BAB 1 modul operasi bilangan real

operasi bilangan real
A
h
B
C
DISUSUN OLEH :
Febriantoni, dkk
NAMA SISWA
: ……………………
KELAS
: ……………………
SEKOLAH
: ……………………
STANDAR KOMPETENSI 1
MEMECAHKAN MASALAH BERKAITAN DENGAN KONSEP OPERASI BILANGAN REAL
A. Kompetensi Dasar : Menerapkan operasi pada bilangan riil
Indikator 1 :
1. Dua atau lebih bilangan bulat dioperasikan (dijumlah, dikurang, dikali, dibagi) sesuai dengan
prosedur
2. Bilangan pecahan dikonversi ke bentuk persen, atau pecahan desimal, sesuai prosedur
3. Konsep perbandingan (senilai dan berbalik nilai), skala, dan persen digunakan dalam penyelesaian masalah program keahlian
I. Macam-Macam Himpunan Bilangan
Matematika erat sekali kaitannya dengan bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan tersebut
dapat dibedakan berdasarkan definisi tertentu sehingga bilangan-bilangan tersebut dapat
dikelompokkan menjadi suatu himpunan bilangan tertentu pula. Misalnya 1, 2, 3, ... dan
seterusnya dapat dikelompokkan ke dalam himpunan bilangan asli. Himpunan bilangan asli
tersebut dapat ditulis dengan notasi A = {1, 2 , 3, 4, 5, ...}.
Himpunan bilangan-bilangan secara skematis dapat ditunjukkan pada bagan berikut.
Himpunan Bilangan Riil
Himpunan Bilangan Rasional
Himpunan Bilangan Irasional
Himpunan Bilangan Bulat
Himpunan Bilangan Bulat Negatif
Himpunan Bilangan Cacah
Himpunan Bilangan Asli
Himpunan Bilangan Prima
{0}
Himpunan Bilangan Komposit
{1}
1. Himpunan Bilangan Asli
Himpunan bilangan asli didefinisikan sebagai himpunan bilangan yang diawali dengan angka
1 dan bertambah satu-satu. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf A dan anggota
himpunan dari bilangan asli dinyatakan sebagai berikut.
A = {1, 2, 3, 4, ...}.
2. Himpunan Bilangan Cacah
Gabungan antara himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan 0 ini disebut sebagai
himpunan bilangan cacah. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf C dan anggota
himpunan dari bilangan cacah dinyatakan sebagai berikut:
C = {0, 1, 2, 3, 4,...}.
3. Himpunan Bilangan Bulat
Himpunan bilangan bulat adalah gabungan antara himpunan bilangan cacah dan himpunan
bilangan bulat negatif. Bilangan ini dilambangkan dengan huruf B dan anggota himpunan dari
bilangan bulat dinyatakan sebagai berikut:
B = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.
4. Himpunan Bilangan Rasional
Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
p
, dengan p, q  B dan q ≠ 0. Bilangan p disebut pembilang dan q disebut penyebut.
q
Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan huruf Q. Himpunan dari bilangan rasional
dinyatakan sebagai berikut:
 p
Q   p , q  B , dan
 q

q  0

5. Himpunan Bilangan Irasional
p
q
dengan p, q  B dan q ≠ 0. Contoh bilangan irasional adalah bilangan desimal yang tidak
berulang (tidak berpola), misalnya: 2, π, e, log 2. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan
huruf I.
Himpunan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk
II. Operasi Hitung pada Bilangan Riil
A. Operasi Hitung Pada Bilangan Bulat
1. Penjumlahan dan Pengurangan
Latihan 1:
a. 5 + 3 = …………
b. 5 – 3 = ……………
c. 2 – 6 = …………..
d. 3 – 9 = ………….
e. 6 – 7 = …………..
f.
g. – 2 + 5 = …………
h. – 10 + 3 = ………….
i.
j.
- 7 – 3 = ……………
k. – 2 – 8 = ……….
l.
– 11 – 3 = …………
m. 4 – ( - 6 ) = ……….
n. 7 – ( - 4 ) = ……..
o. – 3 + 4 – 7 = ………….
p. 3 – 7 – 6 = ………….
q. 1 + 8 – ( - 5 ) = ………..
r.
– 4 – 5 = …………
– 3 + 8 = …………
-4 – ( -2 ) – 8 = ……..
2. Perkalian dan Pembagian
Latihan 2 :
a. 4 x 5 = ………………..
b. 4 x (-5 )= …………….
c. – 4 x (-5 ) = …………
d.
100
= ……………..
5
 81
g.
= ……………….
9
e.
f.
h.
– 4 x 5 = …………….
 60
= ………………
4
120
= ………………….
 12
i.
20
 ........ …….
5
j.
 18
 .........
2
k.
 200
 .........
 40
l.
120
 ..........
3
Operasi Hitung Pada Bilangan Pecahan
1. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Pecahan
Jika
a
c
dan
masing-masing adalah bilangan pecahan maka berlaku operasi penjumlahan dan
b
d
pengurangan sebagai berikut:
a
c
ad  bc


b
d
bd
a
c
ad  bc


b
d
bd
Atau dengan Mencari KPK dari penyebut bilangan pecahan yamg akan dijumlah atau dikurangi
Latihan 3 :
3 2
 = ……………………
4 5
2 7
c.
 = …………….
7 5
5
e. 2  = …………….
13
2
g. 6  = …………..
7
1 2 5
i.
  = …………………
3 5 6
a.
k.
11 6 1
  = …………………
5 7 10
m. 2
4
2
 1 = ……………………….
5
3
2 6
 = ………………………..
9 5
1 4
d.
 = …………………………..
8 9
3
f.
 8 = …………………..
4
5
h.
 4 = ……………………
3
1
1
j. 5  2  3 = …………………..
2
4
b.
l.
2
1
4  3  1 = …………………..
5
4
n.
3
4
7  4  2 = …………………….
5
3
2. Perkalian dan Pembagian Bilangan Pecahan
Jika
a
c
dan
masing-masing adalah bilangan pecahan maka berlaku operasi perkalian dan
b
d
pembagian sebagai berikut:
a c
ac
x 
b d
bd
a c
a d
:  x
b d
b c
Latihan 4 :
a.
5 4
 = ………………………
7 15
b.
4 5
:  .....................
d. 3 2
3 6
  ......................
c. 2 8
e. 6 
g.
i.
2
= ……………………
5
2
2 4
: = ……………………
10 7
f. 7 :
7
 ....................
3
h.
4
x 4  ...............
3
j.
2
x9  ...............
k. 5
3:
5
3
7
 ........................
4
4
x 4  ...............
3
3
x6  ...............
l. 7
III. Perbandingan
Perbandingan dua buah nilai dari besaran yang sejenis dapat dinyatakan sebagai perbandingan atau
pecahan biasa . Misal 6 : 7 atau
6
.
7
Ada dua jenis perbandingan , Yaitu
1. Perbandingan senilai
Perbandingan disebut perbandingan senilai jika dua perbandingan harganya sama
Contoh soal :
Pendapatan ayah dan ibu dalam satu bulan adalah Rp. 3.500.000,00 jika perbandingan antara
pendapatan ayah dan ibu 4 : 3 berapa pendapatan masing – masing ?
Jawab:
Jumlah perbandingan 4 + 3 = 7
Ayah =
ibu =
4
x Rp. 3.500.000,00 = Rp. 2.000.000,00
7
3
x Rp 3.500.000,00 = Rp.1.500.000,00
7
2. Perbandingan berbalik nilai
Perbandingan disebut perbandingan sberbalik nilai jika dua perbandingan hasilnya saling berbalik.
Contoh
Sebuah pekerjaan dapat diselesaikan oleh 12 orang dalam waktu 60 hari. Jika pekerjaan tersebut harus
selesai dalam waktu 45 hari , berapa orang yang harus ditambah ?
Jawab :
Perbandingan Berbalik nilai
x1 y2

x2 y1
12 45
12 x60

 x2 
 16
x2 60
45
Untuk selesai dalam waktu 45 hari dibutuhkan 16 orang pekerja.
sehingga tambah pekerjanya adalah 4 orang
Latihan 5.
1. Setengah kilogram tawas harganya Rp.
2.000,00 . berapakah harga 4 kilogram tawas
?
2. Rata-rata perbandingan kemampuan kerja
seorang pekerja laki-laki dan perempuan
dalam merakit alat eektronika adalah 4 :5
.Dalam suatu pabrik elektronika yang
memproduksi pesawat televisi dalam sebulan
menghasilkan 8.000 pesawat televisi .Berapa
pesawat televisi yang dibuat oleh pekerja
laki-laki dan berapa yang dibuat oleh pekerja
perempuan
3. Suatu pekerjaan diselesaikan 10 orang dalam
waktu 30 hari apabia pekerjaan tersebut akan
diselesaikan dalam waktu 15 hari berapa
pekerja yang harus ditambah ?
4. Bus Way Trans Jakarta Jurusan Kota – Blok
M Melaju dari Kota Jam 08.00 dan sampai di
terminal Blok M setengah jam kemudian
dengan kecepatan rata-rata 30 Km/jam . Jika
perusahaan ingin mengubah agar waktu
tempuh tersebut menjadi 20 menit berapa
kecepatan Bus sekarang ?
5. Untuk Lebaran, Ibu akan membuatkan baju
Levi dan Dhani. Untuk membuat baju Levi
diperlukan kain sepanjang 91 cm.
Jika perbandingan ukuran baju Levi dan
Dhani adalah 7: 4 berapa panjang kain yang
diperlukan untuk Dhani?
6. Untuk keperluan warungnya, Bu Wati
memerlukan beras 1 kuintal selama 3 hari.
Berapa kuintal beras yang diperlukan Bu
Wati selama bulan Juni?
7. Sawah Pak Imam selesai dicangkul oleh 15
orang pekerja dalam waktu 6 hari. Jika hanya
terdapat 9 orang pekerja berapa hari sawah
Pak Imam selesai dicangkul?
8. Sebuah rak buku dapat memuat 36 buah buku
yang tebalnya 8 milimeter. Berapa buah buku
yang dapat ditaruh di rak tersebut jika tiap
buku tebalnya 12 milimeter?
9. Sebuah kapal dapat dibuat oleh 45 orang
selama 24 hari. Jika ada pesanan kapal harus
selesai dalam waktu 18 hari berapa orang
pekerja yang diperlukan?
10. Suatu persegi panjang berukuran panjang
24 cm dan lebar 18 cm. Jika ukuran
panjangnya dibuat 20 cm berapa ukuran
lebar seharusnya supaya luas persegi
panjang tersebut tetap.
IV. Skala
Skala adalah perbandingan senilai ukuran gambar dengan besar benda sebenarnya.
skala = Jarak pada peta : jarak sebenarnya
Jarak sebenarnya = Jarak pada peta x skala
Jarak pada peta = jarak sebenarnya : skala
Latihan 6
1. Jarak antara Jakarta dengan Bandung pada
peta 10 cm . Jika skala gambar 1 : 5.000.000
Berapa Km jarak Jakarta – Bandung
sebenarnya ?
2. Gambar teknik dibuat dengan skala 1 : 10 .
Jika Panjang sebenarnya 1,2 m berapakah
panjang yang harus dibuat pada gambar ?
3. Sebuah mobil panjangnya 3,5 m Jika pada
gambar panjangnya 7 cm berapa skala
gambar tersebut ?
4. Denah rumah digambar dengan skala 1 : 200
. Ternyata pada gambar tersebut panjang
rumah 10 cm sedangkan lebarnya 6 cm .
Tentukan panjang sebenarnya dan lebar
sebenarnya ?
5. Sebidang tanah berbentuk persegi panjang
berukuran 16 cm x 12 cm pada denah jika
denah tanah tersebut mempunyai skala 1 : 5 ,
berapa luas tanah sesungguhnya ?
v. Persen
Persen adalah bentuk lain dari pecahan dengan penyebut seratus
Persentase Keuntungan =
h arg a jual  h arg a beli
x 100%
h arg a beli
Persentase kerugian =
h arg a beli  h arg a jual
h arg a beli
Untung =
Rugi =
persentase untung
X harga jual
100%  persentase untung
persentase rugi
X harga jual
100%  persentase rugi
Latihan 7
1. Untuk membuat speker aktif diperlukan
modal sebesar Rp. 150.000,00. Jika speker
aktif tersebut dijual dengan harga Rp.
200.000,00 berapa keuntungan dan
persentase keuntungan dari hasil penjualan
tersebut ?
2. Paramita mendapatkanuntung 6 % dari harga
pembelian sebuah mobil. Jika besarnya
keuntungan tersebut Rp. 750.000,00 berapa
harga penjualan mobil tersebut ?
3. Toko buku “Mawar” menjual satu set alat
menggambar seharga Rp.315.000,00 dimana
harga jual tersebut termasuk rugi 10%,
berapa harga beli alat menggambar ?
4. Sebuah rumah dijual dengan harga Rp.
200.000.000,00. Jika keuntungan penjualan
rumah tersebut 25 % Tentukan besar
keuntungannya ?
5. Pedagang elektronik menjual televisi 14 inci
seharga Rp1.500.000,00 dan memperoleh
keuntungan 20% dari penjualan tersebut
maka tentukan harga pembelian televisi itu ?
100%
B. Kompetensi Dasar : Menerapkan operasi pada bilangan ber-pangkat
Indikator :
1. Bilangan berpangkat dioperasikan sesuai dengan sifat-sifatnya.
2. Bilangan berpangkat disederhanakan atau ditentukan nilainya dengan menggunakan sifat-sifat
bilangan berpangkat
3. Konsep bilangan berpangkat diterapkan dalam penyelesaian masalah.
a. Pengertian Pangkat Bulat Positif
Jika a adalah bilangan riil dan n bilangan bulat positif maka an (dibaca "a pangkat n") adalah hasil
kali n buah faktor yang masing-masing faktornya adalah a. Jadi, pangkat bulat positif secara umum
dinyatakan dalam bentuk
n
a  axaxax ... xa
sebanyak n faktor
Sifat–Sifat Pangkat:
a) ap× aq = ap+q
b) ap: aq = ap–q
c)
a p q = a
d)
a  b n = an×bn
e)
ba n  ba
pq
1
f) a–n =
an
n
n
atau an =
1
an
g) a0 = 1
Latihan
1.
3 x y 
2
2. Bentuk
2
a 1b 2
c 3
dapat dinyatakan dengan
pangkat positif menjadi …
3.
 a 7b 5 
 5 2 
a b 
2
4. Bentuk sederhana dari
5. Bentuk sederhana dari
= ….
= ….
6. Bentuk sederhana dari
= ….
7. Bentuk sederhana dari
= ….
8. Bentuk sederhana dari
=…
9. Bentuk sederhana dari
= ….
10. Jika a = 32 dan b = 27, maka nilai dari
1
1
a 5  b 3 adalah …
2
 2 12   3  2 3
 
 
11. Nilai dari
=…
12
1
12. Nilai dari
36 2
2
27 3 
12  2
13. Nilai dari 243 5 64 
2
 12
 12a 5b3   23 a 3b5 
  7 3 
4  
 32ab   a b 
14. 
 x2 
15.  
 y
2
 2x4 
 2 
 y 
1
adalah …
= ….
f ( x)
 a g ( x )  f ( x)  g ( x)
Persamaan Bentuk a
Untuk menyelesaikan persamaan bentuk pangkat biangan pokoknya harus sama.
Latihan :
1.
4 x  32
2.
2 6 x  3  25 x  7
3.
32 x 1  9 3 x 2
4. 16x = 23x+5
5. 52x-1 = 125
6. 35x-1 = 243
7. 162x = 85x+2
8.
35 x1 
1
27
243
C.
Kompetensi Dasar : Menerapkan operasi pada bilangan irasional
Indikator :
1. Bilangan bentuk akar dioperasikan sesuai dengan sifat-sifatnya.
2. Bilangan bentuk akar disederhanakan atau ditentukan nilainya dengan menggunakan sifatsifat bentuk akar
3. Konsep bilangan irasional diterapkan dalam penyelesaian masalah.
Definisi bentuk Akar
Jika a bilangan real serta m, n bilangan bulat positif, maka berlaku:
1
a)
an  n a
m
b) a n 
n m
a
2) Operasi Aljabar Bentuk Akar
Untuk setiap a, b, dan c bilangan positif, maka berlaku hubungan:
a) a c + b c = (a + b) c
b) a c – b c = (a – b) c
c)
a b
=
a b
d)
a b
=
(a  b)  2 ab
e)
a b
=
(a  b)  2 ab
3) Merasionalkan penyebut
Untuk setiap pecahan yang penyebutnya mengandung bilangan irrasional (bilangan yang tidak
dapat di akar), dapat dirasionalkan penyebutnya dengan kaidah–kaidah sebagai berikut:
a)
b)
c)
a
 a  b a b
b
b
b
b
c
a b

c
a b
c
a b

c(a  b )
 a b  2
a b
c
a b
a b
c( a  b )
 a b 
a b
a b
Latihan :
1. 3 2  2 2  ...............
3.
4 2 x 3 5  ................
5. Sederhanakanlah
6.
54  ......................
72  .......................
2.
10. 2  ..................
4.
45
 ..................
5
7. Hasil dari
8. 2 18 –
75  12 = …
8+
2 adalah …
9. Hasil dari 3 8  50  2 18 = …
10. Hasil dari 3 27  2 48  6 75 = …
11. Hasil dari
…
50  108  2 12  32 adalah
12. Bentuk sederhana dari
√242 − √200 − √50 − √8 = …
13. √32 + √18 − √242 + √72 adalah …
14. 4√200 − 2√242 − 5√50 + 10√2 = …
15. Nilai dari 3√32 − 6√8 + 4√50 + √2 = …
16. Hasil dari
5
2 3
adalah …
17. Bentuk sederhana dari
18. Bentuk sederhana dari
19. Bentuk sederhana
4
3 5
adalah …
7
3 2
adalah …
2
adalah …
3 7
20. Bentuk sederhana dari
21. Bentuk sederhana dari
4
3 5
adalah …
5 3
5 3
adalah ….
22. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk
6 5
rasional dari
6  5 adalah ….
23. Bentuk sederhana dari
24. Bentuk sederhana dari
6 2
6 2
15  5
15  5
adalah ….
adalah ….
D. Kompetensi Dasar : Menerapkan konsep logaritma
Indikator
1. Operasi logaritma diselesaikan sesuai dengan sifat-sifatnya.
2. Soal-soal logaritma diselesaikan dengan menggunakan tabel dan tanpa tabel
3. Permasalahan program keahlian diselesaikan dengan menggunakan logaritma
Pengertian logaritma
Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari perpangkatan. Misalkan a adalah bilangan positif (a
> 0) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (g >0, g≠ 1), maka:
g
log a = x jika hanya jika gx = a
atau bisa di tulis :
(1) untuk glog a = x  a = gx
 x = glog a
(2) untuk gx = a
b) sifat–sifat logaritma sebagai berikut:
(1) glog g = 1
(2) glog (a × b) = glog a + glog b
b 
(3) glog a = glog a – glog b
(4) glog an = n × glog a
p
log a
p
log g
g
(5) log a =
(6) glog a =
1
a
log g
(7) glog a × alog b = glog b
(8)
gn
log a m = m glog a
n
g
log a
a
(9) g
Latihan
1. Nilai dari 2log 6 + 2log 8 – 2log 12 = …
2. Nilai dari 2log 32 + 2log 12 – 2log 6 adalah
3. Bentuk sederhana dari
3
log 81 + 3log 9 – 3log 27 adalah …
4.
3
log 54 + 3log 6 – 3log 4 adalah …
5.
4
log 256 + 4log 16 – 4log 64 adalah …
6. Nilai dari 5log 25 + 5log 3 – 5log 15 = …
7. Nilai dari 5log 75 – 5log3 + 1 = …
8. Nilai dari 2log 3 – 2log 9 + 2log 12 = …
9. Nilai dari 2log 8 – 2log 18 + 2log 36 = …
10. Nilai dari 2log 12 – 2log 24 + 2log 16 =
5
1  2 log 8  3log 9 adalah
11. Nilai dari log 25
12. Nilai dari 9log 25 5log 2 – 3log 54 = …
13. Jika diketahui log 3 = p dan log 5 = q tentukan
nilai dari log 45
14. Jika diketahui log 3 = p dan log 5 = q tentukan
nilai dari log 225
15. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771 hitung
nilai log 54
16. Dari soal no 15 tentukan nilai log 36
17. Jika 3log 2 = p, maka 8log 81 adalah ….
18. Diketahui 2log 3 = p Nilai dari 9log 16 adalah ….
19. Diketahui 3log 4 = p. Nilai dari 16log 81 sama
dengan ….
20. Diketahui 3log 2 =p. Nilai dari 8log 12 sama
dengan ….