MEDIA BERLAPIS PERIODIK 1 DIMENSI

OPTIK MODERN
MEDIA BERLAPIS PERIODIK 1-D
Disusun Oleh: 1. A. AMALIA PUTRI (191050801019)
2. SUBHAN JAELANI (191050801020)
3. RIFA’ATUL MAHMUDAH H.WATA (191050801021)
4. SUCI FATHUL ISMI (191050801022)
5. TRIYA AZMARITA (191050801023)
6. ELYNA WAHYUNITA (191050801024)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
2020/2021
i
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, karena atas limpahan rahmat
dan karunia – Nya lah sehingga kami dapat menyelesaikan Makalah Sejarah ini sesuai
waktunya. Makalah ini diajukan guna memenuhi tugas mata kuliah Optik Modern.
Kami berusaha menyusun makalah ini sedemikian rupa dengan harapan dapat
membantu pembaca dalam memahami materi Media Berlapis Periodek 1-Dimensi
yang merupakan judul dari makalah kami. Kami berharap agar makalah ini dapat
dijadikan bekal pengetahuan.
Kami menyadari bahwa didalam pembuatan makalah ini masih jauh dari
sempurna, oleh karena itu kami mengharapkan kritik dan saran yang bersifat
membangun demi kesempurnaan makalah ini.
Makassar, 20 Maret 2020
Penyusun
ii
DAFTAR ISI
JUDUL
i
KATA PENGANTAR
ii
DAFTAR ISI
iii
BAB I. PENDAHULUAN
1
A. Latar Belakang
1
B. Rumusan Masalah
2
C. Tujuam
2
BAB II. PEMBAHASAN
3
A. Pengertian Kristal Fotonik
3
B. Gelombang Bloch Dan Struktur Pita
6
C. Reflektor Bragg
9
a. Reflektor Bragg dengan Reflektansi tinggi
11
b. Reflektor Bragg Sinusoida Homogen
11
c. Reflektor Bragg sinusoida dengan apodisasi
16
d. Reflektor Bragg sinusoida dengan chirp
18
e. Reflektor Bragg dengan chirp dan apodisasi
21
DAFTAR PUSTAKA
22
iii
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Telekomunikasi data-data ditransmisikan dengan menggunakan serat optik.
Serat optik dapat mengirimkan data dengan lebar pita (bandwidth) yang sangat
bedar dan kecepatan tinggi. Namun, pemrosesan dan pengaturan (switching) data
masih menggunakan rangkaian elektronik, sehingga diperlukan konversi data
elektronik/optik (E/O) and optik/elektronik. Dengan demikian kecepatan seluruh
sistem dibatasi oleh kecepatan rangkaian elektronik. Karena itu, sangat penting
untuk dikembangkan divais-divais switching optik yang terintegrasi (all-optical
switching devices) untuk mempercepat pemrosesan data.
Kristal fotonik merupakan bahan optik baru yang memiliki karakteristik unik,
yaitu dapat memanipulasi pergerakan cahaya seperti halnya kristal zat padat
mempengaruhi penjalaran berkas elektron. Di dalam kristal zat padat, periodisitas
potensial dapat menyebabkan munculnya energi gap, dimana berkas elektron yang
memiliki energi tertentu tidak bisa berada di dalam kristal tersebut. Hal serupa
terjadi di dalam kristal fotonik, yang merupakan susunan material dielektrik
dengan indeks bias berbeda dan berulang secara periodik. Di dalam struktur
kristal fotonik akan muncul bandgap optik. Keberadaan bandgap optik akan
mempengaruhi karakteristik penjalaran cahaya di dalam kristal. Cahaya yang
memiliki arah dan frekuensi tertentu yang sesuai bandgap, tidak dapat melewati
struktur kristal fotonik. Selanjutnya, dengan menambahkan rekayasa cacat di
dalam kristal, dapat dilakukan kontrol terhadap sifat-sifat penjalaran cahaya.
Dengan kemampuan tersebut, kristal fotonik memiliki potensi aplikasi yang luas
meliputi aplikasi pada bidang optik linier, optik nonlinier, dan optik kuantum.
Salah satu aplikasi dari kristal fotonik dalam bidang optik linier adalah
sebagai mikro-kavitas. Divais mikro-kavitas berfungsi untuk melokalisasikan
cahaya pada suatu daerah frekuensi tertentu. Cahaya yang terlokalisasi akan
berinteraksi secara kuat dengan lingkungan sekitarnya. Pola emisi cahaya dari
iv
divais mikro-kavitas, akan menggambarkan jenis material yang ada di
sekelilingnya. Dengan demikian, kristal fotonik dalam bentuk mikro-kavitas
memiliki potensi untuk diaplikasikan sebagai divais biosensor. Fabrikasi divais
mikro-kavitas yang meng- gunakan bahan aktif kromofor, sebelumnya dilakukan
dengan cara melapisi kristal fotonik dengan bahan aktif secara terpisah (Notomi,
et al., 2001; Meier, et al., 1999). Lapisan kromofor tersebut sangat rapuh sehingga
sangat mudah mengalami kerusakan.
Baru-baru ini, kristal fotonik telah banyak menarik perhatian peneliti, baik
secara teoritis maupun secara eksperimen. Kristal fotonik adalah struktur periodik
dari material dielektrik yang memiliki indeks bias yang berbeda, sehingga
memiliki celah pita fotonik (photonic band gaps, PBG): yaitu suatu rentang
frekuensi dimana cahaya tidak dapat merambat melalui struktur krital fotonik.
Secara umum, kristal fotonik dikelompokkan kedalam tiga kategori berdasarkan
dimesi dari susunan periodik material dielektriknya: satu -dimensi (1D), duadimensi (2D) dan tigadimensi (3D). Struktur kristal fotonik diharapkan
merupakan suatu kunci untuk divais optik/fotonik dimasa depan. Berbagai divais
telah dibuat dengan menggunakan struktur kristal fotonik, seperti laser tanpa
ambang (thresholdless laser), diode optik nonlinier.
B. Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah pada makalah ini adalah:
1. Bagaimana struktur Kristal fotonik 1 dimensi
2. Bagaimana bentuk gelombang Bloch dan struktur pita
3. Bagaimana indeks bias reflector Bragg
C. Tujuan
Tujuan dari makalah ini adalah:
1. Untuk menganalisis Kristal Fotonik 1 dimensi
2. Untuk menganalisis gelombang Bloch dan struktur pita
3. Untuk menganalisis reflektor Bragg
2
BAB II
PEMBAHASAN
A. Pengertian kristal Fotonik
Kristal fotonik (photonic crystal, PhC) atau material photonic bandgap
(PBG) adalah struktur periodik dari material dielektrik dengan permitivitas (e)
atau indeks bias (n) yang berbeda, sehingga dapat menghambat perambatan
gelombang dengan frekuensi dan arah tertentu. Indeks bias suatu bahan dielektrik
dapat dimodulasi secara priodik, baik 1-dimensi, 2dimensi maupun 3dimensi.Keperiodikan indeks bias itu menciptakan daerah frekuensi di mana
foton-fotoncahaya tidak memiliki energi di dalam bahan itu.Daerah frekuensi itu
disebutbandgap frekuensi. Keadaan itu mirip dengan kisi atom yang tersusun
periodik di dalam kristal zat padat di mana elektron-elektron memiliki bandgap
energi.Itu sebabnya bahan dielektrik dengan indeks bias yang dimodulasi secara
priodik disebut kristal fotonik. Kelakuan foton-foton di dalam kristal fotonik
mirip dengan kelakuan elektron dan lubang (hole) di dalam kisi atom
(Yablonovich, 1987; 1989; 1991). Dari segi teoretik, penentuan fungsi-fungsi
eigen di dalam kristal fotonik sangat mirip dengan perhitungan fungsi-fungsi
gelombang elektron dalam zat padat. Kemiripan itu dimanfaatkan untuk
menentukan struktur pita kristal fotonik (Joannopoulos,1995, 2008).
Dalam kemiripan itu ada pula perbedaan yang mendasar antara keduanya.
Perbedaan utama terletak pada distribusi energi. Elektron-elektron mematuhi
distribusi Fermi-Dirac, sedangkan foton-foton mematuhi distribusi Bose-Einstein.
Selain itu, elektron-elektron di dalam zat padat dipengaruhi oleh medan
intrakristalin yang harus diperhitungkan. Foton-foton tidak dipengaruhi oleh
medan intra-kristalin. Oleh sebab itu, perhitungan distribusi medan optik atau
struktur pita fotonik menjadi lebih mudah.
Sifat paling utama yang menyebabkan pentingnya fotonik kristal adalah
kehadiran bandgapnya (Joannopoulos,1995 dan 2008). Bandgap fotonik adalah
daerah energi atau frekuensi di mana cahaya tidak bisa menjalar di dalam kristal
fotonik. Cahaya dengan frekuensi di dalam bandgap akan dipantulkan
sepenuhnya. Namun, jika di dalam kristal itu diberikan cacat, akan muncul fungsikeadaan baru di dalam bandgap yang berkaitan dengan frekuensi-eigen dari cacat
itu. Jadi, gelombang cahaya dengan frekuensi itu akan terperangkap atau bisa
menjalar di dalam kristal.
3
1-D
2-D
3-D
periodic in
one directio n
periodic in
two directions
periodic in
three di rection s
Jika gelombang elektromagnetik menjalar ke dalam struktur kristal fotonik,
maka ia akan dihamburkan akibat perbedaan indeks bias didalam struktur. Jika
panjang gelombang jauh lebih besar dari pada konstanta kiri dari kristal fotonik,
struktur berperilaku seperti medium efektif, namun jika panjang gelombang
sebanding atau lebih kecil daripada konstanta Phc, maka akan terjadi refleksi
Bragg sehingga membentuk PBG.
𝑛(𝑥) = 𝑛 (𝑥 + Ʌ); Ʌ = 𝑑1 + 𝑑2 = 𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑎
Solusi persamaan gelombang:
𝐸 = 𝐸(𝑥)𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝛽𝑧)
𝑛𝑖 𝜔
𝐸(𝑥) = √(
𝑐
) − 𝛽2 =
𝑛𝑖 𝜔
𝑐
𝑎𝑛−1
𝑐𝑛
−1 ̃
−1 ̃
( 𝑏 ) = 𝐷̃
1 𝐷2 𝑃2 (𝑑 )
𝑛−1
𝑛
cos 𝜃𝑖 ; 𝑖 = 1,2
(2.1)
𝑐𝑛
𝑎𝑛
−1 ̃
−1 ̃
(𝑑 )=𝐷̃
2 𝐷1 𝑃1 ( 𝑏 )
𝑛
(2.2)
𝑛
4
𝑖𝑘1𝑥 𝑑1
𝑃1 = (𝑒
0
0
𝑒
−𝑖𝑘1𝑥 𝑑1
𝑃2 = (𝑒
)
𝑖𝑘2𝑥 𝑑2
0
0 )
𝑒 −𝑖𝑘2𝑥 𝑑2
(2.3)
̂1 dan 𝐷
̂2 masing masing matriks dinamis dalam lapisan
Dimana 𝐷
berindeks dan 𝑃1 dan 𝑃2 adalah matriks propagasi dalam lapisan lapisan
bersangkutan.
Untuk gelombang-s :
𝑒 𝑖𝑘2 𝑑2
𝑎𝑛−1
1
(𝑏 ) = 2 (
𝑛−1
𝑒 𝑖𝑘2 𝑑2
𝑖𝑘1𝑥 𝑑1
𝑒
𝑐𝑛
1
(𝑑 ) = 2 (
𝑛
𝑒 𝑖𝑘1𝑥 𝑑1
𝑘2𝑥
(1 +
(1 −
(1 +
(1 −
) 𝑒 −𝑖𝑘2 𝑑2 (1 −
𝑘1𝑥
𝑘2𝑥
𝑘1𝑥
𝑘1𝑥
) 𝑒 −𝑖𝑘2 𝑑2 (1 +
) 𝑒 −𝑖𝑘1𝑥 𝑑1 (1 +
𝑘2𝑥
𝑘1𝑥
𝑘2𝑥
) 𝑒 −𝑖𝑘1𝑥 𝑑1 (1 −
𝑘2𝑥
)
𝑘1𝑥
𝑘2𝑥
𝑘1𝑥
𝑘1𝑥
)
)
𝑘2𝑥
𝑘1𝑥
𝑘2𝑥
)
𝑐𝑛
) (𝑑 )
(2.4)
𝑎𝑛
) (𝑏 )
(2.4)
𝑛
𝑛
Dari kedua persamaan (2.4) di atas diperoleh matriks translasi antara dua
unit sel bertetangga, yaitu:
𝑎𝑛−1
𝐴
(𝑏 ) = (
𝐶
𝑛−1
𝐵 𝑎𝑛
)( )
𝐷 𝑏𝑛
𝑎𝑛−1
𝐴
(𝑏 ) = (
𝐶
𝑛−1
𝐵 𝑎𝑛
)( )
𝐷 𝑏𝑛
(2.5)
(
𝐴
𝐶
𝐵
) disebut matriks translasi unit sel
𝐷
Adapun elemen-elemen matriks translasi tersebut adalah:
A= 𝑒 𝑖𝑘1𝑥 𝑑1 [𝑐𝑜𝑠𝑘2𝑥 𝑑2 +
1
𝑘
B= 𝑒 −𝑖𝑘1𝑥 𝑑1 [ 2 𝑖 (𝑘2𝑥 −
1𝑥
1
1
𝑘
𝑖 (𝑘2𝑥 +
2
1𝑥
𝑘1𝑥
𝑘2𝑥
𝑘
𝑘2𝑥
) sin 𝑘2𝑥 𝑑2 ];
) sin 𝑘2𝑥 𝑑2 ];
C= 𝑒 𝑖𝑘1𝑥 𝑑1 [− 2 𝑖 (𝑘2𝑥 −
𝑘1𝑥
D= 𝑒 −𝑖𝑘1𝑥 𝑑1 [𝑐𝑜𝑠𝑘2𝑥 𝑑2 −
1
1𝑥
𝑘1𝑥
𝑘2𝑥
2
(2.6)
) sin 𝑘2𝑥 𝑑2 ];
𝑘
𝑖 (𝑘2𝑥 +
1𝑥
𝑘1𝑥
𝑘2𝑥
) sin 𝑘2𝑥 𝑑2 ];
Matriks translasi itu menghubungkan medan-medan dan dua lapisan yang
sama maka AD-BC = 1
5
Untuk gelombang-p
A= 𝑒 𝑖𝑘1𝑥 𝑑1 [𝑐𝑜𝑠𝑘2𝑥 𝑑2 +
1
𝑖 (𝑛1 2 𝑘2𝑥 +
2
2
𝑛 2𝑘
1
𝑛2 2 𝑘1𝑥
2𝑥
𝑛 2𝑘
C= 𝑒 𝑖𝑘1𝑥 𝑑1 [− 2 𝑖 (𝑛2 2 𝑘1𝑥 −
1
2𝑥
D= 𝑒 −𝑖𝑘1𝑥 𝑑1 [𝑐𝑜𝑠𝑘2𝑥 𝑑2 −
1𝑥
𝑛1 2 𝑘2𝑥
B= 𝑒 −𝑖𝑘1𝑥 𝑑1 [ 2 𝑖 (𝑛2 2 𝑘1𝑥 −
1
𝑛 2𝑘
1
1
2
𝑛2 2 𝑘1𝑥
) sin 𝑘2𝑥 𝑑2 ];
(2.7)
) sin 𝑘2𝑥 𝑑2 ];
𝑛1 2 𝑘2𝑥
𝑛2
𝑛1 2 𝑘2𝑥
) sin 𝑘2𝑥 𝑑2 ];
𝑛1 2 𝑘2𝑥
𝑖 (
𝑛2 2 𝑘1𝑥
2𝑘
1𝑥
+
𝑛2 2 𝑘1𝑥
𝑛1 2 𝑘2𝑥
) sin 𝑘2𝑥 𝑑2 ];
Kembali pada persamaan (2.5) persamaan tersebut menunjukan bahwa jika
amplitudo amplitudo 𝑎𝑛 dan 𝑏𝑛 di unit sel ke-n telah diketahui, maka
amplitudo-amplitudo 𝑎𝑛−1 dan 𝑏𝑛−1 di uni sel ke-(n-1) dapat ditentukan
dengan menggunakan matriks translasi. Seperti berikut ini.
𝑎𝑛−1
𝐴
(𝑏 ) = (
𝐶
𝑛−1
𝐵 𝑎𝑛
)( )
𝐷 𝑏𝑛
(2.8)
Persamaan di atas dapat dikembangkan sampai ke unit sel ke-0
𝑎0
𝐴
(𝑏 ) = (
𝐶
0
𝐵 𝑎1
)( )
𝐷 𝑏1
𝑎1
𝐴
(𝑏 ) = (
𝐶
1
𝐵 𝑎2
)( )
𝐷 𝑏2
𝑎2
𝐴
(𝑏 )= (
𝐶
2
𝑎𝑁
𝐴
(𝑏 ) = (
𝐶
𝑁
𝑎0
𝐴
(𝑏 ) = (
𝐶
0
𝐵 2 𝑎2
) (𝑏 )
𝐷
2
(2.9)
𝐵 2 𝑎0
) (𝑏 )
𝐷
0
𝐵 −𝑁 𝑎0
𝐴
) (𝑏 ) = (
𝐷
−𝐶
0
−𝐵 𝑁 𝑎0
) (𝑏 )
𝐷
0
Jadi, jika amplitudo-amplitudo unit sel ke-0 sudah diketahui, maka
amplitudo-amplitudo unit sel ke-n dapat ditentukan. Persaman (2.9) tersebut yang
disebut metode matriks transfer.
B. Gelombang Bloch Dan Struktur Pita
Gelombang Bloch juga disebut status Bloch atau fungsi Bloch atau fungsi
gelombang Bloch, dinamai sesuai dengan ahli fisika Swiss Felix Bloch, adalah
sejenis fungsi gelombang yang dapat ditulis sebagai gelombang bidang yang
dimodulasi oleh fungsi periodik. Menurut defenisi, jika gelombang adalah
gelombang Bloch.
6
Mengambil konsep zat padat, medium periodik ekivalen dengan kisi 1dimensi yang invariant terhadap translasi kisi.
n(ꭓ ) = n(ꭓ + λ), λ = perioda
Berdasarkan teorema Floquet, solusi persamaan gelombang untuk medium
berlapis periodik adalah:
EK (ꭓ ,z) = EK(ꭓ )e-iβz e-iKx
Dimana EK(ꭓ ) adalah fungsi periodik λ yaitu:
EK (ꭓ + λ) = EK (ꭓ )
Indeks K menyatakan fungsi EK (ꭓ ) bergantung pada K. Konstanta K disebut
bilangan gelombang Bloch
Menentukan K dan EK (ꭓ )
EK (ꭓ ,z) = EK (ꭓ )e-iβz e-iKx
(2.10)
EK (ꭓ + λ,z) = EK (ꭓ + λ) e-iβz e-iK(x+λ)
(2.11)
= EK (ꭓ ) e-iβz e-iK(x+λ)
= EK (ꭓ ) e-iβz e-iK(x+λ) e-iKλ
= EK (ꭓ ,z)e-iKλ
(2.12)
Oleh sebab itu, jika dikaitkan dengan medan periodik dalam persamaan 2.1
Maka berlaku hubungan antara amplitudo-amplitudo dalam 2 unit sel bertetangga,
yaitu:
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
𝑎𝑛−1
𝑎𝑛
(𝑏 ) = 𝑒 −iKλ (𝑏 ) 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝑏 ) 𝑒 −iKλ (𝑏 )
𝑛
𝑛−1
𝑛−1
𝑛
(2.13)
Atau
𝑎𝑛−1
𝐴
(𝑏 ) = (
𝐶
𝑛−1
𝐴
𝐶
(
𝐵 𝑎𝑛
)( )
𝐷 𝑏𝑛
𝑎𝑛
𝐵 𝑎𝑛
) ( 𝑏 ) = 𝑒 iKλ (𝑏 )
𝐷
𝑛
𝑛
Jadi, gelombang Bloch adalah:
𝐸𝐾 (ꭓ)e−iKx
= a𝑛 𝑒 −𝑖𝐾𝑙(ꭓ−nλ) + 𝑏𝑛 𝑒 −𝑖𝐾𝑙(ꭓ−nλ)
= (a0 𝑒 −𝑖𝐾𝑙(ꭓ−nλ) + 𝑏0 𝑒 −𝑖𝐾𝑙(ꭓ−nλ) )𝑒 −𝑖𝑛𝐾λ
7
Atau
𝐸𝐾 (ꭓ)e−iKx
= (a0 𝑒 −𝑖𝐾𝑙(ꭓ−nλ) + 𝑏0 𝑒 −𝑖𝐾𝑙(ꭓ−nλ) = (𝑒 −𝑖𝐾(ꭓ−nλ) 𝑒 −𝑖𝐾ꭓ
(2.14)
Persamaan 2.14 di atas adalah ungkapan lain dari persamaan 2.5 Maka diperoleh
persamaan eigen:
𝐴
𝐶
(
𝑎𝑛
𝐵 𝑎𝑛
) ( 𝑏 ) = 𝑒 iKλ (𝑏 )
𝐷
𝑛
𝑛
(2.15)
Dengan vektor eigen:
𝑎𝑛
(𝑏 ) = (
𝑛
𝐵
𝑒
𝑖𝐾λ
−𝐴
)
(2.16)
Selanjutnya dalam persamaan 2.15 𝑒 iKλ dapat dinyatakan sebagai nilai eigen dari
𝑎𝑛
operator matriks translasi dengan vector eigen (𝑏 ). Oleh sebab itu,
𝑛
𝐼𝐾λ
𝐵
|𝐴 − 𝑒
|=0
𝐷
−
𝑒 𝑖𝐾λ
𝐶
Dari sifat unimodular matriks translasi dalam persamaan 2.15 maka diperoleh
1
1
𝑒 𝑖𝐾λ = 2 (𝐴 + 𝐷) ± √4 (𝐴 + 𝐷)2 − 1
(2.17)
1
Dalam persamaan 2.17, √4 (𝐴 + 𝐷)2 − 1 adalah imajiner, sehingga komponen rill
1
dari persamaan itu adalah cos Kλ= 2 (𝐴 + 𝐵) atau
1
1
𝐾 = 𝑐𝑜𝑠 −1 [ (𝐴 + 𝐷)]
λ
2
Berdasarkan persamaan 2.6 Atau 2.7 Dan 2.1 , A dan D merupakan fungsi 𝜔 dan
𝛽, maka dituliskan:
1
1
𝐾(𝛽, 𝜔) = 𝜆 𝑐𝑜𝑠 −1 [2 (𝐴 + 𝐷)]
(2.18)
Subtitusi masing-masing persamaan 2. Dan 2. Diperoleh:
1 𝑘
𝑘
cos 𝐾 λ = cos𝑘1𝑥 𝑑1 𝑐𝑜𝑠𝑘2𝑥 𝑑2 − 2 (𝑘2𝑥 + 𝑘1𝑥 ) sin 𝑘1𝑥 𝑑1 sin 𝑘2𝑥 𝑑2
1𝑥
1 𝑛2 𝑘
2𝑥
𝑛2 𝑘
cos 𝐾 λ = cos𝑘1 𝑑1 𝑐𝑜𝑠𝑘2 𝑑2 − 2 (𝑛12 𝑘2 + 𝑛22 𝑘1 ) sin 𝑘1 𝑑1 sin 𝑘2 𝑑2
2 1
1 2
(S)
(P)
8
(2.19)
Persamaan 2.19 merupakan hubungan disperse antara 𝛽 𝑑𝑎𝑛 𝜔 untuk suatu
bilangan gelombang Bloch K.
Berdasarkan hubungan dispersi itu terlihat bahwa dalam daerah cos
cos 𝐾 λ ≤ 1 nilai K adalah rill, artinya di dalam daerah itu gelombang Bloch dapat
menjalar melalui medium berlapis, berbeda halnya daerah cos 𝐾 λ ≥ 1 nilai K
merupakan kompleks sehingga gelombang mengalami evanscen artinya
gelombang Bloch tak dapat melalui medium berlapis atau disebut pita terlarang
atau bandgap fotonik. Berikut simulasi gelombang Bloch
Cahaya bisa lewat
Cahaya tudak bisa lewat (band gap)
C. Reflektor Bragg
Medium berlapis dari N buah unit sel.
bo
…………………….
aN
a0
N buah unit sel
9
Jika gelombang Bloch jatuh dalam band gap, gelombang iitu terevanesen dan tak
bisa menjalar dalam medium.Jadi gelombang itu terpantul, medium bersifat sebagai
reflector yang disebut reflector bragg. Kristal fotonik 1D dengan jumlah lapisan terhingga
disebut reflekto Bragg lapisan periodic. Misalkan N adalah jumlah unit sel, koefisien
refleksi adalah (Yarivetal.1984,Yeh 1988,Yarivet al.2007).
𝑏
𝑟𝑁 = (𝑎0 )
0
𝑏𝑁=0
Mengingat persamaan (2.9)
𝐵 𝑁 𝑎𝑁
) (𝑏 )
𝐷
𝑁
𝑎0
𝐴
(𝑏 ) = (
𝐶
0
Dalam Apendiks diturunkan bahwa
(
𝐴
𝐶
𝐴𝑢𝑁−1 − 𝑈𝑁−2
𝐵 𝑁
) =(
𝐶𝑢𝑁−1
𝐷
𝐵𝑢𝑁−1
)
𝐷𝑢𝑁−1 − 𝑈𝑁−2
Dengan
𝑢𝑁 =
sin(𝑁 + 1)𝐾𝑎
sin 𝐾𝑎
Dengan itu maka diperoleh
𝑎0 = 𝑎𝑁 𝐴𝑢𝑁−1 − 𝑈𝑁−1 + 𝑏𝑁 𝑈𝑁−1
𝑏0 = 𝑎𝑁 𝐶𝑢𝑁−1 + 𝑏𝑁 𝐷𝑢𝑁−1 − 𝑈𝑁−2
Jadi koefisien refleksi dalam persamaan diatas adalah
𝐶
𝑟𝑁 = (
)
𝐴 − 𝑈𝑁−2 𝑈𝑁−1
Reflektansi adalah ℜ𝑁= |𝑟𝑁 |2
dengan persamaan-persamaan diperoleh reaktans
ℜ
𝑁=
|𝐶|2
|𝐶|2 +( 𝑆𝑖𝑛 𝐾𝑎/ 𝑆𝑖𝑛𝑁𝐾𝑎)2
Nilai |𝑐| dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut. Mislakan N = 1, sehingga
ℜ1= |𝐶|2 / 𝑐|𝑐|2 + 1. Jadi
ℜ
|𝐶|2 = 1
1− ℜ
1
Nilai ℜ1 dapat ditentukan dengan persamaan dan itu sangat kecil sehingga prsktis |𝐶|2 =
ℜ1
10
a. Reflektor Bragg dengan Reflektansi tinggi
Cermin dengan reflektans tinggi diperlukan dalam berbagai aplikasi.
Cermin dengan bahan logam bisa memiliki reflektans 99 % dan yang 1 %
diabsorp. Jika cermin dipakai untuk laser daya tinggi, cermin logam menjadi
panas.
Untuk mengatasinya, gunakan refektor Bragg dari bahan dielektrik,
misalnya dengan lapisan-lapisan n1d1 = n2d2 = 𝜆0 /4
𝑘1𝑥 𝑑1 = 𝑘0𝑛1 𝑑1 = (2𝜋/𝜆)(𝜆/4) = 90° → exp(𝑖𝑘1𝑥𝑑1) = 𝑖
𝑘2𝑥 𝑑2 = 𝑘0𝑛2 𝑑2 = (2𝜋/𝜆)(𝜆/4) = 90° → cos 𝑘2𝑥𝑑2 =
Ae
ik1 x d1

 n12 k 2 x n22 k1x
1
 2
cos k 2 x d 2  2 i 2

 n2 k1x n1 k 2 x


 n2k
n2k
 sin k 2 x d 2    1 2  12 2 x  22 1x

n k


 2 1x n1 k 2 x


 n2k

n2k
C  eik1 x d1  1 2 i 22 1x  12 2 x   sin k 2 x d 2  
 n1 k 2 x n2 k1x 


1
2
 n22 k1x n12 k 2 x 
 2
 2 
 n1 k 2 x n2 k1x 


b 
 1 n4k 2  n4k 2 
Cu N 1
C
rN   o 


  2 4 2 2 1x 4 1 2 2 x 
1
 ao bN 0 Au N 1  u N  2 A  u N  2 / u N 1
 2 n1 k 2 x  n2 k1x  1 


1
0.9
n1=1.5
0.8
0.7
Reflektans
n2=2.5
o=0,6 um
0.6
0.5
0.4
0.3
N=30
0.2
0.1
0
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Lamda (um)
b. Reflektor Bragg Sinusoida Homogen

A(0)
A(L)
A2(L)=0
B(0)
z=0
z=L
n( z )  no  n1 cos Gz; G 
2
; n1  no

11
1






E ( z, t )  A( z )e iz  B( z )eiz eit
Persamaan Gelombang
d 2 E n 2 ( z ) 2

E 0
dz 2
c2
d 2 A
 i z  d 2 B

dA
dB
2

2
i



A

 2i
  2 B  e i z

e
2
2
dz
dz
 dz

 dz


2
c
n
2
2
o


 2no n1 cos(Gz) Ae i z  Be i z  0
Asumsikan amplitudo gelombang berubah pelan-pelan (SVA):
d2A
dA
 
;
2
dz
dz
d 2B
dB
 
2
dz
dz

 i z 

dA  2 2
dB  2 2
2

2
i


(
n


)
A
e

2
i

 2 (no   2 ) B  e i z
o



2
dz
dz
c
c





2
c
2


2no n1 cos(Gz) Ae i z  Be i z  0
Kalikan dengan exp(iz)

 
 
dA   2 2
dB   2 2
2 
  2 no    A  2i
  2 no   2  B  e i 2  z
 2i
dz  c
dz  c
  
 


2
c
2


2no n1 cos(Gz) A  Be i 2  z  0
12
Lakukan perata-rataan spasial:
e 2i z  0;
cos(Gz)  0,
cos(Gz)e i 2  z 
1
2
e
i ( 2  G ) z
 e i ( 2  G ) z


1
2
e i ( 2  G ) z
 2i

A   2 2
2
  2 no   2  A  2 no n1Be i ( 2  G ) z  0
z  c
c

 2i

dA   2 2
2
  2 no   2  A  2 no n1Be i ( 2  G ) z  0
dz  c
c

Dengan cara yang sama diperoleh:
dB
2
 (no2 2 / c 2   2 ) B  no n1 2 A ei ( 2  G ) z  0
dz
c
2i
Misalkanlah =G/2=noωB/c; maka dengan cukup kecil diperoleh

no2 2 / c 2   2 (no / c   )( no / c   ) no

 (  B )
2
2
c
B 
Go c  c

2no n o 
B disebut frekuensi Bragg, dan  disebut frecuency detuning.

B 
no n1 2 / c 2

2 c
B

 2no 
dA
 iA  iB
dz
n1
G
2no
Parameter kopling
Panjang gelombang Bragg
Disebut persamaan terkopel
13
dB
 iB  iA
dz
Cara penyelesaian persamaan terkopel:
a( z )  A( z ) ei z ;
b( z )  B( z ) e i z
dA
 iA  iBe i ( 2  G ) z  0
dz
da
 i b ei 2 z ;
dz
db
 i a e i 2 z
dz
d 2a
da
 i 2
  2a  0
2
dz
dz
a  (C1 cosh sz  C2 sinh sz )ei z ;
b

i

i

e  i 2 z
s   2  2  0
da
dz
C1 s sinh sz  C 2 s cosh sz   C1 cosh sz  C 2 sinh sz  e i z
A( z)  (C1 cosh sz  C2 sinh sz )
B( z ) 
i

C1s sinh sz  C2 s cosh sz   C1 cosh sz  C2 sinh sz  
Dengan menerapkan syarat batas A (0)=Ao, dan B(L)=0,
A( z )  Ao
s cosh s ( L  z )  i sinh s ( L  z )
s cosh sL  i sinh sL
B( z )  Ao
i sinh s ( L  z )
s cosh sL  i sinh sL
r
B(0)
i sinh sL

A(0) s cosh sL  i sinh sL
14
R r 
2
 2 sinh 2 sL
s 2 cosh 2 sL   2 sinh 2 sL
L  6
1.2
1
0.8
R
0.6
Band gap
0.4
0.2
0
-15
-10
-5
0
L
5
10
15
15
Misalkan 𝑛0 = 3, 𝑛1 = 0,1, 𝐴 = 3 μm
B  2no   1,2μm; f B  25 0 THz

n1
G  0,5 μm1 ; L  12 μm
2no
-1
=-1,25 sd 1,25 m
L=-15 sd 15
Lebar Pita
no
 c 1,25 μm-1 x3x108 ms 1
  (  B )    B 

 1,25 x1014 s -1
c
no
3
f  f B  20 THz
f  2x20 THz  40THz ; f B  250 THz
f 
c
   f
2
;
c
40 x1012 s 1x(1,2 μm) 2
 
 0,19 μm; B  1,2 μm
3x108 ms 1

c. Reflektor Bragg sinusoida dengan apodisasi
Side lobe = Refleksi yang bervariasi di luar band gap.
Side lobe itu dapat dihilangkan dengan cara apodisasi.
 ( z) 

2
Go
n1 ( z )   o e  ( z / L )
2no
no n1 2 / c 2


n1
G
2no
da
 i ( z ) b ei 2 z ;
dz
db
 i ( z ) a e  i 2  z
dz
Misalkan: r ( z,  )  B( z )  b( z ) ei 2 z
A( z ) a( z )
dr  d
d i 2 z


 i 2   e i 2 z 
e
 i 2 r
dz  dz
dz

dr
 i 2 r  i (1  r 2 )
dz
r ( z,  )   ( z )ei 2 z
16
d
 i ( z ) e  i 2 z ,
dz
r 2  1
L
 (0,  )  i  dz  ( z ) e i 2 z
0
L
r (0,  )  i  dz  ( z ) e i 2 z
0
R(0,  )  r (0,   
2
L
2
o
 dz e
2
 ( z / L ) 2
e
 i 2 z
  o2 ( p 2  q 2 )
0
17
L
p   e  ( z / L ) cos( 2 z )dz
2
0
L
q   e  ( z / L ) sin( 2 z )dz
2
0
d. Reflektor Bragg sinusoida dengan chirp
Reflektor Bragg yang memiliki lebar pita yang besar.
Reflektror ini merupakan deretan sejumlah reflektror Bragg yang tersusun
mulai dari yang berperioda besar dan diakhiri dengan perioda kecil.
1
2
3
4 5
1 > 2 > 3 > 4 > 5
B  2no 
n( z )  no  n1 cos [G( z ) z ]; n1  no
 2i

dA   2 2
2
  2 no   2  A  2 no n1Be i ( 2  G ) z  0
dz  c
c

2i

dB  no2 2
2
  2   2  B  no n1 2 A e i ( 2  G ) z  0
dz  c
c

2  Go   ( z )  G( z )  Go  z
18
dA
 iA  iB e i ( z )
dz
dB
 iB  iAei ( z )
dz
b( z )  B( z ) e i z
a( z )  A( z ) ei z
da
 i b ei[ 2 z  ( z )]
dz
db
 i a e i[ 2 z  ( z )]
dz
Untuk linier Chirp
G ( z )  Go 
F
F
z   ( z)  2 z 2
2
L
L
F disebut parameter chirp
Keadaan phase match terjadi jika 2 z-(z)=0.
z ( ) 
B 
2 L2 no
2 L2
  B 

F
Fc
Go c  c

2no n o 
r ( z,  ) 
Jadi, cahaya berfrekuensi
tinggi memerlukan jarak
resonansi lebih besar.
B( z ) i ( z ) b( z ) i ( 2z  )
e

e
A( z )
a( z )
dr 
d 
2
 i 2 
 r  i (1  r )
dz 
dz 
r ( z,  )   ( z )e
i ( 2z  )
dr  d
d 
   i (2  )r  ei ( 2z  )
dz  dz
dz 
19
d
 i e i ( 2z  ( z ))
dz
 ( L / 2,  )  i
L/2
 dz e
i ( 2z  ( z ))
L / 2
r ( L / 2,  )  i ei[ 2 L / 2 (  L / 2)]  dz e i[( 2 z  ( z )]
R( L / 2,  )  r ( L / 2,   
2
2
L/2
2
 dz e
i ( 2 z  ( z ))
  2 ( p2  q2 )
L / 2
L/2
p
 cos(2 z   ( z))dz;
L/2
q
L / 2
 sin( 2 z   ( z))dz
L / 2
0.8
0.7
Reflektans
0.6
L=10 m
0.5
=0,5 m
0.4
-1
0.3
F=40
0.2
0.1
0
-10
-8
-6
-4
-2
0
Delta
2
4
6
8
10
0.7
0.6
Reflektans
0.5
L=10 m
0.4
=0,5 m
0.3
0.2
F=50
0.1
0
-10
-8
-6
-4
-2
0
Delta
2
4
6
8
10
20
-1
e. Reflektor Bragg dengan chirp dan apodisasi
 ( L / 2,  )  i o
L/2
 dz e
( / L2 ) z 2
e i ( 2 z  ( z ))
L / 2
/
r ( L / 2,  )  i o ei[ 2 L / 2 (  L / 2)]  dz e( / L ) z ei[( 2 z  ( z )]
2
R( L / 2,  )  r ( L / 2,   
2
L/2
2
o
 dz e
2
2
( / L2 ) z 2
e
i ( 2 z  ( z ))
  o2 ( p 2  q 2 )
L / 2
L/2

e ( / L ) z cos( 2 z   ( z )) dz;
2
2
L/2
q
L / 2

e ( / L ) z sin( 2 z   ( z ))dz
2
2
L / 2
0.5
0.45
0.4
L=10 m
0.35
Reflektans
p
=0.5 m
0.3
0.25
=8;
0.2
F=40
0.15
0.1
0.05
0
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Delta
21
-1
DAFTAR PUSTAKA
Bahtiar, A. (2007). Kristal Fotonik Nonlinier Untuk Aplikasi All-Optical
Switching. Bandung: UNPAD.
Hidayat, S. dan Safriani, L. (2O13). “Fabrikasi Dan Karakterisasi Kristal
Fotonik Satu Dimensi Untuk Aplikasi Biosensor Optik”. Jurnal Ilmu Hayati
dan Fisik. 15, (1), 24-28.
Notomi, M., Suzuki, H., dan Tamamura, T.. (2001). Dimensional Organic
Photonic Crystal Lasers at Several Photonic Band gap. Applied Physics
Letters, Vol. 78, No. 10, 1325-1327.
Siregar, R.E. (2016). Rambat Gelombang Optik dalam Medium Berlapis.
Bandung: UNPAD press
22