Uploaded by Renaldi Dion Samuel Sihombing

BAGIAN RE

5.5 Fungsi Pembangkit Momen dan Fungsi Karakteristik.
Definisi 5.5.1 Fungsi Pembangkit Momen ialah suatu fungsi dari peubah real t. Tentunya fungsi
itu hanya didefinisikan untuk nilai t sehingga EetX ada. Dimana untuk bahasan kali
ini g(X) = eTx.
Contoh 1
Bila X p.a Poisson dengan parameter λ maka f.p.m nya adalah
𝑡𝑥 −λ 𝑥
𝑡 𝑥
∑∞
𝑒 −λ ∑∞
𝑡
𝑡
𝑋=0 𝑒 𝑒 λ
𝑋=0(λ𝑒 )
𝑡𝑋
𝐸(𝑒 ) =
=
= 𝑒 −λ 𝑒 λ𝑒 = 𝑒 λ(𝑒 −1)
𝑥!
𝑥!
Sekarang kita dapat menghitung kedua momen yang pertama dan variansi X dari f.p.m nya
sebagai berikut
𝑑
𝑡
𝐸(𝑋) = 𝜓𝑋 (𝑡)|
= 𝑒 λ(𝑒 −1) λ𝑒 𝑡 |𝑡=0 = λ,
𝑑𝑡
𝑡=0
2
𝑑
𝑑 𝑑
𝑑
𝑡
𝐸(𝑋 2 ) = 2 𝜓𝑋 (𝑡)|
= ( 𝜓𝑋 (𝑡))|
= 𝑒 λ(𝑒 −1) λ𝑒 𝑡 |
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑡=0
𝑡=0
= (𝑒
λ(𝑒 𝑡 −1) 2 2𝑡
𝑡=0
λ(𝑒 𝑡 −1)
𝑡
λ 𝑒 +𝑒
λ𝑒 )|𝑡=0 = λ2 + λ,
(𝑋) = 𝐸(𝑋 2 ) − (𝐸𝑋)2 = λ
Contoh 2
Bila X berdistribusi normal maka,
∞
∞
(𝑥−𝜇)2
1
1
𝑥 2 + 𝜇 2 − 2𝑥𝜇 − 2𝜎 2 𝑡𝑥
−
𝑥𝑡
2
2𝜎
𝜓𝑋 (𝑡) = ∫ 𝑒
𝑒
𝑑𝑥 = ∫
𝑒𝑘𝑠𝑝 {−
} 𝑑𝑥 =
2𝜎 2
√2𝜋𝜎
−∞
−∞ √2𝜋𝜎