Paper Template in One-Column Format

Sintesis dan Penyederhanaan Fungsi Logika dengan Peta Karnaugh
Hadha Afrisal, 35448-TE
Jurusan Teknik Elektro FT UGM,
Yogyakarta
1.1
PENDAHULUAN
Telah dutunjukkan pada bab sebelumnya bahwa penyederhanaan fungsi Boolean secara aljabar cukup
membosankan dan hasilnya dapat berbeda tiap-tiap orang yang menyederhanakan, tergantung kemampuan
logika dan pola masing-masing orang. Hasil penyederhanaan juga belum tentu fungsi minimum, padahal
yang menjadi tujuan penyederhanaan adalah memperoleh fungsi logika yang paling sederhana, sehingga
implementasi di hardware juga paling sederhana.
Cara lain untuk mempermudah proses penyederhanaan adalah menggunakan Karnaugh Mapping. Peta
Karnaugh menggambarkan harga atau keadaan suatu fungsi logika untuk setiap kombinasi masukan yang
mungkin dibentuk. Jadi sebenarnya, peta Karnaugh memetakan tabel kebenaran dalam kotak-kotak segi
empat yang jumlahnya tergantung dari jumlah peubah masukan. Untuk fungsi dengan 2 buah variabel, peta
Karnaugh akan terdiri dari 22 kotak, sedangkan untuk 3 buah variabel memiliki 23 kotak dan seterusnya.
Dimana tiap kotak merepresentasi nilai 0 dan 1 yang menunjukkan keadaan fungsi. Namun untuk
mempermudah, biasanya dibuat peta Karnaugh dengan 4 kotak, sehingga jika masukan lebih dari 2, maka
akan dilakukan kombinasi masukan. Peta Karnaugh juga memudahkan menyederhanakan fungsi yang
memiliki banyak output yang tidak mampu ditangani dengan penyederhanaan secara aljabar.
1.2
TERMINOLOGI
Banyaknya penelitian mengenai teknik sintesis dan penyederhanaan sistem logika, mengakibatkan
banyaknya paper dan jurnal yang menggunakan istilah-istilah yang berbeda-beda, padahal hal yang
dimaksud merupakan hal yang sama. Sehingga pada bab ini akan diberikan beberapa istilah dan artinya.
Literal
Sebuah product term terdiri dari kombinasi beberapa variabel, jumlah variabel yang menyusun sebuah
product term itulah yang disebut Literal.
= 3 literal
= 4 literal
Implicant
Implicant merupakan product term yang memilki nilai logika output 1 (minterm). Sebagai contoh adalah
pada Gambar 1, implicant berjumlah 11, yaitu 5 buah minterm 3 lateral, 5 buah minterm 2 lateral, dan 1
buah minterm 1 lateral.
minterm 3 lateral
minterm 2 literal
minterm 1 literal
Prime Implicant
Prime implicant merupakan implicant yang paling sederhana, sehingga tidak bisa disederhanakan lagi
menjadi implicant-implicant yang lebih kecil.
Gambar 1. Peta Karnaugh dengan metode penyederhanaan SOP untuk fungsi logika 1.
Sehingga dari peta Karnaugh Gambar 1, prime implicant adalah,


Cover
Merupakan representasi dari fungsi logika, yang berupa kumpulan dari implicant-implicant.
merupakan cover implementasi fungsi Gambar 1 sebelum disederhanakan.
merupakan cover yang juga valid dari fungsi Gambar 1.
merupakan cover yang paling sederhana dari fungsi Gambar 1.
Cost
Cost merupakan jumlah dari gerbang logika yang digunakan ditambah jumlah input-input dari semua
gerbang logika dari rangkaian. Seperti misalnya pada Gambar 1, dimana fungsi logika sudah
disederhanakan, maka jumlah total cost-nya adalah 6, yaitu 3 buah gerbang logika (AND 1 buah, OR 1
buah, NOT 1 buah), dan 3 buah masukan.
1.3
PROSEDUR MINIMISASI FUNGSI LOGIKA
Pada perancangan rangkaian logika, salah satu hal terpenting adalah memperoleh fungsi logika yang
paling sederhana, yaitu cover terdiri dari prime implicant. Namun selain itu, pada beberapa kasus, misal
pada PLD (Programmable Logic Devices) beberapa implicant yang penting dan mempengaruhi proses
tertentu harus disertakan, yang disebut essential implicant. Sehingga fungsi logika yang dihasilkan bukanlah
yang paling sederhana, namun merupakan rangkaian paling minimum yang sudah meliputi fungsi-fungsi
tertentu. Untuk nilai logika don’t care (D), nilai bisa dianggap bernilai 1 atau 0, sehingga pada proses
sintesis bisa digunakan ataupun tidak.
Pada bagian ini akan dijelaskan cara memasukkan essential implicant ke dalam fungsi logika. Sebagai
contoh adalah Gambar 2.
Gambar 2. Peta Karnaugh dengan metode penyederhanaan SOP untuk fungsi logika 2.
Misalnya, pada sebuah perancangan, essential implicant yang ditentukan adalah sebagai berikut,
maka pada perancangan, implicant tersebut wajib disertkan. Ketiga essential implicant tersebut sudah
meliputi semua minterm kecuali m7 sehingga, kita juga harus menyertakan prime implicant yang belum
dianggap sebagai essential implicant ke dalam fungsi logika.
, kedua prime implicant tersebut
sama-sama meliputi m7 sehingga bisa dipilih salah satu.
akhirnya bisa dipilih karena memiliki bentuk
yang lebih sederhana. Sehingga fungsi logika yang terbentuk adalah,
Sehingga tahapan-tahapan dalam sintesis dan penyederhanaan fungsi logika adalah,
1. Menentukan semua prime implicant dengan metode peta Karnaugh.
2. Menentukan essential implicant.
3. Jika essential implicant bisa meliputi semua minterm (yang menghasilkan f=1), maka cover dapat
langsung ditentukan dengan menggunakan essential implicant.
4. Namun jika tidak, cover harus ditentukan dengan cara menambahkan prime implicant. Pemilihan
prime implicant ditentukan dengan mempertimbangkan cost yang paling rendah.
1.4
SINTESIS DAN PENYEDERHANAAN FUNGSI LOGIKA DENGAN CARA PRODUCT OF
SUM
Pada bab-bab sebelumnya proses sintesis dan penyederhanaan dilakukan dengan metode Sum of Product
(SOP). Pada bab ini kita akan membahas mengenai sintesis dan penyederhanaan fungsi logika dengan
metode POS. Dalam suatu fungsi, ada kemungkinan implementasi SOP dan POS-nya memiliki cost yang
berbeda, sehingga kemungkinan engineer digital akan membandingkan 2 jenis implementasi itu. Gambar 3
merupakan peta Karnaugh yang sama dengan Gambar 1, bedanya adalah sintesis dan penyederhanaan
dilakukan dengan metode POS.
Gambar 3. Peta Karnaugh dengan metode penyederhanaan POS untuk fungsi logika 1.
Fungsi logika yang disintesis adalah sebagai berikut,
Gambar 4. Peta Karnaugh dengan metode penyederhanaan POS untuk fungsi logika 2.
Fungsi logika yang disintesis adalah sebagai berikut,
Dari fungsi-fungsi yang disintesis dengan POS tersebut jika dibandingkan dengan sintesis dengan SOP
akan memiliki cost yang berbeda. Fungsi pertama (pada Gambar 1/Gambar 3) memiliki cost yang lebih
besar daripada jika disintesis dengan metode SOP. Namun fungsi kedua (pada Gambar 2/Gambar 4) sintesis
POS menghasilkan cost yang lebih kecil daripada SOP.
Selain menggunakan metode peta Karnaugh, untuk membandingkan implementasi SOP ke POS atau
sebaliknya bisa dilakukan dengan menggunakan teorema DeMorgan.
Untuk fungsi logika pertama,
Untuk fungsi logika kedua,
1.5
RANGKAIAN LOGIKA MULTIPLE OUTPUT
Dari bab-bab sebelumnya, rangkaian yang disintesis memiliki multiple input dengan single output, pada
bab ini selanjutnya akan dibahas rangakaian logika multiple output, atau bisa juga disebut gate-sharing.
Adanya gate-sharing ini memungkinkan implementasi yang lebih murah untuk rangkaian digital dengan
fungsi yang berbeda.
Sebagai contoh adalah 2 buah fungsi berikut, f1 dan f2.
Gambar 5. f1 (Fungsi logika 1)
Gambar 6. f2 (Fungsi logika 2)
Gambar 7. Hasil implementasi multiple output fungsi 1 dan 2
REFERENCES
[1] Stephen Brown, Zvonko Vranesic, “Fundamentals of Digital Logic with Verilog Design”
[2] R. Hidayat, “Paper Template in One-Column Format”, http://www.te.ugm.ac.id/~risanuri