Kernel

Secara umum, hubungan antara data dan parameter model dapat dinyatakan oleh:
d = g(m)
(1)
dimana g merupakan fungsi umum pemodelan kedepan (forward modelling) yang memetakan model
menjadi besaran dalam “domain” data. Untuk kasus dimana fungsi menghubungkan data dengan
parameter model adalah suatu fungsi linier maka persamaan (1) dapat dinyatakan oleh persamaan
yang lebih sederhana tanpa perkalian matriks.
D = Gm
(2)
Dimana G adalah matriks (NxM) disebut dengan Matriks Kernel. Pada dasarnya adalah fungsi forward
modelling yang tidak mengandung elemen parameter model. Apabila dituliskan dalam bentuk matriks
menjadi:
(3)
Apabila dinyatakan dengan notasi somasi maka akan menjadi:
𝑑𝑖 = ∑𝑀
𝑗=1 Gij mj ; i = 1, 2, … , N
(4)
Penyelesaian inversi memperkirakan parameter m yang memiliki respon yang cocok dengan data
lapangan ditunjukkkan dengan nilai error yang kecil. Nilai error tersebut dapat dituliskan:
𝑁
2
𝑁
2
𝐸 = ∑𝑖=1(𝑇𝑖 𝑘𝑎𝑙𝑘𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 − 𝑇𝑖 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑠𝑖 ) = ∑𝑖=1(e)
(5)
Subtitusi persamaan (4) ke persamaan (5)
(6.a)
Atau
(6.b)
Setiap suku pada persamaan (6a) dikalikan
(7)
Agar error bernilai minimum, maka turunan dari fungsi error tersebut bernilai nol. Turunan dari
persamaan (7) untuk setiap suku adalah sebagai berikut.
Suku ke-1:
Suku ke-2:
Suku ke-3:
Maka,
(8)
𝜕𝑚
Dimana 𝜕𝑚𝑗 dinyatakan oleh delta Kronecker 𝛿𝑖𝑗 yang hanya bernilai satu jika i = j. Dengan
memperhatikan hubungan antara notasi matriks dengan notasi penjumlahan, selanjutnya dapat
dibuktikan bahwa penulisan persamaan (8) menggunakan notasi matriks akan menghasilkan
persamaan matriks berikut:
(9)
Persamaan (9) merupakan persamaan matriks dengan vector berparameter model m sebagai
variable yang tidak diketahui. Maka persamaan (9) dirangkai ulang sehingga diperoleh estimasi
model m sebagai inversi linier.
(10)
Atau persamaan (10) dapat pula didekati dengan matriks
𝑑 = 𝐺𝑚
𝐺 𝑇 𝐺𝑚 = 𝐺 𝑇 𝑑
𝑚 = (𝐺 𝑇 𝐺)−1 𝐺 𝑇 𝑑
(11)