Aplikasi Fungsi Transenden

KU201210 Kalkulus 2
Aplikasi Fungsi Transenden
Tim Dosen Kalkulus
Institut Teknologi Kalimantan
10 Maret 2021
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Tim Dosen Kalkulus
KU201210 Kalkulus 2
10 Maret 2021 2/20
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑡), menunjukkan jumlah populasi pada saat waktu ke 𝑡. Tampaknya
masuk akal untuk menganggap bahwa peningkatan ∆𝑦 dalam populasi selama
periode waktu singkat ∆𝑡 sebanding dengan jumlah populasi pada awal periode, dan
dengan lamanya periode itu. Jadi ∆𝑦 = 𝑘𝑦∆𝑡, atau
∆𝑦
= 𝑘𝑦
∆𝑡
Tim Dosen Kalkulus
KU201210 Kalkulus 2
10 Maret 2021 3/20
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Dalam bentuk limit, kita dapatkan bentuk persamaan diferensial
𝑑𝑦
= 𝑘𝑦
𝑑𝑡
Jika 𝑘 > 0, maka populasi akan naik. Jika 𝑘 < 0, maka populasi akan
turun. Untuk populasi dunia, sejarah mengindikasikan nilai 𝑘 sekitar 0,0132
(dengan mengasumsikan 𝑡 yang diukur dalam tahun)
Tim Dosen Kalkulus
KU201210 Kalkulus 2
10 Maret 2021 4/20
Menyelesaikan Persamaan Diferensial
𝑑𝑦
= 𝑘 𝑑𝑡
𝑦
𝑑𝑦
න
= න 𝑘 𝑑𝑡
𝑦
ln 𝑦 = 𝑘𝑡 + 𝑐
Syarat 𝑦 = 𝑦0 pada saat 𝑡 = 0 memberikan 𝐶 = ln 𝑦0. Dengan demikian,
ln 𝑦 − ln 𝑦0 = 𝑘𝑡 ↔
𝑦
= 𝑒 𝑘𝑡
𝑦0
atau
𝑦 = 𝑦0 𝑒 𝑘𝑡
Tim Dosen Kalkulus
KU201210 Kalkulus 2
10 Maret 2021 5/20
Menyelesaikan Persamaan Diferensial
Saat 𝑘 > 0, tipe persamaan disebut pertumbuhan eksponensial, dan saat
𝑘 < 0, disebut sebagai peluruhan eksponensial. Kembali ke permasalahan
populasi dunia, kita coba untuk menghitung 𝑡 sebagai waktu dalam satuan
tahun setelah 1 Januari 2004, dan 𝑦 dalam satuan miliar orang. Dengan
demikian, 𝑦0 = 6,4 dan kita pilih 𝑘 = 0,0132, maka
𝑦 = 6,4𝑒 0,0132𝑡
Menjelang tahun 2020, saat 𝑡 = 16, kita bisa memprekdisikan bahwa 𝑦
akan sekitar
𝑦 = 6,4𝑒 0,0132
Tim Dosen Kalkulus
16
≈ 7,9 miliar orang
KU201210 Kalkulus 2
10 Maret 2021 6/20
Contoh
Contoh
Berdasarkan asumsi di atas, berapa lama jumlah populasi dunia menjadi dua
kali dari jumlah sekarang?
Penyelesaian
Pertanyaan tersebut ekuivalen dengan menanyakan "dalam berapa tahun
setelah 2004, populasi akan mencapai 12,8 miliar?" Dengan demikian, kita perlu
menyelesaikan
12,8 = 6,4𝑒 0,0132𝑡
2 = 𝑒 0,0132𝑡
ln 2 = 0,0132𝑡
ln 2
𝑡=
≈ 53 tahun
0,0132
Jadi populasi dunia akan menjadi dua kali lipat pada 53 tahun pertama setelah
2004
Tim Dosen Kalkulus
KU201210 Kalkulus 2
10 Maret 2021 7/20
Peluruhan Radioaktif
Dalam berbagai kasus, tidak semuanya mengalami pertumbuhan. Namun, ada
beberapa yang mengalami penurunan atau pengurangan sehingga jumlahnya
menjadi lebih kecil dari jumlah awal. Sebagai contoh, elemen radioaktif
mengalami peluruhan dengan laju yang sebanding dengan jumlah saat ini.
Dengan demikian, laju perubahannya juga memenuhi persamaan diferensial
𝑑𝑦
= 𝑘𝑦
𝑑𝑡
Tetapi dengan nilai 𝑘 negatif dan 𝑦 = 𝑦0 𝑒 𝑘𝑡 tetap menjadi solusi bagi persamaan
diferensial tersebut
Tim Dosen Kalkulus
KU201210 Kalkulus 2
10 Maret 2021 8/20
Contoh
Contoh
Carbon 14 bersifat radioaktif dan meluruh pada sebuah laju yang sebanding dengan
jumlah awalnya. Waktu paruhnya adalah 5730 tahun, yakni, ia membutuhkan 5730 tahun
untuk meluruh setengah dari jumlah aslinya. Jika saat ini terdapat 10 gram Carbon,
berapakah massanya setelah 2000 tahun?
Penyelesaian
Karena waktu paruh Carbon 14 adalah 5730 tahun, maka kita dapat menentukan nilai 𝑘
dari
1
= 1𝑒 𝑘 5730
2
Pada t = 2000, kita dapatkan
−ln 2 = 5730𝑘
2
𝑦 = 10𝑒 0,000121 2000 ≈ 7,85 𝑔𝑟𝑎𝑚
𝑘 = − ln
≈ 0,000121
5730
𝑦 = 10𝑒 0,000121𝑡
Tim Dosen Kalkulus
KU201210 Kalkulus 2
10 Maret 2021 9/20
Hukum Pendinginan Newton
Hukum Pendinginan Newton menyatakan bahwa laju perubahan pada sebuah
benda yang mendingin atau memanas sebanding dengan selisih antara suhu
benda tersebut dengan suhu lingkungan. Lebih khusus, misalkan sebuah benda
yang ditempatkan di dalam sebuah ruang bersuhu 𝑇 memiliki suhu awal 𝑇0 . Jika
𝑇 𝑡 menotasikan suhu benda pada waktu 𝑡, maka Hukum Pendinginan Newton
menyatakan
𝑑𝑇
𝑘 𝑇 − 𝑇1
𝑑𝑡
Persamaan diferensial ini bisa diselesaikan dengan pemisahan variabel
sebagaimana masalah pertumbuhan dan peluruhan pada subbab ini.
Tim Dosen Kalkulus
KU201210 Kalkulus 2
10 Maret 2021 10/20
Contoh
Contoh
Sebuah benda diambil dari oven pada suhu 350°𝐹 kemudian ditinggalkan agar
mendingin pada suatu ruang yang bersuhu 70°𝐹. Jika suhu benda tersebut turun
menjadi 250°𝐹 dalam waktu satu jam, menjadi berapakah suhunya pada tiga jam
berikutnya?
Tim Dosen Kalkulus
KU201210 Kalkulus 2
10 Maret 2021 11/20
Contoh
Penyelesaian
Kita bisa menulis persamaan diferensial sebagai berikut,
𝑑𝑇
= 𝑘(𝑇 − 70)
𝑑𝑡
𝑑𝑇
= 𝑘 𝑑𝑡
𝑇 − 70
න
𝑑𝑇
= න 𝑘 𝑑𝑡
𝑇 − 70
ln 𝑇 − 70 = 𝑘𝑡 + 𝐶
Karena suhu awalnya lebih besar dari 70, maka cukup masuk akal jika benda
tersebut akan mendingin hingga suhunya mencapai 70, dengan demikian 𝑇 − 70
akan bernilai positif dan nilai mutlaknya tidak dibutuhkan.
Tim Dosen Kalkulus
KU201210 Kalkulus 2
10 Maret 2021 12/20
Contoh
Penyelesaian
Akibatnya,
𝑇 − 70 = 𝑒 𝑘𝑡 + 𝑐
𝑇 = 70 + 𝐶1 𝑒 𝑘𝑡
Dengan 𝐶1 = 𝑒 𝐶 . Sekarang kita substitusikan nilai 𝑇 0 = 350 untuk
mendapatkan 𝐶1 :
350 = 𝑇 0 = 70 + 𝐶1 𝑒 𝑘∙0
280 = 𝐶1
Dengan demikian, solusi dari persamaan diferensial adalah
𝑇 𝑡 = 70 + 280𝑒 𝑘𝑡
Tim Dosen Kalkulus
KU201210 Kalkulus 2
10 Maret 2021 13/20
Contoh
Penyelesaian
Untuk mendapatkan 𝑘 kita masukkan syarat batas bahwa pada waktu 𝑡 = 1,
benda tersebut bersuhu 𝑇 1 = 250.
250 = 𝑇 1 = 70 + 280𝑒 𝑘∙1
280𝑒 𝑘 = 180
𝑒𝑘 =
𝑘=
180
280
180
ln
280
≈ −0,44183
Akibatnya, kita peroleh solusi
𝑇 𝑡 = 70 + 280𝑒 −0,44183𝑡
Tim Dosen Kalkulus
KU201210 Kalkulus 2
10 Maret 2021 14/20
Contoh
Penyelesaian
Lihat gambar. Setelah 3 jam suhunya adalah
𝑇 𝑡 = 70 + 280𝑒 −0,44183∙3 ≈ 144,4°𝐹
Tim Dosen Kalkulus
KU201210 Kalkulus 2
10 Maret 2021 15/20
Bunga Majemuk
Jika kita menabung di bank 𝑅𝑝 100 juta dengan suku bunga majemuk bulanan
12%, maka tabungan tersebut akan bernilai 𝑅𝑝 100(1, 01) juta pada akhir bulan
pertama, 𝑅𝑝 100 1, 01 2 juta pada akhir bulan kedua, dan setelah satu tahun atau
pada akhir bulan keduabelas besarnya tabungan adalah 𝑅𝑝 100 1, 01 12 juta.
Secara umum, jika kita menabung sebesar 𝐴0 rupiah di bank dengan suku bunga
majemuk 100𝑟 persen selama 𝑛 tahun, maka tabungan tersebut akan bernilai
𝐴(𝑡) rupiah pada akhir tahun ke 𝑡 dengan
𝐴 𝑡 = 𝐴0 1 +
Tim Dosen Kalkulus
KU201210 Kalkulus 2
𝑟
𝑛
𝑛𝑡
10 Maret 2021 16/20
Contoh
Contoh
Misalkan Karina menabung di bank sebesar Rp 500 juta dengan suku bunga
majemuk harian 4%. Berapakah uang Karina setelah akhir tahun ketiga?
Penyelesaian
Dalam kasus ini, 𝑟 = 0,04 dan 𝑛 = 365, sehingga
𝐴 = 500 1 +
Tim Dosen Kalkulus
0,04 365 3
365
≈ 𝑅𝑝 563,74 juta
KU201210 Kalkulus 2
10 Maret 2021 17/20
Bunga Majemuk
Sekarang, perhatikan apa yang terjadi apabila suku bunganya terhitung secara
kontinu, yakni saat 𝑛, banyaknya periode yang terhitung dalam satu tahun,
menuju tak hingga. Maka,
𝑟
1+
𝑛
𝐴 𝑡 = lim 𝐴0
𝑛→∞
= 𝐴0 lim 1 + ℎ
𝑛𝑡
= 𝐴0 lim
1
ℎ
ℎ→0
𝑟𝑡
𝑛→∞
𝑟
1+
𝑛
𝑛 𝑟𝑡
𝑟
= 𝐴0 𝑒 𝑟𝑡
Di sini kita mengganti 𝑟Τ𝑛 dengan ℎ dan perhatikan bahwa 𝑛 → ∞ bersesuaian
dengan ℎ → ∞. Namun, langkah besarnya adalah memahami bahwa pernyataan
yang ada di dalam kurung adalah bilangan 𝑒 . Hasil ini cukup penting dan
karenanya disebut dalam sebuah teorema sebagai berikut
Theorem
lim 1 + ℎ
ℎ→0
Tim Dosen Kalkulus
1/ℎ
=𝑒
KU201210 Kalkulus 2
10 Maret 2021 18/20
Bunga Majemuk
Bukti
Pertama kita ingat kembali bahwa jika 𝑓 𝑥 = ln 𝑥, maka 𝑓 ′ 𝑥 = 1/𝑥 dan 𝑓 ′ 1 = 1.
Kemudian, berdasarkan definisi turunan dan sifat-sifat dari ln, kita dapatkan
𝑓 1 + ℎ − 𝑓(1)
ln 1 + ℎ − ln 1
1 = 𝑓 ′ 𝑥 = lim
= lim
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
ℎ
1
= lim ln 1 + ℎ = lim ln 1 + ℎ
Dengan demikian, lim ln
ℎ→0
𝑒𝑥 =
ℎ→0 ℎ
1 + ℎ 1/ℎ
1/ℎ
ℎ→0
= 1, sebuah hasil yang akan kita gunakan nanti.
Sekarang, 𝑔 𝑥 =
exp 𝑥 adalah fungsi yang kontinu dan oleh karenanya ia dapat
mencapai limit pada fungsi eksponensial dalam argumen berikut:
lim ln 1 + ℎ
ℎ→0
1/ℎ
= lim exp[ ln 1 + ℎ
ℎ→0
1/ℎ ]
= exp lim ln 1 + ℎ
ℎ→0
1
ℎ
= exp 1 = 𝑒
Tim Dosen Kalkulus
KU201210 Kalkulus 2
10 Maret 2021 19/20
Contoh
Contoh
Misalkan Karina menabung di bank sebesar Rp 500 juta dengan suku bunga
majemuk kontinu harian 4% Berapa banyak uang Karina yang akan diterima
setelah akhir tahun ketiga?
Penyelesaian
𝐴 𝑡 = 𝐴0 𝑒 𝑟𝑡 = 500.000.000𝑒
0,04 3
≈ 𝑅𝑝 563.750.000
Cara lain untuk menghitung pembayaran suku bunga majemuk yang dibayarkan
secara kontinu. Misalkan 𝐴 adalah besarnya modal pada waktu 𝑡 dari 𝐴0 rupiah yang
diinvestasikan dengan suku bunga 𝑟 , dengan mengatakan bahwa laju perubahan
𝐴 terhadap waktu adalah 𝑟𝐴, dengan demikian,
𝑑𝐴
= 𝑟𝐴
𝑑𝑡
Persamaan diferensial ini mempunyai solusi 𝐴 = 𝐴0 𝑒 𝑟𝑡
Tim Dosen Kalkulus
KU201210 Kalkulus 2
10 Maret 2021 20/20
Terima Kasih