Uploaded by User54205

Laporan Praktikum Panji Kusuma 18254

advertisement
Laporan Percobaan
PENCARIAN AKAR-AKAR DARI FUNGSI
Diajukan untuk Memenuhi Laporan Kegiatan Percobaan Fisika Komputasi
Disusun oleh :
Nama
NIM
Hari, Tanggal Praktikum
Asisten
:
:
:
:
:
:
Panji Kusma
18/424149/P A/18254
Senin, 20 April 2020
Siti Amalia
M. Adi Yudha P.
Hanif Yuandi
LABORATORIUM FISIKA KOMPUTASI
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS GADJAH MADA
YOGYAKARTA
2020
Praktikum Komputasi
Pencarian Akar-akar dari Fungsi
Panji Kusuma∗
Departemen Fisika, Universitas Gadjah Mada, Sekip Utara BLS 21, 55281, Yogyakarta, Indonesia
(Dated: 20 April 2020)
Salah satu masalah yang paling sering kita jumpai dalam fisika adalah tentang pencarian
akar fungsi. Apalagi jika ditemukanya suatu bentuk akar yang rumit dan sulit dalam pemecahanya. Salahsatu solusi untuk mengatasi masalah tersebut adalah dengan memanfaatkan komputer(komputasi). Salah satu metode untuk melakukan pemecahan sebuah akar fungsi adalah
Newton-Raphson yang ditemukan oleh Isaac Newton dan Joseph Raphson.
I.
A.
II.
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Dewasa ini, ilmu fisika hampir tidak bisa lepas dengan
matematika. Sedangkan matematika itu sendiri sangat
erat berhubungan dengan fungsi dan persamaan. Fungsi
dan persamaan mempunyai akar, didalam fisika, akarakar suatu fungsi kerap dicari untuk menyelesaikan suatu
masalah. Beberapa contoh persoalan fisika yang membutuhkan akar-akar dari fungsi adalah persoalan sistem
pegas yang saling terkait, atau persoalan medan listrik.
Untuk mempermudah fisikawan dalam mencari akar
akar suatu fungsi atai persamaan, digunakan sebuah
metode yang bernama metode numerik. Salah satu
metode tersebut diberi nama Metode Newwton-Raphson.
Dalam penggunaanya, metode iniselain membutuhkan
fungsi itu sendiri,juga membutuhkan nilai tebakan awal
sertaturunan fungsi pada titik tersebut. Untuk mencari
turunan fungsi disuatu titik, dapat menggunakan metode
Finite Difference. Sebagai fisikawan, kita harus mampu
memahami serta bisa mengaplikasikannya agar memudahkan kita dalam menyelesaikan persoalan-persoalan
fisika.
A.
Tujuan Percobaan
Tujuan dari Praktikum Komputasi ini adalah sebagai
berikut:
1. Praktikan dapat memahami metode pencarian akar
Newton-Raphson
2. Praktikan dapat menyelesaikan persoalan Fisika
yang berkaitan dengan pencarian akar dengan
metode Newton-Raphson
3. Praktikan dapat menyebutkan faktor-faktor yang
mempengaruhi hasil pencarian akar dengan metode
Newton-Raphson
Akar-akar dari Fungsi
Dalam matematika, secrara fundamental fungsi adalah
suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x
dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f (x) dari suatu himpunan kedua yang disebut Kodomain. Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah
hasil (Range)[1]. salah satu contoh fungsi adalah sebagai
berikut:
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn
Fungsi diatas adalah bentuk fungsi polinomial orde n
yang mengandung suatu variabel, yaitu x, dengan ai
adalah suatu konstanta. Terdapat banyak sekali bentuk fungsi, seperti fungsi sinus, fungsi eksponensial dan
lainya. Dalam praktiknya, fungsi biasa dinyatakan sebagai f (x). Suatu fungsi akan memiliki akar-akar. Misal
diberikan suatu fungsi f (x), yang dimaksud dengan akar
dari f (x) adalah nilai-nilai x sedemikian hingga f (x) = 0.
B.
B.
DASAR TEORI
Metode Newton-Raphson
Pencarian akar-akar suatu fungsi biasa juga disebut
pencarian titik-titik nol suatu fungsi atau suatu penyelesaian tak linier. Salah satu dari berbagai metode pencarian akar adalah metode Newton-Raphson. Metode
ini ditemukan oleh Sir Isaac Newton dan oleh JosephRaphson. Pada metode ini, akar-akar dari suatu fungsi
dapat didekati dengan mengetahui nilai fungsi di sembarang titik tebakan serta nilai turunan di titik tersebut.
Berbeda dengan metode Bisection yang membutuhkan
dua nilai tebakan awal sebagai batas, metode NewtonRaphson hanya membutuhkan satu nilai tebakan yang
dapat dipastikan akan menuju akar tersebut. Metode
Newton-Raphson secara matematis dituliskan sebagai
berikut:
xi+1 = xi −
∗
[email protected]
f (xi )
f 0 (xi )
(1)
(x)
dengan f 0 (xi ) = dfdx
ketika x = xi , dan i = 0, 1, 2, ....
Bentuk kaitan seperti persamaan (1) akan sering muncul
2
dalam Fisika Komputasi dan disebut itersasi. Ide dasar
dari iterasi adalah pemanfaatan nilai coba yang diberikan
untuk mendapatkan nilai berikutnya yang lebih baik.
Andaikan nilai coba yang diberikan kita lambangkan dengan x0 maka semua ungkapan yang muncul pada ruas kiri
persamaan (1) akan dapat dihitung, yang berarti nilai x1
akan diperoleh. Jika proses ini dilakukan terus menerus
akan mencapai suatu nilai xn , yaitu nilai akar yang paling mendekati [3]. Dengan syarat:
xn ≈ xn−1
D.
Medan listrik merupakan daerah yang masih dipengaruhi sifat kelistrikan dari muatan tertentu. Medan
listrik juga dapat didefinisikan sebagai gaya yang
bertumpu pada muatan uji satuan pada titik yang ingin didapatkan harga medan vektornya.
Ft =
(2)
atau
III.
f (xn ) ≈ 0
Medan Listrik
1 q1 q2
2
4π0 R12
(5)
METODE PERCOBAAN
(3)
A.
Langkah Percobaan
Percobaan dilakukan dengan cara mempraktikkan instruksi yang ada pada bab 4 buku panduan praktikum.
Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut
:
1. Sistem elektrostatik digambar
2. Arah medan listrik yang bekerja digambar
3. Fungsi yang akan dicari akar-akarnya ditentukan
dengan menggunakan rumus elektrostatika
4. Fungsi di-plot
FIG. 1. Ilustrasi Metode Newton-Raphson
C.
5. Source-code
dibuat
Dalam menggunakan metode Newton-Raphson,
seperti yang telah diketahui, kita juga membutuhkan
turunan dari fungsi tersebut pada titik tebakan. Ketika
turunan fungsi sulit ditentukan secara analitik, metode
Finite Difference akan sangat membantu dalam menentukan nilai turunan secara numerik. Dasar dari metode
ini adalah deret Taylor[2]. Secara matematis dapat
dinyatakan:
f (x + h) − f (x)
f (x) ≈
h
program
Newton-Raphson
6. Program dijalankan untuk mendapatkan akar-akar
fungsi
Metode Finite Difference
0
untuk
B.
Fungsi Pembuat Nol
Fungsi pembuat nol-nya merupakan total nilai E yang
dipengaruhi oleh masing masing muatan. Dengan kata
lain nilai Etotal = 0
Etotal = 0
(6)
E1 − E2 + E3 − E4 = 0
(7)
(4)
1 Q1
1 Q2
1 Q3
1 Q3
−
+
−
=0
4π0 R12
4π0 R22
4π0 R32
4π0 R42
(8)
1
3
1 5
1
6
1
2
−
+
−
=0
2
2
2
4π0 (5 − x) 4π0 x 4π0 (8 − x) 4π0 (x + 1)2
(9)
Pada persamaan (9) kita dapat menyederhanakan per1
samaan tersebut sehingga nilai 4π
dapat dihilangkan
0
Sehingga kita mendapatkan fungsi f (x) sebagai berikut:
FIG. 2. Ilustrasi Metode Finite Difference
f (x) =
3
5
6
2
− 2+
−
(5 − x)2
x
(8 − x)2
(x + 1)2
(10)
3
Selain membutuhkan fungsi pembuat nol, pada praktikum ini, praktikan juga membutuhkan turunan pertama dari fungsi pembuat nol sebagai berikut:
10
12
4
df (x)
6
+ 3+
+
=
dx
(5 − x)3
x
(8 − x)3
(x + 1)3
C.
(11)
Nilai Tebak
Pada penerapanya, metode Newton-Raphson memerlukan sebuah nilai tebak. Nilai tebak adalah terkaan dimana kira kira fungsi tersebut memotong sumbu x. Nilai tebak dapat dicari menggunakan intuisi fisika, atau
dalam kasus ini praktikan melakukan ploting grafik, sehingga nilai tebaknya dapat di perkirakan. Berikut
adalah plot grafik:
2. Tebak nilai awal x untuk iterasi pertama.
3. Substitusikan x ke persamaan Newton-Raphson,
dan hitung xnew .
4. Jika |xnew −x| < N ilaitoleransi hentikan iterasi dan
print out akar: xnew .
5. Jika iterasi mencapai nomer ke-maksimal, hentikan
iterasi.
6. Else substitusikan x = xnew dan ulangi dari step 3
sampai kondisi di nomor 4 atau 5 terpenuhi.
E.
Listing Program
Listing 1. Listing Program untuk pencarian akar dengan
metode newton raphson
x = 4 #Nilai Tebak
for i in range(100):
xnew = x - (3/(5-x)**2 - 5/x**2 + 6/(8-x)**2 2/(x+1)**2)/(6/(5-x)**3 + 10/x**3 +
12/(8-x)**3 + 4/(x+1)**3)
if abs (xnew-x) < 0.000001: break #Nilai
toleransi
x=xnew
print ("Hasil akar adalah %f pada iterasi ke %d"
%(xnew, i))
IV.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam Praktikum ini, praktikan diberikan sebuah sistem elektrostatika dengan empat buah muatan. Dengan
nilai Q1 = 3C, Q2 = 5C, Q3 = 6C, Q4 = 2C. Dengan
titik P berada sejauh x meter dari muatan Q2 . Tugas
FIG. 3. Grafik plot nilai tebak
Menurut plot grafik tersebut, praktikan memutuskan
nilai tebaknya adalah: 4
D.
Alogaritma Program
Sebelum membuat source code sebuah program, perlu
terlebih dahulu membuat alogaritma dari program tersebut, agar nantinya program dapat berjalan lancar.
Berikut adalah alogaritma dari program:
1. Temukan nilai f 0 (x) kemudian tulis persamaan
Newton-Raphson.
FIG. 4. Ilusstrasi dari sistem elektrostatika
untuk praktikan adalah mencari nilai x (posisi titik p)
yang membuat nilai medan listrik di titik P adalah nol.
Setelah mengetahui nilai f (x) dan f 0 (x) seperti pada
metode percobaan, serta setelah melakukan plot grafik
dari fungsi f (x) praktikan dapat menentukan nilai iterasi
pertama yaitu x = 4.0. setelah itu, kemudian praktikum
mulai melakukan / menjalankan program.
Program yang pertama, praktikan memilih nilai toletransi sebesar 1.0e− 1. hasil yang didapatkan adalah nilai
x sebesar 2.744081
4
V.
KESIMPULAN
Dari praktikum yang sudah dilakukan, maka dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut:
1. Jarak dari titik P terhadap Q2 adalah sebesar
2.744081 meter
2. Jika Kita menetapkan nilai toleransi sebagai variable bebas, maka hal tersebut akan berpengaruh
terhadap jumlah iterasi yang dijalankan.
FIG. 5. Hasill Running program dengan nilai toleransi sebesar
1.0e− 1
Program yang kedua, praktikan memilih nilai toletransi sebesar 1.0e− 4. hasil yang didapatkan adalah nilai
x sebesar 2.744081
FIG. 6. Hasill Running program dengan nilai toleransi sebesar
1.0e− 4
Program yang ke tiga, praktikan memilih nilai toletransi sebesar 1.0e− 6. hasil yang didapatkan adalah nilai
x sebesar 2.744081
FIG. 7. Hasill Running program dengan nilai toleransi sebesar
1.0e− 6
5
[1] Pengertian
Fungsi
Dalam
Matematika,
https://dwideasi.com/2014/05/18/pengertian-fungsidalam-matematika/, diakses pada 13 April 2020 Pukul
22.00 WIB.
[2] DeVries, Paul L. 1994. A First Course In Computationan
Physics, Miami University: Ohio.
[3] Nurwantoro, Pekik. 2001. Petunjuk Praktikum Fisika
Komputasi, Universitas Gadjah Mada: Yogyakarta
Download
Random flashcards
hardi

0 Cards oauth2_google_0810629b-edb6-401f-b28c-674c45d34d87

Rekening Agen Resmi De Nature Indonesia

9 Cards denaturerumahsehat

sport and healty

2 Cards Nova Aulia Rahman

Nomor Rekening Asli Agen De Nature Indonesia

2 Cards denaturerumahsehat

Secuplik Kuliner Sepanjang Danau Babakan

2 Cards oauth2_google_2e219703-8a29-4353-9cf2-b8dae956302e

Create flashcards