NAMA :______________________________________ KELAS : XI____________ PERSAMAAN & FUNGSI KUADRAT A. Persamaan Kuadrat Definisi : Persamaan kuadrat dalam 𝑥 adalah suatu persamaan dengan pangkat tertinggi dari variabelnya adalah dua Bentuk umum 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Contoh : 1) 2) 3) 4) 5) 𝑥 2 + 𝑥 − 1 = 0 ⇒ Persamaan kuadrat dengan 𝑎 = , 𝑏 = , 𝑐 = 2𝑥 2 + 3𝑥 + 1 = 0 ⇒ Persamaan kuadrat dengan 𝑎 = , 𝑏 = , 𝑐 = 4𝑥 − 5 = 0 ⇒ 3𝑥 2 − 𝑥 = 4 ⇒ 𝑥2 − 9 = 0 ⇒ ➢ Menentukan akar – akar persamaan kuadrat Bentuk penyelesaian dari persamaan kuadrat adalah akar – akar persamaan kuadrat. Ada beberapa cara untuk menentukan akar – akar persamaan kuadrat, yaitu : A. PEMFAKTORAN Bentuk umum persamaan kuadrat : 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Jika 𝒂 = 1 ⇒ 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 difaktorkan menjadi (𝑥 + 𝑚)(𝑥 + 𝑛) = 0, dimana 𝑏 = 𝑚 + 𝑛 dan 𝑐 = 𝑚 × 𝑛 sehingga akar – akar persamaan kuadratnya : 𝑥+𝑚 =0 𝑥+𝑛 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 0 − 𝑚 = −𝑚 𝑥 = 0 − 𝑛 = −𝑛 Contoh: Bilangan tersebut adalah___dan ___ 1. 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = 0 , 𝑎 = ,𝑏 = , 𝑐 = Sehingga, Cari dua bilangan sehingga hasil 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = 0 kalinya 𝑐 = 𝑚 × 𝑛 = × = (𝑥 + )(𝑥 + )=0 𝑥+ = 0 𝑥+ = 0 dan jumlahnya 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 𝑥= 𝑏 =𝑚+𝑛 = + = *Jadi akar persamaan kuadratnya adalah ______ 2. 𝑥 2 − 2𝑥 − 8 = 0, 4. 𝑥 2 + 2𝑥 − 15 = 0 3. 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0, 5. 𝑥 2 − 3𝑥 − 18 = 0 Jika 𝑎 > 1 a) 2𝑥 2 + 3𝑥 + 1 = 0 b) 2𝑥 2 + 3𝑥 − 2 = 0 b) 3𝑥 2 − 7𝑥 − 6 = 0 d) 6𝑥 2 + 4𝑥 − 10 = 0 B. Melengkapi kuadrat sempurna Cara ini dilakukan dengan manipulasi aljabar dari suatu persamaan kuadrat sehingga didalam persamaan kuadrat tersebut terdapat bentuk kuadrat sempurna. Contoh : a) Tentukan akar – akar persamaan kuadrat : 𝑥 2 + 4𝑥 − 5 = 0 • Pindahkan konstanta c ke ruas sebelahnya, sehinggan berbentuk: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = −𝑐. 𝑥 2 + 4𝑥 = 0 + 5 = 5 1 2 1 2 • Kedua ruas ditambah (2 𝑏) = (2 × 4) = (2)2 = 4 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 = 5 + 4 (𝑥 + 2)2 = 9 𝑥 + 2 = ±√9 = ±3 𝑥 = ±3 − 2 Jadi : 𝑥1 = +3 − 2 𝑥2 = −3 − 2 𝑥1 = 1 𝑥2 = −5 *Akar – akar persamaan kuadratnya adalah {−5, 1} b) Tentukan akar – akar persamaan kuadrat 𝑥 2 + 3𝑥 − 10 = 0 Bentuk Kuadrat Sempurna 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)2 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 = (𝑥 + 2)2 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = (𝑥 + 3)2 𝑥 2 + 8𝑥 + 16 = ......... 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 = (𝑥 − 1)2 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 = (𝑥 − 2)2 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = C. Rumus ABC Akar – akar persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dengan 𝑎, 𝑏 dan 𝑐 bilangan real dan 𝑎 ≠ 0 adalah 2 𝑥1,2 = −𝑏±√𝑏 −4𝑎.𝑐 2𝑎 Dimana, 𝑏2 − 4𝑎. 𝑐 = 𝐷 ∶ 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑟𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛 Contoh : Tentukan akar – akar persamaan kuadrat 𝑥 2 + 4𝑥 − 5 = 0. Jawab : Diketahui persamaan kuadrat 𝑥 2 + 4𝑥 − 5 = 0, Dari persamaan kuadrat tersebut, didapatkan nilai 𝑎 = 1, 𝑏 = 4, 𝑐 = −5 Maka, akar-akar persamaan kuadratnya adalah : 𝑥1,2 = 𝑥1,2 = 𝑥1 = 𝑥2 = −𝑏±√𝑏2 −4𝑎.𝑐 2𝑎 −4±√42 −4(1)(−5) 2(1) −4+6 2 −4−6 2 = −4±√16+20 2 = −4±√36 2 = −4±6 2 2 = =1 2 = −10 2 = −5 Jadi, akar-akar persamaan kuadratnya adalah {−5,1} ➢ Jenis – jenis Akar Persamaan Kuadrat dikaitkan dengan nilai Diskriminan 1) Jika 𝐷 > 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real berlainan. 2) Jika 𝐷 < 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar yang nyata atau akar – akar imajiner. 3) Jika 𝐷 = 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang sama (kembar). 1. Contoh Selidikilah jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut tanpa mencari akarnya terlebih dahulu a. 𝑥 2 + 10𝑥 + 25 = 0 b. 𝑥 2 + 𝑥 + 3 = 0 c. 𝑥 2 − 2𝑥 − 35 = 0 2. Tentukan nilai 𝑘 agar persamaan kuadrat 𝑥 2 + 8𝑥 + 2𝑘 − 4 = 0 mempunyai akar kembar (sama). Kemudian tentukan akar persamaan kuadrat tersebut. ➢ Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar – akar Persamaan Kuadrat Persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 adalah bilangan real dan 𝑎 ≠ 0, dengan akar – akar 𝑥1 dan 𝑥2 . Maka: dan 𝑥1 . 𝑥2 = 𝑥 +𝑥 = 1 2 Contoh : Diketahui persamaan kuadrat 𝑥 2 + 4𝑥 − 1 = 0, mempunyai akar – akar 𝑥1 dan 𝑥2 . Tentukan : a. 𝑥1 + 𝑥2 c. 𝑥1 2 + 𝑥2 2 1 1 b. 𝑥1 . 𝑥2 d. 𝑥 + 𝑥 1 Jawab : Diketahui: 𝑥 2 + 4𝑥 − 1 = 0, 𝑎 = , 𝑏 = a. 𝑥1 + 𝑥2 = b. 𝑥1 . 𝑥2 = 2 , 𝑐= = ........... = ............. c. 𝑥1 2 + 𝑥2 2 = (𝑥1 + 𝑥2 )2 − 2𝑥1 . 𝑥2 = (… … … … … )2 − 2(… … … … ) d. 1 𝑥1 1 +𝑥 = 2 𝑥2 +𝑥1 𝑥1 .𝑥2 = ( ) ➢ Menentukan Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Akar – Akarnya Sebuah persamaan kuadrat diketahui akar – akarnya 𝑥1 𝑑𝑎𝑛 𝑥2, maka persamaan kuadratnya adalah: (𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) = 0 𝑥 2 − (𝑥1 + 𝑥2 )𝑥 + 𝑥1 . 𝑥2 = 0 Contoh : Tentukan persamaan kuadrat akar – akarnya: a. −3 dan 5 Jawab : a. 𝑥1 = −3 , 𝑥2 = 5 b. 4 dan − 1 2 b. 𝑥1 = 4, 𝑥2 = − 1 2 B. Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi dalam himpunan bilangan yang dinyatakan dengan rumus fungsi berikut : 𝑓(𝑥 ) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 dan 𝑎 ≠ 0. ➢ Untuk menggambarkan grafik fungsi kuadrat pada sumbu koordinat cartesius, lambang 𝑓(𝑥) diganti dengan 𝑦 sehingga : 𝑓 (𝑥 ) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dapat ditulis : 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. ➢ Grafik Fungsi Kuadrat : 𝑓 (𝑥 ) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 berbentuk parabola simetris. ➢ Sifat – sifat Grafik Fungsi Kuadrat : • Jika 𝑎 > 0 (positif) maka: ............ • Jika 𝑎 < 0 (negatif) maka: ............ Nilai a Nilai D 𝐷=0 𝐷<0 𝐷>0 𝑎<0 𝑎>0 ➢ Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat Langkah – langkah menggambar grafik fungsi kuadrat : 1) Menentukan titik potong dengan sumbu 𝑥 dan sumbu 𝑦. • Titik potong sumbu 𝑥 diperoleh jika 𝑦 = 0 • Titik potong sumbu 𝑦 diperoleh jika 𝑥 = 0 2) Menentukan sumbu simetri dan koordinat titik balik. • Sumbu simetri adalah 𝒙 = − 𝒃 𝟐𝒂 • Koordinat titik balik / titik puncak : (− 𝒃 𝑫 , − 𝟒𝒂) 𝟐𝒂 3) Menentukan beberapa titik bantu lainnya (jika diperlukan), ambil sembarang nilai 𝑥 ∈ 𝑅 kemudian subtitusikan ke persamaan fungsi kuadrat, titik tersebut merupakan titik bantu. Hubungkan titik – titik tersebut untuk mendapatkan grafik fungsi yang diinginkan. Contoh : Gambarkan grafik fungsi kuadrat 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 − 5 Jawab : 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 − 5 ⇒ 𝑎 = 1, 𝑏 = −4, 𝑐 = −5 (1) Titik potong dengan sumbu 𝑥 (𝑦 = 0) 𝑥 2 − 4𝑥 − 5 = 0 Jadi titik potong dengan sumbu 𝑥 adalah titik ( ) dan ( (2) Titik potong dengan sumbu 𝑦 (𝑥 = 0) 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 − 5 Jadi titik potong grafik dengan sumbu 𝑦 adalah ( ) ) (3) Sumbu simetri : 𝑥 = − 𝑏 2𝑎 =− Koordinat titik balik : 𝑦 = − −4 2( 1) 𝐷 4 = =2 = 4𝑎 2 −(𝑏2 −4𝑎𝑐 ) 4𝑎 −(… …2 − 4(… … )(… … )) = 4 × …… − (… … − ⋯ … ) − (… … … … ) = = = ⋯…… …… …… , ) Jadi koordinat titik baliknya adalah ( (4) Menentukan beberapa titik bantu, misal untuk 𝑥 = 1, maka : 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 − 5 𝑦 = 12 − 4.1 − 5 = −8 Jadi titik bantunya (1, −8) (5) Gambarkan grafiknya LATIHAN 1 1. Carilah akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 − 7𝑥 + 6 = 0 dengan menggunakan faktorisasi. Jawab : 2. Carilah akar-akar persamaan kuadrat 3𝑥 2 − 5𝑥 − 2 = 0 dengan menggunakan rumus ABC. Jawab : 3. Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat berikut : (gunakan satu cara yang menurut anda paling mudah) a. 𝑥 2 + 6𝑥 − 16 = 0 jawab : b. 𝑥 2 + 10𝑥 + 21 = 0 jawab : c. 𝑥 2 − 4𝑥 − 12 = 0 jawab : d. 𝑥 2 − 11𝑥 + 18 = 0 jawab : e. 2𝑥 2 + 7𝑥 + 5 = 0 jawab : f. 3𝑥 2 − 9𝑥 + 6 = 0 jawab : g. 4𝑥 2 − 6𝑥 − 4 = 0 jawab : h. 2𝑥 2 + 3𝑥 − 14 = 0 jawab : LATIHAN 2 1. Tentukan hasil jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat berikut : a. 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 = 0 Jawab : b. 2𝑥 2 − 3𝑥 + 4 = 0 Jawab : 2. Jika 𝑥1 dan 𝑥2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 + 5𝑥 + 3 = 0. Tentukan : a. 𝑥1 + 𝑥2 Jawab : b. 𝑥1 ∙ 𝑥2 Jawab : c. 𝑥12 + 𝑥22 Jawab : d. 1 1 𝑥1 +𝑥 2 Jawab : 3. Susunlah persamaan kuadrat jika akar-akarnya sebagai berikut : a. −2 dan 5 Jawab : b. −1 dan −4 Jawab : c. 1 3 dan 6 Jawab : LATIHAN 3 Tuliskan langkah-langkah menggambar dan Gambarkan grafik dari fungsi kuadrat berikut: 1. 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 2. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 9 3. 𝑓 (𝑥 ) = −𝑥 2 + 2𝑥 + 8 Contoh Soal Penerapan Fungsi Kuadrat 1. Lintasan sebuah peluru yang ditembakan vertikal ke atas setinggi ℎ meter dalam waktu 𝑡 detik, dinyatakan dengan rumus ℎ = 40𝑡 − 5𝑡 2 . Tentukan : a) Waktu yang diperlukan untuk mencapai tinggi maksimum. b) Tinggi maksimum peluru tersebut. Jawab : ℎ = 40𝑡 − 5𝑡 2 ⇒ fungsi kuadrat dengan 𝑎 = ⋯ , 𝑏 = ⋯ , 𝑐 = ⋯ −𝑏 a. Tinggi maksimum (ℎ𝑚𝑎𝑥 ) dicapai pada nilai sumbu simetri, 𝑡 = 2𝑎 = = ⋯ Jadi, waktu yang diperlukan untuk mencapai tinggi maksimum adalah ..... detik. −𝐷 b. ℎ𝑚𝑎𝑥 = (*Koordinat titik balik/puncak) 4𝑎 −(𝑏2 − 4𝑎𝑐) = 4𝑎 −( ) = =⋯ Jadi, tinggi maksimum peluru adalah ...... meter 2. Seutas tali panjangnya 60 cm. tali tersebut akan dibentuk menjadi persegi panjang dengan ukuran panjang 𝑥 cm dan lebar 𝑦 cm. jika luas persegi panjang dinyatakan dengan L,tentukan : a. Nyatakan L sebagai fungsi b. Carilah luas maksimum persegi panjang tersebut. Jawab : a. Panjang tali = LATIHAN 4 1. Sebuah kembang api diluncurkan ke udara. Ketinggian kembang api pada saat 𝑡 detik adalah ℎ meter yang didefinisikan dengan rumus ℎ(𝑡) = −16𝑡 2 + 200𝑡 + 4. Kapankah kembang api itu mencapai maksimum dan berapa tinggi maksimum tersebut. 2. Tinggi ℎ meter suatu roket adalah ℎ(𝑡) = 800𝑡 − 5𝑡 2 . Tentukan tinggi maksimum roket itu apabila 𝑡 menunjukan satuan waktu dalam detik. 3. Biaya produksi suatu barang dinyatakan sebagai fungsi dari banyak barang yang diproduksi. Jika banyak barang yang diproduksi sebanyak x. Maka biayanya adalah 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2 − 20𝑥 + 150 (dalam juta rupiah). Tentukan biaya produksi minimum. 4. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam 𝑥 hari dengan biaya 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 5 dalam ratusan ribu rupiah. Banyak hari yang diperlukan agar biaya yang dikeluarkan minimum adalah…har