dokumen.tips distribusi-marginal-dan-distribusi-bersyarat
advertisement
5/11/2018
DistribusiMarginalDan DistribusiBersyarat-slidepdf.com
DISTRIBUSI MARGINAL DAN DISTRIBUSI GABUNGAN
Disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Statistika Matematika
Dosen Pengampu: Supandi, M.Si
Disusun oleh:
1. Diah Sani Susilawati (08310055/ 7B)
2. Farid Hidayat
(08310060/ 7B)
3. Rico Nurcahyo
(08310080/ 7B)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA
IKIP PGRI SEMARANG
2011
http://slidepdf.com/reader/full/distribusi-marginal-dan-distribusi-bersyarat
1/8
5/11/2018
DistribusiMarginalDan DistribusiBersyarat-slidepdf.com
A. Distribusi Marginal
Fungsi distribusi kumulatif dan densitas kemungkinan untuk univariat
dan dari distribusi bivariat (atau multivariat) pada seluruh
rentang variabel random pasangannya dikenal sebagai distribusi
Marginal.
Misalkan f.k.p bersama dari X dan Y.
Perhatikanlah peristiwa dengan a < b.
Peristiwa ini ekuivalen dengan peristiwa , , dengan
demikian maka:
Akan tetapi,
b
f x, y dydx ;
x, y kontinu
a
f x, y ;
a xb
x, y diskrit
y
Oleh karena itu kita peroleh:
b
f xdx ;
1
x kontinu
a
f
2
x ;
x diskrit
a xb
Dimana,
f x, ydy ;
x, y kontinu
f x, y ;
x, y diskrit
y
Jelas bahwa adalah f.k.p dari x saja dan diberi nama f.k.p
marginal dari x.
f x, ydy ;
Analog:
x, y kontinu
f x, y ;
x, y diskrit
x
http://slidepdf.com/reader/full/distribusi-marginal-dan-distribusi-bersyarat
2/8
5/11/2018
DistribusiMarginalDan DistribusiBersyarat-slidepdf.com
adalah f.k.p dari y saja dan diberi nama f.k.p marginal dari y.
Contoh soal 1:
Misalkan X dan Y mempunyai f.k.p. bersama sebagai berikut:
x y
; x = 1, 2, 3 dan y = 1, 2 kontinu
21
f x, y ;
x, y yang lain
x
Carilah :
a. F.k.p. marginal dari X
b. F.k.p. marginal dari Y.
c.
d.
Penyelesaian:
a. F.k.p. marginal dari X adalah
z
x y
21
y 1
x 1
21
x2
21
2x 3
21
Maka :
2x 3
21
; x = 1, 2, 3
0 ; x lainnya
b. F.k.p. marginal dari Y adalah
z
x y
y 1
21
1 y
21
2 y
21
3 y
21
http://slidepdf.com/reader/full/distribusi-marginal-dan-distribusi-bersyarat
3/8
5/11/2018
DistribusiMarginalDan DistribusiBersyarat-slidepdf.com
6 3y
21
Maka:
6 3y
21
; y = 1, 2
0 ; y lainnya
c.
2x 3
f (3)
1
21
2(3) 3
9
21
21
d.
f 2 (2)
6 3y
21
6 3(2)
21
12
21
Contoh soal 2:
X dan Y diketahui memiliki f.k.p. bersama sebagai berikut:
2;0<x<y<1
0 ; x , y yang lain
Tentukanlah:
a. F.k.p. marginal dari X
b. F.k.p. marginal dari Y
c. ⁄
d. ⁄
Penyelesaian:
a. F.k.p. marginal dari X adalah,
f1 ( x)
1
f ( x, y)dy 2dy
x
2 (1 – x) ; 0 < x < 1
0
; x yang lain
http://slidepdf.com/reader/full/distribusi-marginal-dan-distribusi-bersyarat
4/8
5/11/2018
DistribusiMarginalDan DistribusiBersyarat-slidepdf.com
b. F.k.p. marginal dari Y adalah,
f 2 ( y)
y
f ( x, y)dx 2dx
0
12
c. ⁄
2y
; 0 < y< 1
0
; y yang lain
12
f1 ( x)dx 2(1 x)dx
0
0
3
4
14
d. ⁄ ⁄ 1 –
15
2 ydy 16
0
B. Distribusi Gabungan (Bersyarat)
Fungsi distribusi kumulatif dan densitas kemungkinan untuk univariat
dan dari distribusi bivariat (atau multivariat) pada sebagian
rentang variabel random pasangannya dikenal sebagai kemungkinan
distribusi bersyarat.
Misalkan dan masing-masing f.k.p.bersama dari X dan
Y, f.k.p. marginal dari X, dan f.k.p. marginal dari Y. Misalkan a dan b dua
bilangan riil sembarang. Jika :
{ | } , dan
{ | }
Maka,
|
P A B
P A
P X a, Y b
P X a
f a, b
f1 a
Akan tetapi | | . Karena a dan b sembarang. Kita
temukan bahwa peluang bersyarat dari Y diketahui X = x, adalah
f ( x, y )
, dengan f1 ( x) 0
f1 ( x)
Bila harga x ditetapkan, maka peluang tersebut merupakan fungsi dari y. Jelas
fungsi itu merupakan suatu f.k.p, sebab:
i)
f ( x, y )
f 1 ( x)
0
http://slidepdf.com/reader/full/distribusi-marginal-dan-distribusi-bersyarat
5/8
5/11/2018
DistribusiMarginalDan DistribusiBersyarat-slidepdf.com
ii)
y
f ( x, y )
f 1 ( x)
f 1 ( x)
1
f1
f ( x, y) f ( x) 1
( x)
y
1
f.k.p tersebut selanjutnya diberi lambang |. Jadi ;
|
f ( x, y )
f 1 ( x)
f.k.p | ini dinamakan f.k.p. bersyarat dari Y diketahui X = .
secara analog, f.k.p. bersyarat dari X diketahui Y = y adalah
| f ( x, y )
f 2 ( y)
f.k.p. bersyarat | dan | masing-masing mendefinisikan satu
distribusi. Dengan demikian pada distribusi-distribusi tersebut dapat kita cari
mean, variansi, dan juga peluang dari suatu peristiwa.
Dalam hal X dan Y kontinu, maka:
b
(i)
|
f x y dx adalah peluang bersyarat dari
a
diketahui Y = y.
Catatan: ruas kiri biasa ditulis |
d
(ii)
|
f y x dy adalah peluang bersyarat dari
c
diketahui X = x.
d
(iii) |
u( X ) f x y dx adalah ekspektasi matematik dari
c
diketahui Y = y.
(iv) | jika ada adalah mean bersyarat dari Y diketahui X = x.
Sedangkan | adalah mean bersayarat X diketahui Y = y.
(v)
⟨{ |}|⟩ adalah variansi bersyarat dari Y diketahui X = x.
Variansi ini dapat dihitung melalui kesamaan :
http://slidepdf.com/reader/full/distribusi-marginal-dan-distribusi-bersyarat
6/8
5/11/2018
DistribusiMarginalDan DistribusiBersyarat-slidepdf.com
⟨{ |}|⟩ | { | }
⟨{
| }| ⟩
| { | }
(vi)
adalah variansi
bersyarat dari X diketahui Y = y.
Dalam hal X dan Y diskrit, rumus tersebut tinggal diganti lambang integral
dengan lambang jumlah.
Contoh Soal 3:
Perhatikan kembali peubah acak X dan Y pada contoh 2. F.k.p. bersamanya
adalah:
2;0<x<y<1
0 ; x , y yang lain
Tentukanlah:
a. F.k.p. bersyarat dari X diketahui Y = y
b. Mean bersayarat dari X diketahui Y = y
c. Variansi bersayarat dari X diketahui Y = y
d. ⁄ | ⁄
e. ⁄
Penyelesaian:
Pada penyelesaian contoh 2 telah diperoleh f.k.p. marginal dari X dan dari Y
yaitu:
2 (1 – x) ; 0 < x < 1
2y
; 0 < y< 1
0
; y yang lain
dan
0
; x yang lain
Jadi:
a. |
2
f ( x, y )
f 2 ( y)
2y
0
y
;0<x<y<1
; x, y yang lain
xf x y dx x
b. |
1
1
y
dx
y
; 0 < y < 1, misalnya:
2
http://slidepdf.com/reader/full/distribusi-marginal-dan-distribusi-bersyarat
7/8
5/11/2018
DistribusiMarginalDan DistribusiBersyarat-slidepdf.com
⁄ , maka | ⁄
⁄
⁄
|
c.
x f x y dx x
2
2
1
y
dx
1
3
y 2 ; 0 < y < 1.
Jadi variansi dari X diketahui Y = y adalah:
⟨{ |}|⟩ | { |}
1
3
y
2
2
y2
1 y2
12
; 0<y<1
Misalnya: ⁄, maka variansi dari X diketahui ⁄ adalah
sebesar
1 2
2
1
12 3
27
1
e. ⁄
2
0
1
2
f 1 ( x)dx 2(1 x)dx
0
3
4
http://slidepdf.com/reader/full/distribusi-marginal-dan-distribusi-bersyarat
8/8
