13 M

P. XIII
RUANG-RUANG VEKTOR EUCLIDEAN
Ruang Berdimensi n Euclidean
Vektor-vektor Dalam Ruang berdimensi –n
-
Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, maka ganda n berurut adalah sederet n
bilangan real (a1, a2, …, an). Himpunan semua ganda n berurut disebut ruang
berdimensi n dan dinyatakan dengan Rn.
-
Dua vektor u = (u1, u2, …, un) dan v = (v1, v2, …, vn) dalam ruang Rn disebut sama,
jika:
u1 = v1 ; u2 = v2 ; un = vn
Jumlah u + v didefinisikan sebagai:
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, …, un + vn)
dan jika k adalah sebarang skalar, perkalian ku didefinisikan sebagai:
ku = (ku1, ku2, ku3, …, kun)
Operasi penjumlahan dan perkalian skalar dalam definisi ini sebut “Operasi Standar
pada Rn”.
Sifat-sifat Operasi Vektor dalam Ruang Berdimensi n
Teorema: jika u = (u1, u2, …, un), v = (v1, v2, …, vn) dan w = (w1, w2, …, wn) adalah vektorvektor dalam Rn dari k serta l adalah skalar, maka:
a. u + v = v + u
e. k (lu) = (kl) u
b. u + (v + w) = (u + v) + w
f. k (u + v) = ku + kv
c. u + 0 = 0 + u = u
g. (k + l) u = ku + lu
d. u + (-u) = 0
h. 1u = u
Ruang Berdimensi n Euclidean
Jika u = (u1, u2, …, un) dan v = (v1, v2, …, vn) adalah sebarang vektor dalam Rn, maka hasil
kali dalam Euclidean u.v didefinisikan sebagai:
u.v = u1 v1 + u2 v2 + … + un vn
n
R dengan operasi penjumlahan, perkalian skalar dan hasil kali dalam Euclidean disebut
sebagai “ruang berdimensi n Euclidean”.
Teorema
Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam Rn dan k adalah sebarang skalar, maka:
a. u.v = v.u
b. (u + v).w = u.v + u.w
c. (ku).v = k(u.v)
http://www.mercubuana.ac.id
u v
2
2
u
v
2
Bukti:
u v
2
u v.u v u
2
 2u.v v
2
u
2
v
2
ortogonal 0
Notasi-notasi Alternatif untuk Vektor-vektor dalam Rn
Suatu vektor u = (u1, u2, …, un) dalam Rn bisa juga ditulis dalam notasi matriks sebagai suatu
matriks baris atau kolom.
 u 1
 u
u 2 atau uu 1 , u 2 , , u n


u n
Sebuah Rumus Matriks untuk Hasil Kali Titik
 u 1
 v 1
 u
 v
u 2dan v 2




u n
v n
v T .uv 1 v 2 v n
 u 1
 u
2
u 1 v 1 u 2 v 2 u n v nu.v u.v


u n
Jadi, untuk vektor-vektor dalam notasi matriks kolom, kita mempunyai rumus berikut ini
untuk hasil kali dalam Euclidean.
u . v = vT . u
Transformasi Linear dari Rn ke Rm
Fungsi-fungsi dari Rn ke R
Rumus
Contoh
Klasifikasi
2
f(x)
f(x) = x
f(x, y)
f(x, y) = x + y
f(x, y, z)
f(x, y, z) = x + y + z
f(x1, x2, …, xn)
f(x1, x2, …, xn) =
x12 + x22 + …+ xn2
2
2
2
2
2
Uraian
Fungsi bernilai real dari suatu peubah
real
Fungsi bernilai real dari 2 peubah
real
Fungsi bernilai real dari 3 peubah
real
Fungsi bernilai real dari n peubah
real
Fungsi dari R ke R
2
Fungsi dari R ke R
3
Fungsi dari R ke R
Fungsi-fungsi dari Rn ke Rm
Jika daerah asal suatu fungsi “f” adalah Rn dan daerah kawannya adalah Rm (m dan n
mungkin sama), maka f disebut suatu peta atau transformasi dari Rn ke Rm, dan kita katakan
bahwa f memetakan Rn ke Rm. Kita nyatakan ini dengan menuliskan Rn
http://www.mercubuana.ac.id
Rm.
n
Fungsi dari R ke R
w3 = 5 x1 - x2 + 4 x3
 w 12

w 2 4

w 3 5
3
1
1
1
2
4
 x 1
 5

 x 2
1
 x 3

0
x 4
sehingga matriks standar untuk T adalah:
2 3

1
A4
5 1
1
2
4
 5

1
0
Bayangan dari suatu titik (x1, x2, x3, x4) bisa dihitung secara langsung dari persamaan yang
mendefinisikannya dengan perkalian matriks. Jika (x1, x2, x3, x4) = (1, -3, 0, 2), maka:
w1 = 1, w2 = 3, w3 = 8
http://www.mercubuana.ac.id