SMA UNGGULAN CT ARSA FOUNDATION SUKOHARJO IDENTITAS TRIGONOMETRI PERTEMUAN 1 MATEMATIKA-MINAT 1 IDENTITAS TRIGONOMETRI Pengalaman Belajar dan Istilah Penting Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran identitas trigonometri, peserta didik diharapkan memperoleh pengalaman belajar: Berlatih berpikir kritis dalam memecahkan masalah; Mengamati fenomena masalah identitas trigonometri dalam kehidupan sehari-hari; Menunjukkan kemampuan dalam memaksimalkan waktu dan hasil belajar. Istilah penting Sudut Radian Perbandingan Pythagoras Derajat Identitas Trigonometri 1.1 PEMANFAATAN TRIGONOMETRI DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI Pengertian Trigonometri Trigonometri adalah bagian dari ilmu matematika yang mempelajari tentang hubungan antara sisi dan sudut dari suatu segitiga serta fungsi dasar yang muncul dari relasi tersebut. Trigonometri sangat identik dengan fungsi trigonometri yang meliputi 𝑠𝑖𝑛𝑢𝑠 (𝑠𝑖𝑛), 𝑐𝑜𝑠𝑖𝑛𝑢𝑠 (𝑐𝑜𝑠), 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛 (𝑡𝑎𝑛), 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛 (𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐), 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛(𝑠𝑒𝑐), dan 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛 (𝑐𝑜𝑡) yang mana digunakan untuk menentukan sisi segitiga. Pengertian Identitas Trigonometri Identitas merupakan sebuah persamaan yang memenuhi semua nilai pengganti peubah persamaan tersebut. Identitas yang memuat perbandingan trigonometri disebut identitas trigonometri. Banyak konsep dasar matematika, khususnya konsep trigonometri, digunakan bagi cabang ilmu lain, misalnya fisika. Pada fisika, dikenal adanya gelombang sinusoidal, yaitu gelombang yang berbentuk persamaan sinus (persamaan trigonometri). Gelombang sinusoidal dapat ditemukan pada gelombang suara yang ditangkap telinga, setelah dikonversi ke alat listrik. Sebagaimana telah dituliskan trigonometri merupakan sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga, contohnya sinus, cosinus dan tangen. Dalam rangka untuk memahami konsep tersebut, kita harus paham terlebih dahulu tentang pengukuran sudut, perbandingan trigonometri dan nilai perbandingan sudut-sudut istimewa . Adapun penjelasan mengenai materi-materi akan dipaparkan sebagai berikut. 1|Page A PENGUKURAN SUDUT Pengukuran sudut merupakan salah satu aspek dalam pengukuran dan pemetaan kerangka maupun titik-titik detail. Dasar untuk mengukur besaran sudutnya seperti suatu lingkaran yang dibagi menjadi empat bagian, meliputi Kuadran I, II, III dan IV. 90o 180o Kuadran II sin (+) tan (+) Kuadran III Kuadran I Semua (cos, sin,tan) (+) 0o /360𝑜 cos (+) Kuadran IV 270o Ukuran sudut yang seringkali digunakan adalah ukuran sudut dalam derajat dan radian. Berikut akan dipaparkan definisi ukuran sudut dalam derajat dan radian serta hubungan ukuran derajat dengan ukuran radian. Definisi ukuran sudut dalam derajat 1 1𝑜 = 360 derajat 1𝑜 = 60′ (menit) 1′ = 60" (detik) B Definisi ukuran sudut dalam radian Besar sudut yang dihasilkan oleh perputaran sebesar jari-jari lingkaran. Hubungan ukuran derajat dengan ukuran radian 𝜋 1𝑜 = 𝑟𝑎𝑑 180𝑜 180𝑜 1 𝑟𝑎𝑑 = 𝜋 PERBANDINGAN TRIGONOMETRI THROWBACK: INGAT! ‘MAGIC SPELLS’ 𝐴 Pernahkah kalian mendengar mantra ini! Depan SINDEMI 𝐵 𝜃 𝐶 COSSAMI TANDESAM Magic spells adalah salah satu cara yang digunakan siswa untuk mempermudah siswa dalam mengingat perbandingan trigonometri. Samping Sebagai informasi, 𝑠𝑖𝑛𝑢𝑠 (𝑠𝑖𝑛), 𝑐𝑜𝑠𝑖𝑛𝑢𝑠 (𝑐𝑜𝑠) dan 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛 (𝑡𝑎𝑛) digunakan untuk menghitung sudut dengan perbandingan trigonometri sisi di segitiga. Adapun hubungannya dengan gambar segitiga di atas adalah sebagai berikut. sin 𝜃 = 𝐴𝐵 𝐷𝑒 − 𝑃𝑎𝑛 = 𝐴𝐶 𝑀𝑖 − 𝑅𝑖𝑛𝑔 SINDEMI cos 𝜃 = 𝐵𝐶 𝑆𝑎𝑚 − 𝑃𝑖𝑛𝑔 = 𝐴𝐶 𝑀𝑖 − 𝑅𝑖𝑛𝑔 COSSAMI tan 𝜃 = 𝐴𝐵 𝐷𝑒 − 𝑃𝑎𝑛 = 𝐵𝐶 𝑆𝑎𝑚 − 𝑃𝑖𝑛𝑔 TANDESAM 2|Page Apabila 𝑠𝑖𝑛𝑢𝑠 (𝑠𝑖𝑛), 𝑐𝑜𝑠𝑖𝑛𝑢𝑠 (𝑐𝑜𝑠) dan 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛 (𝑡𝑎𝑛) didefinisikan sebagai : Sinus merupakan kebalikan dari Cosecan Cosinus merupakan kebalikan dari Secan Tangen merupakan kebalikan dari Cotangen Sehingga, dapat dituliskan, 1 csc 𝜃 = sin 𝜃 sec 𝜃 = 1 cos 𝜃 cot 𝜃 = 1 tan 𝜃 Masalah Extra 1.1.1 Berdasarkan definisi tersebut, carilah hubungan antara gambar segitiga dengan 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛 (𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐), 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛(𝑠𝑒𝑐), dan 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛 (𝑐𝑜𝑡) yang dapat digunakan pula untuk menghitung sudut dengan perbandingan trigonometri sisi di segitiga. csc 𝜃 = sec 𝜃 = 1 …. = sin 𝜃 … . 1 …. = cos 𝜃 … . 1 …. cot 𝜃 = = tan 𝜃 … . C PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT ISTIMEWA Masalah Extra 1.1.2 Perbandingan Trigonometri untuk sudut khusus Ingatkah kalian tentang sudut-sudut segitiga khusus pada kelas IX SMP. Mari kita ingat kembali materi tersebut! 60𝑜 45𝑜 ξ2 1 2 1 30𝑜 45𝑜 1 ξ3 Dengan menggunakan aturan ‘magic spells’, isilah titik di bawah ini! 𝜶 𝟎𝒐 𝒔𝒊𝒏 0 𝒄𝒐𝒔 1 𝒕𝒂𝒏 0 𝟑𝟎𝒐 𝟒𝟓𝒐 𝟔𝟎𝒐 𝟗𝟎𝒐 …. …. …. 1 …. …. …. 0 …. …. …. Tidak terdefinisi 𝒄𝒐𝒕 Tidak terdefinisi …. …. …. 0 𝒔𝒆𝒄 1 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 0 …. …. …. Tidak terdefinisi …. …. …. 1 DEFINISI 1 Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya dapat dicari tanpa memakai kalkulator atau tabel matematika (0𝑜 , 30𝑜 , 45𝑜 , 60𝑜 , dan 90𝑜 ). 3|Page LATIHAN 1 1. Seorang siswa dengan tinggi 170 cm berdiri dengan jarak 50 m dari sebuah gedung. Berapakah tinggi gedung tersebut apabila sudut pandang siswa terhadap puncak gedung 60𝑜 ? 3 sin 𝜃.tan 𝜃−1 2. Jika 𝜃 sudut lancip dan cos 𝜃 = 5 , maka nilai dari 2 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 adalah …. 7 (1+sin 𝜃)(1−sin 𝜃) 𝜋 3. Jika 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛2 𝜃 = 8 dan 0 < 𝜃 < 2 , nilai dari (1+cos 𝜃)(1−cos 𝜃) adalah …. 1.2 IDENTITAS TRIGONOMETRI Identitas trigonometri ini berguna untuk mencari nilai fungsi trigonometri (persamaan trigonometri), baik untuk ukuran sudut-sudut istimewa maupun besar sudut yang dapat dihitung dengan kalkulator atau tabel nilai trigonometri. Sebelum membahas identitas trigonometri, kita akan membahas terlebih dahulu tentang identitas trigonometri dasar. A IDENTITAS TRIGONOMETRI DASAR Berdasarkan perbandingan trigonometri ‘magic spells’ dan perluasannya mengenai cosecan, secan dan cotan, siswa diajak untuk mengingat kembali hasil belajar di kelas X mengenai pendefinisian fungsi trigonometri dalam bentuk 𝑥, 𝑦 dan 𝑟 pada segitiga siku-siku, dengan keterhubungan sebagai berikut. 𝑦 𝑟 𝑥 cos 𝜃 = 𝑟 𝑦 tan 𝜃 = 𝑥 sin 𝜃 = 𝑟 𝑦 cosec 𝜃 = 𝑟 𝑦 𝑟 𝑥 𝑥 cotan 𝜃 = 𝑦 secan 𝜃 = 𝜃 𝑥 Masalah Extra 1.2.1a Dari keterhubungan tersebut, kita dapat melakukan manipulasi aljabar untuk mendapatkan fungsi tangen dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 𝑟. 𝑦 𝑦 𝑟 …. tan 𝜃 = = 𝑥 = 𝑥 …. 𝑟 Karena tan 𝜃 dan cotan 𝜃 saling berkebalikan, maka carilah …. cotan 𝜃 = …. Perhatikan teorema Pythagoras berikut! 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 (persamaan lingkaran dengan jari-jari 𝑟 dan pusat 𝑂(0,0)) 𝑥2 𝑟2 𝑦2 𝑟2 + 𝑟2 = 𝑟2 4|Page (kedua ruas dibagi dengan 𝑟 2 ) Ekspresi cos 2 𝜃 dan (cos 𝜃)2 adalah identik 𝑥 2 𝑦 2 (sama) dengan penulisan cos2 𝜃 ( ) +( ) =1 𝑟 𝑟 (cos 𝜃)2 + (sin 𝜃)2 = 1 cos2 𝜃 + sin2 𝜃 = 1 atau sin2 𝜃 + cos2 𝜃 = 1 Masalah Extra 1.2.1b a. Analog dengan identitas tersebut, diperoleh 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 (persamaan lingkaran dengan jari-jari 𝑟 dan pusat 𝑂(0,0)) 𝑥2 𝑦2 𝑟2 + 𝑟2 = 𝑟2 𝑟2 (kedua ruas dibagi dengan 𝑦 2 ) ….. b. dan 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 𝑥2 𝑟2 𝑦2 𝑟2 + 𝑟2 = 𝑟2 (persamaan lingkaran dengan jari-jari 𝑟 dan pusat 𝑂(0,0)) (kedua ruas dibagi dengan 𝑥 2 ) ….. IDENTITAS-IDENTITAS TRIGONOMETRI DASAR csc 𝜃 = 1 sin 𝜃 sec 𝜃 = 1 cos 𝜃 cot 𝜃 = 1 tan 𝜃 tan 𝜃 = B sin 𝜃 cot 𝜃 = cos 𝜃 sin 𝜃 sin2 𝜃 + cos2 𝜃 = 1 tan2 𝜃 + 1 = secan2 𝜃 cotan2 θ + 1 = cosec 2 θ cos 𝜃 PEMBUKTIAN IDENTITAS TRIGONOMETRI Beberapa hal yang perlu diperhatikan untuk membuktikan identitas trigonometri, yaitu sebagai berikut. 1. Sebaiknya unah satu ruas saja sehingga sama dengan ruas yang lain. 2. Boleh kedua-duanya diubah sehingga mendapatkan dua bangun ruas kiri dan kanan yang sama. 3. Jika selain sinus dan cosinus terdapat juga tangen, cotangen, secan dan cosecan, sebaiknya dijadikan sinus dan cosinus semuanya. Contoh soal: 1. Buktikan bahwa sin 𝐴 . cotan 𝐴 = cos 𝐴. Penyelesaian: Pembuktian ruas kanan, cos 𝐴 sin 𝐴 . cotan 𝐴 = sin 𝐴 . sin 𝐴 cos 𝐴 (terbukti) 5|Page 2. Buktikan bahwa cos 𝑥 . cosec 𝑥 = cotan 𝑥. Penyelesaian: Pembuktian ruas kanan, 1 cos 𝑥 . cosec 𝑥 = cos 𝑥 . sin 𝑥 cos 𝑥 sin 𝑥 = cotan 𝑥 (terbukti) Pembuktian ruas kiri, cos 𝑥 cotan 𝑥 = sin 𝑥 1 cos 𝑥 . sin 𝑥 cos 𝑥 . cosec 𝑥 (terbukti) Ingat! 3. Buktikan sin4 𝜃 − cos 4 𝜃 = 1 − 2 cos2 𝜃. Selisih kuadrat Penyelesaian: (𝑎2 − 𝑏 2 ) = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) Pembuktian ruas kanan, sin4 𝜃 − cos4 𝜃 = (sin2 𝜃 + cos2 𝜃)(sin2 𝜃 − cos 2 𝜃) 1. (sin2 𝜃 − cos2 𝜃) sin2 𝜃 − cos2 𝜃 (1 − cos2 𝜃) − cos2 𝜃 1 − 2 cos2 𝜃 (terbukti) 1 1 4. Buktikan secan2 𝜃 + cosec2 𝜃 = 1. 5. Penyelesaian: Pembuktian ruas kanan, 2 2 1 1 1 1 + = ( ) + ( ) secan2 𝜃 cosec 2 𝜃 secan 𝜃 cosec 𝜃 cos 2 𝜃 + sin2 𝜃 = 1 (terbukti) LATIHAN 2 1. Buktikan 2−𝑠𝑖𝑛2 𝐴 𝑐𝑜𝑠2 𝐴 = secan 𝐴 + cos 𝐴. tan4 𝜃−1 2. Tunjukkan identitas trigonometri secan2 𝜃 = tan2 𝜃 − 1. 3. Sederhanakan (cotan 𝑥 + cosec 𝑥)(cotan 𝑥 − cosec 𝑥). C APLIKASI IDENTITAS TRIGONOMETRI 6 Apabila sin 𝜃 + cos 𝜃 = 5 , hitunglah sin 𝜃 . cos 𝜃 . Pembahasan: sin 𝜃 + cos 𝜃 = 6 5 6 2 (sin 𝜃 + cos 𝜃 )2 = (5) 36 sin2 𝜃 + cos2 𝜃 + 2 sin 𝜃 . cos 𝜃 = 25 6|Page 36 1 + 2 sin 𝜃 . cos 𝜃 = 25 36 2 sin 𝜃 . cos 𝜃 = 25 − 1 36 25 11 2 sin 𝜃 . cos 𝜃 = 25 − 25 = 25 11 2 11 1 11 sin 𝜃 . cos 𝜃 = 25 ÷ 1 = 25 × 2 = 50 LATIHAN 3 1 1. Jika sin 𝜃 + cos 𝜃 = 3 , untuk 𝜃 sudut lancip. Hitunglah: a. tan 𝜃 + cotan 𝜃 b. 2 sin 𝜃 . cos 𝜃 𝜋 2. Jika sin 𝜃 + sin2 𝜃 = 1 , untuk 0 ≤ 𝜃 ≤ 2 , maka hitunglah cos 4 𝜃 + cos 2 𝜃. 7|Page
