TKS 4007 Matematika III Integral Vektor (Pertemuan VI) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Integral Garis Dari Gambar 6.1, sebuah obyek bergerak dengan lintasan tidak lurus dari titik A ke titik B. Jika gaya yang diberikan berubah nilai dan arahnya, maka usaha yang dilakukan adalah seperti Pers. (6.1). Gambar 6.1. Obyek dengan lintasan tidak lurus 1 Integral Garis (lanjutan) 𝑾 = 𝒊 𝑭𝒊 . 𝚫𝒓𝒊 (6.1) Jika perubahannya kontinu untuk perpindahan dari titik a ke titik b sepanjang lintasan C, maka Pers. (6.1) berubah menjadi bentuk integral seperti Pers. (6.2). 𝑾= 𝒃 𝑭. 𝒅𝒓 𝒂 (6.2) Usaha yang dihasilkan merupakan integral garis dari fungsi vektor F. Integral Garis (lanjutan) Integral garis dari suatu fungsi vektor A(t) sepanjang kurva C yang terdefinisi pada a t b, dapat didefinisikan seperti Pers. (6.3). 𝑪 𝑨. 𝒅𝒓 = = = 𝒃 𝑨. 𝒅𝒓 𝒂 𝑏 𝐴1 𝐢 + 𝐴2 𝐣 + 𝐴3 𝐤 . 𝐢𝑑𝑥 𝑎 𝑏 𝐴1 dx + 𝐴2 𝑑𝑦 + 𝐴3 𝑑𝑧 𝑎 + 𝐣𝑑𝑦 + 𝐤𝑑𝑧 (6.3) 2 Integral Garis (lanjutan) Untuk obyek yang bergerak dengan lintasan tertutup dimana A = B seperti ditunjukkan Gambar 6.2, maka digunakan Pers. (6.4). Gambar 6.2. Obyek dengan lintasan tertutup 𝑪 𝑨. 𝒅𝒓 = 𝑪 𝐴1 𝐢 + 𝐴2 𝐣 + 𝐴3 𝐤 . 𝐢𝑑𝑥 + 𝐣𝑑𝑦 + 𝐤𝑑𝑧 = 𝐶 𝐴1 dx + 𝐴2 𝑑𝑦 + 𝐴3 𝑑𝑧 (6.4) Integral Garis (lanjutan) Contoh : Hitung usaha yang dihasilkan sebuah obyek yang bergerak dalam vektor F = yi + x2j, sepanjang kurva x = 2t, y = t2 – 1 dari t = 0 hingga t = 2. Penyelesaian : 𝑪 𝑭. 𝒅𝒓 = = = = = 𝒚𝐢 + 𝒙𝟐 𝐣 . 𝒅𝒙𝐢 + 𝒅𝒚𝐣 𝑪 𝟐 𝒚𝒅𝒙 + 𝒙𝟐 𝒅𝒚 𝟎 𝟐 𝟐 𝒕 − 𝟏 𝟐𝒅𝒕 + 𝟐𝒕 𝟐 𝟐𝒕𝒅𝒕 𝟎 𝟐 𝟐𝒕𝟐 − 𝟐 + 𝟖𝒕𝟑 𝒅𝒕 𝟎 𝟐 𝟑 𝟏𝟎𝟎 𝒕 − 𝟐𝒕 + 𝟖𝒕𝟒 𝟐𝟎 = 𝟑 satuan 𝟑 panjang 3 Integral Permukaan Definisi : Jika S suatu permukaan 2 sisi yang demikian mulus dan n adalah vektor normal satuan positif, maka fluks (massa yang mengalir per satuan waktu) dari A(x,y,z) melalui permukaan S adalah seperti Pers. (6.5) yang disebut dengan integral permukaan. Fluks 𝑭 yang melintasi 𝑺 = 𝑺 𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺 (6.5) Untuk menghitung integral permukaan akan lebih sederhana dengan memproyeksikan S pada salah satu bidang koordinat, kemudian menghitung integral lipat 2 dari proyeksinya. Integral Permukaan (lanjutan) Jika permukaan S memiliki proyeksi pada bidang xy, maka integral permukaan diberikan oleh Pers. (6.6). 𝑺 𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺 = 𝑺 𝑨. 𝒏. 𝒅𝒙.𝒅𝒚 𝒏.𝐤 (6.6) Sedangkan jika proyeksi pada bidang xz, maka integral permukaan diberikan oleh Pers. (6.7). 𝑺 𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺 = 𝑺 𝑨. 𝒏. 𝒅𝒙.𝒅𝒛 𝒏.𝐣 (6.7) Dan proyeksi pada bidang yz, maka integral permukaan diberikan oleh Pers. (6.8). 𝑺 𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺 = 𝑺 𝑨. 𝒏. 𝒅𝒚.𝒅𝒛 𝒏.𝐢 (6.8) 4 Integral Permukaan (lanjutan) Contoh : Hitunglah 𝑺 𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺 dimana A = 18zi – 12j + 3yk, S adalah bagian dari bidang 2x + 3y + 6z = 12 yang terletak pada oktan pertama dan n adalah normal satuan pada S. Penyelesaian : Suatu normal untuk S adalah 𝛁 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟔𝒛 − 𝟏𝟐 = 𝟐𝐢 + 𝟑𝐣 + 𝟔𝐤, sehingga : 𝒏= 𝟐𝐢+𝟑𝐣+𝟔𝐤 𝟐𝟑 +𝟑𝟐 +𝟔𝟐 = 𝟐𝐢+𝟑𝐣+𝟔𝐤 𝟕 Integral Permukaan (lanjutan) maka : 𝑨. 𝒏 = 𝟏𝟖𝒛𝐢 − 𝟏𝟐𝐣 + 𝟑𝒚𝐤 . = = = 𝟐𝐢+𝟑𝐣+𝟔𝐤 𝟕 𝟑𝟔𝒛−𝟑𝟔+𝟏𝟖𝒚 𝟕 𝟑𝟔 𝟏𝟐−𝟐𝒙−𝟑𝒚 𝟔 −𝟑𝟔+𝟏𝟖𝒚 𝟕 𝟑𝟔−𝟏𝟐𝒙 𝟕 5 Integral Permukaan (lanjutan) Permukaan S proyeksi R nya terhadap bidang xy. Sehingga integral permukaan yang diinginkan adalah seperti gambar berikut : Integral Permukaan (lanjutan) 𝑺 𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺 = = 𝒅𝒙.𝒅𝒚 𝒏.𝐤 𝟑𝟔−𝟏𝟐𝒙 𝒅𝒙.𝒅𝒚 . 𝟐𝐢+𝟑𝐣+𝟔𝐤 𝑹 𝟕 .𝐤 𝑹 𝑨. 𝒏. 𝟏𝟐−𝟐𝒙 = = = = = 𝟕 = 𝑹 𝟑𝟔−𝟏𝟐𝒙 𝒅𝒙.𝒅𝒚 . 𝟔 𝟕 𝟔 𝟑 𝟔 − 𝟐𝒙 𝒅𝒙. 𝒅𝒚 𝒙=𝟎 𝒚=𝟎 𝟏𝟐−𝟐𝒙 𝟔 𝟑 𝟔𝒚 − 𝟐𝒙𝒚 𝒅𝒙 𝒙=𝟎 𝟎 𝟔 𝟏𝟐−𝟐𝒙 𝟏𝟐−𝟐𝒙 𝟔 − 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒙=𝟎 𝟑 𝟑 𝟐 𝟔 𝟒𝒙 𝟐𝟒 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑 𝒅𝒙 𝒙=𝟎 𝟒𝒙𝟐 𝟐𝟒𝒙 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟗 𝟔𝟎 = 𝟐𝟒 satuan 𝟕 luas 6 Integral Volume (lanjutan) Pandang sebuah permukaan tertutup dalam ruang yang menutup volume V, maka : 𝑨 𝒅𝑽 = 𝑽 𝑽 𝑨 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 (6.9) dan 𝝓 𝒅𝑽 = 𝑽 𝝓 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 (6.10) Pers. (6.10) dapat dinyatakan sebagai limit dari jumlah. Untuk lebih jelasnya lihat Gambar 6.3 yang membagi ruang V ke dalam M buah kubus-kubus dengan volume 𝚫𝑽𝒌 = 𝚫𝒙𝒌 𝚫𝒚𝒌 𝚫𝒛𝒌 , 𝒌 = 𝟏, 𝟐, … , 𝑴. 𝑽 Integral Volume (lanjutan) Jika 𝒙𝒌 , 𝒚𝒌 , 𝒛𝒌 sebuah titik dalam kubus, dapat didefnisikan 𝝓 𝒙𝒌 , 𝒚𝒌 , 𝒛𝒌 = 𝝓𝒌 . Pandang jumlah : 𝒏 𝝓𝒌 ∆𝑽𝒌 𝒌=𝟏 yang diambil untuk semua kubus yang ada dalam ruang Gambar 6.3. Integral volume yang ditinjau. 7 Integral Volume (lanjutan) Limit dari jumlah tersebut, jika 𝑴 → ∞, sehingga kuantitaskuantitas terbesar ∆𝑽𝒌 akan mendekati nol, dan jika limit ini ada, yang dinyatakan oleh Pers. (6.10) adalah integral volume. Integral Volume (lanjutan) Contoh : Hitung 𝑽 𝒇(𝒙)𝒅𝑽 dengan V adalah ruang yang dibatasi oleh permukaan-permukaan x + y + z = 5, x = 0, y = 0, dan z = 0, jika 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 . Penyelesaian : 8 Integral Volume (lanjutan) 𝑽 𝒙𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛𝟐 = = = = 𝟓 𝒙=𝟎 𝟓 𝒙=𝟎 𝟓 𝒙=𝟎 𝟓 𝒙=𝟎 𝟓−𝒙 𝟓−𝒙−𝒚 𝟐 𝒙 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 𝒅𝒛𝒅𝒚𝒅𝒙 𝒚=𝟎 𝒛=𝟎 𝟓−𝒙 𝟏 𝒙𝟐 𝒛 + 𝒚𝟐 𝒛 + 𝒛𝟑 𝟓−𝒙−𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙 𝟎 𝒚=𝟎 𝟑 𝟓−𝒙 𝟓−𝒙−𝒚 𝟑 𝒙𝟐 + 𝒚 𝟐 𝟓 − 𝒙 − 𝒚 + 𝒚=𝟎 𝟑 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝟓−𝒙 𝟑 𝒚𝟒 𝟐 𝒙 𝟓−𝒙 − + 𝒚 − 𝟐 𝟑 𝟒 − = = 𝟓−𝒙−𝒚 𝟒 𝟏𝟐 𝒅𝒚𝒅𝒙 𝟓−𝒙 𝒅𝒙 𝟎 𝟓 𝒙𝟐 𝟓−𝒙 𝟐 𝟓−𝒙 𝟒 + 𝒅𝒙 𝟎 𝟐 𝟔 𝟐𝟓𝒙𝟑 𝟓𝒙𝟒 𝒙𝟓 (𝟓−𝒙)𝟓 − + − 𝟔 𝟒 𝟏𝟎 𝟑𝟎 𝟓 𝟎 = 𝟔𝟐𝟓 𝟒 satuan volume Terima kasih dan Semoga Lancar Studinya! 9
