model

MAJU,
Volume 4 No. 2, September 2017
Page : 55-69
ISSN: 2355-3782
PEMODELAN MATEMATIKA DALAM OPTIMALISASI
PRODUK PENGOLAHAN SUSU SEGAR
Evi Widayanti
STKIP Bina Insan Mandiri Surabaya, Jl. Raya Menganti Kramat No.133 Wiyung-Surabaya
email: [email protected]
Abstrak : Tujuan yang ingin dicapai dalam penulisan artikel ini adalah untuk menentukan model
matematika beserta penyelesaiannya dalam optimalisasi suatu produksi pada perusahaan Beta. Manfaat
dari penulisan ini adalah memberikan gambaran untuk pengambilan keputusan yang terbaik dalam
rangka optimalisasi produksi. Diasumsikan bahwa bahan baku tersedia setiap harinya dan permintaan
juga ada pada setiap harinya. Selain itu perusahaan mendapatkan suplai bahan baku berupa susu segar
sebanyak 2.000 liter perhari dan mesin hanya akan memproduksi bahan baku yang ada. Jadi, jumlah
produk susu olahan yang akan dihasilkan akan kurang dari 1.800 kg.Dengan bantuan salah satu
program komputer maka diperoleh solusi yang terbaik untuk tiap produk yang dihasilkan agar
diperoleh keuntungan yang maksimum adalah X1 untuk produksi mentega sebesar 777 kg; untuk
produksi yoghurt (X2) sebesar 173 kg; untuk krim susu (X3) sebesar 835 kg; dan untuk produksi keju
(X4) sebesar 0. Jika perusahaan tersebut ingin mendapatkan keuntungan yang maksimal, maka
perusahaan tidak perlu memproduksi keju karena hal itu akan mempengaruhi jumlah produksi yang
lain. Selain itu harga jual keju yang hanya Rp 57.000,00 per kg tidak sebanding dengan biaya produksi
yang dikeluarkan untuk memproduksi keju itu sendiri.
Kata Kunci: Pemodelan Matematika, Optimalisasi
Adanya peningkatan permintaan susu
PENDAHULUAN
Susu merupakan salah satu produk
mendorong pertumbuhan perusahaan yang
pangan hewani yang sangat diperlukan
dapat mengolah berbagai macam jenis
untuk kehidupan manusia selain daging dan
produk
telur. Susu merupakan sumber protein
Perusahaan
hewani yang paling lengkap kandungan
menginginkan
nutrisinya bahkan dalam batas-batas tertentu
produksinya.
sangat
diperlukan
yang
berbahan
tersebut
dasar
pada
keuntungan
Kenyataan
umumnya
dari
di
lapangan
menopang
terdapat
aktivitas
sehari-hari
memproduksi beberapa jenis barang dengan
Peningkatan
intensitas yang sama. Permasalahan yang
kesejahteraan, pendapatan, dan pendidikan
muncul adalah ada kelebihan produksi untuk
masyarakat
terhadap
barang-barang tertentu sehingga keuntungan
peningkatan permintaan susu dan produk
yang diperoleh kurang maksimal atau
olahannya.
bahkan
maupun
pokok,
reproduksi.
berdampak
pula
menimbulkan
perusahaan
hasil
untuk
kehidupan
sebuah
susu.
kerugian.
yang
Resiko
kerugian telah menjadi bagian dari setiap
55
MAJU,
Volume 4 No. 2, September 2017
Page : 55-69
perusahaan
bisnisnya.
dalam
ISSN: 2355-3782
melakukan
Ketidakmampuan
kegiatan
perusahaan
Manfaat
dari
penulisan
keputusan
pencapaian tujuan-tujuan perusahaan yang
optimalisasi produksi.
perlu
melakukan
analisis
untuk
mendapatkan keputusan yang terbaik.
adalah
memberikan gambaran untuk pengambilan
dalam mengelolah resiko akan mengganggu
telah ditetapkan. Oleh karena itu, perusahaan
ini
yang
terbaik
dalam
rangka
Diasumsikan bahwa bahan baku tersedia
setiap harinya dan permintaan juga ada pada
setiap
harinya.
Selain
itu
perusahaan
Perusahaan Beta adalah satu-satunya
mendapatkan suplai bahan baku berupa susu
produsen susu di sebuah daerah dan juga
segar sebanyak 2.000 liter perhari dan mesin
pemilik pabrik yang memproduksi susu ke
hanya akan memproduksi bahan baku yang
berbagai bentuk. Susu dapat dikonsumsi
ada. Jadi, jumlah produk susu olahan yang
baik secara langsung atau diproses dalam
akan dihasilkan akan kurang dari 1.800 kg.
bentuk mentega, yoghurt, keju, dan krim.
Perusahaan Beta seperti perusahaan lainnya
ingin memaksimalkan keuntungan. Masalah
perusahaan
adalah
menentukan
jumlah
relatif dari berbagai produk kebutuhan untuk
mencapai tujuan. Dari permasalahan di atas
maka penulis tertarik untuk menentukan
model matematika beserta penyelesaiannya
untuk mencari jumlah relatif dari produk
yang dihasilkan oleh perusahaan guna
Berdasarkan latar belakang yang telah
masalahnya
maka
adalah
dapat
dirumuskan
bagaimana
model
matematika beserta penyelesaiannya dalam
optimalisasi suatu produksi pada perusahaan
Program linear merupakan suatu metode
matematika yang dapat digunakan untuk
membantu
dalam
perencanaan
dan
pengambilan keputusan dalam penggunaan
sumber daya yang terbatas di tengah-tengah
aktivitas-aktivitas
yang
saling
bersaing
melalui cara yang terbaik (Harahap: 1998).
sebagai suatu model umum yamg dapat
digunakan
dalam
pemecahan
masalah
pengalokasian sumber-sumber yang terbatas
secara optimal. Sebutan “linear” berarti
bahwa
semua
fungsi
matematis
yang
disajikan dalam model harus dalam fungsi-
Beta?
Tujuan yang ingin dicapai antara lain
untuk
a. Program Linear
Ada pula yang menyebutkan program linear
memaksimalkan keuntungan.
diuraikan,
KAJIAN TEORI
menentukan
model
matematika
beserta penyelesaiannya dalam optimalisasi
suatu produksi pada perusahaan Beta.
fungsi yang linear. Pemrograman linier
meliputi
perencanaan
aktivitas
untuk
mendapatkan hasil optimal, yaitu sebuah
hasil yang mencapai tujuan terbaik (menurut
56
MAJU,
Volume 4 No. 2, September 2017
Page : 55-69
model
matematika)
ISSN: 2355-3782
diantara
semua
kemungkinan alternatif yang ada (Tapilouw,
pertidaksamaan linier (Mughiroh, 2013:
67)
1986).
Dalam program linear dikenal dua
c. Formulasi Permasalahan
Urutan pertama dalam penyelesaian
macam fungsi yaitu fungsi tujuan (objectives
batasan
adalah mempelajari sistem relevan dan
(constraint functions). Fungsi tujuan adalah
mengembangkan pernyataan permasalahan
fungsi yang menggambarkan tujuan atau
yang
sasaran di dalam permasalahan program
Penggambaran sistem dalam pernyataan ini
linear yang berkaiatan dengan pengaturan
termasuk pernyataan tujuan, sumber daya
secara optimal sumber daya-sumber daya
yang membatasi, alternatif keputusan yang
untuk
mungkin (kegiatan atau aktivitas), batasan
function)
dan
fungsi-fungsi
memperoleh
keuntungan
yang
dipertimbangakan
dengan
jelas.
waktu pengambilan keputusan, hubungan
maksimal atau biaya yang minimal.
Program linear banyak diterapkan
dalam masalah-masalah ekonomi, industri,
militer, sosial dan lain-lain. Program linear
antara bagian yang dipelajari dan bagian lain
dalam perusahaan, dan lain-lain.
Penetapan
tujuan
yang
tepat
berkaitan dengan penjelasan suatu kasus
merupakan aspek yang sangat penting dalam
dalam dunia nyata sebagai suatu model
formulasi
matematika yang terdiri dari sebuah fungsi
tujuan optimalisasi, diperlukan identifikasi
tujuan linier dengan beberapa kendala linier.
anggota manajemen yang benar-benar akan
masalah.
Untuk
membentuk
melakukan pengambilan keputusan dan
b. Permasalah Optimasi
Persoalan
adalah
:
suatu
mendiskusikan pemikiran mereka tentang
pemograman
persoalan
linier
tujuan yang ingin dicapai.
untuk
menentukan besarnya masing-masing
d. Tahapan
Matematik
Pembentukan
Model
nilai variabel yang mengoptimasikan
(maksimum atau minimum) nilai objek,
dengan
memperhatikan
pembatasan
yang
ada
pembatasanyaitu
yang
Tahap
berikutnya
yang
harus
dilakukan setelah memahami permasalahan
optimasi adalah membuat model yang sesuai
untuk analisis. Kasus dari bentuk cerita
dinyatakan dalam bentuk persamaan-
diterjemahkan ke model matematik. Model
persamaan
matematik
atau
pertidaksamaan-
merupakan
representasi
kuantitatif tujuan dan sumber daya yang
57
MAJU,
Volume 4 No. 2, September 2017
Page : 55-69
membatasi
sebagai
keputusan.
Model
permasalahan
optimal
ISSN: 2355-3782
fungsi
variabel
Model matematik juga memfasilitasi yang
matematika
berhubungan dengan permasalahan dan
terdiri
dari
dua
keseluruhannya
dan
mempertimbangkan
bagian. Bagian pertama memodelkan tujuan
semua keterhubungannya secara simultan.
optimasi. Model matematik tujuan selalu
Terakhir, model matematik membentuk
menggunakan bentuk persamaan. Bentuk
jembatan ke penggunaan teknik matematik
persamaan digunakan karena kita ingin
dan komputer kemampuan tinggi untuk
mendapatkan solusi optimum pada satu titik.
menganalisis permasalahan.
Fungsi tujuan yang akan dioptimalkan hanya
Dari penjelasan di atas diperoleh
satu. Bukan berarti bahwa permasalahan
bahwa tahapan pembuatan model matematis
optimasi hanya dihadapkan pada satu tujuan.
untuk permasalahan program linear adalah
Tujuan dari suatu usaha bisa lebih dari satu.
sebagai berikut:
Tetapi pada bagian ini kita hanya akan
 Identifikasi
tertarik
dengan
permasalahan
optimal
dengan satu tujuan.
Bagian kedua merupakan model
matematik yang merepresentasikan sumber
daya yang membatasi. Fungsi pembatas bisa
berbentuk
persamaan
(=)
atau
(berkaitan
Profit/Revenue)
atau
mempunyai
beberapa
keuntungan dibandingakan pendeskripsian
Masalah
 Penentuan Variabel Masalah :
a. Variabel
Keputusan
minimal)
matematika
dengan
Cost/biaya)
disebut juga sebagai konstrain. Konstanta
dikatakan sebagai parameter model. Model
Masalah
Minimilisasi (berkaitan dengan dengan
menyebabkan
dalam fungsi pembatas maupun pada tujuan
:
Maksimalisasi
pertidaksamaan (≤ atau ≥). Fungsi pembatas
(baik sebagai koefisien maupun nilai kanan)
Masalah
tujuan
(Variabel
yang
maksimal
atau
b. Fungsi Tujuan (Objective Function) 
Z maks. atau min.
c. Fungsi Kendala (Constraint Function)
 Identifikasi dan merumuskan fungsi
kendala yang ada.
permasalahan secara verbal. Salah satu
keuntungan yang paling jelas adalah model
matematik menggambarkan permasalahan
secara lebih ringkas. Hal ini cenderung
membuat struktur keseluruhan permasalahan
lebih mudah dipahami, dan membantu
mengungkapkan relasi sebab akibat penting.
Di sisi lain, model matematik mempunyai
kelemahan. Tidak semua karakteristik sistem
dapat
dengan
mudah
dimodelkan
menggunakan fungsi matematik. Meskipun
dapat dimodelkan dengan fungsi matematik,
kadang-kadang
penyelesaiannya
sulit
58
MAJU,
Volume 4 No. 2, September 2017
Page : 55-69
ISSN: 2355-3782
diperoleh karena kompleksitas fungsi dan
negatif. Membuat model matematik dari
teknik yang dibutuhkan.
suatu permasalahan bukan hanya menuntut
Bentuk umum pemrograman linier
kemampuan matematik tapi juga menuntut
adalah sebagai berikut :
seni permodelan. Menggunakan seni akan
Fungsi tujuan :
membuat permodelan lebih mudah dan
Maksimumkan atau minimumkan
menarik.
z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
Kasus pemrograman linier sangat
Sumber daya yang membatasi :
beragam. Dalam setiap kasus, hal yang
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = /≤ / ≥ b1
penting adalah memahami setiap kasus dan
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = /≤ / ≥ b2
memahami
…
Meskipun fungsi tujuan misalnya hanya
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = /≤ / ≥ bm
mempunyai
x1, x2, …, xn ≥ 0
maksimisasi atau minimisasi, keputusan
Simbol x1, x2, ..., xn (xi) menunjukkan
variabel
keputusan.
Jumlah
untuk
konsep
permodelannya.
kemungkinan
memilih
salah
bentuk
satunya
bukan
variabel
pekerjaan mudah. Tujuan pada suatu kasus
keputusan (xi) oleh karenanya tergantung
bisa menjadi batasan pada kasus yang lain.
dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang
Harus hati-hati dalam menentukan tujuan,
dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol
koefisien
c1,c2,...,cn merupakan kontribusi masing-
koefisien pada fungsi pembatas.
fungsi
tujuan,
batasan
dan
masing variabel keputusan terhadap tujuan,
disebut juga koefisien fungsi tujuan pada
model
matematiknya.
Simbol
a11,
...,a1n,...,amn merupakan penggunaan per unit
variabel keputusan akan sumber daya yang
membatasi,
koefisien
atau
disebut
juga
fungsi
kendala
pada
matematiknya.
Simbol
sebagai
model
b1,b2,...,bm
menunjukkan jumlah masing-masing sumber
daya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan
tergantung dari banyaknya sumber daya
Dari
perkembangan
teknologi
pengolahan susu maka didapatkan berbagai
produk pangan yang berasal dari susu sapi ,
antara lain yaitu:
1) Mentega dari susu adalah suatu masa dari
susu hasil penumbukan (churring) krim
atau susu segar (whole milk).
2) Yoghurt adalah produk yang diperoleh
dari
susu
yang
telah
dipasteurisasi
kemudian difermentasi dengan bakteri
yang terbatas.
Pertidaksamaan terakhir
d. Proses Pengolahan Susu
(x1, x2,
tertentu sampai diperoleh keasaman, bau
…, xn ≥ 0) menunjukkan batasan non
59
MAJU,
Volume 4 No. 2, September 2017
Page : 55-69
ISSN: 2355-3782
dan rasa yang khas, dengan atau tanpa
f. Pembuatan Yoghurt Dari Susu
penambahan bahan lain yang diizinkan.
3) Keju
adalah
dibentuk
suatu
oleh
substansi
koagulasi
Yoghurt
adalah
produk
yang
yang
diperoleh dari susu yang telah dipasteurisasi
atau
kemudian
difermentasi
dengan
bakteri
penggumpalan susu hewan menyusui
tertentu sampai diperoleh keasaman, bau dan
oleh rennet atau oleh semacam enzim
rasa
proteolitik.
penambahan bahan lain yang diizinkan.
yang
khas,
dengan
atau
tanpa
4) Krim merupakan suatu produk makanan
Persyaratan yoghurt menurut SNI (1995)
yang dibuat dari campuaran produk susu,
adalah dengan penampakan kental-semi
bahan kering tanpa lemak ditambah gula,
padat, bau dan rasa yang normal serta
bahan penyedap, bahan penstabil, kuning
memiliki kandungan lemak maks. 3,8%,
telur, dengan atau tanpa buah-buahan dan
BKTL min. 8,2, Protein min. 3,5, Abu min.
kacang-kacangan dengan kadar lemak
1,0 dan Jumlah asam laktat 0,5-2,0% (b/b).
minimal 8%.
Yoghurt harus memiliki kandungan lemak
susu minimal 3,0%, Bahan Kering Tanpa
e. Pembuatan Mentega Dari Susu
Lemak (BKTL) min. 8,2% (b/b), sedangkan
Mentega adalah produk olahan susu
yang bersifat plastis, diperoleh melalui
proses pengocokan (Churning) sejumlah
krim. Mentega yang baik harus mengandung
lemak minimal 80%. Kadar air maksimal
16%, kadar protein maksimal 1% dan MSNF
(Milk Solids-Non-Fat) tidak lebih dari 2 %.
Warna kuning pada mentega disebabkan
oleh zat warna β karoten dalam krim. Nilai
gizi
mentega
banyak
tergantung
pada
kandungan lemak dan vitamin-vitamin yang
larut dalam lemak. Mentega merupakan
sumber vitamin A yang sangat baik dan
merupakan makanan yang berenergi tinggi
(7-9 kalori/g), tidak mengandung laktosa
dan mineral serta berprotein rendah
yoghurt
dengan
sebagian
skim
harus
memiliki kandungan lemak min. 0,5% (b/b)
dan yoghurt yang dibuat dengan susu skim
harus memiliki kandungan lemak maks.
0,5% (b/b) (Codex, 1975). Bakteri yoghurt,
Lactobacillus delbrueckii subsp. bulgaricus
dan
Streptococcus
thermophilus
atau
beberapa bakteri asam laktat lain seperti
Leuconostoc messenteroides, Lactococcus
lactis,
Lactobacillus
acidophilus,
Bifidobacteria dan species lainnya secara
alami terdapat dalam susu atau sengaja
ditambahkan sebagai kultur starter sebanyak
2-5%. Suhu fermentasi optimum adalah 4245°C selama 3-6 jam, hingga dicapai pH 4,4
dan kadar asam tertitrasi mencapai 0,91,2%.
60
MAJU,
Volume 4 No. 2, September 2017
Page : 55-69
ISSN: 2355-3782
Cara pembuatan yoghurt :
Susu murni
dipress untuk menghilangkan lebih banyak
diencerkan dengan air
lagi cairan.
hangat dipanaskan sampai mendidih. Susu
Setelah itu, bakal keju yang masih lunak itu
skim bubuk ditambah gula 6 - 8% dari susu
dibubuhi jamur dan dibentuk. Lalu diolesi
segar diaduk dengan rata,
atau direndam dalam air garam untuk
didinginkan
hingga mencapai 45 C. tambahkan bakteri
membunuh
bakteri
merugikan
yang
starter yoghurt dimasukkan ke dalam botol
mungkin terdapat di dalamnya. Ada juga
steril atau gelas plastik, inkubasi 12-14 jam
jenis keju yang direndam sebelum diberi
pada suhu ruang yoghurt.
jamur.Terakhir, bakal keju dimatangkan
dalam kondisi tertentu. Semakin lama
g.
Pembuatan Keju Dari Susu
Prinsip
pembuatan
keju
dimatangkan, keju akan semakin keras.
adalah
fermentasi asam laktat yang terdapat dalam
susu. Proses pembuatan keju diawali dengan
memanaskan/pasteurisasi susu, kecuali pada
Cara pembuatan keju :
1) Crush 1 / 4 tablet Rennet dalam 1 /
4 cup air dingin dan sisihkan.
jenis keju tertentu seperti Emmentaler dari
2) Tempatkan saham baja stainless
Swiss yang menggunakan susu mentah.
panci di atas kompor dan tuangkan
Kemudian zat pembantu penggumpalan
dalam galon susu. Hidupkan kompor
(rennet, sejenis enzim penggumpal yang
ke api sedang.
biasa terdapat dalam lambung sapi dan/atau
3) Taburkan 2 sendok teh asam sitrat
bakteri yang dapat mengasamkan susu)
dalam susu dan aduk perlahan-lahan
ditambahkan.
susu sampai suhu 88 derajat.
Setelah setengah sampai 5 jam, susu akan
4) Setelah
mencapai
88
derajat,
menggumpal sehingga terpisah menjadi
tambahkan campuran Rennet dan
sebuah gumpalan besar (curd) dan bagian
air. Aduk perlahan dan kadang-
yang cair (whey). Gumpalan ini dipotong-
kadang
potong menjadi bagian-bagian yang sama
derajat. Matikan api. Anda harus
besar, agar bagian yang cair (whey) semakin
melihat keju dan whey memisah.
banyak
yang
keluar.
Semakin
kecil
potongan, semakin sedikit cairan yang
sampai
mencapai
105
5) Terbentuklah keju yang berbentuk
padat.
dikandung oleh keju nantinya, sehingga keju
semakin
keras.
Potongan-potongan
ini
kemudian diaduk, dipanaskan, dan kadang
61
MAJU,
Volume 4 No. 2, September 2017
Page : 55-69
ISSN: 2355-3782
dihasilkan.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Susu dapat dikonsumsi baik secara
langsung
atau
mentega,
diproses
yoghurt,
Perusahaan
Beta
dalam
bentuk
dan
krim.
keju,
adalah
satu-satunya
produsen susu di sebuah daerah dan juga
Dalam
sehari
kemampuan
produksi mesin-mesin adalah menghasilkan
1800 kg produk yang siap dipasarkan.
Berikut
akan
disajikan
rincian
biaya
produksi dan biaya operasional dari masingmasing produk.
pemilik pabrik yang memproduksi susu ke
berbagai bentuk. Perusahaan Beta seperti
perusahaan lainnya ingin memaksimalkan
keuntungan. Masalah perusahaan adalah
menentukan jumlah relatif dari berbagai
produk kebutuhan untuk mencapai tujuan
keuntungan maksimal.
sering
dihadapi
perusahaan
Kenyataan yang
perusahaan
memproduksi
adalah
produknya
berdasarkan pembagian porsi yang sama
untuk bahan bakunya. Hal ini kadang
menyebabkan adanya sisa produksi yang
mempengaruhi omset perusahaan.
Dengan bahan baku susu murni
yang disuplai langsung dari kelompok
peternak,
perusahaan
memproduksi
mentega, yoghurt, keju, dan krim dengan
ketersediaan bahan baku, biaya produksi,
biaya operasional, kemampuan produksi
serta biaya transportasi ke distributor. Ratarata dalam sehari perusahaan mendapat
suplai bahan baku susu segar sebanyak 2000
liter dengan harga per liter Rp 4.000,00 dan
dari bahan baku tersebut diolah menjadi
a. Biaya Produksi
Biaya produksi dari masing-masing jenis
olahan dapat disajikan sebagai berikut :
1. Mentega
Jenis olahan yang pertama adalah
mentega. Bahan baku utama mentega adalah
susu segar, dan rincian bahan baku untuk
pembuatan mentega adalah sebagai berikut :
a. Susu murni
b. Starter
c. Garam
d. Beta Karotin
Dari 100 liter susu segar
akan
didapatkan hasil produksi 90 kg mentega.
Bahan baku utama mentega adalah susu
segar dan bahan baku pendukungnya yang
telah disebutkan sebelumnya. Dari 90 kg
mentega
yang
dihasilkan,
komposisi
pendukung terbesar adalah susu segar 75%
dan bahan tambahan 25%. Data biaya
produksi
dalam
memproduksi
90
kg
mentega dari bahan utama susu segar
sebanyak 100 liter adalah sebagai berikut :
mentega, yoghurt, keju, dan krim dengan
porsi pembagian bahan baku yang sama
untuk masing-masing produk yang ingin
62
MAJU,
Volume 4 No. 2, September 2017
Page : 55-69
ISSN: 2355-3782
Tabel 1. Biaya produksi mentega
Biaya Produksi
Bahan
(susu)
Bahan
lainnya
Bahan
minyak
Lainnya
Total
3. Krim Susu
Total
utama
Rp
400.000,00
baku
Rp
500.000,00
bakar
Rp
150.000,00
Komposisi krim yang diproduksi
perusahaan beta adalah :
Rp 150.000,00
Rp 1.200.000,00
2. Yoghurt
a. Susu sapi segar
b. Gula pasir
c. Inulin
d. Pengemulsi nabati
e. Garam
Yoghurt adalah salah satu hasil
produksi perusahaan beta dengan komposisi
f. Perisa vanila
g. Vitamin
sebagai berikut :
Dari 100 liter susu segar
a. Susu sapi segar
b. Bakteri
starter
akan
didapatkan hasil produksi 75 kg Krim.
lactobacillus
bulgaricus dan Streptococcus
Bahan baku utama Krim adalah susu segar
dan bahan baku pendukungnya adalah data
c. Flavour buatan
butir b sampai g. Dari 75 kg Krim yang
d. Gula atau sirup
dihasilkan, komposisi pendukung terbesar
Dari 100 liter susu segar
akan
adalah susu segar 80% dan bahan tambahan
didapatkan hasil produksi 80 kg yogurt.
20%.
Bahan baku utama yoghurt adalah susu
memproduksi 75kg Krim dari bahan utama
segar dan bahan baku pendukungnya seperti
susu segar sebanyak 100 liter adalah sebagai
yang telah disebutkan sebelumnya. Dari 80
berikut :
kg
yogurt
Data
yang dihasilkan, komposisi
pendukung terbesar adalah susu segar 80%
dan bahan tambahan 20%. Data biaya
produksi dalam memproduksi 80 kg yogurt
dari bahan utama susu segar sebanyak 100
liter adalah sebagai berikut :
biaya
produksi
dalam
Tabel 3. Biaya Produksi
Biaya Produksi
Bahan utama (susu)
Bahan baku lainnya
Bahan
bakar
minyak
Lainnya
Total
Total
Rp 400.000,00
Rp 1.500.000,00
Rp 300.000,00
Rp 350.000,00
Rp 2.550.000,00
Tabel 2. Biaya Produksi yogurt
Biaya Produksi
Bahan utama (susu)
Bahan baku lainnya
Bahan bakar minyak
Lainnya
Total
Total
Rp 400.000,00
Rp 1.000.000,00
Rp 250.000,00
Rp 250.000,00
Rp 1.900.000,00
4. Keju
Komposisi keju yang diproduksi
perusahaan beta adalah :
a. Susu segar
63
MAJU,
Volume 4 No. 2, September 2017
Page : 55-69
ISSN: 2355-3782
b. Air
b. Biaya Operasional
c. Pengemulsi
Komponen biaya operasional dalam
d. Garam fosfat
kegiatan produksi meliputi :
e. Padatan susu
1. Gaji karyawan
f. Minyak nabati
2. Listrik dan air
g. Pati nabati
3. Pemeliharaan mesin
h. Garam
4. Kemasan produk
i. Pengatur keasaman
5. Transportasi
j. Pengawet
6. Lainnya
k. Pewarna alami
Komponen biaya operasional dalam
Dari 100 liter susu segar
akan
produksi tidak dihitung untuk masing-
didapatkan hasil produksi 80 kg keju. Bahan
masing jenis olahan. Hal ini dikarenakan
baku utama keju adalah susu segar dan
pemanfaatan
bahan baku pendukungnya adalah data butir
seperti penggunaan listrik dan air tidak dapat
b sampai k. Dari 80 kg keju yang dihasilkan,
ditentukan dengan pasti berapa pengeluaran
komposisi pendukung terbesar adalah susu
per hari dalam memproduksi masing-masing
segar 80% dan bahan tambahan 20%. Data
produk.
biaya produksi dalam memproduksi 80kg
transportasi, yang mana pemanfaatannya
keju dari bahan utama susu segar sebanyak
digunakan untuk semua hasil produksi.
100 liter adalah sebagai berikut :
Biaya
Tabel 4. Biaya Produksi keju
Biaya Produksi
Total
Bahan utama (susu)
Rp
Bahan baku lainnya
Rp 1.600.000,00
Bahan bakar minyak
Rp
300.000,00
Lainnya
Rp
350.000,00
Total
400.000,00
Rp 2.650.000,00
Rp.
41.100.000
untuk
keempat jenis produk.
biaya
produksi
Hal
yang
operasional
produksi
setiap
biaya
sama
total
produksi
juga
untuk
bulannya
untuk
proses
mencapai
Rp 446.960.000,00 dengan rincian sebagai
berikut :
Tabel 5. Biaya Operasional
No.
Komponen
Operasion
al
1.
2.
3.
Gaji
karyawan
Listrik dan
air
Pemelihara
an mesin
Kemasan
produk
Transportas
Berdasarkan data dari perusahaan,
rata-rata perhari perusahaan mengeluarkan
komponen
4.
5.
6.
Rata-rata
Pengeluara
n perbulan
(Rp)
135.000.000
45.000.000
20.000.000
Rata-rata
Pengeluara
n perhari
(Rp)
4.500.000
1.500.000
660.000
98.200.000
28.750.000
120.000.000
3.273.333
958.333
60.000.000
4.000.000
64
MAJU,
Volume 4 No. 2, September 2017
Page : 55-69
7.
8.
ISSN: 2355-3782
Pi = harga masing-masing produk yang
i
Iklan
Pajak
Lainnya
Total
75.000.000
2.000.000
2.500.000
19.391.666
446.960.000
dihasilkan
 P1 = harga mentega yang dihasilkan
 P2 = harga yoghurt yang dihasilkan
Diasumsikan bahwa bahan baku tersedia
 P3 = harga krim susu yang dihasilkan
setiap harinya dan permintaan juga ada pada
 P4 = harga keju yang dihasilkan
setiap harinya
Dt = rata-rata total permintaan tiap
maka
untuk
membantu
memberikan pertimbangan dengan baik
harinya
maka ada beberapa langkah yang dapat
ai = rata-rata biaya produksi tiap produk
ditempuh yakni :
(i=1–4)
a. Memisalkan variabel sesuai data yang
 a1 = rata-rata biaya produksi mentega
 a2 = rata-rata biaya produksi yoghurt
dimiliki
b. Membentuk model matematika sesuai
 a3 = rata-rata biaya produksi krim susu
 a4 = rata-rata biaya produksi keju
dengan model program linier
c. Menyelesaikan model
at = rata-rata total biaya produksi tiap
d. Intepretasi hasil
harinya
bi = rata-rata biaya operasional tiap
Pemisalan Variabel
Perusahaan
ingin
memaksimalkan
produk (i=1–4)
dimana
 b1 = rata-rata biaya operasional mentega
banyaknya produksi untuk masing-masing
 b2 = rata-rata biaya operasional yoghurt
olahan
 b3 = rata-rata biaya operasional krim
keuntungan
di
dapat
setiap
harinya
didistribusikan
dan
memberikan pemasukan bagi perusahaan.
susu
Pemisalan variabelnya sebagai berikut :
 b4 = rata-rata biaya operasional keju
Xi = banyaknya produk yang dihasilkan
bt = rata-rata total biaya operasional tiap
(i=1–4)
produk
 X1 = banyaknya produksi mentega yang
ci = rata-rata biaya bahan baku lain
dihasilkan
 X2 = banyaknya produksi yoghurt yang
dihasilkan
 X3 = banyaknya produksi krim yang
dihasilkan
 X4 = banyaknya produksi keju yang
dihasilkan
untuk tiap produk (i=1–4)
 c1 = rata-rata biaya bahan baku lain untuk
mentega
 c2 = rata-rata biaya bahan baku lain
untuk yoghurt
 c3 = rata-rata biaya bahan baku lain
untuk krim susu
65
MAJU,
Volume 4 No. 2, September 2017
Page : 55-69
ISSN: 2355-3782
 c4 = rata-rata biaya bahan baku lain
untuk keju
Fungsi kendala :
Fungsi kendala rata-rata permintaan
tiap
ct = rata-rata total biaya bahan baku lain
hari.
setiap harinya
Banyak permintaan setiap hari tentulah tidak
di = rata-rata banyaknya penggunaan
tetap maka diambil rata-rata permintaan tiap
bahan baku lain untuk tiap produk
hari yang dimisalkan dengan Di. Total rata-
(i=1–4)
rata permintaan setiap harinya tidak akan
 d1= rata-rata banyaknya penggunaan
lebih dari 1800 kg, sesuai ketersediaan
bahan baku lain untuk mentega
bahan
 d2 = rata-rata banyaknya penggunaan
bahan baku lain untuk yoghurt
bakunya
dan
kemampuan
produksinya sehingga model matematikanya
adalah
 d3 = rata-rata banyaknya penggunaan
bahan baku lain untuk krim susu
4
D
i 1
i
 Dt atau X 1  X 2  X 3  X 4  1800
 d4 = rata-rata banyaknya penggunaan
bahan baku lain untuk keju
dt
=
rata-rata
total
Fungsi kendala rata-rata biaya produksi
banyaknya
Dengan rata-rata produksi untuk 100 liter
penggunaan bahan baku lain setiap
susu adalah 1.200.000 untuk mentega, Rp.
harinya
1.900.000 untuk yogurt, Rp. 2.550.000
untuk krim dan 2.650.000 untuk keju. Untuk
Model Program Linier
Bentuk umum program linier terdiri dari
2 fungsi yakni fungsi tujuan dan fungsi
kendala atau syarat batas.
Tujuan utama dari kegiatan ini adalah
memaksimalkan keuntungan, sehingga yang
diiginkan adalah dengan jumlah bahan baku
yang ada diproduksi jenis olahan yang
sesuai permintaan dengan bobot harga tiap
jenis olahan.
+ 57.000
liter
bahan
baku
dihasilkan 90 kg untuk mentega, 80 kg
yogurt, 75 kg krim, dan 80 kg keju. Dengan
dihasilkan membutuhkan biaya produksi
sebesar Rp. 13.333, setiap kg yoghurt
membutuhkan biaya produksi sebesar Rp.
23.750, setiap kg krim membutuhkan biaya
produksi sebesar Rp. 35.333, dan setiap kg
keju membutuhkan biaya produksi sebesar
Rp.31.875. Total biaya produksi yang
Fungsi tujuan :
60.000
100
demikian untuk setiap kg mentega yang
Fungsi Tujuan :
Maks Z = 45.000
masing-masing
+ 52.000
+
dikeluarkan setiap harinya adalah Rp.
66
MAJU,
Volume 4 No. 2, September 2017
Page : 55-69
ISSN: 2355-3782
41.100.000. Biaya produksi tiap kg yang
komposisi pendukung terbesar adalah susu
dilambangkan ai dapat ditulis
segar 80% dan bahan tambahan 20% dan
4
a X
i 1
i
i
 a t atau 13.333 X 1  23.750 X 2
dari 80 kg keju yang dihasilkan, komposisi
pendukung terbesar adalah susu segar 80%
 31.875 X 3  35.333 X 4  41.100 .000
dan bahan tambahan 20%. Ini berarti untuk
Fungsi kendala rata-rata biaya operasional
setiap 1 kg mentega yang dihasilkan
Biaya
dibutuhkan 0,25 kg bahan lain, 1 kg yoghurt
operasional
tidak
dihitung
berdasarkanproduksi masing-masing produk
membutuhkan
sehingga
produk
membutuhkan 0,2 kg bahan lain, dan 1 kg
memiliki biaya operasional yang sama. Total
krim membutuhkan 0,2 kg bahan lain.
biaya operasional yang dikeluarkan setiap
perusahaan menetapkan total kebutuhan
harinya adalah Rp. 20.000.000. karena
bahan baku lain sebesar 22% dari total
perusahaan memproduksi setiap produk
kapasitas produksi yang bisa dilakukan.
berdasarkan porsi bahan baku yang sama,
Sehingga 22% dari total kapasitas produksi
dan hasil produksi tidak boleh lebih dari
adalah 396 kg bahan tambahan tiap harinya.
1800 kg maka setiap produknya per kg
Dengan demikian fungsi kendala rata-rata
memerlukan biaya operasional sebesar Rp.
banyaknya bahan baku lain yang digunakan
11.200. Biaya operasional tiap kg yang
adalah
diasumsikan
keempat
dilambangkan dengan bi dapat ditulis :
4
b X
i 1
i
i
 bt atau 11.200 X 1  11.200 X 2
 11.200 X 3  11.200 X 4  20.000.000
4
c X
i 1
i
i
0,2
kg,
1
kg
keju
 c t atau 0,25 X 1  0,2 X 2 
0,2 X 3  0,2 X 4  396
Fungsi kendala rata-rata banyaknya bahan
Penyelesaian Model
Model matematika yang dihasilkan adalah
baku lain digunakan
Z  45000 X 1  52000 X 2  60000 X 3  57000 X 4
Dari setiap masing 100 liter susu dihasilkan
90 kg untuk mentega, 80 kg susu, 75 kg
Pembatas
krim, dan 80 kg keju. Dari 90 kg mentega
X 1  X 2  X 3  X 4  1800
13.333 X 1  23.750 X 2  31.875 X 3 
yang
35.333 X 4  41.100.000
dihasilkan,
komposisi
pendukung
terbesar adalah susu segar 75% dan bahan
tambahan 25%.
Dari 80 kg yogurt yang
dihasilkan, komposisi pendukung terbesar
adalah susu segar 80% dan bahan tambahan
20%. Dari 75 kg Krim yang dihasilkan,
11.200 X 1  11.200 X 2  11.200 X 3 
11.200 X 4  20.000.000
0,25 X 1  0,2 X 2  0,2 X 3  0,2 X 4  396
67
MAJU,
Volume 4 No. 2, September 2017
Page : 55-69
ISSN: 2355-3782
X 1  0, X 2 , X 3  0, X 4  0
Penyelesaian model ini menggunakan
program QM (Marwan, 1997: 50)
Gambar 1. Penyelesaian Model Menggunakan program QM
Intepretasi hasil
Dengan bantuan salah satu program
komputer maka diperoleh
solusi yang
terbaik untuk tiap produk yang dihasilkan
68
MAJU,
Volume 4 No. 2, September 2017
Page : 55-69
ISSN: 2355-3782
agar diperoleh keuntungan yang maksimum
adalah X1 untuk produksi mentega sebesar
777 kg; untuk produksi yoghurt (X2) sebesar
b.
Solusi penyelesaian untuk
permasalahannya adalah
X 1  777, X 2 174, X 3  835, X 4  0
173 kg; untuk krim susu (X3) sebesar 835
kg; dan untuk produksi keju (X4) sebesar 0.
Jika perusahaan tersebut ingin mendapatkan
keuntungan
yang
maksimal,
maka
Jika perusahaan menginginkan keuntungan
maksimal maka perusahaan harus
memproduksi mentega sebanyak 777 kg,
yoghurt sebanyak 174 kg, krim sebanyak
835 kg dan keju tidak diproduksi.
perusahaan tidak perlu memproduksi keju
karena hal itu akan mempengaruhi jumlah
DAFTAR PUSTAKA
produksi yang lain. Selain itu harga jual keju
Harahap, 1998. Ensiklopedia Matematika.
Jakarta: Ghalia Indonesia.
yang hanya Rp 57.000,00 per kg tidak
sebanding dengan biaya produksi yang
dikeluarkan untuk memproduksi keju itu
sendiri.
KESIMPULAN
Marwan,
1997.
Mengenal
Linear
Programming
dan
Komputer.
Yogyakarta : FE Universitas Gadjah
Mada
Mughiroh, 2013. Program Linear. Jambi :
YPM Press
Kesimpulan yang diperoleh meliputi:
a. Pemodelan matematika untuk
Tapilouw, Marten. Program Linear. Jakarta:
Depdikbud UT.
permasalahan optimalisasi produksi
pengolahan susu pada perusahaan Beta
adalah :
Fungsi Tujuan
Z  45000 X 1  52000 X 2  60000 X 3  57000 X 4
Fungsi Pembatas
X 1  X 2  X 3  X 4  1800
13.333 X 1  23.750 X 2  31.875 X 3 
35.333 X 4  41.100.000
11.200 X 1  11.200 X 2  11.200 X 3 
11.200 X 4  20.000.000
0,25 X 1  0,2 X 2  0,2 X 3  0,2 X 4  396
X 1  0, X 2 , X 3  0, X 4  0
69