Uploaded by User52065

PRESENTASI TRANSFORMASI LINEAR KELOMPOK 7

advertisement
KELOMPOK 7
Nama
:
1. Atin Ulfi Setya Ningrum
(16600021)
2. Yazmin Khairunnisa
(18106000047)
3. Munifah Zulfa
(18106000051)
Program Studi : Pendidikan Matematika
Mata Kuliah : Aljabar Linear
TRANSFORMASI LINEAR
οƒ˜ DEFINISI TRANSFORMASI LINEAR
Definisi 3.1.1.
Misalkan 𝑉 dan π‘Š ruang vektor atas lapangan Ϝ. Suatu fungsi atau
pemetaan 𝑇: 𝑉 ⟢ π‘Šdisebut transformasi linear atau homomorfisme jika untuk
setiap vector 𝑒 dan 𝑣 di dalam 𝑉 dan setiap skalar π‘Ÿ di dalam Ϝ berlaku:
1. 𝑇(𝑒 + 𝑣) = 𝑇(𝑒) + 𝑇(𝑣).
2. 𝑇(π‘Ÿ βˆ™ 𝑒) = π‘Ÿ βˆ™ 𝑇(𝑒).
Suatu transformasi linear
𝑇: 𝑉 ⟢ 𝑉 disebut operator linear atau
endomorfisme pada 𝑉. Transformasi linear 𝑇: 𝑉 ⟢ π‘Šyang injektif disebut
monomorfisme, transformasi linear 𝑇: 𝑉 ⟢ π‘Šyang surjektif disebut epimorfisme
dantransformasi 𝑇: 𝑉 ⟢ π‘Šyang bijektif disebut isomorfisme. Jika terdapat
isomorfisme dari 𝑉ke π‘Š, maka dikatakan bahwa 𝑉 dan π‘Š isomorfis dan ditulis
𝑉 β‰… π‘Š.
οƒ˜ CONTOH TRANSFORMASI LINEAR
ο‚·
CONTOH YANG MEMENUHI
π‘₯βˆ’π‘¦
π‘₯
Tunjukkan bahwa T : ℝ β†’ ℝ , dimana 𝑇 [(𝑦)] = ( βˆ’π‘₯ ) merupakan
𝑦
2
transformasi linear!
Penyelesaian:
3
π‘₯βˆ’π‘¦
π‘₯
Diketahui : T : ℝ β†’ ℝ , 𝑇 [(𝑦 )] = ( βˆ’π‘₯ )
𝑦
2
3
Akan ditunjukkan : T merupakan transformasi linear
(i)
Adit T(u + v) = T(u) + T(v)
𝑒1
𝑣1
Abs u,v ∈ ℝ2 dengan u = (𝑒 ) dan v = (𝑣 )
2
2
𝑒1
𝑣1
T(u + v) = 𝑇 [(𝑒 ) + (𝑣 )]
2
2
𝑒 + 𝑣
= 𝑇 ( 𝑒1 + 𝑣 1 )
2
2
(𝑒1 + 𝑣1 ) βˆ’ (𝑒2 + 𝑣2 )
)
=(
βˆ’(𝑒1 + 𝑣1 )
𝑒2 + 𝑣2
𝑒1 + 𝑣1 βˆ’ 𝑒2 βˆ’ 𝑣2
βˆ’π‘’1 βˆ’ 𝑣1
)
=(
𝑒2 + 𝑣2
𝑒1 βˆ’ 𝑒2
𝑣1 βˆ’ 𝑣2
βˆ’π‘’
=(
1 ) + ( βˆ’π‘£1 )
𝑒2
𝑣2
𝑒1
𝑣1
= T(𝑒 ) + T(𝑣 )
2
2
= T(u) + T(v)
Jadi, terbukti bahwa T(u + v) = T(u) + T(v), βˆ€u ∈ ℝ2
(ii)
Adit T(r. u) = r. T(u)
𝑒1
Abs u ∈ ℝ2 dengan u = (𝑒 ) dan r ∈ ℝ
2
T(r. u)
𝑒1
= 𝑇 [π‘Ÿ (𝑒 )]
2
π‘Ÿπ‘’1
= 𝑇 (π‘Ÿπ‘’ )
2
π‘Ÿπ‘’1 βˆ’ π‘Ÿπ‘’2
= ( βˆ’π‘Ÿπ‘’1 )
π‘Ÿπ‘’2
π‘Ÿ(𝑒1 βˆ’ 𝑒2
= ( βˆ’π‘Ÿπ‘’1 )
π‘Ÿπ‘’2
𝑒1 βˆ’ 𝑒2
= r ( βˆ’π‘’1 )
𝑒2
𝑒1
= π‘Ÿ [𝑇 (𝑒 )]
2
= r. T(u)
Jadi, terbukti bahwa T (r. u) = r.T(u), βˆ€u ∈ ℝ2 dan r ∈ ℝ
Karena kedua aksioma transformasi linear terpenuhi maka terbukti T
merupakan transformasi linear.
ο‚·
CONTOH YANG TIDAK MEMENUHI
Suatu transformasi T : ℝ3 β†’ ℝ3 didefinisikan sebagai
π‘₯1 + π‘₯2
π‘₯1
π‘₯1
3
π‘₯
βˆ’
π‘₯
π‘₯
π‘₯
T(( 2 )) = ( 2
3 ) untuk setiap ( 2 ) ∈ ℝ
2
π‘₯3
π‘₯3
π‘₯3
Apakah transformasi T merupakan transformasi linear?
Penyelesaian:
Misalkan 𝑒, 𝑣 ∈ ℝ3 dan π‘˜ merupakan scalar.
𝑒1
𝑣1
3
3
𝑒
Karena 𝑒 ∈ ℝ maka 𝑒 = ( 2 ), karena 𝑣 ∈ ℝ maka 𝑣 = (𝑣2 ) dengan
𝑒3
𝑣3
𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 , 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ∈ ℝ
𝑒1
𝑣1
(i) T(𝑒 + 𝑣) = 𝑇 ((𝑒2 ) + (𝑣2 ))
𝑒3
𝑣3
𝑒1 +𝑣1
= ((𝑒2 +𝑣2 ))
𝑒3 +𝑣3
(𝑒1 + 𝑣1 ) + (𝑒2 + 𝑣2 )
= ((𝑒2 + 𝑣2 ) βˆ’ (𝑒3 + 𝑣3 ))
(𝑒3 + 𝑣3 )2
𝑒1
𝑣1
(ii) 𝑇(𝑒) + 𝑇(𝑣) = 𝑇 ((𝑒2 )) + 𝑇 ((𝑣2 ))
𝑒3
𝑣3
𝑒1 + 𝑒2
𝑣1 + 𝑣2
= (𝑒2 βˆ’ 𝑒3 ) + (𝑣2 βˆ’ 𝑣3 )
𝑒32
𝑣32
(𝑒1 + 𝑒2 ) + (𝑣1 + 𝑣2 )
(
= ( 𝑒2 βˆ’ 𝑒3 ) + (𝑣2 βˆ’ 𝑣3 ))
𝑒32 + 𝑣32
Counter Example
Ambil suatu 𝑒, 𝑣 ∈ ℝ3.
Misal 𝑒 ∈ ℝ
3,
1
3
3
𝑒 = ( 2 ), dan 𝑣 ∈ ℝ ,𝑣 = (3) dengan βˆ’1,1,2,3 ∈ ℝ
βˆ’1
1
1
3
(i) T(𝑒 + 𝑣) = 𝑇 (( 2 ) + (3))
βˆ’1
1
1+3
= 𝑇 (( 2 + 3 ))
(βˆ’1) + 1
4
= 𝑇 ((5))
0
4+5
= (5 βˆ’ 0)
02
9
= (5)
0
1
3
(
)
(
)
(ii) 𝑇 𝑒 + 𝑇 𝑣 = 𝑇 (( 2 )) + 𝑇 ((3))
βˆ’1
1
1+2
3+3
= (2 βˆ’ (βˆ’1)) + (3 βˆ’ 3)
(1)2
(βˆ’1)2
3
3
=(3)+(0)
1
1
3
=(0)
1
Karena 𝑇(𝑒 + 𝑣) β‰  𝑇(𝑒) + 𝑇(𝑣), maka T bukan merupakan transformasi
linear.
Download
Random flashcards
hardi

0 Cards oauth2_google_0810629b-edb6-401f-b28c-674c45d34d87

Rekening Agen Resmi De Nature Indonesia

9 Cards denaturerumahsehat

Nomor Rekening Asli Agen De Nature Indonesia

2 Cards denaturerumahsehat

Card

2 Cards

Create flashcards