1.1 - Sistem Koordinat Tiga Dimensi

VEKTOR
DAN GEOMETRI RUANG
Dalam bagian ini diperkenalkan vektor dan sistem koordinat untuk ruang tiga
dimensi yang akan menjadi pengaturan untuk studi kalkulus fungsi dua peubah
disebabkan grafik fungsi yang demikian adalah permukaan dalam ruang. Dalam
bagian ini kita akan melihat bagaimana vektor memberikan deskripsi yang secara
khusus terhadap garis dan bidang dalam ruang.
1.1 SISTEM KOORDINAT TIGA DIMENSI
Untuk melokasikan sebuah titik pada sebuah bidang, diperlukan dua
bilangan. Kita tahu bahwa sebarang titik pada bidang dapat direpresentasikan
sebagai sebuah pasangan terurut bilangan-bilangan riil (𝑎, 𝑏), dimana 𝑎 adalah
koordinat-𝑥 dan 𝑏 adalah koordinat-𝑦. Untuk alasan ini, suatu bidang disebut
dimensi-dua. Untuk melokasikan sebuah titik dalam ruang, dibutuhkan tiga
bilangan. Kita representasikan sebarang titik dalam ruang dengan sebuah triple
terurut bilangan-bilangan riil (𝑎, 𝑏, 𝑐).
Gambar 1
Gambar 2
Untuk merepresentasikan sebuah titik dalam ruang, pertama sekali kita pilih
sebuah titik tetap 𝑂 (titik asal) dan tiga garis berarah yang melalui 𝑂 yang tegaklurus satu dengan lainnya, yang disebut sumbu-sumbu koordinat dan diberi label
sumbu-𝑥, sumbu-𝑦, dan sumbu-𝑧. Biasanya kita pikirkan saja dalam benak kita
bahwa sumbu-𝑥 dan sumbu-𝑦 sebagai sumbu-sumbu horizontal dan sumbu-𝑧
sebagai sumbu vertikal, dan kita gambarkan orientasi sumbu-sumbu tersebut
sebagaimana dalam Gambar 1 arah sumbu-𝑧 ditentukan dengan aturan tangan
kanan sebagaimana yang diilustrasikan dalam Gambar 2: Jika anda melingkarkan
jari-jari tangan kanan anda memutari sumbu-𝑧 dalam arah 90° berlawanan dengan
arah jarum jam dari sumbu-𝑥 positif ke sumbu-𝑦 positif, maka ibu jari searah
dengan arah positif dari sumbu-𝑧.
1
Ketiga sumbu koordinat menetapkan ketiga bidang koordinat yang
diilustrasikan dalam Gambar 3. Bidang-𝑥𝑦 adalah bidang yang mengandung
sumbu-𝑥 dan sumbu-𝑦; bidang-𝑦𝑧 adalah bidang yang mengandung sumbu-𝑦 dan
sumbu-𝑧; bidang-𝑥𝑧 adalah bidang yang mengandung sumbu-𝑥 dan sumbu-𝑧.
Ketiga bidang koordinat ini membagi ruang kedalam delapan bagian, disebut
oktan. Oktan pertama, pada bagian depan, ditetapkan oleh sumbu-sumbu positif.
bidang-yz
bidang-xz
bidang-xy
Gambar 3
Karena banyak yang mengalami kesulitan dalam memvisualisasikan
diagram gambar dimensi-tiga, kami sarankan kepada anda untuk mengikuti
pemikiran berikut (lihat Gambar 4).
dinding
kanan
dinding
kiri
lantai
Gambar 4
Perhatikan sebarang sudut bawah sebuah ruangan dan sebut sudut itu
dengan titik asal. Dinding di sebelah kiri anda adalah bidang-𝑥𝑧, dinding di sebelah
kanan anda adalah bidang-𝑦𝑧, dan lantai adalah bidang-𝑥𝑦. Sumbu-𝑥 adalah
perpotongan antara lantai dan dinding sebelah kiri. Sumbu-𝑦 adalah perpotongan
2
antara lantai dan dinding sebelah kanan. Sumbu-𝑥 adalah perpotongan antara
dinding sebelah kiri dan dinding sebelah kanan. Pahami juga bahwa anda sedang
berada di dalam oktan pertama (tiga oktan lainnya berlantai sama dan empat oktan
lainnya berada di bawah lantai), kesemuanya dihubungkan oleh titik sudut yang
sama yaitu titik asal 𝑂.
Sekarang, jika 𝑃 adalah sebarang titik dalam ruang, misalkan 𝑎 adalah jarak
(berarah) dari bidang-𝑦𝑧 ke 𝑃, misalkan 𝑏 adalah jarak dari bidang-𝑥𝑧 ke 𝑃, dan
misalkan 𝑐 adalah jarak dari bidang-𝑥𝑦 ke 𝑃. Kita representasikan titik 𝑃 dengan
triple terurut bilangan-bilangan riil (𝑎, 𝑏, 𝑐) dan kita sebut 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 sebagai
koordinat-koordinat dari 𝑃; 𝑎 adalah koordinat-𝑥, 𝑏 adalah koordinat-𝑦, dan 𝑐
adalah koordinat-𝑧. Jadi, untuk melokasikan titik (𝑎, 𝑏, 𝑐), kita dapat memulai dari
titik asal 𝑂 dan bergerak 𝑎 unit sepanjang sumbu-𝑥, kemudian 𝑏 unit sejajar dengan
sumbu-𝑦, dan kemudian 𝑐 unit sejajar sumbu-𝑧 sebagaimana dalam Gambar 5.
Gambar 5
Gambar 6
Titik 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐) menetapkan sebuah kotak persegipanjang sebagaimana
diperlihatkan dalam Gambar 6. Jika kita jatuhkan secara tegak-lurus dari 𝑃 ke
bidang-𝑥𝑦, kita dapatkan titik 𝑄 dengan koordinat (𝑎, 𝑏, 0) yang disebut proyeksi
dari 𝑃 pada bidang-𝑥𝑦. Dengan cara yang sama, 𝑅(0, 𝑏, 𝑐) dan 𝑆(𝑎, 0, 𝑐) berturutturut adalah proyeksi 𝑃 pada bidan-𝑦𝑧 dan bidang-𝑥𝑧.
Sebagai ilustrasi numerik, titik-titik (−4, 3, −5) dan (3, −2, −6) diplotkan
dalam Gambar 7.
3
Gambar 7
Hasil kali Cartesius ℝ × ℝ × ℝ = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ} adalah himpunan
semua triple terurut dari bilangan-bilangan riil dan dinyatakan dengan ℝ3 . Kita
telah memberikan sebuah korespondensi satu-satu antara titik 𝑃 dalam ruang dan
triple terurut (𝑎, 𝑏, 𝑐) dalam ℝ3 yang disebut dengan sistem koordinat
persegipanjang dimensi-tiga. Catat bahwa dalam hal koordinat, oktan pertama
dapat digambarkan sebagai sehimpunan titik yang semua koordinatnya adalah
positif.
Dalam geometri analitik dimensi-dua, grafik persamaan yang melibatkan 𝑥
dan 𝑦 adalah kurva dalam ℝ2 . Dalam geometri analitik dimensi-tiga, persamaan
dalam 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 merepresentasikan sebuah permukaan dalam ℝ3 .
Contoh 1
Permukaan yang bagaimanakah dalam ℝ3 yang direpresentasikan oleh
persamaan-persamaan berikut?
(a) 𝑧 = 3
(b) 𝑦 = 5
Penyelesaian
(a) Persamaan 𝑧 = 3 merepresentasikan himpunan {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑧 = 3}, yang
merupakan himpunan semua titik dalam ℝ3 dengan koordinat-𝑧 adalah
3. Ini adalah bidang horizontal yang sejajar dengan bidang-𝑥𝑦 dan tiga
unit diatasnya sebagaimana dalam Gambar 8(a).
(b) Persamaan 𝑦 = 5 merepresentasikan himpunan semua titik dalam ℝ3
yang memiliki koordinat-𝑦 adalah 5. Ini adalah bidang vertikal yang
sejajar dengan bidang-𝑥𝑧 dan lima unit di sebelah kanannya
sebagaimana dalam Gambar 8(b).
□
4
Gambar 8(b)
Gambar 8(a)
𝑧 = 3, sebuah bidang dalam ℝ3
𝑦 = 5, sebuah bidang dalam ℝ3
Catat bahwa ketika sebuah persamaan diberikan, kita harus memahami
konteksnya apakah persamaan tersebut merepresentasikan sebuah kurva dalam ℝ2
ataukah sebuah permukaan dalam ℝ3 . Dalam Contoh 1, 𝑦 = 5 merepresentasikan
sebuah bidang dalam ℝ3 , tetapi tentu saja 𝑦 = 5 dapat juga merepresentasikan
sebuah garis dalam ℝ2 jika kita dihadapkan dengan geometri analitik dimensi-dua.
Lihat Gambar 8(b) dan Gambar 9.
Gambar 9
𝑦 = 5, sebuah garis dalam ℝ2
Secara umum, jika 𝑘 adalah sebuah konstanta, maka 𝑥 = 𝑘
merepresentasikan sebuah bidang yang sejajar dengan bidang-𝑦𝑧, 𝑦 = 𝑘
merepresentasikan sebuah bidang yang sejajar dengan bidang-𝑥𝑧, dan 𝑧 = 𝑘
merepresentasikan sebuah bidang yang sejajar dengan bidang-𝑥𝑦. Dalam Gambar
5, wajah dari kotak persegipanjang dibentuk oleh tiga bidang koordinat 𝑥 = 0
(bidang-𝑦𝑧), 𝑦 = 0 (bidang-𝑥𝑧), dan 𝑧 = 0 (bidang-𝑥𝑦), dan bidang 𝑥 = 𝑎, 𝑦 = 𝑏,
dan 𝑧 = 𝑐.
Contoh 2
Deskripsikan dan gambarkan sketsa permukaan dalam ℝ3 yang
direpresentasikan oleh persamaan 𝑦 = 𝑥.
5
Penyelesaian
Persamaan tersebut merepresentaikan himpunan semua titik dalam ℝ3 yang
mana koordinat-𝑥 dan koordinat-𝑦 adalah sama, yakni, {(𝑥, 𝑥, 𝑧)|𝑥 ∈ ℝ, 𝑧 ∈
ℝ}. Ini adalah bidang vertikal yang memotong bidang-𝑥𝑦 dalam garis 𝑦 =
𝑥, 𝑧 = 0. Sebagian dari bidang ini yang terletak dalam oktan pertama
disketsakan dalam Gambar 10.
Gambar 10
Bidang 𝑦 = 𝑥
Rumus yang biasa digunakan untuk jarak antara dua titik pada bidang secara mudah
dapat diperluas menjadi rumus dimensi-tiga sebagai berikut.
RUMUS JARAK DALAM DIMENSI-TIGA
𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) dan 𝑃2 (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) adalah
Jarak |𝑃1 𝑃2 | diantara titik-titik
|𝑃1 𝑃2 | = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 + (𝑧2 − 𝑧1 )2
Untuk melihat kenapa rumusan ini benar, kita bentuk sebuah kotak
persegipanjang sebagaimana dalam Gambar 11, dimana 𝑃1 dan 𝑃2 adalah titik-titik
sudut yang berhadapan dan bagian-bagian depan kotak sejajar dengan bidangbidang koordinat.
Jika 𝐴(𝑥2 , 𝑦1 , 𝑧1 ) dan 𝐵(𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧1 ) adalah titik-titik sudut kotak yang
diindikasikan dalam gambar, maka
|𝑃1 𝐴| = |𝑥2 − 𝑥1 |
|𝐴𝐵| = |𝑦2 − 𝑦1 |
|𝐵𝑃2 | = |𝑧2 − 𝑧1 |
6
Gambar 11
Karena segitiga 𝑃1 𝐵𝑃2 dan 𝑃1 𝐴𝐵 keduanya adalah segitiga siku-siku, oleh
Teorema Phytagoras didapatkan
|𝑃1 𝑃2 |2
=
|𝑃1 𝐵|2 + |𝐵𝑃2 |2
dan
|𝑃1 𝐵|2
= |𝑃1 𝐴|2 + |𝐴𝐵|2
Dari kombinasi keduanya, kita dapatkan
|𝑃1 𝑃2 |2 =
|𝑃1 𝐴|2 + |𝐴𝐵|2 + |𝐵𝑃2 |2
=
|𝑥2 − 𝑥1 |2 + |𝑦2 − 𝑦1 |2 + |𝑧2 − 𝑧1 |2
=
(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 + (𝑧2 − 𝑧1 )2
Dengan demikian
|𝑃1 𝑃2 | =
√(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 + (𝑧2 − 𝑧1 )2
Contoh 3
Jarak dari titik 𝑃(2, −1,7) ke titik 𝑄(1, −3,5) adalah
|𝑃𝑄| = √(1 − 2)2 + (−3 + 1)2 + (5 − 7)2 = √1 + 4 + 4 = 3
□
7
Contoh 4
Tentukan persamaan bola dengan jari-jari 𝑟 dan pusat 𝐶(ℎ, 𝑘, 𝑙).
Penyelesaian
Oleh definisi, bola adalah himpunan semua titik 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) yang jaraknya
dari 𝐶 dan 𝑟. (Lihat Gambar 12). Jadi 𝑃 berada pada bola jika dan hanya
jika |𝑃𝐶| = 𝑟. Dengan mengkuadratkan kedua sisinya, kita memiliki
|𝑃𝐶|2 = 𝑟 2 atau
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 + (𝑧 − 𝑙)2 = 𝑟 2
□
Gambar 12
Contoh 5
Tentukan bentuk daerah dalam ℝ3 yang direpresentasikan oleh
pertidaksamaan
1 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 4
𝑧≤0
Penyelesaian
Pertidaksamaan
1 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 4
dapat dituliskan sebagai
1 ≤ √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 2
8
yang merepresentasikan titik-titik (𝑥, 𝑦, 𝑧) yang jaraknya dari titik asal
sekecil-kecilnya 1 dan sebesar-besarnya 2. Tetapi kita juga diberikan bahwa
𝑧 ≤ 0, yang berarti bahwa titik-titik tersebut terletak pada atau dibawah
bidang-𝑥𝑦. Jadi, pertidaksamaan yang diberikan merepresentasikan daerah
yang terletak diantara (atau pada) bola 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1 dan 𝑥 2 + 𝑦 2 +
𝑧 2 = 4 dan dibawah (atau pada) bidang-𝑥𝑦. Bola ini disketsakan dalam
Gambar 13.
□
Gambar 12
LATIHAN 1.1
1.
Yang manakah diantara titik-titik 𝑃(6, 2, 3), 𝑄(−5, −1, 4), dan 𝑅(0, 3, 8) yang
terdekat dengan bidang-𝑥𝑧? Titik yang manakah yng terletak pada bidang-𝑦𝑧?
2.
Tentukan proyeksi dari titik (2, 3, 5) pada bidang-𝑥𝑦, bidang-𝑦𝑧, dan bidang𝑥𝑧. Gambarkan sebuah kotak persegipanjang dengan titik asal dan (2, 3, 5)
sebagai titik-titik sudut yang berhadapan dan dengan bagian-bagian mukanya
sejajar dengan bidang-bidang koordinat. Beri label pada setiap titik sudutnya.
Tentukan panjang diagonal kotak tersebut.
3.
Tentukan apakah titik-titik yang berikut ini terletak pada garis lurus.
(a) 𝐴(2, 4, 2), 𝐵(3, 7, −2), 𝐶(1, 3, 3)
(b) 𝐷(0, −5, 5), 𝐸(1, −2, 4), 𝐹(3, 4, 2)
4.
Tentukan jarak dari (3, 7, −5) ke setiap yang berikut ini.
9
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Bidang-𝑥𝑦
Bidang-𝑦𝑧
Bidang-𝑥𝑧
Sumbu-𝑥
Sumbu-𝑦
Sumbu-𝑧
5.
Tentukan persamaan bola dengan pusat (1, −4, 3) dengan jari-jari 5. Tentukan
pula apakah bentuk perpotongannya dengan bidang-𝑥𝑧.
6.
Buktikan bahwa titik-tengah segmen garis dari 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) ke 𝑃2 (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 )
adalah
𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2 𝑧1 + 𝑧2
(
)
,
,
2
2
2
7.
Tentukan panjang segmen garis dari titik-tengah sebuah segitiga ke titik-titik
sudut 𝐴(1, 2, 3), 𝐵(−2, 0, 5), dan 𝐶(4, 1, 5).
8.
Deskripsikan dengan kata-kata daerah dari ℝ3 yang direpresentasikan oleh
persamaan atau ketidaksamaan berikut.
(a) 𝑦 = −4
(b) 𝑥 > 3
(c) 𝑧 2 = 1
(d) 𝑥 = 𝑧
(e) 𝑥 2 + 𝑧 2 ≤ 9
(f) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 > 2𝑧
9.
Tuliskan pertidaksamaan untuk mendeskripsikan daerah berikut.
(a) Daerah diantara bidang-𝑦𝑧 dan bidang vertikal 𝑥 = 5.
(b) Silinder pejal yang terletak pada atau dibawah bidang 𝑧 = 8 dan pada atau
diatas disk pada bidang-𝑥𝑦 dengan pusat di titik asal dan jari-jari 2.
10. Perhatikan titik 𝑃 sedemikian sehingga jarak dari 𝑃 ke 𝐴(−1, 5, 3) dua kali
jarak dari 𝑃 ke 𝐵(6, 2, −2). Perlihatkan bahwa himpunan semua titik yang
demikian adalah sebuah bola, lalu tentukan pusat dan jari-jarinya.
11. Gambar berikut ini memperlihatkan sebuah garis 𝐿1 , dalam ruang dan garis
yang kedua 𝐿2 , yang merupakan proyeksi dari 𝐿1 pada bidang-𝑥𝑦. (Dengan
kata lain, titik-titik pada 𝐿2 tepat dibawah, atau diatas, titik-titik pada 𝐿1 ).
10
(a) Tentukan koordinat titik 𝑃 pada garis 𝐿1 .
(b) Lokasikan pada diagram titik 𝐴, 𝐵, dan 𝐶, dimana garis 𝐿1 memotong
bidang-𝑥𝑦, bidang-𝑦𝑧, dan bidang-𝑥𝑧 secara berturut-turut.
12. Tentukan volume benda pejal yang terletak didalam kedua bola dengan
persamaan
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 4𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 + 5 = 0
dan
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4
11