soal mam trigono

Latihan Trigonometri
1. Buktikan tiap identitas berikut :
a. Cos ( +).cos ( -)  1 – (sin2  + sin2)
b. Cos ( +).cos ( -)  (cos2  + cos2 ) – 1
c. Cos ( +).cos ( -)  cos2  - sin2
d. Sin (A + B). sin (A – B)  sin2 A – sin2 B
e. Sin (A + B). sin (A – B)  cos2 B – cos2 A
f. Sin Ao - sin (A - 120)o - sin (A - 240)o = 2 sin A
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
n.
o.
p.
q.
cos(a  b) 1  tan a.tan b

cos(a  b) 1  tan a.tan b
cos( a  b)
 cot a.cot b  1
sin a.sin b
cos( a  b)
 1  tan a.tan b
cos a.cos b
cos( a  b)
 1  tan a. tan b
cos a.cos b
sin(a  b) tan a  tan b

sin(a  b) tan a  tan b
sin( a  b) tan a  tan b

sin a.sin b
tan a.tan b
sin( a  b)
 tan a  tan b
cos a.cos b
sin( a  b)
 tan a  tan b
cos a.cos b
sin( a  b)
 cos a.cos b
tan a  tan b
sin(a  b)
tan a  tan b

cos(a  b) 1  tan a.tan b
cos(a  b) 1  tan a.tan b

sin(a  b)
tan a  tan b
2. Buktikan bahwa :
tan( A  B)  tan B
 tan A
1  tan( A  B).tan B
tan( B  A)  tan A
b.
 tan B
1  tan( B  A).tan A
cos A  sin A
c. tan(45  A) 
cos A  sin A
1  tan A
d. tan(45  A) 
1  tan A
a.
3. Jika 2 cos(A + B) = cos (A – B), tunjukan bahwa : tan A. tan B = 13
4. Jika p = sin A + sin B dan q = cos A + cos B, tunjukan bahwa : p2 + q2 = 2 + 2 cos (A – B)
5. Jika
cos  30  x 
 1 a 
 a , tunjukkan bahwa tan x  3 

cos  30  x 
 1 a 
6. Diketahui segitiga ABC siku-siku di A, jika cos (A + B) = p, tunjukkan bahwa sin B + cos C = - 2p.
7. Dalam segitiga ABC diketahui cos C 
a. Tan (A+B)
b. Tan A + tan B
6
dan tan A.tan B = 4. Hitunglah :
61
8. Diketahui segitiga ABC sembarang,
a. Tunjukkan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C
b. Jika tan A = 3/2 dan tan B = 12/5 tunjukan bahwa A = C
9. Pada gambar di samping, O adalah titik pusat lingkaran luar segitiga ABC. Jika sin C = 1/3 , hitunglah :
C
a. Sin AOB
b. Cos AOB
c. Tan AOB
O
A
B
10. Hitunglah :
a. 2sin 8 cos 8
 sin 2 15
b.
1
2
c.
sin 2 12  cos 2 12
d.
2 cos 2 67 12   1
e.
2 tan 8
1  tan 2 8
f.
Sin 15o. cos 15o
g.
cos 4
5
12
 sin 4
5
12
11. Diketahui segitiga ABC siku-siku dan berlaku hubungan cos A = 0. Jika a, b, dan c adalah sisi-sisi dihadapan
sudut A, B dan C, tunjukkan bahwa :
2bc
a2
c2  b2
b. cos 2 B 
a2
2bc
c. tan 2 B  2
c  b2
4bc
d. sin 4 B  4  c 2  b 2 
a
a.
sin 2 B 
12. Nyatakan perbandingan trigonometri berikut dalam sudut 4A
a. Sin 2A
b. Cos 2A
c. Tan 2A
13. Dengan menggunakan rumus sin 12 A, cos 12 A, dan tan 12 A tunjukkan bahwa :
a.
sin 18  
b.
tan 18  
c.
cos 292 12  
1
2
2 2
2 2
2 2
1
2
2 2
14. Jika A sudut lancip dan sin A =
1
2
a.
sin A
b.
cos 12 A
c.
tan 12 A
3
5
, hitunglah nilai dari :
15. Diketahui cos 2A =
a. tan 2A
, A sudut lancip, tentukan :
b. tan A
16. Jika tan A =
1
2
c. cos A
2
3
, A lancip, tentukan :
b. cos A
18. Jika sin A =
3
5
c. tan A
19. Diketahui sin A =
b. cos
20. Jika sin X =
A. sin
1
2
d. tan
1
2
A
, A tumpul, hitunglah :
a. cos 2A b. tan 2A
a. sin 2A
d. sin A
, hitunglah tan 2A dan tan 3A
17. Diketahui cos 2A =
a. sin 2A
119
169
15
17
1
2
c. sin
, cos B =
A
1
2
A
d. cos 4A
 53 , A dan B pada kuadran yang sama, tentukan :
c. cos 2B
 135 , cos Y =  45 , X dan Y pada kuadran yang sama, hitunglah :
X b. cos 2Y
c. cos 2X
21. Diketahui 270o < 4x < 360o dan cos 4x =
22. Jika A lancip dan cos A = x, tentukan :
a. tan2 A b. sin 2A
c. cos 4 A
17
32
, hitunglah nilai cos 2x, cos x dan cos 3x
d. sin
1
2
A
23. Diketahui sin x = p, berapakah nilai sin (90o – 2x)?
24. Jika sin A – cos A = 15 , A lancip, tentukan nilai sin 2A dan sin A
25. Berapakah 8 sin2 22,5o – 4 cos2 67,5o ?
26. Bila tan 160o = p tentukan dalam p nilai tan 40o
27. Diketahui tan (A – B) = 23 , tan (2A – B) = 45 hitunglah nilai tan (4A – 3B)
28. Buktikan :
a. cos4 A – sin4 A = cos 2A
2  sec 2 x
 cos 2 x
sec 2 x
cot x  tan x
c.
 cos 2 x
cot x  tan x
1  cos 2 A
sin 2 A
d.

 tan A
sin 2 A
1  cos 2 A
1  sin 2 x cos x  sin x
e.

cos 2 x
cos x  sin x
1  cos x  sin x
f. tan 12 x 
1  cos x  sin x
b.
29. Buktikan :
a.
1  tan x 1  sin 2 x

1  tan x
cos 2 x
b.
2 sin A  sin 2 A
 tan 2 12 A
2 sin A  sin 2 A
c.
sin 3 A  cos 3 A
 1  12 sin 2 A
sin A  cos A
d.
1
sin 2 x
cos 2 x

 1 sin 2 x
1  cot x 1  tan x 2
e. sin 4x = 4 sin x cos x – 8 sin3 x cos x
f. cos 4x = 8 cos4 x – 8 cos 2 x +1
g. sin4 x =
3
8
 12 cos 2 x  18 cos 4 x
30. Buktikan :
a.
3 cos x  cos 3 x
 cot 3 x
3 sin x  sin 3 x
b.
sin 3x  sin 3 x
 cot x
cos 3 x  cos 3x
c. 4 sin3 x cos 3x + 4cos3 x sin 3x = 3 sin 4x
d.
1  sin x 1 
x 
  tan  1
1  cos x 2 
2 
2
2
x
x

e.  cos  sin   1  sin x
2
2

31. Hitunglah :
a. cos 56o + sin 56o tan 28o
b. cos 20o.cos 40o.cos 80o
c. sin 18o. cos 36o
d. sin 10o. sin 30o. sin 50o. sin 70o
e. cos 5 85 
32. Jika A, B dan C adalah sudut dalam sebuah segitiga, tunjukkan bahwa
a. cos A + cos (B-C) = 2 sin B sin C
b. sin A sin B + sin A cos B + cos A sin B + cos A cos B = 2 hanya jika segitiga ABC sama kaki dan sikusiku di C
c. sin 2A + sin 2B – sin2C = 4 cos A cos B sin C
33. Jika tan x =
1
dan tan y = ½ , hitunglah tan 2x, tan 2y, tan (x+2y), tan (2x+2y)
3
34. Hitunglah 2  2  2  2 cos8A
35. Jika sin A + sin 2A = x dan cos A + cos 2A = y , tunjukkan bahwa (x2 + y2)(x2 + y2 -3)= 2y
sin A  cos A
 3  2 2 , hitunglah sin ½ A, cos ½ A, tan ½ A
sin A  cos A
sin   A 
sin 2 A

37. Jika
tunjukkan bahwa tan2  = tan A. tan B
sin   B 
sin 2 B
36. Jika
38. Jika cos A 
33. Jika tan x =
p.cos B  q
, buktikan bahwa tan 12 A 
p  q.cos B
pq
.tan 12 B
pq
1
dan tan y = ½ , hitunglah tan 2x, tan 2y, tan (x+2y), tan (2x+2y)
3
34. Hitunglah 2  2  2  2 cos8A
35. Jika sin A + sin 2A = x dan cos A + cos 2A = y , tunjukkan bahwa (x2 + y2)(x2 + y2 -3)= 2y
sin A  cos A
 3  2 2 , hitunglah sin ½ A, cos ½ A, tan ½ A
sin A  cos A
sin   A 
sin 2 A

37. Jika
tunjukkan bahwa tan2  = tan A. tan B
sin   B 
sin 2 B
36. Jika
38. Jika cos A 
p.cos B  q
, buktikan bahwa tan 12 A 
p  q.cos B
pq
.tan 12 B
pq
33. Jika tan x =
1
dan tan y = ½ , hitunglah tan 2x, tan 2y, tan (x+2y), tan (2x+2y)
3
34. Hitunglah
2  2  2  2 cos8A
35. Jika sin A + sin 2A = x dan cos A + cos 2A = y , tunjukkan bahwa (x2 + y2)(x2 + y2 -3)= 2y
sin A  cos A
 3  2 2 , hitunglah sin ½ A, cos ½ A, tan ½ A
sin A  cos A
sin   A 
sin 2 A

37. Jika
tunjukkan bahwa tan2  = tan A. tan B
sin   B 
sin 2 B
36. Jika
38. Jika cos A 
p.cos B  q
, buktikan bahwa tan 12 A 
p  q.cos B
pq
.tan 12 B
pq
39. Sederhanakan dalam jumlah atau selisih :
a. 2 sin 65o. cos 10o
b. cos 72 x. sin 12 x
c. 3 cos 110o cos 40o
d. sin (A+B). cos (A – B)
e. cos ( 1  + A). sin ( 1  - A)
8
8
f.
g.
h.
i.
sin (A +B+C). sin (A+B – C)
cos (A+ ¼ ). cos (A - ¼  )
2 sin 37½o. cos 7½o
7 sin 75o. sin 105o
40. Buktikan :
a. 4 sin 6o. cos 12o. sin 18o = 1 + sin 6o – cos 12o
b. (cos 2x + cos 4x + cos 6x) .sin x = sin 3x. cos 4x
c.
2sin  A  60  .cos  A  60   
d.
2sin  A  45   cos  45  A   1  sin 2 A
e.
2 cos  A  712  sin  A  512     12  sin 2 A 
f.
g.
h.
i.
j.
4cos 36o.cos 72o cos 108o = 1 – 2 cos 36o + cos 72o
4 sin 18o.cos 36o. sin 54o = 1 + 2sin 18o – cos 36o
4 sin 36o. cos 72o. sin 108o = 1 – cos 72o
4 sin 4o. cos 14o. sin 16o = 1 + sin 6o – cos 8o
2 sin A.cos (A+30)o = sin (2A + 30)o – ½
3  sin 2 A
1
2
k.
2 cos  14   B  cos  43   B   1  sin 2 B
l.
2sin  74   B  .sin  14   B    cos 2 B
m.
n.
o.
p.
q.
r.
s.
t.
u.
2 cos Bo. cos (B + 60)o = cos (2B+60)o + ½
Sin 2A(1 + 2cos A) = sin A + sin 2A + sin 3A
Cos 2A(1 + 2 cos A) = cos A + cos 2A + cos 3A
Sin 3A(1 + 2 cos A) = sin 2A + sin 3A + sin 4A
Cos 3A(1 + 2cos A) = cos 2A + cos 3A + cos 4A
32 cos2 x. sin4 x = 2 – cos 2x – 2cos 4x + cos 6x
16 cos5 x = 10 cos x + 5 cos 3x + cos 5x
16 sin5 x = 10 sin x – 5 sin 3x + sin 5x
2sin 12 x.cos 32 x  2sin 52 x.cos 32 x  2sin 32 x cos 72 x  sin 4 x  sin 5 x
41. Sederhanakan :
a. sin 23o. sin 40o – cos 43o. cos 74o + cos 24o. sin 83o
b. cos 6o. cos 42o. cos 66o. cos 78o
42. Buktikan bahwa :
a.
b.
cos  3  2 B   cos  3  2 B 
3 sin  3  2 B   sin  3  2 B 
 1
cos 3 A  sin 6 A  cos 9 A
 tan 6 A
sin 9 A  cos 6 A  sin 3 A
c. Cos 6B +cos 2B – cos 4B = cos 4 B ( 2 cos 2B -1)
d. (sin 2x + sin 4x)2 + (cos 2x + cos 4x)2 – 2 = 2 cos 2x
e. Sin2 7x – sin2 x = sin 8x.sin 6x
f. Cos x + cos 3x +cos5x+ cos 7x = 4 cos x . cos 2x. cos 4x
43. Jika p = sin A + sin 3A dan q = cos A + cos 3A, buktikan bahwa :
a. P + q = 2 cos A ( sin 2A + cos 2A)
b.
p
 tan 2 A
q
c. P2 + q2 = 2 + 2 cos 2A
44. Hitunglah sudut-sudut x dan y dengan x < 180o, jika :
a. x  y  120 dan sin x : sin y = 1 : 2
b.
x  y  75 dan tan x : tan y =
3 :1
45. Hitunglah
a. Sin 12o. sin 48o. sin 54o
b. Sin 20o. sin 40o. sin 60o. sin 80o
c.
cos 7 cos 27 cos 47
d. Tan 20o. tan 40o. tan 80o
e.
sin 14 .sin 314 .sin 514
f.
Sin 6o.sin 42o. sin 66o. sin 78o
g. Cos 60o. cos 36o. cos 42o. cos 78o
h. Sin 36o. sin 72o.sin 108o.sin 144o
i.
Tan 6o.tan 42o. tan 66o.tan 78o
j.
Cos 55o. cos 65o + cos 65o. cos 175o + cos 175o.cos 55o
k. Tan 5o. tan 25o. tan 45o. tan 65o. tan 85o
46. Sederhanakan dalam bentuk perkalian:
a.
cos 75  cos 45
sin 75  sin 45
b. sin 105o + sin 15o
c. cos 465o + cos 165o
d. sin ( 32  + ) + sin( 32  - )
e. cos (x+2h) – cos x
47. Buktikan :
a.
cos 3 x  cos 5 x
 2sin 2 x
sin x  sin 3 x
b.
sin 4A  sin 2A
 tan 3A
cos 4A  cos 2A
c.
cos 7 x  cos 3 x
 cot 5 x
sin 7 x  sin 3 x
d.
sin 5 x  sin x
 tan 3 x
cos 5 x  cos x
e.
cos A  cos B
 A B 
  tan 

sin A  sin B
 2 
f.
sin 2x + sin 4x + sin 6x = 4 cos x. cos 2x. sin 3x
g. cos x – cos 3x – cos 5x + cos 7x = -4 sin x. sin 2x . cos 4x
48. Jika A , B, dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga ABC, buktikan
a. sin A + sin B – sin C = 4 sin ½ A. sin ½ B. cos ½ C
b. sin A + sin B + sin C = 4 cos ½ A. cos ½ B. cos ½ C
c.
cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin ½ A. sin ½ B. sin ½ C
d. sin 2A + sin 2B – sin 2C = 4 cos A. cos B. sin C
e. sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A.sin B. sin C
f.
cos2 A + cos2 B + cos 2 C = 1 – 2 cos A. cos B. cos C
49. Buktikan sin2 6o + sin2 42o + sin2 66o + sin2 78o = 2 ¼
50. Jika tan 3A = 2, hitunglah
51. Buktikan bahwa
52. cos3 x sin2 x =
sin A  sin 3 A  sin 5 A
cos A  cos 3 A  cos 5 A
1  cos 8 1  cos 38 1  cos 58 1  cos 78   81
1
16
(2 cos x – cos 3x – cos 5x)
53. Jika x + y + z = 180 dan tanx + tan y – 2 tan z = 0, tentukan nilai tan x tan y
54. Jika 3 cos (x+y) = cos (x-y) buktikan tan x tan y = ½
55. tentukan nilai sin 345o sin 1950
56. m = sin x + sin y
dan
n = cos x + cos y buktikan cos (x-y) =
m2  n 2
-1
2
57. Buktikan bahwa :
a.
1  cos x  cos 2 x
 cot x
sin 2 x  sin x
b. cot (A + B) – tan ( A – B) =
c.
2 cos 2A
sin 2A  sin 2B
  1  1  sin 
tan 2     
 4 2  1  sin 
58. Jika A, B dan C adalah sudut dalam segitiga ABC, buktikan bahwa
a. cos 2A + cos 2B – cos 2C = 1 – 4sinA.sinB.cosC
b.
cos 12 A  cos 12 B  cos 12 C  4 cos 14  B  C  cos 14  A  C  cos 14  A  B 
c.
sin A  sinB sinC
 cot 12 A cot 12 B
sin A  sin B  sin C
d. Cot A. cot B + cot B. cot C + cot C . cot A = 1
e. Cot ½ A + cot ½ B + cot ½ C = cot ½ A. cot ½ B. cot ½ C
59. Buktikan bahwa :
a.
tan 3A tan 2A tan A = tan 3A – tan 2A – tan A
b. 2 sin 3x sin 4x + 2 cos 5x cos 2x – cos 3x = cos x
c.
cos 7 cos 27 cos 47   18
d. Sin 3x sin x + sin 6x sin 2x + sin 12x sin 4x + sin 24x sin 8x + sin 48x sin 16x + sin 96x sin
32x = sin65x sin 63x
e.
sin A  sin B tan 12  A  B 

sin A  sin B tan 12  A  B 
60. Dalam ABC, jika sin C = tan B(1 - cosC), buktikan bahwa ABC adalah segitiga sama kaki
61. Dalam ABC, jika a.sin B  b.cos A.cos B buktikan bahwa ABC siku-siku
2
62. Jika A + B + C = 90o, buktikan bahwa tan A. tan B + tan A. tan C + tan B. tan C = 1
63. Diketahui ABC, buktikan bahwa :
a.
a  b cos 12  A  B 

c
sin 12 C
b.
a  b sin 12 ( A  B )

c
cos 12 C