Solusi HW week 7

Solusi HW week 7
1. Tinjau suatu sistem gas diatomik yang molekulnya memiliki momen dipol
listrik µ
~ . Sistem tersebut berada dalam suatu wadah bervolume V , dalam
~ Abaikan interaksi antara molekul
daerah medan listrik homogen E.
(a) Carilah polarisasi listriknya P~
(b) Hitunglah konstanta dielektrik gas tersebut dalam limit ketika medan~ << kT .
nya sangat rendah |~
µ · E|
Jawab:
Kita anggap medan listriknya mengarah ke sumbu z sehingga hanya Pz
saja yang ada.
(a) Ketika interaksi diabaikan, maka hamiltonan total adalah jumlah
dari hamiltonan masing-masing molekul
Ipm ω 2
k∆x2
|~
ppm |2
~
+
+
−µ
~ ·E
2m
2
2
H1 =
(1)
Pertama dicari fungsi partisi kanoniknya
Z(T, E, V, N ) =
1
[Zkinetic Zelektrik ]N
N!
(2)
Kita tidak perlu menghitung Zkinetic , karena untuk mencari polarisasi medan listrik (=rerata momen dipol listrik per satuan volume)
digunakan
1 ∂ ln Z Pz =
(3)
V β ∂Ez T,V,N
dengan
Z
2π
Zelektrik (T, E) =
Z
dφ
0
π
dθ sin θeβµEz cos θ = 4π
0
sinh(βµEz )
βµEz
(4)
sehingga
Pz =
1 N µ coth(βµEz ) −
V
βµEz
(5)
~ = E
~ dan D
~ ≡E
~ + 4π P~ .
(b) Konstanta dielektrik didefinisikan oleh D
sehingga
Pz
= 1 + 4π
(6)
Ez
Dalam limit medan yang lemah, polarisasi dapat didekati secara linear dalam Ez , sehingga
Pz
N µ2
≈
Ez
V 3kT
1
(7)
yang menghasilkan
= 1 + 4π
N µ2
V 3kT
(8)
~ <<
gas tersebut dalam limit ketika medannya sangat rendah |~
µ · E|
kT .
2. Suatu kristal terdiri dari N titik kisi kristal. Setiap titik kisi dapat dihuni
oleh satu partikel tapi dapat juga kosong. Setiap partikel yang menghuni
titik kristal memiliki energi , dan memiliki besar momen magnetik µ.
Dalam medan magnet luar H, momen magnet setiap partikel hanya dapat
memiliki dua orientasi (paralel atau antiparalel terhadap arah medan)
(a) Carilah fungsi partisi kanonik untuk titik-titik kisi kristal ini
(b) Carilah rerata energi sistem
(c) Carilah magnetisasi M sistem ini
Jawab:
(a) Karena masing-masing titik kristal independen dari yang lain maka
fungsi partisi kanoniknya adalah produk dari fungsi partisi masingmasing titik kristal Z(T, N ) = Z1 (T )N . Energi setiap titik kristalnya
diberikan oleh
E = n( − µHs)
(9)
dengan n = 0, 1 dan s = ±1. Sehingga fungsi partisi satu titik kristal
diberikan oleh
X X
Z1 (T ) =
e−βn(−µHs) = 1 + e−β (eβµH + e−βµH ). (10)
n=0,1 s=±1
(b) Rerata energi dalam sistem diperoleh melalui
U =−
cosh(βµH) − µH sinh(βµH)
∂ ln Z(T, N )
= 2N
∂β
eβ + 2 cosh(βµH)
(11)
(c) Magnetisasi sistem ini diberikan oleh
M=
1 ∂ ln Z(T, N ) sinh(βµH
= 2N µ β
β
∂H
e + 2 cosh(βµH)
β
2
(12)