MAKALAH LOGIKA MATEMATIKA Disusun Oleh : IID AHMAD FAIZHIN FIRMAN NAINUL IHSAN IMAM ABU YUSUF STKIP MUHAMADIYAH KUNINGAN KATA PENGANTAR Assalamualaikum Warohmatullahi Wabarokatuh Puji syukur kita panjatkan kepada Allah Subkhanallahuwata’ala. Sholawat serta salam kita kirimkan kepada junjungan Nabi besar Muhammad Sholallahu’alaihi Wassalam, karena atas hidayahNyalah paper ini dapat diselesaikan. Paper ini penulis sampaikan kepada pembina Mata Kuliah Pembelajaran Matematika SMA bapak Ariyanto, sebagai tugas pendalaman pembelajaran Matematika. Tidak lupa penulis ucapkan terima kasih kepada bapak/ibu dosen Matematika yang telah mencurahkan ilmunya kepada penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan dengan lancar dalam menulis paper ini. Selanjutnya kami mohon kepada bapak dosen khususnya dan pembaca pada umumnya, bila ada kesalahan atau kekurangan dalam paper ini, baik dari segi bahasa maupun kontennya, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun kepada semua pembaca demi lebih baiknya karya-karya tulis yang akan datang. Wassalamu’alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh i DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ……………………………................................................i DAFTAR ISI……………………………...............................................................ii BAB I : PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah …………………………...…................................... B. Rumusan Masalah ……………………………........... .................................... C. Tujuan ……………………………...........................................……………... BAB II : PEMBAHASAN A. Pengertian Logika Matematika ……………………………............................ B. Pernyataan ……………………………............................................................ C. Kata Hubung Kalimat…………………………….......................................... D. Negasi dari Pernyataan Majemuk…………………………………………..… E. Kontradiksi, Tautologi, dan Ekuivalensi Pernyataan-Pernyataan Majemuk…………………………………………………………………….. F. Hukum-Hukum Logika ……………………………................................... G. Pernyataan Berkuantor............................................................................ H. Ingkaran Pernyataan Berkuantor.............................................................. I. Validitas Pembuktian.............................................................................. J. Bukti dalam Matematika................................................................................ K. Latihan Soal……………………………........................................................ L. Kunci Jawaban…………………………….................................................... ii BAB 1 PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Suatu kenyataan yang tidak dapat dibantah bahwa logika, penalaran dan argumentasi sangat sering digunakan dalam kehidupan nyata sehari-hari, didalam mata pelajaran matematika maupun mata pelajaran lainnya. Dalam arti luas, logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang shahih dan yang tidak shahih. Karenanya logika sangat berguna bagi siswa, disamping dapat meningkatkan daya nalar atau proses berfikir yang terjadi di saat menurunkan dan menarik kesimpulan dari pernyataan yang diketahui benar atau dianggap benar, namun dapat diaplikasikan di dalam kehidupan nyata mereka sehari-hari. Tujuan pembelajaran logika matematika pada dasarnya adalah agar para siswa dapat menggunakan aturan-aturan dasar logika matematika untuk penarikan kesimpulan. Oleh karena itu, kompetensi yang hendak dicapai adalah agar para siswa memiliki kemampuan dan keterampilan dalam hal mengembangkan dan memanfaatkan logika yang dimiliki serta menambah pengetahuan tentang mata pelajaran ini. B. Rumusan Masalah 1. Apa pengertian dari logika matematika ? 2. Apa saja kata hubung kalimat pernyataan majemuk ? 3. Bagaimana ingkaran dari pernyataan majemuk ? 4. Apa saja hukum-hukum logika ? 5. Apa saja yang digunakan untuk penarikan kesimpulan ? C. Tujuan 1. Untuk mengetahui pengertian dari logika matematika. 2. Untuk mengetahui kata hubung kalimat penyataan majemuk. 3. Untuk mengetahui ingkaran dari pernyataan majemuk. 4. Untuk mengetahui hukum-hukum logika. 5. Untuk mengetahui penarikan kesimpulan. BAB 2 PEMBAHASAN A. Pengertian Logika Matematika Logika Matematika atau Logika Simbol ialah logika yang menggunakan bahasa Matematika, yaitu dengan menggunakan lambang-lambang atau simbol- simbol. Keuntungan atau kekuatan bahasa simbol adalah: ringkas, univalent/bermakna tunggal, dan universal/dapat dipakai dimana-mana. B. Pernyataan Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut aturan bahasa yang mengandung arti. Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah (pernyataan disebut juga preposisi, kalimat deklaratif). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan keadaan yang sebenarnya. Perhatikan beberapa contoh berikut! 1. Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam 2. 4 + 3 = 8 3. Rapikan tempat tidurmu! Contoh nomor 1 bernilai benar, sedangkan contoh nomor 2 bernilai salah, dan keduanya adalah pernyataan. Kalimat 3 di atas tidak mempunyai nilai benar atau salah, sehingga bukan pernyataan. a) Kalimat Terbuka Adalah kalimat yang belum tentu bernilai benar atau salah. Kalimat terbuka biasanya ditandai dengan adanya variabel (peubah). Jika variabelnya diganti dengan konstanta dalam semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi sebuah pernyataan. Variabel (Peubah) adalah lambang yang menunjukkan anggota yang belum tentu dalam semesta pembicaraan, sedangkan konstanta adalah lambang yang menunjukkan anggota tertentu dalam semesta pembicaraan. Pengganti variabel yang menyebabkan kalimat terbuka menjadi pernyataan yang bernilai benar, disebut selesaian atau penyelesaian. Contoh kalimat terbuka : 1. yang duduk di bawah pohon itu cantik rupanya 2. x + 2 = 8 b) Pernyataan Majemuk Logika merupakan sistem matematika artinya memuat unsur-unsur yaitu pernyataan-pernyataan dan operasi-operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang akan kita temui berupa kata sambung logika : 1) Merupakan lambang operasi untuk negasi 2) Merupakan lambang operasi untuk konjungsi 3) Merupakan lambang operasi untuk disjungsi 4) Merupakan lambang operasi untuk implikasi 5) Merupakan lambang operasi untuk biimplikasi C. Kata Hubung Kalimat 1. Ingkaran atau Negasi Ingkaran/Negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan lain yang diperoleh dengan menambahkan kata ”tidak” atau menyisipkan kata ”bukan” pada pernyataan semula. Ingkaran dari suatu pernyataan p disajikan dengan lambang atau –p atau ~p, dan dibaca: ”tidak p”. Bila peryataan p bernilai benar, maka ingkarannya bernilai salah dan sebaliknya. Contoh Soal : Misalkan pernyataan p : Tembakau yang mengandung nikotin. Ingkaran penyataan p ~ p : Tidak benar bahwa tembakau mengandung nikotin. 2. Konjungsi Pernyataan p dengan q dapat digabung dengan kata hubung logika “dan” sehingga membentuk pernyataan majemuk “p dan q” yang disebut konjungsi. Konjungsi “p dan q” dilambangkan dengan “p Ù q”. Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua pernyataan komponennya bernilai benar. Dan jika salah satu atau kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah. Contoh Soal : Jika, p : Ima anak pandai q : Ima anak cekatan maka p ∧ q : Ima anak pandai dan cekatan Pernyataan p ∧ q bernilai benar jika Ima benar-benar anak pandai dan benar-benar anak cekatan. 3. Disjungsi/ Alternasi Pernyataan p dengan q dapat digabung dengan kata hubung logika “atau” sehinggamembentuk pernyataan majemuk “p atau q” yang disebut disjungsi. Disjungsi p atau q dilambangkan dengan “p Ú q”. Dalam kehidupan sehari-hari, kata “atau” dapat berarti salah satu atau kedua-duanya, dapat pula berarti salah satu tetapi tidak kedua-duanya. Berdasarkan pengertian di atas, dua buah pernyataan yang dihubungkan dengan ”atau” merupakan disjungsi dari kedua pernyataan semula. Dari pengertian kata “atau” di atas maka muncul dua macam disjungsi yaitu sebagai berikut. a) Disjungsi inklusif, yaitu dua pernyataan yang bernilai benar apabila paling sedikit satu dari keduanya bernilai benar yang diberi simbol “∨". Untuk disjungsi inklusif dua pernyataan p atau q ditulis p ∨ q. sebagai contoh sekarang perhatikan pernyataan berikut ini, “Andi seorang siswa yang pintar atau seorang atlit berbakat”. Pernyataan itu akan menimbulkan penafsiran “Andi seorang siswa yang pintar, atau seorang atlit yang berbakat, mungkin kedua-duanya”. Pernyataan dengan tafsiran seperti itu merupakan contoh disjungsi inklusif. Untuk contoh yang lain perhatian contoh berikut ini. 1) Persegi memiliki empat sisi atau empat sudut. 2) Adi membawa pensil atau bolpoin. Tabel b) kebenaran disjungsi inklusif di berikan sebagai berikut. Disjungsi eksklusif Disjungsi eksklusif, yaitu dua pernyataan bernilai benar apabila hanya satu dari dua pernyataan bernilai benar yang diberi simbol “⊻”. Disjungsi eksklusif dua pernyataan p dan q ditulis p ⊻ q. Sekarang perhatikan pernyataan sebelumnya lagi, “Andi seorang siswa yang pintar atau seorang atlit berbakat”. Pernyataan itu akan menimbulkan penafsiran “Andi seorang siswa yang pintar, atau seorang atlit yang berbakat, tetapi tidak kedua-duanya (dipilih salah satu)”. Pernyataan dengan tafsiran seperti itu merupakan contoh disjungsi eksklusif. Untuk contoh yang lain perhatikan contoh berikut ini. 1) Adika lahir di Bali atau di Surabaya 2) Dua garis pada satu bidang sejajar atau berpotongan. Tabel kebenaran disjungsi ekslusif di berikan sebagai berikut. Catatan : Jika dalam suatu soal tidak diberikan keterangan, maka disjungsi yang dimaksud adalah disjungsi inklusif. 4. Implikasi Implikasi “jika p maka q” dilambangkan dengan “p Þ q”. Dalam implikasi p ⇒ q, p disebut hipotesa (anteseden) dan q disebut konklusi (konsekuen). Bernilai benar jika anteseden salah atau konsekuen benar, anteseden dan konsekuen sama-sama benar, dan anteseden dan konsekuen salah, dan bernilai salah jika antesedennya bernilai benar, sedangkan konsekuennya salah. Dengan tabel kebenaran Contoh soal: Jika, p : Matahari bersinar q : udara terasa hangat Jadi, p Þ q : “Jika matahari bersinar maka udara terasa hangat”, Jadi, bila kita tahu bahwa matahari bersinar, kita juga tahu bahwa udara terasa hangat. Berdasarkan pernyataan diatas, maka untuk menunjukkan bahwa udara tersebut hangat adalah cukup dengan menunjukkan bahwa matahari bersinar atau matahari bersinar merupakan syarat cukup untuk udara terasa hangat. Sedangkan untuk menunjukkan bahwa matahari bersinar adalah perlu dengan menunjukkan udara menjadi hangat atau udara terasa hangat merupakan syarat perlu bagi matahari bersinar. Karena udara dapat menjadi hangat hanya bila matahari bersinar. Dari suatu Implikasi p Þ q dapat dibentuk pernyataan majemuk : Konvers, Invers, dan Kontraposisi Dari pernyataan berbentuk implikasi dapat kita turunkan pernyataan-pernyataan baru yang disebut invers, konvers, dan kontraposisi. Ingkaran dari Implikasi Konvers, Invers dan Kontraposisi (Husein: 3013) a) Ingkaran Konvers: ~ (p Þ q) º (q Ù ~ p) b) Ingkaran Invers : ~(~ p Þ~ q) º ~p Ù q c) Ingkaran Kontraposisi: ~(~ q Þ~ p) º ~q Ù p 5. Biimplikasi atau Bikondisional Biimplikasi “p jika dan hanya jika q” dilambangkan dengan “p Û q”. Biimplikasi bernilai benar apabila anteseden dan konsekuen kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Jika tidak demikian maka biimplikasi bernilai salah. Dengan tabel kebenaran Contoh Soal : p : Saya memakai mantel q : saya merasa dingin maka, p Û q = “Saya memakai mantel jika dan hanya jika saya merasa dingin”. Pengertian kita adalah “Jika saya memakai mantel maka saya merasa dingin” dan juga “Jika saya merasa dingin maka saya memakai mantel”. Terlihat bahwa jika saya memakai mantel merupakan syarat perlu dan cukup bagi saya merasa dingin, dan saya merasa dingin merupakan syarat perlu dan cukup bagi saya memakai mantel. Terlihat bahwa kedua peristiwa itu terjadi serentak. D. Negasi dari Pernyataan Majemuk Berikut ini adalah pembahasan tentang negasi pernyataan majemuk, yaitu negasi suatu konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi 1. Negasi Suatu Konjungsi Karena suatu konjungsi p ∧ q akan bernilai benar hanya jika kedua komponennya bernilai benar. Maka negasi suatu konjungsi p ∧ q adalah ~p ∨ ~q; sebagaimana ditunjukkan tabel kebenaran berikut: Contoh Soal : Jika, p : Ima anak pandai, dan q : Ima anak cekatan. maka p ∧ q : Ima anak pandai dan cekatan Pernyataan p ∧ q bernilai benar jika Ima benar-benar anak pandai dan benar-benar anak cekatan. Apabila p ∧ q jika di negasikan menjadi ~p ∨ ~q Maka ~p ∨ ~q : Ima bukan anak pandai atau bukan cekatan 2. Negasi Suatu Disjungsi Negasi suatu disjungsi p ∨ q adalah ~p ∧ ~q sebagaimana ditunjukkan tabel kebenaran berikut: Contoh soal : Jika p : Persegi memiliki empat sisi q : empat sudut maka, p ∨ q : Persegi memiliki empat sisi atau empat sudut Apabila p ∨ q dinegasikan menjadi ~p ∧ ~q Maka ~p ∧ ~q : Persegi tidak memiliki empat sisi dan empat sudut 3. Negasi Suatu Implikasi Negasi suatu implikasi p ⇒ q adalah p∧~q seperti ditunjukkan tabel kebenaran berikut ini: Dengan demikian, p ⇒ q ≡ ~[~ (p ⇒ q)] ≡ ~( p ∧ ~q) ≡ ~p ∨ q Contoh soal: Jika, p : Matahari bersinar q : udara terasa hangat Jadi, p Þ q : “Jika matahari bersinar maka udara terasa hangat” Apablia p ⇒ q dinegasikan menjadi p∧~q Maka, p∧~q : matahari bersinar dan udara tidak terasa hangat 4. Negasi Suatu Biimplikasi Karena biimplikasi atau bikondisional p ⇔ q ekuivalen dengan (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p); sehingga: ~ (p ⇔ q) ≡ ~[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] ≡ ~[(~p ∨ q) ∧ (~q ∨ p)] ≡ ~(~p ∨ q) ∨ ~(~q ∨ p)] ≡ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p) Contoh Soal : p : Saya memakai mantel q : saya merasa dingin maka, p Û q = “Saya memakai mantel jika dan hanya jika saya merasa dingin”. Apabila p Û q dinegasikan menjadi (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) Maka, (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) : Jika saya memakai mantel maka maka saya merasa dingin dan jika saya merasa dingin maka saya memakai mantel. E. Kontradiksi, Tautologi, Ekuivalensi Pernyataan-Pernyataan Majemuk 1. Pengertian Kontradiksi Kontradiksi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Contoh pernyataan: “Junus masih bujang atau Junus bukan bujang” akan selalu bernilai benar tidak bergantung pada apakah junus benar-benar masih bujang atau bukan bujang. Jika p : junus masih bujang, dan ~p : junus bukan bujang, maka pernyataan diatas berbentuk p ∨ ~p. (coba periksa nilai kebenarannya dengan menggunakan tabel kebenaran). Setiap pernyataan yang bernilai benar, untuk setiap nilai kebenaran komponen-komponennya, disebut tautologi. 2. Pengertian Tautologi Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Contoh pernyataan: “Pratiwi seorang mahasiswa dan bukan mahasiswa”. Pernyataan ini selalu bernilai salah, tidak tergantung pada nilai kebenaran dari “Pratiwi seorang mahasiswa” maupun “Pratiwi bukan mahasiswa”. Jika r : Pratiwi mahasiswa maka ~ r : Pratiwi bukan mahasiswa maka pernyataan di atas berbentuk r ∧ ~ r (Coba periksa nilai kebenarannya dengan menggunakan tabel kebenaran). Setiap pernyataan yang selalu bernilai salah, untuk setiap nilai kebenaran dari komponen-komponen disebut kontradiksi. Karena kontradiksi selalu bernilai salah, maka kontradiksi merupakan ingkaran dari tautologi dan sebaliknya. 3. Ekuivalensi Pernyataan – Pernyataan Majemuk a) implikasi º kontraposisi : p Þ q º ~ q Þ ~ p b) konvers º invers c) ~(p Ù q) º~pÚ~q : ingkaran dari konjungsi d) ~(p Ú q) º~pÙ~q : ingkaran dari disjungsi e) ~(p Þ q) ºpÙ~q : ingkaran dari implikasi f) pÞq º~pÚq g) ~(p Û q) F. Hukum-Hukum Logika 1. Sifat-Sifat Aljaba rProposisi 2. Hukum-hukumlogika :qÞpº~pÞ~q º (p Ù ~ q) Ú (q Ù ~ p) : ingkaran dari biimplikasi : G. Pernyataan Berkuantor Pernyataan berkuantor artinya pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas atau jumlah. Pernyataan berkuantor mengandung kata semua, setiap, tiap-tiap, ada, terdapat, beberapa dan sebagainya. Terdapat dua macam kuantor, yaitu : 1. Kuantor Universal. Disebut juga kuantor umum, ditandai dengan kata : “semua, setiap, tiap-tiap” atau ditulis ("x). Kuantor universal dilambangkan (x),p(x). Contoh Soal : a) Semua siswa memakai seragam. b) Tiap-tiap kelas selalu menjaga kebersihan. c) Setiap manusia punya kesalahan. d) Setiap bilangan asli adalah bilangan cacah. 2. Kuantor Eksistensial. Disebut juga Kuantor Khusus, ditandai dengan kata : “ Ada, terdapat, beberapa “ atau ditulis ($x). Kuantor eksistensial dilambangkan (x), p(x) Contoh Soal: a) Ada siswa yang tidak mengerjakan PR. b) Terdapat bilangan prima yang genap. c) Beberapa kelas sedang tidak belajar. H. Ingkaran Pernyataan Berkuantor 1. Ingkaran Kuantor Universal Ingkaran dari pernyataan majemuk “untuk semua x, sehingga berlaku p(x)” adalah “ada x, sehingga berlaku bukan p(x)”,ditulis ~[("x), p(x)] º ($x), ~p(x) Contoh Soal : p : Semua kucing berwarna putih. -p : Tidak benar bahwa semua kucing berwarna putih. -p : Ada kucing yang tidak berwarna putih. Secara umum ingkaran dari semua adalah ada/beberapa, dan dilambangkan : – ( (x),p(x)) (x), -p(x) 2. Ingkaran Kuantor Eksistensial. Ingkaran dari pernyataan “ada x, sehingga berlaku p(x)” adalah “untuk semua x, sehingga berlaku bukan p(x)”, ditulis ~[($x), p(x)] º ("x), ~p(x) Contoh Soal: p : Adaperempuan yang menjadi presiden. -p : Tidak ada perempuan yang menjadi presiden. -p : Semua perempuan tidak menjadi presiden. Secara umum ingkaran dari Ada/beberapa adalah semua, dan dilambangkan : – ((x), p(x) ) (x),-p(x) I. Validitas Pembuktian 1. Premis dan Argumen Premis adalah pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan, sehingga suatu premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi atau pernyataan yang sudah dibuktikan sebelumnya. Sedang yang dimaksud dengan argumen adalah kumpulan kalimat yang terdiri atas satu atau lebih premis yang mengandung bukti-bukti (evidence) dan suatu (satu) konklusi. Konklusi ini selayaknya (supposed to) diturunkan dari premis-premis. 2. Validitas Pembuktian (I) a) Modus Ponen Contoh Soal : Premis 1 :pÞq Premis 2 :p Konklusi :q Premis 1 : Jika saya belajar, maka saya lulus ujian (benar) Premis 2 : Saya belajar (benar) Konklusi : Saya lulus ujian (benar) Baris pertama dari tabel kebenaran kondisional (implikasi) menunjukkan validitas dari bentuk argumen modus ponen. b) Modus Tolen : Premis 1 :pÞq Premis 2 :~q Konklusi :~p Contoh Soal : Premis 1 : Jika hari hujan maka saya memakai jas hujan (benar) Premis 2 : Saya tidak memakai jas hujan (benar) Konklusi : Hari tidak hujan (benar) Perhatikan bahwa jika p terjadi maka q terjadi, sehingga jika q tidak terjadi maka p tidak terjadi. c) Silogisma : Premis 1 :pÞq Premis 2 :qÞr Konklusi :pÞr Contoh : Premis 1 : Jika kamu benar, saya bersalah (B) Premis 2 : Jika saya bersalah, saya minta maaf (B) Konklusi : Jika kamu benar, saya minta maaf (B) d) Silogisma Disjungtif Premis 1 :pÚq Premis 2 :~q Konklusi :p Jika ada kemungkinan bahwa kedua pernyataan p dan q dapat sekaligus bernilai benar, maka argumen di bawah ini tidak valid. Premis 1 :p∨q Premis 2 :q Konklusi :~p Tetapi jika ada kemungkinan kedua pernyataan p dan q tidak sekaligus bernilai benar (disjungsi eksklusif), maka sillogisma disjungtif di atas adalah valid. Contoh Soal : 1) Premis 1 : Pengalaman ini berbahaya atau membosankan (B) Premis 2 : Pengalaman ini tidak berbahaya (B) Konklusi : Pengalaman ini membosankan (B) 2) Premis 1 : Air ini panas atau dingin (B) Premis 2 : Air ini panas (B) Konklusi : Air ini tidak dingin (B) 3) Premis 1 : Obyeknya berwarna merah atau sepatu Premis 2 : Obyek ini berwarna merah Konklusi : Obyeknya bukan sepatu (tidak valid) e) Konjungsi Premis 1 :p Premis 2 :q Konklusi :pÙq Artinya : p benar, q benar. Maka p Ù q benar. f) Tambahan (Addition) Premis 1 :p Konklusi :pÚq Artinya : p benar, maka p Ú q benar (tidak peduli nilai benar atau nilai salah yang dimiliki q). g) Dilema Konstruktif : Premis 1 : (p Þ q) Ù (r Þ s) Premis 2 :~qÚ~s Konklusi :~pÚ~r J. Bukti dalam Matematika 1. Pembuktian Tidak Langsung Pembuktian-pembuktian yang telah kita bicarakan di atas, merupakan pembuktian yang langsung. Suatu argumen adalah valid secara logis jika premis-premisnya bernilai benar dan konklusinya juga bernilai benar. Berdasarkan pemikiran ini, jika premis-premis dalam suatu argumen yang valid membawa ke konklusi yang bernilai salah, maka paling sedikit ada satu premis yang bernilai salah. Cara pembuktian ini disebut pembuktian tidak langsung atau pembuktian dengan kontradiksi atau reductio ad absurdum. Contoh Soal : Premis 1 : Semua manusia tidak hidup kekal (Benar) Premis 2 : Chairil Anwar adalah manusia (Benar) Buktikan bahwa “Chairil Anwar tidak hidup kekal” (premis 3) dengan melakukan langsung. pembuktian tidak Bukti : Kita misalkan bahwa : Chairil Anwar hidup kekal (premis 4) (dan kita anggap bernilai benar). Maka berarti : Ada manusia hidup kekal (premis 5). Tetapi premis 5 ini merupakan negasi dari premis 1. Yang sudah kita terima kebenarannya. Oleh karena itu premis 5 ini pasti bernilai salah. Karena premis 5 bernilai salah maka premis 4 juga bernilai salah. Sebab itu premis 3 bernilai benar. Jadi terbukti bahwa “Chairil Anwar tidak hidup kekal”. Ringkasannya, kita dapat membuktikan bahwa suatu pernyataan bernilai benar, dengan menunjukkan bahwa negasi dari pernyataan itu salah. Ini dilakukan dengan menurunkan konklusi yang salah dari argumen yang terdiri dari negasi pernyataan itu dan pernyataan atau pernyataan-pernyataan lain yang telah diterima kebenarannya.
