dokumen.tips distribusi-marginal-dan-distribusi-bersyarat

5/11/2018
DistribusiMarginalDan DistribusiBersyarat-slidepdf.com
DISTRIBUSI MARGINAL DAN DISTRIBUSI GABUNGAN
Disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Statistika Matematika
Dosen Pengampu: Supandi, M.Si
Disusun oleh:
1. Diah Sani Susilawati (08310055/ 7B)
2. Farid Hidayat
(08310060/ 7B)
3. Rico Nurcahyo
(08310080/ 7B)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA
IKIP PGRI SEMARANG
2011
http://slidepdf.com/reader/full/distribusi-marginal-dan-distribusi-bersyarat
1/8
5/11/2018
DistribusiMarginalDan DistribusiBersyarat-slidepdf.com
A. Distribusi Marginal
Fungsi distribusi kumulatif dan densitas kemungkinan untuk univariat
   dan   dari distribusi bivariat (atau multivariat) pada seluruh
rentang variabel random pasangannya   dikenal sebagai distribusi
Marginal.
Misalkan   f.k.p bersama dari X dan Y.
Perhatikanlah peristiwa      dengan a < b.
Peristiwa ini ekuivalen dengan peristiwa      ,      , dengan
demikian maka:
                
Akan tetapi,
b 
  f x, y dydx ;
x, y kontinu
a 
           
  f x, y ;
a  xb
x, y diskrit
y
Oleh karena itu kita peroleh:
b
 f xdx ;
1
x kontinu
a
       
f
2
x  ;
x diskrit
a  xb
Dimana,

 f x, ydy ;
x, y kontinu

  
 f x, y ;
x, y diskrit
y
Jelas bahwa   adalah f.k.p dari x saja dan diberi nama f.k.p
marginal dari x.

 f x, ydy ;
Analog:
x, y kontinu

  
 f  x, y  ;
x, y diskrit
x
http://slidepdf.com/reader/full/distribusi-marginal-dan-distribusi-bersyarat
2/8
5/11/2018
DistribusiMarginalDan DistribusiBersyarat-slidepdf.com
  adalah f.k.p dari y saja dan diberi nama f.k.p marginal dari y.
Contoh soal 1:
Misalkan X dan Y mempunyai f.k.p. bersama sebagai berikut:
x y
; x = 1, 2, 3 dan y = 1, 2 kontinu
21
  
 f  x, y  ;
x, y yang lain
x
Carilah :
a. F.k.p. marginal dari X
b. F.k.p. marginal dari Y.
c.   
d.   
Penyelesaian:
a. F.k.p. marginal dari X adalah
 


z
x y

21
y 1
x 1
21

x2
21
2x  3
21
Maka :
2x  3
21
; x = 1, 2, 3
 
0 ; x lainnya
b. F.k.p. marginal dari Y adalah
  

z
x y
y 1
21

1 y
21

2 y
21

3 y
21
http://slidepdf.com/reader/full/distribusi-marginal-dan-distribusi-bersyarat
3/8
5/11/2018
DistribusiMarginalDan DistribusiBersyarat-slidepdf.com
6  3y

21
Maka:
6  3y
21
; y = 1, 2
  
0 ; y lainnya
c.   
2x  3
f (3) 
1
21
2(3)  3

9
 21
21
d.   
f 2 (2) 
6  3y
21

6  3(2)
21

12
21
Contoh soal 2:
X dan Y diketahui memiliki f.k.p. bersama sebagai berikut:
2;0<x<y<1
  
0 ; x , y yang lain
Tentukanlah:
a. F.k.p. marginal dari X
b. F.k.p. marginal dari Y
c.    ⁄
d.    ⁄
Penyelesaian:
a. F.k.p. marginal dari X adalah,

f1 ( x) 


1

f ( x, y)dy  2dy 
x
2 (1 – x) ; 0 < x < 1
0
; x yang lain
http://slidepdf.com/reader/full/distribusi-marginal-dan-distribusi-bersyarat
4/8
5/11/2018
DistribusiMarginalDan DistribusiBersyarat-slidepdf.com
b. F.k.p. marginal dari Y adalah,

f 2 ( y) 
y
 f ( x, y)dx   2dx 

0
12
c.   ⁄ 

2y
; 0 < y< 1
0
; y yang lain
12

f1 ( x)dx  2(1  x)dx 
0
0
3
4
14
d.   ⁄      ⁄  1 –
15
 2 ydy  16
0
B. Distribusi Gabungan (Bersyarat)
Fungsi distribusi kumulatif dan densitas kemungkinan untuk univariat
   dan   dari distribusi bivariat (atau multivariat) pada sebagian
rentang variabel random pasangannya   dikenal sebagai kemungkinan
distribusi bersyarat.
Misalkan      dan   masing-masing f.k.p.bersama dari X dan
Y, f.k.p. marginal dari X, dan f.k.p. marginal dari Y. Misalkan a dan b dua
bilangan riil sembarang. Jika :
  { |       } , dan
  { |       }
Maka,
| 
P A  B 
P A

P  X  a, Y  b 
P X  a 

f a, b 
f1 a 
Akan tetapi |    |  . Karena a dan b sembarang. Kita
temukan bahwa peluang bersyarat dari Y diketahui X = x, adalah
f ( x, y )
, dengan f1 ( x)  0
f1 ( x)
Bila harga x ditetapkan, maka peluang tersebut merupakan fungsi dari y. Jelas
fungsi itu merupakan suatu f.k.p, sebab:
i)
f ( x, y )
f 1 ( x)
0
http://slidepdf.com/reader/full/distribusi-marginal-dan-distribusi-bersyarat
5/8
5/11/2018
DistribusiMarginalDan DistribusiBersyarat-slidepdf.com
ii)

y
f ( x, y )
f 1 ( x)
f 1 ( x)
1

f1
 f ( x, y)  f ( x)  1
( x)
y
1
f.k.p tersebut selanjutnya diberi lambang |. Jadi ;
| 
f ( x, y )
f 1 ( x)
f.k.p | ini dinamakan f.k.p. bersyarat dari Y diketahui X = .
secara analog, f.k.p. bersyarat dari X diketahui Y = y adalah
  |  f ( x, y )
f 2 ( y)
f.k.p. bersyarat  | dan  | masing-masing mendefinisikan satu
distribusi. Dengan demikian pada distribusi-distribusi tersebut dapat kita cari
mean, variansi, dan juga peluang dari suatu peristiwa.
Dalam hal X dan Y kontinu, maka:
b
(i)
    |   
 f x y dx adalah peluang bersyarat dari
a
     diketahui Y = y.
Catatan: ruas kiri biasa ditulis      |
d
(ii)
    |   
 f  y x dy adalah peluang bersyarat dari
c
     diketahui X = x.
d
(iii)  | 
 u( X ) f x y dx adalah ekspektasi matematik dari 
c
diketahui Y = y.
(iv) | jika ada adalah mean bersyarat dari Y diketahui X = x.
Sedangkan | adalah mean bersayarat X diketahui Y = y.
(v)
⟨{  |}|⟩ adalah variansi bersyarat dari Y diketahui X = x.
Variansi ini dapat dihitung melalui kesamaan :
http://slidepdf.com/reader/full/distribusi-marginal-dan-distribusi-bersyarat
6/8
5/11/2018
DistribusiMarginalDan DistribusiBersyarat-slidepdf.com
 ⟨{   |}|⟩     |  { | }
⟨{
 | }| ⟩
  |  {  | }
(vi)      
adalah variansi
      
bersyarat dari X diketahui Y = y.
Dalam hal X dan Y diskrit, rumus tersebut tinggal diganti lambang integral
dengan lambang jumlah.
Contoh Soal 3:
Perhatikan kembali peubah acak X dan Y pada contoh 2. F.k.p. bersamanya
adalah:
2;0<x<y<1
  
0 ; x , y yang lain
Tentukanlah:
a. F.k.p. bersyarat dari X diketahui Y = y
b. Mean bersayarat dari X diketahui Y = y
c. Variansi bersayarat dari X diketahui Y = y
d.     ⁄ |  ⁄
e.     ⁄
Penyelesaian:
Pada penyelesaian contoh 2 telah diperoleh f.k.p. marginal dari X dan dari Y
yaitu:
2 (1 – x) ; 0 < x < 1
  
2y
; 0 < y< 1
0
; y yang lain
dan   
0
; x yang lain
Jadi:
a.  | 
2
f ( x, y )
f 2 ( y)


2y

0

  

y
;0<x<y<1
; x, y yang lain
xf x y dx  x
b.  | 
1


1
y
dx 
y
; 0 < y < 1, misalnya:
2
http://slidepdf.com/reader/full/distribusi-marginal-dan-distribusi-bersyarat
7/8
5/11/2018
DistribusiMarginalDan DistribusiBersyarat-slidepdf.com
  ⁄ , maka | ⁄ 
⁄
 ⁄


|
c.    

 x f x y dx   x
2

2
1
y

dx 
1
3
y 2 ; 0 < y < 1.
Jadi variansi dari X diketahui Y = y adalah:
 ⟨{   |}|⟩     |  { |}

1
3
 y

2
2
y2 
 1 y2
12
; 0<y<1
Misalnya:   ⁄, maka variansi dari X diketahui   ⁄ adalah
sebesar
1  2
2
1
  
12  3 
27
1
e.     ⁄ 
2

0
1
2

f 1 ( x)dx  2(1  x)dx 
0
3
4
http://slidepdf.com/reader/full/distribusi-marginal-dan-distribusi-bersyarat
8/8