17. SOAL-SOAL PROGRAM LINEAR EBTANAS2000 1. Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan 5x + y ≥ 10 2x + y ≤ 8 y ≥2 x = 2 Æ titik (2,0) titk potong dengan sumbu y jika x = 0 y = 10 Æ titik (0,10) daerah 5x + y ≥ 10 berada pada garis persamaan tersebut dan di atas garis (I, II,III, V) ---(a) 2. B adalah persamaan garis 2x + y = 8 titik potong dengan sumbu x jika y=0 x = 4 Æ (4,0) titik potong dengan sumbu y jika x = 0 y = 8 Æ (0,8) daerah 2x + y ≤ 8 berada pada garis persamaan tersebut dan di bawah garis (III, V) ….(b) 3. C adalah garis y = 2 daerah di atas garis y = 2 adalah I, II, III, IV …(b) dari (a) , (b) dan (c) : ditunjukkan oleh daerah A. I B. II C. III D. IV E. V jawab: 1. I 2. 3. I II II III III III V V IV Yang memenuhi ketiga-tiganya adalah daerah III Jawabannya adalah C SIPENMARU1985 2. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan 2x+y ≥ 4 ; 3x + 4y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 dapat digambarkan dengan bagian bidang yang diarsir sebagai berikut : 1. Terlihat pada gambar bahwa A adalah persamaan garis 5x + y = 10 titik potong dengan sumbu x jika y = 0 . www.matematika-sma.com - 1 Himpunan penyelesaiannya berada di atas persamaan garis 2x + y = 4 dan di bawah 3x + 4y = 12 Jawab : 2x+y ≥ 4 ; 2x + y = 4 titik potong dengan sumbu x , y = 0 x = 2 Æ (2,0) titik potong dengan sumbu y, x = 0 y = 4 Æ (0,4) 3x + 4y ≤ 12 Jawabannya adalah E UN2005 SMK 3. Daerah yang diarsir merupakan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear… 3x + 4y = 12 titik potong dengan sumbu x, y = 0 x = 4 Æ (4,0) titik potong dengan sumbu y, x = 0 y=3 Æ (0,3) gambar sbb: A. x+2y ≤ 8, 3x+2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 B. x+2y ≥ 8, 3x+2y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 C. x-2y ≥ 8, 3x-2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 D. x+2y ≤ 8, 3x-2y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 E. x+2y ≤ 8, 3x+2y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 www.matematika-sma.com - 2 Jawab : persamaan garis melalui titik (0,6) dan (4,0) adalah: (0,a) Persaman garis = EBTANAS2001 SMK Teknologi 4. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan… (b,0) x y + = 1 ⇔ ax + by = a.b b a 6x+4y = 24 ⇔ 3x + 2y = 12 karena daerah arsiran dibawah persamaan garis maka 3x + 2y ≤ 12 …(1) persamaan garis melalui titik (0,4) dan (8,0) adalah: (0,a) Persaman garis = (b,0) x y + = 1 ⇔ ax + by = a.b b a 4x+8y = 32 ⇔ x + 2y = 8 Jawab: karena daerah arsiran dibawah persamaan garis maka x + 2y ≤ 8 ….(2) Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y maka x ≥ 0 dan y ≥ 0 ….(3) dan (4) sehingga daerah penyelesaiannya adalah: (1), (2), (3) dan (4) 3x + 2y ≤ 12, x + 2y ≤ 8 dan x ≥ 0, y ≥ 0 jawabannya adalah A A. 5x + 3y ≤ 30, x - 2y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 B. 5x + 3y ≤ 30, x - 2y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 C. 3x + 5y ≤ 30, 2x - y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 D. 3x + 5y ≤ 30, 2x - y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 E. 3x + 5y ≥ 30, 2x - y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 1. persamaan garis melalui titik (0,6) dan (10,0) adalah: (0,a) ax + by = a.b ⇒ 6x + 10y = 60 3x + 5y = 30 (b,0) karena daerah arsiran dibawah persamaan garis maka 3x + 5y ≤ 30 ….(1) 2. persamaan garis melalui titik (0,-4) dan (2,0) adalah: (0,a) (b,0) ax + by = a.b ⇒ -4x + 2y = -8 -2x + y = -4 karena daerah arsiran di sebelah kiri maka persamaan garisnya : -2x + y ≥ -4 atau 2x – y ≤ 4 …(2) www.matematika-sma.com - 3 jawab: ingat untuk a < 0 dan b > 0 1. persamaan garis melalui titik (0,2) dan (-2,0) adalah: -ax + by ≥ -ab (b,0) x (0,-a) (0,a) (b,0) ax + by = a.b ⇒ 2x - 2y = -4 x - y = -2 -ax + by ≤ -ab karena daerah arsiran di sebelah kanan persamaan garis maka x – y ≥ -2 atau –x + y ≤ 2….(1) y untuk a > 0 dan b <0 3. Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y maka x ≥ 0 dan y ≥ 0 ….(3) dan (4) y ax - by ≤ -ab sehingga daerah penyelesaiannya adalah: (1), (2), (3) dan (4) (0,a) ax - by ≥ -ab 3x + 5y ≤ 30 ; 2x – y ≤ 4 ; x ≥ 0 dan y ≥ 0 x jawabannya adalah D (-b,0) SIPENMARU1985 5. Daerah yang diarsir pda gambar di bawah ini menunjukkan himpunan titik (x,y) yang memenuhi pembatasan di bawah ini, yaitu …. 2. persamaan garis melalui titik (0, 4) dan (6,0) adalah: (0,a) ax + by = a.b ⇒ (b,0) 4x + 6y = 24 2x + 3y = 12 karena daerah arsiran di bawah persamaan garis maka : 2x + 3y ≤ 12 …(2) 3. Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y maka x ≥ 0 dan y ≥ 0 ….(3) dan (4) A. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 12, - x + y ≥ 2 B. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≥ 12, -x + y ≥ 2 C. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 12, -x + y ≤ 2 D. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≥ 12, -x + y ≤ 2 E. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 12, -x + y ≤ 2 sehingga daerah penyelesaiannya adalah: (1), (2), (3) dan (4) -x + y ≤ 2 ; 2x +3y ≤ 12 ; x ≥ 0 dan y ≥ 0 jawabannya adalah C www.matematika-sma.com - 4 EBTANAS1998 6. Daerah yang diarsir pada gambar merupakan grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan… y B(3,6) 2. persamaan garis melalui titik (3,6) dan (7,0) (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) y−6 y−6 x−3 x−3 = ⇔ = 0−6 7−3 −6 4 4(y-6) =-6(x-3) 4y – 24 = -6x + 18 6x + 4y = 42 ⇔ 3x + 2y = 21 C(0,4) daerah yang diarsir berada di bawah grafik sehingga 3x + 2y ≤ 21 ….(2) A(7,0) 3. Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y maka x ≥ 0 dan y ≥ 0 ….(3) dan (4) A. 3x + 2y ≤ 21, -2x +3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 B. 2x + 3y ≤ 21, -2x - 3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 C. -3x +2y ≥ 21, -2x+3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 D. -3x-2y ≥ 21, 2x +3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 E. 3x -2y ≥ 21, 2x -3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 sehingga daerah penyelesaiannya adalah: (1), (2), (3) dan (4) -2x+3y ≤ 12 , 3x + 2y ≤ 21, x ≥ 0 dan y ≥ 0 jawab: Jawabannya adalah A . Persamaan garis melalui titik (x 1 , y 1 ) dan (x 2 , y 2 ) adalah: y − y1 x − x1 = y 2 − y1 x 2 − x1 EBTANAS1994 7. Daerah yang diarsir merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier. (3,5) 5 1. persamaan garis melalui titik (0,4) dan (3,6) (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) y−4 x−0 y−4 x = ⇔ = 6−4 3−0 2 3 3(y-4) = 2x 3y – 12 = 2x 2x – 3y = -12 daerah yang diarsir berada di kanan sehingga 2x – 3y ≥ -12 atau -2x+3y ≤ 12 ….(1) 3 1 2 3 4 Sistem pertidaksama-an linier itu adalah …… untuk a > 0 dan b <0 y ax - by ≤ -ab (1,3) (0,a) ax - by ≥ -ab A. y ≥ 0, 3x + y ≥ 6, 5x + y ≤ 20, x – y ≥ -2 B. y ≥ 0, 3x + y ≤ 6, 5x + y ≥ 20, x – y ≥ -2 C. y ≥ 0, x + 3y ≥ 6, x + 5y ≤ 20, x - y ≤ 2 D. y ≥ 0, x + 3y ≤ 6, x +5y ≥ 20, x – y ≥ -2 E. y ≥ 0, 3x - y ≥ 6, 5x -y ≤ 0, x - y ≥ -2 x (-b,0) www.matematika-sma.com - 5 daerah yang diarsir berada di kanan grafik sehingga x - y ≥ -2 atau y – x ≤ 2 ….(3) Jawab: y − y1 x − x1 = y 2 − y1 x 2 − x1 terdapat 3 persamaan garis: 1. persamaan garis melalui titik (2,0) dan (1,3) (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) y−0 x−2 y x−2 = ⇔ = 3−0 1− 2 3 −1 3(x-2) = -y 3x – 6 = -y 3x + y = 6 daerah yang diarsir berada di atas sehingga 3x + y ≥ 6 ….(1) 4. Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y maka x ≥ 0 dan y ≥ 0 ….(4) dan (5) sehingga daerah penyelesaiannya adalah: (1), (2), (3), (4) dan (5) 3x + y ≥ 6 , 5x + y ≤ 20 , x - y ≥ -2 atau y – x ≤ 2 , x ≥ 0 dan y ≥ 0 Jawaban yang memenuhi adalah A EBTANAS2001 8. 32 2. persamaan garis melalui titik (4,0) dan (3,5) (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) y−0 x−4 y x−4 = ⇔ = 5−0 3− 4 5 −1 16 5(x - 4) = -y 5x – 20 = -y 5x + y = 20 daerah yang diarsir berada di bawah grafik sehingga 5x + y ≤ 20 ….(2) 3. persamaan garis melalui titik (1,3) dan (3,5) (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) y −3 x −1 y −3 x −1 = ⇔ = 5−3 3 −1 2 2 2(x -1) =2(y-3) 2x – 2 = 2y-6 2x - 2y = -4 ⇔ x – y = -2 16 24 48 Nilai minimum fungsi objektif 5x + 10y pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan yang grafik himpunan penyelesaiannya disajikan pada daerah berarsir seperti gambar di atas adalah ....... A . 410 B . 320 C . 240 D . 200 E . 160 24 (0,a) • …….(b) 16 ax - by ≥ -ab x 36 Jawab: tentukan titik ekstrim terlebih dahulu: . 32 • …(a) x – y = -2 Æ memenuhi kriteria ax – by = -ab dengan a > 0 dan b < 0 y ax - by ≤ -ab 24 • 16 (-b,0) www.matematika-sma.com - 6 24 …(c) …(d) 36 • 48 Terdapat 4 titik ekstrim, yang sudah diketahui 2 titik yaitu titik a (0,32) dan titik d (48,0), tinggal mencari posisi 2 titik ekstrim yang lain. Buat tabel: (0,32) ( 6,20) (24,8) (48,0) 5x + 10y 320 230 200 240 Tentukan persamaan garis: 1. persamaan garis melalui titik (0,24) dan (36,0) ( 0,a) (b,0) ax + by = ab 24x + 36y = 864 Æ : 6 4x + 6y = 144 2x + 3y = 72 … (1) Dari tabel terlihat bahwa nilai minimum adalah nilai yang terkecil yaitu 200. Jawabannya adalah D UAN2006 9. Seorang tukang roti mempunyai bahan A,B dan C masing-masing sebanyak 160 kg, 110 kg dan 150 kg. 2. persamaan garis melalui titik (0,32) dan (16,0) ( 0,a) (b,0) ax + by = ab 32x + 16y = 512 Æ : 16 2x + y = 32 …..(2) 3. persamaan garis melalui titik (0,16) dan (48,0) ( 0,a) (b,0) ax + by = ab 16x + 48y = 768 Æ : 16 x + 3y = 48 …..(3) Roti I memerlukan 2 kg bahan A, 1 kg bahan B dan 1 Kg bahan C Roti II memerlukan 1 kg bahan A, 2 kg bahan B dan 3 Kg bahan C Sebuah roti I dijual dengan harga Rp.30.000 dan sebuah roti II dijual dengan harga Rp.50.000, pendapatan maksimum yang dpat diperoleh tukang roti tersebut adalah… A. Rp. 8000.000,- C. Rp. 3900.000,- E. 2900.000,B. Rp. 4500.000,- D. Rp. 3100.000,- titik b didapat dari perpotongan grafik (1) dengan (2) 2x + 3y = 72 2x + y = 32 Jawab: Buat persamaan : Misal roti I = x dan roti II = y didapat persamaan sbb: 2x + y ≤ 160 …..(1) x + 2y ≤ 110 …..(2) x + 3y ≤ 150 ….(3) 2 y = 40 Æ y = 20 2x + 3y = 72 2x = 72 – 3y 2x = 72 – 3.20 x = 12/2 = 6 Æ titik b = (6,20) buat sketsa grafiknya: Titik c didapat dari perpotongan grafik (1) dan (3) 2x + 3y = 72 x + 3y = 48 x = 24 x + 3y = 48 3y = 48 - x 3y = 48 – 24 y = 24/3 = 8 Æ titik c = (24,8) www.matematika-sma.com - 7 “Sketsa grafik diperlukan untuk melihat daerah himpunan penyelesaian dan titik-titik ekstrim, dibutuhkan skala yang tepat untuk mendapatkan grafik yang optimum (benar atau mendekati kebenaran) untuk memudahkan penyelesaian” Daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian dari tiga grafik tsb. Didapat 4 titik ekstrim yaitu (0,50), (80,0), titik A dan titik B UN2007 10. Luas daerah parkir 1.760 m 2 . Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m 2 dan mobil besar 20 m 2 . Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parker mobil kecil Rp. 1000/jam dan mobil besar Rp.2000/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan dating, maka hasiul maksimum tempat parkir itu adalah: perpotongan (1) dan (2) Æ titik B A. Rp.176.000,- C. Rp.260.000,- E. Rp.340.000,B. Rp. 200.000,- D. Rp. 300.000,- 2x + y = 160 |x1| ⇒ 2x + y = 160 x + 2y = 110 |x2| ⇒ 2x +4y = 220 - Jawab: Dibuat persamaan-persamaannya terlebih dahulu: Misal mobil kecil = x dan mobil besar = y - 3y = -60 y = 20 4 x + 20 y ≤ 1760 x + 5y ≤ 440 …..(1) 2x + y = 160 2x = 160 – 20 x = 140/2 = 70 x + y ≤ 200 titik B = (70,20) ….(2) nilai maksimum 1000x + 2000y = ? perpotongan (2) dan (3) Æ titik A buat sketsa grafiknya: x + 2y = 110 x + 3y = 150 - y = -40 y = 40 x + 2y = 110 x = 110 – 2.40 x = 30 (0,200) Titik potong (A) titik A = (30,40) (0,88) yang ditanyakan adalah nilai maksimum dari : 30.000 x + 50.000 y (200,0) (440,0) buat tabelnya: 30.000x+50.000y (0,50) 2500.000 (30,40) 2900.000 (70,20) 3100.000 (80,0) 2400.000 Dari grafik didapatkan tiga titik ekstrim yaitu: (0,88), (200,0) dan titik A Didapat nilai maksimumnya adalah Rp. 3100.000 Titik A adalah perpotongan dari dua grafik: Jawabannya adalah D x + 5y = 440 x + y = 200 4y = 240 y = 60 www.matematika-sma.com - 8 - x + y = 200 x = 200 – y = 200 – 60 = 140 titik A = (140, 60) Buat tabel : 1000x + 2000y (0,88) 176.000 (200,0) 200.000 (140,60) 260.000 Didapat nilai maksimumnya adalah Rp.260.000 Jawabannya adalah C www.matematika-sma.com - 9
