16320222_Achmad Reksa Billah
Tutorial 1
A. Pertanyaan
1. Partikel dikatakan berhenti ketika
𝑣=0
dari grafik dapat diketahui bahwa fungsi memotong sumbu-t, yang artinya
besar 𝑣 = 0, jadi partikel berhenti sesaat.
Percepatan dapat didefinisikan sebagai turunan dari kecepatan
𝑣 = 𝑚𝑡 + 𝑐
𝑑𝑣
𝑎=
𝑑𝑡
𝑑(𝑚𝑡 + 𝑐 )
𝑎=
𝑑𝑡
𝑎=𝑚
Jadi percepatan bernilai positif dan konstan.
2. Partikel dapat berhenti sesaat apabila mengalami perlambatan, atau arah
kecepatan dan percepatannya saling berlawanan
Hal itu terjadi pada kasus
(2) 𝑣0 = + , 𝑎 = −
(3) 𝑣0 = − , 𝑎 = +
Posisi awal partikel 𝑥0 = −20𝑚, partikel harus bergerak ke arah 𝑥 positif
untuk melewati titik asal (0,0)
(1) 𝑣 = + , 𝑎 = +
(3) 𝑣 = − , 𝑎 = +
Pada kasus (3) partikel akan diperlambat hingga berhenti dan arah kecepatan
berubah ke arah sumbu-𝑥 positif
Partikel tidak akan pernah melewati titik asal jika terus bergerak ke arah 𝑥
negatif
(4) 𝑣 = − , 𝑎 = −
3. Waktu bola mencapai titik tertinggi adalah
𝑣0𝑦
𝑡=
𝑔
Dari grafik kita tahu bahwa
𝐻1𝑚𝑎𝑥 = 𝐻2𝑚𝑎𝑥 = 𝐻3𝑚𝑎𝑥
Rumus 𝐻𝑚𝑎𝑥 pada gerak parabola adalah
2
𝑣0𝑦
𝐻𝑚𝑎𝑥 =
2𝑔
Supaya nilai ketinggian maksimal sama, maka
𝑣0𝑦1 = 𝑣0𝑦2 = 𝑣0𝑦3 = 𝑣0𝑦
Dari rumus ketinggian dapat dijabarkan menjadi
𝑣0𝑦 𝑣0𝑦
𝐻𝑚𝑎𝑥 =
×
𝑔
2
𝑣0𝑦
𝐻𝑚𝑎𝑥 = 𝑡 ×
2
Perbandingan waktu didapatkan
𝑡1 = 𝑡2 = 𝑡3
Dari grafik dapat diketahui perbandingan jarak horizontal maksimal, yaitu
𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3
Dapat dicari perbandingan komponen kecepatan pada sumbu-𝑥
𝑣0𝑥1 . 𝑡 < 𝑣0𝑥2 . 𝑡 < 𝑣0𝑥3 . 𝑡
Karena nilai 𝑡 pada tiga lintasan sama, dapat diperoleh
𝑣0𝑥3 > 𝑣0𝑥2 > 𝑣0𝑥1
Besarnya laju awal dipengaruhi besar komponen kecepatan arah vertikal dan
horizontal. Karena besar komponen kecepatan arah vertikal sama di semua
lintasan, maka
𝑣03 > 𝑣02 > 𝑣01
4. Akan dicari waktu tempuh total bola
Diketahui rumus waktu total gerak parabola adalah
2𝑣0 sin 𝜃
𝑡=
𝑔
Karena
𝜃𝑎 < 𝜃𝑏 < 𝜃𝑐
sin 𝜃𝑎 < sin 𝜃𝑏 < sin 𝜃𝑐
Selain itu, besar laju awal sama, maka
𝑡 ≈ sin 𝜃
Sehingga
𝑡𝑐 > 𝑡𝑏 > 𝑡𝑎
Saat bola mencapai ketinggian maksimum, laju bola sama dengan besar
komponen kecepatan pada arah horizontal
𝑣 = 𝑣𝑥
Karena
cos 𝜃𝑎 > cos 𝜃𝑏 > cos 𝜃𝑐
Maka
𝑣0 cos 𝜃𝑎 > 𝑣0 cos 𝜃𝑏 > 𝑣0 cos 𝜃𝑐
𝑣𝑎 > 𝑣𝑏 > 𝑣𝑐
5. Asumsikan gerak berlawanan arah jarum jam.
Komponen vertikal posisi vertikal dari posisi 𝑟𝑦 bernilai maksimal apabila
sin 𝜃 = |1|
Jadi
𝜃 = {90°, 270°}
Komponen vertikal dari kecepatan 𝑣𝑦 bernilai maksimal apabila partikel
berada di sumbu-𝑥, atau
cos 𝜃 = |1|
Jadi
𝜃 = {0°, 180°}
Komponen vertikal dari percepatan 𝑎𝑦 bernilai terbesar apabila benda
berada pada sumbu-𝑦, atau
sin 𝜃 = |1|
Jadi nilai 𝜃 harus
𝜃 = {90°, 270°}
B. Soal
1. Diketahui rumus posisi GLBB
1
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 + 𝑎𝑡 2
2
Tinjau benda pada saat 𝑡 = 1𝑠
1
0 = −2 + 𝑣0 + 𝑎
2
4 = 2𝑣0 + 𝑎 … (1)
Tinjau benda pada saat 𝑡 = 2𝑠
1
6 = −2 + 𝑣0 . 2 + 𝑎 . 22
2
8 = 2𝑣0 + 2𝑎 … (2)
Eliminasi (2) dan (1) diperoleh
𝑎 = 4 𝑚/𝑠 2
Percepatan bernilai positif, maka percepatan memiliki arah menuju sumbu 𝑥
positif
2. Untuk memudahkan penghitungan, saya geser grafik fungsi 2 satuan.
Sehingga yang dicari menjadi kecepatan saat 𝑡 = 8𝑠.
Mencari rumus fungsi percepatan
𝑎 = 𝑚𝑡 + 𝑐
𝑎 = −2𝑡 + 12
Kecepatan merupakan turunan dari percepatan
𝑑𝑣
𝑣=
𝑑𝑡
𝑑(−2𝑡 + 12)
𝑣=
𝑑𝑡
𝑣 = −𝑡 2 + 12𝑡 + 𝐶
Kecepatan awal 𝑣0 = 7,0 𝑚/𝑠
𝑣 = −𝑡 2 + 12𝑡 + 7
Kecepatan pada waktu 𝑡 = 8𝑠 adalah
𝑣 = −(8)2 + 12(8) + 7
𝑣 = −64 + 96 + 7
𝑣 = 39 𝑚/𝑠
3. Berlaku rumus gerak vertikal ke atas
𝑣𝑡2 = 𝑣02 − 2𝑔ℎ
Tinjau benda saat berada di 𝑦 = 𝑦𝐴
𝑣𝐴2 = 𝑣02 − 2𝑔. 𝑦𝐴 … (1)
Tinjau benda saat berada di 𝑦 = 𝑦𝐵
2
1
( 𝑣𝐴 ) = 𝑣02 − 2𝑔. 𝑦𝐵 … (2)
3
Eliminasi (1) dan (2) diperoleh
8 2
𝑣 = 2𝑔(𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )
9 𝐴
9
𝑣𝐴2 = 𝑔. 𝑑
4
9
2
𝑣𝐴 = (9,8)(0,4)
4
𝑣𝐴2 = 8,82
𝑣𝐴 = 2,96 𝑚/𝑠
𝑣𝐴 ≈ 3,0 𝑚/𝑠
4. Pertama uraikan peristiwa menjadi dua kejadian, kejadian pertama dari 𝑥 =
1
0 sampai 𝑥 = 4 𝑅 anggap menempuh waktu 𝑡1 , dan kejadian kedua dari
1
𝑥 = 4 𝑅 sampai 𝑥 = 𝑅 anggap menempuh waktu 𝑡2 .
Tinjau gerak mobil saat menempuh 𝑡1
1 2
𝑎𝑡
2
1
1
𝑅 = 𝑎1 𝑡12
4
2
𝑅
2
𝑡1 =
2𝑎1
𝑥=
𝑡1 = √
𝑅
2𝑎1
900
𝑡1 √
2 × 2,25
𝑡1 = 10√2 𝑠
Untuk mencari 𝑡2 , besar kecepatan saat 𝑡1 harus diketahui terlebih dahulu
𝑣𝑡1 = 𝑎1 × 𝑡1
𝑣𝑡1 = 2,25 × 10√2
𝑣𝑡1 = 22,5√2 𝑚/𝑠
Setelah ini tinjau gerak benda saat menempuh 𝑡2
𝑣𝑡2 = 𝑣𝑡1 + 𝑎2 𝑡2
0 = 22,5√2 − 0,750𝑡2
𝑡2 = 30√2 𝑠
Jadi 𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 adalah
𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑡1 + 𝑡2
𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 10√2 + 30√2
𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 40√2 𝑠
Laju maksimum mobil yaitu ketika sesaat sebelum diperlambat
𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝑣𝑡1 = 22,5√2 𝑚/𝑠
5. Sebuah elektron bergerak dengan posisi
𝑟⃑ = 3𝑡 𝑖̂ − 4𝑡 2 𝑗̂ + 2 𝑘̂
Kecepatan dapat ditentukan melalui turunan dari vektor posisi
𝑑
𝑣⃑ = (3𝑡 𝑖̂ − 4𝑡 2 𝑗̂ + 2 𝑘̂)
𝑑𝑡
𝑣⃑ = (3 𝑖̂ − 8𝑡 𝑗̂)𝑚/𝑠
Kecepatan pada 𝑡 = 2,00𝑠
𝑣⃑ = 3 𝑖̂ − 8(2)𝑗̂
𝑣⃑ = (3 𝑖̂ − 16 𝑗̂)𝑚/𝑠
Besar kecepatan dapat dicari
|𝑣⃑| = √(3)2 + (−16)2
|𝑣⃑| = √9 + 256
|𝑣⃑| = √265
|𝑣⃑| ≈ 16,3 𝑚/𝑠
Besar sudut yang dibentuk terhadap sumbu-𝑥 positif dapat dicari dari vektor
kecepatan
𝑣𝑦
tan 𝜃 =
𝑣𝑥
16
tan 𝜃 = −
3
16
𝜃 = tan−1 (− )
3
𝜃 = 79,4°
6. Suatu partikel bergerak dengan vektok kecepatan
𝑣⃑ = (6,0𝑡 − 4,0𝑡 2 )𝑖̂ + 8,0 𝑗̂
Percepatan ketika 𝑡 = 3,0𝑠
𝑎⃑ =
𝑑
((6,0𝑡 − 4,0𝑡 2 )𝑖̂ + 8,0 𝑗̂)
𝑑𝑡
𝑎⃑ = (6,0 − 8,0𝑡) 𝑖̂
𝑎⃑ = (6,0 − 8,0(3,0)) 𝑖̂
𝑎⃑ = (6,0 − 24,0) 𝑖̂
𝑎⃑ = −18 𝑖̂ 𝑚/𝑠 2
Jika percepatan 𝑎⃑ = 0 𝑚/𝑠 2
0 = (6,0 − 8,0𝑡) 𝑖̂
3
𝑡 = 𝑠 = 0,75𝑠
4
Kecepatan tidak mungkin bernilai 𝑣 = 0, karena vektor kecepatan pada
sumbu-𝑦 konstan dengan besar 𝑣𝑦 = (8,0 𝑗̂) 𝑚/𝑠
Laju partikel sama dengan |𝑣⃑| = 10𝑚/𝑠 jika vektor kecepatan
|𝑣⃑| = √(6𝑡 − 4𝑡 2 )2 + 82
10 = √(6𝑡 − 4𝑡 2 )2 + 82
100 = (6𝑡 − 4𝑡 2 )2 + 64
36 = (6𝑡 − 4𝑡 2 )2
6𝑡 − 4𝑡 2 = ±√36
6𝑡 − 4𝑡 2 = ±6
4𝑡 2 − 6𝑡 ± 6 = 0
Mencari nilai 𝑡
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑡=
2𝑎
Supaya terdefinisi, maka kita harus menggunakan (+6)
6 ± √(−6)2 − 4(4)(−6)
𝑡12 =
2(4)
6 ± √36 + 96
𝑡12 =
8
6 ± √132
𝑡12 =
8
Karena √132 > 6 dan syarat 𝑡 > 0, maka
6 + √132
𝑡=
8
6 + 11,49
𝑡=
8
𝑡 = 2,19𝑠
7. Seberapa jauh bola golf bergerak horizontal sebelum mencapai tanah berarti
mencari jarak horizontal maksimal. Bola golf bergerak dengan lintasan
parabola.
Apabila mencapai titik tertinggi, besar laju sama dengan besar komponen
kecepatan pada arah sumbu-𝑥 dan merupakan laju terkecil, yaitu 𝑣 =
19𝑚/𝑠. Jadi jarak maksimal yang ditempuh bola golf adalah
𝑅 = 𝑣𝑥 𝑡
𝑅 = 19 × 5
𝑅 = 95 𝑚
Sebelum mencari ketinggian, 𝑣0𝑦 harus diketahui nilainya
2
𝑣0𝑦
= 𝑣𝑏2 − 𝑣𝑎2
2
𝑣0𝑦
= 312 − 192
2
𝑣0𝑦
= (31 + 19)(31 − 19)
2
𝑣0𝑦
= (50)(12)
2
𝑣0𝑦 = 600
Ketinggian maksimum dapat dicari
2
𝑣0𝑦
ℎ𝑚𝑎𝑥 =
2𝑔
600
ℎ𝑚𝑎𝑥 =
2(9,8)
ℎ𝑚𝑎𝑥 = 30,6 𝑚
