PRESENTASI TRANSFORMASI LINEAR KELOMPOK 7

KELOMPOK 7
Nama
:
1. Atin Ulfi Setya Ningrum
(16600021)
2. Yazmin Khairunnisa
(18106000047)
3. Munifah Zulfa
(18106000051)
Program Studi : Pendidikan Matematika
Mata Kuliah : Aljabar Linear
TRANSFORMASI LINEAR
 DEFINISI TRANSFORMASI LINEAR
Definisi 3.1.1.
Misalkan 𝑉 dan 𝑊 ruang vektor atas lapangan Ϝ. Suatu fungsi atau
pemetaan 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊disebut transformasi linear atau homomorfisme jika untuk
setiap vector 𝑢 dan 𝑣 di dalam 𝑉 dan setiap skalar 𝑟 di dalam Ϝ berlaku:
1. 𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣).
2. 𝑇(𝑟 ∙ 𝑢) = 𝑟 ∙ 𝑇(𝑢).
Suatu transformasi linear
𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑉 disebut operator linear atau
endomorfisme pada 𝑉. Transformasi linear 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊yang injektif disebut
monomorfisme, transformasi linear 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊yang surjektif disebut epimorfisme
dantransformasi 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊yang bijektif disebut isomorfisme. Jika terdapat
isomorfisme dari 𝑉ke 𝑊, maka dikatakan bahwa 𝑉 dan 𝑊 isomorfis dan ditulis
𝑉 ≅ 𝑊.
 CONTOH TRANSFORMASI LINEAR

CONTOH YANG MEMENUHI
𝑥−𝑦
𝑥
Tunjukkan bahwa T : ℝ → ℝ , dimana 𝑇 [(𝑦)] = ( −𝑥 ) merupakan
𝑦
2
transformasi linear!
Penyelesaian:
3
𝑥−𝑦
𝑥
Diketahui : T : ℝ → ℝ , 𝑇 [(𝑦 )] = ( −𝑥 )
𝑦
2
3
Akan ditunjukkan : T merupakan transformasi linear
(i)
Adit T(u + v) = T(u) + T(v)
𝑢1
𝑣1
Abs u,v ∈ ℝ2 dengan u = (𝑢 ) dan v = (𝑣 )
2
2
𝑢1
𝑣1
T(u + v) = 𝑇 [(𝑢 ) + (𝑣 )]
2
2
𝑢 + 𝑣
= 𝑇 ( 𝑢1 + 𝑣 1 )
2
2
(𝑢1 + 𝑣1 ) − (𝑢2 + 𝑣2 )
)
=(
−(𝑢1 + 𝑣1 )
𝑢2 + 𝑣2
𝑢1 + 𝑣1 − 𝑢2 − 𝑣2
−𝑢1 − 𝑣1
)
=(
𝑢2 + 𝑣2
𝑢1 − 𝑢2
𝑣1 − 𝑣2
−𝑢
=(
1 ) + ( −𝑣1 )
𝑢2
𝑣2
𝑢1
𝑣1
= T(𝑢 ) + T(𝑣 )
2
2
= T(u) + T(v)
Jadi, terbukti bahwa T(u + v) = T(u) + T(v), ∀u ∈ ℝ2
(ii)
Adit T(r. u) = r. T(u)
𝑢1
Abs u ∈ ℝ2 dengan u = (𝑢 ) dan r ∈ ℝ
2
T(r. u)
𝑢1
= 𝑇 [𝑟 (𝑢 )]
2
𝑟𝑢1
= 𝑇 (𝑟𝑢 )
2
𝑟𝑢1 − 𝑟𝑢2
= ( −𝑟𝑢1 )
𝑟𝑢2
𝑟(𝑢1 − 𝑢2
= ( −𝑟𝑢1 )
𝑟𝑢2
𝑢1 − 𝑢2
= r ( −𝑢1 )
𝑢2
𝑢1
= 𝑟 [𝑇 (𝑢 )]
2
= r. T(u)
Jadi, terbukti bahwa T (r. u) = r.T(u), ∀u ∈ ℝ2 dan r ∈ ℝ
Karena kedua aksioma transformasi linear terpenuhi maka terbukti T
merupakan transformasi linear.

CONTOH YANG TIDAK MEMENUHI
Suatu transformasi T : ℝ3 → ℝ3 didefinisikan sebagai
𝑥1 + 𝑥2
𝑥1
𝑥1
3
𝑥
−
𝑥
𝑥
𝑥
T(( 2 )) = ( 2
3 ) untuk setiap ( 2 ) ∈ ℝ
2
𝑥3
𝑥3
𝑥3
Apakah transformasi T merupakan transformasi linear?
Penyelesaian:
Misalkan 𝑢, 𝑣 ∈ ℝ3 dan 𝑘 merupakan scalar.
𝑢1
𝑣1
3
3
𝑢
Karena 𝑢 ∈ ℝ maka 𝑢 = ( 2 ), karena 𝑣 ∈ ℝ maka 𝑣 = (𝑣2 ) dengan
𝑢3
𝑣3
𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ∈ ℝ
𝑢1
𝑣1
(i) T(𝑢 + 𝑣) = 𝑇 ((𝑢2 ) + (𝑣2 ))
𝑢3
𝑣3
𝑢1 +𝑣1
= ((𝑢2 +𝑣2 ))
𝑢3 +𝑣3
(𝑢1 + 𝑣1 ) + (𝑢2 + 𝑣2 )
= ((𝑢2 + 𝑣2 ) − (𝑢3 + 𝑣3 ))
(𝑢3 + 𝑣3 )2
𝑢1
𝑣1
(ii) 𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣) = 𝑇 ((𝑢2 )) + 𝑇 ((𝑣2 ))
𝑢3
𝑣3
𝑢1 + 𝑢2
𝑣1 + 𝑣2
= (𝑢2 − 𝑢3 ) + (𝑣2 − 𝑣3 )
𝑢32
𝑣32
(𝑢1 + 𝑢2 ) + (𝑣1 + 𝑣2 )
(
= ( 𝑢2 − 𝑢3 ) + (𝑣2 − 𝑣3 ))
𝑢32 + 𝑣32
Counter Example
Ambil suatu 𝑢, 𝑣 ∈ ℝ3.
Misal 𝑢 ∈ ℝ
3,
1
3
3
𝑢 = ( 2 ), dan 𝑣 ∈ ℝ ,𝑣 = (3) dengan −1,1,2,3 ∈ ℝ
−1
1
1
3
(i) T(𝑢 + 𝑣) = 𝑇 (( 2 ) + (3))
−1
1
1+3
= 𝑇 (( 2 + 3 ))
(−1) + 1
4
= 𝑇 ((5))
0
4+5
= (5 − 0)
02
9
= (5)
0
1
3
(
)
(
)
(ii) 𝑇 𝑢 + 𝑇 𝑣 = 𝑇 (( 2 )) + 𝑇 ((3))
−1
1
1+2
3+3
= (2 − (−1)) + (3 − 3)
(1)2
(−1)2
3
3
=(3)+(0)
1
1
3
=(0)
1
Karena 𝑇(𝑢 + 𝑣) ≠ 𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣), maka T bukan merupakan transformasi
linear.