BAGIAN RE

5.5 Fungsi Pembangkit Momen dan Fungsi Karakteristik.
Definisi 5.5.1 Fungsi Pembangkit Momen ialah suatu fungsi dari peubah real t. Tentunya fungsi
itu hanya didefinisikan untuk nilai t sehingga EetX ada. Dimana untuk bahasan kali
ini g(X) = eTx.
Contoh 1
Bila X p.a Poisson dengan parameter λ maka f.p.m nya adalah
𝑡𝑥 −λ 𝑥
𝑡 𝑥
∑∞
𝑒 −λ ∑∞
𝑡
𝑡
𝑋=0 𝑒 𝑒 λ
𝑋=0(λ𝑒 )
𝑡𝑋
𝐸(𝑒 ) =
=
= 𝑒 −λ 𝑒 λ𝑒 = 𝑒 λ(𝑒 −1)
𝑥!
𝑥!
Sekarang kita dapat menghitung kedua momen yang pertama dan variansi X dari f.p.m nya
sebagai berikut
𝑑
𝑡
𝐸(𝑋) = 𝜓𝑋 (𝑡)|
= 𝑒 λ(𝑒 −1) λ𝑒 𝑡 |𝑡=0 = λ,
𝑑𝑡
𝑡=0
2
𝑑
𝑑 𝑑
𝑑
𝑡
𝐸(𝑋 2 ) = 2 𝜓𝑋 (𝑡)|
= ( 𝜓𝑋 (𝑡))|
= 𝑒 λ(𝑒 −1) λ𝑒 𝑡 |
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑡=0
𝑡=0
= (𝑒
λ(𝑒 𝑡 −1) 2 2𝑡
𝑡=0
λ(𝑒 𝑡 −1)
𝑡
λ 𝑒 +𝑒
λ𝑒 )|𝑡=0 = λ2 + λ,
(𝑋) = 𝐸(𝑋 2 ) − (𝐸𝑋)2 = λ
Contoh 2
Bila X berdistribusi normal maka,
∞
∞
(𝑥−𝜇)2
1
1
𝑥 2 + 𝜇 2 − 2𝑥𝜇 − 2𝜎 2 𝑡𝑥
−
𝑥𝑡
2
2𝜎
𝜓𝑋 (𝑡) = ∫ 𝑒
𝑒
𝑑𝑥 = ∫
𝑒𝑘𝑠𝑝 {−
} 𝑑𝑥 =
2𝜎 2
√2𝜋𝜎
−∞
−∞ √2𝜋𝜎