkan dengan membuat Tabel kebenaran seperti (i).
5.
Tabel komplemen memperlihatkan bahwa:
(i).
x + x’ = 1, karena 0 + 0’ = 0 + 1 = 1
(ii). x • x’ = 0, karena 0 • 0’ = 0 • 1 = 0
6.
Postulat 6 dipenuhi karena aljabar Boolean dua nilai memiliki 2 (dua) buah
elemen yang berbeda yaitu 1 dan 0.
2.3
Prinsip Dualitas
Dualitas adalah padanan dual ekspresi Boolean yang diperoleh dengan cara:
• mempertukarkan + ↔ •, dan
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
• mempertukarkan 1 ↔ 0
Contoh:
Ekspresi
Dualitas
x + x = x
x • x = x
Idempoten
x + 1 = x
x • 0 = 0
Identitas
x•(y + z)=(x • y)+(x • z)
x+(y • z)=(x + y)•(x + z)
2.4
Sifat-Sifat Aljabar Boolean
1.
3.
5.
Hukum Identitas:
(i). x + 0 = x
(i). x • x = x
(ii). x • 1 = x
(ii). x + x = x
Hukum Komplemen:
9.
4. Hukum Dominan:
(i). x + x = 1
(i). x • 0 = 0
(ii). x • x = 0
(ii). x + 1 = 1
Hukum Involusi:
(i). x = x
7.
2. Hukum Idempoten:
Hukum Komutatif:
6. Hukum Absorbsi (Penyerapan):
(i). x • y + x • y = x
8. Hukum Asosiatif:
(i). x + y = y + x
(i). x+(y + z)=(x + y)+ z
(ii). x • y = y • x
(ii). x•(y • z)=(x • y)• z
Hukum Distributif:
10. Hukum De Morgan:
(i). x+(y • z)=(x + y)•(x + z)
(i). (x + y) = x • y
(ii). x•(y + z)=(x • y)+(x • z)
(ii). (x • y) = x + y
Kadang-kadang untuk menyederhanakan penulisan, dituliskan x • y sebagai xy.
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
Contoh dari sifat-sifat aljabar Boolean:
1.
Buktikan bahwa: x + x’y = x + y
Bukti:
x + x’y
2.
=
(x + x y) + x’y
(Absorbsi)
=
x + (x y + x’y)
(Asosiatif)
=
x + (x + x’) y
(Distributif)
=
x + 1 . y
(Komplemen)
=
x + y
(Identitas)
Buktikan bahwa: x (x’+ y) = x y
Bukti:
x (x’ + y)
2.5
=
x x’ + x y
(Distributif)
=
0 + x y
(Komplemen)
=
x y
(Identitas)
Fungsi Boolean
Pada aljabar Boolean 2 (dua) nilai, jika nilai B = {0,1}, maka variabel x disebut
variabel Boolean atau variabel biner. Fungsi Boolean atau disebut juga Fungsi biner
adalah ekspresi yang dibentuk dari variabel biner, 2 (dua) operator biner + dan •,
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
operator komplemen (‘), tanda kurung ( ), dan tanda sama dengan (=). Setiap variabel
Boolean, termasuk komplemennya disebut literal.
Contoh-contoh Fungsi Boolean:
1.
f (x)
= x
2.
f (x,y)
= x’y + x y’ + y’
3.
f (x,y)
= x’y’
4.
f (x,y)
= (x + y)’
5.
f (x,y,z) = x y’ z
Dari contoh-contoh ke lima Fungsi Boolean tersebut, Fungsi 5 di atas yaitu:
f (x,y,z)= x y’z terdiri atas 3 (tiga) literal x,y’ dan z.
Andaikan Fungsi tersebut mempunyai harga 1 (satu) untuk x = 1, y = 0, dan z = 1.
Dengan demikian dapatlah dibuat Tabel kebenaran dari Fungsi:
f(x,y,z)= x y’z, pada Tabel 2.3.
Tabel 2.3 Kebenaran dari Fungsi f(x,y,z)= x y’z
x
y
z
f(x,y,z)= x y’z
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
Fungsi Boolean tidak unik, artinya 2 (dua) buah Fungsi yang ekspresi aljabarnya
berbeda, mungkin saja merupakan 2 (dua) buah yang sama karena keduanya
mempunyai nilai yang sama pada Tabel kebenaran. Sebagai contoh:
Fungsi f(x,y,z)= x’y’z + x’yz + xy’ dan Fungsi g(x,y,z)= x’z + xy’ adalah 2
(dua) buah Fungsi Boolean yang sama. Lihat Tabel 2.4.
Tabel 2.4 Fungsi Boolean yang mempunyai nilai yang sama
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
x
y
z
f(x,y,z)
g(x,y,z)
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
Karena Fungsi Boolean tidaklah unik, dapatlah ditemukan 2 (dua) buah ekspresi
Boolean yang menunjukkan Fungsi yang sama, yaitu dengan cara manipulasi aljabar.
Perhatikan contoh berikut ini:
f(x,y,z)
2.6
=
x’y’z + x’y z + x y’
=
x’z (y’+ y) + x y’
=
x’z (1) + x y’
=
x’z + x y’
Fungsi Komplemen
Fungsi komplemen dari suatu Fungsi F, dapat dicari dengan menukarkan nilai 0
menjadi 1, dan sebaliknya nilai 1 menjadi 0.
Ada 2 (dua) cara yang dapat digunakan untuk membentuk Fungsi komplemen:
1.
Menggunakan Hukum De Morgan.
Untuk 2 (dua) variabel, x1 dan x2
(x1 + x2)’ = x1’ x2’
dan dualnya;
(x1 . x2)’ =
x1’ + x2’
Untuk 2 (dua) variabel, x1,x2 , dan x3
(x1 + x2 + x3)’ = (x1 + y)’
Misal: x2 + x3 = y
= x1’ . y’
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
= x1’ (x2 + x3)’
= x1’ x2’ x3’
Untuk n variabel, x1, x2, . . ., xn
(x1 + x2
+. . . .+ xn)’ = x1’, x2’, . . . . xn’
dan dualnya:
(x1 . x2 . . . .
. xn)’ = x1’ + x2’
+
. . . . + xn’
Contoh:
Fungsi komplemen f‘(x,y,z) dari Fungsi f(x,y,z) = x(y’z’+ y z) adalah:
f‘(x,y,z)
2.
=
(x(y’z’+ yz))’
=
x’+ (y’z’+ yz)’
=
x’+ (y’z’)’ . (yz)’
=
x’+ (y + z ). (y’ +z’)
Menggunakan prinsip dualitas.
Cari dual dari “f “ lalu komplemenkan setiap literalnya.
Misalnya untuk Fungsi yang sama:
f(x,y,z) = x(y’z’+ y z)
Dual dari:
f: x +(y’+ z’).(y + z)
Komplemen tiap literalnya adalah:
x’+ (y + z) . (y’+z’) = f‘
Jadi; f‘(x,y,z)= x’+(y + z).(y’+ z’)
2.7
Bentuk Kanonik
Beberapa Fungsi Boolean mungkin mempunyai ekspresi aljabar yang berbeda, tetapi
sebenarnya nilai Fungsinya sama. Sebagai contoh:
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
f (x, y) = x’ y’ dan g (x, y) = (x + y)’ adalah dua buah Fungsi yang sama.
Contoh lain:
f(x,y,z)= x’y’z + x y’z’+ x y z
dan
g(x,y,z)=(x+y+z)(x+y’+z)(x+y’+z’)(x’+y+z’)(x’+y’+z)
adalah 2 (dua) buah Fungsi yang sama.
Fungsi pertama f, tampil dalam bentuk penjumlahan dari hasil kali, sedangkan Fungsi
yang ke dua g, muncul sebagai bentuk perkalian dari hasil penjumlahan. Setiap suku
(term) mengandung literal yang lengkap (x,y,z). Fungsi Boolean yang dinyatakan
sebagai jumlah dari hasil kali (SOP) dan hasil kali dari jumlah (POS), dengan setiap
sukunya mengandung literal lengkap, disebut dalam bentuk kanonik.
Ada 2 (dua) macam bentuk kanonik:
1. Minterm atau sum-of- product (SOP)
2. Maxterm atau product-of-sum (POS)
Minterm dan Maxterm dari 2 (dua) variabel biner ditunjukkan pada Tabel 2.5.
Tabel 2.5 Minterm dan Maxterm dari 2 (dua) Variabel
Minterm
x
Maxterm
y
Suku
Lambang
Suku
Lambang
0
0
x’y’
m0
x + y
M0
0
1
x’y
m1
x + y’
M1
1
0
x y’
m2
x’+ y
M2
1
1
x y
m3
x’+ y’
M3
Minterm dan Maxterm dari 3 (tiga) variabel biner ditunjukkan pada Tabel 2.6.
Tabel 2.6 Minterm dan Maxterm dalam 3 (tiga) Variabel
x
y
z
Minterm
Maxterm
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
Suku
Lambang
Suku
Lambang
0
0
0
x’y’z’
m0
x + y + z
M0
0
0
1
x’y’z
m1
x + y + z’
M1
0
1
0
x’yz’
m2
x + y’+ z
M2
0
1
1
x’y z
m3
x + y’+z’
M3
1
0
0
x y’z’
m4
x’+ y + z
M4
1
0
1
x y’z
m5
x’+ y +z’
M5
1
1
0
x y z’
m6
x’+ y’+ z
M6
1
1
1
x y z
m7
x’+ y’+z’
M7
Suatu Fungsi Boolean dapat dibentuk secara aljabar dari Tabel kebenaran yang
diketahui dengan membentuk minterm dari setiap kombinasinya.
Untuk membentuk minterm, tinjau kombinasi variabel-variabel yang menghasilkan
nilai 1. Kombinasi 001, 100 dan 111 ditulis sebagai:
x’y’z, x y’z’, dan x y z.
Untuk membentuk maxterm, tinjau kombinasi variabel-variabel yang menghasilkan
nilai 0. Kombinasi 000, 010, 101 dan 110 ditulis sebagai:
(x + y + z), (x + y’+ z), (x’+ y + z’) dan (x’+ y’+ z’).
Contoh:
Tinjau Fungsi Boolean yang diekspresikan dalam Tabel 2.7. Nyatakan Fungsi tersebut
dalam bentuk Kanonik SOP dan POS.
Tabel 2.7: Fungsi f(x,y,z) dalam Bentuk Kanonik SOP dan POS
x
y
Z
f (x,y,z)
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
1
1
1
1
Jawab:
1.
SOP:
Tinjau kombinasi variabel yang menghasilkan nilai 1
f(x, y, z) = x’ y’ z + x y’ z’ + x y z
atau dalam bentuk lain,
f(x, y, z) = m1 + m4 + m7 = ∑ (1, 4, 7)
2.
POS:
Tinjau kombinasi variabel yang menghasilkan nilai 0
f(x, y, z) = (x + y + z) (x + y’+ z) (x + y’+ z’)
(x’+ y + z’) (x’+ y’+ z)
atau dalam bentuk lain,
f(x, y, z) = M0 M2 M3 M5 M6 = ∏ (0, 2, 3, 5, 6)
Notasi ∑ dan ∏ berguna untuk menyingkat penulisan ekspresi bentuk SOP dan
POS.
2.8
Konversi Antar Bentuk Kanonik
Misal: f adalah Fungsi Boolean dalam bentuk SOP:
f (x, y, z) = ∑ (1, 4, 5, 6, 7) dan
f‘ adalah komplemen dari f
f‘ (x, y, z) = ∑ (0, 2, 3) = m0 + m2 + m3
Dengan menggunakan hukum de Morgan, dapat memperoleh Fungsi f dalam bentuk
POS:
f’ (x, y, z) =
(f’(x, y, z))’ = (m0 + m2 + m3)’
=
m0’. m2’. m3’
=
(x’y’z’)’ (x’y z’)’
=
(x + y + z) (x + y’+ z) (x + y’+ z’)
=
M0 M2 M3
=
∏(0, 2, 3)
(x’y z)’
Jadi mj’ = Mj
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
2.9
Bentuk Baku
2 (Dua) bentuk kanonik adalah bentuk dasar yang diperoleh dengan membaca Fungsi
dari Tabel kebenaran. Bentuk ini umumnya sangat jarang muncul, karena setiap suku
di dalam bentuk kanonik harus mengandung literal atau variabel yang lengkap, baik
dalam bentuk normal (x) atau dalam bentuk komplemennya (x’). Cara lain untuk
mengekspresikan Fungsi Boolean adalah bentuk baku (standard). Pada bentuk ini,
suku-suku yang membentuk Fungsi dapat mengandung 1 (satu), 2 (dua), atau
sejumlah literal. 2 (Dua) tipe bentuk baku adalah bentuk baku SOP dan bentuk baku
POS.
Contoh:
f (x, y, z) = y’ + x y + x’ y z
f (x, y, z) = x (y’ + z) (x’ + y + z’)
2.10 Penyederhanaan Fungsi Boolean
Fungsi Boolean dapat disederhanakan dalam 3 (tiga) cara:
1.
Secara aljabar, dengan menggunakan rumus atau aksioma yang berlaku pada
Fungsi Boolean
2.
Menggunakan Peta Karnaugh
3.
Menggunakan metode Quine-McCluskey (metode Tabulasi)
2.11 Aplikasi Aljabar Boolean
Aljabar Boolean memiliki aplikasi yang luas antara lain di bidang jaringan
pensaklaran (switching) dan rangkaian digital.
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
2.11.1 Rangkaian Digital
Rangkaian digital elektronik biasanya dimodelkan dalam gerbang logika. Ada 3 (tiga)
macam gerbang dasar: AND, OR dan NOT. Rangkaian yang dibentuk oleh gerbang
logika disebut rangkaian logika. Dapat dilihat pada Gambar 1.a, 1.b, dan 1.c.
x
y
x
xy
y
Gambar 1.a Gerbang AND dua masukan
x+ y
Gambar 1.b Gerbang OR dua masukan
x'
x
Gambar 1.c Gerbang NOT (inverter)
Selain gerbang dasar tersebut di atas, masih terdapat gerbang logika turunan, yaitu
NAND, NOR, XOR, dan XNOR. Dapat dilihat pada Gambar 1.d, 1.e, 1.f, dan 1.g.
x
y
(xy)'
Gambar 1.d Gerbang NAND
x
y
(x + y)'
Gambar 1.e Gerbang NOR
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
x
x
x+ y
y
(x + y)'
y
Gambar 1.f Gerbang XOR
Gambar 1.g Gerbang XNOR
Adapun Tabel kebenaran dari Rangkaian Logika dasar dapat dilihat pada Tabel 2.8.
Tabel 2.8 Gerbang (Gate) Rangkaian Logika Dasar
AND
OR
NOT
NAND
x
y
x
y
x.y
x+y
x
x
x
y
(x.y)
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
x
0
1
x
1
0
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
x
0
0
y
0
1
x.y
0
0
0
1
x+y
0
1
1
1
(x.y)
1
1
1
0
(x+y)
1
0
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
1
1
NOR
x
y
(x+y)
XOR
x
y
x y
XNOR
x y)
x
y
0
1
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
0
0
x
y
0
1
1
0
(x y )
1
0
0
1
Contoh:
Nyatakan Fungsi Boolean berikut ke dalam rangkaian logika.
f (x,y,z) = x y + x’y
Jawab:
a.
Langkah I:
x
y
xy
xy + x' y
x
y
b.
x'
x' y
Langkah II:
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
x
y
xy
xy + x' y
x'
c.
x' y
Langkah III:
x
y
xy
xy + x' y
x'
x' y
BAB 3
PEMBAHASAN
3.1
Metode Quine-McCluskey (Tabulasi)
Untuk Fungsi Boolean yang mempunyai lebih dari 6 (enam) variabel, digunakan
metode Quine-McCluskey. Metode ini disebut juga metode Tabulasi.
Langkah-langkah:
1.
Nyatakan tiap minterm dalam n variabel menjadi string bit yang panjangnya n
2.
Kelompokkan tiap minterm berdasarkan jumlah nilai 1 yang dimilikinya.
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
3.
Kombinasikan minterm dalam n variabel dengan kelompok lain yang jumlah
nilai 1-nya berbeda 1 (satu), sehingga diperoleh prime implicant (implikan
utama) yang terdiri dari n-1 variabel. Minterm yang dikombinasikan diberi
tanda (√).
4.
Kombinasikan minterm dalam n-1 variabel dengan kelompok lain yang jumlah
nilai 1-nya berbeda 1 (satu), sehingga diperoleh prime implicant (implikan
utama) yang terdiri dari n-2 variabel.
5.
Ulangi langkah 4 (empat) sampai diperoleh prime implicant (implikan utama)
yang paling sederhana.
6.
Ambil semua prime implicant (implikan utama) yang tidak bertanda (√).
Buatlah Tabel baru yang memperlihatkan minterm dari ekspresi Boolean semula
yang dicakup oleh prime implicant (implikan utama) tersebut, tandai dengan (x).
Setiap minterm harus dicakup oleh paling sedikit 1 (satu) buah prime implicant
(implikan utama).
7.
Pilih prime implicant (implikan utama) yang memiliki jumlah literal paling
sedikit namun mencakup sebanyak mungkin minterm dari ekspresi Boolean
semula, yaitu dengan cara:
a.
Tandai kolom-kolom yang mempunyai satu buah tanda (x) dengan tanda
(*), lalu beri tanda (√) di sebelah kiri prime implicant (implikan utama)
yang berasosiasi dengan tanda asterisk (*) tersebut. Prime implicant
(implikan utama) ini telah dipilih untuk Fungsi Boolean sederhana.
b.
Untuk setiap prime implicant (implikan utama) yang telah ditandai dengan
(√), beri tanda minterm yang dicakup oleh prime implicant (implikan
utama) tersebut dengan tanda (√).
c.
Periksa apakah masih ada minterm yang belum dapat dicakup oleh prime
implicant (implikan utama) terpilih. Jika ada, maka pilih dari prime
implicant (implikan utama) yang tersisa yang mencakup sebanyak
mungkin minterm. Beri tanda (√) prime implicant (implikan utama) yang
dipilih itu serta minterm yang dicakupnya.
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
d.
Ulangi langkah c sampai seluruh minterm sudah dicakup oleh semua
prime implicant (implikan utama).
Pendekatan otomatis untuk menyederhanakan ekspresi Boolean biasa digunakan
pada Fungsi dengan keluaran tunggal atau jamak. Metode tabulasi atau juga dikenal
dengan metode Quine-McCluskey, membentuk perkalian yang berbeda pada 1 (satu)
variabel secara berturut-turut, dan kemudian dihasilkan himpunan suku tereduksi yang
dapat mencakup semua Fungsi keluaran. Proses ini lebih mudah diimplementasikan
pada komputer daripada metode peta, dan hasil suku-suku reduksinya dapat digunakan
oleh lebih dari 1 (satu) Fungsi.
3.2
Menyederhanakan Fungsi Tunggal
Tabel kebenaran pada Tabel 3.1. menggambarkan f yang merupakan Fungsi 4 (empat)
variabel x,y,z, dan w, yang menyertakan 3 (tiga) don’t care (= d). Proses reduksi
secara Tabel dimulai dengan mengelompokkan minterm berdasarkan jumlah nilai 1nya. Minterm 0000, tidak mempunyai nilai 1, sehingga dijadikan grup tersendiri.
Minterm 0001,0010,0100, dan 1000 mempunyai nilai 1 tunggal, tetapi hanya minterm
0001 yang menghasilkan nilai 1, sehingga minterm ini dijadikan grup lain.
Tabel 3.1 Kebenaran suatu Fungsi dengan don’t care
x
y
z
w
f
0
0
0
0
d
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
d
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
d
Grup berikutnya adalah minterm dengan 2 (dua) nilai 1, dan ada 6 (enam)
kemungkinan minterm yang mempunyai 2 (dua) nilai 1, yang dapat masuk dalam grup
ini. Hanya minterm 0011,0101,0110, dan 1010 yang menghasilkan keluaran 1,
sehingga minterm inilah yang masuk dalam grup.
Ada 3 (tiga) minterm yang menghasilkan keluaran 1 dan mempunyai 3 (tiga)
nilai 1, yaitu 0111, 1011, dan 1110. Akhirnya grup yang beranggotakan 4 (empat)
nilai 1 ada satu minterm, dan merupakan grup terakhir.
Untuk Tabel kebenaran yang lebih besar, proses dapat berlanjut terus. Grup
dikelompokkan lagi sehingga grup yang berbeda tepat 1 (satu) jumlah nilai 1-nya
dapat digabung, seperti Tabel 3.2.a. Langkah berikutnya dalam proses reduksi adalah
membentuk sebuah konsensus antara setiap pasang grup bertetangga untuk semua
suku dengan beda nilai tepat 1 (satu) variabel saja.
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
Tabel 3.2: Proses Reduksi Tabulasi
Keadaan awal
Setelah Reduksi I
Setelah Reduksi II
x
y
Z
w
x
y
z
w
x
y
z
w
0
0
0
0
√
0
0
0
-
*
0
-
-
1
*
0
0
0
1
√
0
0
-
1
√
-
-
1
1
*
0
0
1
1
√
0
-
0
1
√
-
1
-
1
*
0
1
0
1
√
0
-
1
1
√
0
1
1
0
√
-
0
1
1
√
1
0
1
0
√
0
1
-
1
√
0
1
1
1
√
-
1
0
1
√
1
0
1
1
√
0
1
1
-
*
1
1
0
1
√
1
0
1
-
*
1
1
1
1
√
-
1
1
1
√
1
-
1
1
√
1
1
-
1
√
(a)
(c)
(b)
Secara aljabar, teorema tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut:
x y + x z + y z
=
x y + x z + y z (x + x)
=
x y + x z + x y z + x y z
=
x y + x y z + x z + x y z
=
x y (1 + z) +
=
x y + x z
x z (1 + y)
Dengan menggunakan Teorema konsensus diperolehlah bentuk dualitasnya:
(x + y) (x + z) (y + z) = (x + y) (x + z)
Ide dari penerapan konsensus pada reduksi tabulasi adalah untuk mengambil
keuntungan dari sifat invers dari aljabar Boolean. Misalnya, 0000 dan 0001 berbeda
nilainya pada variabel w, sehingga 000_ dimasukkan dalam daftar pada bagian atas
Tabel reduksi seperti terlihat pada Tabel 3.2.b. Tanda garis bawah menunjukkan posisi
variabel yang dieliminasi, dalam contoh ini w.
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
Minterm 0000 dan 0001 pada Tabel 3.2.a ditandai dengan cek (√) untuk
menunjukkan bahwa entri ini sudah tercakup pada Tabel reduksi. Setelah semua suku
pada grup pertama disilangkan dengan semua suku pada grup ke dua, kemudian
beralih untuk membentuk konsensus antara grup ke dua dan ke tiga. Ada
kemungkinan bahwa beberapa suku tidak dapat dikombinasi menjadi suku yang lebih
kecil karena berbeda pada lebih dari 1 (satu) variabel.
Contohnya, suku 0001 dan 0011 dapat dikombinasi menjadi suku lebih kecil
00_1 namun 0001 dan 0110 tidak dapat dikombinasi karena berbeda pada 3 (tiga)
variabel. Sekali suku sudah ditandai dengan (√), suku tersebut masih dapat
dipergunakan untuk proses reduksi karena sifat idempotens. Tujuan dari langkah
dalam proses ini adalah untuk menemukan semua kemungkinan suku tereduksi,
sehingga dapat menemukan himpunan terkecil suku yang masuk dalam Fungsi pada
langkah berikutnya.
Proses berlanjut untuk grup-grup sisanya. Setiap suku yang tidak tercakup dalam
pengelompokan konsensus ditandai dengan asterisk (*) untuk menunjukkan bahwa ini
adalah suku prime implicant (implikan utama). Pada Tabel 3.2.a. terlihat bahwa
setelah reduksi pertama semua minterm sudah terpakai sehingga tidak ada prime
implicant (implikan utama).
Setelah reduksi pertama, dapat melanjutkan untuk literasi berikutnya, jika
keduanya hanya berbeda 1 (satu) variabel saja, maka 2 (dua) suku dapat
dikombinasikaan. Garis bawah harus pada posisi yang sama. Entri pertama pada Tabel
3.2.b. mempunyai garis bawah pada kolom paling kanan, sehingga tidak ada entri
pada grup ke dua yang cocok.
Dalam penyusunan Tabel reduksi pada Tabel 3.2.c. prime implicant (implikan
utama) dari Tabel sebelumnya (Tabel 3.2.b) tidak diikutkan. Proses berlanjut sampai
hanya tersisa prime implicant (implikan utama). Pada contoh ini, proses berhenti
setelah reduksi ke dua dan menghasilkan 3 (tiga) suku tersisa sebagai prime implicant
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
(implikan utama) seperti pada Tabel 3.2.c. Setiap prime implicant (implikan utama)
dikumpulkan untuk menyusun Fungsi, walaupun belum minimal.
Oleh karena itu entri ini ditandai dengan asterisk (*), yang menunjukkan bahwa
suku ini adalah prime implicant (implikan utama) dan tidak dapat direduksi lagi.
Beralih ke grup ke dua dan ke tiga pada Tabel 3.2.b. Suku 00_1 dan 01_1 dikombinasi
menjadi suku 0_ _1 seperti tertera pada Tabel 3.2.c. Proses terus berlanjut hingga
reduksi ke dua lengkap.
Untuk meminimalkan suku-suku yang digunakan, disusun Tabel pilihan seperti
pada Tabel 3.3. Setiap prime implicant (implikan utama) dibuat 1 (satu) baris dalam
Tabel pilihan dan kolom berisi minterm dari Fungsi asli yang harus dicakup. Kondisi
don’t care tidak perlu dicakup sehingga tidak dimasukkan dalam daftar. Setiap kotak
yang sesuai dengan prime implicant (implikan utama) dan mintermnya ditandai
dengan asterisk (*).
Misalnya, prime implicant (implikan utama) 000_ tandai pada kolom minterm
0001. Beberapa prime implicant (implikan utama) mencakup beberapa minterm,
seperti 0_ _1 akan mencakup 4 (empat) minterm.
Setelah semua kotak dicek, carilah kolom yang hanya berisi 1 (satu) tanda cek.
Tanda cek tunggal pada kolom berarti hanya ada 1 (satu) prime implicant (implikan
utama) yang mencakup minterm tersebut, dan prime implicant (implikan utama) yang
mencakup minterm tersebut ditandai dengan yang menunjukkan bahwa prime
implicant (implikan utama) ini adalah esensial dan harus digunakan atau masuk dalam
persamaan akhir.
Tabel 3.3: Reduksi Esensial
Prime implicant
(implikan utama)
000_
Minterm
0001
0001
0101
0110
0111
√
√
1101
√
*011_
√
*101_
0_ _1
1010
√
√
√
√
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
√
_ _11
√
√
*_1_1
√
√
Contoh prime implicant (implikan utama) esensial adalah 011_, 101_, dan _1_1.
Prime implicant (implikan utama) esensial dapat mencakup lebih dari satu minterm.
Untuk itu dibuatlah Tabel pilihan tereduksi yang tidak menyertakan prime implicant
(implikan utama) esensial dan mintermnya, seperti pada Tabel 3.4. Tabel pilihan
tereduksi dapat berisi prime implicant (implikan utama) esensial yang kemudian
dikenai proses reduksi lagi, sampai Tabel pilihan tereduksi hanya berisi prime
implicant (implikan utama) non esensial.
Tabel 3.4. Tereduksi Non Esensial
Himpunan
minterm
Pilihan
0001 0011
x
000_
√
y
0_ _1
√
z
_ _11
Himpunan 1
000_
Himpunan 2
0_
_1
_ _11
√
√
Sisa prime implicant (implikan utama) dalam Tabel pilihan tereduksi membentuk
himpunan pilihan, yang digunakan untuk mendapatkan himpunan minimal. Seperti
pada Tabel 3.4. ada 2 (dua) himpunan prime implicant (implikan utama) yang
menampung 2 (dua) minterm sisa. Karena himpunan 2 (dua) adalah suku paling
sederhana, maka suku inilah yang dipilih untuk membentuk persamaan minimal untuk
F, yang terdiri atas prime implicant (implikan utama) esensial dan prime implicant
(implikan utama) pilihan pada himpunan 2 (dua). (Persamaan berikut):
F = x y z + x y z + y w + x w
Selain menggunakan cara visual untuk mendapatkan himpunan dari himpunan pilihan,
dapat juga dilakukan proses secara algoritmis. Proses dimulai dengan menyatakan
persamaan yang mencakup semua prime implicant (implikan utama) dalam himpunan
pilihan pada Tabel 3.4. Ekspresi logis ditulis untuk setiap kolom pada Tabel pilihan
tereduksi seperti Tabel 3.5.
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
Tabel 3.5 Ekspresi Logis Dalam Pilihan Tereduksi
Kolom
Penjumlahan
0001
(x + y)
0011
(y + z)
Untuk mencari himpunan yang mencakup semua kolom, prime implicant (implikan
utama) dikelompokkan sehingga paling tidak setiap kolom ditandai sekali. Ini berarti
bahwa relasi berikut harus terpenuhi, dengan F adalah suku dalam Tabel pilihan
tereduksi:
F = (x + y) (y + z)
Dengan menerapkan sifat-sifat aljabar Boolean didapat:
F = (x + y) (y + z) = x y + x z + y + y z = x z + y
Setiap suku dalam persamaan ini menyatakan himpunan prime implicant (implikan
utama) yang mencakup suku-suku dalam Tabel pilihan tereduksi. Suku terkecil (y)
merupakan himpunan prime implicant (implikan utama), (0 1) terkecil yang
mencakup suku-suku tersisa. Hasil akhir yang di dapat sama seperti cara sebelumnya:
F= x y z + x y z + y w + x w
3.3
Menyederhanakan Fungsi Jamak
Metode reduksi Tabel digunakan untuk mereduksi Fungsi Boolean tunggal. Namun
demikian cara ini juga dapat dipergunakan untuk mereduksi Fungsi jamak yang
menggunakan variabel yang sama, untuk menghasilkan persamaan kolektif yang kecil.
Metode berikut menggunakan cara dengan mencari irisan dari semua kemungkinan
kombinasi dari suku-suku yang dapat digunakan bersama, dan kemudian memilih
himpunan terkecil yang mencakup seluruh Fungsi.
Sebagai contoh kita gunakan Tabel kebenaran yang ada pada Tabel 3.6. yang
menunjukkan 3 (tiga) Fungsi dengan 3 (tiga) variabel. Notasi ini menunjukkan
minterm yang indeksnya 1 (satu) menurut Tabel kebenaran.
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
Bentuk lengkap persamaan Boolean dari kasus ini adalah:
F0
(x, y, z)
=
m0 + m3 + m7
F1
(x, y, z)
=
m1 + m3 + m4 + m6 + m7
F2
(x, y, z)
=
m2 + m3 + m6 + m7
Irisan dibentuk dengan membuat semua kombinasi Fungsi seperti berikut:
F0,1
(x, y, z)
=
m3 + m7
F0,2
(x, y, z)
=
m3 + m7
F1,2
(x, y, z)
=
m3 + m6 + m7
=
m3 + m7
F0,1,2
(x, y, z)
Tabel 3.6 Reduksi Fungsi Boolean Tunggal
F0 F1 F2
Minterm
X
Y
Z
m0
0
0
0
1
0
0
m1
0
0
1
0
1
0
m2
0
1
0
0
0
1
m3
0
1
1
1
1
1
m4
1
0
0
0
1
0
m5
1
0
1
0
0
0
m6
1
1
0
0
1
1
m7
1
1
1
1
1
1
Dengan menggunakan metode reduksi yang dijelaskan sebelumnya, dapat disusun
prime implicant (implikan utama) untuk masing-masing Fungsi.
Fungsi
Prime implicant (implikan utama)
F0
000, _11
F1
0_1, 1_0, _11, 11_
F2
_1_
F0,1
_11
F0,2
_11
F1,2
_11, 11_
F0,1,2
_11
Daftar prime implicant (implikan utama) direduksi dengan mengeliminasi
prime implicant (implikan utama) yang sudah tercantum pada Fungsi dengan orde
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
yang lebih tinggi. Misalnya, _11 muncul di F0,1,2, sehingga tidak perlu dicantumkan
dalam Fungsi yang lain. Demikian juga, 11_ muncul di F1,2, dan tidak perlu
dimunculkan di F1 ataupun F2. Demikian seterusnya, sehingga didapat:
Fungsi
Prime implicant (implikan utama)
F0
000
F1
0_1, 1_0
F2
_1_
F0,1
Kosong
F0,2
Kosong
F1,2
11_
F0,1,2
_11
Kemudian dapat disusun Tabel pilihan keluaran jamak seperti pada Tabel 3.7.
Baris berisi prime implicant (implikan utama) dan kolom menunjukkan minterm yang
harus tercantum pada masing-masing Fungsi.
Jika prime implicant (implikan utama) yang bersangkutan tidak dapat
digunakan pada Fungsi di kolom-kolom yang bersangkutan, maka baris akan diisi
dengan (×). Misalnya, prime implicant (implikan utama) 000 digunakan oleh Fungsi F₀
tetapi tidak digunakan oleh Fungsi F₁ maupun F₂, sehingga daerah perpotongan baris
000 dan kolom F₁ dan F₂ diisi ×.
Tabel 3.7 Reduksi Fungsi Boolean Jamak
Implikan
Minterm
m₀
m₃
m₇
*0_1
x
x
X
*1_0
x
x
X
*_1 _
x
x
X
*11_
x
x
X
√
√
Utama
F₀
F₁
F₁
F₂
F₁,₂
F₀,₁,₂
F₀(x,y,z)
*000
*_11
√
m₁
X
√
X
F₁(x,y,z)
m₃
x
√
x
√
m₄
x
m₆
x
m₇
x
√
√
x
x
x
√
√
√
m₂
F₂(x,y,z)
m₃
m₆
m₇
x
x
x
X
x
x
x
X
√
√
√
√
√
√
x
x
x
√
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
X
√
Bentuk minimal dari persamaan keluaran didapat dengan cara yang mirip dengan
proses reduksi tabular. Dimulai dengan prime implicant (implikan utama) esensial.
Misalnya, minterm m₀ pada Fungsi F₀ hanya dicakup oleh prime implicant (implikan
utama) 000, sehingga 000 adalah esensial.
Baris yang berisi 000 kemudian dihapus dari Tabel, demikian juga kolom
yang berisi tanda cek pada baris tersebut. Proses berlanjut sampai semua Fungsi sudah
tercakup atau tinggal prime implicant (implikan utama) non esensial yang tersisa.
Cara menentukan himpunan terkecil dari prime implicant (implikan
utama) yang mencakup semua Fungsi adalah dengan cara yang sudah dijelaskan pada
bagian sebelumnya. Tanda asterisk (*) pada Tabel 3.7, adalah prime implicant
(implikan utama) esensial.
Pada kasus ini, hanya ada satu prime implicant (implikan utama) non
esensial yang tersisa, tetapi semua mintermnya sudah terwakili oleh prime implicant
(implikan utama) esensial, sehingga tidak perlu dibuat Tabel reduksi. Persamaan
tereduksinya menjadi:
F₀ (x, y, z)
=
x y z + y z
=
x z + x z + y z
F₂ (x, y, z)
=
y
F₁ (x, y, z)
3.2
Keunggulan dan Kelemahan Metode Quine-McCluskey
Untuk fungsi-fungsi dengan cacah peubah yang lebih besar dari 6, terlebih untuk
sistem dengan keluaran ganda Multiple Input Multiple Output (MIMO) di mana
beberapa keluaran harus disederhanakan secara serentak, pemakaian peta Karnaugh
menjadi sangat sulit. Disamping itu, bila suatu kotak dalam peta Karnaugh
mempunyai kemungkinan penggabungan dengan beberapa kotak berdekatan, sering
kita tak dapat segera menentukan penggabungan mana yang terbaik. Kesulitankesulitan ini dapat diatasi oleh metoda tabulasi yang diajukan oleh Quine dan
disempurnakan oleh McCluskey, dan karena itu disebut metoda Quine-McCluskey.
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
Walaupun metoda tabulasi sedikit membosankan bila dilakukan dengan tangan
(manual), tetapi penyederhanaan metode ini sangat sistematis dan cocok untuk
penyederhanaan dengan memakai komputer digital. Tidak ada batasan untuk jumlah
peubah dan juga dapat dipakai untuk sistem dengan keluaran ganda. Tetapi fungsi
yang akan disederhanakan dengan metoda tabulasi haruslah dalam bentuk jumlah
perkalian. Bila fungsi itu masih dalam bentuk perkalian-jumlah, maka terlebih dahulu
harus diubah ke bentuk jumlah-perkalian.
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1
Kesimpulan
Dari hasil pembahasan yang dilakukan, dapat disimpulkan bahwa:
1.
Penyederhanaan Fungsi Boolean rangkaian dalam metode Quine-McCluskey
dapat dilakukan dengan cara tabel reduksi.
2.
Menetapkan suku perkalian yang tersisa sebagai prime implicant (implikan
utama).
3.
Mencari prime implicant (implikan utama) inti dari implikan- implikan utama
yang diperoleh, dengan cara membentuk Tabel prime implicant (implikan
utama).
4.
Menerapkan prosedur covering untuk memperoleh Fungsi Boolean yang paling
sederhana.
4.2
Saran
Adapun saran penulis dari kesimpulan pembahasan di atas, yaitu:
Contoh studi kasus pada tugas akhir ini masih terbatas pada Fungsi Boolean rangkaian
digital yang ditentukan secara lengkap. Diharapkan kepada yang berminat dapat
melanjutkan ke penyederhanaan Fungsi Boolean rangkaian yang tidak ditentukan
secara lengkap dan Fungsi Boolean rangkaian digital sampai ke n buah variabel dan n
buah minterm.
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009
DAFTAR PUSTAKA
Hill, Fredrick J., Gerald R. Peterson., 1981, Introduction to Switching Theory &
Logical design, Third Edition, Jhon Wiley & Sons, New York.
Holdsworth, B., 1993, Digital Logic Design, Third Edition, Butterworth Heineman,
London.
Lance, Larry R., John R. Hinton, 1986, Elementary Mathematics for Computing,
Addison-Wesley Publishing Company, London.
Lee, Samuel C., Sutisno, 1994, Rangkaian Digital dan Rangkaian Logika, Erlangga,
Jakarta.
Mowle, Frederic J., 1997, A Systematic Approach to Digital Logic Design, Addison
Wesley Publishing Company, London.
Nelson, Victor P., Nagle, Troy H., 1996, Digital Logic Circuit Analysis and Design,
Prentice Hall International Inc, London.
Tarigan, Pernantin, 1995, Rangkaian Logika Digital, USU Press, Medan.
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009.
USU Repository © 2009