Uploaded by User45103

Matematika-dan-Statistika-Komprehensif

advertisement
Hak Cipta  dan Hak Penerbitan dilindungi Undang-undang
Cetakan pertama, Desember 2016
Penulis
: 1. Rudy Hartono, SKM.,M.Kes
2. Rahmat Kamaruddin, S.Si
Pengembang Desain Instruksional : Drs. Pramono Sidi, M.Si
Desain oleh Tim P2M2 :
Kover & Ilustrasi
:
Tata Letak
:
Sunarti
Nono Suwarno
Jumlah halaman
306
:
 Matematika dan Statistik 
DAFTAR ISI
BAB I: BILANGAN
Topik 1.
Pengantar Konsep Bilangan dan Bilangan Bulat ……………........................................
Latihan …………………………………………..............................................................................
Ringkasan …………………………………...................................................................................
Tes 1 ……………………………..…….........................................................................................
1
2
5
6
6
Topik 2.
Pengantar Konsep Bilangan dan Bilangan Bulat ......................................................
Latihan ……………………………………..............................................……...............................
Ringkasan …………………………………..................................................................................
Tes 2 ……………………….…………………..…….........................................................................
8
16
17
17
KUNCI JAWABAN TES FORMATIF .............................................................................
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................................
19
20
BAB II: FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA
21
Topik 1.
Keterlibatan Mahasiswa
...................................................................................
Latihan …………………………………………..............................................................................
Ringkasan …………………………………..................................................................................
Tes 1 ……………………….…………………..…….........................................................................
22
25
27
27
Topik 2.
Persamaan Fungsi Logaritma
Latihan ……………………………………..............................................……...............................
Ringkasan …………………………………..................................................................................
Tes 2 ……………………….…………………..…….........................................................................
29
37
38
38
KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................
DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................................
40
41
BAB III: SATUAN PENGUKURAN DAN KONSENTRASI
42
Topik 1.
Disiplin Dalam Standar Pelayanan Kebidanan ………………………………………………………
Latihan …………………………………………..............................................................................
Ringkasan …………………………………..................................................................................
Tes 1 ……………………….…………………..…….........................................................................
43
46
48
48
iii
 Matematika dan Statistik 
Topik 2.
Memahami Konsentrasi
Latihan ……………………………………..............................................……...............................
Ringkasan …………………………………..................................................................................
Tes 2 ……………………….…………………..…….........................................................................
50
54
56
56
KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................
DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................................
58
59
BAB IV: TURUNAN (DERIVATIF)
60
Topik 1.
Definisi dan Rumus-Rumus Turunan ...................................................................
Latihan …………………………………………..............................................................................
Ringkasan …………………………………...................................................................................
Tes 1 .……………………….…………………..…….........................................................................
61
63
64
65
Topik 2.
Jenis-Jenis Turunan
Latihan ..……………………………………..............................................……...............................
Ringkasan ..………………………………….................................................................................
Tes 2 .……………………….…………………..…….........................................................................
67
76
78
78
KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................................
81
82
BAB V: PENGGUNAAN TURUNAN
83
Topik 1.
Menentukan Garis Singgung, Garis Normal serta Nilai Maksimum dan Minimum
Latihan …………………………………………..............................................................................
Ringkasan …………………………………...................................................................................
Tes 1 ……………………….…………………..…….........................................................................
84
91
93
93
Topik 2.
Menentukan Titik Ekstrim
Latihan …………………….………………..............................................……...............................
Ringkasan ……….……………………………...............................................................................
Tes 2 ……………….……….…………………..…….........................................................................
95
102
103
103
KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................................
106
107
iv
 Matematika Statistik 
BAB VI: INTEGRAL
108
Topik 1.
Integral Tak Tentu
.............................................................................................
Latihan ………….…………………………………….......................................................................
Ringkasan ……..…………………………………...........................................................................
Tes 1 ……………………….…………………..…….........................................................................
110
114
115
115
Topik 2.
Integral Tentu
Latihan ……………………………………..............................................……...............................
Ringkasan …………………………………..................................................................................
Tes 2 ……………………….…………………..…….........................................................................
118
121
122
122
Topik 3.
Integral Parsial dan Penggunaan Integral ............................................................
Latihan ……………………………………..............................................……...............................
Ringkasan …………………………………..................................................................................
Tes 3 ……………………….…………………..…….........................................................................
124
136
136
137
KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................................
139
140
BAB VII: STATISTIKA DESKRIPTIF
141
Topik 1.
Konsep Dasar Statistik
......................................................................................
Latihan …………………………………………..............................................................................
Ringkasan …………………………………..................................................................................
Tes 1 ……………………….…………………..…….........................................................................
142
158
159
160
Topik 2.
Konsep Probabilitas
Latihan …….………………………………..............................................……...............................
Ringkasan ….………………………………..................................................................................
Tes 2 .……………………….…………………..…….........................................................................
162
178
180
180
KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................................
183
184
BAB VIII: STATISTIKA INFERENSIAL
185
Topik 1.
Konsep Dasar Statistika Inferensial
....................................................................
v
186
 Matematika dan Statistik 
Latihan …………………………………………..............................................................................
Ringkasan …………………………………...................................................................................
Tes 1 ……………………….…………………..…….........................................................................
199
201
202
Topik 2.
Statistik Parametrik
Latihan ……………………………………..............................................……...............................
Ringkasan …………………………………..................................................................................
Tes 2 ……………………….…………………..…….........................................................................
205
233
237
238
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................................
LAMPIRAN ………………..............................................................................................
242
244
BAB IX: STATISTIKA NON-PARAMETRIK
252
Topik 1.
Konsep Dasar Statistika Non-Parametrik ...............................................................
Latihan …………………………………….........….......................................................................
Ringkasan …………………………………..................................................................................
Tes 1 ……………………….…………………..…….........................................................................
253
257
259
259
Topik 2.
Aplikasi Statistik Non Parametrik
.......................................................................
Latihan ……………………………………..............................................……...............................
Ringkasan …………………………………..................................................................................
Tes 2 ……………………….…………………..…….........................................................................
262
278
282
282
KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................................
LAMPIRAN ..............................................................................................................
287
288
290
vi
 Matematika dan Stastistika 
BAB I
BILANGAN
Rudy Hartono dan Rahmat Kamaruddin
PENDAHULUAN
Dalam menghitung (counting), matematikawan biasanya tidak menghitung jumlah dari
objek-objek dalam suatu koleksi pada suatu waktu, tetapi lebih mencari untuk menentukan
pola-pola dan hubungan di antara objek-objek yang memungkinkan mereka untuk
menghitung dengan cara tidak langsung. Dalam hal ini, menghitung terjadi dalam banyak
bagian dari matematika dan sering melibatkan metode-metode yang cukup canggih.
Pada Bab 1 ini disajikan beberapa topik mengenai bilangan, yang terbagi dalam
beberapa topik yang harus dipelajari sebagai dasar untuk melakukan operasi-operasi dasar
yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.
Topik 1 pada modul ini dibahas secara detail mengenai konsep bilangan, mulai dari
definisi yang paling sederhana sampai ke yang agak rumit. Pada Topik 1 ini juga dibahas
tentang bilangan bulat beserta sifat-sifat bilangan asli N mulai dari sifat tertutup, sifat
komutatif, sifat asosiatif sifat modulus, sifat distributive dan sifat invers.
Topik 2, memuat tentang bilangan pecahan dan pengembangannya serta bilangan
lainnya yang terdiri dari presentase, bilangan desimal, bilangan real, pertidaksamaan dan
nilai mutlak. Pada Topik 2 ini dilengkapi beberapa contoh soal latihan yang harus saudara
selesaikan sendiri.
Secara keseluruhan, setelah mempelajari modul ini, diharapkan anda dapat:
1.
Membuktikan sifat-sifat operasi yang berlaku di antara himpunan-himpunan;
2.
Mengenal/menjelaskan macam-macam bilangan dan operasinya;
3.
Mengerti sifat-sifat operasi yang berlaku;
4.
Mengerti sifat terurut sempurna dalam bilangan asli N ;
5.
Mengerti dan dapat menggunakan prinsip pertidaksamaan;
6.
Mengerti nilai mutlak dan operasinya.
Sebagai bekal/bahan utama dalam memahami bilangan, pelajari bab ini seteliti
mungkin karena Bab 1 ini merupakan modul dasar untuk itu. Ikuti petunjuk, baik pada
contoh, latihan maupun petunjuk jawaban soal latihan. Apabila dalam satu topik masih
belum dipahami, coba ulang kembali dan begitu seterusnya.
1
 Matematika dan Stastistika 
Topik 1
Pengantar Konsep Bilangan
dan Bilangan Bulat
Dalam topik ini akan dibahas materi konsep bilangan dan apa yang kita sebut dengan
bilangan bulat. Untuk mempelajari topik ini, ada baiknya kita perhatikan suatu kejadian
sehari-hari yang terjadi di sekitar kita. Coba perhatikan keadaan berikut:
PENGANTAR KONSEP BILANGAN
Di toko pakaian, Anda membeli 5 barang dengan harga Rp17.000, Rp22.000, Rp18.000,
Rp23.000, dan Rp19.000. Berapa kira-kira Anda harus membayar?
Apakah Rp25.000, Rp50.000, Rp100.000, Rp200.000, atau Rp400.000?
Jika Anda melihat harga setiap barang dan kelima barang tersebut, Anda akan melihat
bahwa setiap barang berharga sekitar Rp20.000. Jadi, total harga akan berkisar Rp20.000 × 5
= Rpl00.000. Jika Anda dapat segera memperkirakan harga tersebut, Anda akan dapat
mendeteksi apakah Anda diminta membayar lebih atau kurang. Jika Anda sulit
memperkirakan harga tersebut, Anda dapat menjadi lebih miskin dengan cepat!
Sekarang, mari kita perhatikan contoh di bidang farmasi:
Seorang pasien dengan berat badan 61 kilogram membutuhkan dosis obat 20 miligram per
kilogram berat badan. Perkirakan berapa total obat yang harus diterima pasien? Apakah 200,
400 600, 800, atau 1200 miligram?
Berat badan pasien sekitar 60 kilogram. Jadi, pasien membutuhkan kurang lebih 20 mg
× 60.(Jika Anda tidak dapat langsung mengalikan 60, kalikan dulu dengan 10, lalu kalikan
dengan 6.) Jika pasien memiliki berat badan 10 kilogram,ia akan membutuhkan 20 mg × 10
=200 miligram.
Dengan demikian, pasien keberatan badan 60 kilogram membutuhkan 200 mg × 6 = 1200
miligram. Jadi, jawaban yang kredibel adalah 1200mg.
Perkiraan yang kredibel bukanlah tebakan asal-asalan, tetapi jawaban yang masuk akal
berdasarkan informasi yang diberikan pada Anda. Dalam kasus ini, jawaban yang benar
tentunya 1260 miligram Namun, kemungkinan Anda membahayakan pasien dengan estimasi
banyak 5% dari jawaban yang benar lebih kecil dibandingkan jawaban dengan tingkat
kesalahan 50%, 100%, atau 900%.
Anda mungkin berpikir tidak mungkin Anda memberikan jawaban dengan tingkat
kesalahan 900%, tetapi dosis yang 10 kali lebih tinggi (overdose) atau 10 kali lebih rendah
(underdose) memberi tingkat kesalahan sebesar itu. Kesalahan semacam ini sering kali
terjadi pada mahasiswa yang sangat bergantung pada kalkulator dan menerima jawaban
kalkulator tanpa berpikir panjang. Karena itu, kami mendorong Anda untuk melatih contohcontoh soal dalam materi pada bagian ini tanpa menggunakan kalkulator. Selanjutnya,
setelah Anda yakin telah menjawab suatu pertanyaan, tanyakan pada diri anda sendiri,
‘Apakah jawaban ini kredibel?’
2
 Matematika dan Stastistika 
Untuk memudahkan anda menyelesaikan masalah seperti di atas, selanjutnya anda
akan mempelajari konsep serta sifat-sifat bilangan untuk membantu anda dalam
menyelesaikan beberapa masalah kefarmasian yang berkaitan dengan materi bilangan
Definisi:
Jika a dan b bilangan asli, maka ada suatu bilangan asli yang ditulis sebagai a  b yang
merupakan jumlah dari a dan b .
Juga ada suatu bilangan asli a  b (atau ditulis sebagai a  b atau ab ) yang merupakan hasil
kali dari a dan b .
Sifat-sifat bilangan asli N :
1.
Sifat tertutup
N dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, karena
jumlah/hasil kali dari setiap 2 (dua) bilangan asli juga merupakan bilangan asli.
Ditulis: Untuk setiap n1 , n2 N,  n1  n2  N dan  n1  n2  N . (notasi  = ada).
2.
Sifat komutatif
Untuk setiap n1 , n2  N berlaku:
n 1  n2  n2  n 1
a.
(komutatif penjumlahan)
b.
3.
b.
5.
(komutatif perkalian)
Sifat asosiatif
Untuk setiap n1 , n2  N berlaku:
b.
4.
n 1  n2  n2  n 1
n
n


1
 n 2  n 3  n1  n 2  n 3
1
 n 2  n 3  n1  n 2  n 3




(asosiatif penjumlahan)
(asosiatif perkalian)
Sifat modulus
Untuk setiap bilangan asli nN berlaku:
n00n
a.
(modulus penjumlahan)
0 adalah bilangan kesatuan untuk penjumlahan, 0 N.
n 1  1 n
b.
(modulus perkalian)
1 adalah bilangan kesatuan untuk perkalian, 1  N .
Sifat distributif
Untuk setiap bilangan asli n  N berlaku:
a.
n1  n2  n 3  n1  n 3  n2  n 3

b.

n1   n2  n3   n1  n2  n1  n3
Catatan (1):
Gabungan dari himpunan bilangan asli N dan bilangan nol, yaitu: N 0   0,1,2,...
disebut himpunan bilangan cacah.
3
 Matematika dan Stastistika 
Definisi:
Sebuah bilangan x disebut negatif (invers penjumlahan) dari bilangan asli a , apabila berlaku
a  x  x  a  0 ditulis x  a .
Himpunan dari semua bilangan negatif di atas, disebut himpunan bilangan bulat negatif atau
x|x  n  n  x  0, n N
I  ..., 3, 2, 1,0,1,2,3,... disebut himpunan bilangan bulat (integer). Semua sifat (1)
sampai dengan (5) di atas berlaku pula untuk I . Untuk I ada tambahan sifat berikut,
6.
Sifat Invers
Untuk setiap a  I , terdapat
a  I
sedemikian sehingga a   a  0
(sifat
invers/berkebalikan dari penjumlahan. Di sini 0  0  0 , sehingga invers dari a nol
adalah nol).
Definisi:
Jika a, b, c adalah bilangan bulat, serta berlaku ab  c , maka a dan b disebut faktorfaktor (pembagi-pembagi) dari c . sedangkan c disebut kelipatan dari a dan dari b .
Definisi:
Suatu bilangan bulat a disebut genap jika salah satu faktor dari a adalah bilangan 2,
atau 2x | x I . Bilangan yang bukan genap disebut ganjil,atau bilangan ganjil adalah
2x  1| x I
8  2  4 ; dimana 4  I , maka 8 genap.
0  2  0 ; dimana 0  I , maka 0 genap.
15  2  7  1 ; di mana 7  I , makal 5 ganjil.
Definisi:
Suatu bilangan bulat positif disebut majemuk (composite)
dinyatakan sebagai hasil kali dua (atau lebih) bilangan bulat positif  1 .
bila
dapat
Definisi:
Suatu bilangan bulat positif disebut prima apabila bilangan itu bukan bilangan 1 (satu),
serta bukan bilangan majemuk. Atau dengan perkataan lain: suatu bilangan asli kecuali
1, yang hanya habis dibagi 1 dan bilangan sendiri disebut bilangan prima.
4
 Matematika dan Stastistika 
Latihan
1)
Hasil dari  12 : 3  8   5 adalah ....
2)
a.
–20
b.
–44
c.
60
d.
–160
Hasil dari 4  10:2   5 adalah ....
3)
a.
–15
b.
35
c.
–29
d.
–5
Hasil dari 10   43  4 adalah ....
4)
a.
–37
b.
–57
c.
–29
d.
–19
Hasil dari 90:  3  4 adalah ....
5)
a.
–120
b.
–60
c.
240
d.
160
Hasil dari 23  3   9 adalah ....
6)
7)
a.
35
b.
–17
c.
29
d.
–11
Suhu tempat A adalah 100oC di bawah nol, suhu tempat B adalah 200oC di atas nol,
dan suhu tempat C adalah tepat di antara suhu tempat A dan tempat B . Suhu tempat
C adalah…
a.
100oC
b.
300oC
c.
0oC
d.
50oC
Dalam kompetisi Matematika, setiap jawaban benar diberi skor 3 , jawaban salah
diberi skor 1 , dan jika tidak menjawab diberi skor 0 . Dari 40 soal yang diujikan, Dedi
menjawab 31 soal, yang 28 soal di antaranya dijawab benar. Skor yang diperoleh Dedi
adalah ….
5
 Matematika dan Stastistika 
a.
b.
c.
d.
81
84
87
93
Petunjuk Jawaban Latihan
1)
2)
Selesaikan terlebih dahulu perkalian dan pembagian, lalu selesaikan penjumlahan dan
pengurangan.
4  10: 2x  5  4  5x  5
6)
tempat A 100oC dibawah nol berarti 100oC
Ringkasan
Anda telah mengingat kembali definisi bilangan, pengantar konsep bilangan, mulai dari
definisi bilangan, sifat-sifat dasar bilangan bulat, dan operasi dasar pada bilangan bulat
sampai pada operasi yang lebih luas yang masih berlaku pada sebarang bilangan. Di akhir
bagian ini, diingatkan kembali mengenai gabungan penggunaan sifat-sifat dasar bilangan
bulat. Materi ini menjadi dasar/pengetahuan bagi materi berikutnya, pada topik berikutnya
maupun modul berikutnya.
Tes 1
1)
Nilai n dari n   8  14 adalah ....
A.
B.
C.
D.
6
–6
22
–22
2)
Hasil dari penjumlahan bilangan 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 64 adalah...
A.
2650
B.
3200
C.
2197
D. 2.080
3)
Seekor lumba-lumba melompat samapai ketinggian 3 meer di atas permukaan air laut,
kemudian turun dan menyelam sampai kedalamn 7 meter. Maka jarak puncak
lompatan dengan kedalaman penyelamatan adalah ....
A.
4 meter
B.
7 meter
6
 Matematika dan Stastistika 
C.
D.
4)
Hasil kali dari bilangan 25   18   10 adalah ....
A.
B.
C.
D.
5)
8 meter
10 meter
–700
700
540
–540
Hasil pemabagian dari bilangan 42: 8   15  adalah ....
A.
B.
C.
D.
8
–6
9
–7
7
 Matematika dan Stastistika 
Topik 2
Bilangan Pecahan dan
Bilangan-Bilangan Lainnya
Definisi:
Jika a bilangan bulat, a  0 , maka terdapat suatu bilangan
Bilangan
1
1
sedemikian sehingga a   1 .
a
a
1
1
disebut kebalikan (invers) dari a , ditulis juga  a 1 .
a
a
Definisi:
Jika a dan b bilangan bulat dan b  0 , maka terdapat sebuah bilangan
a
1
 a  yang disebut
b
b
hasil bagi dan a oleh b .
a disebut pembilang, b disebut penyebut. Jika
a
bukan suatu bilangan bulat, maka ia
b
disebut bilangan pecahan.
Definisi:
Sebagai akibat operasi perkalian, kita dapatkan operasi perpangkatan dan pengakaran.
Bilangan x disebut pangkat n dari bilangan a jika berlaku:
x  a  a  ...  a
n buah
Ditulis juga x  a
n
Definisi :
Bilangan x disebut bilangan akar n dari bilangan a jika berlaku:
a  x  x  x
n buah
ditulis a  x atau x  a
Pecahan menyatakan proporsi dari keseluruhan bagian. Sebagai contoh,Anda memiliki disk
drive dengan kapasitas 400 GB dan Anda menyimpan file sebesar 100 GB pada disk drive
tersebut. Bagian dari kapasitas penyimpanan yang telah digunakan pada disc drive tersebut
dapat ditulis sebagai:
n
n
100
400
Bilangan di atas garis disebut pembilang, sedangkan bilangan di bawah garis disebut
penyebut. Dalam contoh ini, Anda dapat menganggap 100 sebagai ‘proporsi’ dari
8
 Matematika dan Stastistika 
‘keseluruhan’ 400. Jika pembilang lebih besar dan penyebut, pecahan disebut “pecahan
kasar (vulgar fraction)”. Sebagai contoh,
18
4
A.
MACAM-MACAM PECAHAN
1.
Pecahan Setara
100
perhatikan bahwa jika Anda mengalikan
400
(atau membagi) pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama, pecahan akan tetap
bernilai sama.
100 200
1

Jadi,
(karena kita mengalikan bilangan atas dan bawah dengan 2). Pecahan ini
400 800
4
juga ekuivalen karena sekarang kita membagi pembilang dan penyebut dengan 200.
Perhatikan bahwa dalam modul ini, Anda mungkin akan menemukan pecahan yang agak
25
“jelek”, seperti
. Berdasarkan pengalaman, mahasiswa sering kali merasa ngeri jika
0,01
Jika Anda melihat contoh sebelumnya,
diminta mengevaluasi pecahan semacam ini. Untuk mengevaluasi pecahan ini, prinsipnya
sama dengan sebelumnya, yaitu kalikan bilangan atas dan bawah pecahan hingga diperoleh
bilangan bulat yang mudah ditangani. Perkalian 10 biasanya paling membantu.
25 250 2500
Jadi,


 2500 (tiap kali kita mengalikan atas dan bawah dengan 10).
0,01 0,1
1
2.
Menyederhanakan Pecahan
Soal pecahan biasanya lebih mudah dikerjakan apabila pembilang dan penyebut
bernilai sekecil mungkin. Nilai tersebut diperoleh dengan membagi pembilang dan penyebut
dengan bilangan yang sama berulang kali untuk memperoleh bilangan bulat yang lebih kecil
sampai proses pembagian tidak dapat diulangi lagi. Biasanya lebih mudah untuk mencoba
membagi pembilang dan penyebut dengan bilangan-bilangan kecil, seperti 2, 3, 4, 5, atau 10.
Contoh 1.2.1:
Sederhanakan
24
sesederhana mungkin.
96
Jawab :
a.
Perhatikan pembilang dan penyebut,serta periksa apakah keduanya dapat langsung
dibagi.
b.
Ulangi sampai diperoleh pecahan yang paling sederhana.
Karena 24 dan 96 merupakan bilangan genap, keduanya dapat dibagi 2.
9
 Matematika dan Stastistika 
Jadi,
24 12 6
3



96 48 24 12
Sekarang pembilang dan penyebut dapat dibagi 3 maka
3 1
 . Pecahan kini berada dalam
12 4
bentuk paling sederhana.
B.
PRESENTASE DAN BILANGAN DESIMAL
1.
Persentase
Seperti pecahan, persentase juga menyatakan proporsi dan keseluruhan bagian.
Sebagai contoh, 90% mahasiswa lulus ujian, ini berarti 90 dari 100 mahasiswa yang ikut ujian
berhasil lulus. Perhatikan bahwa “kese1uruhan” di sini tidak harus 100. Jika mahasiswa yang
ikut ujian sebanyak 200 orang dan yang lulus 180 orang, persentase yang lulus juga 90%.
2.
Desimal
Desimal adalah cara untuk menyatakan bilangan yang (biasanya) tidak bulat. Tanda
koma digunakan untuk memisahkan bilangan bulat dan bagian desimal yang tidak bulat.
Sebagai contoh, 1,25 gram obat berarti kita memiliki 1 gram obat, ditambah dua per sepuluh
dari 1 gram, dan ditambah 5 per seratus dari 1 gram. Perhatikan jika satu-satunya angka
sebelum koma adalah nol, kita sedang menghitung suatu nilai yang kurang dan satu. Sebagai
contoh. 0,25 gram obat berarti kurang dari 1 gram dan menyatakan dua per sepuluh dan
lima per seratus dari 1 gram seperti sebelumnya.
3.
Konversi antara Pecahan dan Desimal
Setiap desimal (atau setiap bilangan bulat) dapat dikonversi menjadi pecahan hanya
dengan meletakkan bilangan desimal itu di atas penyebut 1.
Contoh 1.2.2:
Ubah 0,25 menjadi pecahan paling sederhana
Jawab:
a. Tulis 0,25 sebagai desimal.
b.
Buat pecahan setara dengan mengalikan bilangan atas dan bawah dengan 10 sampai
tanda koma desimal hilang.
c.
Sederhanakan pecahan tersebut dengan pembagian.
Dengan demikian, 0,25 dapat ditulis menjadi 0,25 1 . Sekarang, evaluasi pecahan ini seperti
cara yang dijelaskan sebelumnya: 0,25 1  2,5 10  25 100 = (bilangan atas dan bawah
dikali 10)
Anda tentu dapat melihat bahwa pecahan ini mudah disederhanakan: 25 100  5 10  1 4
(bilangan atas dan bawah dibagi 5)
10
 Matematika dan Stastistika 
Pengubahan pecahan menjadi desimal dapat dilakukan dengan membagi pembilang dengan
penyebut. Pembilang mungkin perlu ditulis sebagai desimal dengan memberikan satu atau
lebih angka nol setelah koma untuk dapat melakukan pembagian.
Contoh 1.2.3:
Nyatakan 2 5 dalam bentuk desimal
Jawab:
Cobalah langsung membagi pembilang dengan penyebut. Jika pembilang lebih kecil dari
penyebut, tulis pembilang sebagai desimal dengan satu atau lebih angka nol setelah tanda
koma untuk dapat melakukan pembagian.
Jadi, tulis 2,0 dan bagi dengan 5, Anda akan memperoleh 0,4. Anda juga dapat menulis
2,00 dibagi lima dan memperoleh jawaban 0,40 yang setara dengan 0,4. Pada sejumlah
kasus, Anda tidak akan mendapat jawaban yang berakhir dengan nol dan Anda dapat
menulis jawaban dalam waktu yang tidak terbatas. Sebagai contoh, jika Anda menyatakan
1/3 dalam bentuk desimal, jawabannya adalah 0,33333... dan seterusnya. Dalam modul ini,
kebanyakan jawaban akan diberikan dalam dua tempat desimal (jumlah digit setelah tanda
koma), kecuali proses pembagian dapat diselesaikan dengan sempurna tanpa hasil sisa.
Sebagai contoh, jika Anda menyatakan 1/8 dalam bentuk desimal, Anda akan memperoleh
hasil tepat 0,125.
4.
Konversi Antara Pecahan dan Persentase
Konversi pecahan menjadi persentase sangat mudah dilakukan, yaitu hanya dengan
mengalikan pembilang dengan 100 dan mengevaluasi pecahan tersebut seperti
sebelumnya,lalu hasilnya diberi tanda %.
Contoh 1.2.4:
Nyatakan 4 5 dalam bentuk persentase
Jawab:
a.
Kalikan pembilang dengan 100.
b.
Evaluasi pecahan sebagai bilangan (atau desimal).
c.
Beri tanda % setelah nilai hasil.
Jadi, 4 5 menjadi 400 5  80 . Dengan demikian, hasilnya adalah 80%. Perhatikan bahwa
persentase dapat mengandung desimal. Sebagai contoh, 305 100  3,05% .
Konversi persentase menjadi pecahan juga sangat sederhana. Bagi bilangan dengan 100, lalu
nyatakan pecahan dalam bentuk paling sederhana.
Contoh 1.2.5:
Nyatakan 55% dalam bentuk pecahan
11
 Matematika dan Stastistika 
Jawab:
a.
Bagi bilangan dengan 100.
b.
Sederhanakan pecahan.
Jadi, 55% menjadi 55 100 . Jika kita sederhanakan, pecahan ini menjadi 11 20 yang
tidak dapat disederhanakan lebih lanjut
5.
Konversi Antara Desimal dan Persentase
Cara paling cepat untuk mengonversi desimal menjadi persentase adalah dengan
mengalikan bilangan desimal tersebut dengan 100.lalu memberikan tanda % setelah hasil.
Contoh 1.2.6:
Nyatakan 0,6 dalam bentuk persentase
Jawab:
a.
Kalikan dengan 100.
b.
Beri tanda %.
0,6 dikali 100 adalah 60%.
Pengubahan persentase menjadi desimal dapat dilakukan hanya dengan membalikkan
tahapan di atas.
Contoh 1.2.7:
Nyatakan 12% dalam bentuk desimal
Jawab:
Bagi dengan 100.
12
 0,12
Jadi, 12% =
100
Dalam contoh ini, kita dapat menyederhanakan pecahan itu menjadi
3
. Namun,
25
pembagian 100 lebih mudah daripada 25.
Catatan (2):
Bilangan pecahan dapat ditulis dalam bentuk desimal. Uraian desimalnya selalu berakhir
atau berulang.
5
Misalnya: 1 2  0,5 (artinya 1 2  0  ).
10
21 50  0,42 artinya 21 50  0  4 10  2 100 .
2 7  0,285714285714.... angka 285714 berulang  .
Definisi:
Gabungan himpunan bilangan bulat dan himpunan bilangan pecahan disebut himpunan
bilangan rasional Q . Kita dapat mendefinisikan bilangan rasional sebagal bilangan yang
12
 Matematika dan Stastistika 
dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua buah bilangan bulat. Bilangan irrasional (nonrasional) adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari 2 buah bilangan
bulat atau bilangan yang uraian desimalnya tidak pernah berulang.
Contoh 1.2.8 :
2  1,4142
  3,1415
e  2,7182..... (bilangan Euler yang merupakan bilangan pokok logaritma natural).
Gabungan himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional disebut himpunan
bilangan nyata (real) R , atau R# .Bilangan yang mengandung faktor satuan khayal I disebut
bilangan khayal (imajiner), di mana i  1 (satuan khayal, i  i  i 2  1 ). Bentuk umumnya
ai , a  R # .
Misalnya 54i ,  2i , dan i  2 .
Bilangan Real
Kita buat sebuah garis lurus. Ambil titik 0 sebagai titik awal (titik nol) yang menyatakan
bilangan nol. Kita buat peraturan bahwa titik-titik di sebelah kanan 0 menyatakan bilanganbilangan positif, di sebelah kiri 0 menyatakan bilangan-bilangan negatif. Kemudian kita
tentukan satuannya (unit). Garis ini disebut garis bilangan real (atau garis bilangan) yang
merupakan sistem koordinat pada garis lurus (dimensi satu) dan digambarkan sebagai
berikut:
Setiap bilangan real dapat dinyatakan oleh satu dan hanya satu titik pada garis bilangan dan
setiap titik pada garis bilangan menyatakan satu dan hanya satu bilangan. Semua sifat yang
berlaku pada himpunan bagian dari R# , juga berlaku pada R# .
Misalnya sifat ke-6 adalah:
Untuk setiap a R# , terdapat  a R# , sehingga a   a  0, a  (a)  0 .
Untuk setiap a  0 dan a  R # , terdapat 1 a  R # , sehingga a  1 a  1 .
Pertidaksamaan
Definisi:
a bilangan real,
a  0  a positif ( > dibaca “lebih besar”)
a  0  a negatif ( > dibaca “lebih kecil”)
(  artinya jika dan hanya jika, artinya berlaku baik dibaca dari arah kiri maupun kanan. Jadi
bila definisi di atas dibaca : jika a  0 maka a positif , dan jika a positif, maka a  0 ).
13
 Matematika dan Stastistika 
Kemudian jika a dan b bilangan real, maka :
a  b  a  b  0 (definisi lebih besar) serta
a  b  a  b  0 (definisi lebih kecil)
abba
pada garis bilangan : jika a  b maka a terletak di sebelah kanan b . notasi : a  b artinya a
lebih kecil atau sama dengan b .
Sifat-sifat :
1)
Jika a, b R , maka salah satu dari pernyataan ini benar :
a b;
a)
b) a  b ;
c) a  b
2)
Jika a  0 dan b  0 , maka a  b  0 dan ab  0 .
3)
Sifat transitif :
Jika a  b dan b  c , maka a  c atau jika a  b dan b  c , maka a  c .
4)
Jika a  b dan c bilangan real sebarang, maka a  c  b  c
5)
Jika a  b dan c  d , maka a  c  b  d
a  0 jika dan hanya jika  a  0
6)
a  0 jika dan hanya jika  a  0
7)
8)
Jika a  0 dan b  0 , maka ab  0
a  0 dan b  0 , maka ab  0
a  0 dan b  0 , maka ab  0
Jika a  b dan c  0 , maka ab  bc
Jika a  b dan c  0 , maka ab  bc
Contoh 1.2.9 :
Selesaikan pertidaksamaan : x2  5x  24  0 .
Harga nol dari x2  5x  24  0 adalah x1  8 dan x2  3 .
Sebut x 2  5x  24  y , maka
y  0 untuk  3  x  8
y  0 untuk x  3 atau x  8
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan di atas adalah nilai-nilai x yang memenuhi
3  x  8 atau dapat ditulis sebagai himpunan x |3  x  8 .
Catatan (3):
Interval (selang):
Bilangan a dan b adalah bilangan real dan a  b , maka himpunan bagian dan R# adalah:
A1  x |a  x  b
A2  x |a  x  b
A3  x |a  x  b
interval buka
interval tutup-buka
interval tutup
14
 Matematika dan Stastistika 
A4  x |a  x  b
Notasi lain adalah:
interval buka-tutup
A2  a, b
A1   a, b
A3  a, b
A4   a, b
Catatan (4):
Interval-interval tak hingga.
A  x |x  a  x |  x  a   ,a 
B  x | x  a  x |a  x    a,  B
C  x | x  a  x |  x  a   ,a
D  x | x  a  x |a  x    a, 
E  x | x  R #   x |  x     ,  
Dimana a suatu bilangan real
A, B, C , D, dan E disebut interval tak hingga.
Harga Mutlak
Harga mutlak (absolut) dan suatu hilangan real didefinisikan sebagai:
 a jika a  0
a 
a jika a  0
misalnya: 3  3, karena 3  0
2    2  2, karena  2  0
3 2  


3  2  2  3, karena


3 2  0
Sifat-Sifat Harga Mutlak
Jika a, b  R # , maka :
1)
|a|  0
2)
|a|  |a|
3)
4)
5)
6)
a2  |a|
|a|  b jika dan hanya jika  b  a  b, dimana b  0
|a|  b jika dan hanya jika a  b, atau a  b
|a  b|  |b  a|
15
 Matematika dan Stastistika 
7)
8)
9)
10)
11)
12)
|a  b|  |b  a|
a a
  , b0
b b
|a  b|  ||a||b||
|a  b|  |a||b|
|a  b|  ||a||b||
|a  b|  |a||b|
Contoh 1.2.10 :
|2x  3| 7
Berarti :
7  2 x  3  7  10  2 x  4  5  x  2
Latihan
1)
Bentuk sederhana dari
a.
b.
c.
d.
2)
3)
4)
5)
96
adalah ....
360
8
15
8
30
16
30
4
15
Bentuk persen dari bilangan-bilangan pecahan
8 1 8
; ;
; 0,36 berturut-turut
25 4 50
adalah ...
a.
32%, 25%, 16%, 36%
b.
36%, 25%, 16%, 32%
c.
25%, 16%, 32%, 36%
d.
16%, 32%, 36%, 25%
Toko A memberikan potongan harga 20% setiap penjualan barang, untuk pembelian
sepasang sepatu, Raisa membayar kepada kasir sebesar Rp40.000,00. Harga sepasang
sepatu sebelum mendapat potongan harga adalah …
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x2  x  6  0 adalah ....
2  x  3
a.
x  2 atau x  3
b.
x  2 atau x  3
c.
2  x  3
d.
Selesaikan pertidaksamaan 2x  5 | x  4 adalah ....
16
 Matematika dan Stastistika 
a.
b.
c.
d.
6)
 1

x  x  4
 3

x 3  x  4

x


x

1

 x  3
3

1

 x  3
4

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
a.
b.
c.
d.
x 2  x  4
x 3  x  4
x 1  x  4
x 1  x  4
2x  1
 7 adalah ....
x 3
Petunjuk Penyelesaian Soal
1)
2)
Untuk menyederhanakan, pembilang dan penyebut bagikan dengan KPK kedua
bilangan tersebut
Kalikan dengan 100%
Ringkasan
Sampai di sini saudara telah mengingat kembali jenis-jenis bolangan, terdiri dari aturan
bilangan pecahan, dan bilangan-bilangan lainnya, bilangan real,pertidaksamaan,dan harga
mutlak. Selain itu, presentase dan bilangan desimal juga telah dibahas, mulai dari konversi
bilangan desimal ke presentase serta konversi persentase ke bilangan desimal. Dengan bekal
ini, diharapkan topik-topik berikutnya yang memanfaatkan pengertian bilangan itu dan sifatsifatnya dapat teratasi dengan baik.
Tes 2
1)
Bentuk pecahan dari 45 menit dari 1 jam adalah ....
3
A.
bagian dari 1 jam
4
1
B.
bagian dari 1 jam
2
1
C.
bagian dari 1 jam
3
17
 Matematika dan Stastistika 
D.
2)
Pecahan yang senilai dengan pecahan
A.
B.
C.
D.
3)
2
bagian dari 1 jam
3
9
40
9
38
12
56
12
72
Susunan deretan pecahan
A.
B.
C.
D.
3
adalah ....
14
7
11
, 1,
dalam urutan naik (dari kecil ke besar) adalah ....
8
12
7
11
, 1,
8
12
7 11
,
,1
8 12
11 7
1,
,
12 8
11 7
, ,1
12 8
4)
Dua per lima dari penduduk suatu kota adalah laki-laki. Jika banyak penduduk kota
tersebut 8 juta jiwa, tentukan banyak laki-laki!
A.
3.200.000 jiwa
B.
1.600.000 jiwa
C.
4.000.000 jiwa
D. 3.000.000 jiwa
5)
Bentuk persen dari dari bilangan
A.
B.
C.
D.
2
adalah ....
15
35 %
1
%
3
1
13 %
3
13%
18
 Matematika dan Stastistika 
Kunci Jawaban Tes
Tes 1
1)
B
2)
D
3)
D
4)
A
5)
B
Tes 2
1)
A
2)
C
3)
B
4)
A
5)
C
19
 Matematika dan Stastistika 
Daftar Pustaka
Ayu Laraswati. 2013. Pengertian Bilangan Desimal Otal dan Biner. (online) Diakses pada
tanggal 10 Juni 2014
http://ayularasswati.wordpress.com/2013/09/16/pengertian-bilangan-desimal-oktaldan-biner/
Ainul Wicaskono. 2012. Tugas Matematika Bilangan Bulat dan Ganjil. (online) Diakses pada
tanggal 10 Juni 2014
http://ainulwicaksono.blogspot.com/2012/10/tugas-matematika-bilangan-bulatganjil.html
Anonymous. 2010. Rumus Bilangan Ganjil dan Rumus Bilangan Genap. (online) Diakses
pada tanggal 10 Juni 2014
http://asimtot.wordpress.com/2010/07/25/rumus-bilangan-ganjil-dan-rumusbilangan-genap/
Anonymous. 2010. Bilangan Ganjil dan Bilangan Genap. (online) Diakses pada tanggal 10
Juni 2014
http://asimtot.wordpress.com/2010/06/09/bilangan-ganjil-dan-bilangan-genap/
20
 Matematika dan Stastistika 
BAB II
FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA
Rudy Hartono dan Rahmat Kamaruddin
PENDAHULUAN
Dalam ilmu pengetahuan dan teknologi maupun kehidupan sehari-hari , fungsi
eksponen dan logaritma sering kali digunakan untuk mendeskripsikan suatu peristiwa
pertumbuhan maupun peluruhan. Misalnya uang yang diinvestasikan di sebuah bank,
peluruhan zat radioaktif, pertambahan penduduk dan lain sebagainya. Hal ini dikarenakan
logaritma merupakan invers (kebalikan) dari eksponen. Logaritma juga digunakan untuk
memecahkan masalah eksponen yang sulit dicari akar-akar atau penyelesaiannya.
Pada Bab 2 ini anda akan mempelajari sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma dalam
pemecahan masalah. Untuk mempelajari modul ini, Anda diharapkan telah memahami
pangkat/eksponen, persamaan kuadrat, penyelesaian persamaan kuadrat, menggambar
kurva suatu persamaan kuadrat, trigonometri.
Pada Topik 1 pada modul ini, dibahas mengenai definisi fungsi eksponen dan sifatsifatnya serta penggunaannya dalam pemecahan masalah. Pada Topik 2 diperkenalkan
fungsi logaritma, sifat-sifatnya serta operasi-operasi penggunaannya.
Setelah menyelesaikan modul ini, diharapkan Anda mampu menggunakan konsep
fungsi eksponen dan logaritma untuk menyelesaikan persoalan-persoalan matematis. Secara
sistematis, Anda diharapkan mampu :
1.
Menjelaskan sifat-sifat fungsi eksponen
2.
Menjelaskan sifat-sifat logaritma
3.
Menjelaskan bentuk- bentuk persamaan eksponen dan logaritma beserta fungsinya
4.
Menjelaskan bentuk-bentuk pertidaksamaan eksponen dan logaritma.
5.
Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah.
Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada.
Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang
terkait atau jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, tanyakan
kepada tutor pendamping Anda.
21
 Matematika dan Stastistika 
Topik 1
Keterlibatan Mahasiswa
Dalam Topik 1 ini akan dibahas materi perpangkatan/eksponen bilangan bulat. Untuk
mempelajari bagian modul ini, ada baiknya kita ingat kembali sifat-sifat bilangan berpangkat
rasional. Bilangan berpangkat merupakan prasyarat mempelajari persamaan eksponen,
fungsi eksponen dan fungsi logaritma. Untuk mengingat kembali tentang bilangan eksponen,
perhatikan beberapa sifat berikut.
A.
1.
PENGERTIAN FUNGSI EKSPONEN
Jika a dan b bilangan real, p dan q bilangan rasional maka berlaku hubungan sebagai
berikut :
1
ap  p
7.
ap  aq  apq
a
pq
2.
3.
a :a a
(a p )q  a pq
4.
(ab)  a .b
p
q
p
p
p
p
a a 

   p
b b 
1
ap  p a  0 
a
p
q
8.
9.
a  ap
p
ab  p a  p b
10.
p
11.
a0  1
q
a pa

b pb
p
5.
6.
Pada modul ini akan lebih mendalami tentang perpangkatan yang pangkatnya
merupakan suatu fungsi. Bentuk perpangkatan yang pangkatnya merupakan suatu fungsi
disebut fungsi eksponen.
Fungsi eksponen banyak manfaatnya dalam kehidupan. Misalnya dalam peluruhan
radioaktif, pertumbuhan tanaman, perhitungan bunga tabungan di Bank dan sebagainya.
B.
PERSAMAAN FUNGSI EKSPONEN DAN PENERAPANNYA
1.
Bentuk a f ( x )  1
Jika a f ( x )  1 dengan a  0 dan a  0 , maka f  x   0
Seperti apakah contoh dan cara menyelesaikan persamaan fungsi eksponen berbentuk
f x
a f ( x )  1 ? Ya, perlu Anda ketahui bahwa: a    1 dengan a  0 , dan a  0 , maka
f  x   0 . Perhatikan contoh berikut ini!
22
 Matematika dan Stastistika 
Contoh 2.1.1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari: uu
35x10  1
Jawab:
35 x 10  1
35 x 10  30
5x  10  0
5x  10
x 2
2.
Bentuk a f ( x )  ap
Jika a f ( x )  ap dengan a  0 dan a  0 , maka f  x   p
Contoh 2.1.2 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
a.
52 x1  625
1
22 x  7 
b.
32
Jawab :
a.
52 x1  625
52 x1  53
2x  1  3
2 x  4 , jadi x  2
1
22 x  7 
b.
32
2 x7
2
 25
2 x  7  5
2x  2
x 1
3.
Bentuk a f  x   ag x 
Jika a f  x   ag x  dengan a  0 dan a  0 , maka f  x   g  x 
Contoh 2.1.3 :
2
2
9 x  x  27x 1
a.
b.
25X 2   0,2
1 X
23
 Matematika dan Stastistika 
Jawab:
2
2
9 x  x  27x 1
a.
32( x  x )  33( x 1)
2  x 2  x   3x 2  3
2
2
2x2  2x  3x2  3
x 2  2x  3  0
 x  3 x  1  0
x  3 x  1
Jadi HP = 1,3
b.
25x 2   0,2
1 x
52 x 2  511 x 
2 x  4  1  x
2 x  x  1  4
x  5
Jadi HP = 5
4.
Bentuk a f ( x)  b f ( x )
Jika a f ( x)  b f ( x ) dengan a  0 dan a  1 , b  0 dan b  1 , dan a  b maka f  x   0
Contoh 2.1.4:
6x 3  9x 3
Jawab:
6x 3  9x 3
x 3 0
x 3
Jadi HP = 3
5.
Bentuk A(a f ( x ) )2  B(aF ( x ) )  C  0
Dengan memisalkan a    p , maka bentuk persamaan di atas dapat diubah menjadi
persamaan kuadrat : Ap2  Bp  C  0
f x
Contoh 2.1.5 :
22 x  2x3  16  0
Jawab :
22 x  2 x 3  16  0
22 x  2 x  23  18  0
Dengan memisalkan 2 x  p , maka persamaan menjadi
24
 Matematika dan Stastistika 
p2  8 p  16  0
 p  4  p  4   0
p4
Untuk p  4  2x  4
2x  22
x 2
Jadi HP = 2
Latihan
1)
Bentuk
a.
b.
c.
d.
2)
3)
3n1  3n
dapat disederhanakan menjadi …
3n  3n1
3
4
3
2
5
4
4
3
 x 1  y 1 
 1 1 
 x y 
yx
a.
yx
xy
b.
xy
yx
c.
yx
xy
d.
xy
Jika
a.
b.
c.
d.
1
dalam bentuk pangkat adalah …
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
a  2  7 dan a  2  7, a  b  4ab 
28
30
32
34
25
 Matematika dan Stastistika 
4)
Jika x 
a.
b.
c.
d.
5)
1
x 4  x 3  x 2
maka nilai 6

4
x  x 5  x 4
1
16
1
8
1
2
4
Nyatakan bentuk berikut dalam pangkat positif dan bentuk akar,
x 1  y 1
1
2
x y
a.
x y
xy
b.
y x
xy
c.
x y
xy
d.
xy

y x

6)
Diketahui 2x  2 x  5 . Nilai 22 x  22 x  ….
a.
23
b.
24
c.
25
d.
26
7)
Jika
a.
b.
c.
d.
8)
Nilai
a.
b.
c.
d.
1
2
2 3
 p  q 6 dengan p dan q bilangan bulat, maka p  q  ....
2 3
3
2
-2
-3
x yang memenuhi persamaan 2x 525 x  64 adalah ....
-2
-1
0
1
26

 Matematika dan Stastistika 
Ringkasan
Pada topik ini, kita telah mempelajari persamaan eksponen dan fungsi eksponen
dengan menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dalam menyelesaikan persamaan
eksponen. Fungsi eksponen f dengan bilangan pokok a ( a konstan) adalah fungsi yang
didefenisikan dengan rumus : f  x   ax , a  0 dan a  1
Tes 1
1)
Nilai dari x agar 32 x  3  0 ....
A.
1
1
B.
2
1
C.
3
1
D.
4
2)
Nilai
A.
B.
C.
D.
3)
4)
5)
x dari persamaan 35 x 1  27x 3  0 ....
5
6
7
8
Cari himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen 32 x 2  8  3x  1  0
A.
2
B.
-1
C.
0
D. -2
Jika f  x   2x 1 tentukan nilai dari f  3 dan f  3 ....
1
A.
2
B.
0,25
C.
0,125
D. 25
Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut.
1
3
252 x 1 
1252 x
27
 Matematika dan Stastistika 
A.
B.
C.
D.
½
5/2
5/3
5/4
28
 Matematika dan Stastistika 
Topik 2
Persamaan Fungsi Logaritma
Pengertian logaritma sebagai invers (kebalikan) dari perpangkatan, dapat dijelaskan
melalui pembahasan berikut ini:
Contoh 2.2.1:
1.
24  2  2  2  2  16
2.
103  10  10  10  1000
Dari contoh di atas tampak bahwa apabila bilangan pokok dan pangkatnya diketahui maka
dapat ditentukan hasil perpangkatannya. Nah! Permasalahannya adalah bagaimana cara
menentukan pangkat, apabila bilangan pokok dan hasil perpangkatannya diketahui:
Misal :
1.
Berapa n , jika 2n  16
2.
Berapa x , jika 10x  1000
Jawaban permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan cara yang disebut logaritma.
Nilai n atau x tersebut ditentukan sebagai berikut:
1.
2n  16 maka n  2 log16  2 log24  4
2.
10x  1000 maka x  10 log1000  10 log103  3
Sekarang terlihat bahwa antara logaritma dan perpangkatan terdapat hubungan, yaitu
bahwa logaritma merupakan invers ( kebalikan) dari perpangkatan, sehingga dapat
didefinisikan sebagai berikut :
Definisi :
Logaritma suatu bilangan x dengan bilangan pokok a (ditulis a log x ) adalah eksponen
bilangan berpangkat yang menghasilkan x jika a dipangkatkan dengan eksponen itu.
Dirumuskan :
a
log x  n artinya x  an untuk a  0; a  1 dan x  0
a disebut bilangan pokok
x disebut bilangan logaritma atau numerus dengan x  0
n disebut hasil logaritma atau eksponen dari basis
Untuk lebih memahami konsep ini ikutilah contoh-contoh berikut ini dengan teliti agar kamu
tidak menemui hambatan di kemudian hari .
Contoh 2.2.2 :
Nyatakan dalam bentuk logaritma:
29
 Matematika dan Stastistika 
1.
2.
3.
34  81
1
3
2  23
0,001  103
Jawab:
34  81  3 log81  4
1.
1
1
3
2  2 3  log 3 2 
2.
3
3
10
0,001  10  log0,001  3
3.
Nyatakan dalam bentuk pangkat
5
log25  2
1.
1
3
log  3
2.
27
a
log b  c
3.
Jawab:
5
log25  2  25  52
1.
1
1
3
log  3 
 33
2.
27
27
a
log b  c  b  ac
3.
Tentukan nilai logaritma berikut!
2
log32
1.
2.
3.
3
log3 3
1
2
log 2
2
Jawab :
2
log32  2 log25  5
1.
3
3
2
2.
3
log3 3  3 log3 2 
3.
2
log
A.
SIFAT-SIFAT LOGARITMA
1
1
1
2  2 log2 2  
2
2
Ada 7 (tujuh) sifat pada logaritma ini yang akan membantu kamu dalam memecahkan
masalah yang berkaitan dengan logaritma yaitu:
30
 Matematika dan Stastistika 
Sifat 1
a
log x  a log y  a log xy
Contoh 2.2.3:
Sederhanakanlah !
2
1.
log4  2 log8
1
3
log  3 log81
2.
9
2
log2 2  2 log 4 2
3.
Jawab :
2
log4  2 log8  2 log4  8  2 log32  5
1.
1
1
3
log  3 log81  3 log  81  3 log9  2
2.
9
9
2
2
log2 2  log 4 2  2 log2 2  4 2  2 log16  4
3.
Sifat 2
a
log x  a log y  a log
x
y
Contoh 2.2.4 :
Sederhanakanlah!
2
log16  2 log8
1.
2.
log1000  log100
3
log18  3 log6
3.
Jawab :
1.
2.
3.
16 2
 log2  1
8
1000
log1000  log100  log
 log10  1
100
18
3
log18  3 log6  3 log  1
6
2
log16  2 log8  2 log
Sifat 3
a
log x n  n  a log x
31
 Matematika dan Stastistika 
Contoh 2.2.5 :
Sederhanakan!
1.
2log3  4log3
2.
2log a  2log b
Jawab:
2log3  4log3  log32  log34
1.
 log9  log81
 log9  81
 log729
2.
2log a  2log b  log a2  log b2
 log a2  b2
 log  ab 
2
Ingat :
1.
log2 x  log x  log x  log x 
2
log x 2  2log x
Jadi log2 x  log x 2
1
2.
log 1 x 
log x
1
log x 1  log   log x
x
1
Jadi log x  log x 1
Sifat 4
1.
2.
c
log x
log a
1
g
log a  a
log g
a
log x 
c
Contoh 2.2.6:
3
log7  7 log81
Jawab :
1.
3
log7 log81

log3 log7
log 34
=
log 3
log7  7 log81 
32
 Matematika dan Stastistika 
4log3
4
log3
1
3
log7  7 log81  7
 7 log81
log3
7
log34 log34

= 7
log3 log3
= 3 log34  4
=
2.
Sifat 5
a
a
log x
x
Contoh 2.2.7 :
1.
4
2
log5
3
3
2.
 22 
log2
2
log5
 
 3
1
2
3
log2
Jawab :
1.
4
2
log 5
3
2.
3
 22 
log2
2
log 5
 
1
 32
3

 2
log2
2

log 5
 3
3

2
log2
 52  25

1
2
1
 32  3
Sifat 6
Perhatikan uraian berikut untuk menunjukkan sifat 6 logaritma ini :
n
log am m  log a m p
a p log am 


log a
1.
log pn n  log p n
2.
Jika m  n maka diperoleh:
log an n.log a p
pn
log am 

 log a
log pn n.log p
Sehingga dapat disimpulkan bahwa :
Untuk p dan a bilangan real positif p  1 maka:
m
pn
log a m  p log a
n
pn
log an  p log a
Jika numerus dan bilangan pokok dipangkatkan dengan bilangan yang sama maka hasilnya
tetap.
33
 Matematika dan Stastistika 
Contoh 2.2.8 :
Hitunglah !
8
log16
1.
8
log64
2.
3.
Jika 3 log5  a hitunglah
25
log27
Jawab :
1.
2.
3.
42
4
4
log2   1 
3
3
3
3
6
4
6
8
log64  2 log26  2 log2   1   2
3
3
3
3
log5  a , maka :
2
3
3 1
3 1 3
25
log27  5 log33   5 log3   3
  
2
2 log5 2 a 2a
8
3
log16  2 log24 
Sifat 7
Perhatikan uraian di bawah ini!
Misalkan n  p log a , maka a  pn , oleh karena n  p log a , maka pn  p
a  pn ) sehingga disimpulkan :
Untuk p dan a bilangan real p  1 maka p
p
log a
a
Contoh 2.2.9:
Sederhanakan !
1.
2.
10log x
3.
27
9
3
2
log a
9
log b
Jawab :
2
10
2
10log x  10 log x  x 2
1.
2.
9
3
log a
9
3.
27
9
log b
32
log a2
9
9
2
  33  


3
3
=  2x 4
2
1
= 9

9
log a2
9
log b
 3 
 
3
2
9
log b
 4  am    an 

3
log b
 a2
n
4
  32  


3
9
log b
m
3
= b 4 sifat 7
=
4
b3 mengubah eksponen ke akar
34
p
log a
 a (karena
 Matematika dan Stastistika 
B.
MENGGUNAKAN TABEL LOGARITMA
1.
Mencari hasil logaritma menggunakan daftar logaritma
N
0 1 2
3 4 5 6
0
.
.
721
7 8 9
.8530
log721,8  2,8530
log72,18  1,8530
log7,218  0,830
Hasil penghitungan logaritma dari satu bilangan akan diperoleh bagian desimal. Bagian
bulat di sebut karakteristik/induk yang diperoleh dari perhitungan, sedang bagian desimal
disebut matise diperoleh dari tabel logaritma. Bilangan pokok pada daftar adalah 10.
Untuk menentukan logaritma bilangan yang lebih besar dari 10 atau antara 0 dan 1
dapat dilakukan dengan cara bilangan itu diubah dalam bentuk baku : a 10n , dengan
1  a  10 dan n bilangan bulat, sehingga :
log  a  10n   log a  log10n
 n  log a
Contoh 2.2.10 :
1.
log34000  log  3,4  104 
 log3,4  log10 4  dari tabel log 4,4  0,5315
 0,5315  4
 4,5315
2.
log0,284  log 2,84  102 
 log2,84  log10 2  dari tabel log2,84  0,4533
 0,4533  2
Anti Logaritma
Yaitu mencari bilangan logaritma jika diketahui hasil logaritma
N
0 1 2
3 4 5 6
0
.
.
721
7 8 9
.8759
35
 Matematika dan Stastistika 
Contoh 2.2.11 :
log x  0,8759  x  7,515
Misalnya, carilah nilai x dengan menggunakan daftar logaritma dari 2x  10
Jawab :
log2x  log10 Dari daftar
x log2  log10 log2  0,3010
log10
x
log2
1
x
 3,322
0,3010
C.
OPERASI PADA LOGARITMA
1.
Operasi Perkalian
log a  b  loga logb
Contoh 2.2.12:
Hitunglah 6,28 × 2,536
Jawab:
Jika p  6,28  2,536
log p  log 6,28  2,536
log p  log6,28  log2,536  1,2021
Jadi, p  antilog 1,2021  15,926
2.
Operasi Pembagian
log
a
 log a  log b
b
Contoh 2.2.13:
Hitunglah 325,6 : 48,5
Jawab:
Jika p  325,6: 48,5
log p  log 325,6: 48,5
36
 Matematika dan Stastistika 
log p  log325,6  log48,5
 2,5127  1,6857
 0,8270
Jadi, p  anti log0,8270  6,7
3.
Operasi Akar dan Pangkat
log an  nlog a
1
log n a  log a
n
Contoh 2.2.14 :
Dengan menggunakan tabel logaritma, tentukan nilai dari soal-soal berikut.
a.
58
47,32
b.
18,6
Jawab :
a.
Jika p  58
log p  log 58
 8log 5
log p  8  0,699  5,592
Jadi, p  anti log 5,592  390800
b.
Jika p 
log p  log
47,32
, maka
18,6
47,32
18,6
1
log 47,32  18,6 
2
1
  1,6750  1,1643 
2
1
  0,5107   0,2553
2
Jadi, p  anti log 0,2553  1,8001

Latihan
1)
Ubah bentuk pangkat pada soal-soal berikut menjadi bentuk logaritma:
a)
23  8
b)
54  625
c)
72  49
37
 Matematika dan Stastistika 
2)
Tentukan nilai dari:
2
log8  3 log9  5 log125
a)
2
1
log 18  3 log 19  5 log 125
b)
3)
Tentukan nilai dari
4
log8  27 log9
a)
8
log 4  27 log 19
b)
4)
Tentukan nilai dari:
a)
5)
2
log8
3
b)
log27
Diketahui:
log p  A
logq  B
Tentukan nilai dari log p3q2
Petunjuk Jawaban Latihan
1)
a
log x  na
2)
2
log8  3 log9  5 log125
Ringkasan
Sampai di sini kita telah dikenalkan dengan persamaan dan fungsi logarimat, Logaritma
merupakan invers atau kebalikan dari perpangkatan atau eksponen. Jika 32  9 , maka kita
dapat menuliskannya dalam bentuk logaritma, yaitu 3 log9  2 atau log39  2 . Ingat juga
bahwa jika tidak ditulis atau jika terdapat angka di depan log seperti ini 3log berarti log itu
berbasis 10 yang bisa kita tuliskan seperti ini 10 log . Namun umumnya log basis 10 tidak
dituliskan. Sifat- sifat yang berlaku dalam logaritma inilah yang sering kita hadapi dalam
operasi penyelesaian soal-soal logaritma. Logaritma digunakan untuk menentukan besar
pangkat dari suatu bilangan pokok. Tak hanya dalam bidang studi matematika, logaritma
juga sering digunakan dalam soal perhitungan bidang studi yang lain, misalnya menentukan
orde reaksi dalam pelajaran laju reaksi kimia, menentukan koefisien serap bunyi dalam
pelajaran akustik dan lain sebagainya.
Tes 2
1)
Nilai logaritma dari 2 log8  3 log9  5 log125 ....
A.
6
B.
7
38
 Matematika dan Stastistika 
C.
D.
2)
Diketahui log2 3  a dan log3 5  b , maka log 6 15  ….
A.
B.
C.
D.
3)
8
9
ab
ab
a 1  b 
1a
b 1  a 
1b
Jika log3 5  m dan log7 5  n , maka log35 15  ....
1m
A.
1n
1n
B.
1m
m 1  n 
C.
n 1  m 
D.
n 1  m 
m 1  n 
4)
Jika a, b, c  1 , maka logabc 3 ab  logabc 3 bc  logabc 3 ac  ....
1
A.
3
2
B.
3
1
C.
4
D.
3
5)
Jika
A.
B.
C.
D.
log 3 x
log2 x
p
 p dan
 q , x  1, y  1 , maka  ....
log 3 y
log2 y
q
log2 3
log3 2
log 4 9
log2 3
2
39
 Matematika dan Stastistika 
Kunci Jawaban Tes
Tes 1
1)
B
2)
A
3)
D
4)
B
5)
C
Tes 2
1)
B
2)
C
3)
D
4)
A
5)
C
40
 Matematika dan Stastistika 
Daftar Pustaka
http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2014/11/rumus-lengkap-logaritma-dan-contohsoal.html
http://id.wikipedia.org/wiki/Logaritma
Anonymous. 2011. Bentuk Akar Pangkat dan Logaritma. (online) Diakses pada tanggal 10
Juni 2014
http://matematikaeducation-matematika.blogspot.com/2011/01/bentuk-akar-pangkat-danlogaritma.html
Anonymous. 2008. Perpangakatan dan Akar Bilangan. (online) Diakses pada tanggal 10
Juni 2014
http://applikasi.wordpress.com/2008/06/06/perpangkatan-dan-akar-bilangan/
Ali Yaramadon. 2013. Tugas Pengertian dan Macam-macam Bentuk Akar. (online) Diakses
pada tanggal 10 Juni 2014
http://aliyaramadonasman1.blogspot.com/2013/07/tugas-pengertian-dan-macammacam_6143.html
Wilson Simangunsong, 2005. Matematika Dasar, Jakarta: Penerbit Erlangga.
41
 Matematika dan Stastistika 
BAB III
SATUAN PENGUKURAN DAN KONSENTRASI
Rudy Hartono dan Rahmat Kamaruddin
PENDAHULUAN
Sifat-sifat dari suatu benda atau kejadian yang kita ukur, misalnya panjang benda,
massa benda, lamanya waktu lari mengelilingi sebuah lapangan sering kali kita jumpai, apa
saja yang bias kita ukur dari sebuah buku? Pada sebuah buku dapat kita mengukur massa,
panjang, lebar dan tebal buku. Bagaimanakah kita menyatakan hasil pengukuran panjang
buku?
Di Inggris, system metric merupakan sistem yang kini paling lazim digunakan untuk
menyatakan jumlah (kuantitas) dalam farmasi. Untuk kuantitas tertentu, satuan dasar yang
digunakan adalah gram untuk satuan dasar massa; liter untuk satuan dasar volume; dan mol
untuk satuan dasar jumlah obat. Awalan (prefiks) digunakan untuk menyatakan kuantitas
yang lebih besar atau lebih kecil dari satuan dasar.
Kebanyakan sediaan farmasetika yang digunakan mengandung bahan aktif (obat) yang
terlarut dab terdispersi alam pelarut (solven) atau pengencer (diluen). Berbagai pernyataan
dapat digunakan untuk menjelaskan konsentrasi obat dalam sediaan. Karena itu,
pemahaman tentang pernyataan-pernyataan ini sangat penting dalam praktik farmasi. Selain
itu, pemahaman tentang pernyataan-pernyataan konsentrasi juga penting ketika memeriksa
hasil uji laboratorium klinis karena hasil uji biokimia dapat diberikan dalam berbagai bentuk.
Pada modul ini di Topik 1, kita akan membahas tentang satuan massa, satuan volume
dan satuan jumlah obat. Pada Topik 2, akan dibahas empat cara berbeda untuk menyatakan
konsentrasi, yaitu kuantitas per volume, persentase konsentrasi, bagian dan rasio.
Setelah menyelesaikan modul ini, diharapkan anda mampu menggunakan konsep
satuan pengukuran dan konsentrasi dalam pemecahan masalah dalam kehidupan seharihari. Secara keseluruhan, setelah mempelajari modul ini diharapkan anda dapat :
1.
Menyebutkan satuan massa, volume, dan jumlah obat yang biasa digunakan.
2.
Mengkonversi satuan massa, volume, dan jumlah obat antara yang lebih besar dan
yang lebih kecil.
3.
Memahami empat cara berbeda untuk menyatakan konsentrasi, yaitu kuantitas per
volume, persentase konsentrasi, yaitu kuantitas per volume, persentase konsentrasi,
rasio dan bagian.
4.
Mengonversi pernyataan-pernyataan konsentrasi.
42
 Matematika dan Stastistika 
Topik 1
Satuan Pengukuran
A.
SISTEM METRIK
Untuk profesional kesehatan saat ini, sistem metrik merupakan sistem yang kini paling
lazim digunakan untuk menyatakan jumlah (kuantitas) dalam farmasi. Untuk kuantitas
tertentu, satuan dasar yang digunakan adalah gram untuk satuan dasar massa; liter untuk
satuan dasar volume; dan mol untuk satuan dasar jumlah obat. Sistem metrik menggunakan
desimal, yang diterjemahkan menjadi power of tens. Pada sistem metrik terdapat awalan
(prefiks) yang digunakan untuk menyatakan kuantitas yang lebih besar atau lebih kecil dari
satuan dasar. Tabel 3.1 memuat daftar awalan yang paling sering digunakan dalam farmasi
dan contoh untuk setiap awalan.
Tabel 3.1
Awalan yang Digunakan Dalam Sistem Metrik
Awalan
Kilo
Mili
Mikro
B.
Menyatakan
Seribu kali lebih besar dan satuan dasar
Seribu kali lebih kecil dan satuan dasar
Satu juta kali lebih kecil dan satuan dasar
Contoh
Kilogram
Millimeter
Mikro omo
SATUAN MASSA
Satuan massa yang paling lazim digunakan didaftar pada Tabel 3.2.
Tabel 3.2. Satuan Massa
Satuan
1 Kilogram
1 Gram
1 Miligram
1 Mikrogram
Singkatan
Kg
G
Mg
 g atau mcg
Setara dengan
1000 gram
1000 miligram
1000 mikrogram
Massa yang lebih besar atau lebih kecil dari jumlah-jumlah tersebut jarang digunakan dalam
farmasi. Untuk mengubah dari satuan yang lebih kecil ke satuan yang lebih besar (contohnya
miligram ke gram,gram ke kilogram), kita perlu membagi dengan 1000. Sebaliknya, untuk
mengubah dari satuan yang lebih besar ke satuan yang lebih kecil (contohnya kilogram ke
gram,gram ke miligram), kita harus mengalikan dengan 1000 (lihat Gambar 3.1).
43
 Matematika dan Stastistika 
Gambar 3.1
Konversi antara Satuan-satuan Massa
Contoh 3.1.1:
Jumlahkan 0,0025kg , 1750mgr , 2,5gr , dan 750.000mcgr (berikan jawaban Anda dalam
gram).
Jawab:
1.
Ubah setiap kuantitas menjadi gram.
2.
Jumlahkan kuantitas yang telah diubah.
0,00250kg   0,00250 1000 gr  2,50gr
1750mgr  1750:1000 gr  1,75gr
2,50gr  2,50gr
750000mgr  750000:1000000 gr  0,75gr
Massa total = 7,50gr
Jawaban: 7,50gr
C.
SATUAN VOLUME
Satuan dasar volume adalah liter (L). Satu liter terdiri dari 10 desiliter, atau 100
sentiliter atau 1000 milliliter. Milliliter setara dengan centimeter kubik(cc) walaupun
singkatan yang lebih dipilih adalah ml. Tabel 3.1 mendaftar satuan-satuan volume yang lazim
digunakan dalam farmasi.
Tabel 3.1
Satuan yang digunakan dalam farmasi
Satuan
1 Liter
1 Mililiter
Singkatan
L
mL
Setara dengan
1000 mililiter
1000 mikroliter
Untuk mengonversi volume dari liter menjadi mililiter, kita harus mengalikan dengan 1000,
sedangkan untuk mengonversi volume dari mililiter menjadi liter, kita harus membagi
dengan 1000 (lihat Gambar 3.2)
44
 Matematika dan Stastistika 
Gambar 3.2
Konversi Antara Satuan-satuan Volume
Contoh, 3.1.2:
Jumlahkan 3L, 1150mL dan 0,75L . Berikan volume total dalam mL
Jawab:
1.
Ubah setiap kuantitas menjadi mililiter.
2.
Jumlahkan kuantitas yang telah diubah.
2L  31000mL  3000 mL
1150 mL  1150 mL
0,75L   0,75 1000mL  750 mL
Volume total = 4900 mL
Jawaban: 4900 mL
Contoh 3.1.3 :
Seorang pasien diberi resep 10 mL campuran untuk digunakan empat kali sehari. Berapa
banyak campuran (dalam liter) yang dibutuhkan oleh pasien selama 30 hari?
Jawab:
1.
Hitung berapa banyak campuran yang digunakan oleh pasien setiap hari.
2.
Hitung berapa banyak campuran yang dibutuhkan oleh pasien selama 30 hari
3.
Konversi angka yang diperoleh dan mL ke L
Setiap hari pasien menggunakan 10mL  4  40mL
Selama 30 hari pasien membutuhkan 40mL  30  1200mL
1200 mL  1  0,2L  1,2L
Jawaban: 1,2L
1.
Satuan Jumlah Obat
Satuan dasar untuk jumlah obat adalah mol. Satu mol adalah jumlah bahan yang
mengandung 6,02 × 1023satuan formula komponennya (contohnya atom, molekul, atau ion).
Jumlah mol suatu obat dapat langsung dinyatakan sebagai massa karena satu mol suatu
berat obat, dalam gram, sama dengan massa molekul relatif (relative molecular ‘op[]mass,
45
 Matematika dan Stastistika 
RMM) obat tersebut. Contohnya, 1 mol kalium kiorida (RMM =74,5) memiliki berat 74,5
gram. Tabel 3.4 menunjukkan satuan jumlah obat yang lazim digunakan dalam farmasi.
Tabel 3.4
Satuan Jumlah Obat
Satuan
Mol
Milimol
Singkatan
Mol
mmol
Setara dengan
1000 milimol
1000 mikromol
Gambar 3.3 menunjukkan konversi antara mol dan milimol, serta konversi satuansatuan ini ke dalam satuan massa.
Gambar 3.3
Konversi Antara Satuan-satuan Jumlah Obat
Contoh 3.1.4:
Berapa milimol kalium kiorida (asumsikan RMM  75 ) yang terdapat dalam 150gr obat?
Jawab:
1.
Hitung jumlah mol obat.
2.
Ubah hasil yang diperoleh ke dalam milimol.
75 gr adalah berat 1 mol kalium klorida
1gr adalah berat 1: 75 mol kalium klorida
150 gram adalah berat 150 : 75 mol kalium klorida = 2 mol
2 mol  2  1000 milimol = (2 × 1000) milimol = 2000 milimol
Jawaban: 2000 milimol
Latihan
1)
Hasil jumlah dar 7 kg, 75 g, dan 750.000 mcg adalah .... g
a.
7000
b.
7500
c.
7000,75
d.
7075,75
46
 Matematika dan Stastistika 
2)
3)
4)
5)
6)
7)
7)
Volume total dari 0,04 L, 20 rnL, dan 200 µL adalah .... mL
a.
20
b.
60
c.
60,2
d.
80,2
Seorang dokter meresepkan 250mg minosiklin untuk digunakan empat kali sehari
selama 20 hari. Total minosiklin yang dibutuhkan oleh pasien adalah ....
a.
10 g
b.
20 g
c.
30 g
d.
40 g
Satu kapsul obat mengandung bahan Fenilpropanolamin hidrokiorida 50 mg.
Berapakah dalam gram yang dibutuhkan untuk membuat 10.000 kapsul ....
a.
50 g
b.
100 g
c.
500 g
d.
1000 g
Satu tompok transdermal (transdermal patch) mengandung 8 mgestradiol. Jumlah
gram estradiol yang dibutuhkan untuk membuat 50.000 tompok adalah ....
a.
100 g
b.
200 g
c.
300 g
d.
400 g
Suatu inhaler menghantarkan 50 mcgr salmeterol pada setiap hirupan (inhalasi).
Inhaler tersebut mengandung 200inhalasi terukur. Jumlah miligram salmeterol
terkandung dalam inhaler ini adalah ....
a.
10 mg
b.
20 mg
c.
30 mg
d.
40 mg
Pasien diberi resep 15mL campuran untuk digunakan dua kali sehari selama 14 hari.
Banyak campuran yang harus diberikan adalah ....
a.
210 mL
b.
400 mL
c.
420 mL
d.
460 mL
Setiap kapsul natrium bikarbonat berisi 600 mgr bahan tersebut. Jika pasien
menggunakan tujuh kapsul sehari, jumlah mmol natrium bikarbonat yang digunakan
pasien adalah … (RMM natrium bikarbonat = 84).
a.
5 mmol
b.
50 mmol
47
 Matematika dan Stastistika 
8)
9)
c.
10 mmol
d.
100 mmol
Suatu infus intravena mengandung 30 mmol natrium klorida. Jumlah massa natrium
klorida (dalam gram) yang terkandung dalam infus tersebut adalah … (RMMnatrium
klorida = 60).
a.
0,18 g
b.
1,8 g
c.
18 g
d.
180 g
Sebuah tablet efervesen untuk rehidrasi oral mengandung 120 mgnatrium klorida dan
150 mgr kalium kiorida. Jumlah mmol klorida terkandung dalam satu tablet adalah ....
(RMM natrium klorida (NaCl) = 60 dan RMM kalium klorida (KCl) = 75).
a.
1 mmol
b.
2 mmol
c.
3 mmol
d.
4 mmol
Ringkasan
Untuk kuantitas tertentu, satuan dasar yang digunakan adalah gram untuk satuan
dasar massa; liter untuk satuan dasar volume; dan mol untuk satuan dasar jumlah obat.
Sistem metrik menggunakan desimal, yang diterjemahkan menjadi power of ten.
Satuan massa yang paling lazim digunakan adalah kilogram, gram,miligram dan
mikrogram.
Satuan dasar volume adalah liter (L). Satu liter terdiri dari 10 desiliter, atau 100
sentiliter atau 1000 milliliter.
Satuan dasar untuk jumlah obat adalah mol. Satu mol adalah jumlah bahan yang
mengandung 6,02 × 1023 satuan formula komponennya (contohnya atom, molekul, atau ion).
Tes 1
1)
Suatu inhaler menghantarkan 50 mikrogram salmeterol pada setiap hirupan (inhalasi).
Inhaler tersebut mengandung 200 inhalasi terukur. Berapa miligram salmeterol
terkandung dalam inhaler ini?
A.
100 g
B.
200 g
C.
300 g
D. 400 g
48
 Matematika dan Stastistika 
2)
Pasien diberi resep 15 mL campuran untuk digunakan dua kali sehari selama 14 hari.
Berapa banyak campuran yang harus diberikan?
A.
0,1 mg
B.
1 mg
C.
10 mg
D. 100 mg
3)
Setiap kapsul natrium bikarbonat berisi 600 mg bahan tersebut. Jika pasien
menggunakan tujuh kapsul sehari, berapa mmol natrium bikarbonat yang digunakan
pasien? (RMM natrium bikarbonat = 84).
A.
42 mmol
B.
420 mmol
C.
4,2 mmol
D. 0,42 mmol
4)
Suatu infus intravena mengandung 30 mmol natrium klorida. Berapa massanatrium
klorida (dalam gram) yang terkandung dalam infus tersebut? (RMM natrium klorida =
60).
A.
5 mmol
B.
50 mmol
C.
2 mmol
D. 20 mmol
5)
Satu tompok transdermal (transdermal patch) mengandung 8 mgestradiol. Berapa
gram estradiol yang dibutuhkan untuk membuat 50.000 tompok?
A.
1,8 g
B.
18 g
C.
0,9 g
D. 9 g
49
 Matematika dan Stastistika 
Topik 2
Memahami Konsentrasi
A.
PERNYATAAN KONSENTRASI
Kebanyakan sediaan farmasetika yang digunakan mengandung bahan aktif(obat) yang
terlarut atau terdispersi dalam pelarut (solven) atau pengencer (diluen). Berbagai
pernyataan dapat digunakan untuk menjelaskan konsentrasi obat dalam sediaan. Karena itu,
pemahaman tentang pernyataan-pernyataan ini sangat penting dalam praktik farmasi. Selain
itu, pemahaman tentang pernyataan-pernyataan konsentrasi juga penting ketika memeriksa
hasil uji laboratorium klinis karena hasil uji biokimia dapat diberikan bentuk. Dalam kegiatan
ini, kita akan membahas empat cara berbeda untuk menyatakan konsentrasi:
1.
kuantitas per volume
2.
persentase konsentrasi
3.
bagian
4.
rasio
1.
Kuantitas Per Volume
Pernyataan kuantitas per volume digunakan untuk menunjukkan konsentrasi obat
dalam larutan dan untuk hasil uji laboratorium klinis. Pernyataan kuantitas per volume
memberikan jumlah atau berat obat (jumlah dalam mol atau berat dalam gram) dalam
volume larutan. Sebagai contoh, larutan natrium klorida 9gr/L berarti 9 gr natrium klorida
terlarut dalam 1 liter larutan; larutan natrium klorida 1 mmol/L mengandung 1 mmol/L
(ekuivalen dengan 0,058 g) natrium klorida terlarut dalam1 liter larutan.
Contoh 3.2.1:
Berapa berat natrium bikarbonat (dalam gram) dibutuhkan untuk membuat 200 mL larutan
6 gr/L ?
Jawab:
a.
Perhatikan pernyataan konsentrasi dan hitung berapa banyak natrium bikarbonat yang
terkandung dalam 1mL larutan.
b.
Hitung berapa banyak natrium bikarbonat dibutuhkan untuk membuat 200mL larutan.
6 gr/L berarti 6 gr natrium bikarbonat harus dilarutkan dalam 1L ( 1000mL ) larutan.
Jadi, 6:1000 gr natrium bikarbonat harus dilarutkan dalam 1 mL larutan.
Jadi, 6:1000  200gr natrium bikarbonat harus dilarutkan dalam 200mL larutan.
Jawaban: 1,2gr .
50
 Matematika dan Stastistika 
Contoh 3.2.2 :
Seorang pasien memiliki kadarkaliurn serum 4 mmol/L .
a.
Berapa mmol kalium terkandung dalam 20 mL sampel serum pasien?
b.
Berapa miligram kalium terkandung dalam sampel ini? (RMM kalium = 40)
Jawab: a)
1)
Perhatikan pernyataan konsentrasi dan hitung berapa milimolkalium terkandung
dalam 1 mL serum.
2)
Hitung berapa milimol kalium terkandung dalam 20 mL serum.
4mmol/L berarti 4mmol kalium terkandung dalam 1L serum.
Jadi  4:1000mmol kalium terkandung dalam 1 mL serum.
Karena itu, (4 × 20) ÷ 1000 mmol kalium terkandung dalam 20 mL serum.
80:1000mmol  0,08 mmol
Jawaban: 0,08 mmol
Jawab: b)
Konversi jumlah mmol menjadi mgr dengan mengalikan nilai tersebut dengan RMM (lihat
kegiatan 3.1).
1mmol kalium memiliki berat 40 mgr .
0,08 mmol kalium memiliki berat  0,08  40mgr  3,2mgr .
0,08 mmol kalium terkandung dalam 20 mL serum.
Jawaban: 3,2 mgr kalium terkandung dalam 20 mL serum
2.
Persentase Konsentrasi
Persentase dapat digunakan untuk menyatakan konsentrasi obat, baik dalam bentuk
sediaan cair maupun padat. Persentase konsentrasi menjelaskan jumlah bagian obat (dalam
gram atau militer) dalam 100 bagian bentuk sediaan. Ada tiga persentase konsentrasi yang
lazim digunakan. Penggunaan ketiga persentase ini bergantung pada sifat produk.
a.
%bv
Persen berat-dalam-volume digunakan untuk menyatakan berat suatu padatan dalam
100 mL produk cair. Sebagai contoh, larutan natrium klorida 1% b v dalam air berarti 1gr
natrium klorida terkandung dalam 100 mL larutan. Untuk membuat larutan ini, 1 gr
natrium klorida dilarutkan dalam sedikit air, kemudian larutan diencerkan hingga 100 mL
dengan air.
b.
%bb
Persen berat-dalam-berat digunakan untuk menyatakan berat suatu padatan, atau
kadang-kadang cairan, dalam 100 g produk padat. Sebagai contoh, salep hidrokortison
1% b b berarti 1 gr hidrokortison terkandung dalam 100 gr salep akhir. Untuk membuat
51
 Matematika dan Stastistika 
produk ini, 1 gr hidrokortison dicampur dengan sedikit basis salep, kemudian produk dibuat
menjadi 100 gr dengan penambahan basis salep lebih lanjut.
b.
%v v
Persen volume-dalam-volume digunakan untuk menyatakan volume suatu cairan
dalam 100 mL produk cair. Sebagai contoh, emulsi yang mengandung 50% v v parafin cair
berarti 50mL parafin cair terdapat dalam 100mL emulsi akhir.
Contoh 3.2.3:
Obat kumur mengandung 0,1% b v klorheksidin glukonat. Berapa gram klorheksidin
glukonat terkandung dalam 250 mL obat kumur?
Jawab:
1)
Perhatikan pernyataan konsentrasi dan tentukan berapa banyak obat (dalam gram)
terkandung dalam 1 mL produk.
2)
Hitung berapa banyak obat terkandung dalam 250 mL produk.
0,1% b v berarti 100 mL obat kumur mengandung 0,1 gr klorheksidin glukonat.
Jadi, 1 mL obat kumur mengandung (0,1c 100) g klorheksidin glukonat.
Karena itu, 250mL obat kumur mengandung  0,1:100   250gr klorheksidin glukonat
= 0,25gr .
Jawaban: 0,25 gr
Contoh 3.2.4:
Berapa berat mikonazol yang dibutuhkan untuk membuat 40 gr krim yang mengandung
2% b b obat?
Jawab:
1)
Perhatikan pernyataan konsentrasi dan tentukan berapa banyak obat terkandung
dalam 1 gr produk.
2)
Hitung berapa banyak obat terkandung dalam 40 gr produk.
2% b b berarti 100 gr krim harus mengandung 2 gr mikonazol.
Jadi, 1 gr krim harus mengandung 2:100 gr mikonazol.
Karena itu, 40gr krim harus mengandung 2:100  40 gr mikonazol.
Jawaban: 0,8 gr
Contoh 3.2.5:
Berapa banyak minyak kacang (arachis oil) yang dibutuhkan untuk membuat 300 mL emulsi
yang mengandung 30% v v minyak kacang?
52
 Matematika dan Stastistika 
Jawab:
1)
Perhatikan pernyataan konsentrasi dan tentukan berapa banyak minyak kacang yang
terkandung dalam 1 mL produk.
2)
Hitung berapa banyak minyak kacang yang terkandung dalam 300 mL produk.
30% v v berarti 100 mL emulsi mengandung 30 mL minyak kacang.
Jadi,
1mL
emulsi
mengandung
30:100 mL
minyak
kacang.
Karena itu, 30 mL emulsi mengandung 30:100  300 mL minyak kacang = 90 mL .
Jawaban: 90 mL
3.
Rasio Konsentrasi
Rasio konsentrasi terutama digunakan untuk menyatakan konsentrasi larutan yang
sangat encer. Rasio menyatakan jumlah bagian pelarut (biasanya dalam mililiter) yang di
dalamnya terlarut atau terdispersi satu bagian obat (biasanya dalam gram). Jadi, larutan
obat 1: 5000  mengindikasikan 1 gr obat terlarut dalam 5000 mL ( 5L ) larutan.
Contoh 3.2.6:
Berapa miligram adrenalin terkandung dalam 10mL larutan obat 1: 10000 ?
Jawab:
1)
Ubah rasio menjadi pernyataan kuantitas per volume.
2)
Hitung berapa banyak adrenalin terkandung dalam 1 mL larutan.
3)
Hitung berapa banyak adrenalin terkandung dalam 10mL larutan.
Larutan 1:10.000 berarti 1 g adrenalin terlarut dalam 10.000 mL larutan.
Jadi,
larutan
akan
mengandung
adrenalin.
1mL
1:10000 gr
Karena itu, 10mL larutan akan mengandung
1:10000 10gr  0,001gr  1mgr
adrenalin.
Jawaban: 1 miligram
4.
Bagian sebagai Pernyataan Konsentrasi
Metode pernyataan konsentrasi ini mirip dengan pernyataan rasio. Namun, dalam
pernyataan konsentrasi bagian, simbol rasio diganti dengan kata ‘dalam’. Jadi, larutan
1: 1000 menjadi 1 dalam 1000, tetapi artinya tidak berubah, yaitu 1gr obat terlarut dalam
1000 mL larutan.
Contoh 3.2.7:
Satu ampul 10 mL yang berisi larutan bupivakain hidroklorida 1 dalam 200.000 diberikan
pada pasien. Berapa miligram bupivakain hidroklorida yang diterima pasien?
Jawab:
1)
Ubah pernyataan bagian menjadi pernyataan kuantitas per volume.
53
 Matematika dan Stastistika 
2)
3)
Hitung berapa banyak bupivakain hidroklorida terkandung dalam 1 mL larutan.
Hitung berapa banyak bupivakain hidroklorida terkandung dalam 10 mL larutan.
Larutan 1dalam 200.000 berarti 1 gr bupivakain hidroklorida terlarut dalam
200000 mL larutan.
Jadi, 1 mL larutan akan mengandung 1:200000 gr bupivakain hidroklorida.
Karena itu, 10mL larutan akan mengandung 1:200000 10gr  0,00005gr  0,05mgr
bupivakain hidroklorida.
Jawaban : 0,05 miligram
B.
KONVERSI ANTAR PERNYATAAN KONSENTRASI
Konversi antar pernyataan konsentrasi sering kali perlu dilakukan. Untuk melakukan
hal ini, Anda harus memastikan bahwa Anda memahami makna setiap pernyataan
konsentrasi yang telah dijelaskan sebelumnya.
Contoh 3.2.8:
Suatu larutan mengandung 10mgr obat dalam 5mL larutan. Nyatakan konsentrasi ini
sebagai rasio konsentrasi.
Jawab:
1.
Tentukan pernyataan konsentrasi yang diperlukan.
2.
Karena yang dibutuhkan adalah rasio konsentrasi, tentukan berapa volume larutan
yang akan mengandung 1 gr obat.
3.
Nyatakan konsentrasi sebagai rasio.
10 mgr obat terkandung dalam 5mL larutan.
Jadi, 1mgr obat terkandung dalam  5:10mL larutan.
Karena itu, 1gr terkandung dalam  5:10  1000 mL  500 mL larutan Jawaban: rasio
konsentrasi 1: 500
Latihan
1)
Pasien diberi resep suspensi yang mengandung 2 mgr/mL obat. Aturan pakainya
adalah pasien menggunakan 10 mL suspensi tiga kali sehari selama satu minggu.
Jumlah miligram obat yang akan diterima pasien dalam seminggu adalah ....
a.
400 mg obat
b.
410 mg obat
c.
420 mg obat
d.
430 mg obat
54
 Matematika dan Stastistika 
2)
Pasien melarutkan dua tablet, masing-masing mengandung 300 mgr aspirin, dalam
120 mL air. konsentrasi aspirin  % b v  dalam larutan adalah …
3)
4)
5)
a.
0,5 % b/v
b.
5 % b/v
c.
0,1 % b/v
d.
10 % b/v
Jumlah gram antibiotik yang dibutuhkan untuk membuat 50 mL larutan antibiotik
0,25%b v adalah ....
a.
0,125 g
b.
0,25 g
c.
0,5 g
d.
1g
Obat gosok mengandung 5%v v metilsalisilat. Jumlah metil salisilat yang dibutuhkan
untuk membuat 600 mL obat gosok adalah ..
a.
10 mL
b.
20 mL
c.
30 mL
d.
40 mL
Banyaknya hidrokortison yang terdapat dalam 120 gr krim yang mengandung 0,5b b
7)
hidrokortison adalah …
a.
0,3 g
b.
0,6 g
c.
0,9 g
d.
1g
Infus natrium klorida 0,9% b v banyak digunakan untuk penggantian elektrolit.
Konsentrasi natrium klorida dalam mmol/L (Anggap RMM natrium klorida = 60) adalah
… mmol/L
a.
10
b.
15
c.
20
d.
25
Banyaknya volume larutan adrenalin 1: 20000 yang mengandung 50 mgr obat
8)
adalah ....
a.
1L
b.
2L
c.
3L
d.
4L
Konsentrasi % b v suatu larutan natrium bikarbonat 1000 mmol/L (RMM natrium
6)
bikarbonat = 84) adalah .... % b/v
a.
0,84
55
 Matematika dan Stastistika 
9)
b.
8,4
c.
0,42
d.
4,2
Pasien menggunakan 200 mL larutan antiseptik 1: 8000 setiap hari selama 10 hari.
10)
Jumlah gram obat antiseptik yang telah digunakan adalah ….
a.
1g
b.
0,75 g
c.
0,5 g
d.
0,25 g
Anda diberi obat serbuk yang mengandung kadar air 10%b b . Berat serbuk yang Anda
butuhkan untuk membuat 5 L larutan berair yang mengandung konsentrasi obat
anhidrat 4%b v adalah ....
a.
b.
c.
d.
111,1 g
222,2 g
121,2 g
221, 2 g
Ringkasan
Sampai di sini saudara telah mempelajari dan mengenal dengan baik beberapa tentang
Konsentrasi, Memahami Konsentrasi diperkenalkan empat cara berbeda untuk
menyelesaikan konsentrasi, yaitu kuantitas per volume, presentase konsentrasi, rasio, dan
bagian. Terdapat istilah % b v , %b b , dan % v v . Pada bagian terakhir disajikan bagaimana
menginterpretasi pernyataan konsentrasi dalam bagian dan mengonvensi pernyataanpernyataan konsentrasi.
Tes 2
1)
Berapa gram antibiotik yang dibutuhkan untuk membuat 50 mL larutan antibiotik
0,25% b v ?
A.
B.
C.
D.
2)
0,25
0,5
0,125
0,0,2
Obat gosok mengandung 5% v v metil salisilat. Berapa banyak metil salisilat yang
dibutuhkan untuk membuat 600 mL obat gosok?
A.
30 mL
B.
60 mL
56
 Matematika dan Stastistika 
C.
D.
3)
Berapa banyak hidrokortison yang terdapat dalam 120 g krim yang mengandung
0,5%b b hidrokortison?
A.
B.
C.
D.
4)
90 mL
120 mL
0,2 g
0,6 g
0,9 g
0,12 g
Infus natrium klorida 0,9% b v banyak digunakan untuk penggantian elektrolit.
Nyatakan konsentrasi natrium klorida dalam mmol/L (Anggap RMM natrium klorida =
60).
A.
15 mmol/L
B.
30 mmol/L
C.
45 mmol/L
D. 50 mmol/L
5)
Berapa volume larutan adrenalin 1:20.000 yang mengandung 50mg obat?
A.
0,5 L
B.
0,1 L
C.
1L
D. 10 L
57
 Matematika dan Stastistika 
Kunci Jawaban Tes
Tes 1
1)
D
2)
C
3)
B
4)
B
5)
A
Tes 2
1)
C
2)
A
3)
B
4)
A
5)
C
58
 Matematika dan Stastistika 
Daftar Pustaka
Anonymous. 2010. Sistem Metrik. (online) Diakses pada tanggal 10 Juni 2014.
http://asimtot.wordpress.com/2010/07/25/sistem metrik/
Anonymous. 2010. Konsentrasi. (online) Diakses pada
http://asimtot.wordpress.com/2010/06/09/konsentrasi/
tanggal
10
Juni
Dakin & Porter, 1969. Elementary Analysis, 6. Bell and Sons Ltd., London.
Departemen Pendidikan dan Kebudayaan, 1980. Matematika, Jakarta: Sumber Bahagia.
59
2014
 Matematika dan Stastistika 
BAB IV
TURUNAN (DERIVATIF)
Rudy Hartono dan Rahmat Kamaruddin
PENDAHULUAN
Dalam Bab 4 tentang turunan akan diuraikan pengantar kepada definisi turunan,
aturan yang ada pada turunan dan penggunaannya.
Pembahasan mengenai turunan telah kita jumpai pada materi kalkulus. Pada bab ini
pembahasan lebih ditekankan pada unsur analisisnya, demikian halnya akan dibahas tentang
kajian analitik (pembuktian) untuk aturan-aturan yang menggunakan turunan.
Selain itu, akan diberikan beberapa contoh dari penggunaan aturan-aturan turunan
yang telah dibuktikan.
Bab 4 ini memuat uraian, contoh, latihan, petunjuk jawaban latihan , rangkuman, dan
soal tes.
1.
Bacalah uraian dan contoh dengan cermat dan berulang-ulang sehingga Anda benarbenar memahami dan materi yang dipelajari.
2.
Kerjakan latihan yang tersedia secara mandiri. Apabila dalam kasus atau tahapan
tertentu Anda mengalami kesulitan menjawab, maka pelajarilah rambu-rambu
jawaban latihan. Jika langkah ini belum berhasil menjawab pemasalahan, maka
mintalah bantuan tutor Anda atau orang lain yang lebih memahami.
3.
Ulangilah pengerjaan tes sampai anda benar-benar merasa mampu mengerjakan
semua soal dengan benar.
Setelah mempelajari Bab ini, diharapkan Anda mampu memahami konsep turunan.
Secara lebih terperinci, Anda diharapkan mampu:
1.
Mencari turunan suatu fungsi dengan menggunakan definisi.
2.
Membuktikan suatu teorema turunan fungsi.
3.
Memahami aturan rantai untuk fungsi tersusun.
4.
Memahami turunan dari fungsi-fungsi invers, turunan fungsi implisit, dan penurunan
dengan bantuan logaritma.
5.
Mencari turunan dari fungsi dalam persamaan parameter.
6.
Mencari turunan kedua dan turunan yang lebih tinggi.
60
 Matematika dan Stastistika 
Topik 1
Definisi dan Rumus-Rumus Turunan
Definisi
Pandang suatu fungsi y  f  x  . Misalkan nilai x berubah dengan x sehingga y berubah
dengan y maka y  f  x  x   f  x  . Apabila x  0 , maka didefinisikan:
Turunan pertama dari y terhadap x adalah:
dy
y f  x  x   f  x 
 y  f   f   lim 
dx
x
x
Atau bila x  h , menjadi lim
h 0
f  x  h  f  x 
h
Catatan(1)
Apabila kita mengambil x positif ,kita katakan turunan ke kanan. Sebaliknya, bila x di
ambil negatif, kita katakan turunan ke arah kiri. Pada fungsi terdefenisi dalam interval
a  x  b : pada x  a  b , boleh kita ambil x positif maupun negatif. Tetapi pada x  a ,
x harus positif. Kita tulis:
f  a  x   f  a 
dan pada x  b, x harus negatif, kita tulis:
f   a   lim
x 0
x
f  b  x   f  b 
f    b   lim 
x 0
x
Contoh 4.1.1:
Diketahui fungsi f  x   5x3
Maka
f  x  x   f  x 
5  x  x   5x 3
f   x   lim
 lim
x 0
x 0
x
x
2
2
2
 lim 15x  15xx  5x   15x
3
x 0
RUMUS-RUMUS DASAR TURUNAN
1.
2.
3.
y  x n , maka y   nx n1
y suatu fungsi konstanta, maka y  0
y suatu fungsi trigonometri:
a.
y  sin x , maka y  cos x
b.
y  cos x , maka y   sin x
y  tan x , maka y  sec2 x
c.
61
 Matematika dan Stastistika 
4.
5.
6.
y  cot x , maka y   csc2 x
d.
e.
y  sec x , maka y  sec x tan x
f.
y  csc x , maka y   csc x cot x
y suatu fungsi trigonometri:
1
a.
y  g log x , maka y 
x lng
1
y  ln x , maka y  
b.
x
y suatu fungsi eksponen:
y  a x , maka y  a x lna
a.
y  e x , maka y   e x
b.
y suatu fungsi siklometri:
1
y  arc sin x , maka y  
a.
1  x2
1
b.
y  arc cos x , maka y  
1  x2
1
y  arc tan x , maka y  
c.
1  x2
1
y  arc cot x , maka y  
d.
1  x2
1
y  arc sec x , maka y  
e.
x x2  1
1
y  arc csc x , maka y 
f.
x x2  1
Contoh 4.1.2:
y  x 5 , maka y   5x 4
1
2
y  2 , maka y   2 x 3   3
x
x
1
1
y  x , maka y  12 x 2 
2 x
Contoh 4.1.3:
1.
y  sin x , maka y '  cos x
1
y  3log x, maka y ' 
2.
x In 3
3.
y = 5, maka y '  0
4.
 2x , maka y '  2x ln2
62
 Matematika dan Stastistika 
Latihan
1)
Diketahui fungsi f  x   5x3 . Maka turunan pertama dari fungsi tersebut adalah …
2)
a.
15x 3
b.
15x2
c.
25x3
d.
25x 3
Nilai turunan dari y  x 5 adalah ....
a.
b.
c.
d.
3)
x4
1 4
x
5
5x 4
4x5
Nilai turunan dari y 
1
adalah ....
x2
1
x3
2
b.
x3
3
c.
x3
2
d.
x
Diketahui y  x , maka nilai turunan pertamanya adalah
1
a.
2 x
1
b.
x
c.
2
d.
2 x
5
y  x  5x 4  10 x 2  6 , maka turunan pertama dari fungsi tersebut adalah ....
a.
4)
5)
a.
b.
c.
d.
6)
x 4  5x3  10x  6
x 5  20x 4  20x2  6x
5x 4  20x 3  20 x
5x 6  20 x 5  20 x
Turunan pertama dari fungsi y   3x  2 adalah ….
4
a.
3x  2
b.
12
63
 Matematika dan Stastistika 
c.
d.
7)
8)
4
Diketahui y  e 5x , maka nilai y  adalah ….
a.
5x
b.
5e5 x
c.
4e5 x
d.
5
Diketahui fungsi f  x   ln3x , maka nilai dari
a.
b.
c.
d.
9)
 3x  2 
3
12  3x  2 
dy
adalah
dx
x
1
x
lnx
y  2x
Diketahui y 
e2 x
tentukan nilai y  untuk x  2
x 1
Ringkasan
Anda telah mengingat kembali definisi turunan, mulai dari teori turunan, rumus-rumus
dasar turunan dan operasi dasar pada turunan sampai pada operasi yang lebih luas yang
masih berlaku pada sebarang turunan. Di akhir bagian ini, diingatkan kembali mengenai
gabungan penggunaan rumus-rumus dasar turunan. Materi ini menjadi dasar/pengetahuan
bagi materi berikutnya, pada topik berikutnya maupun modul berikutnya
Turunan atau derivatif f  x  ke x adalah fungsi lain f   x  yang nilainya untuk
sebarang x  c adalah :
f   c   lim
h 0
f  c  h  f c 
h
Bila secara umum untuk x  c dan h  x , maka
f  x  x   f  x 
h0
x
f   x   lim
64
 Matematika dan Stastistika 
Tes 1
1)
Nilai turunan dari f  x   x3  5x2  4x  9 adalah ....
A.
B.
C.
D.
2)
Nilai turunan dari f  x   2x  3  x 2  1 adalah ....
A.
B.
C.
D.
3)
4)
2x 2  6 x  2
2x 2  6 x  2
6x2  6x  2
6x2  6x  2
x2  4
Nilai turunan dari
adalah ....
3x  7
3x 2  14 x  12
A.
19 x 2  42 x  49
3x 2  14 x  12
B.
19 x 2  42 x  49
x2  4 x  2
C.
x 2  2x  9
x2  4 x  2
D.
x 2  2x  9
Nilai turunan dari f  x   2x  3 adalah ....
3
A.
B.
C.
D.
5)
3x2  10 x  4
x2  10x  4
3x2  10x  4
x2  10x  4
72x2  24 x  54
72x2  54 x  24
24 x2  72x  54
24 x2  72x  24
Nilai turunan fungsi dari fungsi f  x   6x3 adalah..
A.
B.
C.
D.
6x2
12x2
18x2
6x2
65
 Matematika dan Stastistika 
6)
Diketahui f  t  
A.
t  2t 2
1
B.
C.
D.
7)
8)
2
6
 3 , maka nilai dari f  t  adalah…
t
t
2
t 2  2t 3

t2
t  2t 2
t2
1 t
2t
Diketahui f  x   x 3  2x 2 , maka nilai dari f  t  adalah ....
3  4x
A.
3  2x
3  4x
B.
3  2x2
3  2x
C.
3  4x
3  4 x2
D.
3  2x2
Diberikan y   3  4 x  x 2  , nilai dari y  adalah ....
12
A.
B.
C.
D.
2–x
2–y
2 x
y
2y
x
66
 Matematika dan Stastistika 
Topik 2
Jenis-Jenis Turunan
A.
ATURAN RANTAI UNTUK FUNGSI TERSUSUN
Untuk fungsi-fungsi yang bentuknya rumit, di mana y adalah fungsi dari u (atau v) ,
u dan v merupakan fungsi dari x , turunannya kita cari dengan mengembalikannya ke rumus
dasar. Cara pengembaliannya sebagai berikut :
1.
Jika berbentuk y  u, maka y   u ,  bilangan .
2.
Jika berbentuk y  u  v , maka y  u  v .
3.
Jika berbentuk y  uv , maka y  uv  uv .
u
uv  uv 
4.
Jika berbentuk y  , maka y  
.
v
v2
Serta gabungan dari bentuk-bentuk tersebut.
Contoh 4.2.1:
1.

y  8 x 3 , maka y  8  x 3   24 x 2
2.
y  3tan x , maka y   3  tan x   3sec2 x
3.
4.
5.
y  x 2  e x , maka y   2x  e x
y  x 3  x 2  x  2, maka y  3x 2  2x  1
y  x 3 2x , maka y  3x 2 2x  x 3 2x ln2
6.
y
1  cos x  x   sin x  cos x  x sin x
x
, maka y 

2
cos x
cos2 x
 cos x 
Contoh 4.2.2:
y  8 x 4  7 x 3  2 x  3, maka y   32 x 3  21x 2  2
1.


2.
y  3x2e x tan x , maka y   3x 2  e x tan x  3x 2  e x tan x 
 6 xe x tan x  3x 2  e x tan x  e x sec2 x 
 6xe x tan x  3x2e x tan x  3x2e x sec2 x
(dapat dicatat bahwa bila y  UVW , maka y  UVW  UV W  UVW  ).
3.
2 x  x  ln x   1  X1   x 2  1 
x2  1
y
, maka y  
2
x  ln x
 x  ln x 

x 3  2x 2  ln x  x 2  x  1
x 3  2x 2 ln x  x ln2 x
67
 Matematika dan Stastistika 
Selain dari ke-4 bentuk di atas (serta gabungannya), suatu fungsi mungkin merupakan
suatu fungsi tersusun dari fungsi pada rumus dasar. Untuk mencari turunannya, kita gunakan
suatu rumus yang disebut aturan rantai. Jika y  f  x  yang merupakan suatu fungsi
tersusun y  g u  dan u  h x  , maka:
dy dy du


.
dx du dx
Contoh 4.2.3:
1.
y   3x  2  u4 dimana u  3x  2, maka
2.
dy du
3

 4u2  3  12u3  12  3 x  2 
du dx
y  5cos x2  1  5cos u dimana u  x 2  1, maka
4
y 


dy du

  5sinu   2 x  10 x sin  x 2  1 
du dx
1 1
y  sinln x , maka y    cosln x    cosln x
x x
y 
3.
4.

y  e x
3
4
 , maka y  e  3x   3x e
 x3 4
2  x 3 4
2
Catatan (2) :
Secara umum, jika y  f  x  merupakan fungsi tersusun
y  f1 u1  , u1  f2 u2  ,..., un  fn1  x  , maka :
dun
dy dy du1


 
dx du1 dx2
dx
Contoh 4.2.4:

y  ln sin e 
x2 1

Penyelesaian :
Misalkan y  lnu1
u1  sine
u2  e
x2 1
x2 1
 sinu1
 eu3
u3   x 2  1   u4 , u4  x 2  1
Maka :
dy 1
1
 
du1 u1 sin e  x2 1
2
du1
 cos u2  cos e  x 1
du1
68
 Matematika dan Stastistika 
2
du2
 eu3  e  x 1
du3
du3
1
1


du4
2 u4 2 x 2  1
du4
 2x
dux
Jadi,
1
y 
sin e

 x 2 1
2 xe 
 cos e 
x 2 1
cos e 
2 x 2  1 sin e 
x 2 1
 e
x 2 1

1
2 x2  1
 2x
x 2 1
x 2 1
Catatan (3) :
Secara geometri, turunan pada suatu titik menyatakan koefisien arag (gradient) garis
singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Misalkan fungsi y  f  x  , titik P  x1 , y1  pada
grafik dari y  f  x  koefisien arah garis singgung m  f   x1   lim
x 0
f  x1  x   f  x 
x
Contoh 4.2.5:
Tentukan persamaan garis singgung di titik x  2 pada fungsi f  x   3x 4
Penyelesaian:
Koefisien arah garis singgung : m  f  x   12x3  f 2  128  96
Persamaan garis singgung :
y  y1  m x  x1 
karena x1  2, maka y1  324   48 .
Jadi garis singgung tersebut adalah y  96x  144 .
B.
TURUNAN DARI FUNGSI-FUNGSI INVERS
Jika y  f  x  kontinu dan monoton naik (atau turun) pada interval a  x  b , maka
terdapat suatu fungsi invers x  f 1  y  yang kontinu juga.
Berlaku:
f 1  y  
69
1
dy
dx
 Matematika dan Stastistika 
Contoh 4.2.6:
1
3
Diketahui f  x   y  2x  3 . Fungsi inversnya adalah f 1  y   y 
2
2
dy
dx 1
Terlihat bahwa,
 2 dan

dx
dy 2
Contoh 4.2.7:
2
dx 1
1
1
y 3




f  x   x inversnya x  y dan
2
dy dy  3x 2  3y 3
3
dx
dy
dx
Terlihat bahwa
 3x 2  0 di x  0, sedangkan untuk y  0,
tidak ada
dx
dy
1
3
3
C.
TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
Untuk menghitung turunan pertama dari fungsi implisit f  x , y   0 , kita memandang
tiap-tiap suku sebagai suatu fungsi dari x , kemudian menurunkan suku demi suku.
Misalnya untuk fungsi implisit x 2  xy  y 3  0 .
 x   2 x
 y   xy  xy   y  xy 
Bentuk suku y 3 , misalkan y 3  u , maka
du du dy
dy
u 
   3y 2
 3y 2 y
dx dy dx
dx
Atas kanan  0   0
Jadi turunan pertama dari x 2  xy  y 3  0 adalah


2x  y  xy   3y 2 y   0 atau 2x  3y 2 y  2x  y
Jadi,
y 
 2x  y 
 x  3y 
2
Contoh 4.2.8:
 cos x  e y  xy 2  0 diturunkan menjadi :
 sin x  e y y   y 2  2 xyy   0
 e
y
 2 xy  y   1  sin x  y 2
1  sin x  y 
y 
 e  2xy 
2
y
70
 Matematika dan Stastistika 
D.
PENURUNAN DENGAN BANTUAN LOGARITMA (LOGARITHMIC
DIFFERENTIATION)
Pada beberapa fungsi tertentu, lebih mudah apabila mempergunakan logaritma ketika
mencari turunannya, terutama untuk fungsi berbentuk y  uv di mana u dan v fungsi-fungsi
dari x dan fungsi berbentuk:
f  x  f2  x   fn  x 
y 1
g1  x  g2  x   gn  x 
Contoh 4.2.9:
y  x sin x
ln y  ln x sin x  sin x ln x
1
1
y   cos x ln x  sin x
y
x
1


y   y  cos x ln x  sin x 
x


1


y   x sin x  cos x ln x  sin x 
x


Contoh 4.2.10:
y  x 3e2 x cos2 x , dengan logaritma menjadi:
ln y  3ln x  2 x ln e  2lncos x
 3ln x  2 x  2lncos x
1
3
 2 
y   2  
   sin x 
y
x
 cos x 
3

y   y   2  2tan x 
x

3

 x 3e2 x cos2 x   2  2tan x 
x

E.
TURUNAN DARI FUNGSI DALAM PERSAMAAN PARAMETER
Suatu
fungsi
dalam
persamaan
parameter
y  g t  , t  f 1  x 
71
 x  f  t 

 y  g  t 
kita
ubah
menjadi
 Matematika dan Stastistika 
Menurut aturan rantai, berlaku:
dy dy dt
dt
1

 , sedangkan
, sehingga diperoleh

dx
dx dt dx
dx
dt
 dy 
dy  dt 

dx  dx 
 
 dt 
Contoh 4.2.11:
 x  et
Diketahui fungsi 
3t
y  e
Fungsi tersebut dapat kita ubah menjadi y  e3t   et   x 3 , sehingga
3
dy
 3x 2 .
dx
Dengan menggunakan rumus di atas, diperoleh:
 dy 
dy  dt  3e3t


dt  dx  e3
 
 dt 
Tetapi kadang-kadang sukar menggunakan cara pertama itu, misalnya:
 x  t  et
Diketahui fungsi 
y  t cos t
Akan menuliskan t sebagai fungsi dari x , maka:
 dy 
dy  dt   cos t  t sint 


(mudah sekali dihitung)
dt  dx 
1  et
 
 dt 

F.

TURUNAN KEDUA DAN TURUNAN YANG LEBIH TINGGI
1
1
3
3
y  2x 2  6x 3  2x 2  4x 4  9
Jika y  f  x  mempunyai turunan pada suatu interval, maka turunannya adalah y  f   x 
merupakan suatu fungsi baru pada interval tersebut. Jika fungsi yang baru tersebut kita
turunkan, maka turunannya adalah y  f   x  disebut turunan kedua dari y  f  x 
72
 Matematika dan Stastistika 
terhadap x . Demikian seterusnya untuk yang turunan ketiga y  f   x  , turunan keempat,
kelima, dan seterusnya.
Bermacam-macam notasi yang dapat kita gunakan, antara lain:
y , y , y ,..., y  m  ,...
f , f , f ,..., f  m  ,...
dy d 2 y d 3 y
d my
,
,
,...,
,...
dx dx 2 dx 3
dx m
Dy , D2 y , D 3 y ,..., D m y ,...
Dx y , Dx2 y , Dx3 y ,..., Dxm y ,...
0
Dapat dicatat: kita dapat menganggap y sendiri sebagai turunan ke-nol, atau y  
Contoh 4.2.12:
Misalnya y  2x 5 , maka y  10 x 4 , y  40 x 3 , y  120 x 2 , dan seterusnya.
Catatan (4):
Turunan yang lebih tinggi untuk fungsi berbentuk uv adalah :
uv   uv  uv
uv 
 uv  2uv   uv 
uv 
 uv  3uv   3uv   uv 



uv 
m
 u mv  mu m1v  
m  m  1   m 2 
u
v     uv  m 
2
m
m
    u  m  k v  k 
k 0  k 
Catatan (5):
Koofesien di atas adalah koofesien binomial (mengikuti segitiga pascal)
 m
m!
 Ckm (kombinasi)
 
k
k
!
m

k
!


 
Aturan di atas disebut aturan Leibnitz.
Contoh 4.2.13:
Tentukan turunan ke-3 dari y  x2 f  x 
73
 Matematika dan Stastistika 
Jawab :
u  x 2 dan v  f  x 
Misalkan  uv   uv  3uv   3uv   uv 
 0  f  x   3 2   f  x   3 2 x   f   x   x 2  f   x 
Contoh 4.2.14:
x
y  f x  2
, untuk setiap x . Tentukan turunan ketiga.
 x  1
Jawab :
u
1
diubah ke dalam bentuk y  uv dengan v 
v
w







f  x   u v  3u v  3u v  uv
Bentuk y 
2x    2  x  1

 x 48 x  x  1   24 x  x  1 
 0  v  3  0  v   3  1  2  x 2  1
3
4
2
3
2
2
2
3
 48 x 4  x 2  1  48 x 2  x 2  1  6  x 2  1
3
  x 2  1
4
  x 2  1
4
2
2
48x  48x  x  1  6  x  1 
4
 6 x
4
2
2
2
2
 36 x 2  6 
Contoh 4.2.15:
Turunan kedua untuk fungsi tersusun:
Asalnya y  u5 , dimana u  x 3  1 . Menurut aturan rantai, diperoleh:
dy dy du


 5u 4  3x 2  15u 4 x 2
dx du dx
dy
Biarkan tetap berbentuk di atas, lalu dilanjutkan menghitung
, yaitu:
du
5  Du4  x 2  15u4  Dx 2   60u3  3x 2  x 2  30u4 x
 30u3 x  u  6 x 3  , dengan u  x 3  1
Contoh 4.2.16:
Turunan kedua untuk fungsi implicit:
Diketahui y 3  y  x  0
Turunan pertama:
74
 Matematika dan Stastistika 
3y 2 y   y   1  0
y 
1
 3y  1
2
Turunan kedua:
6yy y   3y 2 y   y   0
y  

6 y  y  
 3y
2
2
 1
6 y
 3y
2
 1
3
Contoh 4.2.17:
Turunan kedua untuk fungsi dalam bentuk parameter, misalnya :
x  t  t 3  p t 
,
y  3t  2t 3  q t 
maka y 
dy q t  3  6t 2


 h t 
dx p t  1  3t 2
Sehingga diperoleh
 x  p  t 
sebagai persamaan parameter dari grafik y

 y   h  t 
Dengan cara yang sama, diperoleh:
 3  6t 2 

2 
d 2 y h  t   1  3t 
30t



2
2
dx
p  t  1  3t  1  3t 2 3
Catatan (6) :
 x  p  t  berlaku
Secara umum untuk bentuk parameter 
 y  q  t 
p  t  q  t   p t  q t 
y  
3
 p t  
Contoh 4.2.18:
Pada Contoh (4.2.17) :
x  t  t 3 , maka x  1  3t 2 dan x  6t
y  3t  2t 3 ,maka y  3  6t 2dan y  12t
75
 Matematika dan Stastistika 
Sehingga
dy (3  6t 2 )

dan
dx (1  3t 2 )
d 2 y (1  3t 2 )(12t )  (6t )(3  6t 2 )
30t


2
2 3
dx
(1  3t )
(1  3t 2 )3
Catatan (7) :
Kita mempergunakan pula istilah hasil bagi diferensial sebagai istilah lain dari turunan.
Sedang “dierensial” mempunyai arti yang sedikit berbeda :
Jika y  f  x  suatu fungsi, maka :
1.
2.
Dx disebut dierensial dari x , dimana dx  x
Dy disebut dierensial dari y , dimana dy  f  x  dx
( x , y adalah perubahan dari x dan y )
Contoh 4.2.19:
Jika y  f  x   x2 , maka dy  2xdx
Sementara  y  (x  x)2  x 2  2xx   x 
2
Jadi, sebenarnya dy adalah y dengan mengabaikan suku x 2 yang sangat yang sangat
kecil bila x kecil.
Contoh 4.2.20:
Rumus-rumus untuk diferensial tidak berbeda dengan rumus-rumus untuk turunan.
Misalnya :
1.
y  2cos x , maka dy  2sin xdx
2.
2 

y  3e2 x  arctan2x , maka dy   6e2 x 
 dx
1  4 x2 

Latihan
1)
 x  t 2  2t
Turuna pertama dari 
adalah …
3
y  t  5
1
a.
4
27
b.
4
27
c.
7
d.
4
76
 Matematika dan Stastistika 
2)
Diketahui e  x
a.
3x 2e x
b.
3x 2 e  x
3
3
3
4
, maka y  adalah ....
4
4
3x 2 e  x
c.
3
x 2e  x 4
d.
Diketahui f  x   y  2x  3 . Fungsi inversnya f 1  x  adalah ....
3
3)
2
1
b.
2
1
3
y
c.
2
2
1
y 2
d.
2
Turunan pertama dari fungsi implisit x  cos x  e y  xy 2  0 adalah ....
a.
4)
5)
6)
a.
1  sin x  y 2
 ey  2xy 
b.
1  sin x  y 2
 ey  2xy 
c.
1  sin x  x 2
 ey  2xy 
d.
1  sin x  y 2
 ey  xy 
Dengan logaritma, turunan dari y  x 3e2 x cos x adalah ....
3

a.
x 3e2 x cos2 x   2  2tan x 
x

3 2x
2
b.
x e cos x
3

c.
  2  2tanx 
x

3

d.
cos2 x   2  2tan x 
x

t
x  e
dy
Diketahui fungsi 
, maka nilai
adalah ….
3t
dx
y  e
a.
b.
c.
d.
3x
x2
3x2
6x2
77
 Matematika dan Stastistika 
7)
Turunan ketiga dari y  x2 f  x  adalah ....
a.
6xf   x   6 f   x   f   x 
b.
c.
6  6x  x2
f   x   f   x   f   x 
6 f  x   6xf  x   x2 f  x 
x
y  F x  2
untuk setiap x , maka turunan ketiga dari fungsi tersebut adalah ….
 x  1
d.
8)
a.
b.
c.
d.
x
x
x
x
2
2
2
2
 1
 6x  36x  6 
 1  6 x  36 x  6 
 1  6 x  36 x 
 1  6 x  36 x 
4
4
4
4
4
4
4
4
2
2
2
2
Ringkasan
Sampai di sini saudara telah mengingat kembali jenis-jenis turunan, terdiri dari aturan
rantai untuk fungsi tersusun, turunan dari fungsi-fungsi invers,turunan fungsi implisit,
penurunan dengan bantuan logaritma, turunan dari fungsi dalam persamaan parameter,
turunan kedua dan turunan yang lebih tinggi. Selain itu, turunan antar jenis turunan juga
telah dibahas. Dengan bekal ini, diharapkan topik-topik berikutnya yang memanfaatkan
pengertian fungsi dan sifat-sifatnya dapat teratasi dengan baik.
Tes 2
1)
2)


Jika f  x   sin2  2 x   maka nilai dari f   0  adalah ....
6

2 3
A.
B.
2
3
C.
D.
2
Persamaan garis singgung kurva y  2 x  2 di titik 2,p adalah ....
A.
B.
C.
D.
x – 2y  6  0
x – 2y – 6  0
2x  2y – 6  0
2x – y  6  0
78
 Matematika dan Stastistika 
3)
Turunan ke- n dari f  x  
1
....
 3x  2 
1  3n  n!

f x 
n 1
 3x  2 
n
1  3n  n!

n
f x 
n 1
 x  2
n
A.
B.
C.
D.
4)
7)
f
n
x 
3n  n!
 x  2
n 1
3n  n!
 x  2
n 1
270 meter
320 meter
670 meter
720 meter
Diketahui f  x   3x3  6x2  4 , nilai dari f   1 adalah ....
A.
B.
C.
D.
6)
f n x 
Suatu peluru ditembakkan ke atas, jika tinggi h meter stelah t detik dirumuskan
dengan ht   120t  5t 2 maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah …
A.
B.
C.
D.
5)
n
-21
-11
21
11
 x  a  cos t  t sint 
Diketahui 
, nilai y  adalah ....
y  a  sint  t cos t 
tant
A.
2t
B.
1t
 tant
C.
1

D.
t
Nilai y  dari y  
A.
B.
C.
D.
1
 lntan x adalah ....
2sin2 x
tan x
csc x
tan x csc x
tan x csc4 x
79
 Matematika dan Stastistika 
8)


1
x x 2  a2  a2 ln x  x 2  a2
2
ax
A.
y
B.
C.
D.
 , maka y adalah ....
a2  x2
ax
a  x 
2
80
 Matematika dan Stastistika 
Kunci Jawaban Tes
Tes 1
1)
A
2)
D
3)
A
4)
C
5)
C
6)
B
7)
D
8)
C
Tes 2
1)
C
2)
A
3)
A
4)
D
5)
C
6)
C
7)
D
8)
B
81
 Matematika dan Stastistika 
Daftar Pustaka
http://id.wikipedia.org/wiki/Turunan
Razali Muhammad, dkk. 2010. Kalkulus Diferensial. Bogor: Ghalia Indonesia.
Hw, Slamet. 2000. Kalkulus. Surakarta : Muhammadiyah University Press.
82
 Matematika dan Stastistika 
BAB V
PENGGUNAAN TURUNAN
Rudy Hartono dan Rahmat Kamaruddin
PENDAHULUAN
alam Modul 5 tentang pemakaian turunan akan diuraikan turunan sebagai salah satu bagian
dari kalkulus banyak digunakan dalam bidang ekonomi dan bisnis, industri, fisika (misalnya
dalam mekanika dan elektro), biologi, ilmu-ilmu sosial, dan sebagainya .
Pembahasan mengenai turunan telah kita jumpai pada materi kalkulus. Pada modul ini
pembahasan lebih ditekankan pada unsur analisis dan pemakaiannya, demikian halnya akan
dibahas tentang kajian analitik (pembuktian) untuk aturan-aturan yang menggunakan
pemakaian turunan.
Selain itu, akan diberikan beberapa contoh dari penggunaan aturan-aturan turunan
yang telah dibuktikan.
Modul 5 ini memuat uraian, contoh, latihan, petunjuk jawaban latihan , rangkuman,
dan soal tes.
1.
Bacalah uraian dan contoh dengan cermat dan berulang-ulang sehingga Anda benarbenar memahami dan materi yang dipelajari.
2.
Kerjakan latihan yang tersedia secara mandiri. Apabila dalam kasus atau tahapan
tertentu Anda mengalami kesulitan menjawab, maka pelajarilah rambu-rambu
jawaban latihan. Jika langkah ini belum berhasil menjawab pemasalahan, maka
mintalah bantuan tutor Anda atau orang lain yang lebih memahami.
3.
Ulangilah pengerjaan tes sampai Anda benar-benar merasa mampu mengerjakan
semua soal dengan benar.
Setelah mempelajari modul ini, diharapkan Anda mampu memahami konsep turunan.
Secara lebih terperinci, Anda diharapkan mampu :
1.
Memahami garis singgung dan garis normal
2.
Memahami nilai maksimal dan minimal dalam pemakaian turunan
3.
Mampu menghitung nilai ekstrim
4.
Mampu memahami pemakaian turunan dalam kehidupan sehari-hari.
83
 Matematika dan Stastistika 
Topik 1
Menentukan Garis Singgung, Garis Normal serta Nilai
Maksimum dan Minimum
Turunan sebagai salah satu bagian dari kalkulus banyak digunakan untuk
menyelesaikan masalah dalam bidang ekonomi dan bisnis, industri, fisika (misalnya dalam
mekanika dan elektro), biologi, ilmu-ilmu sosial, dan sebagainya. Pada Topik ini akan dibahas
beberapa di antaranya.
A.
GARIS SINGGUNG DAN GARIS NORMAL
Jika fungsi f  x  mempunyai suatu turunan pertama f   x0  pada x  x0 yang hingga,
maka grafik y  f  x  mempunyai garis singgung di  x0 , y0  dengan koefisien arah :
m  tan  f   x0 
Jika m  0 maka garis singgung sejajar sumbu X , persamaan: y  y0
Garis singgung tersebut mempunyai persamaan:
y  y0  m x  x0 
Gambar 5.1
Jika f  x  kontinu pada x  x0 tetapi f   x    , maka grafik mempunyai garis singgung
yang sejajar sumbu Y , persamaannya: x  x0 . Sebagai contoh adalah titik B dan titik D
pada gambar.
Garis normal grafik fungsi f  x  pada salah satu titik adalah garis yang tegak lurus garis
singgung pada titik tersebut.
84
 Matematika dan Stastistika 
Persamaan garis normal di x  x0 :
Y  y0  
1
 X  x0 
f  x 
Jika garis singgung // sumbu Y maka garis normal //
sumbu X .
Jika garis singgung // sumbu X maka garis normal //
sumbu Y .
Gambar 5.1.2
Contoh 5.1.1:
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada y  x 3  2x 2  4 pada titik ...
Jawab:
f (x)  y   3x 2  4 x dan f  2  4
Jadi, garis singgung: y  4  4  x  2 atau y  4 x  4
Garis normal: y  4  
 x  2
4
atau 4y   x  18
Contoh5.1.2:
Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik
x  y  16.
2
2
Jawab:
Misalkan titik P  x0 , y0  adalah titik singgung, maka:
1.
2.
x02  y02  16 karena P hiperbola
x
x
2x  2yy  0  y 
dan m  0
y
y0
Garis singgung melalui titik 2, 2 dan  x0 , y0  , sehingga
(y0  2)
(x0  2)
x0 (y0  2)

y0 (x0  2)
m
x02  2 x0  y02  2y0
2 x0  2y0  x02  y02
2 x0  2y0  16
x  8  y3
85
2, 2
terhadap hiperbola
 Matematika dan Stastistika 
Subtitusikan ke (1) diperoleh y0  3, x0  5, dan m 
3
5
Jadi persamaan garis singgung :
y 3
5  x  5
atau 3y  5x  16
3
Catatan (1):
Sudut perpotongan antara dua buah grafik fungsi didefinisikan sebagai sudut antara kedua
garis singgung pada titik potong kedua grafik tersebut. Untuk menentukan sudut
perpotongan antara dua grafik fungsi, langkahnya sebagai berikut.
1.
Tentukan titik potong
2.
Tentukan koefisien garis singgung m1 dan m2 pada titik potong tersebut
3.
Jika .., maka sudut perpotongan   00
1
Jika m1  
, maka sudut perpotongan   900
m2
Jika tidak memenuhi syarat di atas maka:
m1  m2
tan 
, dengan  adalah sudut lancip
1  m 1m 2
Contoh 5.1.3:
Tentukan sudut perpotongan antara grafik
y 2  4 x dan 2 x 2  12  5y
Jawab:
y2
disubtitusikan ke 2x 2  12  5y
4
Diperoleh y1  2  x1  1 y2  4  x2  4
y2  4 x  x 
Jadi titik potongnya adalah P1 1,2 dan P2  4, 4 
Untuk y 2  4 x  2yy  4  y  
2
y
2 x 2  12  5y  4 x  5y   y   
4x
5
2
1
4
 1, m2   4   
2
5
5
2
1
4
16
  , m2  4.  
Untuk titik P2  4, 4  : m1 
4
2
5
5
m  m2
 9 atau   83o40
Jadi P1 : tan  1
1  m1m2
Untuk titik P1 1,2  : m1 
86
 Matematika dan Stastistika 
Catatan (2)
Panjang garis singgung adalah panjang potongan garis singgung di hitung dari titik singgung
sampai titik potong dengan sumbu X . Sedangkan panjang proyeksi potongan garis tersebut
pada sumbu X di sebut panjang subgaris singgung (panjang subtangen).
Panjang garis normal adalah panjang potongan garis normal di hitung dari titik potong
dengan garis singgung sampai titik potong dengan sumbu X . Sedangkan panjang proyeksi
garis tersebut pada sumbu X di sebut panjang subgaris normal (panjang subnormal).
Perhatikan Gambar 5.3
Jika m  tan adalah koefisien arah garis singgung
y
Panjang subtangen (St )  TS  0
m
Panjang subnormal (Sn )  SN |my0 |
Panjang garis singgung TP  TS2  SP2
Panjang garis normal NP  SN2  SP2
Gambar 5.3
Contoh 5.1.4:
Tentukan panjang garis singgung, subtangen, garis normal, dan subnormal dari
xy  2x  y  5 pada titik 2,1
Jawab:
y  xy  2 – y  0  y  
 y  2
 x  1
pada titik 2,1 , y  m  3
y
1
panjang subtangen 0  
m
3
panjang subnormal |my0 | 3
87
 Matematika dan Stastistika 
2
10
 1
  1 
3
 3
panjang garis singgung
panjang garis normal
B.
(3)2  12  10
MAKSIMA DAN MINIMA
Definisi :
Suatu fungsi f  x  dikatakan naik pada titik x  x0 jika untuk h  0 yang cukup kecil, berlaku
f  x0  h  f  x0   f  x0  h
Fungsi f  x  dikatakan turun pada titik x  x0 jika untuk h  0 yang cukup kecil, berlaku
f  x0  h  f  x0   f  x0  h
Catatan (3)
Telah diketahui bahwa turunan pertama pada titik x  x0 menyatakan koefisien arah garis
singgung pada titik x  x0 , maka definisi dapat kita tulis:
f  x  naik pada titik x  x0 jika f   x0   0
f  x  naik pada titik x  x0 jika f   x0   0
Apabila f   x0   0 dikatakan f  x  mempunyai suatu titik krisis pada x  x0 .
Suatu fungsi f   x  dikatakan naik (monoton naik) pada suatu interval jika f   x0   0 untuk
setiap x pada interval tersebut. Dan fungsi f  x  dikatakan turun pada suatu interval jika
f   x0   0 untuk setiap x pada interval tersebut.
Contoh 5.1.5:
Perhatikan Gambar 5.4 berikut.
Gambar 5.4
f  x  naik pada interval a  x  r dan t  x  u , sedangkan f  x  turun pada interval
r  x  t . Titik kritis dari f  x  tersebut adalah titik R, S, dan T di mana garis singgung pada
titik tersebut horizontal.
88
 Matematika dan Stastistika 
Catatan (4):
Perhatikan Gambar 5.5 berikut:
Gambar 5.5
Busur dari f  x  pada Gambar 5.5 (a) disebut cembung dan busur dari f  x  pada Gambar
5.5 (b) disebut cekung.
Busur dari f  x  disebut cembung apabila ditarik garis singgung pada suatu titik pada busur,
maka semua titik lain pada busur tersebut terletak di atas garis singgung. Busur dari f  x 
disebut cekung apabila semua titik lain pada busur terletak di bawah garis singgung tersebut.
Dapat ditulis juga:
f  x  di sekitar x  x0 adalah cembung jika f   x0   0 , dan f  x  cekung jika f   x0   0 .
Gambar 5.6
Gambar 5.7
Catatan (5):
Apabila pada x  x0 , busur dari f  x  berubah dari cembung ke cekung atau sebaliknya,
dikatakan bahwa f  x  mempunyai titik belok pada x  x0 .
Dapat ditulis:
P  x0 , f  x0   adalah titik belok dari f  x  jika f   x0   0 dan f   x0   0 .
Contoh 5.1.6:
y  3x 4  10 x 3  12x 2  12x  7
89
 Matematika dan Stastistika 
Penyelesaian:
y  12x 3  30 x 2  24 x  12
y  36 x 2  60 x  24
Untuk mencari titik belok y  0 , sehingga y  36 x 2  60 x  24  0
1
Dari persamaan ini, diperoleh: x   dan x  2
3
Jika:
1
x   maka y      , berarti cembung
3
1
  x  2 maka y      , berarti cekung
3
x  2 maka y      , berarti cembung
x
1
1 1
x    x 2 x 2 x 2
3
3 3
y     , cembung
y    , cekung
y     , cembung
 1 322 
Titik belok adalah   , 
 dan 2, 63 karena pada titik tersebut y berubah tanda.
 3 27 
1
(Juga dapat diselediki bahwa y  72x  60  0 untuk x   maupun x  2 )
3
Definisi:
Fungsi f  x  dikatakan mempunyai harga maksimum relatif f  x0  di x  x0 jika ada q  0
yang cukup kecil, sedemikian sehingga f  x   f  x0  untuk setiap x dengan 0 | x  x0 | q .
Fungsi f  x  dikatakan mempunyai harga minimum relatif f  x0  di x  x0 jika ada q  0
yang cukup kecil, sedemikian sehingga f  x   f  x0  untuk setiap x dengan 0 | x  x0 | q .
Titik
 x , f  x  yang merupakan titik maksimum/minimum relatif disebut juga titik ekstrem
0
Catatan (6):
Jika f  x  didefenisikan pada suatu interval tertentu dan terdapat x  x0 pada interval
tersebut sedemikian sehingga f  x0   f  x  untuk setiap x pada interval tersebut, maka
f  x  dikatakan mempunyai maksimum mutlak f  x0  pada titik x  x0
f  x  dikatakan mempunyai minimum mutlak bila f  x0   f  x 
90
 Matematika dan Stastistika 
Gambar 5.8
Titik R adalah titik maksimum relatif dari f  x  , karena jika diambil q  0
cukup kecil
berlaku f  x   f  r  untuk 0 | x  r | q . Titik T adalah titik minimum relatif. Sedangkan S
bukan titik maksimum maupun minimum relatif.
Pada contoh di atas titik R merupakan titik maksimum mutlak pada interval a  x  u . Titik
T bukan titik minimum mutlak pada interval a  x  u karena f a  f t  . Tetapi jika
diambil interval r  x  u maka T merupakan titik minimum mutlak.
Contoh 5.1.7:
f  x   2x2  5x  4 untuk 1  x  2
5
f   x   4 x  5  0  x  merupakan titik kritis dan juga merupakan titik maksimum relatif
4
(ambil q kecil sekali, misalnya 0,001 maka
5

 5
5

f   0,001   f    f   0,001  .
4

4
4

5
Dapat dilihat dari gambar, titik x  merupakan satu-satunya titik maksimum relatif dan
4
juga merupakan titik maksimum mutlak. Sedangkan titik minimum mutlak diperoleh pada
titik batas interval yaitu pada x  2 dan pada gambar terlihat bahwa nilai minimum relatif
tidak ada.
Latihan
1)
Persamaan garis singgung dan garis normal pada y  x 3  2x 2  4
adalah ....
a.
y  x  18
b.
y  x  18
c.
4y  x  18
d.
4y  x  18
91
pada titik (2,4)
 Matematika dan Stastistika 
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Persamaan garis singgung yang melalui titik (2,-2) terhadap hiperbola x 2  y 2  16
adalah ....
a.
3y  5x  16
b.
y  x  16
c.
y  3  5x  5
d.
y  5x  25
Sudut perpotongan antara grafik y 2  4 x dan 2 x 2  12  5y adalah ....
a.
800
b.
810
c.
820
d.
830
Panjang garis singgung dari xy  2x  y  5 pada titik (2,1) adalah ....
1
a.
3
3
b.
10
c.
3
10
d.
Persamaan garis yang menyinggung parabola y 2  2x  4y  1  0 di (-2,1) adalah ....
a.
xy 0
b.
x  y 1  0
c.
x  y 1  0
d.
x  y 1  0
Persamaan garis singgung di (2,2) pada x 2  2xy  y 2  2x  y  6  0 adalah …
a.
yx 0
b.
y  2x  0
c.
y  2x  0
d.
2y  x  0
Persamaan garis yang menyinggung y  x 3  6 x  2 serta sejajar garis y  6x  2 dan
y  6x  12 adalah ....
a.
x  y  14
b.
x  y  14
c.
6x  y  14
d.
x  6y  14
Perkalian dari dua bilangan positif adalah 16. Jumlah kedua bilangan tersebut apabila
jumlah bilangan pertama dengan kuadrat bilangan kedua adalah terkecil adalah …
a.
8
b.
9
c.
10
d.
12
92
 Matematika dan Stastistika 
Ringkasan
Gradian garis untuk persamaan y  mx  c adalah m
a
b

gradien garis untuk persamaan ax  by  c , maka m  

gradien garis jika diketahui dua titik, misal  x1 , y1  dan  x2 , y2  maka untuk mencari
gradien garisnya m 
 y2  y1 
 x2  x1 

Gradien dua garis lurus, berlaku ketentuan :
jika saling sejajar maka m1  m2

jika saling tegak lurus maka m1  m2  1 atau m1  

Jika terdapat kurva y  f  x  disinggung oleh sebuah garis di titik
1
m2
 x1 , y1 
maka
gradien garis singgung tersebut bisa dinyatakan dengan m  f  x1  . Sementara itu
x1 dan y1 memiliki hubungan y1  f  x1  . Sehingga persamaan garis singgungnya bisa
dinyatakan dengan y  y1  m x  x1  .
Jadi intinya jika kita akan mencari persamaan garis singgung suatu kurva jika diketahui
gradiennya m dan menyinggung di titik  x1 , y1 
maka kita gunakan persamaan
y  y1  m x  x1 
Sedangkan jika diketahui 2 titik, misalnya  x1 , y1  dan  x2 , y2  maka untuk mencari
persamaan garis singgung dari dua titik tersebut kita dapat gunakan persamaan
y  y1
x  x1

y2  y1 x2  x1
Tes 1
1)
Persamaan garis singgung pada kurva y  2 x 2  6 x  7 yang tegak lurus garis
x  2y  13  0 adalah ....
A.
y  2x  15  0
B.
y  2x  15  0
C.
y  x  15  0
D.
y  x  15  0
93
 Matematika dan Stastistika 
2)
3)
4)
5)
Garis singgung pada kurva y  x 2  4 x  3 di titik (1, 0) adalah ....
A.
y  2x  4
B.
y  2x  4
C.
y  2x  2
D.
y  2x  2
Grafik fungsi f  x   x3  a x2  b x  c hanya turun pada interval
1  x  5 . Nilai
a  b adalah ....
A.
-11
B.
-12
C.
-15
D. -21
Persamaan garis singgung pada kurva y  x 3  10 di titik yang berordinat 18 adalah..
A.
y  4x  8  0
B.
y  4x  8  0
C.
y  6x  18  0
D.
y  6x  18  0
Persamaan garis singgung pada kurva y = y  x 4  5x 2  10 di titik yang berkoordinat
6 .…
A.
y  x 4 0
B.
y  2x  4  0
C.
y  4x  4  0
D.
y  6x  4  0
94
 Matematika dan Stastistika 
Topik 2
Menentukan Titik Ekstrim
CARA MENGHITUNG EKSTREM
Untuk menghitung ekstrem dapat dipergunakan suatu cara yang disebut tes turunan
kedua. Langkah-langkahnya sebagai berikut:
1.
Hitung titik kritis x  x0 dari persamaan f   x  .
2.
Untuk titik kritis x  x0 maka:
f  x  mempunyai nilai maksimum relatif jika f   x0   0
f  x  mempunyai nilai minimum relatif jika f   x0   0
Contoh 5.2.1:
250
250
f  x   x2 
, maka f   x   2 x  2
x
x
Titik kritis diperoleh dari f   x   0 berarti 2 x 
250
 0 , diperoleh x  5
x2
500
dan f   5   6  0
x3
Berarti f  x  mempunyai minimum relatif di x  5 sebesar f  5  75 .
f  x   2 
Catatan (7):
Apabila tes turunan kedua tidak kita gunakan atau gagal, pilihan lain adalah tes turunan
pertama. Langkahnya sebagai berikut.
1.
Hitung titik kritis x0 dari f   x   0
2.
Tentukan suatu interval x0  q  x  x0  q dan tentukan tanda dari f   x  pada interval
tersebut.
a.
Jika tanda f   x  berubah dari positif menjadi negatif pada x  x0 maka x  x0
b.
maksimum relatif.
Jika tanda f   x  berubah dari negatif menjadi positif pada x  x0
maka titik
x  x0 adalah minimum relatif.
c.
Jika f   x  tidak berubah tanda, berarti x  x0 bukan maksimum atau minimum
relatif.
Catatan (8):
F  x  mungkin pula mempunyai ekstrem pada x  x0 meskipun f   x0  tidak ada. Titik x  x0
dimana f  x0  tidak ada juga merupakan titik kritis dari fungsi. Nilai x  x0 ini dipergunakan
untuk langkah (2) pada tes turunan pertama di atas.
95
 Matematika dan Stastistika 
Contoh 5.2.2:
Diberikan f  x   x 4  2x3  3x2  4x  4
Tentukan nilai maksimum dan minimum (dengan tes turunan pertama).
Jawab:
1
2
f   x   4x3  6x2  6x  4  0 , diperoleh titik kritis x  2,  , 1 .
Kita tentukan tanda dari f   x  di sekitar titik kritis.
Jika x  2 maka f   x  negatif   : turun
1
Jika 2  x   maka f   x  positif    : naik
2
1
Jika   x  1 maka f   x  negatif    : turun
2
Jika x  1 maka f  x  positif   : naik .
f  x    
turun
f  x     
f  x    
naik
turun
f  x     
naik
Dari Catatan (5) dapat disimpulkan bahwa x  2 dan x  1 adalah titik minimum dan
1
x   adalah titik maksimum.
2
Contoh 5.2.3:
f  x   2  x 3 maka f   x  
2
2
1
3x 3
96
 Matematika dan Stastistika 
Pada titik x  0 , f   x  tidak ada, tetapi f  x   2 , maka x  0 adalah titik kritis (Catatan
(5)).
Kalau diselidiki tanda f   x  di sekitar x  0 maka untuk:
x  0, f  x  negatif  : turun dan untuk x  0, f  x  positif   : naik
Jadi, pada titik x  0 , f   x  berubah tanda dari negatif ke positif, berarti x  0 titik
minimum, dengan nilai sebesar f  0  2 .
Contoh 5.2.4:
Tentukan dua buah bilangan yang jumlahnya 16 dan perkaliannya adalah terbesar.
Jawab:
Misalnya bilangan-bilangan itu p dan q ,
Maka p  q  16 dan hasil kalinya y  pq  p16  p terbesar.
dy
 16  2p  0 , diperoleh p  8 .
dp
d 2y
Dengan tes turunan kedua 2  2  0 , maka p  8 adalah titik maksimum.
dp
Jadi bilangan tersebut p  8 dan q  16  8  8 .
Dan tentukan titik kritis
Contoh 5.2.5:
Suatu silinder dengan alas lingkaran memiliki volume 64 satuan volume.
Tentukan ukuran silinder tersebut agar luas bahan sekecil mungkin jika:
1.
Silinder terbuka di atas,
2.
Silinder tertutup di atas dan di bawah.
Jawab:
1.
Misalkan r  jari-jari alas dan t  tinggi silinder .
Volume silinder V   r 2  64
Luas bahan yang dipakai L  luas selimut + luas alas  2 t   r 2
Selalu diusahakan supaya L merupakan fungsi dari satu variabel saja, yaitu dengan
64
mengganti t  2 maka diperoleh :
r
2 r 64
128
L  2 rt   r 2 
  r2 
  r2
2
r
r
128
  r2  0
Turunan pertama = 0, maka
r
4
Diperoleh titik kritis r  3

97
 Matematika dan Stastistika 
Ada baiknya bila kita melakukan tes turunan kedua untuk memastikan bahwa r 
4
3

adalah titik minimum. Tetapi dalam soal-soal aplikasi seperti ini, mudah dirasakan
bahwa benar fungsi L  r  mempunyai minimum. Jadi tes turunan kedua tidak perlu
2.
kita lakukan.
4
64
4
Jadi, r  3 satuan panjang dan t  2  3 satuan panjang atau t  r
r


Jika silinder tertutup maka
2 r 64
128
L  2 rt   r 2 
  r2 
  r2
2
r
r
dL 128
 2  4 r  0
dr
r
32
Diperoleh titik kritis r  3

Jadi, r  3
32

satuan panjang dan t 
64
32
 23
satuan panjang atau t  2r .
2
r

Contoh 5.2.6:
Tentukan ukuran dari kerucut lingkaran tegak dengan volume minimum yang menyelubungi
suatu bola berjari-jari 8.
Jawab :
Misalkan jari-jari kerucut = r
Jika AD  x , maka tinggi kerucut.
Perhatikan segitiga ADE siku-siku di E, maka AE  x2  64
Segitiga ABC sebangun dengan segitiga AED , berarti:
8 x  8
r
x 8

maka r 
8
 x2  64 
 x2  64 
Volume kerucut : V 
 r2  x  8
3
3
2
64  x  8  16  x  8 
V

 3x 2  192   x  8 
. Jika r diganti, diperoleh :
dV 16  x  8   x  24 

 0 diperoleh titik kritis x  8 dan x  24
2
dx
 x  8
2
Karena x merupakan suatu panjang, maka kita ambil nilai yang positif, ..
Jadi, tinggi kerucut adalah x  8  24  8  32 dan jari-jari alas r  8 2 .
Contoh 5.2.7:
98
 Matematika dan Stastistika 
Tentukan ukuran dari persegi panjang dengan luas terbesar yang dapat dibuat di dalam
parabola y 2  4 px yang dibatasi oleh garis x  a (lihat gambar)
Jawab:
Misalkan persegi panjang tersebut PBBP
Jadi, ukuran dari persegi panjang tersebut adalah :
4ap
y 2 2a

Panjang: 2y  2
dan lebar a  x  a 
3
4p 3
Contoh 5.2.8:
Tentukan tinggi dari silinder lingkaran tegak yang volumenya tersebar yang dibuat di dalam
bola berjari-jari R .
Jawab :
Misalkan : jari-jari alas silinder = r ,
tinggi silinder = 2t .
volume silinder = V  2 r 2t
pada segitiga MPQ , r 2  R2  t 2
Dengan mengganti r 2 diperoleh
V  2  R2  t 2  t
dV
R
 2 R2  6 t 2  0, sehingga t 
dt
3
 R 
2R
Jadi, tinggi silinder adalah: 2t 
dan jari-jari: r  R  

3
 3
2
Contoh 5.2.9:
Sebuah karton berbentuk segitiga sama sisi dengan sisi p. dari karton tersebut dibuat sebuah
prisma segitiga tegak tanpa tutup. Tentukan ukuran prisma supaya isinya sebesar mungkin.
Misalkan tinggi prisma = x dan sisi alas = y dapat dilihat dari gambar
99
 Matematika dan Stastistika 
AP  QP  x cot30o  x 3 , sehingga v  PQ  AB  AP   QB  p  2x 3
Volume prisma = luas alas × tinggi = luas segitiga sama sisi.
V  PQR  tinggi 

y2 x 3
4
   p  2x 3 
2
4
atau
p2 x 3
 3px 2  3px 3 3
4
dV p2 3

 6 px  9 x 2 3  0
dx
4
V
p 3
p 3
dan x 
6
18
Di sini kita melakukan tes turunan kedua pada masing-masing titik kritis.
p 3
d 2V
d 2V
,
untuk
diperoleh
x

 3p (negatif) minimum, sedangkan


6
p

18
x
3
6
dx 2
dx 2
p 3
p 3
d 2V
untuk x 
di peroleh
sebagai
 3p (positif) , maksimum. Jadi, kita ambil x 
2
18
18
dx
2p
tinggi prisma dan sisi alas prisma adalah p  2 x 3  .
3
Diperoleh titik kritis x 
Catatan (9) :
Tanpa melakukan tes turunan kedua kita juga dapat menentukan bahwa yang diminta
p 3
p 3
adalah x 
karena jika di ambil tinggi x 
maka didapatkan sisi alas prisma
18
6
y  p  2 x 3  0 , jelas bukan prisma yang diminta.
Contoh (5.2.10):
Sebuah kawat panjangnya p di potong menjadi 2 bagian. Bagian pertama menghubungkan
membentuk sebuah bujur sangkar dan bagian lain membentuk sebuah lingkaran.
Tentukan panjang masing-masing bagian, supaya jumlah luas daerah bujur sangkar dan
lingkaran sekecil mungkin.
Jawab :
Misalkan : Sisi bujur sangkar : x
Jari-jari lingkaran : y
Keliling bujur sangkar : K1  4 x
Keliling lingkaran
: K2  2 y
Berlaku hubungan
X
y
: 4 x  2 y  p (panjang kawat) atau x 
Jumlah luas bujur sangkar dan lingkaran adalah
L  x 2  2 y 2 dan jika x diganti maka:
100
 p  2 y 
4
 Matematika dan Stastistika 
 p  2 y   2 y  0
dL

16
dy
4
p
2p
Diperolehkan titik kritis : y 
dan x 
2  8 
2  8 
 p  2 y    y 2
L
dan
2
Jadi, K1  4 x 
2
8p
2 p
dan K2  2 y 
2  8 
2  8 
Contoh 5.2.11:
Sebuah kerucut lingkaran tegak K1 tingginya t dan jari-jari lingkaran alasnya = r . Sebuah
kerucut lain K2 terletak di dalam kerucut pertama dalam keadaan terbalik di mana
puncaknya berimpit dengan pusat lingkaran alas kerucut terbalik di mana puncaknya
berimpit dengan pusat lingkaran alas kerucut pertama. Tentukan ukuran kerucut tersebut
agar volumenya terbesar.
Jawab :
Misalkan tinggi kerucut K2 adalah x dan jari-jari lingkaran
alasnya y . Perhatikan segitiga PQR maka:
r t  x 
RS ST
tx y
dimana

atau
 atau y 
t
RP PQ
t
r
r dan t konstanta.
( y 2 x)  r 2 x(t  x)2
Volume
kerucut
dan
K2 : v 

3
3t 2
dv  r 2 2
t
 2 t  4tx  3x 2   0 . dari sini diperoleh x  t dan x 
3
dx 3t
sebagai titik kritis.
Jelas x  t tak dapat diambil karena berakibat y  0 dan volume = 0 bukan yang terbesar.
2r
t
Jadi, x  merupakan tinggi kerucut K2 dan jari-jarinya adalah y  .
3
3
Contoh 5.2.12:
Tentukan persamaan garis melalui titik
3,4 
yang bersama dengan sumbu-sumbu
koordinat di kuadran pertama membentuk segitiga yang luasnya terkecil  0 .
Jawab :
Misalkan garis memotong sumbu X di Aa,0
dan memotong sumbu Y di B 0, b
Persamaan garis tersebut dapat ditulis:
Karena melalui  3,4  , maka memenuhi
x y
 1
a b
101
 Matematika dan Stastistika 
3b
3 4
  1 atau a 
a b
b  4
 3b 
2
Luas segitiga ABO adalah
2b  4 
dan
dL 3b  b  8 
, sehingga diperoleh b  0 dan b  8

db 2  b  4 2
Jelas b  0 tidak diambil berarti b  8 .
3b
x y
 6 , sehingga persamaan garisnya adalah   1
Untuk b  8 , maka a 
6 8
b  4
Latihan
1)
Diketahui f  x   3  2x  x2 . Nilai maksimum dari fungsi tersebut adalah ....
2)
a.
4
b.
3
c.
2
d.
1
Diketahui f  x   x2  2x  3 . Nilai minimum dari fungsi tersebut adalah ....
3)
4)
5)
a.
-1
b.
-2
c.
-3
d.
-4
Tinggi dari silinder lingkaran tegak yang volumenya terbesar yang dibuat di dalam bola
berjari-jari R adalah ....
R
a.
3
2R
b.
3
R
c.
3
2R
d.
2
Ukuran dari kerucut lingkaran tegak dengan volume minimum yang menyelubungi
suatu bola berjari-jari 8 adalah ....
a.
tinggi = 8 dan jari – jari = 2
b.
tinggi = 32 dan jari – jari = 8 2
c.
tinggi = 24 dan jari – jari = 8 2
d.
tinggi = 32 dan jari – jari = 8
Diberikan f  x   x 4  2x3  3x2  4x  4 nilai maksimum dan minimum (dengan tes
turunan pertama) adalah ....
102
 Matematika dan Stastistika 
a.
b.
c.
d.
6)
x  2 dan x  1 titik minimum dan x  
1
titik maksimum
2
1
titik maksimum
2
1
x  1 dan x  2 titik minimum dan x   titik maksimum
2
x  2 dan x  1 titik minimum dan x  2 titik maksimum
x  2 dan x  1 titik minimum dan x 
Dua buah bilangan yang jumlahnya 16 dan perkaliannya terbesar adalah …
a.
14 dan 2
b.
12 dan 4
c.
8 dan 8
d.
9 dan 7
Ringkasan
Suatu fungsi f dikatakan naik pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1
dan x2 dalam selang tersebut, x1  x2 mengakibatkan f  x1   f  x2  .
Suatu fungsi f dikatakan turun pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan
x1 dan x2 dalam selang tersebut, x1  x2 mengakibatkan f  x1   f  x2  .
Suatu fungsi dikatakan naik jika bergerak ke kanan, grafik fungsi tersebut bergerak ke
atas, dan turun jika grafik fungsi tersebut bergerak ke bawah. Sebagai contoh, fungsi di
samping naik pada selang  ,a  , konstan pada selang  a, b , dan turun pada selang  b,  
. Seperti yang ditunjukkan Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun di bawah ini, turunan positif
akan mengakibatkan suatu fungsi akan naik, turunan negatif akan mengakibatkan fungsi
tersebut turun, dan turunan nol pada seluruh selang akan mengakibatkan fungsi tersebut
konstan pada selang tersebut.
Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada selang tutup a, b dan terdiferensialkan
pada selang buka  a, b .
1.
2.
3.
Jika f   x   0 untuk semua x dalam  a, b , maka f naik pada a, b .
Jika f   x   0 untuk semua x dalam  a, b , maka f turun pada a, b .
Jika f   x   0 untuk semua x dalam  a, b , maka f konstan pada a, b .
Tes 2
1)
Tentukan tinggi dari silinder lingkaran tegak yang volumenya tersebar yang dibuat di
dalam bola berjari-jari R ....
A.
B.
2R 5
2R 2
103
 Matematika dan Stastistika 
2)
5R 5
C.
D.
5R 2
Sebuah karton berbentuk segitiga sama sisi dengan sisi p. dari karton tersebut dibuat
sebuah prisma segitiga tegak tanpa tutup. Tentukan ukuran prisma supaya isinya
sebesar mungkin.
A.
B.
C.
D.
3)
4)
2P 2
2P 5
2P 3
2P 4
Sebuah kawat panjangnya p di potong menjadi 2 bagian. Bagian pertama
menghubungkan membentuk sebuah bujur sangkar dan bagian lain membentuk
sebuah lingkaran.
Tentukan panjang masing-masing bagian, supaya jumlah luas daerah bujur sangkar dan
lingkaran sekecil mungkin.
8p
2 p
A.
Bagian 1 
dan bagian 2 
 2  8 
 2  8 
B.
Bagian 1 
8p
2 p
dan bagian 2 
 2  8 
 2  8 
C.
Bagian 1 
4p
p
dan bagian 2 
 2  8 
 2  8 
D.
Bagian 1 
4p
p
dan bagian 2 
 2  8 
 2  8 
Sebuah kerucut lingkaran tegak K1 tingginya t dan jari-jari lingkaran alasnya = r .
Sebuah kerucut lain K2 terletak di dalam kerucut pertama dalam keadaan terbalik di
mana puncaknya berimpit dengan pusat lingkaran alas kerucut terbalik di mana
puncaknya berimpit dengan pusat lingkaran alas kerucut pertama. Tentukan ukuran
kerucut tersebut agar volumenya terbesar.
104
 Matematika dan Stastistika 
A.
B.
C.
D.
5)
t
dan jari-jari  2r
3
2r
Tinggi  t dan jari-jari 
3
t
3r
Tinggi  dan jari-jari 
3
2
t
2r
Tinggi  dan jari-jari 
3
3
Tinggi 
Tentukan persamaan garis melalui titik (3,4) yang bersama dengan sumbu-sumbu
koordinat di kuadran pertama membentuk segitiga yang luasnya terkecil ≠ 0.
x y
 0
A.
a b
x y
 0
B.
a b
x y
 1
C.
a b
x y
 1
D.
a b
105
 Matematika dan Stastistika 
Kunci Jawaban Tes
Tes 1
1)
B
2)
C
3)
D
4)
D
5)
A
Tes 2
1)
A
2)
C
3)
A
4)
D
5)
C
106
 Matematika dan Stastistika 
Daftar Pustaka
http://id.wikipedia.org/wiki/Turunan
Hw, Slamet. 2000. Kalkulus. Surakarta : Muhammadiyah University Press.
Razali, Muhammad, dkk. 2010. Kalkulus Diferensial. Bogor: Ghalia Indonesia.
107
 Matematika dan Stastistika 
BAB VI
INTEGRAL
Rudy Hartono dan Rahmat Kamaruddin
PENDAHULUAN
Gottifried Wilhelm von Leibniz (1649) adalah seorang ilmuwan, filsuf matematikawan,
diplomat, pustakawan, dan pengacara berkebangsaan Jerman keturunan Sorb. Leibniz dan
Newton, sama-sama diberi penghargaan atas perannya dalam mengembangkan kalkulus
modern, khususnya dalam pengembangan integral. Menurut catatannya, terobosan sangat
penting terjadi pada 11 November 1675 ketika ia mendemonstrasikan kalkulus integral
pertama kalinya untuk menghitung luas daerah di bawah fungsi y  x . Ia memperkenalkan
beberapa notasi dalam kalkulus yang tetap digunakan sampai sekarang, sebagai contoh
simbol integral  merupakan modifikasi dari huruf diambil dari kata Latin Summa dan
penggunaan huruf d untuk diferensial (turunan) dari kata Latin differentia.
Dalam bab ini, Anda akan mempelajari integral yang di dalamnya menyangkut tentang
merancang aturan integral tak tentu dari aturan turunan. Menghitung integral tak tentu
fungsi aljabar. Menjelaskan integral tentu sebagai luas daerah di bidang datar. Menghitung
integral dengan rumus integral subtitusi, menghitung integral dengan rumus integral parsial.
Pada bab ini terdiri dari 3 topik. Topik 1, memuat tentang integral tak tentu mulai dari
konsep yang merupakan invers atau kebalikan dari pendeferensialan, yaitu anti turunandari
suatu fungsi. Dibahas pula secara detail mengenai rumus-rumus integral tak tentu.
Topik 2, memuat tentang integral tentu yang merupakan suatu konsep yang
berhubungan dengan proses perhitungan luas suatu daerah di bawah suatu kurva yang
batas-batas dari daerah tersebut diketahui. Dijelaskan pula mengenai sifat-sifat integral tak
tentu dalam penyelesaiannya.
Topik 3, kita akan membahas tentang integral parsial dan penggunaan integral.
Memuat penggunaan integral khususnya volume dan luas benda putar yang dibatasi Dua
kurva yang diputar mengelilingi sumbu x .
Setelah Anda mempelajari modul ini diharapkan Anda memahami konsep Integral,
secara sistematis Anda diharapkan mampu:
1.
Menjelaskan konsep integral tak tentu
2.
Menjelaskan konsep integral tentu
3.
Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar sederhana
4.
Menjelaskan konsep integral parsial dan penggunaannya
108
 Matematika dan Stastistika 
5.
6.
Menjelaskan dan mengerti penggunaan integral khususnya luas dan volume benda
putar
Menjelaskan dan menggunakan integral luas dan volume benda putar yang dibatasi
Dua Kurva yang diputar mengelilingi sumbu x .
109
 Matematika dan Stastistika 
Topik 1
Integral Tak Tentu
PENGERTIAN INTEGRAL TAK TENTU
Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul
ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir
bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang
integral adalah  .
Integral Tak tentu adalah suatu bentuk anti turunan dari suatu fungsi yang dapat
diturunkan pada selang tertentu. Pada pembahasan Integral tak Tentu akan diperkenalkan
sebagai kebalikan operasi pendeferensial, yakni sebagai bentuk paling umum dari “anti
turunan”.
Jika F  x  adalah sebuah fungsi dengan F   x   f  x  dapat dikatakan bahwa
1.
turunan F  x  adalah f  x  dan
2.
antiturunan dari f  x  adalah F  x 
Proses menentukan anti turunan dari suatu fungsi f dinamakan integral tak tentu, ditulis
dengan lambang :
 f  x  dx  F  x   c
Perhatikan bagan berikut
Deferensial (turunan)
Dx  x   1
Dx  x 2  1  2x
Integral (anti turunan)
F  x   Fx 1  x
F (x)  Fx (2 x)  x 2  1
Dx  x 3  1  3x 2
F (x)  Fx (3x 2 )  x 3  c
.
Dx  x n  c   nx n1
.
F  x   Fx  nx n1   x n  c
Dapat dilihat bahwa Fx  nx n1   x n  c  n
x n11
c
n 1 1
Jadi,
Fx  x n  
x n1
 c , n  1
n 1
110
 Matematika dan Stastistika 
Oleh Leibnitz ditulis dengan simbol
 x ndx 
x n1
 c , n  1
n 1
B.
RUMUS INTEGRAL TAK TENTU
1.
Jika F  x  adalah fungsi dengan F   x  maka
 f  x  dx  F  x   c ;
dengan c
sembarang konstanta
Contoh 6.1.1:
Tentukan nilai  4 x 3  2x 2dx
Jawab :
 4x
3
4 3 1
2 21
x 
x c
31
21
4
2
 x4  x3  c
4
3
2
 x4  x3  c
3
 2 x 2dx 
Jadi, dengan menggunakan aturan tersebut, kita tidak perlu mengetahui terlebih
dahulu fungsi awalnya, tetapi cukup diketahui fungsi turunannya. Dengan demikian
jika
2
F   x   4 x 3  2 x 2 , maka F  x   x 4  x 3  c
3
2.
Untuk n bilangan rasional dengan n  1 , dan a, c adalah bilangan real maka berlaku
aturan:
1 n 1
n
a.
 x dx  n  1 x  C
a n 1
n
b.
 ax dx  n  1 x  C
Contoh 6.1.2 :
Hitunglah integral berikut
 4x dx
1
 x dx
3
a.
b.
2
c.

x 3 dx
d.

1
x3
dx
Jawab:
4
 4 x dx  3  1 x
3
3 1
 C  x4  C
111
 Matematika dan Stastistika 
3.
1
1
1
x 21  C   x 1  C    C
2  1
x
3
3 1
5
1
1
2
x 3 dx   x 2 dx 
x2  x2  x x  c
3
5
5
1
2
2
3
1
1
1 21 2
 3 1
dx   x 2 dx 
x 2 
x 
c
3
3
1
2
x
 1

2
2
b.
 x dx   x
c.

d.

2
2
dx 
Jika f  x  dan g  x  merupakan dua fungsi yang dapat diintegralkan dan c , k bilangan
real, maka:
a.
 dx  x  c
b.
c.
d.
e.
f.
 k dx  kx  c
x n 1
c
n 1
 k f  x  dx  k  f  x  dx
n
 x dx 
  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx
  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx
Contoh 6.1.3:
Tentukan hasil dari
a.
b.
c.
 2  4 x dx
  x  1 dx
3
2
 x 3  2x 
  x  dx
Jawab:
a.
 2x
4
x 3 dx   2 x 4 x 2 dx  2 2 x 4 x 2 dx  2 2 x
3
3


11
1
 1

 2
x 2  c
11
 1

2



 1 132

 2  x  c
13


2

4 13
 x2 c
13
112
4  23
dx  2 x 2 dx
11
 Matematika dan Stastistika 
b.
  x  1 dx   x
c.
1 2 1
2 1 1
x 
x xc
21
11
1
 x3  x2  x  c
3




 x 3  2x 
x 3 2x 

  x  dx    x  x 




2
2
 2 x  1 dx


 x
  x 3  x 2  2x  x

4.
1
5
2
1
 12

 dx
 2 x 2 dx
1
5 1
x2 
2
1 1
x2  c
5
1
1
1
2
2
1 7 2 3
 x2  x2  c
7
3
2
2
2 27 4 23
 x  x c
7
3
2 3
4
 x x  x x c
7
3
Misalkan f1  x  , f2  x  ,..., fn  x  adalah fungsi yang dapat diintegralkan. Integral tak
tentu hasil penjumlahan dua fungsi atau lebih sama dengan integral tak tentu dari
masing-masing fungsi, yaitu:
  f  x    f  x     f  x  dx
  f  x  dx   f  x  dx     f  x  dx
1
2
1
n
2
Contoh 6.1.4:
Tentukan nilai dari
n
 3x
6
 2x2  1 dx
Jawab:
  3x
6
 2 x 2  1  dx  3 3x dx   2 x 2dx   1 dx
6
3
2
 x7  x3  x  c
7
3
Contoh 6.1.5:
113
 Matematika dan Stastistika 
Carilah nilai f  x  jika f   x   x3  4x2  3 dan f  0  1
Jawab:
f   x   x 3  4 x 2  3 maka f  x    x 3  4 x2  3 dx
1
4
f  x    x 3  4 x 2  3 dx  f  x   x 4  x 3  3x  c
4
3
Karena f  0   1  f  x   0  0  0  c  1, berarti c  1,
1
4
1
4
sehingga f  x   x 4  x 3  3x  c  x 4  x 3  3x  1
4
3
4
3
Latihan
1)
2)
3)
Tentukan hasil dari integral berikut:
Tentukan integral dari  4x 3dx
a.
x4
b.
x3
c.
x2
d.
12x2
Jika diketahui tentukan integralnya !
a.
4 x2  9x  5  C
2 3 9 2
x  x  5x  C
b.
3
2
1 2
x  9 x  10  C
c.
3
d.
4 x3  9x2  5x  10  C
1
Jika diketahui 
dx maka integralnya adalah…
3
 2 x  1
a.
b.
c.
d.
4)
1
C
4  2 x  1
2
1
4 2x  1
2
1
2  4 x  1
2
1
2  2 x  1
Integral dari
2

C
C
C
1
3
 3x  2 
5
adalah …
114
 Matematika dan Stastistika 
a.
b.
c.
d.
5)
2
2  3x  2  3
2
2
2  x  2  3
1
2
2  3x  2  3
1
1
C
C
C
2  3x  2  3
2
C
Hasil dari  8 x 3  3x 2  x  5 dx adalah …
a.
b.
c.
d.
1
2 x 4  x 3  x 2  5x  C
2
1
2x 3  x2  x  5  C
2
4
3
x  x  x2  5x  Cs
2x 4  x3  4 x2  5x  C
Ringkasan
Integral Tak tentu adalah suatu bentuk anti turunan dari suatu fungsi yang dapat
diturunkan pada selang tertentu. Integral tak Tentu akan diperkenalkan sebagai kebalikan
operasi pendeferensial, yakni sebagai bentuk paling umum dari “anti turunan”.
Jika F  x  adalah sebuah fungsi dengan F   x   f  x  dapat dikatakan bahwa
1.
turunan F  x  adalah f  x  dan
2.
antiturunan dari f  x  adalah F  x 
Jika F  x  adalah fungsi dengan F   x  maka
 f  x  dx  F  x   c ; dengan c
sembarang
konstanta.
Selanjutnya Untuk n bilangan rasional dengan n  1 , dan a , adalah bilangan real
maka berlaku aturan:
1 n 1
n
1.
 x dx  n  1 x  c
a n 1
n
2.
 ax dx  n  1 x  c
Tes 1
1)
Jika diketahui maka nilai integralnya adalah ....
115
 Matematika dan Stastistika 
2
A.
1
2 x  x     5x  c
2
B.
1
2x  2x     10 x  c
2
C.
1
2 x  2 x     5x  c
2
D.
1
2x  2x     10 x  c
2
4
3
2
4
3
2
4
3
2
2)
B.
C.
D.
 2x  1 x  5 dx , maka nilai integralnya adalah ....
2 3
x  9 x 2  15 x  c
3
2 3
x  9 x 2  15x  c
3
2 3 9 2
x  x  15x  c
3
2
2 3 9 2
x  x  15x  c
3
2
1
  2 x  1
Jika diketahui
A.
B.
C.
D.
4)
3
Jika diketahui
A.
3)
4
1
2
1
4 2x  1
2
1
2  x  1
2
1
2  x  1
2
B.
C.
D.
dx , maka nilai integralnya adalah ....
c
4  2 x  1
Jika diketahui
A.
3
c
c
c
  5x  1 
10
dx maka nilai integralnya adalah ....
1
11
 5x  1  c
55
1
11
 5x  1  c
55
 5x  1  c
11
 5x  1   c
11
116
 Matematika dan Stastistika 
5)
Jika diketahui
A.
B.
C.
D.

1
3
 3x  2 
5
dx ,maka nilai ntegralnya adalah
1
2 c
2  3x  2  3
1
2 c
2  x  2 3
1
2 c
2  x  2  3
1
2 c
2  3x  2 3
117
 Matematika dan Stastistika 
Topik 2
Integral Tentu
A.
PENGERTIAN INTEGRAL TENTU
Pada Topik 2, telah diperkenalkan integral tak tentu dimana batas integral tak di
tentukan. Pada bab ini akan diperkenalkan integral tentu sebagai limit jumlah
reiman,sebagai generalisasi dari proses perhitungan luas daerah tertutup pada bidang
datar,volume benda dan luas permukaan benda putar.
Jika fungsi f kontinu a, b dan fungsi F adalah suatu anti turunan f pada a, b , maka
b
 f  x  dx  F  b  F a 
a
Selanjutnya ditulis F  b   F  a   F  x   a
b
Contoh 6.2.1:
3
Selesaikan
  x  4  dx
1
Penyelesaian :
 x2
4
 4x 
2
 1
3
  x  4  dx  
1
2
 32

   1
   4  3   
 4  1  

 2
  2

 33 7 
  
 2 2
40

 20
2
B.
SIFAT-SIFATINTEGRAL TENTU
1.
Integral tentu sebagai operator linear,yaitu bersifat :
Misal f dan g terintegralkan pada a, b dan k suatu konstanta, maka kf dan f  g
terintegralkan dengan,
a.
b.
b
b
a
b
a
 k f  x  dx  k  f  x  dx
b
b
a
a
  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx
a
118
 Matematika dan Stastistika 
b
b
a
a
 f  x  dx   f  x  dx , a  b
c.
Contoh 6.2.2:
3
Selesaikan  6x 2dx
2
Penyelesaian:
3
 x3 
2 6 x dx  62 x dx  6  3 
2
3
3
2
2
3
 2 33  2    38


2.
Sifat penambahan selang
Jika f terintegralkan pada suatu selang tertutup yang mengandung tiga titik
a, b, dan c , maka
c
b
c
a
a
b
 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx
a , b  a , c 
Tidak tergantung dari urutan a, b, dan c.
Contoh 6.2.3:
4
Hitunglah | x  2| dx
3
Jawab:
Jika f  x   | x  2| berubah nilainya pada titik x  0 , sehingga harus diselesaikan
sebagai berikut,
 x  2, jika x  2
f  x  | x  2|= 
 x  2, jika x  2
4
2
4
3
2
| x  2| dx  | x  2| dx  | x  2| dx
3

2
4
   x  2 dx    x  2 dx
3
2
2
4
37
 1

1

   x 2  2x    x 2  2x  
 2
 3  2
 2 2
119
 Matematika dan Stastistika 
3.
Sifat Simetri
a.
Jika f fungsi genap f  x   f  x  , maka
a

a
b.
a
f  x  dx  2 f  x  dx
0
Jika fungsi ganjil f  x    f  x  , maka
a
 f  x  dx  0
a
Contoh 6.2.4:

Selesaikan
x
 cos  4  dx

Jawab:
Sebelum kita menyelesaikan hasil pengintegralan di atas, maka di tentukan terlebih
dulu apakah fungsi tersebut ganjil atau genap
x
 x
x
f  x   cos    f   x   cos     cos  
4
 4
4
x
Karena f  x   f  x  , maka f  x   cos   adalah fungsi genap, sehingga,
4


x
x
 cos  4  dx  20 cos  4  dx

x
 8  cos  
4
0
x
d 
4

  x 
 8 sin   
  4 0
  

 8 sin    sin0 
 4

4 2
Contoh 6.2.5:
3
 x3 
Selesaikan   2
 dx
x

2

3 
Jawab:
Sebelum kita menyelesaikan hasil pengintegralan di atas, maka di tentukan dahulu
apakah fungsi tersebut ganjil atau genap.
120
 Matematika dan Stastistika 
 x 
x3
x3
f x  2
dan f   x  


 f x
2
x 2
x2  2
 x   2
3
x3
adalah fungsi ganjil, sehingga
x2  2
3
 x3 
  x2  2  dx  0
3 
Karena f  x    f  x  , maka f  x  
Latihan
3
1)
Hasil dari
  3x
2
 2x  2  dx  40 Nilai
p
2)
2
a.
1
b.
1
c.
2
d.
Hasil dari  cos5 x dx  
a.
b.
c.
d.
3)
1
 cos6 x sin x  C
6
1
cos 6 x sin x  C
6
2
1
sin x  sin3 x  sin5 x  C
3
5
2 3
1 5
sin x  sin x  sin x  C
3
5
Hasil dari
a.
b.
c.
d.

  3  2x  dx  
2
1
3
3  2x   C
2
1
3
 3  2x   C
2
1
3
 3  2x   C
6
1
3
3  2x   C
6
3
4)
1
p
2
Hasil dari
x
2
 x  3 dx  
0
a.
b.
2
27
27
2
121
 Matematika dan Stastistika 
c.
d.
14
27
22
14
3
5)
Hasil dari
  x
2
 6 x  8  dx  
2
a.
b.
c.
d.
2
3
3
2
4
3
3
4
Ringkasan
Pada bab ini telah dijelaskan tentang integral yang meliputi integral tak tentu, integral
tentu serta penggunaan integral dalam kehidupan sehari-hari. Pembaca diharapkan mampu
memahami apa yang termuat dalam modul, baik itu konsep sampai dengan penggunaan
rumus serta penggunaannya dalam kehidupan sehari-hari.
Konsep integral ini merupakan konsep yang mendasar dan sangat diperlukan dalam
penyelesaian soal soal integral,pemecahan masalah yang berkaitan dengan integral. Sering
kali integral muncul dalam masalah kehidupan sehari-hari, dalam menentukan luas benda
putar dan volume benda putar.
Tes 2
3
1)
Hitunglah nilai dari
  3x
2
 2 x  1  dx ....
2
A.
B.
C.
D.
30
31
32
33
  4 x  6 x  dx ....
4
2)
Hitunglah nilai dari
1
A.
B.
C.
D.
20
24
28
32
122
 Matematika dan Stastistika 
 2
3)
Hitunglah nilai dari
 sin x dx ....
0
A.
B.
C.
D.
4
2
½
¼
 4
4)
 cos2x dx
Tentukan nilai dari
....
0
A.
B.
C.
D.
4
6
8
10
2
5)
Tentukan nilai dari
e
x 2
dx ....
2
A.
B.
C.
D.
1
2
3
4
123
 Matematika dan Stastistika 
Topik 3
Integral Parsial dan Penggunaan Integral
A.
INTEGRAL PARSIAL
Metode ini didasarkan pada integrasi dari rumus untuk turunan dari hasilkali
dua fungsi, misalkan u  f  x  dan v  g  x  , maka
Dx  f  x  g  x   f  x  Dx g  x   g  x  Dx  f  x 
Atau
f  x  Dx g  x   Dx  f  x  g  x   g  x  Dx  f  x  a
Dengan mengintegrasikan kedua ruas persamaan tersebut diperoleh
 f  x  Dx g  x  dx  f  x g  x    g  x Dx  f  x 
Karena
dv  Dx g  x  dan du  Dx  f  x  , maka persamaan menjadi
 u dv  uv   v du
Contoh 6.3.1:
Hitung 16  x  3 cos 2x    dx
Jawab:
Beberapa cara biasa digunakan untuk menyelesaikan soal integral parsial, dua diantaranya
akan ditunjukkan di sini.
Cara Pertama
Langkah pertama, tentukan dulu mana u dan mana dv , kemudian kita misalkan
(1)
 x  3  u
cos 2x    dx  dv (2)
Langkah pertama selesai, kita lihat lagi rumus dasar integral parsial, yaitu:
 u dv  uv   v du
Terlihat di situ kita perlu u , perlu v dan perlu du . u nya sudah ada, tinggal mencari du dan
v nya. Dari persamaan (1), untuk menentukan du , caranya turunkan u nya,
u   x  3 
du
 1  du  dx
dx
124
 Matematika dan Stastistika 
Dari persamaan (2), untuk menentukan v ,
dv  cos  2 x    dx atau
dv
 cos  2 x   
dx
dv
artinya turunan dari v adalah cos 2x    , untuk mendapatkan v , berarti kita harus
dx
integralkan cos cos 2x    jika lupa, silahkan lihat lagi cara integral pada fungsi
trigonometri,
1
v   cos  2 x    dx  sin  2 x     c
2
Kita rangkum lagi :
1
u   x  3  ; v  sin  2 x    ; du  dx
2
Saatnya kembali ke rumus dasar, masukkan nilai-nilai yang sudah dicari tadi:
16  x  3 cos 2x    dx
Simpan dulu 16 nya, terakhir nanti hasilnya baru di kali 16
  x  3 cos 2x    dx
 uv   v du
1
1
  x  3 sin  2 x      sin  2 x    du
2
2
1
1
  x  3 sin  2 x      sin  2 x    dx
2
2
1
1
  x  3 sin  2 x     cos  2 x   
2
2
1
1
  x  3 sin  2 x     cos  2 x   
2
4
sekarang kalikan dengan 16, dan tambahkan dengan C nya, sehingga diperoleh:
1
1

 16   x  3 sin  2 x     cos  2 x    
4
2

1
1

 16   x  3 sin  2 x     cos  2 x      C
4
2

 8  x  3 sin  2 x     4cos 2 x     C
Cara Kedua
16  x  3 cos 2x    dx.  ..........
Langkah Pertama
Buat tabel dua kolom terlebih dahulu seperti berikut
125
 Matematika dan Stastistika 
Tempatkan x  3 di kolom sebelah kiri dan turunkan berturut-turut sampai dapat NOL.
Sementara cos 2x    di sebelahnya integralkan berturut-turut hingga terakhir sejajar
dengan angka nol sebelah kiri.
Kolom pertama
x  3 jika diturunkan hasilnya adalah 1, jika diturunkan hasilnya adalah 0.
Kolom kedua
cos 2x    jika diintegralkan hasilnya adalah
1
1
sin  2 x    , kemudian
sin  2 x   
2
2
1
diintegralkan, hasilnya adalah:  cos  2 x   
4
Langkah ketiga
Kalikan baris pertama kolom 1 dengan baris kedua kolom dua, dan
baris kedua kolom 1 dengan baris ketiga kolom 2,lebih mudahnya ikuti tanda panah yang
diberikan gambar di atas, jangan lupa sertakan tanda plus atau minusnya.
Sehingga menghasilkan:

1

 1

16  x  3  sin  2 x      1    cos  2 x       C
2

 4


= 8 x  3 sin2x     4cos 2x     C 8 x  3 sin2x     4cos 2x     C
Hasilnya sama dengan cara yang pertama, untuk soal-soal berikutnya akan dipakai cara
kedua saja.
126
 Matematika dan Stastistika 
B.
PENGGUNAAN INTEGRAL
1.
a.
Luas Daerah Bidang Rata
Luas Daerah di atas Sumbu x
Jika y  f  x   0 , maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva y  f  x  , garis x  a dan
x  b serta sumbu x dapat ditentukan dengan rumus:
b
L   f  x  dx
a
b.
Luas Daerah di bawah Sumbu x
Jika y  f  x   0 (kurva di bawah sumbu x ), maka luas daerah yang dibatasi oleh
kurva y  f  x  , garis x  a dan x  b serta sumbu x dapat ditentukan dengan rumus:
b
L    f  x  dx
a
127
 Matematika dan Stastistika 
c.
Luas Daerah Antara Dua Kurva di Atas Sumbu x
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y  f  x  dan y  g  x  dimana f  x   g  x 
dalam interval x  a dan x  b dapat ditentukan dengan rumus :
b
L    f  x   g  x  dx
a
d.
Luas Daerah Antara Dua Kurva di Bawah Sumbu x
Rumus :
b
L    f  x   g  x  dx
a
Contoh 6.3.2:
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y  x  2 , garis x  0 dan x  2 serta sumbu x
adalah ....
128
 Matematika dan Stastistika 
Jawab:
Cara Pertama :
2
L   x  2 dx
0
1 2
 x2
2 0
1 2

  2   2 2   0
2

24
 6 satuan luas
Cara Kedua
Karena gambarnya berbentuk trapesium, maka kita dapat juga menggunakan rumus
luas trapesium.
tinggi trapesium = 2
sisi sejajar 1 = 2
sisi sejajar 2 = 4
maka:
1
1
L   2  4   2   6  2  6 satuan luas
2
2
Luas daerah yang dibatasi kurva y  x 2  3x  4
Jawab :
Cara Biasa
x 2  3x  4   x  4
x 2  3x  x  4  4  0
x2  4 x  0
x  x  4  0
x  0 x  4
129
dan garis y  x  4
adalah ....
 Matematika dan Stastistika 
a
L    f  x   g  x   dx
b
0
   x 2  4 x  dx
4
0
1
 x 3  2x 2
4
3
3
2
1
 0    4   2  4  
3

 64

 0     32 
 3

 64  96 
0

3

32

kurva berada dibawah sumbu x
3
32

3
Cara Praktis :
D D
6a2
x 2  3x  x  4  4  0
Gunakan rumus: L 
x2  4 x  0
Dari persamaan ini, diperoleh
a  1, b  4, dan c  0
D  b2  4ac
 42  4 1  0 
 16  0
 16
D D
, diperoleh
6a2
16 16 64 32
L


2
6
3
6 1
dari rumus L 
C.
VOLUME BENDA PUTAR
Metode yang dapat kita gunakan untuk menghitung volume benda putar
menggunakan integral ada 2, yaitu :
130
 Matematika dan Stastistika 
1.
Metode Cakram
Berdasarkan rumus Volume = Luas Alas × tinggi
Luas Alas di sini selalu berupa lingkaran maka Luas Alas =  r 2 (dimana r adalah jari-jari
putaran), digunakan jika batang potongan yang dipilih tegak lurus dengan sumbu putar
131
 Matematika dan Stastistika 
2.
Metode Cincin Silinder
Menurut pengertian bahwa jika suatu luasan diputar terhadap sumbu tertentu, akan
terbentuk suatu benda putar dengan volume sebesar luasan tersebut dikalikan dengan
keliling putaran. Dikarenakan keliling lingkaran = 2 r , jika luas bidang yang diputar = A ,
maka volume = 2 r  A . digunakan jika batang potongan sejajar dengan sumbu putar
Contoh 6.3.3:
1.
Carilah volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurva
y  x 2 , sumbu x, dan 0  x  2 jika diputar terhadap sumbu x?
Jawab:
Menggunakan metode cakram
132
 Matematika dan Stastistika 
2
Vx    y 2dx
0
2
     x 2  dx
2
0
2
   x 4 dx
0
1  2
   x5 
5 0
 1   1  
   25    0 5  
 5   5  
32
32
   0   satuan volume
5
5
Menggunakan metode cincin silinder
y  x2  x   y
Karena daerah yang diarsir ada di sebelah kanan sumbu x, maka dipilih x  y
4
Vx  2  y  2  x  dy
0

4

 2  y 2  y dy
0
4


 2  2y  y 2 dy
3
0
2 5 4

 2  y 2  y 2 
5 0


2 5 
2 5 
 2  42   4 2    02   0 2  
5
5
 


64


 2  16   0  0 
5


16 32
 80 64 
 2     2    satuan volume
5 
5
5
 5
133
 Matematika dan Stastistika 
2.
Carilah volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y  x 2
dan garis y  2x diputar mengelilingi sumbu y?
Penyelesaian:
Perpotongan kurva dan garis: x2  2x
x2  2x  0
x  x  2  0
x  0 atau x  2
x  0  y  02  0
x  2  y  22  4
Jadi titik potong kurva dan garis adalah  0,0 dan 2,4 
Menggunakan Metode cakram:
y  x2  x   y
Karena daerah yang diarsir ada di sebelah kanan sumbu x, maka dipilih x  y
(separuh kurva sebelah kanan).
1
y  2x  x  y
2
134
 Matematika dan Stastistika 
4
Vy     x12  x22  dy
0

 
0

4
 y
2
1 
 y
2 
2

 dy

4
1 

    y  y 2  dy
4 
0
1 4
1
   y2  y3 
12  0
2
 1
1
1
 1

    4 2   4 3     02   0 3  
12
12
 2

 2
 16 64

    0  0
 2 12

16 

 24 16  8
   8          satuan volume
3

 3 3 3
Menggunakan metode cincin silinder:
2
Vy  2  x  y1  y2  dx
0
2
 2  x  2 x  x 2  dx
0
135
 Matematika dan Stastistika 
2
 2   2 x 2  x 3  dx
0
1 2
2
 2  x 3  x 4 
4 0
3
 2
1
1
 2

 2  23   24     03   04  
4
4
 3

 3
 16

 2   4  0  0 
 3

 16 12  8
 2      satuan volume
 3 3 3
Latihan
1)
Tentukan hasil dar i   x  2 sin x    dx
2)
Tentukan hasil dari  x 2 cos x dx
3)
4)
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y  x 2  2 dan y  2x 2  x  4
Gambarlah daerah R yang dibatasi oleh kurva-kurva y  x  6, y  x 3 dan 2y  x  0 ,
kemudian hitunglah luasnya.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi oleh daerah yang dibatasi kurva y  x 2
dan y  6 x  x 2 jika diputar mengelilingi garis x  4 ?
5)
Ringkasan
Pada bab ini telah dijelaskan tentang integral yang meliputi integral tak tentu, integral
tentu serta penggunaan integral dalam kehidupan sehari-hari. Pembaca diharapkan mampu
memahami apa yang termuat dalam modul, baik itu konsep sampai dengan penggunaan
rumus serta penggunaannya dalam kehidupan sehari-hari.
Konsep integral ini merupakan konsep yang mendasar dan sangat diperlukan dalam
penyelesaian soal soal integral,pemecahan masalah yang berkaitan dengan integral. Sering
kali integral muncul dalam masalah kehidupan sehari-hari, dalam menetukan luas benda
putar dan volume benda putar.
136
 Matematika dan Stastistika 
Tes 3
1)
Luas daaerah yang dibatasi kurva y  x 2 dan garis x  y  6 adalah..
20 65 satuan luas
A.
22 satuan luas
B.
C.
D.
2)
24 65 satuan luas
26 satuan luas
Jika f  x    x  2  4 dan g  x    f  x  , luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g
2
dalam satuan luas adalah ....
19 satuan luas
A.
23 satuan luas
B.
20 13 satuan luas
C.
21 13 satuan luas
D.
3)
Luas daerah D yang dibatasi oleh parabola y  x 2 kuadran I, garis x  y  2 dan garis
y  4 adalah ....
12 satuan luas
A.
9 satuan luas
B.
6 satuan luas
C.
3 satuan luas
D.
4)
Volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang di kuadran I yang dibatasi oleh
kurva x  2 2y 2 , sumbu Y , dan lingkaran x 2  y 2  9 diputar mengelilingi sumbu Y
adalah ....
164
satuan volume
A.
15
64
satuan volume
B.
15
328
satuan volume
C.
15

satuan volume
D.
15
137
 Matematika dan Stastistika 
5)
Perhatikan gambar diarsir di bawah ini!
Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu Y, volume benda putar yang
terjadi adalah…
6 satuan volume
A.
2
6 satuan volume
B.
5
2
satuan volume
C.
5
5
satuan volume
D.
2
138
 Matematika dan Stastistika 
Kunci Jawaban Tes
Tes 1
1)
A
2)
C
3)
B
4)
B
5)
C
Tes 2
1)
D
2)
B
3)
C
4)
C
5)
B
Tes 3
1)
A
2)
D
3)
D
4)
D
5)
B
139
 Matematika dan Stastistika 
Daftar Pustaka
http://kamikita.student.fkip.uns.ac.id/
http://www.matematikastudycenter.com/bank-soal-un-mtk-sma/20-bank-soal-un-smaintegral-volume-benda-putar#ixzz23PemQAog
Anonim. Integral. http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/files/2008/08/fr-bab-14riemann.pdf
Anonim. Notasi Sigma.http://ns1.cic.ac.id/~ebook/ebook/adm/myebook/0004.pdf
Ayres, Jr. Frank ; 1964 ; Differential and Integral Calculus ; New York ; Schaum’s Outline
Series Mc Graw-Hill Book Company
Ayres, Jr. Frank, Lea Prasetio; 1985; Teori dan Soal-soal Diferensial dan Integral Kalkulus;
Jakarta: Penerbit Erlangga.
Dale Varberg, Edwin J.Purcell, I Nyoman Susila ; 2001; Kalkulus jilid 1; Batam: Penerbit
Interaksar.
140
 Matematika dan Stastistika 
BAB VII
STATISTIKA DESKRIPTIF
Rudy Hartono
PENDAHULUAN
Selamat Anda telah belajar tentang matematika, semoga makin memudahkan anda
mempelajari materi tentang statistik ini. Materi ini adalah tentang statistik. Modul ini
mempelajari tentang statistik deskriptif yaitu statistik yang menyederhanakan data sehingga
lebih mudah untuk memahami data tersebut. Untuk memudahkan dalam mempelajari
statistika, maka perlu diberikan pengantar statistika yang membahas tentang pemahaman
istilah-istilah dalam statistika, klasifikasi dan lain-lain.
Setelah mempelajari modul ini mahasiswa akan dapat :
1.
Menjelaskan definisi statistik
2.
Membedakan statistik deskriptif dan statistik inferensial
3.
Membedakan antara populasi, sampel dan sampling
4.
Menyebutkan dan memberikan contoh tentang data dan jenis-jenis data
5.
Membedakan skala pengukuran data.
141
 Matematika dan Stastistika 
Topik 1
Konsep Dasar Statistik
A.
DEFINISI STATISTIKA, STATISTIK DAN PARAMETER
Statistika menurut definisinya adalah ilmu pengetahuan yang membahas tentang caracara pengumpulan data, penyajian data, pengolahan data dan penarikan kesimpulan
berdasarkan data tersebut.
Statistik menurut definisi yang benar adalah semua harga, nilai, data atau besaran
yang dipunyai sampel dan biasanya dilambangkan dengan huruf abjad Latin misalnya ratarata hitung  X  , simpangan baku  S  , variansi  S 2  dan sebagainya. Statistik ini umumnya
merupakan penduga bagi parameter.
Parameter berasal dari kata para (sama dengan di samping) dan meter (sama dengan
suatu ukuran). Jadi parameter dapat diartikan suatu ukuran, besaran, data atau nilai yang
dipunyai populasi dan sulit untuk diukur. Parameter biasanya dilambangkan dengan huruf
abjad Yunani misalnya nilai rata-rata hitung () simpangan baku ( ) , variansi ( 2 ) dan
sebagainya.
B.
PENGGOLONGAN STATISTIKA
Berdasarkan ruang lingkup penerapan statistika dalam penelitian, maka statistika
dapat digolongkan menjadi statistika deskriptif dan statistika inferensial (statistika induktif).
Statistika deskriptif adalah statistika yang membahas tentang cara-cara meringkas,
menyajikan mendeskripsikan suatu data dengan tujuan agar data tersebut mudah
dimengerti dan lebih mempunyai makna. Penyajian suatu data dapat berbentuk daftar
(tabel) dan dalam bentuk diagram (gambar). Deskripsi suatu data dinyatakan dalam bentuk
ukuran pemusatan misalnya rata-rata hitung, modus dan sebagainya. Bentuk lain adalah
ukuran letak misalnya median, kuartil dan sebagainya. Deskripsi lain adalah ukuran
penyebaran misalnya rentang, simpangan baku, koefisien keragaman dan sebagainya.
Statistika inferensial adalah statistika yang dipergunakan untuk menyimpulkan tentang
parameter (populasi) berdasarkan statistik (sampel) atau lebih di kenal untuk proses
generalisasi. Jadi dalam statistika inferensial diperlukan adanya suatu hipotesis.
Penggolongan lain berdasarkan manfaatnya, statistika dibedakan menjadi statistika
terapan yang membahas tentang penerapan statistika untuk menunjang ilmu-ilmu lainnya.
Berikutnya adalah statistika matematik yang membahas tentang perkembangan teori
statistika yang banyak bersifat matematik.
Penggolongan berikutnya berdasarkan asumsi atau syarat-syarat parameter dan skala
data yang akan dianalisis, terdiri atas statistika parametrik dan statistika nonparameterik.
Statistika parametrik memperhatikan tentang syarat-syarat atau asumsi parameter misalnya
variansi sama, data berdistribusi normal dan sebagainya. Data yang dianalisis pada statistika
parametrik skala pengukurannya adalah rasio atau interval.
142
 Matematika dan Stastistika 
Statistika nonparametrik sesuai dengan namanya merupakan kebalikan dari statistika
parameterik yang telah diuraikan di atas. Jadi tantang asumsi atau syarat-syarat parameter
tidak diperhatikan dan skala datanya berbentuk ordinal atau nominal. Namun demikian data
yang dianalisis, skala pengukurannya bisa berbentuk rasio atau interval, tetapi data tersebut
tidak berdistribusi normal. Oleh karena itu statistika nonparametrik disebut juga sebagai
statistika bebas sebaran (freedisribution). Pada statistika nonparametrik, karena data yang
diuji sering berbentuk ranking atau jenjang, maka statistika nonparametrik sering juga
disebut teknik pengujian rank. Yang perlu mendapat perhatian, bila suatu data memenuhi
syarat untuk diuji dengan statistika parametrik sebaiknya diuji dengan statistika parametrik
pula. Bila data tersebut diuji dengan statistika nonparametrik berarti menyia-nyiakan
informasi, karena kemaknaannya menjadi berkurang, namun hal ini tidak merupakan
keharusan tergantung kepada keperluannya. Statistika nonparametrik di samping
mempunyai kelemahan di atas juga mempunyai keuntungan yaitu perhitungannya relatif
mudah dan memungkinkan untuk membuktikan hipotesis yang tidak terkait dengan
parameternya.
C.
POPULASI, SAMPEL DAN SAMPLING
Populasi adalah kumpulan atau totalitas suatu obyek yang akan diduga
karakteristiknya (parameternya). Berdasarkan jumlahnya, populasi dibedakan menjadi
populasi finit dan populasi infinit. Populasi finit adalah populasi yang jumlahnya terbatas
berarti bisa dihitung jumlahnya misalnya staf pengajar Jurusan Kebidanan Politeknik
Kesehatan Makassar, Jumlah bayi yang lahir di RS Pertiwi Makassar periode Januari –
Oktober 2005 dan sebagainya. Populasi infinit adalah populasi yang jumlahnya tidak
terbatas berarti tidak bisa ditentukan jumlahnya misalnya jumlah bakteri, virus, debu dan
sebagainya. Pendapat lain menyatakan bila jumlah populasi itu > 10.000 dimasukkan ke
dalam populasi infinit dan kebalikannya dimasukkan ke dalam populasi finit. Pemahaman
tentang populasi infinit dan finit ini penting, karena jumlah sampel salah satunya tergantung
kepada jenis populasi apakah infinit atau finit.
Sampel adalah bagian dari populasi yang diambil untuk diketahui karakteristiknya dan
proses pengambilannya dinamakan sampling. Tentang macam-macam sampling biasanya
dibicarakan dalam metode penelitian. Bila seluruh populasi itu dijadikan sampel, maka jenis
sampel ini disebut total populasi dan proses pengambilan sampelnya disebut sensus.
D.
DATA
Data adalah catatan atas kumpulan fakta. Data merupakan bentuk jamak dari datum,
berasal dari bahasa Latin yang berarti "sesuatu yang diberikan". Dalam penggunaan seharihari data berarti suatu pernyataan yang diterima secara apa adanya. Pernyataan ini adalah
hasil pengukuran atau pengamatan suatu variabel yang bentuknya dapat berupa angka,
kata-kata, atau citra.
143
 Matematika dan Stastistika 
Berdasarkan keilmuan atau sudut pandang ilmiah, maka fakta dikumpulkan untuk
menjadi data. Data kemudian diolah sehingga dapat diutarakan secara jelas dan tepat
sehingga dapat dimengerti oleh orang lain yang tidak langsung mengalaminya sendiri, hal ini
dinamakan deskripsi. Pemilahan banyak data sesuai dengan persamaan atau perbedaan
yang dikandungnya dinamakan klasifikasi.
Dalam pokok bahasan Manajemen Pengetahuan, data dicirikan sebagai sesuatu yang
bersifat mentah dan tidak memiliki konteks. Dia sekedar ada dan tidak memiliki signifikansi
makna di luar keberadaannya itu. Dia bisa muncul dalam berbagai bentuk, terlepas dari
apakah dia bisa dimanfaatkan atau tidak.
1.
a.
b.
c.
d.
e.
Jenis-Jenis Data
Data dapat dibagi menjadi berdasarkan:
Cara memperolehnya, maka data dapat dibagi menjadi: data primer adalah data yang
diambil secara langsung dari obyek penelitian oleh peneliti perorangan maupun
organisasi. misalnya: mewawancarai langsung pengunjung ApotikMalifah Farma untuk
meneliti kepuasan konsumen dan data sekunder data yang didapat tidak secara
langsung dari objek penelitian. Dalam hal ini peneliti mendapatkan data yang sudah
jadi yang dikumpulkan oleh pihak lain dengan berbagai cara atau metode baik secara
komersial maupun non komersial. Contohnya adalah pada peneliti yang menggunakan
data statistik hasil penelitian dari mahasiswa diploma tiga, strata satu, strata dua dan
strata tiga minat farmasi, laporan hasil penelitian pakar dan lain-lain.
Sumber data. Data ini terdiri atas: data internal yaitu data yang menggambarkan
situasi dan kondisi pada suatu organisasi secara internal, misalnya seorang mahasiswa
Diploma Tiga Jurusan Farmasi Poltekkes Makassar ingin mengumpulkan data tentang
berat badan mahasiswa Jurusan Farmasi Poltekkes Makassar dan data eksternal adalah
data yang menggambarkan situasi serta kondisi yang ada di luar organisasi tersebut,
misalnya mahasiswa Diploma Tiga Farmasi Poltekkes Makassar ingin mengumpulkan
data tentang kepuasan mahasiswa di Diploma Tiga Akademi Farmasi Sandi Karsa
Makassar.
Jenis data : data kuantitatif adalah data yang dipaparkan dalam bentuk angka-angka,
misalnya tinggi badan mahasiswa Diploma Tiga Jurusan Farmasi Poltekkes Makassar
dan data kualitatif adalah data yang disajikan dalam bentuk kata-kata yang
mengandung makna atau dengan kata lain adalah bukan dalam bentuk angka,
misalnya warna, suku, bangsa, bahasa, agama, rasa dan lain sebagainya.
Sifat data : data diskrit adalah data didapatkan dari hasil menghitung yang hasil
akhirnya adalah bilangan bulat, misalnya jumlah mahasiswa, jumlah balita, jumlah
kuman dan data kontinu adalah data yang didapatkan dari hasil mengukur dan akhir
data menghasilkan bilangan bulat dan atau desimal, misalnya berat badan si A adalah
38,0 Kg dan berat badan si B adalah 39,65 Kg. Berat badan si A menghasilkan bilangan
bulat dan berat badan si B menghasilkan bilangan desimal (pecahan).
Waktu pengumpulannya : data crosssection(at a point of time) adalah data yang
menunjukkan titik waktu tertentu, misalnya laporan keuangan Apotik Sana Farma
144
 Matematika dan Stastistika 
Makassar per 31 Desember 2014dan data berkala (timeseries) adalah data yang
nilainya menggambarkan sesuatu dari waktu ke waktu atau periode tertentu secara
historis,misalnya data timeseries adalah data perkembangan harga obat generik
dengan obat paten dari tahun 2010 sampai 2014.
2.
Skala Pengukuran Data
Berdasarkan skala pengukurannya, data dibedakan menjadi data skala rasio (skala
nisbah), interval ( skala selang), ordinal (skala jenjang), dan skala nominal (skala kategorial).
Data skala rasio ciri-cirinya adalah nilainya bersifat absolut (mutlak) dan ciri-ciri yang
dipunyai skala interval, ordinal dan nominal juga dipunyai pada skala rasio serta dapat
dilakukan operasi matematika di dalamnya , /, ,  dan ^ . Contoh data skala rasio
adalah berat badan dalam kilogram, tinggi badan dalam sentimeter dan sebagainya.
Berdasarkan tingkatannya data skala rasio paling tinggi, kemudian berturut-turut adalah
skala interval, ordinal dan yang paling rendah tingkatannya adalah data skala nominal.
Data skala interval mempunyai ciri jarak antara interval satu dengan lainnya adalah
sama dan nilainya tidak bersifat absolut. Ciri-ciri ordinal dan nominal juga ada pada data
skala interval serta dapat dilakukan operasi matematika , /, ,  dan ^ . Contoh hasil
pengukuran terhadap 5 obyek menghasilkan angka 10, 8, 6, 4, dan 2. jadi selisih antara 10
dengan 8 adalah sama dengan selisih 8 dengan 6. Contoh lain adalah hasil pengukuran suhu
dengan skala celcius. Angka 00C berarti tidak menunjukkan suhunya tidak ada, misalnya
kalau diukur dengan skala Kelvin suhu tidak akan 0. Selisih antara 50C dengan 100C adalah
sama dengan selisih antara 100C dengan 150C.
Data skala ordinal, ordinal berasal dari kata ordo yang artinya tataan atau deret. Data
skala ordinal mempunyai arti tingkatan, deret atau jenjang, sifat nominalnya ada dan
nilainya tidak bersifat absolut. Contoh nilai mutu ujian terdiri atas 4, 3, 2, 1 dan 0. selisih
antara nilai mutu 4 dan 3 tidak sama dengan selisih nilai mutu 3 dan 2. Contoh lain hasil
kejuaraan tinju juara 1, 2, 3 dan 4. Selisih kemampuan antara juara 1 dengan 2 tidak sama
dengan selisih juara 2 dan 3. Data ini mempunyai ciri posisi data tidak setara dan tidak bisa
dilakukan operasi matematik di dalamnya , /, ,  dan ^ .
Data skala nominal (kategorial), data tersebut dikategorikan misalnya jenis kelamin
terdiri atas laki-laki dan wanita. Tekanan darah dikategorikan menjadi normal dan tidak
normal. Cara pelayanan dibedakan menjadi luwes, sedang dan judes. Kategori suatu data
sering diberikan nama atau lambang misalnya jenis kelamin laki-laki (= 2) dan wanita ( = 1),
maka skala kategorial disebut pula sebagai skala nominal (berasal dari kata name =
nama).Data nominal mempunyai ciri posisi data setara dan tidak dapat dilakukan operasi
matematika , /, ,  dan ^ .
Pembagian lain data dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu. Data diskrit
adalah data yang diperoleh dengan cara menghitung misalnya jumlah penduduk, jumlah
bidan, jumlah dokter dan lain-lain. Data diskrit tidak mungkin berbentuk pecahan.
Kebalikannya adalah data kontinu yaitu data yang diperoleh dengan cara mengukur misalnya
tekanan darah, kadar hemoglobin, berat badan dan sebagainya. Jadi data kontinu nilainya
bisa berbentuk pecahan ataupun bilangan bulat.
145
 Matematika dan Stastistika 
3.
a.
b.
Penyajian Data
Ada dua cara penyajian data yang sering dilakukan, yaitu :
daftar atau tabel,
grafik atau diagram.
a.
Penyajian Data dalamBentukTabel
Misalkan, hasil ujian akhir semester mata kuliah Bahasa Indonesia 37 mahasiswa
Jurusan Farmasi Poltekkes Makassar disajikan dalam tabel di bawah. Penyajian data pada
Tabel 7.1 dinamakan penyajian data sederhana. Dari Tabel 7.1, Anda dapat menentukan
banyak mahasiswa yang mendapat nilai 9, yaitu sebanyak 7 orang. Berapa orang mahasiswa
yang mendapat nilai 5? Nilai berapakah yang paling banyak diperoleh mahasiswa?
Jika data hasil ujian akhir semester Mata Kuliah Bahasa Indonesia itu disajikan dengan
cara mengelompokkan data nilai mahasiswa, diperoleh tabel frekuensi berkelompok seperti
pada Tabel 7.1.
Tabel 7.1
Penyajian Data Sederhana
Nilai Frekuensi
2
7
4
3
5
5
6
4
7
10
9
7
10
1
Tabel 7.2
Tabel Distribusi Frekuensi
Interval Kelas
1–2
3–4
5–6
7–8
9–10
Turus Frekuensi
EB
7
C
3
EC
8
EE
10
EC
8
Jumlah
37
b.
Penyajian Data dalam Bentuk Diagram
Kerap kali data yang disajikan dalam bentuk tabel sulit untuk dipahami. Lain halnya jika
data tersebut disajikan dalam bentuk diagram maka Anda akan dapat lebih cepat memahami
data itu. Diagram adalah gambar yang menyajikan data secara visual yang biasanya berasal
146
 Matematika dan Stastistika 
dari tabel yang telah dibuat. Meskipun demikian, diagram masih memiliki kelemahan, yaitu
pada umumnya diagram tidak dapat memberikan gambaran yang lebih detail.
1)
Diagram Batang
Diagram batang biasanya digunakan untuk menggambarkan data diskrit (data
cacahan). Diagram batang adalah bentuk penyajian data statistik dalam bentuk batang
yang dicatat dalam interval tertentu pada bidang cartesius.
Ada dua jenis diagram batang, yaitu
a)
diagram batang vertikal, dan
b)
diagram batang horizontal.
Contoh 7.1.1:
Selama 1 tahun, Apotik "Malifah Farma" mencatat keuntungan setiap bulan sebagai
berikut.
Tabel 7.3
Keuntungan Apotik "Malifah Farma" per Bulan (dalam jutaan rupiah)
Bulan ke
2,5 1,8 2,6 4,2 3,5 3,3 4,0 5,0 2,0 4,2 6,2 6,2
Keuntungan 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
a)
Buatlah diagram batang vertikal dari data tersebut.
b)
Berapakah keuntungan terbesar yang diperoleh Apotik "Malifah Farma" selama 1
tahun?
c)
Kapan Apotik "Malifah Farma" memperoleh keuntungan yang sama selama dua
bulan berturut-turut?
Penyelesaian :
a)
Diagram batang vertikal dari data tersebut, tampak pada gambar berikut.
Gambar 7.1.
Diagram batang vertikal Keuntungan Apotik "Malifah Farma" per Bulan (dalam juta rupiah)
Gambar 7.1. Diagram batang vertikal Keuntungan Apotik "Malifah Farma" per
Bulan (dalam juta rupiah). Dari diagram tersebut tampak bahwa keuntungan
147
 Matematika dan Stastistika 
b)
2)
terbesar yang diperoleh Apotik "Malifah Farma" selama 1 tahun adalah sebesar
Rp 6.200.000,00.
Apotik "Malifah Farma" memperoleh keuntungan yang sama selama dua bulan
beturut-turut pada bulan ke-11 dan ke-12.
Diagram Garis
Pernahkah Anda melihat grafik nilai tukar dolar terhadap rupiah atau pergerakan
saham di TV? Grafik yang seperti itu disebut diagram garis. Diagram garis biasanya
digunakan untuk menggambarkan data tentang keadaan yang berkesinambungan
(sekumpulan data kontinu). Misalnya, jumlah penduduk setiap tahun, perkembangan
berat badan bayi setiap bulan, dan suhu badan pasien setiap jam.
Seperti halnya diagram batang, diagram garis pun memerlukan sistem sumbu datar
(horizontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang saling berpotongan tegak lurus. Sumbu
mendatar biasanya menyatakan jenis data, misalnya waktu dan berat. Adapun sumbu
tegaknya menyatakan frekuensi data. Langkah-langkah yang dilakukan untuk membuat
diagram garis adalah sebagai berikut.
a)
Buatlah suatu koordinat (berbentuk bilangan) dengan sumbu mendatar
menunjukkan waktu dan sumbu tegak menunjukkan data pengamatan.
b)
Gambarlah titik koordinat yang menunjukkan data pengamatan pada waktu t.
c)
Secara berurutan sesuai dengan waktu, hubungkan titik-titik koordinat tersebut
dengan garis lurus.
Contoh7.1.2 :
Berikut ini adalah tabel berat badan seorang bayi yang dipantau sejak lahir sampai
berusia 9 bulan.
Usia (bulan)
3,5 4 5,2 6,4 6,8 7,5 7,5 8
Berat Badan (kg)
0
1 2
3
4
5
6
7
a)
Buatlah diagram garisnya.
b)
Pada usia berapa bulan berat badannya menurun?
c)
Pada usia berapa bulan berat badannya tetap?
8,8 8,6
8
9
Jawab:
a)
Langkah ke-1
Buatlah sumbu mendatar yang menunjukkan usia anak (dalam bulan) dan sumbu
tegak yang menunjukkan berat badan anak (dalam kg).
Langkah ke-2
Gambarlah titik koordinat yang menunjukkan data pengamatan pada waktu t
bulan.
Langkah ke-3
Secara berurutan sesuai dengan waktu, hubungkan titik-titik koordinat tersebut
dengan garis lurus.
148
 Matematika dan Stastistika 
Dari ketiga langkah tersebut, diperoleh diagram garis dari data tersebut tampak
pada Gambar 7.2.
Gambar 7.2
Diagram garis berat badan bayi sejak usia 0 – 9 bulan
b)
c)
Dari diagram tersebut dapat dilihat bahwa berat badan bayi menurun pada usai
8 sampai 9 bulan.
Berat badan bayi tetap pada usia 5 sampai 6 bulan. Darimana Anda memperoleh
hasil ini? Jelaskan.
Observasi: Interpolasi dan Ekstrapolasi Data
Anda dapat melakukan observasi terhadap kecenderungan data yang disajikan pada
suatu diagram garis. Dari observasi ini, Anda dapat membuat perkiraan-perkiraan
dengan cara interpolasi dan ekstrapolasi. Hal ini ditempuh dengan mengganti garis
patah pada diagram garis menjadi garis lurus. Interpolasi data adalah menaksir data
atau memperkirakan data di antara dua keadaan (misalnya waktu) yang berurutan.
Misalkan, dari gambar grafik Contoh soal 2. dapat diperkirakan berat badan bayi pada
usia 5,5 bulan. Coba Anda amati grafik tersebut, kemudian tentukan berat badan bayi
pada usia 5,5 bulan.
Ekstrapolasi data adalah menaksir atau memperkirakan data untuk keadaan (waktu)
mendatang. Cara yang dapat dilakukan untuk ekstrapolasi adalah dengan
memperpanjang ruas garis terujung ke arah kanan. Misalkan, dari gambar grafik soal 2.
dapat diperkirakan berat badan bayi pada usia 10 bulan. Jika garis lurus sudah
ditentukan, Anda dapat menentukan interpolasi data. Untuk ekstrapolasi data, Anda
harus berhati-hati. Menurut diagram garis, berapa kira-kira berat badan bayi pada usia
10 bulan? Berikan alasan Anda.
149
 Matematika dan Stastistika 
3)
Diagram Lingkaran
Untuk mengetahui perbandingan suatu data terhadap keseluruhan, suatu data lebih
tepat disajikan dalam bentuk diagram lingkaran. Diagram lingkaran adalah bentuk
penyajian data statistika dalam bentuk lingkaran yang dibagi menjadi beberapa juring
lingkaran.
Langkah-langkah untuk membuat diagram lingkaran adalah sebagai berikut.
a)
Buatlah sebuah lingkaran pada kertas.
b)
Bagilah lingkaran tersebut menjadi beberapa juring lingkaran untuk
menggambarkan kategori datanya yang telah diubah ke dalam derajat.
Agar lebih jelasnya, pelajarilah contoh berikut.
Contoh7.1.3 :
Tabel berikut menunjukkan banyaknya mahasiswa Jurusan Farmasi di Poltekkes
Makassar menurut tingkatan pada tahun 2014.
a.
b.
c.
Tingkat
Banyaknya
I
150
II
98
III
82
Buatlah diagram lingkaran untuk data tersebut.
Berapa persen mahasiswa yang berada pada tingkat II ?
Berapa persen siswa yang berada pada tingkat III?
Jawab :
a.
Jumlah seluruh siswa adalah 330 orang. Seluruh siswa diklasifikasikan menjadi 3
katagori: tingkat I = 150 orang, tingkat II = 98 orang, dan tingkat III = 82 orang.
•
Tingkat I = (150/330) x 100% = 45,46%
Besar sudut sektor lingkaran = 45,46% × 360° = 163,66°
•
Tingkat II = (98/330) x 100% = 29,7%
Besar sudut sektor lingkaran = 29,7% × 360° = 106,9°
•
Tingkat III= (82/330) x 100% = 24,85%
Besar sudut sektor lingkaran = 24,85% × 360° = 89,45°
Diagram lingkaran ditunjukkan pada Gambar 7.3.
Gambar 7.3
Diagram lingkaran junlah mahasiswa Jurusan Farmasi di Poltekkes Makassar
menurut tingkatan pada tahun 2014
150
 Matematika dan Stastistika 
b.
c.
D.
Persentase mahasiswa yang berada pada tingkat II adalah 29,7 %.
Persentase mahasiswa yang berada pada tingkat III adalah 24,85%.
TABEL
DISTRIBUSI
FREKUENSI,
FREKUENSI
RELATIF
KUMULATIF, HISTOGRAM, POLIGON FREKUENSI, DAN OGIVE
DAN
1.
Tabel Distribusi Frekuensi
Data yang berukuran besar (n  30) lebih tepat disajikan dalam tabel distribusi
frekuensi, yaitu cara penyajian data yang datanya disusun dalam kelas-kelas tertentu.
Langkah-langkah penyusunan tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut.
a.
Langkah pertama menentukan jangkauan  J  yaitu selisih antara nilai maksimal dan
nilai minimal.
Langkah kedua menentukan banyak kelas
b.
K 
yang terbentuk yaitu dengan
menggunakan rumus "Sturgess" yaitu: K  1  3,3log n dengan n adalah banyak data.
Banyak kelas harus merupakan bilangan bulat positif hasil pembulatan.
Langkah ketiga menentukan panjang interval kelas  I  dengan menggunakan rumus:
J
K
Langkah keempat menentukan batas-batas kelas. Data terkecil harus merupakan batas
bawah interval kelas pertama atau data terbesar adalah batas atas interval kelas
terakhir.
Langkah kelima memasukkan data ke dalam kelas-kelas yang sesuai dan menentukan
nilai frekuensi setiap kelas dengan sistem turus.
Langkah keenam menuliskan turus-turus dalam bilangan yang bersesuaian dengan
banyak turus.
I
c.
d.
e.
Ingatlah:
Menentukan banyak kelas interval dengan aturan Sturges dimaksudkan agar interval tidak
terlalu besar sebab hasilnya akan menyimpang dari keadaan sesungguhnya. Sebaiknya, jika
interval terlalu kecil, hasilnya tidak menggambarkan keadaan yang diharapkan.
Contoh7.1.4 :
Seorang peneliti mengadakan penelitian tentang berat badan dari 35 orang mahasiswa
tingkat II Jurusan Farmasi Poltekkes Makassar.
Data hasil penelitian itu (dalam kg) disajikan berikut ini:
48 32 46 27 43 46 25 41 40 58 16 36
21 42 47 55 60 58 46 44 63 66 28 56
50 21 56 55 25 74 43 37 51 53 39
Sajikan data tersebut ke dalam tabel distribusi frekuensi.
151
 Matematika dan Stastistika 
Jawab :
a.
Jangkauan  J   Xm  Xn  74  16  58 .
b.
Banyak kelas
K   1  3,3log n  1  3,3log35  6,095  1  3,3log35  6, 095.
Banyak
kelas dibulatkan menjadi "6".
c.
Panjang interval kelas  I  adalah I 
J 58

 9,67 . Panjang interval kelas dibulatkan
K 6
menjadi "10".
Dengan panjang interval kelas = 10 dan banyak kelas = 6, diperoleh tabel distribusi
frekuensi seperti pada Tabel 7.1.4. atau Tabel 7.1.5
Cara I:
Batas bawah kelas pertama diambil datum terkecil. Amati Tabel 7.1.4. Dari tabel tersebut
tampak bahwa frekuensi paling banyak dalam interval 46 - 55. Artinya, berat badan
kebanyakan berkisar antara 46 kg dan 55 kg
Tabel 7.4
Tabel Distribusi Frekuensi
Interval Kelas
16–25
26–35
36–45
46–55
56–65
66–75
Turus Frekuensi
E
5
C
3
ED
9
EE
10
EA
6
B
2
Jumlah
35
Cara II:
Batas atas kelas terakhir diambil datum terbesar. Amati Tabel 5.
Tabel 7.5
Tabel Distribusi Frekuensi
Interval Kelas
15–24
25–34
35–44
45–54
55–64
65–74
Turus Frekuensi
C
3
E
5
ED
9
EC
8
EC
8
B
2
Jumlah
35
152
 Matematika dan Stastistika 
Dari tabel tampak frekuensi paling sedikit dalam interval 65–74. Artinya, berat badan
antara 65 kg dan 74 kg ada 2 orang. Perhatikan interval kelas yang pertama, yaitu 15 – 24. 15
disebut batas bawah dan 24 disebut batas atas. Ukuran 15 – 24 adalah hasil pembulatan,
ukuran yang sebenarnya terletak pada 14,5 – 24,5. 14,5 disebut tepi bawah kelas (batas
bawah nyata) dan 24,5 disebut tepi atas kelas (batas atas nyata) pada interval kelas 15 – 24.
Dalam menentukan tepi bawah kelas dan tepi atas kelas pada setiap interval kelas,
harus diketahui satuan yang dipakai. Dengan demikian, untuk tepi bawah kelas adalah batas
bawah kelas dikurangi 1/2 satuan ukuran. Jadi, tepi kelas dari interval kelas 15 – 24 menjadi
14,5 – 24,5.
2.
Frekuensi Relatif dan Kumulatif
Frekuensi yang dimiliki setiap kelas pada tabel distribusi frekuensi bersifat mutlak.
Adapun frekuensi relatif dari suatu data adalah dengan membandingkan frekuensi pada
interval kelas itu dengan banyak data dinyatakan dalam persen. Contoh: interval frekuensi
kelas adalah 20. Total data seluruh interval kelas = 80 maka frekuensi relatif kelas ini adalah
20 1
1
 , sedangkan frekuensi relatifnya adalah  100%  25% .
80 4
4
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan rumus frekuensi relatif? Cobalah
nyatakan rumus frekuensi relatif dengan kata-kata Anda sendiri.
Frekuensi relatif dirumuskan sebagai berikut:
frekuensi kelas ke-k
Frekuensi relatif kelas ke-k =
banyak data
Frekuensi kumulatif kelas ke-k adalah jumlah frekuensi pada kelas yang dimaksud
dengan frekuensi kelas-kelas sebelumnya.
Ada dua macam frekuensi kumulatif, yaitu
a.
frekuensi kumulatif "kurang dari" ("kurang dari" diambil terhadap tepi atas kelas);
b.
frekuensi kumulatif "lebih dari" ("lebih dari" diambil terhadap tepi bawah kelas).
1
Tepi atas = batas atas 
satuan pengukuran
2
1
Tepi bawah = batas bawah  satuan pengukuran
2
Contoh7.1.5 :
Dari Tabel 4. untuk interval kelas 46 – 55 (kelas 4), hitunglah
a.
frekuensi relatif;
b.
frekuensi kumulatif "kurang dari";
c.
frekuensi kumulatif "lebih dari".
Jawab :
a.
Frekuensi relatif kelas ke-4 = (frekuensi kelas ke-4 / banyak datum) × 100% = 10/35 ×
100% = 28,57%
b.
Frekuensi kumulatif "kurang dari" untuk interval kelas 46 – 55
153
 Matematika dan Stastistika 
c.
= 5 + 3 + 9 + 10 = 27 (kurang dari tepi atas kelas 55,5)
Frekuensi kumulatif "lebih dari" untuk interval kelas 46 – 55
= 10 + 6 + 2 = 18 (lebih dari tepi bawah kelas 45,5).
3.
Histogram dan Poligon Frekuensi
Histogram merupakan diagram frekuensi bertangga yang bentuknya seperti diagram
batang. Batang yang berdekatan harus berimpit. Untuk pembuatan histogram, pada setiap
interval kelas diperlukan tepi-tepi kelas. Tepi-tepi kelas ini digunakan untuk menentukan titik
tengah kelas yang dapat ditulis sebagai berikut :
1
Titik tengah kelas   tepi kelas  tepi bawah kelas 
2
Poligon frekuensi dapat dibuat dengan menghubungkan titik-titik tengah setiap puncak
persegi panjang dari histogram secara berurutan. Agar poligon "tertutup" maka sebelum
kelas paling bawah dan setelah kelas paling atas, masing-masing ditambah satu kelas.
Contoh7.1.6 :
Tabel distribusi frekuensi hasil ujian matematika Kelas XI SMK Farmasi Yamasi di Makassar
diberikan pada Tabel 6. Buatlah histogram dan poligon frekuensinya.
Tabel 7.6
Tabel distribusi frekuensi hasil ujian matematika
Kelas XI SMK Farmasi Yamasi di Makassar.
Interval Kelas
21–30
31–40
41–50
51–60
61–70
71–80
81–90
Frekuensi
2
3
11
20
33
24
7
100
Gambar 7.4
Histogram hasil ujian matematika Kelas XI SMK Farmasi Yamasi di Makassar.
154
 Matematika dan Stastistika 
Dari histogram tersebut tampak bahwa kebanyakan siswa memperoleh nilai antara
60,5 dan 70,5. Coba Anda ceritakan hal lain dari histogram tersebut.
4.
Ogive
Grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi kumulatif
lebih dari dinamakan poligon kumulatif.
Untuk populasi yang besar, poligon mempunyai banyak ruas garis patah yang
menyerupai kurva sehingga poligon frekuensi kumulatif dibuat mulus, yang hasilnya disebut
ogive.
Ada dua macam ogive, yaitu sebagai berikut :
a.
Ogive dari frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogive positif.
b.
Ogive dari frekuensi kumulatif lebih dari disebut ogive negatif.
Contoh7.1.7 :
Tabel 7.7. dan 7.8, berturut-turut adalah tabel distribusi frekuensi kumulatif "kurang dari"
dan "lebih dari" tentang nilai ulangan Biologi Kelas XI SMK Farmasi Yamasi di Makassar.
Tabel 7.7
Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif "Kurang Dari" tentang Nilai Ulangan Biologi
Kelas XI SMK Farmasi Yamasi di Makassar.
Nilai
< 20,5
< 30,5
< 40,5
< 50,5
< 60,5
< 70,5
< 80,5
< 90,5
Frekuensi
0
2
5
16
36
69
93
100
Tabel 7.8
Tabel distribusi frekuensi kumulatif "lebih dari" tentang nilai ulangan Biologi
Kelas XI SMK Farmasi Yamasi di Makassar.
Nilai
> 20,5
> 30,5
> 40,5
> 50,5
> 60,5
> 70,5
> 80,5
> 90,5
Frekuensi
100
98
95
84
64
31
7
0
155
 Matematika dan Stastistika 
a.
b.
c.
Buatlah ogive positif dan ogive negatif dari tabel tersebut.
Berapakah jumlah siswa yang mempunyai nilai Biologi kurang dari 85?
Berapakah jumlah siswa yang mempunyai nilai Biologi kurang lebih dari 40?
Jawab :
a.
Ogive positif dan ogive negatif dari tabel tersebut tampak pada Gambar 7.5.
Gambar 7.5
Kurva Ogif Positif dan Negatif Nilai Ulangan Biologi
Kelas XI SMK Farmasi Yamasi di Makassar
b.
c.
E.
Dari kurva ogive positif, tampak siswa yang mempunyai nilai kurang dari 85 adalah
sebanyak 93 orang.
Dari kurva ogive negatif, tampak siswa yang mempunyai nilai lebih dari 40 adalah
sebanyak 96 orang.
DISTRIBUSI NORMAL
Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang
paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. Distribusi normal baku adalah
distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga
dijuluki kurva lonceng (bellcurve) karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip
dengan bentuk lonceng. Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada ilmu
alam maupun ilmu sosial. Beragam skor pengujian psikologi dan fenomena fisika seperti
jumlah foton dapat dihitung melalui pendekatan dengan mengikuti distribusi normal.
Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidang statistika, misalnya distribusi
samplingrata-rata akan mendekati normal, meski distribusi populasi yang diambil tidak
156
 Matematika dan Stastistika 
berdistribusi normal. Distribusi normal juga banyak digunakan dalam berbagai distribusi
dalam statistika, dan kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikannormalitas suatu data.
Distribusi normal pertama kali diperkenalkan oleh Abraham deMoivre dalam artikelnya
pada tahun 1733 sebagai pendekatan distribusi binomial untuk n besar. Karya tersebut
dikembangkan lebih lanjut oleh Pierre Simon deLaplace, dan dikenal sebagai teorema
Moivre-Laplace. Laplace menggunakan distribusi normal untuk analisis galat suatu
eksperimen. Metode kuadrat terkecil diperkenalkan oleh Legendre pada tahun 1805.
Sementara itu Gauss mengklaim telah menggunakan metode tersebut sejak tahun 1794
dengan mengasumsikan galatnya memiliki distribusi normal.
Istilah kurva lonceng diperkenalkan oleh Jouffret pada tahun 1872 untuk distribusi
normal bivariat. Sementara itu istilah distribusi normal secara terpisah diperkenalkan oleh
Charles S. Peirce, Francis Galton, dan Wilhelm Lexis sekitar tahun 1875. Terminologi ini
secara tidak sengaja memiliki nama sama.
Distribusi normal baku (standar) adalah distribusi peubah acak dengan rata-rata 0 dan
varian 1. Peubah acak normal baku dilambangkan dengan Z yang merupakan hasil
transformasi dari peubah acak X yang berdistribusi normal. Bentuk transformasi peubah
acak tersebut adalah sebagai berikut :
X 
Z

Oleh karena itu fungsi :
1
 1 
f  z   n  z;0,1 
exp   z 2 
2
 2 
Perbandingan distribusi normal peubah acak x dan dengan distribusi normal standar z:
1
P  x1  X  x2  
2
x2
2
e
 1  x   
 

 2   
dx
x1
z2
2
z
z
2
 
1
2
P  x1  X  x2  
e
dz

 n  z;0,1 dz
2 z1
z1
P  x1  X  x2   P  z1  Z  z2 
Nilai probabilitas dari P  z1  Z  z2  telah dihitung dan ditabelkan dalam Tabel Z distribusi
normal.
F.
1.
PERANAN STATISTIKA DALAM PENELITIAN
Statistika dalam penelitian mempunyai peranan yang sangat penting yaitu :
Memudahkan dalam membuat judul penelitian, rumusan masalah, tujuan dan
hipotesis. Seseorang yang kurang menguasai statistika, judul penelitian, rumusan
masalah, tujuan dan hipotesis yang disusun biasanya kurang tajam atau mengambang.
157
 Matematika dan Stastistika 
2.
3.
4.
Validitas dan reliabilitas alat pengumpul data ditentukan, biasanya dipergunakan
korelasi Pearson dan Spearman.
Penentuan besar sampel, banyak faktor yang mempengaruhi besarnya sampel
penelitian di antaranya jenis penelitian (deskriptif atau inferensial), jenis populasi (finit
atau infinit), simpangan baku, prevalensi, harga  , harga  , biaya, waktu, tenaga,
jenis percobaan (merusak atau tidak merusak unit percobaan) dan sebagainya.
Sangat penting untuk menyimpulkan hasil (generalisasi) khususnya jenis penelitian
inferensial.
Latihan
1)
2)
3)
4)
5)
Distribusi yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika adalah
distribusi:
a.
Ganda
c.
Gauss
b.
Skewnees
d.
Portal
Distribusi normal sebagai pendekatan distribusi binomial untuk nbesarpertama kali
diperkenalkan oleh:
a.
Abraham deMoivre
c.
Laplace
b.
Legendre
d.
Galton
Jika populasi yang besar, poligon mempunyai banyak ruas garis patah yang menyerupai
kurva sehingga poligon frekuensi kumulatif dibuat mulus, yang hasilnya disebut:
a.
Ogive
c.
Histogram
b.
Polygon
d.
Batang
Berdasarkan tabel berikut:
Penggunaan
Ciprofloxacin Frekuensi
Tablet
15–24
3
25–34
5
35–44
9
45–54
8
Jumlah
25
Penggunaan Ciprofloxacin tablet terbanyak adalah :
a.
45 – 54
c.
35 – 44
b.
15 – 24
d.
25 – 34
Menentukan banyaknya suatu kelas yang terbentuk yaitu dengan menggunakan rumus
yaitu: K  1  3,3log n dengan n adalah banyak data. Rumus tersebut adalah:
a.
Phytagoras
c.
Dalton
b.
Sturgess
d.
Pascal
158
 Matematika dan Stastistika 
6)
7)
8)
9)
10)
Menaksir data atau memperkirakan data di antara dua keadaan yang berurutan
disebut dengan:
a.
Counterpolasi data
c.
Interpolasi data
b.
Ekstrapolasi data
d.
Isolasi data
Untuk menaksir atau memperkirakan data untuk keadaan yang akan datang. Cara yang
dapat dilakukan yaitu dengan
a.
Polarisasi data
c.
Interpolasi data
b.
Ekstrapolasi data
d.
Sinkronisasi data
Jumlah penduduk, jumlah bidan, jumlah dokter, jumlah kuman termasuk dalam data:
a.
Nominal
c.
Ordinal
b.
Diskrit
d.
Kontinu
Data yang dapat berbentuk pecahan atau pun bilangan bulat disebut dengan data:
a.
Kontinu
c.
Interval
b.
Rasio
d.
Diskrit
Jika seorang mahasiswa Jurusan Farmasi Tingkat III ingin meneliti dengan
menggunakan data mahasiswa Jurusan Farmasi di Institusi Pendidikan lain, maka data
yang dihasilkan adalah data:
a.
Kualitatif
c.
Internal
b.
Diskrit
d.
Eksternal
Ringkasan
Statistik merupakan suatu teknik, cara atau metoda untuk mengumpulkan, mengolah,
menganalisis dan menarik kesimpulan pada suatu data.
Statistik berdasarkan ruang lingkupnya dibagi menjadi statistik deskriptif dan statistik
inferensial.
Populasi adalah sekumpulan subyek yang hendak diketahui karakteristiknya, sampel
adalah sebagian dari populasi yang mempunyai karakteristik yang sama dan sampling adalah
teknik, cara atau metoda yang digunakan untuk mendapatkan sampel dari suatu populasi.
Data merupakan kumpulan dari beberapa fakta yang nyata, dengan skala pengukuran
data adalah nominal, ordinal, interval dan rasio.
Penyajian data dapat dilakukan dengan berbagai cara antara lain diagram, grafik, tabel
dan sebagainya.
Peranan statistik sangat besar di segala aspek kehidupan.
159
 Matematika dan Stastistika 
Tes 1
1)
Ilmu yang mempelajari tentang cara mengumpulkan, mengolah, menganalisis dan
menarik kesimpulan pada suatu data di sebut dengan ....
A.
statistik
B.
matematika
C.
statistika
D. matematik
2)
Sekumpulan fakta yang didapatkan dari suatu penelitian disebut ....
A.
data
B.
transformasi
C.
informasi
D. variabel
3)
Untuk merubah data kualitatif menjadi data kuantitatif maka digunakan teknik ....
A.
kualifikasi
B.
stratifikasi
C.
kuantifikasi
D. klasterisasi
4)
Data yang diperoleh dari hasil penghitungan populasi di sebut dengan ....
A.
statistik
B.
variabel
C.
parameter
D. skala
5)
Estimatevalue adalah nilai yang diperoleh dari hasil perhitungan ....
A.
populasi
B.
sampel
C.
sampling
D. sub populasi
6)
Data berikut ini adalah jumlah mahasiswa Jurusan Farmasi Poltekkes Makassar tingkat
I sebanyak 100 orang, tingkat II sebanyak 200 orang dan tingkat III sebanyak 50 orang.
Prosentasi mahasiswa Tingkat Jurusan Farmasi I sebesar ....
A.
25,78%
B.
26,98 %
C.
27,64%
D. 28,57%
160
 Matematika dan Stastistika 
7)
Data diskrit dan kontinu merupakan bagian dari data berdasarkan ....
A.
jenisnya
B.
sifat
C.
sumber data
D. waktu pengumpulan
8)
Data yang jumlahnya kecil serta memerlukan suatu kesimpulan sederhana, biasanya
dalam bentuk tulisan atau narasi adalah penyajian data dalam bentuk ....
A.
tekstular
B.
grafik
C.
tabulasi
D. diagram batang
9)
Jika variabel dalam bentuk kategorikal yang berfungsi untuk perbandingan frekuensi
distribusi data, maka jenis diagram yang digunakan adalah ....
A.
line diagram
B.
bar diagram
C.
piechart
D. pictogram
10)
Untuk melihat trend data dengan variabel numerical, maka jenis diagram yang
digunakan adalah ....
A.
curtogram
B.
pictogram
C.
line diagram
D. piechart
161
 Matematika dan Stastistika 
Topik 2
Konsep Probabilitas
Rata-rata fenomena massa yang timbul secara berurutan atau serentak seperti
pancaran elektron, panggilan telepon, deteksi radar, kendali mutu, kegagalan sistem,
permainan berbasis kebetulan, mekanika statistik, turbulensi, suara, tingkat kelahiran atau
kematian, herediter banyak terkait dengan teori probabilitas. Dengan pendekatan teori
probabilitas diketahui bahwa bila jumlah pengamatan dari fenomena tersebut di atas
meningkat, maka rata-rata fenomena massa tersebut mendekati nilai konstan. Sebagai
contoh, pada pelemparan mata uang logam, presentasi munculnya sisi muka  M 
mendekati 0,5 atau nilai konstan tertentu. Angka yang sama akan diperoleh bila dilakukan
pelemparan n kali di mana kuantitas n besar. Tujuan dari teori probabilitas adalah untuk
mendeskripsikan dan meramal rata-rata tersebut di atas dengan menghubungkan
probabilitas dengan berbagai macam kejadian.
Probabilitas dari kejadian A di dalam suatu eksperimen A dapat ditafsirkan sebagaiberikut:
“Jika eksperimen diulang n kali dan kejadian A timbul nA kali, maka dengan derajat
n
kepastian yang tinggi (highdegree of certainty), frekuensi relatif A dari kejadian A adalah
n
mendekati Pr  A ”.
nA
...............................(1) di mana n cukup besar.
n
Penafsiran probabilitas dengan menggunakan pendekatan definisi frekuensi relatif
seperti tersebut di atas sebetulnya tidak tepat. Ada cara untuk memperbaiki definisi di atas
dengan memberikan muatan probabilitas pada ungkapan “derajat kepastian yang tinggi”.
Pada penyelidikan probabilistik dari suatu fenomena fisika perlu dibedakan tiga hal
sebagai berikut :
Tahap pertama (klasik), yaitu suatu proses di mana Pr  A dari suatu kejadian A tidak dapat
Pr  A  
dibuat pasti. Tahap ini berdasarkan rumus (1) di mana Pr  A dihitung dengan menggunakan
pendekatan frekuensi relatif.
Latihan 1, jika suatu dadu digulirkan 10000 kali dan angka 2 muncul sebanyak 1674 kali,
1674
 0,1674 . Dalam beberapa hal Pr  A diperoleh secara apriori lewat
maka Pr  2  
10000
penalaran yang murni tanpa lewat percobaan. Maka karena dadu mempunyai enam sisi yang
simetris dan jika dadu digulirkan secara jujur maka
1
Pr  2    0,167
6
Tahap kedua (konseptual), di mana probabilitas memenuhi suatu aksioma tertentu. Lewat
penalaran deduktif ditentukan probabilitas Pr  A dari suatu kejadian A dan Pr B dari
162
 Matematika dan Stastistika 
suatu kejadian B. Pada pengguliran dadu secara jujur dapat dideduksikan bahwa probabilitas
3
kejadian di mana angka ganjil muncul adalah sama dengan  0,5 .
6
Pernyataan yang bisa diberikan adalah sebagai berikut :
1
3
Jika Pr 1   Pr  2     Pr  6   maka Pr  angka ganjil    0,5
6
6
Tahap ketiga (fisik), peramalan secara fisik dilakukan dengan menggunakan hasil pada tahap
kedua. Dalam tahap ini perhitungan probabilitas berdasarkan pendekatan frekuensi relatif
dengan demikian hasilnya tidak tepat jika dadu digulirkan sebanyak 10000 kali maka
diharapkan bahwa angka genap akan muncul sebanyak 5000 kali atau separuh dari jumlah
pengguliran dadu tersebut.
Untuk selanjutnya teori probabilitas berkenaan dengan tahap kedua yaitu dari
probabilitas yang diasumsikan mempunyai nilai tertentu, maka teori probabilitas
menjelaskan bagaimana menurunkan probabilitas lainnya. Dengan demikian proses
penurunan probabilitas bersifat tautologis karena hasilnya sarat dengan asumsi. Contoh
mudah yang mengandung makna tautologis adalah persamaan gerak suatu satelit adalah
termasuk dalam hukum Newton. Tak seorang pun menyangkal kebenaran dari nilai ilmu
mekanika.
Tahap satu dan tiga masuk dalam kajian bidang statistika, walaupun dalam statistika
semua hasil perhitungan dinyatakan dalam pernyataan probabilitas. Ada suatu perbedaan
yaitu pada uji eksperimental akhir diterapkan pada kejadian di mana nilai probabilitasnya
mendekati satu. Dalam hal ini penafsiran frekuensi relatif mengambil bentuk sebagai
berikut:
Jika probabilitas suatu kejadian mendekati satu maka dengan derajat kepastian yang
tinggi kejadian tersebut timbul pada suatu eksperimen tunggal.
Dalam hal ini dikembangkan teknik untuk menentukan jumlah hasil yang mungkin dari
suatu eksperimen tertentu atau untuk menentukan jumlah elemen di dalam suatu himpunan
tanpa menghitung secara langsung. Teknik ini disebut analisis kombinatorial.
Jika suatu prosedur dapat ditampilkan dalam x3 cara yang berbeda, demikian juga
untuk prosedur kedua dapat ditampilkan dalam  cara yang berbeda dan seterusnya untuk
prosedur berikutnya, maka jumlah cara di mana prosedur dapat ditampilkan dalam urutan
adalah merupakan hasil perkalian n  n  n 
1.
Notasi Faktorial
n!  1  2  3   n  2   n  1  n . Penting untuk diingat bahwa 0!  1
Contoh 7.2.1:
2!  2  1  2
3!  3  2  1  6
.
.
dan seterusnya
163
 Matematika dan Stastistika 
2.
Permutasi
Permutasi suatu obyek adalah susunan himpunan dari n obyek dalam urutan yang
ditentukan. Jadi suatu susunan k  n obyek dalam urutan yang ditentukan disebut k
permutasi atau permutasi n obyek yang diambil sejumlah k sekaligus. Perlu diperhatikan
bahwa susunan urutan amat penting dalam permutasi. Sebagai contoh adalah suatu
himpunan terdiri dari huruf a, b, c, d . Maka bdca,dcab,acdb adalah permutasi 4 huruf
yang diambil 4 sekaligus. Maka bad ,adb, cbd ,dan bca adalah permutasi 4 huruf yang
diambil 3 sekaligus. Maka ad , cb, da, dan bd adalah permutasi 4 huruf yang diambil 2
sekaligus. Jumlah permutasi n obyek yang diambil k sekaligus dinyatakan dengan rumus
sebagai berikut :
n!
Pn ,k  n   n  1   n  2    n  k  1 
 n  k !
3.
Permutasi Dengan Repetisi (Ulangan)
Sering dijumpai jumlah permutasi obyek di mana beberapa diantaranya adalah sama.
Untuk itu perlu disimak dalil sebagai berikut :
Dalil : Jumlah permutasi n obyek, n1 dari padanya sama, n2 dari padanya sama, ..., nr dari
padanya sama adalah:
n!
n1 ! n2 !....nr
Contoh 7.2.2.:
Seseorang ingin membentuk semua kemungkinan 5 huruf dari kata DADDY . Maka didapat
5! = 120 permutasi dari obyek D1 , A, D2 , D3 ,Y . Dalam hal ini 3 D adalah berbeda. Coba amati
6 permutasi sebagai berikut :
D1D2D3 AY
D2D1D3 AY
D3D1D2 AY
D1D3D2 AY
D2D3D1 AY
D3D2D1 AY
akan menghasilkan kata yang sama bila indeks 1, 2, 3, dipindahkan. Angka 6 tersebut berasal
dari 3! = 3*2*1 = 6 cara yang berbeda atas penempatan 3 huruf D pada 3 posisi yang
pertama di dalam permutasi.
5! 5  4  3  2  1 120


 20 perkataan yang terdiri dari 5 huruf yang berbeda yang
Jadi
3!
3 2 1
6
dapat dibentuk dengan menggunakan huruf dari kata DADDY .
164
 Matematika dan Stastistika 
Contoh 7.2.3.:
Ada isyarat berbeda yang dapat dibentuk dari himpunan 4 bendera merah yang berbeda, 3
bendera putih yang berbeda, dan satu bendera biru yang masing-masing terdiri dari 8
bendera yang terpasang di suatu tiang ?. Dalam hal ini dicari jumlah permutasi 8 obyek
yang 4 diantaranya sama (bendera merah), 3 di antaranya sama (bendera putih).
Jawab:
8!
8  7  6  5  4  3  2  1 40320


 280 isyarat yang berbeda.
4!3!1! 4  3  2  1  3  2  1  1
144
4.
Kombinasi
Misalkan terdapat himpunan n obyek, maka kombinasi n obyek yang diambil k
sekaligus atau k kombinasi merupakan subhimpunan k elemen. Jadi k kombinasi adalah
pemilihan sebanyak k dari n obyek tanpa mempersoalkan urutan. Sebagai contoh; terdapat
huruf a, b, c , dan d dan diambil 3 sekaligus diperoleh kombinasi abc , acb, cba, cab, cba
sehingga pada kombinasi tidak diperhitungkan. Rumus yang digunakan:
Jumlah kombinasi n obyek yang diambil k sekaligus adalah:
P
n!
C n ,k  n ,k 
k ! k ! n  k !
Contoh 7.2.4.:
Terdapat panitia yang terdiri dari 3 anggota dari 8 orang yang ada.
8!
8! 8*7*6*5*4*3*2*1
C8,3 


 56 panitia yang berbeda.
3!(8  3)! 3!5! 3*2*1*5*4*3*2*1
Pemilihan Pengurus
Contoh 7.2.5.:
Sebanyak 8 anggota pengurus Lembaga Masyarakat Desa dipilih dari 20 orang anggota
Badan Musyawarah Desa. Hitung jumlah kelompok pengurus yang berbeda. Untuk itu
digunakan rumus kombinasi seperti di atas sebagai berikut :
P
n!
C n ,k  n ,k 
k ! k ! n  k !
C20,8 
20!
20! 20*19*18*17*16*15*14*13


 125970
8!(20  8)! 8!12!
8*7*6*5*4*3*2*1
5.
Koefisien Binomial
Contoh 7.2.6.:
Sebuah mata uang logam dilempar secara jujur sebanyak 10 kali selanjutnya hitung (a)
probabilitas timbulnya 3M (b) probabilitas timbulnya  3M
Untuk 10 pelemparan mata uang logam, ruang sampel yang terbentuk terdiri dari 210 hasil
yang mungkin yang masing-masing mempunyai probabilitas yang sama. Jumlah susunan
165
 Matematika dan Stastistika 
 10 
yang berbeda yang terbentuk dari 3M dan 7B adalah  . Dengan demikian probabilitas
3
timbulnya 3M adalah :
 10 
10!
 
3
3!(10  3)!
Pr  MMM    10  
 0,1172
2
210
6.
Hipotesis
Hipotesis berasal dari kata hipo yang artinya rendah atau lemah dan tesis adalah
pernyataan. Jadi hipotesis adalah pernyataan atau jawaban untuk menjawab/memecahkan
masalah penelitian, tetapi masih lemah karena belum didukung oleh data dan belum diuji
kebenarannya. Hipotesisi juga dapat didefinisikan secara sederhana sebagai suatu
pernyataan tentative yang menjelaskan terjadinya perilaku, fenomena, atau peristiwa.
Pernyataan hipotesis lazimnya menyangkut prediksi peneliti tentang hubungan variabelvariabel yang menjadi permasalahan penelitian. Pengelola rumah sakit misalnya, membuat
hipotesis bahwa rata-rata lama tinggal pasien di rumah sakit tersebut adalah enam hari;
petugas kesehatan membuat hipotesis bahwa program pelatihan keterampilan komunikasi
tertentu efektif dalam meningkatkan kemampuan komunikasi pemberi pelayanan kesehatan
dan pasien; seorang dokter membuat hipotesis bahwa sebuah obat baru efektif dalam
menurunkan tekanan darah sebesar 90% dari semua kasus yang mendapatkan obat.
Hipotesis statistik dinyatakan dalam dua bentuk yaitu hipotesis nol / nihil (Ho) dan
hipotesis alternatif (Ha). Hipotesis nol berdasarkan dugaan tak berbeda, tak berhubungan
dan sebagainya, maka pernyataannya biasanya diawali dengan kata-kata tidak terdapat
perbedaan, tidak terdapat hubungan dan sebagainya. Kebalikannya adalah hipotesis
alternatif dengan pernyataannya diawali dengan kata-kata terdapat perbedaan, terdapat
hubungan dan sebagainya. Ho dan Ha bersifat antagonistik, artinya bila Ho diterima maka
otomatis Ha ditolak dan demikian pula sebaliknya.
Kriteria penerimaan atau penolakan hipotesis berdasarkan kepada harga  (alpha =
kesalahan tipe I) yaitu besarnya kesalahan dalam menolak Ho. Besarnya harga alfa ini
disebut sebagai taraf signifikansi atau taraf nyata. Biasanya harga  juga dinyatakan dengan
huruf p (besarnya peluang kesalahan dalam menolak Ho). Dalam penelitian sebenarnya
masih terdapat kesalahan tipe II (= beta), yaitu besarnya kesalahan dalam menerima Ho.
Harga  biasanya dipergunakan untuk menentukan kuasa uji ( 1   = kuasa uji = power of
test). Dalam praktek yang dipakai untuk menentukan apakah Ho dan Ha yang diterima
adalah harga   p  . Besarnya harga  biasanya ditentukan berdasarkan pendekatan
konvensional dari kelaziman bidang penelitiannya. Untuk penelitian bidang hayati harga 
umumnya ditentukan setinggi-tingginya 0,05 atau 5 % dan bidang sosial bisa lebih besar lagi.
7.
Statistik Deskriptif
Untuk menyederhanakan suatu data sehingga data tersebut dapat dengan mudah
untuk dipahami atau dimengerti merupakan definisi dari statistik deskriptif. Statistik ini
166
 Matematika dan Stastistika 
terdiri atas 3 (tiga) bagian yaitu ukuran pemusatan (Central Tendency), ukuran penyebaran
(Dispersi) dan ukuran letak (Fractil).
8.
Ukuran Pemusatan
Sekarang kita memasuki bahasan tentang ukuran pemusatan. Ukuran
pemusatanadalah nilai tunggal yang mewakili satu set data, nilai itu menunjukkan pusat nilai
data (Mason, et. Al, 1999). Ukuran pemusatan terdiri atas mean, median dan modus.
Mean adalah rata-rata, juga disebut dengan rerata. Simbol dari mean adalah  X 
dibaca X bar. Mean dipakai untuk menentukan angka/nilai rerata sekumpulan set data baik
dalam bentuk tunggal, perbandingan dua nilai rerata, maupun set data harmonik. Nilai
rerata adalah sebuah angka yang dapat mewakili sebagian besar nilai individu atau unit
analisis setiap individu. Set data bagaimanapun bentuknya hanya akan ada tiga jenis yaitu
tunggal, ganda (berbanding) dan harmonik. Data tunggal adalah data yang bersifat tunggal
dengan jumlah individu atau anggota relatif kecil. Biasanya kurang dari 10, tetapi tidak ada
batasan yang jelas apa yang dimaksud set data kecil. Beberapa ahli statistika menetapkan 11
unit (Siegel, 1997) ada juga yang menetapkan 30 unit analisis (Walpole, 1995). Data dengan
set data perbandingan maksudnya ada dua kelompok data atau lebih tetapi sudah diketahui
nilai reratanya. Misalnya berat badan mahasiswa di kelas A adalah 45,5 kg, berat badan
mahasiswa kelas B adalah 46,5 kg dan berat badan mahasiswa kelas C adalah 50 kg. Kasus
seperti ini adalah kasus rerata perbandingan.Rerata harmonik berbeda dengan rerata
tunggal dan rerata perbandingan.Rerata harmonik adalah rerata yang berubah secara
periodik baik beraturan atau tidak beraturan dalam ukuran waktu tertentu.Pemakaian rerata
harmonik banyak digunakan dalam dunia kesehatan.
Mean dengan data tunggal dapat diketahui dengan menggunakan rumus berikut :
 xi
mean  X  
n
Penjelasan dari rumus diatas adalah bahwa nilai rerata yang ditulis dengan  X  di baca
X bar adalah nilai rerata sebuah set data. Jika semua nilai gugus data dijumlahkan maka itu
ditulis dengan  xi .Tulisan n kecil adalah jumlah semua individu.
Latihan
Ada tiga orang ibu hamil diukur kadar hemoglobinnya masing masing 10,0 mg/dl, 11,0 mg/dl
dan 10,0 mg/dl. Maka nilai rerata dapat dihitung menjadi:
10,0  11,0  10,0   10,33
Rerata HB  X  
3
Perhitungan nilai reratadiatas adalah perhitungan yang digunakan jika set datanya
tunggal. Tugas ahli farmasi lebih banyak berhadapan dengan data dalam bentuk distribusi
frekuensi tunggal.Pemahaman lebih baik untuk menggunakan cara hitung rerata tertimbang
adalah dengan memperhatikan Tabel 7.11 Distribusi Frekuensi Berat Badan Mahasiswa DIII
Farmasi Poltekkes Makassar Tahun 2014 dibawah ini. Pada tabel tersebut diketahui bahwa
tabel tersebut terdiri dari dua kolom dan enam baris.
167
 Matematika dan Stastistika 
Tabel 7.9
Berat Badan Mahasiwa DIII Farmasi
Frekuensi fi
1
4
14
15
3
2
Berat Badan (Kg) xi
45
46
47
48
49
50
Jadi tabel ini termasuk jenis tabel tunggal yang sederhana. Data dalam bentuk set data
tunggal, sehingga untuk menghitung nilai reratanya terlebih dahulu kita menjumlahkan
semua nilai berat badan untuk semua mahasiswa yang diukur berat badannya. Perhitungan
menggunakan rumus berikut ini:
x
n fi  xi
f
i
Distribusi frekuensi dengan data tunggal adalah set data yang tidak mempunyai
interval kelas tetapi skalanya adalah data rasio.
Contoh 7.2.7:
Tabel 7.10
Berat Badan Mahasiswa Farmasi Poltekkes Makassar
Berat Badan (Kg)
xi
Frekuensi
fi
fi  xi
45
46
47
48
49
50
Jumlah   
1
4
14
15
3
2
45
184
658
720
147
100
39
1854
Contoh 7.2.8.:
Kasus lain adalah jika data distribusi frekuensi berskala interval, maka perhitungan nilai
reratanya berbeda meskipun prinsipnya sama. Perhatikan tabel berat badan mahasiswa DIII
Farmasi tahun 2014 Kelas A.
168
 Matematika dan Stastistika 
Tabel 7.11
Berat Badan Mahasiswa DIII Farmasi
Berat Badan (Kg)
xi
Frekuensi
fi
35-40
41-45
46-50
51-55
56-60
61-65
Jumlah   
1
4
14
15
3
2
Titik
Tengah
37.5
42,5
47.5
52,5
57,5
62.5
37,5
170
665
787,5
172,5
125
39
39
1957.5
fi  xi
Perhatikan bahwa kita membutuhkan nilai tengah disetiap interval kelas.Caranya adalah
dengan menambah tepi bawah kelas dengan tepi atas kelas dibagi dua.Misalnya untuk kelas
pertama tepi kelas bawah adalah 35 dan tepi atas kelas adalah 40. Jadi 35  40 :2  37,5 .
Demikian juga untuk kelas kedua.
x
1957,5
 50,19
39
Rerata untuk data perbandingan adalah rerata dari dua atau lebih set data yang sudah
memiliki nilai rerata.
Contoh 7.2.9.:
Rerata mahasiswa Diploma III Jurusan Farmasi Poltekkes Makassar mengunjungi
perpustakaan adalah tingkat I adalah 2, tingkat II adalah 4 dan tingkat III adalah 8. Maka
rerata mahasiswa mengunjungi perpustakaan dalam seminggu adalah tingkat I, II, dan III
dihitung dengan rerata perbandingan. Harus digunakan rumus berikut untuk
menyelesaikannya.
U  n x1  x2  x3
U  3 248 4
Rerata Harmonik adalah rerata yang digunakan pada data yang berubah nilainya antar
waktu.
H
f
f
 x
i
i

169
i



 Matematika dan Stastistika 
Tabel 7.12
Nilai Ujian Statistika Jurusan Farmasi 2014
Nilai Ujian
xi
fi
xi
Fi
xi
31-40
41-50
51-60
61-70
71-80
81-90
91-100
1
2
5
15
25
20
12
35,5
45,4
55,5
65,5
75,6
85,5
95,5
0,0282
0,0440
0,0901
0,2290
0,3311
0,2339
0,1256
Jumlah
 
80
1,0819
Sumber: Sudjana, 1995.
Jadi dengan menggunakan rerata harmonis diketahui H 
80
 73,94 .
1,0819
9.
Median (Nilai tengah)
Median adalah nilai yang berada di tengah pada suatu set data atau nilai yang
membagi dua suatu set data. Median adalah nilai yang menjadi batas 50 persen distribusi
frekuensi bagian bawah dan 50 persen distribusi frekuensi bagian atas. Ringkasnya median
adalah nilai yang membagi distribusi menjadi 2 bagian yang sama yakni 50 persen, 50
persen. Harga median dapat ditentukan dengan beberapa formulasi tergantung pada kasus
yang dihadapi. Hanya dua hal yang perlu dibedakan pada kasus ini yaitu set data ganjil dan
set data genap. Ini jika kita temukan data tunggal.
Median untuk set data ganjil adalah data yang terletak ditengah setelah data tersusun
dari yang terendah ke tertinggi.
Contoh 7.2.10.:
Kadar cholesterol penderita Stroke di RS Daya Makassar adalah 220, 223, 224, 229, 309
(mg/dl), maka mediannya adalah 224 mg/dl karena data ini terletak ditengah. Berbeda
halnya jika set data genap misalnya data kolesterol penderita stroke sebagai berikut; 220,
223, 224, 229, maka mediannya adalah (223+224 )/2 =223,5 mg/dl.
Median untuk data berkelompok adalah sebagai berikut:
 1

 2n  F 
Me  b  p 

 f 


170
 Matematika dan Stastistika 
Me adalah median dan simbol
 b
adalah batas bawah kelas median.Ini diketahui
berdasarkan frekuensi paling besar dari semua frekuensi yang ada.Simbol
 p
adalah
panjang kelas diketahui dengan menghitung selisih tepi atas kelas dengan tepi bawah
kelas.Simbol  n adalah banyaknya data sedangkan simbol  f  adalah frekuensi khusus
kelas median berada.
Contoh 7.2.11:
Tabel 7.13
Distribusi Nilai Ujian Statistika
Nilai Ujian
xi
Frekuensi
fi
31-40
41-50
51-60
61-70
71-80
81-90
91-100
1
2
5
15
25
20
12
 40  23 
Me  70,5  10 
  77,3
 25 
Perhatikan nilai 70,5 berasal dari nilai 70  71 / 2  70,5. Adalah sebuah nilai yang terletak
antara tepi kelas atas dengan tepi bawah kelas.
10.
Modus (Mode)
Secara sederhana modus didefinisikan nilai yang paling sering muncul atau nilai yang
memiliki frekuensi yang terbanyak. Satu hal yang perlu diingat bahwa modus adalah
persoalan nilai bukannya frekuensi. Frekuensi hanya menunjuk intensitas kemunculan
sesuatu nilai.Pada data tunggal menentukan mode/modus mungkin tidaklah terlampau sulit.
Hanya dengan memperhatikan nilai yang memiliki frekuensi terbanyak maka dapat
diidentifikasi nilai modus/mode dari distribusi data. Hal ini agak berbeda jika berhadapan
dengan data bergolong. Apabila data yang dihadapi bergolong menentukan harga modus
ada 2 pendekatan, yakni pertama, dengan menentukan midpoint atau nilai tengah dari
interval kelas yang memiliki frekuensi terbanyak dan kedua dengan formulasi sebagai
berikut:
 b 
Mo  b  p  1 
 b1  b2 
171
 Matematika dan Stastistika 
Penjelasan rumus diatas adalah Mo = modus dan simbol  b adalah batas bawah
kelas modus dicirikan sebagai interval kelas dengan frekuensi terbanyak. Simbol  p adalah
panjang kelas modus, simbol  b1  adalah frekuensi kelas modus dikurangi dengan frekuensi
kelas interval sebelum kelas modus. Simbol  b2  adalah frekuensi kelas modus dikurangi
dengan kelas interval dengan tanda kelas yang lebih besar sesudah kelas modus.
Tabel 7.14
Distribusi Nilai Ujian Statistika
Nilai Ujian
xi
Frekuensi
fi
31-40
41-50
51-60
61-70
71-80
81-90
91-100
1
2
5
15
25
20
12
Dari tabel diatas diketahui
b  70,5; b1  25  15  10; b2  25  20  5; p  10
 10 
Mo  70,5  10 
  77,17
 10  5 
11.
Dispersi (Nilai Penyebaran)
Pemahaman terhadap nilai sebaran mempermudah kita memahami cara melakukan
perhitungan nilai sebaran. Konsep nilai sebaran mendeskripsikan sebuah nilai yang
menunjukkan sebaran data. Sebaran data berguna untuk mengetahui variasi data, sehingga
apabila diperlukan untuk menilai pemerataan maka nilai sebaran akan membantu kita untuk
mengetahui keterwakilan setiap nilai dalam sebuah set data.
Dalam terminologi statistika penyebaran data dapat dilakukan dengan alat statistik
yang disebut variabilitas. Variabilitas sering juga disebut dispersi atau penyebaran. Definisi
ringkas variabilitas adalah derajat penyebaran nilai variabel dari suatu tendensi sentral
tertentu. Pengukuran variabilitas juga memiliki fungsi penting yakni sebagai alat untuk
mengetahui homogenitas dan heterogenitas data. Jika data yang kita hadapi memiliki tingkat
penyebaran yang tinggi berarti data cenderung bersifat heterogen. Pemahaman tentang
homogenitas dan heterogenitas data dalam kelompok sangat penting tidak hanya untuk
kepentingan identifikasi karakter/ ciri kelompok tetapi juga untuk memperoleh pemahaman
tentang perbedaan antara dua kelompok atau lebih. Satu catatan yang perlu dicermati
dalam pengukuran variabilitas bahwa pengukuran ini dapat diterapkan jika data yang
diperoleh dalam bentuk numerik atau berskala interval dan rasio.
172
 Matematika dan Stastistika 
Pengukuran variabilitas termasuk bidang statistika deskriptif. Pengukuran variabilitas
dapat dimanfaatkan untuk kepentingan praktis misalnya; penyusunan standar nilai baik
untuk kepentingan akademik maupun praktis dengan menggunakan standar deviasi. Untuk
menentukan peloncat tinggi yang diajukan dalam perlombaan seorang pelatih juga
memerlukan alat statistik berupa variabilitas untuk memilihnya. Seorang guru atau
instruktur juga memerlukan informasi tentang perbedaan variabilitas dalam kecakapan mata
pelajaran antar 2 kelas ketika hendak memperlakukan 2 kelas secara berbeda akibat adanya
perbedaan kondisi kelas/murid tersebut. Selain untuk kepentingan praktis pengukuran
variabilitas juga memiliki arti teoritik yang sangat penting. Setidaknya melalui pengukuran ini
dapat dilakukan identifikasi tentang ciri kelompok dan perbedaan antar 2 kelompok atau
lebih.
12.
Jenis Pengukuran Variabilitas
Pengukuran variabilitas terdiri atas beberapa pengukuran antara lain: (a) Range; (b)
Mean Deviasi; (c) Standard Deviasi dan (d). Z score atau standar score.
a.
Range
Range atau jarak pengukuran adalah selisih antara nilai tertinggi hasil pengukuran dan
nilai terendah hasil pengukuran
R  X tertinggi  X terendah
b. Mean Deviasi (MD)
Mean deviasi atau rata-rata deviasi (penyimpangan) yaitu rata-rata dari deviasi nilainilai dari mean dalam suatu distribusi. Dalam hal ini diambil nilai yang absolut artinya deviasi
baik yang berarah negatif maupun positif semuanya dianggap positif (+)
 xi  X
MD 
n
Penjelasan tentang rumus diatas adalah MD = mean deviasi yang ingin dicari dan
 xi  X adalah harga mutlak atau selisih antara nilai rerata dengan nilai setiap unsur
penyusunnya tanpa nilai negatif.
Contoh 7.2.13:
Perhatikan tabel berikut ini:
Tabel 7.15
Jumlah Sapi Peternak di Desa Lero
Xi
Xi  X
xi  X
8
7
10
11
-1
-2
1
2
1
2
1
2
173
 Matematika dan Stastistika 
Perhatikan bahwa berdasarkan hasil perhitungan diketahui nilai rerata jumlah ternak
adalah 9.Jadi selisih antara jumlah masing masing ternak dengan 9 adalah
 1 ,  2 , 1 dan 2 . Setelah dikonversi menjadi nilai mutlak maka semuanya dirubah
menjadi bilangan bulat positif. Jadi mean deviasinya adalah MD 
6
1
1
4
2
c.
Standar Deviasi (SD)
Standar deviasi (SD) secara matematik dibatasi sebagai akar dari jumlah deviasi
kuadrad dibagi banyaknya individu kurang 1. Pemahaman kita akan lebih mudah jika kita
perhatikan tabel berikut ini:
Contoh 7.2.14:
Tabel 7.16
Berat Daging Kurban Terdidtribusi
Xi
Xi  X
 xi  x 
8
7
10
11
4
0
-1
2
3
-4
0
1
4
9
16
30
2
Digunakan rumus standar deviasi berikut ini:
 x
s
1
x
2
n 1
Perhatikan bahwa s adalah standar deviasi dan  x1  x  adalah kuadrat dari selisih nilai
2
rerata dengan nilai individu dan n  5 , karena jumlah individunya adalah 5. Pada tabel diatas
30
 2,7386 .
reratanya adalah 8. Sehingga standar deviasinya adalah s 
4
d.
Varians
Varians adalah nilai kuadrat dari simpangan baku (standar deviasi). Jadi jika data diatas
ingin diketahui nilai variansnya maka hanya dikuadratkan nilai simpangan bakunya sebagai
berikut :
Contoh 7.2.15:
 x  x 
2
s 
2
i
n 1
 2,73862  7,5
174
 Matematika dan Stastistika 
e.
Standar Error (Galat Baku)
Galat baku menunjukkan bahwa simpangan baku dibagi akar sejumlah data atau jika
s
simbolkan dengan rumus statistik adalah se 
yang berlaku sama terhadap data tunggal
n
dan data kelompok.
f.
KoefisienVariasi (CoefisienVarians)
Pada koefisien variasi menunjukkan bahwa simpangan baku dibagi dengan rerata
dikalikan 100 %. Rumus ini juga berlaku untuk data tunggal dan data berkelompok.
13.
Fraktil
a.
Kuartil
Kuartil adalah nilai yang memisahkan tiap-tiap 25 persen dalam distribusi frekuensi.
Fungsi kuartil untuk menentukan nilai batas tiap 25 persen dalam distribusi yang
dipersoalkan. Oleh sebab itu teknik ini diterapkan jika analisis dilakukan dengan tujuan untuk
membagi distribusi menjadi 4 bagian, selanjutnya menentukan batas tiap 25 persen
distribusi dimaksud.Dalam statistik dikenal ada 3 nilai kuartil yakni; kuartil 1  K1  , kuartil 2
K2  dan kuartil ke 3 K3  .
Kuartil pertama  K1 
adalah suatu nilai yang membatasi 25% distribusi bagian bawah
dan 75 % distribusi bagian atas. Kuartil kedua
K2  adalah
nilai yang membatasi 50%
distribusi bagian bawah dan 50% distribusi bagian atas. Dalam hal ini kuartil kedua dapat
diidentikkan dengan pengukuran median (Md). Kuartil ketiga  K3  adalah nilai yang
membatasi 75% distribusi bagian bawah dan 25% distribusi bagian atas. Asumsi teknik
pengukuran kuartil: data yang diperoleh dari hasil pengukuran dalam bentuk numerik
(angka) dan lazimnya setingkat skala interval.
Cara menentukan kuartil dibedakan menurut data tunggal dan data berkelompok.
Cara menghitung kuartil data tunggal adalah:
i  n  1
Ki 
4
Penjelasan tentang simbol  Ki  adalah Kuartil ke 1, sedangkan simbol  i  adalah angka
1, 2 dan 3 atau K1 , K2 dan K3 . Simbol (i) menunjukkan kuartil ke berapa yang hendak
dihitung; sedangkan (n) menunjukkan jumlah individu atau frekuensi.
Cara menentukan kuartil untuk data berkelompok atau data yang menggunakan kelas
interval. Rumus yang dapat dipakai adalah sebagai berikut:
n
N  cfb
K n  Bb  4
i
Fd
175
 Matematika dan Stastistika 
Penjelasan tentang rumus diatas adalah  Kn  = nilai kuartil yang dicari K1 , K2 , atau K3  .
Simbol Bb adalah batas bawah nyata dari interval yang mengandung kuartil. Simbol  cfb 
adalah frekuensi kumulatif dibawah interval yang mengandung kuartil. Simbol Fd  adalah:
frekuensi dalam interval kelas yang mengandung kuartil. Simbol (i) adalah lebar interval/
n 
lebar kelas dan simbol  N  adalah: komponen yang menunjuk pada urutan kuartil. Jika
4 
1
N artinya kuartil pertama. N adalah jumlah data.
4
b.
Desil
Nilai yang memisahkan distribusi data menjadi 10 bagian. Nilai desil membagi sepuluh
bagian yang sama. Fungsi desil merupakan nilai batas tiap 10% dalam distribusi yang
dipersoalkanmetode ini diterapkan pada kelompok atau distribusi data dibagi menjadi 10
bagian yang sama. Untuk selanjutnya menentukan batas tiap 10 persen dalam distribusi
dimaksud. Dalam statistik dikenal ada 9 nilai desil yakni; desil 1  D1  , desil 2  D2  , desil ke 3
D3  dan seterusnya sampai dengan dersil ke 9 atau D9 .
Cara menentukan harga desil dibedakan menjadi dua cara. Cara menghitung desil
untuk data tunggal berbeda dengan data berkelompok. Cara menghitung desil untuk data
data tunggal atau tanpa frekuensi adalah sebagai berikut:
Di 
i  n  1
10
Penjelasan tentang rumus diatas adalah Di adalah desil ke- i . Dimana simbol (i) adalah
bilangan 1,2,3,4,5,6,7,8,9 yang menunjukkan desilkeberapa yang akan diketahui sedangkan
n = jumlah individu / frekuensi. Apabila kita berhadapan dengan jumlah data berkelompok
maka persentil dapat dilakukan dengan rumus :
n
N  cfb
10
Dn  Bb 
i
fd
Penjelasan tentang rumus diatas adalah bahwa Dn = nilai desil yang dicari ( D1 , D2
sampai dengan D9 ). Setelah itu perhatikan simbol Bb = batas bawah dari interval yang
mengandung desil yang ingin dicari dan terletak pada kelas keberapa. Simbol cfb =
frekuensi kumulatif dibawah interval yang mengandung desil dan ( fd) adalah frekuensi
dalam interval kelas yang mengandung desil. Lebar interval kelas selanjutnya ditulis dengan
1
N adalah komponen yang menunjuk pada urutan desil. Jika
(i).Keterangan tentang
100
1
N artinya persentil pertama (P1 ) . N adalah jumlah data.
100
176
 Matematika dan Stastistika 
c.
Persentil
Jika desil adalah nilai yang memisahkan distribusi menjadi 10 bagian maka nilai
persentil membagi distribusi menjadi 100 bagian yang sama. Oleh karena itu fungsi persentil
adalah menentukan nilai batas tiap 1 persen dalam distribusi yang dipersoalkan. Teknik ini
diterapkan jika kelompok atau distribusi data dibagi menjadi 100 bagian yang sama, untuk
selanjutnya menentukan batas tiap 1 persen dalam distribusi dimaksud. Dalam statistik
dikenal ada 99 nilai persentil yakni; persentil 1 (P1 ) , persentil 2 (P2 ) , persentil ke-3 (P3 ) dan
seterusnya sampai dengan persentil ke 99 atau P99 .
Persentil pertama (P1 ) adalah suatu nilai yang membatasi 1% distribusi bagian bawah
dan 99 % distribusi bagian atas.
Persentil kedua (P2 ) adalah nilai yang membatasi 2% distribusi bagian bawah dan 98%
distribusi bagian atas. Persentil ke-50 (P50 ) adalah nilai yang membatasi 50% distribusi bagian
bawah dan 50% distribusi bagian atas. Dalam hal ini persentil 50 dapat diidentikkan dengan
pengukuran median ( Me ) dan kuartil ke-2 ( K2 ) serta desil ke 5 atau D5 . Persentil ke 99 ( P99
) adalah nilai yang membatasi 99% distribusi bagian bawah dan 1% distribusi bagian atas.
Asumsi teknik pengukuran persentil adalah bahwa biasanya persentil dipakai pada data yang
diperoleh dari hasil pengukuran dalam bentuk numerik (angka) dan lazimnya setingkat skala
interval. Cara menentukan harga persentil dibedakan menjadi dua cara. Cara menghitung
persentil untuk data tunggal berbeda dengan data berkelompok. Cara menghitung persentil
untuk data data tunggal atau tanpa frekuensi adalah sebagai berikut:
Pi 
i  n  1
100
Penjelasan tentang rumus diatas adalah Pi adalah persentil ke- i . Dimana simbol ( i )
adalah bilangan 1,2,3,4,..99. yang menunjukkan persentilkeberapa yang akan diketahui
sedangkan n = jumlah individu / frekuensi. Apabila kita berhadapan dengan jumlah data
berkelompok maka persentil dapat dilakukan dengan rumus :
n
N  cfb
100
Pn  Bb 
i
fd
Penjelasan tentang rumus diatas adalah bahwa Pn =: nilai persentil yang dicari ( P1 , P2
sampai dengan P99 ). Setelah itu perhatikan simbol Bb = batas bawah dari interval yang
mengandung persentil yang ingin dicari dan terletak pada kelas keberapa. Simbol cfb =
frekuensi kumulatif dibawah interval yang mengandung persentil dan  fd  adalah: frekuensi
dalam interval kelas yang mengandung persentil. Lebar interval kelas selanjutnya ditulis
177
 Matematika dan Stastistika 
dengan ( i ).Keterangan tentang
persentil. Jika
1
N adalah komponen yang menunjuk pada urutan
100
1
N artinya persentil pertama  P1  . N adalah jumlah data.
100
Latihan
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Bagian dari matematika yang merupakan cikal bakal statistika adalah :
a.
Probabilitas
b.
Signifikansi
c.
Exactly
d.
Rasio
Untuk menyederhanakan suatu data sehingga data tersebut mudah untuk dimengerti
maka digunakan statistik:
a.
Inferensial
b.
Deskriptif
c.
Parametrik
d.
Non-parametrik
5 3 1 7 6 berdasarkan data tersebut maka nilai mediannya adalah:
a.
1
b.
5
c.
3
d.
7
f
5 10 15 10 5
6
x 10 11 12 13 14 15
Berdasarkan data diatas, maka nilai modus sebesar :
a.
10
b.
11
c.
12
d.
15
Masih menggunakan tabel diatas. Nilai median sebesar:
a.
10
b.
11
c.
15
d.
12
Nilai mean data diatas sebesar:
a.
12,353
b.
15,521
c.
12,917
d.
15,452
178
 Matematika dan Stastistika 
7)
Range data di atas sebesar :
a.
2
b.
3
c.
4
d.
5
Penggunaan Paracetamol Tablet
15 – 20
21 – 25
26 – 30
31 – 35
36 – 40
8)
9)
10)
f
5
10
20
10
5
Nilai simpangan baku penggunaan Tablet Paracetamol di atas:
a.
5,244
b.
5,367
c.
5,125
d.
5,853
Nilai kuartil ke 2 pada penggunaan Tablet Paracetamol di atas sebesar:
a.
25
b.
24
c.
28
d.
27
Nilai persentil ke 50 penggunaan Tablet Paracetamol di atas sebesar:
a.
10
b.
15
c.
20
d.
25
Petunjuk dalammenjawab.
Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat dan benar dengan melingkari di depan jawaban
tersebut
Jawaban
1.
A
2.
B
3.
B
4.
C
5.
D
6.
7.
8.
9.
10.
A
D
A
C
D
179
 Matematika dan Stastistika 
Ringkasan
Probabilitas merupakan dasar dari ilmu statistik, tetapi bagian dari matematika.
Hipotesis adalah asumsi, dugaan atau kesimpulan sementara yang masih lemah,
sehingga memerlukan alat untuk menguji hipotesis tersebut. Alat tersebut yang dinamakan
statistik.
Statistik deskriptik adalah statistik yang digunakan untuk menyederhanakan suatu data
sehingga data tersebut mudah untuk dipahami/dimengerti. Pembagian statistik deskriptif
adalah centraltendency (ukuran pemusatan), dispersi (ukuran penyebaran) dan fraktil
(ukuran letak). Ukuran pemusatan terdiri atas mean, median dan modus. Ukran penyebaran
terbagi atas range, simpangan baku, varians, koefisien variasi, dan standarderror. Fraktil
terdiri atas kuartil, desil dan persentil.
Tes 2
1)
Sifat dari statistika adalah ....
A.
Exact
B.
Unpredictable
C.
Predictable
D. Probabel
2)
Probabilitas dari fenomena fisika terdiri dari hal dibawah ini,kecuali....
A.
Klasik
B.
Konseptual
C.
Fisik
D. Holistik
3)
Central tendency (ukuran pemusatan) yang sangat dipengaruhi oleh nilai ekstrem
adalah ....
A.
Median
B.
Modus
C.
Mean
D. Range
4)
Besarnya peluang kesalahan dalam menolak Hipotesis nol (Ho)adalah ....
A.
α
B.
γ
C.
β
D. σ
180
 Matematika dan Stastistika 
5)
Power of test dalam pengujian hipotesis dikenal dengan simbol ....
A.
α
B.
γ
C.
β
D. σ
Konsentrasi Larutan HCl
6 – 10 %
11 – 15 %
16 – 20 %
21 – 25 %
26 – 30 %
f
10
5
20
5
10
6)
Mean konsentrasi larutan HCl di atas adalah ....
A.
16,5
B.
18,5
C.
15,5
D. 17,5
7)
Median konsentrasi larutan HCl di atas adalah ....
A.
18
B.
17
C.
16
D. 15
8)
Modus konsentrasi larutan HCl di atas adalah ....
A.
15
B.
16
C.
17
D. 18
9)
Simpangan baku konsentrasi larutan HCl di atas adalah ....
A.
4,3011
B.
4,7892
C.
4,2671
D. 4,6731
181
 Matematika dan Stastistika 
10)
Desil ke 5 konsentrasi larutan HCl di atas adalah ....
A.
10
B.
20
C.
18
D. 15
182
 Matematika dan Stastistika 
Kunci Jawaban Tes
Tes 1
1)
C
2)
C
3)
C
4)
A
5)
C
6)
D
7)
A
8)
A
9)
C
10) C
Tes 2
1)
D
2)
D
3)
C
4)
A
5)
C
6)
B
7)
A
8)
D
9)
A
10) C
183
 Matematika dan Stastistika 
Daftar Pustaka
Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI
Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan
Nasional, Jakarta. p. 250.
Kuntoro, 2012. Probabilitas. Pustaka Melati Surabaya.
Santoso, Singgih, 2002. Buku Latihan SPSS Statistik Parametrik. PT Elex Media Komputindo
Kelompok Gramedia, Jakarta.
Siegel, S., 1958. NonparametricMethods for theBehavioral Sciences, McGraw-Hill. New York.
Steel, R. G. D. And J. H, 1981. PrinciplesandProsedures of Statistics. 2nd ed. McGraw-HillBook
Co., New York.
Zainuddin, M., 1990. Peranan Statistika Dalam Penelitian Dalam S. Tirtowidardjo dan
Sarmanu (ed). Penataran Dasar-Dasar Metodologi Penelitian, Statistika dan Komputer.
Lembaga Penelitian Unair.
184
 Matematika dan Stastistika 
BAB VIII
STATISTIKA INFERENSIAL
Rudy Hartono
PENDAHULUAN
Setelah kita mempelajari Bab 7, banyak manfaat statistik yang dapat diaplikasikan
dalam segala bidang, utamanya di bidang farmasi. Bagaimana menyederhanakan data
farmasi, sehingga lebih mudah untuk dipahami dan mengerti utamanya buat melakukan
perencanaan ataupun pengambilan keputusan akan lebih mudah dengan mempelajari
tentang statistik deskriptif.
Bab ini akan menguraikan tentang statistik inferensial. Seperti telah diketahui bersama
bahwa statistik inferensial terbagi atas 2 bagian yaitu statistik parametrik dan statistik nonparametrik.
Setelah mempelajari bab ini mahasiswa akan dapat :
1.
menjelaskan definisi statistik inferensial dan jenis-jenisnya.
2.
menjelaskan syarat hipotesis dalam penggunaan statistik parametrik
3.
menjelaskan interpretasi uji hiptesis.
4.
Menjelaskan prosedur uji statistik.
5.
Memahami tingkat kemaknaan, keputusan statistic dan nilai p.
6.
Menjelaskan kesalahan pengambilan keputusan statistik.
7.
Menjelaskan kuasan statistik dan distribusi pencuplikan.
Sebagai bekal/bahan utama dalam memahami statistik inferensial, pelajari bab ini
seteliti mungkin karena Bab 8 ini merupakan bab dasar untuk memahami bab selanjutnya.
Ikuti petunjuk, baik pada contoh, latihan maupun petunjuk jawaban soal latihan. Apabila
dalam satu topik masih belum dipahami, coba ulang kembali dan begitu seterusnya.
185
 Matematika dan Stastistika 
Topik 1
Konsep Dasar Statistika Inferensial
A.
DEFINISISTATISTIK INFERENSIAL DAN JENIS-JENISNYA
Manfaat utama statistik secara modern adalah melakukan inferensi statistik. Inferensi
statistik adalah penarikan kesimpulan (inferensi) tentang karakteristik populasi dengan
menggunakan informasi yang diperoleh dari suatu sampel yang diambil dari populasi.
Bahasan inferensi statistik mencakup dua hal yaitu : (1) membuat dugaan tentang parameter
populasi dan (2) menguji hipotesis tentang karakteristik populasi.
Masalah utama dalam inferensi statistik adalah bagaimana memastikan bahwa
perbedaan-perbedaan yang teramati antara dua (atau beberapa) sampel betul-betul
mencerminkan perbedaan-perbedaan pada populasi asal sampel. Sewaktu melakukan
inferensi tentang karakteristik populasi selalu terdapat kemungkinan inakurasi penarikan
kesimpulan karena peran peluang atau variasi-variasi pencuplikan (sampling variability).
Namun, peran peluang itu dapat diperkecil dengan memperbesar ukuran sampel. Sebagai
contoh, kita memiliki sebuah populasi terdiri atas 100 kelereng yang setengah bagiannya
berwarna merah dan setengah bagian berwarna biru. Andaikata kita mencuplik sampel
terdiri atas dua kelereng, maka 1 dari 4 kesempatan (1/22) akan memperoleh kelereng
berwarna merah saja (atau biru saja). Artinya, kita membuat kesalahan sebesar 25% dengan
menyimpulkan bahwa populasi kelereng berwarna merah saja ( padahal sesungguhnya
hanya separuh bagian), jika sampel yang kita cuplik hanya berukuran 2 buah. Tetapi
andaikata sampel kita berukuran 10 kelereng, maka akan terdapat kemungkinan sebesar 1
 1 
dari 1024 kesempatan  10  bahwa kelereng yang kita cuplik berwarna merah saja. Artinya,
2 
kita “hanya” membuat kesalahan sebesar 0,10 persen, jika sampel yang kita cuplik
berukuran 10 buah.
Jelas bahwa jika ukuran sampel-sampel diperbesar, variasi-variasi antara sampel akan
makin kecil, presisi akan meningkat, dan kemungkinan untuk secara keliru membuat
kesimpulan dari sampel tentang karakteristik populasi sesungguhnya akan makin kecil.
Sebaliknya, jika ukuran sampel kecil, variasi-variasi antara sampel akan makin besar, presisi
akan berkurang, dan kemungkinan untuk secara keliru membuat kesimpulan dari sampel
tentang karakteristik populasi yang sesungguhnya akan makin besar. Yang akan ditekankan
di sini adalah bahwa peran peluang merupakan salah stu aspek yang perlu dijelaskan dalam
laporan penelitian untuk menilai presisi temuan penelitian kita.
Statistik inferensial adalah jenis statistik yang menganalisis data yang berasal dari
sampel, dan membuat suatu generalisasi (diberlakukan secara umum) kepada
populasi.Dalam statistika inferensia diadakan pendugaan parameter, membuat hipotesis,
serta melakukan pengujian hipotesis tersebut sehingga sampai pada kesimpulan yang
berlaku secara umum. Metode ini disebut juga statistika induktif, karena kesimpulan yang
ditarik didasarkan pada informasi dari sebagian data saja. Pengambilan kesimpulan dari
186
 Matematika dan Stastistika 
statistika inferensia yang hanya didasarkan pada sebagian data saja yang menyebabkan sifat
tak pasti,memungkinkan terjadi kesalahan dalam pengambilan keputusan,sehingga
pengetahuan mengenai teori peluang mutlak diperlukan dalam melakukan metode-metode
statistika inferensial.
Berdasarkan ruang lingkupnya maka statistik inferensial kemudian dibedakan menjadi
statistik parametrik dan statistik non-parametrik. Statistik parametrik mensyaratkan
terpenuhinya banyak asumsi, yaitu asumsi tentang kenormalan data, homogenitas data, dan
datanya berupa interval atau rasio. Sedangkan statistik non parametrik tidak memerlukan
asumsi-asumsi diatas untuk terpenuhi yaitu data mempunyai data ordinal atau nominal.
Statistik non-parametrik biasa juga disebut dengan statistik bebas distribusi (free
distribution).
B.
SYARAT UJI HIPOTESIS DALAM PENGGUNAAN STATISTIK
PARAMETRIK
Uji hipotesis merupakan proses pengujian kemaknaan statistik dan kuantifikasi
besarnya pengaruh variasi pengambilan sampel terhadap hasil-hasil yang teramati dari suatu
penelitian. Para pengambil keputusan sering dihadapkan pada situasi yang disalamnya
pengetahuan tentang (parameter-parameter populasi sangat langkah, sehingga
membuatuhkan suatu startegi pengambilan keputusan berdasarkan probabilitas yang
disebut uji hipotesis. Uji hipotesis membantu para peneliti, klinisi, administrator kesehatan
dalam mengabil keputusan tentang populasi, dengan cara menganalisis data sampel yang
dicuplik dari populasi tersebut.
Secara sederhana hipotesis dapat didefinisikan sebagai suatu pernyataan tentative
yang menjelaskan terjadinya perilaku, fenomena, atau peristiwa. Pernyataan hipotesis
lazimnya menyangkut prediksi peneliti tentang hubungan variabel-variabel yang menjadi
permasalahan penelitian. Pengelola rumah sakit umpamanya, membuat hipotesis bahwa
rata-rata lama rawat inap pasien di rumah sakit tersebut lima hari; petugas kesehatan
masyarakat membuat hipotesis bahwa program pelatihan keterampilan komunikasi tertentu
efektif dalam meningkatkan kemampuan komunikasi pemberi pelayanan kesehatan dan
pasien; seorang dokter membuat hipotesis bahwa sebuah obat baru efektif dalam
menurunkan tekanan darah sebesar 90% dari semua kasus yang mendapat obat.
Definisi lain tentang uji hipotesis menyatakan bahwa suatu metode pengambilan
keputusan yang didasarkan dari analisis data, baik dari percobaan yang terkontrol, maupun
dari observasi (tidak terkontrol). Dalam statistik sebuah hasil bisa dikatakan signifikan secara
statistik jika kejadian tersebut hampir tidak mungkin disebabkan oleh faktor yang kebetulan,
sesuai dengan batas probabilitas yang sudah ditentukan sebelumnya.
Uji hipotesis kadang disebut juga "konfirmasi analisis data". Keputusan dari uji
hipotesis hampir selalu dibuat berdasarkan pengujian hipotesis nol. Ini adalah pengujian
untuk menjawab pertanyaan yang mengasumsikan hipotesis nol adalah benar.
187
 Matematika dan Stastistika 
Daerah kritis (bahasa Inggris: critical region) dari uji hipotesis adalah serangkaian hasil
yang bisa menolak hipotesis nol, untuk menerima hipotesis alternatif. Daerah kritis ini
biasanya disimbolkan dengan huruf C.
Hipotesis dapat diklasifikasikan menjadi 2 jenis yaitu (1) hipotesis konseptual, dan (2)
hipotesis operasional. Hipotesis konseptual merupakan pemikiran solutif tentang
permasalahan penelitian yang mendorong peneliti untuk melakukan riset . Pemikiran itu
dapat muncul berkaitan dengan teori sebelumnya (deduktif), atau timbul setelah orang
melakukan observasi-observasi dalam kehidupan sehari-hari (induktif). Umpamanya
berdasarkan pengalaman praktek, seorang dokter melihat kemungkinan bahwa suatu
kombinasi obat modern dan tradisional lebih efektif dan membutuhkan dosis yang lebih
rendah untuk menyembuhkan kanker dari pada kalau diberikan secara sendiri-sendiri.
Seorang manajer rumah sakit melihat bahwa program modifikasi perilaku mungkin lebih
efektif dari pada program latihan keterampilan karyawan untuk meningkatkan penampilan
kerja mereka. Dengan uji hipotesis dapat ditetapkan apakah pernyataan-pernyataan itu
cocok dengan data yang dikumpulkan.
Hipotesis konseptual dioperasionalisasikan menjadi hipotesis operasional. Hipotesis
operasional dinyatakan sedemikian rupa sehingga biasa langsung dievaluasi dengan teknikteknik statistik sesuai. Oleh karena itu hipotesis operasional disebut juga hipotesis kerja
(hipotesis statistik). Hipotesis statistik adalah sebuah pernyataan tentang parameter yang
menjelaskan suatu populasi (bukan sampel).
Sampai dengan keputusan obyektif apakah hipotesis tertentu cocok atau tidak dengan
data yang dikumpulkan, diperlukan suatu prosedur obyektif penolakan dan penerimaan
hipotesis. Prosedur yang obyektif menjadi penting dalam metode ilmiah, agar ketika seorang
peneliti lain bias mengulanginya (replikasi) dengan metode dan prosedur yang sama.
Statistik adalah angka yang dihitung dari sekumpulan sampel.
Hipotesis nol H0  adalah sebuah hipotesis yang berlawanan dengan teori yang akan
dibuktikan.
Hipotesis alternatif
H1 
atau hipotesis kerja Ha  adalah sebuah hipotesis (kadang
gabungan) yang berhubungan dengan teori yang akan dibuktikan.
Tes statistik adalah sebuah prosedur yang masukannya adalah sampel dan hasilnya adalah
hipotesis.
Daerah penerimaan adalah nilai dari tes statistik yang menggagalkan untuk penolakan
hipotesis nol.
Daerah penolakan adalah nilai dari tes statistik untuk penolakan hipotesis nol.
Kekuatan Statistik 1    merupakan probabilitas kebenaran pada saat menolak hipotesis
nol.
Tingkat signifikan test   merupakan probabilitas kesalahan pada saat menolak hipotesis
nol.
Nilai P ( P -value) merupakan probabilitas, mengasumsikan hipotesis nol benar.
188
 Matematika dan Stastistika 
C.
INTERPRETASI
Jika nilai p lebih kecil dari tingkat signifikan tes yang diharapkan, maka hipotesis nol
bisa ditolak. Jika nilai p tidak lebih kecil dari tingkat signifikan tes yang diharapkan bisa
disimpulkan bahwa tidak cukup bukti untuk menolak hipotesa nol, dan bisa disimpulkan
bahwa hipotesa alternatif yang benar.
1.
a.
b.
c.
d.
e.
Prosedur Uji Hipotesis
Data. Data merupakan basis prosedur pengujian. Karena itu sifat-sifat dan skala
pengukuran data perlu diketahui untuk menentukan metode uji yang akan digunakan.
Asumsi. Asumsi adalah kondisi model statistik yang melatarbelakangi suatu uji. Setiap
uji dibuat berdasarkan model statistik tertentu dan dengan syarat-syarat pengukuran
variabel tertentu. Kadang-kadang kita dapat menguji apakah kondisi yang diisyaratkan
itu dipenuhi atau tidak. Namun sering kali kita hanya dapat membuat “asumsi” tentang
kondisi hal tersebut. Dalam banyak situasi kita harus biasa nyakin bahwa asumsiasumsi yang kita buat itu benar. Uji parametrik pada umumnya membuat asumsi lebih
banyak dari pada nonparametrik. Konsekuensinya, generalisasi penerapan uji
parametric lebih terbatas dari pada uji non-parametrik, tetapi uji parametric memiliki
kuasa statistik lebih besar dari pada uji non-arametrik.
Hipotesis. Dalam konteks analisis statistik dikenal istilah hipotesis nol dan hipotesis
alternatif. Jika kita membandingkan keunggulan cara pemberian vaksin Hepatitis B
intradermal dan intramuscular, dan kita mulai dengan asumsi bahwa kedua metode
menghasilkan titer anti bodi sama baiknya, maka asumsi itu disebut hipotesis nol.
Karena itu hipotesis nol sering disebut juga “hipotesis tanpa perbedaan”. Akan tetapi
jika kita berpikir bahwa metode intradermal lebih buruk dari pada metode
intramuscular, maka kita sedang membuat suatu pernyataan yang disebut hipotesis
alternatif. Hipotesis nol, ditulis H 0 , lazimnya merupakan hipotesis yang dicoba untuk
ditolak. Sedangkan hipotesis alternatif, ditulis sebagai H a , lazimnya merupakan
hipotesis yang dicoba untuk diterima.
Statistik Uji. Merupakan suatu statistik yang dapat dihitung dari data sampel. Statistik
uji dapat memberi beberapa kemungkinan nilai, nilai yang teramati tergantung pada
sampel yang dicuplik. Statistik uji berfungsi sebagai “pengambil keputusan”, karena
besar kecilnya selalu dipakai untuk memutuskan apakah akan menolak atau tidak
menolak H 0 .
Distribusi Pencuplikan Statistik Uji. Merupakan keadaan yang H 0 -nya benar harus
diketahui untuk dipakai sebagai acuan penolakan atau penerimaan hipotesis nol.
Setiap distribusi statistik uji parametrik mempunyai bentuk tertentu. Umpama,
distribusi statistik z mengikuti bentuk distribusi normal, jika hipoteis nol benar dan
asumsi-asumsi dipenuhi. Sebaliknya, distribusi statistik nonparametrik, tidak memiliki
bentuk fungsional distribusi tertentu, sehingga kadang-kadang disebut statistik bebas
distribusi.
189
 Matematika dan Stastistika 
f.
g.
h.
i.
Aturan Pengambilan Keputusan. Semua nilai-nilai statistik uji terletak pada sumbu
horizontal dari grafik distribusi statistik uji, dan dibagi menjadi dua kelompok yaitu (1)
kelompok pertama membentuk daerah penolakan H 0 , dan (2) kelompok kedua
membentuk daerah penerimaan H 0 . Nilai-nilai statistik yang terletak dalam daerah
penolakan adalah nilai-nilai yang kecil kemungkinannya untuk terjadi, jika hipotesis nol
benar. Sedang nilai statistik yang terletak dalam daerah enerimaan adalah nilai-nilai
yang besar kemungkinannya untuk terjadi, jika hipotesis nol benar. Hipotesis nol
ditolak bila nilai statistik uji yang kita hitung dari sampel merupakan salah satu dari
nilai-nilai yang terletak di dalam daerah penolakan. Sedangkan hipotesis nol tidak
ditolak (atau”diterima”) bila nilai statistik uji yang kita hitung dari sampel merupakan
salah satu dari nilai-nilai yang terletak di dalam daerah penerimaan.
Penghitungan Statistik. Berdasarkan data dari sampel kita menghitung sebuah nilai
statistik uji dan membandingkan nilai statistik uji itu dalam distribusi pencuplikan, pada
keadaan yang H 0 -nya benar, apakah terletak dalam daerah penerimaan atau
penolakan.
Keputusan Statistik. Keputusan statistik akan berupa menolak atau tidak menolak
hipotesis nol. Hipotesis nol ditolak jika nilai statistik uji yang dihitung terletak di dalam
daerah penolakan, dan hipotesis nol tidak ditolak jika nilai statistik uji yang dihitung
terletak di dalam daerah penerimaan.
Kesimpulan. Jika H 0 ditolak, kita simpulkan bahwa H a benar. Sebaliknya jika H 0 tidak
ditolak, kita simpulkan bahwa H 0 mungkin benar.
2.
Tingkat Kemaknaan
Tingkat kemaknaan (level of significance) adalah suatu konsep penting dalam
pengambilan keputusan menolak atau menerima hipotesis nol. Dalam uji hipotesis, kita
menolak H 0 dan menerima Ha jika nilai statistik memiliki probabilitas untuk terjadi.
Probabilitas tertentu yang dipakai sebagai patokan penolakan dan penerimaan H 0 inilah
yang disebut tingkat kemaknaan   . Nilai-nilai  yang umum misalnya 0,05 dan 0,01.
Tingkat kemaknaan  juga dapat dipandang sebagai cara untuk menetapkan apakah temuan
penelitian dapat dikatakan suatu peristiwa langkah, pada keadaan yang hipotesis nol-nya
benar. Jadi misalnya kita temukan bahwa suatu nilai statistik uji (atau nilai-nilai lainnya yang
lebih ekstrim dari nilai statistik uji tersebut) lebih kecil atau sama dengan  dan H 0 benar,
maka kita dapat mengatakan bahwa temuan itu merupakan peristiwa langkah, dan oleh
karena itu secara probabilistik kita menolak H 0 .
Jelas bahwa probabilitas  menentukan keputusan penolakan dan penerimaan H 0 .
Konsekuensinya, demi alasan-alasan objektivitas, maka  hendaknya sudah ditentukan
sebelum data terkumpul. Pemilihan tingkat kemaknaan hendaknya dilakukan dengan hatihati dan mempertimbangkan kemaknaan praktis hasil penelitian kelak. Dalam bedah otak
misalnya, seorang peneliti akan meneliti apakah penggunaan kortikosteroid dosis tinggi lebih
efektif jika dibandingkan dengan tidak menggunakan kortikosteroid untuk mengatasi
190
 Matematika dan Stastistika 
oedema otak. Kemaknaan praktis penelitian tersebut adalah jika kesimpulan penelitian kelak
membenarkan hipotesis alternatif, maka dampaknya tidak saja pada perubahan manajemen
terapi oedema otak di rumah sakit itu, dampaknya tidak saja pada perubahan manajemen
terapi oedema otak di rumah sakit itu, tetapi juga akibat-akibat sampingan penggunaan
kortikosteroid dosis tinggi pada semua pasien oedema otak selanjutnya. Dengan kasus
seperti ini, peneliti sebaiknya memilih tingkat kemaknaan secara konservatif, misalnya
  0,01 . Dengan memilih   0,01 (tidak 0,05), maka akan diperlukan probabilitas nilai
statistik yang lebih kecil atau sama dengan 0,01, sehingga tidak mudah menolak H 0 dan
mengambil kesimpulan bahwa kortikosteroid dosis tinggi lebih efektif dari pada tanpa
penggunaan kortikosterod.
3.
Daerah Penolakan
Daerah penolakan merupakan suatu daerah dalam distribusi pencuplikan nol. Yang
dimaksud dengan distribusi pencuplikan nol ialah distribusi pencuplikan pada keadaan yang
H 0 -nya benar. Daerah penolakan memuat semua nilai-nilai statistik dengan probabilitas
kejadian masing-masing nilai itu, jika H 0 benar, lebih kecil atau sama dengan  .
Gambar 8.1
Daerah Penolakan pada Uji Satu Sisi dan Dua Sisi
Daerah yang diarsir berupa titik-titik adalah daerah penolakan pada uji satu sisi dengan
  5% .
191
 Matematika dan Stastistika 
Daerah yang diarsir berupa titik-titik adalah daerah penolakan pada uji dua sisi dengan
  5% .
Sifat daerah penolakan dipengaruhi oleh pernyataan hipotesis alternatif (Ha ) . Jika H a
menunjukkan prediksi arah perbedaan, uji yang dilakukan adalah ji satu sisi. Sebaliknya jika
Ha tidak secara khusus menunjukkan arah perbedaan, maka uji yang dilakukan ialah uji dua
sisi. Luas daerah penolakan baik uji satu sisi maupun uji dua sisi adalah sama. Yang berbeda
adalah lokasinya. Pada uji satu sisi, daerah penolakan terletak pada salah satu dari kedua sisi
distribusi pencuplikan. Probabilitas untuk memperoleh suatu nilai statistik di daerah
penolakan itu lebih kecil atau sama dengan  .
Pada uji dua sisi, daerah penolakan terletak pada kedua sisi distribusi pencuplikan.
Probabilitas untuk memperoleh suatu nilai statistik pada salah satu dari dua daerah
1
penolakan itu lebih kecil atau sama dengan 
2
Gambar di atas menyajikan daerah penolakan untuk uji satu sisi dan uji dua sisi. Salah
satu gambar (A) memperlihatkan kurva distribusi pencuplikan yang memuat daerah
penolakan satu sisi dan gambar lainnya (B) memperlihatkan kurva distribusi pencuplikan
yang memuat daerah penolakan dua sisi.
4.
Keputusan Statistik
Jika uji statistik menghasilkan suatu nilai statistik yang terletak pada daerah penolakan,
kita menolak H 0 , jika probabilitas kejadian suatu nilai statistik tertentu, pada keadaan yang
H 0 -nya benar, dalam suatu distribusi pencuplikan adalah sangat kecil, kita melihat terdapat
dua alasan yang menjelaskan fakta tersebut. Pertama, H 0 salah (sehingga kita menolak H 0 ).
Kedua H 0 benar (tetapi keputusan kita menolak H 0 ) dan nilai statistik itu kita pandang
sebagai suatu peristiwa langkah untuk terjadi. Dalam proses pengambilan keputusan, yang
sering kita pakai adalah alasan pertama. Pada kesempatan lain tentu saja alasan kedua
mungkin lebih tepat untuk dipakai. Probabilitas untuk alasan kedua, yaitu menolak H 0
meskipun H 0 benar, adalah  , dan kesalahan menolak H 0 yang benar itu disebut kesalahan
tipe I.
a.
Nilai p
Dalam laporan hasil penelitian perlu disebutkan probabilitas pasti temuan penelitian.
Probabilitas pasti lazim dikenal sebagai nilai p . Nilai p menunjukkan probabilitas untuk
memperoleh nilai sebesar atau lebih ekstrim dari nilai statistik yang teramati hanya karena
peluang, dengan asumsi H 0 benar. Makin besar nilai statistik uji kemaknaan, makin kecil
nilai p . Tujuan melaporkan nilai p hasil penelitian ialah agar para pembaca dan peneliti
lainnya mendapatkan kesempatan untuk memutuskan sendiri apakah menolak atau
menerima hipotesis nol. Bagi peneliti satu dan lainnya, makna aplikatif suatu penelitian
dapat berbeda. Misalnya, suatu temuan penelitian menghasilkan nilai p  0,002 . Bagi
seorang peneliti, temuan tersebut disimpulkan bermakna, arena tingkat kemaknaan  
192
 Matematika dan Stastistika 
yang dipakai adalah 0,05. Sebaliknya, pembaca hasil penelitian mungkin menyimpulkan
bahwa temuan tersebut tidak bermakna, sebab pertimbangan kepentingan aplikatif yang
berbeda, ia berpendapat bahwa tingkat kemaknaan   yang lebih pantas di pakai sebagai
patokan adalah 0,01.
Terdapat beberapa isu penting yang perlu diperhatikan dalam membuat interpretasi
hasil uji kemaknaan statistik. Pertama, nilai p hendaknya tidak dipandang sebagai aturan
yang kaku tentang peran peluang dalam suatu hasil penelitian. Nilai p hendaknya hanya
dipandang sebagai petunjuk berapa besar kemungkinan peluang ikut “bermain” terhadap
hasil penelitian. Tidak ada nilai p , bagaimanapun kecilnya, dapat sama sekali menyingkirkan
peran peluang. Katakanlah sebuah studi menemukan bahwa hubungan antara kebiasaan
merokok ibu dan memiliki anak dengan berat badan lahir rendah (BBLR) bermakna pada
p  0,001 . Dengan p  0,001 jelas terdapat 1 di antara 1000 bahwa hasil penelitian tersebut
terjadi hanya karena peluang, dan penelitian yang satu itu kebetulan milik kita. Hanya saja,
dalam kasus ini kita dapat mengatakan bahwa peran peluang agaknya bukan merupakan
alasan yang kuat untuk menjelaskan hubungan kedua variabel tersebut. Sebaliknya,
meskipun nilai p besar, tidak berarti bahwa temuan yang teramati semata-mata terjadi
karena peluang. Kita hanya dapat mengatakan bahwa peran peluang tidak dapat disingkirkan
untuk menjelaskan temuan penelitian. Di samping nilai p , kontribusi ukuran sampel dan
interval keyakinan hendaknya juga diperhatikan dalam membuat interpretasi hasil. Beberapa
praktisi penelitian begitu fanatik dan terbawa arus yang salah dengan patokan
"p  0,05" sampai-sampai timbul pameo yang menyatakan bahwa bagi mereka nilai p
merupakan agama (the religion of p value).
Kedua, perlu dibedakan antara kemaknaan statistik dan kemaknaan praktis (biologis,
klinis dan sebagainya). Perbedaan yang begitu kecil sehingga mempunyai arti klinis bias saja
bermakna secara statistik ( artinya kecil kemungkinan terjadi karena kebetulan), jika sampel
yang dicuplik berukuran cukup besar. Sebaliknya, perbedaan yang besar dan mempunyai arti
klinis penting bias saja tidak pernah mencapai kemaknaan statistic, jika sampel terlalu kecil.
b.
Kesalahan pengambilan keputusan statistik
Terdapat 2 jenis kesalahan pada waktu kita membuat keputusan tentang H 0 . Pertama,
kesalahan tipe I, yaitu menolak H 0 padahal sesungguhnya H 0 benar. Kedua, kesalahan tipe
II, yaitu tidak menolak H 0 padahal sesungguhnya H 0 salah. Probabilitas untuk membuat
kesalahan tipe I disebut  . Makin besar probabilitas  , makin besar pula kemungkinan
menolak H 0 secara keliru. Probabilitas untuk membuat kesalahan tipe II disebut  . Makin
besar probabilitas  , makin besar pula kemungkinan tidak menolak H 0 secara keliru. Jadi
 dan  tidak saja menunjukkan suatu jenis kesalahan pengambilan keputusan statistik,
tetapi juga besarnya probabilitas untuk membuat kesalahan itu sehingga ditulis sebagai:
pkesalahan tipe I  
pkesalahan tipe II  
193
 Matematika dan Stastistika 
Tabel selanjutnya memperlihatkan empat kemungkinan hasil uji hipotesis. Dengan
sajian “tabel kontingensi” kiranya dapat dipahami bahwa antara keempat sel saling
bergantung, termasuk hubungan antara membuat kesalahan tipe I dan kesalahan tipe II.
Antara membuat kesalahan tipe I dan membuat kesalahan tipe II terdapat hubungan
terbalik. Dengan ukuran sampel konstan, jika kita coba mengurangi kesalahan tipe I dengan
menetapkan  pada tingkat yang rendah, probabilitas untuk untuk membuat kesalahan tipe
II akan meningkat. Sebaliknya, jika kita mencoba mengurangi kesalahan tipe II, probabilitas
untuk membuat kesalahan tipe I akan meningkat. Dalam inferensi statistik, seorang peneliti
harus pandai melakukan tawar-menawar dengan pertimbangan sebaik-baiknya tentang
potensi dalam membuat salah satu dari kedua kesalahan tersebut. Jadi, dalam uji hipotesis,
kita harus berusaha membuat keseimbangan optimal antara kedua jenis kesalahan tersebut.
Untuk mencapai keseimbangan itu kita perlu memahami konsep kuasa statistik.
Tabel 8.1
Empat Kemungkinan Hasil Uji Hipotesis
Kesimpulan Uji Kemaknaan
Tidak menolak H 0 (secara
statistik tidak bermakna)
Menolak H 0 (secara
statistik bermakna)
Kebenaran
H 0 Benar
H a Benar
Benar : H 0 benar, dan kita
tidak menolak H 0
Kesalahan Tipe II atau  : Ha
Kesalahan Tipe I atau  : H0
benar, tetapi kita menolak H 0
Benar : H a benar, dan kita
menolak H 0
benar, tetapi kita tidak
menolak H 0
c.
Kuasa statistik
Kuasa statistik (power) dapat didefinisikan sebagai probabilitas untuk menolak H 0
ketika H 0 memang salah. Dengan kata lain, kuasa menunjukkan kemampuan untuk dapat
mendeteksi adanya perbedaan bermakna antara kelompok-kelompok yang diteliti, ketika
perbedaan-perbedaan itu memang ada. Kuasa ditulis sebagai berikut :
Kuasa  1  pkesalahan tipe II  1  
Jadi misalnya  ditetapkan sebesar 0,3, artinya terdapat peluang sebesar 30% untuk
membuat kesalahan tipe II dan secara keliru tidak menolak H 0 padahal Ha benar, maka
kuasa dalam penelitian tersebut adalah 1 – 0,3 = 0,7. Dengan kuasa sebesar 70% berarti
penelitian itu mempunyai kemampuan sebesar 70% untuk dapat mendeteksi perbedaan
antara kelompok-kelompok yang diteliti, jika memang terdapat perbedaan.
Kuasa merupakan fungsi dari : (1) jenis uji statistik yang dipilih, (2) sifat dari hipotesis
alternatif, (3) ukuran sampel, (4) varians populasi, (5) tingkat kemaknaan α, dan (6) variabelvariabel lain yang berkaitan dengan uji statistik yang dipilih.
Karena model matematik yang digunakan pada uji parametrik memakai asumsi lebih
banyak daripada uji nonparametrik, pada umumnya parametrik memiliki kuasa yang lebih
besar dari pada uji nonparametrik. Pernyataan hipotesis alternatif juga menentukan kuasa.
194
 Matematika dan Stastistika 
Jika H a menunjukkan arah, uji yang digunakan adalah uji satu sisi. Jika H a tidak secara
khusus menunjukkan arah, uji yang digunakan adalah uji dua sisi. Uji satu sisi memiliki kuasa
lebih besar daripada uji dua sisi. Pada umumnya kuasa uji statistik meningkat dengan
bertambahnya ukuran sampel.
d.
Distribusi pengambilan
Konsep distribusi pengambilan perlu diketahui untuk memahami inferensi statistik.
Distribusi pencuplikan merupakan suatu distribusi teoritis dari semua nilai-nilai statistik yang
diperoleh dari semua sampel dengan ukuran sama, yang bias diambil secara acak dari
sebuah populasi, pada keadaan yang H 0 -nya benar. Statistik yang dimaksud misalnya mean
sampel, simpang baku sampel, T Mann-Whitney, W Kendall. Yang tercakup dalam distribusi
pengambilan, jika H 0 benar, tidak hanya probabilitas untuk memperoleh nilai sebesar
statistik yang terhitung dari sampel tetapi juga nilai-nilai lainnya yang lebih ekstrim (tidak
konsisten dengan H 0 ) dari nilai statistik tersebut. Distribusi pengambilan, jika H 0 benar,
inilah yang dipakai sebagai acuan untuk mengetahui probabilitas untuk memperoleh nilai
statistik yang kita hitung.
Distribusi pengambilan bias kita bangun secara empiris jika pengambilan berasal dari
populasi yang diskrit dan terbatas (finite). Langkah-langkah untuk membangun sebuah
distribusi pengambilan adalah sebagai berikut :
1)
Dari suatu populasi terbatas dengan ukuran N , ambillah semua sampel berukuran n .
2)
Hitung statistik sampel yang menjadi perhatian penelitian, misalnya mean sampel.
3)
Buatlah daftar semua nilai statistik sampel pada satu kolom, dan daftar frekuensi
kejadian dari semua nilai statistik sampel tersebut pada kolom lainnya.
4)
Buatlah histogram distribusi pengambilan dari statistik tersebut. Jika dari masingmasing titik tengah ditarik garis, kita akan memperoleh polygon distribusi frekuensi.
Sesuai dengan namanya, polygon berarti suatu gambar dengan banyak sudut. Jika
sampel-sampel yang bias dicuplik sangat banyak (sehingga jumlah statistik sampel
sangat besar), polygon distribusi pencuplikan akan kehilangan sudutnya dan
membentuk kurva distribusi frekuensi.
Distribusi pengambilan yang sesungguhnya hampir tidak mungkin kita buat, jika ukuran
populasi N tak terbatas (infinite). Namun distribusi pengambilan dapat didekati dengan
mengambil cukup banyak sampel, masing-masing dengan ukuran n . Jika variabel yang
menjadi perhatian penelitian mempunyai distribusi normal, distribusi pencuplikan dapat
didekati dengan suatu asumsi yang kita percaya kebenarannya. Asumsi tersebut terkenal
dengan nama teorema limit sentral. Teorema limit sentral menyatakan bahwa:jika sebuah
variabel pada populasi didistribusikan dengan mean =  dan simpang baku =  , dan jika
sampel-sampel acak berukuran n diambil dari populasi variabel itu, maka x dari sampel
kurang lebih akan didistribusikan secara normal dengan mean =  dan simpang baku =
 n , jika n besar.
195
 Matematika dan Stastistika 
Contoh 8.1.1:
Kita akan mempelajari bagaimana mengetahui probabilitas untuk memperoleh sebuah mean
sampel dengan menerapkan pengetahuan tentang : (1) teorema limit sentral, dan (2)
distribusi pencuplikan mean sampel. Misalnya, kita mengetahui populasi berat badan lahir
bayi di Kota Makassar didistribusikan normal dengan   3100g dan   500g . Kita ingin
mengetahui besarnya probabilitas untuk memperoleh mean sampel = 3000 g dari sampel
acak berukuran = 100, yang dicuplik dari populasi tersebut. Dengan menerapkan teorema
limit sentral, distribusi pencuplikan dari mean semua sampel berukuran n = 100 akan
500
mempunyai mean = 3100 (  = 3100) dan simpang baku =  n 
 50 . Teorema limit
100
sentral juga menyatakan bahwa jika n sampel cukup besar, mean sampel akan
didistribusikan secara normal. Karena variabel didistribusikan normal, statistik uji yang
digunakan adalah z yang mempunyai bentuk formula sebagai berikut:
z
x   3000  3100

 2
 n 500 100
Dengan mengacu pada tabel distribusi normal baku, probabilitas untuk memperoleh nilai
sebesar x sampel ialah p = 0,228.
Dalam latihan 1 di atas populasi variabel (berat badan lahir bayi) diasumsikan apakah
distribusi pencuplikan x sampel memiliki bentuk normal pula,jawabannya : ya, asal n
sampel cukup besar. Dalam hal mean sampel, kita bias yakin bahwa distribusi pencuplikan
mendekati normal pada tiga keadaan yaitu : (1) pencuplikan berasal populasi yang memiliki
distribusi normal, baik ukuran sampel besar maupun kecil, (2) pencuplikan berasal dari
populasi yang memiliki distribusi tidak normal, asal ukuran sampel besar, (3) pencuplikan
berasal dari populasi yang bentuk fungsional distribusinya tidak diketahui, asal ukuran
sampel besar.
Contoh 8.1.2.:
Seorang yang dituduh pencuri dihadapkan kepada seorang hakim. Seorang hakim akan
menganggap orang tersebut tidak bersalah, sampai kesalahannya bisa dibuktikan. Seorang
jaksa akan berusaha membuktikan kesalahan orang tersebut.
Dalam kasus ini, hipotesis nol (H0 ) adalah: "Orang tersebut tidak bersalah", dan hipotesis
alternatif ( H1 ) adalah: "Orang tersebut bersalah". Hipotesis alternatif ( H1 ) inilah yang akan
dibuktikan.
Ada dua kondisi yang mungkin terjadi terhadap orang tersebut:
1)
Orang tersebut tidak bersalah.
2)
Orang tersebut bersalah.
Dan ada dua keputusan yang bisa diambil hakim:
1)
Melepaskan orang tersebut.
2)
Memenjarakan orang tersebut.
196
 Matematika dan Stastistika 
H 0 benar, (Orang
tersebut tidak
bersalah)
1)
2)
Menerima H 0
(Orang tersebut
dibebaskan)
Keputusan yang Benar
Menolak H 0
(Orang tersebut
dipenjara)
Keputusan yang salah
(Kesalahan Tipe I)
H a Benar
(Orang tersebut
bersalah)
Keputusan yang
salah
(Kesalahan Tipe
II)
Keputusan yang
Benar
Dalam kasus ini, ada dua kemungkinan kesalahan yang dilakukan hakim:
Memenjarakan orang yang benar (Kesalahan Tipe I)
Melepaskan orang yang bersalah (Kesalahan Tipe II)
Rumus
Ada banyak jenis uji hipotesis yang dikenal. Tabel berikut menjelaskan rumus untuk masingmasing uji hipotesis tersebut.
Nama
Rumus
Satu sampel uji
Satu sampel uji
z
z
x 
 n
 x1  x2   d0

2
1
n1
Satu sampel uji
t
Pasangan uji t


2
2
n2
Asumsi / Catatan
(Populasi normal atau n  30 )
dan  diketahui.
( z adalah jarak dari rata-rata
sehubungan dengan simpangan
baku rata-rata). Untuk distribusi
non-normal memungkinkan
untuk dihitung proporsi terkecil
dalam sebuah populasi yang
berada di dalam k simpangan
baku untuk setiap k .
Populasi normal dan observasi
independen dan  1 dan  2
diketahui
x  0
, df  n  1
 s 


 n
d  d0
t
, df  n  1
 sd 


 n
t
197
(Populasi normal atau n  30 )
dan  tidak diketahui
(Populasi normal dari perbedaan
atau n  30 ) dan  tidak
diketahui
 Matematika dan Stastistika 
t
Dua sampel uji t
test digabung
variansi yang
sama
x
 x   d0
sp
1 1

n1 n2
sp2 
 n1  1 s12   n2  1 s22 ,
n1  n2  2
df  n1  n2  2
t
Dua sampel t test terpisah
variansi tidak
sama
z
H0 : p1  p2
digabungkan
Dua proporsi uji
z |d 0 |  0
tidak digabung
x
df 
x
d
 s12 s22 
  
 n1 n2 
2
2
1 1
p 1  p    
 n1 n2 
x x
p 1 2
n  n2
z
 p1  p2   d0
p1 1  p1  p2 1  p2 

Dua sampel F
test untuk
persamaan
variansi
n1
F
diketahui
(Populasi normal atau
n1  n2  40 ) dan observasi
independen dan kedua  1   2
2
 p1  p2 
z
(Populasi normal atau
n1  n2  40 ) dan observasi
independen dan  1   2 tidak
,
s
s

n n
 s12   s22 
   
 n1    n2 
n1  1 n2  1
p  p0
z
n
p0 1  p0 
Satu proporsi uji
Dua proporsi uji
,
n2
s12
s22
diketahui
np0  10 dan n1  p0   10
n1 p1  5 dan n1 1  p1   5 dan
n2 p2  5 dan n2 1  p2   5 dan
observasi independen.
n1 p1  5 dan n1 1  p1   5 dan
n2 p2  5 dan n2 1  p2   5 dan
observasi independen.
Populasi normal
Diurutkan s12  s22 dan H 0 ditolak
jika


F  F  , n1  1, n2  1 
2

 , probabilitas melakukan kesalahan tipe I (menolak hipotesis nol pada saat hipotesis nol
benar)
n = jumlah sampel
n1 = jumlah sampel 1
n2 = jumlah sampel 2
x = rata-rata sampel
 0 = dugaan rata-rata populasi
198
 Matematika dan Stastistika 
1 = rata-rata populasi 1
 2 = rata-rata populasi 2
 = simpangan baku populasi
 2 = variansi populasi
s = simpangan baku sampel
k

= penjumlahan (dari angka sejumlak k )
s2
s12
= Varians sampel
= Simpangan baku sampel 1
s22
= Simpangan baku sampel 2
t
df
= t statistik
= derajat kebebasan
= Rata-rata perbedaan sampel
= dugaan rata-rata perbedaan populasi
= simpangan baku perbedaan
d
d0
sd
 2 = Chi-squared statistik
p
p0
p1
p2
dp
x
= proporsi sampel, (kecuali ditentukan sebelumnya)
n
= dugaan proporsi populasi
= proporsi 1
= proporsi 2
= dugaan perbedaan proporsi
minn1 , n2  = minimum of n1 and n2
x1  n1 p1
x2  n2 p2
Latihan
1)
Penarikan kesimpulan tentang karakteristik populasi dengan menggunakan informasi
yang diperoleh dari suatu sampel yang diambil dari populasi disebut ....
A.
statistik inferensial
B.
statistik deduktif
C.
statistik deskriptif
D. matematika
2)
Sewaktu melakukan inferensi tentang karakteristik populasi selalu terdapat
kemungkinan inakurasi penarikan kesimpulan karena peran peluang atau variasi-variasi
pencuplikan (sampling variability). Namun, peran peluang itu dapat diperkecil dengan
memperbesar ukuran ....
199
 Matematika dan Stastistika 
A.
B.
C.
D.
sampel
sampling
populasi
variabel
3)
Proses pengujian kemaknaan statistik dan kuantifikasi besarnya pengaruh variasi
pengambilan sampel terhadap hasil-hasil yang teramati dari suatu penelitian disebut
uji ....
A.
matematik
B.
kausalitas
C.
hipotesis
D. integral
4)
Jika nilai p lebih kecil dari tingkat signifikan tes yang diharapkan, maka hipotesis nol ....
A.
ditolak
B.
diekstrapolasi
C.
diterima
D. disubtitusi
5)
Untuk menentukan uji statistik yang akan digunakan, maka variabel yang diteliti perlu
diketahui ....
A.
karakteristik
B.
kategori
C.
skala data
D. profil
6)
Probabilitas tertentu yang dipakai sebagai patokan penolakan dan penerimaan H 0
inilah yang disebut tingkat kemaknaan dengan simbol ....
A.
α
B.
β
C.
σ
D. Γ
7)
Probabilitas untuk menolak H 0 meskipun H 0 benar, adalah α, dan kesalahan menolak
H 0 yang benar itu disebut kesalahan tipe ....
A.
B.
C.
D.
IV
III
II
I
200
 Matematika dan Stastistika 
8)
Probabilitas untuk memperoleh nilai sebesar atau lebih ekstrim dari nilai statistik yang
teramati hanya karena peluang, dengan asumsi H 0 benar disimbolkan dengan nilai ....
A.
B.
C.
d.
9)
Ʃ
χ
p
µ
Jika pada analisis statistik kesimpulan tidak menolak H 0 padahal sesungguhnya H 0
salah, maka kesalahan ini disebut dengan kesalahan tipe ....
A.
I
B.
II
C.
III
D. IV
10)
Kuasa statistik merupakan fungsi dari, kecuali ....
A.
uji statistik
B.
ukuran sampel
C.
hipotesis alternatif
D. mean populasi.
Ringkasan
Inferensi statistik adalah penarikan kesimpulan (inferensi) tentang karakteristik
populasi dengan menggunakan informasi yang diperoleh dari suatu sampel yang diambil dari
populasi.
Statistika inferensia menganalisis pendugaan parameter, membuat hipotesis, serta
melakukan pengujian hipotesis tersebut sehingga sampai pada kesimpulan yang berlaku
secara umum atau disebut dengan generalisasi.
Tingkat kemaknaan (level of significance) adalah suatu konsep penting dalam
pengambilan keputusan menolak atau menerima hipotesis nol.
Kuasa merupakan fungsi dari : jenis uji statistik yang dipilih, sifat dari hipotesis
alternatif, ukuran sampel, varians popula3si, tingkat kemaknaan α, dan variabel-variabel lain
yang berkaitan dengan uji statistik yang dipilih.
Distribusi pencuplikan merupakan suatu distribusi teoritis dari semua nilai-nilai
statistik yang diperoleh dari semua sampel dengan ukuran sama, yang bisa dicuplik secara
acak dari sebuah populasi.
Terdapat 2 jenis kesalahan pada waktu kita membuat keputusan tentang H 0 . Pertama,
kesalahan tipe I, yaitu menolak H 0 padahal sesungguhnya H 0 benar. Kedua, kesalahan tipe
II, yaitu tidak menolak H 0 padahal sesungguhnya H 0 salah.
201
 Matematika dan Stastistika 
Tes 1
1)
Suatu distribusi teoritis dari semua nilai-nilai statistik yang diperoleh dari semua
sampel dengan ukuran sama, yang bias dicuplik secara acak dari sebuah populasi, pada
keadaan yang H 0 -nya benar disebut dengan distribusi ....
A.
B.
C.
D.
pencuplikan
matematik
sampel
inferensi
2)
Jika sebuah variabel pada populasi didistribusikan dengan mean =  dan simpang
baku =  , dan jika sampel-sampel acak berukuran n dicuplik dari populasi variabel itu,
maka rata-rata dari sampel kurang lebih akan didistribusikan secara normal dengan
mean =  dan simpang baku =  n , jika n besar di sebut dengan teorema limit ....
A.
tendency
B.
fungsi
C.
sentral
D. integral
3)
Rumus statistik yang digunakan jika populasi normal, maka untuk uji satu sampel
dengan jumlah sampel lebih dari 30 dan σ diketahui adalah ....
x 
A.
z
 n
x  x 
z 1 2
B.
 12
n1
C.
D.
4)
z

 22
n2
 x1  x2   d0
 12
n1
x 
z
 N

 22
n2
Penggunaan rumus statistik untuk uji satu sampel dengan jumlah sampel lebih dari 30
dan σ tidak diketahui serta populasi normal adalah ....
x  0
t
, df  n  1
A.
 s 


 n
x 
B.
z
 n
202
 Matematika dan Stastistika 
C.
t
D.
z
d  d0
, df  n  1
 sd 


 n
 x1  x2   d0
 12
n1
5)
 22
n2
Makin besar probabilitas  , makin besar pula kemungkinan menolak H 0 secara ....
A.
B.
C.
D.
6)

benar
integrasi
keliru
pasti
Daerah penolakan H 0 memuat semua nilai-nilai statistik dengan probabilitas kejadian
masing-masing nilai itu, jika H 0 benar, lebih kecil atau sama dengan ....
A.
B.
C.
D.
σ
α
µ
β
7)
Untuk melakukan suatu penelitian, konsekuensinya demi alasan-alasan objektivitas
maka  hendaknya sudah ditentukan pada saat
A.
analisis data
B.
sementara data terkumpul
C.
sesudah data terkumpul
D. sebelum data terkumpul
8)
Akibat model matematik yang digunakan pada uji parametrik memakai asumsi lebih
banyak daripada uji nonparametrik, maka kuasa statistik pada uji parametrik memiliki
kuasa yang ....
A.
lebih kecil
B.
identik
C.
lebih besar
D. tidak berbeda
9)
Distribusi pencuplikan yang sesungguhnya hampir tidak mungkin kita buat, jika ukuran
populasi ....
A.
infinite
B.
ferensi
C.
finit
D. inferensi
203
 Matematika dan Stastistika 
10)
Jika seorang peneliti ingin meneliti tentang khasiat obat baru untuk penyakit kanker,
maka α yang digunakan secara konservatif sebaiknya sebesar ....
A.
0,01
B.
0,05
C.
0,1
D. 0,001
204
 Matematika dan Stastistika 
Topik 2
Statistik Parametrik
Setelah kita mengkaji Topik 1, maka Topik 2 ini akan membahas tentang aplikasi
statistik parametrik yaitu sebagai berikut :
1.
Uji perbedaan rata-rata 2 kelompok
2.
Uji perbedaan rata-rata lebih dari 2 kelompok
3.
Uji hubungan antara 2 variabel menggunakan korelasi product moment (Pearson)
4.
Uji pengaruh antara 2 variabel menggunakan regresi linier sederhana
Uji Perbedaan Rata-Rata 2 Kelompok
Student’s t test (uji t ) pertama kali ditemukan oleh W. J. Gosset seorang mahasiswa
Perancis pada tahun 1908 dengan nama samaran Student. Prinsip penggunaan uji t adalah
untuk membuktikan signifikan atau tidaknya dua nilai rata-rata.
Syarat-syarat penggunaan uji t :
1.
Uji t dipergunakan bila simpangan baku populasinya (  ) tidak diketahui, bila
simpangan baku populasinya diketahui seharusnya dipergunakan uji Z . Buku-buku
lama menyatakan bahwa uji t dipergunakan bila n1 dan n2  30 , tidak tergantung
2.
3.
kepada simpangan baku populasi diketahui atau tidak. Bila ukuran sampel 1 dan 2
tidak sama, selisih keduanya adalah ≤ 50 %.
Data mempunyai skala pengukuran ratio atau interval.
Data berdistribusi normal. Pembuktian normalitas data ini dapat dipergunakan uji  2 ,
Liliefors, uji Kolmogorof Smirnov 1 sampel dan lain-lain.
Uji dapat dikelompokkan menjadi dua golongan yaitu uji satu sampel dan uji t dua
sampel.
A.
UJI T SATU SAMPEL
Uji t satu sampel ini dipergunakan untuk membedakan nilai rata-rata sampel dengan
nilai rata-rata populasi sebagai standarnya.
Rumus-rumus yang dipergunakan untuk uji t adalah sebagai berikut:
x  0
thit 
s
n
x = nilai rata-rata sampel
 0 = nilai rata-rata populasi, biasanya sebagai nilai standar
s = simpangan baku sampel
n = ukuran sampel
205
 Matematika dan Stastistika 
Bentuk hipotesisnya ada tiga macam yaitu, nilai rata-rata sampel berbeda dengan nilai
rata-rata populasi, lebih besar atau lebih kecil dari nilai rata-rata populasi. Bila hipotesis ini
dirumuskan adalah sebagai berikut :
H0 :   0 ; Ha :   0 (uji 2sisi/ekor)
1.
H0 :   0 ; Ha :   0 (uji 1 sisi/ekor)
2.
H0 :   0 ; Ha :   0
3.
Kriteria penerimaan hipotesisnya adalah :
Untuk hipotesis formula 1, H 0 diterima bila:
t
1 
 1   n 1
 2 
 thit  t
1 
 1   n 1
 2 
Untuk hipotesis formula 2, H 0 diterima bila :
thit  t1 n1
Untuk hipotesis formula 3, H 0 diterima bila:
thit  t1 n1
 n  1 = derajat bebas, dipergunakan untuk melihat tabel t .
Bila t hitung yang diperoleh kebalikan dari kriteria di atas, maka sebaliknya Ha yang
diterima. Bila mempergunakan program komputer H 0 diterima jika probabilitasnya
 p  0,05 .
Contoh 8.2.1:
Masyarakat mengeluh bahwa kadar nikotin rokok X diduga lebih tinggi dari kadar standar
yang ditentukan (kadar standarnya 0  20 mg/batang ). Untuk membuktikan keluhan
masyarakat ini diambil sampel random sebanyak 10 batang dan kadar nikotin per batangnya
masing-masing adalah 22, 21, 19, 20, 21, 22, 22, 21, 22 dan 25. Harga α yang dipergunakan
5%.
Penyelesaian :
H0 : 0  20 mg
Ha : 0  20 mg
X
2
 4645,
 X  215, mean  21,5
4645  2152 / 10
s
 1,5811
10  1
x  0
s/ n
21,5  20
1,5
thit 

 3,000
1,5811 / 10 0,4999
thit 
206
 Matematika dan Stastistika 
t0,959  1,83 . Karena t hitung  t tabel , maka H a diterima berarti keluhan masyarakat
tersebut terbukti benar (kadar nikotin > yang ditulis di dalam label). Berikut ini adalah
contoh perhitungan dengan menggunakan program SPSS.
T-Test
One-Sample Statistics
Std.
Mean
Deviation
21.5000
1.58114
N
NIKOTIN
10
Std. Error Mean
.50000
One-Sample Test
Test Value = 20
NIKOTIN
t
Df
Sig. (2-tailed)
Mean Difference
3.000
9
.015
1.5000
95% Confidence
Interval of the
Difference
Lower
Upper
.3689
2.6311
Uji t Dua Sampel
Uji t dua sampel ini dibedakan menjadi uji t dua sampel yang berhubungan dan uji t dua
sampel bebas.
Uji t dua sampel berhubungan
Uji t dua sampel berhubungan di sebut juga sebagai uji t sebelum sesudah (before
after t test) atau uji t dua sampel yang berpasangan (paired t test). Rumus yang
dipergunakan adalah :
d
thit 
s n
d  di
s
n di 2  ( di)2
n(n  1)
s = simpangan baku beda sampel
d = selisih nilai rata-rata 1 dan 2
n = ukuran sampel
Contoh 8.2.2:
Apakah ada pengaruh suntikan depo provera terhadap tekanan darah sistolik?
Wanita
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Sebelum 125 128 130 131 125 137 134 128 135 129
Sesudah 128 127 129 134 127 132 128 130 131 128
207
 Matematika dan Stastistika 
di
di
2
-3
1
1
-3
-2
5
6
-2
4
1
9
1
1
9
4
25
36
4
16
1
H0 : 1  2
H1 : 1  2
d  3  1  1   3    2   5  6   2   4  1  8
d
 8   di  106
2
i
s
10(106)  82
 3,3267
10(9)
8
 0,76045
3,3267
10
sedang t0,9759  2,262
t hit = thit 
Hasil yang diperoleh t hitung < t tabel , maka H 0 diterima berarti Depo Provera tidak
berpengaruh nyata terhadap tekanan darah sistolik ( p  0,05 ). Berikut ini adalah hasil
perhitungan dengan program SPSS :
NPar Tests
Tests of Normality
Kolmogorov-Smirnova
VAR00004
SEBELUM
1
Shapiro-Wilk
Statistic
df
Sig.
Statistic
df
Sig.
.124
10
.200*
.942
10
.571
a. Lilliefors Significance Correction
*. This is a lower bound of the true significance.
T-Test
Pair 1
PRE
POST
Paired Samples Statistics
Std.
Mean
N
Deviation
130.6000
10
4.22164
129.8000
10
1.98886
Std. Error Mean
1.33500
.62893
Paired Samples Correlations
Pair 1 SEBELUM & SESUDAH
208
N
Correlation
Sig.
10
.578
.080
 Matematika dan Stastistika 
Uji t Dua Sampel bebas
Uji t ini akan membandingkan perbedaan dua nilai rata-rata dua kelompok sampel
yang betul-betul bebas atau terpisah. Uji t ini dibedakan
Paired Samples Test
Paired Differences
Mean
Pair 1
SEB SES
Std.
Std. Error
Deviation Mean
.80000
3.32666
1.05198
95% Confidence
Interval of the
Difference
Lower
Upper
t
df
Sig.
(2-tailed)
-1.57975
3.17975
.760
9
.466
menjadi 2 kelompok yaitu uji t dengan variansi homogen dan uji t dengan variansi
heterogen. Homogen atau heterogennya kedua variansi diketahui dengan uji F ( F = Fisher).
s2
Fhit  12 di mana s12  s22
s2
H 0 : variansi I = variansi 2 (DATA HOMOGEN)
H a : variansi I ≠ variansi 2 (DATA HETEROGEN)
H 0 diterima berarti kedua variansi homogen
H 0 diterima bila : Fhit  Fa v1 ,v2 
v1  n1  1 dan v2  n2  1
Bila terbukti bahwa kedua sampel berasal dari populasi dengan variansi yang homogen,
maka dipergunakan uji t dengan rumus perhitungan sebagai berikut:
thit 
x1  x2
1 1
s

n1 n2
(n1  1)s12  (n2  1)s22
s
n1  n2  2
x1 = nilai rata-rata sampel 1,
s12 = variansi sampel 1
x2 = nilai rata-rata sampel 2,
s22 = variansi sampel 2
s = simpangan baku gabungan dua sampel
H 0 diterima bila :
t
1 
 1   db 
 2 
 thit  t
1 
 1   db 
 2 
209
 Matematika dan Stastistika 
atau
thit  t
1 
 1   db 
 2 
dan thit  t
1 
 1   db 
 2 
db  n1  n2  2
Contoh 8.2.3:
Terdapat dugaan dari para dokter, bahwa mutu vitamin B 12 buatan pabrik B lebih baik
dibanding dengan vitamin b12 buatan pabrik A. Untuk membuktikan dugaan para dokter ini
kedua kelompok vitamin tersebut disuntikkan secara terpisah kepada masing-masing 10
pasien. Penyuntikan dilakukan secara intramuskular setiap minggu selama 4 bulan. Mutu
atau kurang mutunya vitamin B12 ini ditentukan oleh kadar Hb sesudah disuntik. Kadar Hb
dihitung pada saat satu minggu setelah suntikan terakhir dengan peralatan dan cara yang
sama. Kadar Hb dua kelompok sampel sebelum disuntik tidak berbeda nyata. Buktikan,
apakah dugaan para dokter tersebut terbukti benar. Diketahui harga   5% dan data kadar
Hb-nya adalah sebagai berikut :
Pabrik
A 12,2 11,3 14,7 11,4 11,5 12,7 11,2 12,1 13,3 10,8
B 13,0 13,4 16,0 13,6 14,0 13,8 13,5 13,8 15,5 13,2
H0 :  a   b
Ha : a  b
A : x  12,12
s  1,18115
B : x  13,98
s  0,98522
s2  1,3951
n  10
s  0,97066 n  10
1,3951
Fhit 
 1,4373
0,97066
F0,05 9,9  3,18 , jadi Fhit  Ftabel , maka H 0 diterima artinya varian populasi homogen.
s
2
10  11,3951  10  1 0,97066 
10  10  2
(12,5559)  (8,73594)
 1,0876
18
12,12  13,98
1,86
t

 3,8240
1,0876 1 / 10  1 / 10 0,4864
t0,9518  1,734

Kesimpulan : thit  t tabel
 3,8204  1,734
sehingga H a diterima artinya vit B12 buatan
pabrik B memang lebih baik dibandingkan dengan buatan pabrik A. Berikut ini adalah hasil
perhitungan dengan program komputer.
210
 Matematika dan Stastistika 
T-Test
Group Statistics
PABRIK
A
B
DATA
N
10
10
Mean
12.1200
13.9800
Std. Deviation
1.18115
.98522
Std. Error Mean
.37351
.31156
Independent Samples Test
Levene's Test
for Equality of
Variances
DATA
Equal
variances
assumed
Equal
variances
not
assumed
t-test for Equality of Means
95% Confidence
Sig. (2Mean Std. Error
Interval of the
tailed) Difference Difference
Difference
Lower Upper
F
Sig.
t
df
.317
.581
-3.824
18
-3.824 17.439
.001
1.8600
.48639
2.882 .83813
.001
1.8600
.48639
2.884 .83576
NPar Tests
One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test
DATA
VAR00003
N
10
10
Normal
Mean
12.1200
13.9800
Parameters(a,b)
Std. Deviation
1.18115
.98522
Most Extreme
Absolute
.200
.292
Differences
Positive
.200
.292
Negative
-.132
-.160
Kolmogorov-Smirnov Z
.633
.923
Asymp. Sig. (2-tailed)
.818
.362
a.
Test distribution is Normal.
b.
Calculated from data.
Bila terbukti bahwa kedua sampel berasal dari populasi dengan variansi yang heterogen
maka rumus perhitungan yang dipergunakan adalah :
x1  x2
thit 
2
s1 n1  s22 n2
211
 Matematika dan Stastistika 
H 0 diterima bila :
s12t1 s22t2

n1
n2
 thit 
2
s1 s22

n1 n2
s12t1 s22t2

n1
n2
2
s1 s22

n1 n2
Untuk uji dua ekor :
t1  t 1 
dan t2  t
1 
 1   n2 1
 2 
 1   n1 1
 2 
Untuk uji satu ekor :
t1  t1 n1 1 dan t2  t1 n2 1
Contoh 8.2.4:
Data berikut ini adalah pendapatan 15 karyawan Poltekkes Makassar dan 11 orang karyawan
Politani Pangkep (× Rp10.000,00). Buktikan apakah pendapatan kedua karyawan tersebut
berbeda nyata. (diketahui harga   0,05 ).
Poltekkes 35,3 35,9 37,2 33 31,9 33,7 36 35 33,3 33,6 37,9 35,6 29 33,7 35,7
Politani 32,5 34 34,4 31,8 35 34,6 34,6 33,5 31,5 33,8 33,6
Poltekkes :
x1  34,45
s1  2,22
s12  4,95
Politani :
x1  33,57
s1  1,17
s12  1,37
4,95
Fhit 
 3,61 F 0,0514,10  2,86
1,37
n1  15
n2  11
Variansi kedua sampel tersebut adalah heterogen:
34,45  33,57
thit 
 1,30525 t0,9514   1,761 dan t0,9510  1,812
4,95 1,37

15
11
4,95 / 15(1,761  1,37 / 11(1,81)
t
 1,79
4,95 / 15  1,37 / 11
Hasil perhitungan diperoleh thit  t tabel , maka H 0 diterima berarti pendapatan karyawan
Poltekkes dan Politani tersebut tidak berbeda nyata.
1.
Uji Perbedaan Lebih dari 2 Kelompok (Analisis of Varians/ Anova)
Anova bila diterjemahkan ke dalam Bahasa Indonesia artinya adalah sidik ragam atau
analisis ragam, pertama kali diperkenalkan oleh R. A. Fisher pada tahun 1925. Untuk
212
 Matematika dan Stastistika 
mengenang jasa-jasanya, maka anova di sebut pula sebagai uji F. Karena jasanya dalam
bidang statistika, R. A. Fisher pernah dianugerahi gelar Baronet oleh Ratu Inggris.
Sidik ragam sebenarnya merupakan pengembangan dari uji t untuk dua sampel yang
bebas. Anova dipergunakan untuk mengetahui perbedaan nilai rata-rata lebih dari dua
macam perlakuan dan kontrol dalam hal ini masuk ke dalam perlakuan.
Anova dapat dikelompokkan menjadi anova satu arah dan anova dua arah. Beberapa
persyaratan yang harus dipenuhi pada anova adalah :
a.
Normalitas
Data mempunyai skala pengukuran rasio atau interval dan berasal dari populasi
dengan sebaran normal. Uji normalitas dapat dilakukan dengan uji χ 2 (chi-square), kertas
probabilitas, Kolmogorov Smirnov atau uji Liliefors. Data yang menyebar normal bila
digambarkan kurvanya berbentuk simetris seperti lonceng. Bila data tersebut terbukti tidak
menyebar normal, maka bisa didekati dengan cara transformasi data. Bila tetap tidak
memenuhi persyaratan, maka analisisnya bisa dipergunakan uji statistik non parametrik.
b.
Homogenitas variansi
Perlu diketahui pangkat dua dari simpangan baku disebut variansi. Untuk mengetahui
apakah variansi dari perlakuan homogen atau tidak dapat dilakukan pengujian dengan uji
Bartlett.
c.
Independen
Galat atau kekeliruan bersifat bebas terhadap sesamanya (independen). Dengan kata
lain, bahwa data pengamatan harus bebas satu sama lainnya. Persyaratan ini bisa dipenuhi
bila perlakuan yang diberikan terhadap unit eksperimen dengan cara acak (random). Bila
timbul keragu-raguan tentang acak atau tidaknya perlakuan yang diberikan dapat dilakukan
pengujian dengan uji randomisasi (uji statistik non parametrik).
Anova Satu Arah
Anova satu arah ditemukan pada :
Rancangan Acak Lengkap (RAL)
RAL disebut juga rancangan rambang lugas atau desain acak sempurna (DAS),
completely randomized design atau simple randomized design.
Pada RAL arah semua variabel yang berpengaruh selain perlakuan adalah homogen.
Keuntungan RAL, analisisnya termasuk sederhana dan banyak ulangan ( ni ) boleh sama atau
tidak, bila tidak sama sebaiknya perbedaannya adalah < 50%. Suatu misal terjadi ‘kematian
atau kehilangan unit eksperimen saat percobaan berlangsung tidak menjadi masalah dari
segi analisisnya, asalkan jumlah unit eksperimennya yang hilang < 50%. Kerugian umumnya
kesulitan memperoleh unit eksperimen yang homogen. Demikian pula penanganan variabel
selain perlakuan yang homogen sering kali mengalami kesulitan. Akibatnya tidak jarang
kesulitan dalam penarikan kesimpulan apakah respons yang timbul itu betul-betul dari
perlakuan atau variabel lain yang tidak dikehendaki. RAL sangat cocok untuk penelitian klinik
213
 Matematika dan Stastistika 
atau penelitian lain dalam laboratorium dan kurang cocok untuk penelitian lapangan atau
survei.
Data Pengamatan
x12
Perlakuan (Variabel Independen)
2
.......
k
x21
x
.......
k1
x22
xk 2
.......
......
x1n1
......
x2n2
1
x11
x
x
Nilai rata-rata
x1
Jumlah pengamatan
Total
.......
........
xknk
(variabel dependen)
.......
x
x2
.......
xk
n1
n2
........
nk
2
2
.......
2
1
s1
Variansi
.......
2
s2
x
T
k
sk
n
i
Cara perhitungan :
 x 
FK 
n
JKT   x  FK
 x    x 
JKP 
2
T
2
ij
2
2
1
2
n1
n2
JK sisa  JKT  JKP
 x 
 ... 
2
k
nk
 FK
Keterangan :
FK
= faktor koreksi
JKT
= jumlah kuadrat total
JKP
= jumlah kuadrat perlakuan
JK sisa = jumlah kuadrat sisa. Istilah lain ialah jumlah kuadrat galat atau jumlah kuadrat
kekeliruan.
Sumber
variasi
Perlakuan
Sisa
Total
db
JK
KT
Fhit
k 1
JKP
JKP
k 1
KTperlakuan
JKsisa
JKsisa
(ni  1)  (k  1)
 (ni  1)
(k  1)
(n  1)
i
JKT
214
KTsisa
F v1 ,v2 
Ftabel
 Matematika dan Stastistika 
db = derajat kebebasan
KT = kuadrat tengah
v1  db perlakuan, merupakan pembilang
v2  db sisa, merupakan penyebut
Bentuk hipotesisnya adalah :
H0 : 1  2    k
H0 : 1  2    k
Penarikan kesimpulannya :
H 0 diterima bila Fhit  F v1 ,v2  dan sebaliknya H a diterima bila Fhit  F v1 ,v2  . Bila H a diterima,
berarti terdapat respons yang berbeda dari bermacam-macam perlakuan. Dengan kata lain
bila H a diterima berarti minimal terdapat sepasang perlakuan yang berbeda. Pasanganpasangan mana yang berbeda menyebabkan respons yang berbeda belum diketahui, masih
memerlukan pengujian lebih lanjut setelah anova (multiple comparison).
Menurut Frederik (1955), sebaiknya db sisa dari anova ≥ 20, ketentuan ini dapat
dipergunakan untuk menentukan salah satu cara sederhana untuk menentukan jumlah
ulangan ( ni ), dengan rumus sebagai berikut :
 k  1 ni  1  20 , misalnya jumlah perlakuannya = 4 maka :
20
20
 ni  1 
 ni  7,7
3
3
maka jumlah ulangan minimalnya sama dengan 8. untuk penentuan jumlah minimal ulangan
cara yang lebih baik akan diuraikan kemudian.
 1 
Menurut Higgins dikoreksi dengan menambahkan = 
  n dimana f adalah persentasi
1 f 
 4  1 ni  1  20   ni  1 
dari penambahan sampel biasanya 10 – 20 %.
Latihan
Penggunaan anova dengan ulangan yang tidak sama
Ingin diketahui apakah terdapat perbedaan mutu bola lampu listrik buatan pabrik A, B, C
dan pabrik D. Mutu atau tidaknya bola lampu ditentukan oleh daya tahan hidupnya.
Pengambilan contoh dilakukan secara random, bola lampu buatan pabrik A dan B masingmasing diambil sebanyak 5 buah. Untuk bola lampu buatan pabrik C dan D masing-masing
diambil 4 buah. Bola lampu tersebut dinyalakan dan daya hidupnya diukur (dalam bulan).
Buktikan dengan mempergunakan alfa = 5 %, apakah mutu bola lampu buatan empat pabrik
tersebut terdapat perbedaan?
215
 Matematika dan Stastistika 
A
12
20
23
10
17
Merek Lampu
B
C
D
14
6
9
15
16
14
10
16
18
19
20
19
22
82
80
58
60
280
16.4
5
16
5
14.5
4
15
4
18
Pengamatan
DAYA
TAHAN
x
i
x
ni
280 
FK 
2
 4355,55
18
JKT  122  202  232  102  172    192  4355,55  382,44
822 802 582 602
JKP 



 4355,55  10,25
5
5
4
4
JKS  382,44  10,25  372,19
Tabel Anova
Sumber
variasi
Perlakuan
Sisa
Total
db
JK
KT
Fhit
F0 ,05
3
14
17
10.25
372.19
382.44
3.42
26.58
0.13
3.34
H0 : A  B  C  D
Ha : A  B  C  D
Nilai dari Fhit  0,13  3,34 , maka H 0 yang diterima. Jadi mutu merek bola lampu listrik
buatan pabrik A, B, C dan D tidak berbeda nyata ( p  0,05 ). Nilai rata-rata daya tahan
tersebut sebenarnya berbeda dan perbedaannya bukan karena merek, tetapi karena faktor
lain yang tidak diketahui. Bila soal tersebut dikerjakan dengan program komputer hasilnya
adalah sebagai berikut :
One way
Te st of Homogeneity of Variance s
VAR00001
Levene
Statistic
.123
df 1
df 2
3
14
Sig.
.945
216
 Matematika dan Stastistika 
ANOV A
VA R00001
Betw een Groups
Within Groups
Total
Sum of
Squares
10.244
372.200
382.444
df
3
14
17
Mean Square
3.415
26.586
F
.128
Sig.
.942
Perbedaan rata-rata, mungkin disebabkan oleh :
1)
variabel yang dikendalikan tidak betul-betul terkendali
2)
perbedaan yang terjadi selama percobaan, misalnya lampu di goyang, voltase naik dan
lain-lain.
Latihan
Penggunaan anova dengan ulangan yang sama
Ingin diketahui apakah terdapat perbedaan mutu obat tidur merek A, B, C dan plasebo. Obat
yang bermutu bila cepat menyebabkan tertidur setelah meminum obat tersebut. Variabel
kendali adalah berat badan, umur, waktu tidur sama, kegiatan, makanan. Taraf signifikansi
yang dipergunakan adalah   5% dan data percobaan (dalam menit) tersebut adalah :
Pengamatan
Mutu
x
x
i
Plasebo
78
91
97
82
85
77
85
A
55
66
49
64
70
68
62
510
372
Obat Tidur
B
64
60
67
62
66
65
64
384
17222
FK 
 123533,50
24
JKT  782  912  972  822  772    762  123553,50
 126808  123553,50
 3254,5
JKP  125646  123553,5  2092,5
JKS  3254,5  2092,5  1162
217
C
75
93
78
71
63
76
76
456
1722
 Matematika dan Stastistika 
Tabel Anova
Sumber
variasi
Perlakuan
Sisa
Total
db
JK
KT
Fhit
F0 ,05
3
20
23
2092.50
1162
3254.5
697.5
58.1
12.005
3.10
Out put SPSS
Oneway
ANOVA
WAKTU
Between
Groups
Within Groups
Total
Sum of Squares
df
Mean Square
F
Sig.
2092.500
3
697.500
12.005
.000
1162.000
3254.500
20
23
58.100
Post Hoc Tests
Multiple Comparisons
Dependent Variable: WAKTU
LSD
(I) Pabrik
Plasebo
Pabrik A
Pabrik B
Pabrik C
(J) Pabrik
Pabrik A
Pabrik B
Pabrik C
Plasebo
Pabrik B
Pabrik C
Plasebo
Pabrik A
Pabrik C
Plasebo
Pabrik A
Pabrik B
Mean
Difference (I-J)
23.0000(*)
21.0000(*)
9.0000
-23.0000(*)
-2.0000
-14.0000(*)
-21.0000(*)
2.0000
-12.0000(*)
-9.0000
14.0000(*)
12.0000(*)
Std. Error
Sig.
4.40076
4.40076
4.40076
4.40076
4.40076
4.40076
4.40076
4.40076
4.40076
4.40076
4.40076
4.40076
.000
.000
.054
.000
.654
.005
.000
.654
.013
.054
.005
.013
95% Confidence Interval
Lower Bound Upper Bound
13.8202
32.1798
11.8202
30.1798
-.1798
18.1798
-32.1798
-13.8202
-11.1798
7.1798
-23.1798
-4.8202
-30.1798
-11.8202
-7.1798
11.1798
-21.1798
-2.8202
-18.1798
.1798
4.8202
23.1798
2.8202
21.1798
* The mean difference is significant at the .05 level.
Nilai Fhit  12,01  3,10 , jadi terdapat perbedaan yang nyata ( p  0,05 ) tentang mutu
obat tidur (plasebo, A, B dan C). Untuk mengetahui obat tidur jenis apa yang mutunya
terbaik perlu pengujian lebih lanjut, yaitu pengujian nilai rata-rata setelah anova (paling
tidak ada sepasang yang berbeda).
218
 Matematika dan Stastistika 
Pengujian tentang perbedaan nilai rata-rata setelah anova ada bermacam-macam cara
yaitu : uji LSD (least significant different/ beda nyata terkecil), HSD (honestly significant
different/beda nyata jujur), Bonferroni, Sidak, Scheffe, REGWF, REGWQ, SNK (student
newman keul), Tukey, Tukey’s-b, DMRT (Duncan’s multiple range test), Hochberg’s GT2,
Gabriel, Waller-Duncan, Dunnet dan sebagainya. Dari soal di atas maka diberikan contoh
untuk uji LSD (Least Significant Different).
2.
Uji LSD
Uji ini disebut pula sebagai uji beda nyata terkecil (BNT), uji ini merupakan
pengembangan dari uji t . Syarat penggunaan uji BNT, hasil uji F (anova) adalah bermakna.
Jumlah ulangannya bisa sama atau tidak, tetapi sebaiknya ulangannya adalah sama. Bila
ulangannya tidak sama, cara pengerjaannya tidak praktis seperti halnya pada uji t . Bila
jumlah ulangannya sama, cara pengujian ini mempergunakan satu nilai pembanding yang
dapat dihitung dengan mempergunakan rumus :
1 1
KTsisa   
 n1 n2 
t nilainya dapat dilihat pada tabel dengan harga   0,05 dan db  dbsisa dari anova.
LSD  t
1 
 1   db 
 2 
Jadi
LSD  t0,97520 2(58,1) / 6  2,09 2(58,1) / 6  9,19
Selanjutnya dibuat matriks dengan menyusun secara urut dari nilai terkecil atau dari
nilai terbesar, dari nilai rata-rata respons perlakuan.
Matriks selisih nilai rata-rata
Obat
Nilai rata-rata
A
B
C
Plasebo
62
64
76
85
A
62
0
B
64
2
0
C
76
14
12
0
Plasebo
85
23
21
9
0
LSD0,05 = 9,19
Cara membaca matriks, bila selisih antara dua perlakuan minimal sama dengan nilai >
LSD-nya, maka antara dua perlakuan ini adalah berbeda nyata atau sangat nyata. Sebaliknya
bila lebih kecil dibandingkan dengan nilai LSD-nya, maka antara dua perlakuan ini tidak
berbeda nyata.
Selanjutnya untuk memudahkan dalam menyimpulkan hasil pada matriks tersebut
perlu dibuat notasi garis atau notasi huruf.
219
 Matematika dan Stastistika 
Obat :
Nilai rata-rata
Notasi garis
A
62a
B
64a
C
76b
Plasebo
85b
Notasi huruf
a
a
b
b
Nilai rata-rata pada baris sama yang diikuti oleh superskrip yang berbeda,
menunjukkan berbeda nyata ( p  0,05 ). Jadi dapat disimpulkan bahwa obat yang paling
bermutu adalah obat A atau obat B.
2.
Uji t
Sebenarnya uji setelah anova ini mempunyai banyak kekurangan dibandingkan dengan
uji rata-rata setelah anova lainnya. Karena uji t setelah anova mempergunakan nilai
pembanding t yang berubah-ubah, akibatnya uji ini tidak praktis karena cara-cara
perhitungannya lebih panjang, sehingga peluang terjadinya kesalahan dalam perhitungan
akan lebih besar. Rumus uji t yang dipergunakan adalah sebagai berikut :
x1  x2
thit 
KT .sisa(1 / n1  1 / n2 )
Plasebo >< obat A :
85  62
thit 
 5,23
58,10(1 / 6  1 / 6)
t0,97510   2,23
Jadi mutu obat A lebih baik dibandingkan dengan plasebo  p  0,05
thit 
Plasebo >< obat B
85  64
58,10(1 / 6  1 / 6)
t0,97510  2,23
 4,77
Jadi mutu obat B lebih baik dibanding dengan plasebo  p  0,05 Plasebo >< obat C
85  76
 2,05
58,10(1 / 6  1 / 6)
t0,97510   2,23
thit 
Jadi mutu obat C dan plasebo tidak berbeda nyata  p  0,05
thit 
obat C >< obat A :
76  62
58,10(1 / 6  1 / 6)
t0,97510   2,23
220
 3,18
 Matematika dan Stastistika 
Jadi mutu obat A lebih baik dibanding dengan obat C  p  0,05
Antara obat C dengan obat B dan antara obat B dengan obat A bisa dikerjakan sendiri
untuk latihan.
4.
Hubungan antara 2 Variabel menggunakan Korelasi Product Moment (Pearson).
Korelasi Pearson (product moment) merupakan salah satu statistika inferensial, yang
dapat dilihat pada bagan berikut, analisis statistik terbagi menjadi dua yaitu statistik
deskriptif dan statistik inferensial. Statistik deskriptif mempelajari penyajian statistik dari
data pada sampel, sedangkan statistik inferensial mempelajari penarikan kesimpulan pada
populasi dari seperangkat data dari sampel. Statistika inferensial terdiri dari uji komparasi
dan uji hubungan. Uji hubungan terdiri dari uji korelasi, uji regresi dan uji asosiasi.
Korelasi adalah hubungan dua variabel rambang (bivariate random) yang berdistribusi
normal yang menyatakan adanya perubahan satu variabel akan diikuti oleh perubahan
variabel lain. Sifat hubungannya adalah linier, karenanya bila hubungan dua variabel itu
nonlinier maka uji korelasi (yang bersifat linier) akan menyebabkan penerimaan Ho yang
menyatakan rho = 0. Macam hubungannya ada dua, yaitu
a.
Positif bila perubahan variabel II dari kecil ke besar juga dengan perkataan lain
perubahan kedua variabel searah;
b.
Negatif bila perubahan variabel I dari kecil ke besar akan diikuti oleh perubahan
variabel II dari besar ke kecil (perhatikan diagram sebaran pada halaman berikut),
dengan perkataan lain perubahannya berlawanan arah satu sama lain.
Korelasi juga bersifat simetris atau saling mempengaruhi artinya perubahan X diikuti
oleh Y dan sebaliknya perubahan Y juga diikuti oleh X ; dari kenyataan ini kita dapat
menyatakan bahwa korelasi terjadi pada satu sampel dengan pengamatan pada beberapa
variabel.
Koefisien Korelasi
Koefisien korelasi merupakan ukuran kuat hubungan antara variabel X dan Y , yang
dinyatakan dengan huruf r (huruf kecil) untuk sampel dan dengan  untuk populasi. Harga
r beranjak dari 0 sampai +1 (korelasi positif) dan dari -1 sampai 0 (korelasi negatif);
koefisien ini tidak mempunyai satuan.
Perhitungan koefisien korelasi :
Untuk setiap variabel hitunglah jumlah item   X  jumlah kuadrat item   X 2  dan jumlah
perkalian variabel-variabel tersebut
  XY 
dan cacah pasangan tersebut
 n ,
akan
diperoleh  X ,  X 2 ,  Y ,  Y 2 ,  XY , dan n .
Dari data statistik dasar di atas kita hitung koefisien korelasi dengan rumus sebagai berikut :
221
 Matematika dan Stastistika 
Rumus komputasi data kasar :
r
 XY 
  X  Y 
n

X
  X 2    

n

2
Rumus komputasi deviasi :
2

X  



2
Y 

n



 xy
  x   y  


r
2
2
 xy   XY    X 
 X 
 Y 
n
2
x  X
2
2

n
 Y 

2
 y  Y
2
2
n
Setelah selesai menghitung statistik r maka perlu diuji kemaknaannya berdasarkan
pengujian hipotesis nihilnya yang berbunyi :
H0 :   0 (tidak ada hubungan korelasi antara X dan Y )
Ha :   0 (ada hubungan korelasi antara X dan Y )
Dengan kesalahan I (α ) = 0,05
Macam pengujian H0 :   0
a.
Bandingkan dengan titik kritis r dengan db  n  2 dan   0,05 . Bila r  r n2 maka
H 0 ditolak dengan p   .
b.
1r
kemudian hitung  z  dengan rumus:
1r
z
hitung z dengan rumus : z 
Hitunglah z  dengan rumus: z   0,5ln
1
 z
n3
Gunakan titik kritis tabel z area under curve, bila z  z1
 z 
2

atau z  z
ditolak dengan daftar sederhana z untuk hipotesis bermacam arah:
Dua arah
 Satu arah
Z  1,96
0,05 Z  1,65
Z  2,571
0,01 Z  2,326
Z 1 bertanda negatif
2

222
1
1 
2
maka H 0
 Matematika dan Stastistika 
1.
Hitung statistik t dengan rumus:
thit 
t  t
r
 n  2
1  r 2 

 1  db 
 2
2.
titik kritis gunakan tabel dengan db  n  2 dan kesalahan I   , bila
, maka H 0 ditolak dengan p  
Hitung F dengan rumus :
r 2 (n  2)
titik kritis adalah tabel F distribusi dengan db numerator = 1 dan db
F
1  r2
denumerator = n  2 .
Bila F  F 1,n2 , maka H 0 ditolak dengan p   .
Estimasi  dari r
Estimasi ini berguna untuk memperkirakan harga  koefisien korelasi di populasi.
Estimasi ini merupakan estimasi interval 95 % untuk   0,05 , yang mempunyai harga
minimum dan harga maksimum.
Harga minimum adalah :
1r
1
0,5ln
 z 1 
1  r  1 2   n  3
harga maksimum adalah :
1r
1
0,5ln
 z 1 
bila H 0 untuk r ditolak dengan p  0,01 maka harga estimasi
1  r  1 2   n  3
juga dihitung untuk   0,01 .
Latihan
Berikut ini adalah data kadar kolesterol darah dalam mg % yang selanjutnya dianggap
sebagai variabel Y dan berat badan dalam kg yang selanjutnya dianggap sebagai variabel X .
Kedua variabel diukur dari 10 orang laki-laki.
Data tersebut disusun kemudian dilengkapi dengan kolom X 2 yang berisi kuadrat dari
masing-masing X , kolom Y 2 yang berisi kuadrat dari masing-masing Y dan terakhir kolom
XY yang berisi hasil perkalian X dan Y . Pada baris terakhir dilengkapi dengan jumlah
masing-masing kolom, hasilnya dapat dilihat pada tabel berikut:
No.
1
2
3
4
5
Kolesterol
(Y )
150
175
180
250
225
BB
(X )
45
50
45
65
75
Y2
X2
XY
22500
30625
32400
62500
50625
2025
2500
2025
4225
5625
6750
8750
8100
16250
16875
223
 Matematika dan Stastistika 
BB
(X )
60
75
80
50
55
Y2
X2
XY
6
7
8
9
10
Kolesterol
(Y )
200
175
275
160
190
40000
30625
75625
25600
36100
3600
5625
6400
2500
3025
12000
13125
22000
8000
10450

1980
600
406600
37550
122300
No.
Y
n
X
Y
Koefisien korelasi r dihitung :
r
 XY 
2
X
2
 XY
  X  Y 
n

X
  X 2    

n

2

X  



2
Y 

n



(600 x1980)
122300 
10
r

(600)2 
(1980)2  
37550

406600





10 
10  

2
r  0,737
Titik kritis r0,02510  0,632
Karena rhit  rtabel , maka H 0 ditolak dengan
thit 
r
 n  2
1  r 
2
0,737 8

1  0,7372
p  0,05 , jika tidak ada tabel r maka digunakan tabel t :
 3,0841
 db  10  2  8  t1 1 0,05 8  t0,9758  2,31 ,


2


H 0 ditolak, kesimpulan ada hubungan antara BB
dan Kolesterol.
Kesimpulan : terdapat hubungan korelasi yang bermakna antara berat badan dan kadar
kolesterol darah.
Dari perhitungan komputer (output) program SPSS maka dapat dilihat sebagai berikut :
Correlations
Descriptive Statistics
Mean
Std. Deviation
N
KOLESTER 198.0000 40.22161
10
BB
60.0000
13.12335
10
224
 Matematika dan Stastistika 
Correlations
KOLESTER
BB
KOLESTER
Pearson
1
.737(*)
Correlation
Sig. (2-tailed)
.
.015
N
10
10
BB
Pearson
.737(*)
1
Correlation
Sig. (2-tailed)
.015
.
N
10
10
* Correlation is significant at the 0.05 level (2-tailed).
Perhitungan estimasi 
Harga minimum adalah :
1 r
1
1  0,737
1
0,5ln
 z1
 0,5ln
 1,96
 0,203
1  r 2  n  3
1  0,737
10  3
( z1 nilainya negatif) dengan harga maksimum adalah :
2

0,5ln
1 r
z 1
1  r 1 2 
(z
nilainya positif).
1
1 
2
1
 n  3
 0,5ln
1  0,737
1
 1,96
 1,684
1  0,737
10  3
Karena harga maksimal  adalah 1, jadi interval konfiden 96% untuk  adalah 0,203 dan 1.
4.
Pengaruh antara 2 Variabel menggunakan Regresi Linier Sederhana
Kita berhadapan dengan masalah korelasi bila kita melakukan studi hubungan antara
dua variabel tanpa mempertahankan konstan salah satu variabel tersebut, dan kita
berhadapan dengan masalah regresi bila kita melakukan studi pengaruh terhadap suatu
variabel dan variabel lain dipertahankan konstan pada beberapa tingkat. Pada regresi kita
berhadapan dengan rancangan statistik k-sampel bebas yang membentuk peringkat sebagai
berikut :
a.
b.
c.
Variabel X konstan pada setiap tingkatan dan variabel Y merupakan variabel
rambang.
Menggunakan asumsi distribusi normal univariat pada X tertentu
Y
Hubungannya bersifat asimetris: X
225
 Matematika dan Stastistika 
Terdapat perbedaan masalah regresi pada studi eksperimental dan studi
observasional. Pada eksperimental variabel X dapat dikendalikan oleh peneliti sedang pada
observasional tidak satupun dari variabel X dan Y yang diubah oleh peneliti. Sebetulnya
masalah regresi lebih cocok untuk studi eksperimental dari pada studi observasional
walaupun masalah regresi pada praktek sehari-hari digunakan pada kedua studi.
Pada studi eksperimental, karena variabel bebas ( X ) dimanipulasi oleh peneliti, jika
dapat ditunjukkan bahwa variabel terikat ( Y ) ada hubungan dengan variabel bebas yaitu
dengan adanya koefisien kemiringan (slope = 1 ) populasi tidak sama dengan nol, maka
dapat disimpulkan bahwa hubungan X dan Y dapat menunjang kausalitas artinya dapat
dinyatakan bahwa X menyebabkan Y , dan Y tergantung pada X . Pada studi observasional
hubungan X dan Y tidak menunjang kausalitas, walaupun pada kedua studi kita dapat
meramal harga Y pada suatu harga X tertentu asal X masih dalam batas rentangan harga
X ; artinya interpolasi boleh dilakukan tetapi bukan ekstrapolasi.
a.
Hipotesis
Pada masalah regresi secara matematik sama saja dengan kita menentukan garis lurus
ramalan Y   0  1 X dari data-data yang kita kumpulkan. Menurut matematika bahwa bila
menarik garis lurus harus ada dua cara yaitu :
1)
Melalui dua titik dengan koordinat tertentu
2)
Melalui satu titik dan sudut pengarah (sudut potong) antara garis dengan sumbu X .
Di sini akan digunakan cara nomor 2, sebagai titik ialah titik potong garis dengan
sumbu Y dengan koordinat  0,b0  dan sudut pengarah dalam hal ini adalah tangen sudut
tersebut  b1  .
Pada masalah regresi hipotesis yang akan dibuktikan ada dua buah, hipotesis
ketergantungan atau hubungan  1  dan hipotesis asal garis regresi  0  .
b.
Formulasi hipotesis tersebut adalah sebagai berikut :
Hipotesis ketergantungan:
H0 : 1  0  Y tidak tergantung pada X
Ha : 1  0  Y tergantung pada X
Hipotesis asal :
H0 : 1  0  Y berasal dari titik asal  0,0 
Ha : 1  0  Y bukan berasal dari titik asal
b.
Komputasi analisis regresi
Seperti pada studi korelasi maka pada studi regresi kita lakukan langkah-langkah
sebagai berikut :
226
 Matematika dan Stastistika 
  X  , jumlah kuadrat item   X  dan
jumlah perkalian variabel-variabel tersebut   XY  dan cacah pasangan tersebut ( n ), akan
2
Untuk setiap variabel hitunglah jumlah item
diperoleh
 X ,  X ,  XY , Y , Y ,  XY
2
2
dan n .
Setelah itu hitunglah variansi dan kovariansi dengan rumus :
 X 

 sebagai variansi X
 Y 

 sebagai variansi Y
2
x  X
2
2
n
2
 y  Y
2
2
n
 xy   XY 
  X  Y   sebagai kovariansi XY
n
Perhatikan ! variansi dan kovariansi tertulis dengan huruf kecil !
Menghitung koefisien b1 (kemiringan atau slope)
 xy
b1 
 x2
Menghitung koefisien b0 (titik asal atau intersep atau constant )
Y  b  X
b0 
1
n
n
Menghitung galat baku ramalan (standard error of estimate = SEE)
Bila pada statistika deskriptif kita menghitung galat baku atau standar deviasi untuk
suatu seperangkat data maka perhitungan garis regresi diperlukan juga standar deviasi
tetapi dengan nama lain dan rumus lain.
Rumus SEE adalah sebagai berikut:
SEE 
1)
y
2
 b1  xy
n 2
Menguji hipotesis ketergantungan:
H0 : 1  0  y tidak tergantung pada X
Ha : 1  0  y tergantung pada X
Untuk itu diperlukan penghitungan seb1 dengan rumus :
SEE
seb1 
 x2
Untuk pengujian H 0 digunakan uji t dengan rumus :
b  1
dengan db  n  2
tb1  1
seb1
227
 Matematika dan Stastistika 
Titik kritis adalah tabel t . H 0 ditolak bila tb1  t
1
2)

2
 n2
Menguji hipotesis asal :
H0 : 1  0  berasal dari titik asal  0,0 
Ha : 1  0  bukan berasal dari titik asal
Untuk itu diperlukan penghitungan seb0 dengan rumus :
 X 


1  n 
seb0  SEE

n
 x2
2
Untuk menguji H 0 digunakan uji t dengan rumus :
b  0
dengan db  n  2
tb0  0
seb0
Titik kritis adalah tabel t , di mana H 0 ditolak bila tb0  t n2
Menguji linieritas garis
Untuk keperluan ini diperlukan data berikut :
1)
Menghitung koefisien korelasi :
r dihitung dengan cara yang sama seperti pada studi korelasi dengan rumus :
 xy
kemaknaan r dapat disamakan dengan kemaknaan b1.
r
  x2   y2 
2)
3.
Menguji linieritas garis regresi :
Untuk keperluan ini yang diperlukan adalah r 2 atau coefficient of determination (CD)
yang berarti varian yang dapat diterangkan oleh hubungan X dan Y . Makin besar r 2
makin fit data-data dengan garis regresi itu, dengan perkataan lain makin mungkin
untuk menyatakan bahwa hubungan X dan Y makin mendekati linier.
Cara lain adalah melakukan/membuat diagram sebaran hubungan kedua variabel
(diagram plot).
Bila gambaran sekilas memperlihatkan adanya kecenderungan titik-titik hubungan
berada pada satu garis lurus atau sekitar garis lurus maka dapat disimpulkan garis regresinya
linier.
Latihan
Dari data di atas yang kita pakai pada studi korelasi didapatkan harga statistik sebagai
berikut :
10 1980 600
406600
37550 122300
N
Y  X
Y
228
2
X
2
 XY
 Matematika dan Stastistika 
 X 

 37550 
 Y 

 406600 
2
x  X
2
2
n
6002
 1550
10
2
 y 2  Y 2
n
 xy   XY 
19802
 14560
10
  X  Y   122300   600  1980   3500
n
10
Koefisien korelasi r dihitung :
  X  Y 
XY


n
r
2
2

X  
Y  






2
2
  X 
Y 


n 
n 



(600 x1980)
122300 
10

 0,736752312
2

600 
19802  
 37550 
 406600 

10 
10  

Coefficient of determination = r 2  0,7367523122 = 0,5428
Koefisien slope = koefisien b1
b1 
 xy  3500  2,258064516 b1   
 x 1550
1
2
Standard error of estimate :
SEE 
y
2
 b1  xy
n 2

14560  (2,258064516 x3500)
 28,846088
8
Koefisien intersep = koefisien b0
Y  b  X  1980  2,2580645  600  62,516112904 b   
b0 
1
0
0
n
n
10
10
Uji hipotesis 1 (Ketergantungan)
SEE
28,846088
seb1 

 0,732691
2
1550
x
229
 Matematika dan Stastistika 
Untuk pengujian H 0 digunakan uji t dengan rumus :
b  1 2,258064516
tb1  1

 3,08188 di mana p  0,05
seb1
0,732691
Uji hipotesis  0 (titik asal)
seb 0  SEE
2
 X 
 600 


1  n 
1  10 


28,846088

 44,897901
n
10
1550
 x2
2
Untuk menguji H 0 digunakan uji t dengan rumus :
b  0
62,5161
tb0  0

 1,39241 p  0,05
seb 0
44,897901
t 1 
 t0,9758  2,306 t0,9958  3,355
 1   n 2
 2 
Prediksi nilai Y dari harga X tertentu
Prediksi suatu nilai Y dari harga X tertentu tergantung pada kegunaan prediksi
tersebut, di sini terbagi dua yaitu :
Prediksi nilai Y populasi :
Diperlukan seYpop yang rumusnya :
X X
2
seYpop  SEE
1

n
n
 x2
Confident Interval 95 % :
Y  t 1 seYpop  uy . x  Y  t
2

1 
 1  
 2 
seYpop
Bila berat badan = 50 kg berapa kadar kolesterolnya ?
2
600 

50 


1 
10 
seYpop  28,846088

 11,70014285
10
1550
230
 Matematika dan Stastistika 
Hargaprediksi
Ykolester  62,516129  2,258065xBB Y  62,516129  2,258065x50  141,746
Nilai t0,058  2,306
Minimum : 141,746 – 2,306 × 11,7001 = 114,7656
Maximum : 141,746 + 2,306 × 11,7001 = 168,7264
Jadi untuk berat badan 50 kg maka di populasi terdapat kadar kolesterol antara 114,7656
sampai dengan 168,7264.
Prediksi nilai Y individu :
Diperlukan seY ind yang rumusnya :

 X 
X 
n 
1
seYind  SEE  1   
n
 x2
Confident Interval 95 % :
Y  t 1 seYind  uy . x  Y  t
2

1 
 1  
 2 
2
seYind
Seperti di atas bila berat badan adalah 50 kg maka :
seYind  28,846088
2
600 

50 


1
10 
seYind  1   
 31,12860639
10
1550
Harga prediksi
Y = 62,516129 + 2,258065 × 50 = 141,746
t0,058  2,306
Minimum : 141,746 – 2,306 × 31,12860 = 69,9634336
Maximum : 141,746 + 2,306 × 31,12860 = 213,528566
Jadi untuk berat badan sebesar 50 kg pada individu terdapat kadar kolesterol antara
69,963433 dan 213,5285663.
Out put komputer dengan program SPSS dapat dilihat sebagai berikut :
231
 Matematika dan Stastistika 
Regression
Descriptive Statistics
Mean
Std. Deviation
198.0000 40.22161
60.0000
13.12335
KOLESTER
BB
Pearson
Correlation
Sig. (1-tailed)
N
N
10
10
Correlations
KOLESTER
KOLESTER
1.000
BB
.737
KOLESTER
.
BB
.008
KOLESTER
10
BB
10
BB
.737
1.000
.008
.
10
10
Model Summary
Model
R
1
a.
.737(a)
R
Square
.543
Adjusted
R Square
.486
Std. Error
of the
Estimate
28.84609
Change Statistics
R Square
Change F Change
.543
9.498
df1
1
df2
8
Sig. F
Change
.015
Predictors: (Constant), BB
ANOVA(b)
Model
1
a.
b.
Regression
Residual
Total
Sum of
Squares
7903.226
6656.774
14560.000
df
1
8
9
Mean Square
7903.226
832.097
F
9.498
Sig.
.015(a)
Predictors: (Constant), BB
Dependent Variable: KOLESTER
Coefficients(a)
Model
1
(Constant)
BB
Unstandardized
Coefficients
Std.
B
Error
62.516 44.898
2.258
.733
Standardized
Coefficients
t
Sig.
1.392
3.082
.201
.015
Beta
.737
232
95% Confidence
Interval for B
Lower
Upper
Bound
Bound
-41.019
166.051
.568
3.948
 Matematika dan Stastistika 
Latihan
1)
Ingin diketahui asumsi masyarakat tentang garam beriodium. Asumsinya adalah kadar
iodium pada garam kurang dari 30 ppm (part per million). Maka diambillah sampel
garam dapur secara random pada rumah tangga sebanyak 10 rumah tangga secara
acak dengan data sebagai berikut:
17 18 20 25 32 36 19 30 21 28. α yang digunakan sebesar 5%.
Jawab:
Diketahui µ = 30 ppm rata-rata = 24,6 lalu membuat hipotesis yaitu
H0 :   30mg
Ha :   30mg
Menghitung jumlah data
   246
dan
    dan jumlah kudrat data     yaitu

2
2
 6444
Setelah itu masukkan ke dalam rumus simpangan baku sebagai berikut:
  

2
s


2
n 1
n
2472
10  6,603
10  1
6505 
x  0
s/ n
24,6  30
5,4
thit 

 2,586
6,603
2,0881
10
thit 
Karena hipotesisnya adalah 1 sisi dan   5% maka nilai t tabel sebesar
t1 n1  t10,05101  t0,959 . Karena tingkat kepercayaan sebesar 0,95 dan derajat bebas
sebesar 9 maka nilai t tabel sebesar 1,83. Nilai t tabel positif dirubah menjadi negatif
juga karena nilai t hitung negatif. Karena thit  t tabel atau 2,586  1,83 , maka H a
diterima berarti keluhan masyarakat tersebut terbukti benar bahwa kadar KIO 3< dari
yang ditulis di dalam label).
2)
Suatu studi ingin mengetahui tentang pengaruh suplementasi tablet besi terhadap
kenaikan kadar hemoglobin ibu hamil. Data kadar hemoglobin dengan satuan mg/dl
disajikan sebagai berikut:
Sebelum 9,0 9,2 8,3 7,9 8,8 8,5 8,2 9,4 9,5 9,6
Sesudah 10,1 9,7 9,2 8,5 8,9 8,8 8,6 9,5 9,8 9,6
233
 Matematika dan Stastistika 
  5% , Apakah terdapat pengaruh pemberian tablet besi terhadap kenaikan kadar
hemoglobin?
Jawab:
Diketahui :
H0 : 1  2
H1 : 1  2
Mencari nilai d yaitu dengan
berikut :
Sebelum 9,0 9,2 8,3
Sesudah 10,1 9,7 9,2
d
-1,1 -0,5 -0,9
2
d
1,21 0,25 0,81
mengurangi data sebelum dengan data sesudah sebagai
7,9
8,5
-0,6
0,36
8,8
8,9
-0,1
0,01
8,5
8,8
-0,3
0,09
8,2
8,6
-0,4
0,16
9,4
9,5
-0,1
0,01
9,5
9,8
-0,3
0,09
9,6
9,6
0
0
 d   1,1   0,5   0,9    0,6    0,1   0,3
  0,4    0,1   0,3  0
 4, 3
d  1,21  0,25  0,81  0,36
2
i
 0,01  0,09  0,16  0,01  0,09  0
 2,99
n di 2    di 
2
s
n(n  1)
selanjutnya semua nilai yang didapatkan disubtitusi ke dalam rumus di atas sebagai
berikut:
10  2,99    4,3 
s
 0,3560
10(10  1)
4,3
d
0,356
thit 
 thit 
 3,8196
s n
10
2
sedang nilai t tabel, karena hipotesis 2 sisi dan α = 5% maka
adalah
t1 1 n1 atau t1 1 0,05101  t0,959 hal ini menunjukkan bahwa tingkat kepercayaan
2
2
sebesar 0,975 dan derajat kebebasan sebesar 9 maka nilai t tabel sebesar 2,262 (lihat
lampiran tabel t ). Karena nilai t hitung negatif maka nilai t tabel juga dibuat negatif
yaitu -2,262.
Hasil yang diperoleh thit  t tabel atau 3,8196  2,262 , maka H 0 ditolak berarti Tablet
Besi berpengaruh nyata terhadap kenaikan kadar Hb ibu hamil ( p  0,05 ).
3)
Apakah terdapat perbedaan kadar Imunoglobulin A (IgA) pada lanjut usia yang
mendapatkan seng sulfat dan sinbiotik dengan data IgA sebagai berikut :
234
 Matematika dan Stastistika 
Suplemen
Kadar IgA (ug/mmol)
Seng sulfat 1,2 1,5 1,0 1,9 2,0 1,7 1,6 1,3 2,0 0,9
Sinbiotik
1,4 1,7 1,3 2,1 2,2 1,9 1,7 1,5 2,2 1,4
Berdasarkan data tersebut di atas tarik kesimpulan dengan tingkat kepercayaan 95%.
Jawab:
H0 : 1  2
Ha : 1  2
Hipotesis tersebut merupakan hipotesis 2 sisi.
Pertama kita mencari varian dari populasi yaitu :
s2
Fhit  12 di mana s12  s22
s2
H 0 : variansi I = variansi 2 (DATA HOMOGEN)
H a : variansi I ≠ variansi 2 (DATA HETEROGEN)
H 0 diterima berarti kedua variansi homogen
H 0 diterima bila : Fhit  Fa v1 ,v2 
v1  n1  1  10  1  9, v2  n2  1  10  1  9
Untuk mendapatkan nilai Fhit , maka akan dicari masing-masing nilai varian kelompok 1
dan kelompok 2 sebagai berikut :
 x 

2
s
x
2
n 1
n
 x 

2
s 
2
x
2
n 1
n
Untuk kelompok seng sulfat :
Nilai  x2  24,25 dan  x  15,1 sedang nilai n  10 , maka
15,1
24,25 
2
s
10
10  1
 0,4012
s2   0,4012  0,161
2
Untuk kelompok sinbiotik :
Nilai  x2  31,34 dan  x  17,4 sedang nilai n  10 , maka
17,4 
31,34 
2
s2 
10
10  1
 0,1182
235
 Matematika dan Stastistika 
Setelah itu mencari Fhit sebagai berikut: Fhit 
s12
s22
0,161
 1,3621
0,1182
Karena v1  9, v2  9 dengan   5% maka Ftabel  3,18 .
Kesimpulan: Ftabel  Fhit atau 3,18  1,3621 sehingga H 0 diterima, maka variansi
Fhit 
kelompok seng tidak berbeda dengan variansi kelompok sinbiotik.
Selanjutnya digunakan uji t 2 sampel bebas dengan variansi homogen sebagai berikut:
x x
thit  1 2
1 1
s

n1 n2
dan nilai s 
(n1  1)s12  (n2  1)s22
n1  n2  2
Pertama mencari nilai simpangan baku beda sampel sebagai berikut :
(10  1)0,161  (10  1)0,1182
s
 0,3743
10  10  2
Selanjutnya substitusi ke dalam rumus t hitung sebagai berikut :
1,51  1,74
thit 
 1,3756
1 1
0,3743

10 10
  5% ,
Karena
hipotesis
2
sisi
dengan
maka
nilai
1
t tabel  1    n1  n2  2   t1 1  0,0510 10 2  t 0,97510  . Artinya bahwa 0,975 adalah tingkat
2
2
kepercayaan (confidence of interval) dan 18 adalah derajat kebebasan yang
dipergunakan untuk melihat tabel t. Nilai t tabel sebesar 2,101 (terlampir tabel t ),
karena nilai thit negatif, maka nilai t tabel juga dibuat negatif yaitu sebesar – 2,101. Jadi
2,101  1,3756 , maka H 0 diterima akibatnya kesimpulan dari hasil analisis ini
adalah tidak ada perbedaan kadar IgA yang mendapatkan suplementasi seng dan yang
mendapatkan suplemen sinbiotik.
Petunjuk Jawaban Latihan
1)
2)
3)
4)
5)
Di buat hipotesis nol dan alternatif untuk menentukan apakah uji satu sisi atau dua sisi
(jika hipotesis sesuai diberi skor 5).
Menentukan skala data dari variabel yang diteliti (jika skala data sesuai diberi skor 5).
Menentukan uji statistik yang sesuai (jika uji statistik sesuai diberi skor 10).
Menghitung statistik berdasarkan rumus tersebut (jika hasil akhir benar dan tepat
diberi skor 30).
Membandingkan hasil hitung dengan tabel statistik yang sesuai (jika benar dan sesuai
diberi skor 30).
236
 Matematika dan Stastistika 
6)
Membuat kesimpulan (jika kesimpulan sesuai dengan uji statistik maka diberi skor 20).
Ringkasan
Uji beda adalah bagian dari statistik inferensial untuk melihat perbedaan rata-rata
pada kelompok. Uji beda terdiri atas 2 yaitu uji beda 2 kelompok atau biasa disebut uji t dan
uji beda lebih dari 2 kelompok yang biasa disebut analisis of varians (Anova). Persyaratan
data dari variabel yang diteliti adalah data interval dan rasio.
Uji hubungan antara 2 variabel yaitu uji statistik inferensial untuk melihat hubungan
antar variabel bebas dan variabel terikat. Uji statistik ini menggunakan uji korelasi product
moment (Pearson). Persyaratan variabel mempunyai data interval atau rasio.
Uji pengaruh antara 2 variabel yaitu uji statistik inferensial untuk melihat pengaruh
antara variabel bebas terhadap variabel terikat menggunakan regresi linier sederhana.
Persyaratan data dari variabel yang diteliti adalah data interval dan rasio.
Prosedur statistik parametrik dibuat berdasarkan sejumlah asumsi. Sebagai contoh,
umumnya untuk membuat asumsi bahwa sampel dicuplik dari populasi normal, atau paling
sedikit mendekati normal. Karena itu uji parametric seperti uji z , t , r , F dikategorikan
statistik teori normal. Di samping normalitas distribusi populasi, asumsi-asumsi yang
digunakan dalam model matematik uji paramterik adalah:
1.
Independensi pemilihan unit sampel dari populasi,
2.
Independensi pengamatan unit observasi,
3.
Kesamaan varians jika membandingkan dua atau sejumlah sampel,
4.
Variabel diukur minimal dalam skala interval.
Validitas penggunaan uji statistik parametrik ditentukan oleh pemenuhan asumsi
tersebut. Jika kondisi itu tidak dipenuhi, validitas hasil penelitian diragukan. Normalitas
distribusi bias diketahui secara visual dengan menampilkan data dalam bentuk histogram
ataupun menghitung statistic deskriptif, misalnya ukuran tendensi sentral dan derajat
kemencengan. Beberapa asumsi bias diuji, misalnya normalitas distribusi dicek dengan uji
kesesuaian kai kuadrat.
Untuk mengatasi penyimpangan asumsi teori normal dapat dilakukan dengan cara :
1.
data ditransformasi sehingga distribusi mendekati normal dan varians menjadi lebih
stabil. Tergantung sifat ketidaknormalan data, transformasi data yang dapat dilakukan
adalah : akar kuadrat, logaritma, kebalikan (reciprocal), dan sinus arcus.
2.
bebas distribusi, karena tidak bertujuan menduga maupun menguji parameter
populasi, tetapi cukup membandingkan karakteristik populasi-populasi secara umum,
maka metode bebas distribusi juga disebut nonparametrik.
237
 Matematika dan Stastistika 
Tes 2
1)
Studi tentang khasiat simplisia (bahan obat yang berasal dari alam) sebagai antiinfeksi
yang terdiri atas kunyit, kunyit putih dan daun miyana. Variabel yang diukur adalah
jumlah kuman yang mati pada tikus yang mendapatkan infeksi. Data berikut
menunjukkan jumlah kuman yang masih hidup :
Simplisia
Jumlah kuman (n x 107)
Kunyit
2,1 1,9 3,0 2,7 2,8 3,1 2,7 1,9 1,8 4,1
Kunyit putih
2,2 1,8 3,1 2,6 2,9 3,0 2,6 1,8 1,6 3,8
Daun miyana 1,9 2,0 3,0 2,8 2,7 2,9 2,8 2,0 1,7 3,9
Harga α sebesar 5%. Tarik kesimpulan berdasarkan data di atas.
2)
Seorang peneliti ingin mengetahui hubungan antara kadar kolesterol dengan asam
urat. α yang digunakan sebesar 5%. Berdasarkan hasil penelitian maka diketahui data
sebagai berikut :
kolesterol
90 95 96 97 98 100 99 94 91 93
Asam urat 100 105 110 115 120 125 123 120 115 118
3)
Apakah terdapat pengaruh antara berat badan lahir bayi dengan asupan protein ibu
hamil.
Dengan data sebagai berikut:
Berat badan lahir bayi (kg) 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1
Asupan protein (g)
10 11 12 13 14 15 16 17 19 18
Tingkat kepercayaan sebesar 95%. Buat kesimpulan tentang masalah di atas.
1)
Jawaban
H 0 : tidak ada perbedaan rata-rata jumlah kuman pada ketiga simplisia
H a : ada perbedaan yang bermakna rata-rata jumlah kuman pada ketiga simplisia
ANOVA
Jumlah Kuman Hidup
Sum of
Squares
Between Groups
Within Groups
Total
.025
12.974
12.999
df
2
27
29
Mean
Square
F
.012 .026
.481
Sig.
.975
Berdasarkan Tabel Anova di atas menunjukkan bahwa nilai Fhit  0,026 . Jika
dibandingkan
dengan
nilai
Ftabel  F v1 ,v2  , di mana
v1  dfbetween group  2
dan
v2  dfwithin group  27 dipergunakan untuk melihat tabel statistik. Nilai Ftabel sebesar 3,35.
238
 Matematika dan Stastistika 
Karena Fhit  Ftabel , maka H 0 diterima artinya tidak ada perbedaan antara kunyit, kunyit
2)
putih dan daun miyana dalam membunuh kuman (anti infeksi).
H 0 : tidak ada hubungan antara kadar kolesterol dengan asam urat
H a : ada perbedaan yang bermakna antara kadar kolesterol dengan asam urat
90
95
96
97
98
100
99
94
91
93
953
Kolesterol
100
105
110
115
120
125
123
120
115
118
1151
As.
Urat
8100
9025
9216
9409
9604
10000
9801
8836
8281
8649
10000
11025
12100
13225
14400
15625
15129
14400
13225
13924
9000
9975
10560
11155
11760
12500
12177
11280
10465
10974
90921 133053 109846
x
y
xy
y2
x2
Menggunakan rumus koefisien korelasi Pearson
x y
 xy   n
r
2
2

x  
y 




2
2
x 
  y 

n 
n 




1151
109846  953 
10
r
 0,6503
2
2



 953  133053  1151 
 90921 

10 
10 


Disubstitusi ke dalam rumus t 
r n 2

0,6503 8
 2,4211
1  r2
1  0,65032
Setelah itu membandingkan dengan tabel t 1-1/2α (n-2) = t 0,975 (8). Nilai t tabel dengan tingkat
kepercayaan 0,975 dan df = 8 sebesar 2,306.
Karena thit  t tabel , maka H 0 ditolak artinya ada hubungan yang bermakna antara kadar
kolesterol dan asam urat yaitu semakin meningkat kolesterol juga akan meningkatkan
asam urat.
239
 Matematika dan Stastistika 
3)
Hipotesis titik asal
H 0 : y berasal dari titik asal
H a : y tidak berasal dari titik asal
Hipotesis ketergantungan
H 0 : asupan protein ibu hamil tidak mempengaruhi berat badan lahir bayi
H a : asupan protein ibu hamil mempengaruhi berat badan lahir bayi
Model Summary
Model
R
1
.988a
R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate
.976
.973
.04985
a. Predictors: (Constant), As.Protein
Berdasarkan tabel di atas menunjukkan bahwa R2  0,976 menunjukkan bahwa 97,6%
asupan protein ibu hamil akan mempengaruhi berat badan lahir bayi. Selebihnya 2,4%
variabel lain yang tidak diteliti tetapi ikut mempengaruhi hasil penelitian.
ANOVAb
Model
1
Sum of Squares df Mean Square
Regression
.805
1
.805
Residual
.020
8
.002
Total
.825
9
F
Sig.
324.012 .000a
a. Predictors: (Constant), As.Protein
b. Dependent Variable: BBL
Nilai F sebesar 324,021 dengan p  0,000 menunjukkan bahwa besarnya pengaruh
variabel asupan protein terhadap BBL bayi.
Coefficientsa
Unstandardized
Coefficients
1
Standardized
Coefficients
Model
B
Std. Error
Beta
t
Sig.
(Constant)
1.218
.081
15.009
.000
As.Protein
.099
.005
.988 18.000
.000
a. Dependent Variable: BBL
Berdasarkan
tabel
di
atas
menunjukkan
bahwa
nilai
konstanta
t  15,009 dan p  0,000 berarti hipotesis titik asal menerima H 0 artinya variabel y
tidak berasal dari titik asal.
240
 Matematika dan Stastistika 
Hipotesis
ketergantungan
menunjukkan
bahwa
asupan
protein
nilai
t  18 dan p  0,000 artinya adalah asupan protein mempengaruhi BBL Bayi dimana
semakin meningkat asupan protein ibu hamil juga akan meningkatkan berat badan
lahir bayi.
241
 Matematika dan Stastistika 
Daftar Pustaka
Chandra Budiman, 1995. Pengantar Statistik Kesehatan. Jakarta: EGC.
Dajan Anto, 1986. Pengantar Metode Statistik Jilid II. Jakarta: LP3ES.
Daniel Wayne W., 1989. Statistika Nonparametrik Terapan. Jakarta: Gramedia.
Kuntoro, 2002. Pengantar Teori Probabilitas. Surabaya: Pustaka Melati.
………., 2011. Metode Statistik Edisi Revisi. Surabaya: Pustaka Melati.
Murti Bhisma, 1996. Penerapan Metode Non-Parametrik dalam Ilmu-Ilmu Kesehatan.
Jakarta: Gramedia Pustaka Utama.
Nurgiyantoro Burhan, Gunawan, Marzuki, 2000. Statistik Terapan Untuk Ilmu-Ilmu Sosial.
Yogyakarta: Gadjah Mada University Press.
Saleh Samsubar, 1996. Statistik Nonparametrik Edisi 2. Yogyakarta: BPFE.
Siegel Sidney, 1997. Statistik Nonparametrik untuk Ilmu-Ilmu Sosial. Jakarta: Gramedia.
Sugiyono, 2003. Statistik Nonparametris untuk Penelitian. Bandung: Alfabeta.
Siagian, Dergibson & Sugiarto, 2002. Metode Statistika untuk Bisnis dan Ekonomi, PT
Gramedia Pustaka Utama Jakarta. ISBN 979-655-924-2
Walpole, Ronald E, 1993. Pengantar Statistika, PT Gramedia Pustaka Utama. Jakarta ISBN
979-403-313-8
Ross, Sheldon, 1976. A First Course in Probability.
R. A. Fisher. 1925. Statistical Methods for Research Workers, Edinburgh: Oliver and Boyd,
1925, p.43.
Cramer, Duncan; Dennis Howitt. 2004. The Sage Dictionary of Statistics. p. 76.
ISBN 076194138X.
Lehmann, E.L.; Romano, Joseph P. 2005. Testing Statistical Hypotheses (3E ed.). New York:
Springer.ISBN 0387988645.
242
 Matematika dan Stastistika 
NIST handbook: Two-Sample t-Test for Equal Means
Steel, R.G.D, and Torrie, J. H., Principles and Procedures of Statistics with Special Reference
to the Biological Sciences., McGraw Hill, 1960, page 350.
Weiss, Neil A. 1999. Introductory Statistics (5th ed.). p. 802. ISBN 0-201-59877-9.
NIST handbook: F-Test for Equality of Two Standard Deviations (Testing standard deviations
the same as testing variances).
243
 Matematika dan Stastistika 
Lampiran
Lampiran 1
Fungsi Distribusi pada Distribusi Probabilitas t-Student
dk
0,001
1 –318,309
2 –22,327
3 –10,215
4
–7,173
5
–5,893
0,005 0,01
–63,657 –31,821
–9,925 –6,965
–5,841 –4,541
–4,604 –3,747
–4,032 –3,365
0,025
–12,706
–4,303
–3,182
–2,776
–2,571
0,05
–6,314
–2,920
–2,353
–2,132
–2,015
0,10
–3,078
–1,886
–1,638
–1,533
–1,476
0,20
–1,376
–1,961
–0,978
–0,941
–0,920
0,30
–0,727
–0,617
–0,584
–0,569
–0,559
0,40 dk
–0,325 1
–0,289 2
–0,277 3
–0,271 4
–0,267 5
6
7
8
9
10
–5,208
4,785
4,501
4,297
–4,144
–3,707
3,499
–3,355
–3,250
–3,169
–3,143
2,998
–2,896
–2,821
2,764
–2,447
2,365
–2,306
–2,262
2,228
–1,943
1,895
–1,860
–1,833
1,812
–1,440
1,415
–1,397
–1,383
1,372
–0,906
0,896
–0,889
–0,833
0,879
–0,553
0,549
–0,546
–0,543
0,542
–0,265
0,263
–0,262
–0,261
0,260
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4,025
3,930
3,852
3,787
3,733
–3,106
–3,055
–3,012
–2,977
2,947
–2,718
–2,681
–2,650
–2,624
2,602
–2,201
–2,179
–2,160
–2,145
2,131
–1,796
–1,782
–1,771
–1,761
1,753
–1,363
–1,356
–1,350
–1,345
1,341
–0,876
–0,873
–0,870
–0,868
0,866
–0,540
–0,539
–0,538
–0,537
0,536
–0,260
–0,259
–0,259
–0,258
0,258
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
3,686
3,646
3,610
3,579
3,552
–2,921
–2,898
–2,878
–2,861
–2,845
–2,583
–2,567
–2,552
–2,539
–2,528
–2,120
–2,110
–2,101
–2,093
–2,086
–1,746
–1,740
–1,734
–1,729
–1,725
–1,337
–1,333
–1,330
–1,328
–1,325
–0,865
–0,863
–0,862
–0,861
–0,860
–0,535
–0,534
–0,534
–0,533
–0,533
–0,258
–0,257
–0,257
–0,257
–0,257
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
3,527
3,505
3,485
3,467
3,450
–2,831
–2,819
–2,807
–2,797
–2,787
–2,518
–2,508
–2,500
–2,492
–2,485
–2,080
–2,074
–2,069
–2,064
–2,060
–1,721
–1,717
–1,714
–1,711
–1,708
–1,323
–1,321
–1,319
–1,318
–1,316
–0,859
–0,858
–0,858
–0,857
–0,856
–0,532
–0,532
–0,532
–0,531
–0,531
–0,257
–0,256
–0,256
–0,256
–0,256
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
3,435
3,421
3,408
3,396
3,385
–2,779
–2,771
–2,763
–2,756
–2,750
–2,479
–2,473
–2,467
–2,462
–2,457
–2,056
–2,052
–2,048
–2,045
–2,042
–1,706
–1,703
–1,701
–1,699
–1,697
–1,315
–1,314
–1,313
–1,311
–1,310
–0,856
–0,855
–0,855
–0,854
–0,854
–0,531
–0,531
–0,530
–0,530
–0,530
–0,256
–0,256
–0,256
–0,256
–0,256
26
27
28
29
30
244
 Matematika dan Stastistika 
31
32
33
34
35
3,375
3,365
3,356
3,348
3,340
–2,744
–2,738
–2,733
–2,728
–2,724
–2,453
–2,449
–2,445
–2,441
–2,438
–2,040
–2,037
–2,035
–2,032
–2,030
–1,696
–1,694
–1,692
–1,691
–1,690
–1,309
–1,309
–1,308
–1,307
–1,306
–0,853
–0,853
–0,853
–0,852
–0,852
–0,530
–0,530
–0,530
–0,529
–0,529
–0,256
–0,255
–0,255
–0,255
–0,255
dk
36
37
38
39
40
0,001
3,333
3,326
3,319
3,313
3,307
0,005
–2,719
–2,715
–2,712
–2,708
–2,704
0,01
–2,434
–2,431
–2,429
–2,426
–2,423
0,025
–2,028
–2,026
–2,024
–2,023
–2,021
0,05
–1,688
–1,687
–1,686
–1,685
–1,684
0,10
–1,306
–1,305
–1,304
–1,304
–1,303
0,20
–0,852
–0,851
–0,851
–0,851
–0,851
0,30
–0,529
–0,529
–0,529
–0,529
–0,529
0,40 dk
–0,255 36
–0,255 37
–0,255 38
–0,255 39
–0,255 40
41
42
43
44
45
3,301
3,296
3,291
3,286
3,281
–2,701
–2,698
–2,695
–2,692
–2,690
–2,421
–2,418
–2,416
–2,414
–2,412
2,020
2,018
2,017
2,015
2,014
1,683
1,682
1,681
1,680
1,679
1,303
1,302
1,302
1,301
1,301
0,850
0,850
0,850
0,850
0,850
0,529
0,528
0,528
0,528
0,528
0,255
0,255
0,255
0,255
0,255
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
3,277
3,273
3,269
3,265
3,261
–2,687
–2,685
–2,682
–2,680
–2,678
–2,410
–2,408
–2,407
–2,405
–2,403
–2,013
–2,012
–2,011
–2,010
–2,009
–1,679
–1,678
–1,677
–1,677
–1,676
–1,300
–1,300
–1,299
–1,299
–1,299
–0,850
–0,849
–0,849
–0,849
–0,849
–0,528
–0,528
–0,528
–0,528
–0,528
–0,255
–0,255
–0,255
–0,255
–02,55
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
3,258
3,255
3,251
3,248
3,245
–2,676
–2,674
–2,672
–2,670
–2,668
–2,402
–2,400
–2,399
–2,397
–2,396
–2,008
–2,007
–2,006
–2,005
–2,004
–1,675
–1,675
–1,674
–1,674
–1,673
–1,298
–1,298
–1,298
–1,297
–1,297
–0,849
–0,849
–0,848
–0,848
–0,848
–0,528
–0,528
–0,528
–0,528
–0,527
–0,255
–0,255
–0,255
–0,255
–0,255
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
3,242
3,239
3,237
3,234
3,232
–2,667
–2,665
–2,663
–2,662
–2,660
–2,395
–2,394
–2,392
–2,391
–2,390
–2,003
–2,002
–2,002
–2,001
–2,000
–1,673
–1,672
–1,672
–1,671
–1,671
–1,297
–1,297
–1,296
–1,296
–1,296
–0,848
–0,848
–0,848
–0,848
–0,848
–0,527
–0,527
–0,527
–0,527
–0,527
–0,255
–0,255
–0,255
–0,254
–0,254
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
3,229
3,227
3,225
3,223
3,220
–2,659
–2,657
–2,656
–2,655
–2,654
–2,389
–2,388
–2,387
–2,386
–2,385
–2,000
–1,999
–1,998
–1,998
–1,997
–1,670
–1,670
–1,669
–1,669
–1,669
–1,296
–1,295
–1,295
–1,295
–1,295
–0,848
–0,847
–0,847
–0,847
–0,947
–0,527
–0,527
–0,527
–0,527
–0,527
–0,254
–0,254
–0,254
–0,254
–0,254
61
62
63
64
65
245
31
32
33
34
35
 Matematika dan Stastistika 
66
67
68
69
70
3,218
3,216
3,214
3,213
3,211
–2,652
–2,651
–2,650
–2,649
–2,648
–2,384
–2,383
–2,382
–2,382
–2,381
–1,997
–1,996
–1,995
–1,995
–1,994
–1,668
–1,668
–1,668
–1,667
–1,667
–1,295
–1,294
–1,294
–1,294
–1,294
–0,847
–0,847
–0,847
–0,847
–0,847
–0,527
–0,527
–0,527
–0,527
–0,527
–0,254
–0,254
–0,254
–0,254
–0,254
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
3,209
3,207
3,206
3,204
3,202
–2,647
–2,646
–2,645
–2,644
–2,643
–2,380
–2,379
–2,379
–2,378
–2,377
–1,994
–1,993
–1,993
–1,993
–1,992
–1,667
–1,666
–1,666
–1,666
–1,665
–1,294
–1,293
–1,293
–1,293
–1,293
–0,847
–0,847
–0,847
–0,847
–0,846
–0,527
–0,527
–0,527
–0,527
–0,527
–0,254
–0,254
–0,254
–0,254
–0,254
71
72
73
74
75
dk
76
77
78
79
80
0,001
3,201
3,199
3,198
3,197
3,195
0,005
–2,642
–2,641
–2,640
–2,640
–2,639
0,01
–2,376
–2,376
–2,375
–2,374
–2,374
0,025
–1,992
–1,991
–1,991
–1,990
–1,990
0,05
–1,665
–1,665
–1,665
–1,664
–1,664
0,10
–1,293
–1,293
–1,292
–1,292
–1,292
0,20
–0,846
–0,846
–0,846
–0,846
–0,846
0,30
–0,527
–0,527
–0,527
–0,527
–0,526
0,40 dk
–0,254 76
–0,254 77
–0,254 78
–0,254 79
–0,254 80
81
82
83
84
85
3,194
3,193
3,191
3,190
3,189
–2,638
–2,637
–2,636
–2,636
–2,635
–2,373
–2,373
–2,372
–2,372
–2,371
–1,990
–1,989
–1,989
–1,989
–1,988
–1,664
–1,664
–1,663
–1,663
–1,663
–1,292
–1,292
–1,292
–1,292
–1,292
–0,846
–0,846
–0,846
–0,846
–0,846
–0,526
–0,526
–0,526
–0,526
–0,526
–0,254
–0,254
–0,254
–0,254
–0,254
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
3,188
3,187
3,185
3,184
3,183
–2,634
–2,634
–2,633
–2,632
–2,632
–2,370
–2,370
–2,369
–2,369
–2,368
–1,988
–1,988
–1,987
–1,987
–1,987
–1,663
–1,663
–1,662
–1,662
–1,662
–1,291
–1,291
–1,291
–1,291
–1,291
–0,846
–0,846
–0,846
–0,846
–0,846
–0,526
–0,526
–0,526
–0,526
–0,526
–0,254
–0,254
–0,254
–0,254
–0,254
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
3,182
3,181
3,180
3,179
3,178
–2,631
–2,630
–2,630
–2,629
–2,629
–2,368
–2,368
–2,367
–2,367
–2,366
–1,986
–1,986
–1,986
–1,986
–1,985
–1,662
–1,662
–1,661
–1,661
–1,661
–1,291
–1,291
–1,291
–1,291
–1,291
–0,846
–0,846
–0,846
–0,845
–0,845
–0,526
–0,526
–0,526
–0,526
–0,526
–0,254
–0,254
–0,254
–0,254
–0,254
91
92
93
94
95
96
97
98
3,177 –2,628 –2,366 –1,985 –1,661 –1,290 –0,845 –0,526 –0,254 96
3,176 –2,627 –2,365 –1,985 –1,661 –1,290 –0,845 –0,526 –0,254 97
3,175 –2,627 –2,365 –1,984 –1,661 –1,290 –0,845 –0,526 –0,254 98
246
 Matematika dan Stastistika 
99
100
3,175 –2,626 –2,365 –1,984 –1,660 –1,290 –0,845 –0,526 –0,254 99
3,174 –2,626 –2,364 –1,984 –1,660 –1,290 –0,845 –0,526 –0,254 100
3,090 –2,576 –2,326 –1,960 –1,645 –1,282 –0,842 –0,524 –0,253 
dk
0,60
0,70
0,80
0,90
1 0,325 0,727 1,376 3,078
2 0,289 0,617 1,961 1,886
3 0,277 0,584 0,978 1,638
4 0,271 0,569 0,941 1,533
5 0,267 0,559 0,920 1,476
0,95
6,314
2,920
2,353
2,132
2,015
6
7
8
9
10
1,943
1,895
1,860
1,833
1,812
0,265
0,263
0,262
0,261
0,260
0,553
0,549
0,546
0,543
0,542
0,906
0,896
0,889
0,883
0,879
1,440
1,415
1,397
1,383
1,372
0,975 0,99 0,995
0,999 dk
12,706 31,821 63,657 318,309 1
4,303 6,965 9,925 22,327 2
3,182 4,541 5,841 10,215 3
2,776 3,747 4,604
7,173 4
2,571 3,365 4,032
5,893 5
2,447
2,365
2,306
2,262
2,228
3,143
2,998
2,896
2,821
2,764
3,707
3,499
3.355
3,250
3,169
5,208 6
4,785 7
4,501 8
4,297 9
4,144 10
0,260
0,259
0,259
0,258
0,258
0,540
0,539
0,538
0,537
0,536
0,876
0,873
0,870
0,868
0,866
1,363
1,356
1,350
1,345
1,341
1,796
1,782
1,771
1,761
1,753
2,201
2,179
2,160
2,145
2,131
2,718
2,681
2,650
2,624
2,602
3,106
3,055
3,012
2,977
2,947
4,025
3,930
3,852
3,787
3,733
11
12
13
14
15
0,258
0,257
0,257
0,257
0,257
0,535
0,534
0,534
0,533
0,533
0,865
0,863
0,862
0,861
0,860
1,337
1,333
1,330
1,328
1,325
1,746
1,740
1,734
1,729
1,725
2,120
2,110
2,101
2,093
2,086
2,583
2,567
2,552
2,539
2,528
2,921
2,898
2,878
2,861
2,845
3,686
3,646
3,610
3,579
3,552
16
17
18
19
20
0,257
0,256
0,256
0,256
0,256
0,532
0,532
0,532
0,531
0,531
0,859
0,858
0,858
0,857
0,856
1,323
1,321
1,319
1,318
1,316
1,721
1,717
1,714
1,711
1,708
2,080
2,074
2,069
2,064
2,060
2,518
2,508
2,500
2,492
2,485
2,831
2,819
2,807
2,797
2,787
3,527
3,505
3,485
3,467
3,450
21
22
23
24
25
0,256
0,256
0,256
0,256
0,256
0,531
0,531
0,530
0,530
0,530
0,856
0,855
0,855
0,854
0,854
1,315
1,314
1,313
1,311
1,310
1,706
1,703
1,701
1,699
1,697
2,056
2,052
2,048
2,045
2,042
2,479
2,473
2,467
2,462
2,457
2,779
2,771
2,763
2,756
2,750
3,435
3,421
3,408
3,396
3,385
26
27
28
29
30
247
 Matematika dan Stastistika 
0,256
0,255
0,255
0,255
0,255
0,530
0,530
0,530
0,529
0,529
0,853
0,853
0,853
0,852
0,852
1,309
1,309
1,308
1,307
1,306
1,696
1,694
1,692
1,691
1,690
2,040
2,037
2,035
2,032
2,030
2,453
2,449
2,445
2,441
2,438
2,744
2,738
2,733
2,728
2,724
3,375
3,365
3,356
3,348
3,340
31
32
33
34
35
0,255
0,255
0,255
0,255
0,255
0,529
0,529
0,529
0,529
0,529
0,852
0,851
0,851
0,851
0,851
1,306
1,305
1,304
1,304
1,303
1,688
1,687
1,686
1,685
1,684
2,028
2,026
2,024
2,023
2,021
2,434
2,431
2,429
2,426
2,423
2,719
2,715
2,712
2,708
2,704
3,333
3,326
3,319
3,313
3,307
36
37
38
39
40
dk 0,60
0,255
0,255
0,255
0,255
0,255
0,70
0,529
0,528
0,528
0,528
0,528
0,80
0,850
0,850
0,850
0,850
0,850
0,90
1,303
1,302
1,302
1,301
1,301
0,95
1,683
1,682
1,681
1,680
1,679
0,975 0,99
2,020 2,421
2,018 2,418
2,017 2,416
2,015 2,414
2,014 2,412
0,995
2,701
2,698
2,695
2,692
2,690
0,999 dk
3,301 41
3,296 42
3,291 43
3,286 44
3,281 45
0,255
0,255
0,255
0,255
0,255
0,528
0,528
0,528
0,528
0,528
0,850
0,849
0,849
0,849
0,849
1,300
1,300
1,299
1,299
1,299
1,679
1,678
1,677
1,677
1,676
2,013
2,012
2,011
2,010
2,009
2,410
2,408
2,407
2,405
2,403
2,687
2,685
2,682
2,680
2,678
3,277
3,273
3,269
3,265
3,261
46
47
48
49
50
0,255
0,255
0,255
0,255
0,255
0,528
0,528
0,528
0,528
0,527
0,849
0,849
0,848
0,848
0,848
1,298
1,298
1,298
1,297
1,297
1,675
1,675
1,674
1,674
1,673
2,008
2,007
2,006
2,005
2,004
2,402
2,400
2,399
2,397
2,396
2,676
2,674
2,672
2,670
2,668
3,258
3,255
3,251
3,248
3,245
51
52
53
54
55
0,255
0,255
0,255
0,254
0,254
0,527
0,527
0,527
0,527
0,527
0,848
0,848
0,848
0,848
0,848
1,297
1,297
1,296
1,296
1,296
1,673
1,672
1,672
1,671
1,671
2,003
2,002
2,002
2,001
2,000
2,395
2,394
2,392
2,391
2,390
2,667
2,665
2,663
2,662
2,660
3,242
3,239
3,237
3,234
3,232
56
57
58
59
60
0,254
0,254
0,254
0,254
0,254
0,527
0,527
0,527
0,527
0,527
0,848
0,847
0,847
0,847
0,847
1,296
1,295
1,295
1,295
1,295
1,670
1,670
1,669
1,669
1,669
2,000
1,999
1,998
1,998
1,997
2,389
2,388
2,387
2,386
2,385
2,659
2,657
2,656
2,655
2,654
3,229
3,227
3,225
3,223
3,220
61
62
63
64
65
248
 Matematika dan Stastistika 
0,254
0,254
0,254
0,254
0,254
0,527
0,527
0,527
0,527
0,527
0,847
0,847
0,847
0,847
0,847
1,295
1,294
1,294
1,294
1,294
1,668
1,668
1,668
1,667
1,667
1,997
1,996
1,995
1,995
1,994
2,384
2,383
2,382
2,382
2,381
2,652
2,651
2,650
2,649
2,648
3,218
3,216
3,214
3,213
3,211
66
67
68
69
70
0,254
0,254
0,254
0,254
0,254
0,527
0,527
0,527
0,527
0,527
0,847
0,847
0,847
0,847
0,846
1,294
1,293
1,293
1,293
1,293
1,667
1,666
1,666
1,666
1,665
1,994
1,993
1,993
1,993
1,992
2,380
2,379
2,379
2,378
2,377
2,647
2,646
2,645
2,644
2,643
3,209
3,207
3,206
3,204
3,202
71
72
73
74
75
0,254
0,254
0,254
0,254
0,254
0,527
0,527
0,527
0,527
0,526
0,846
0,846
0,846
0,846
0,846
1,293
1,293
1,292
1,292
1,292
1,665
1,665
1,665
1,664
1,664
1,992
1,991
1,991
1,990
1,990
2,376
2,376
2,375
2,374
2,374
2,642
2,641
2,640
2,640
2,639
3,201
3,199
3,198
3,197
3,195
76
77
78
79
80
dk 0,60
0,254
0,254
0,254
0,254
0,254
0,70
0,526
0,526
0,526
0,526
0,526
0,80
0,846
0,846
0,846
0,846
0,846
0,90
1,292
1,292
1,292
1,292
1,292
0,95
1,664
1,664
1,663
1,663
1,663
0,975
1,990
1,989
1,989
1,989
1,988
0,99
2,373
2,373
2,372
2,372
2,371
0,995
2,638
2,637
2,636
2,636
2,635
0,999
3,194
3,193
3,191
3,190
3,189
dk
81
82
83
84
85
0,254
0,254
0,254
0,254
0,254
0,526
0,526
0,526
0,526
0,526
0,846
0,846
0,846
0,846
0,846
1,291
1,291
1,291
1,291
1,291
1,663
1,663
1,662
1,662
1,662
1,988
1,988
1,987
1,987
1,987
2,370
2,370
2,369
2,369
2,368
2,634
2,634
2,633
2,632
2,632
3,188
3,187
3,185
3,184
3,183
86
87
88
89
90
1,986
1,986
1,986
1,986
1,985
1,985
1,985
1,984
1,984
1,984
1,960
2,368 2,631
2,368 2,630
2,367 2,630
2,367 2,629
2,366 2,629
2,366 2,628
2,365 2,627
2,365 2,627
2,365 2,626
2,364 2,626
2,326 2,576
0,254 0,526 0,846 1,291 1,662
0,254 0,526 0,846 1,291 1,662
0,254 0,526 0,846 1,291 1,661
0,254 0,526 0,845 1,291 1,661
0,254 0,526 0,845 1,291 1,661
0,254 0,526 0,845 1,290 1,661
0,254 0,526 0,845 1,290 1,661
0,254 0,526 0,845 1,290 1,661
0,254 0,526 0,845 1,290 1,660
0,254 0,526 0,845 1,290 1,660
 0,253 0,524 0,842 1,282 1,645
249
3,182 91
3,181 92
3,180 93
3,179 94
3,178 95
3,177 96
3,176 97
3,175 98
3,175 99
3,174 100
3,090 ∞
 Matematika dan Stastistika 
Lampiran 2
Tabel 2 Distribusi F
250
 Matematika dan Stastistika 
251
 Matematika dan Stastistika 
BAB IX
STATISTIKA NON-PARAMETRIK
Rudy Hartono
PENDAHULUAN
Setiap bahasan metode mengkombinasikan konsep, prosedur, contoh-contoh soal,
latihan-latihan soal, maupun jawaban latihan soal. Tujuannya adalah agar memudahkan
pembaca memahami konsep, membiasakan diri dengan prosedur dan formula metode
statistik non-parametrik, maupun melihat persoalan-persoalan yang bias dipecahkan dengan
metode-metode itu. Latihan soal beserta jawabannya memungkinkan mahasiswa untuk
dapat belajar sendiri.
Setelah kita mempelajari Bab VIII, banyak manfaat statistik parametrik yang dapat
diaplikasikan dalam segala bidang, utamanya di bidang farmasi. Aplikasi di bidang
statistiknon-parametrik. Bagaimana menyederhanakan data farmasi, sehingga lebih mudah
untuk dipahami dan mengerti utamanya buat pengambilan keputusan akan lebih mudah
dengan mempelajari tentang statistik deskriptif.
Setelah mempelajari bab ini mahasiswa akan dapat :
1.
Menjelaskan definisi statistik non-parametrik
2.
menjelaskan syarat-syarat penggunaan statistik non-parametrik
3.
kelebihan dan kekurangan statistik nonparametrik
4.
menganalisis dan menarik kesimpulan menggunakan uji wilcoxon, Mc Nemar dan
Mann Whitney
5.
menganalisis dan menarik kesimpulan menggunakan korelasi spearman.
6.
Menganalisis dan menarik kesimpulan menggunakan uji chi square
252
 Matematika dan Stastistika 
Topik 1
Konsep Dasar Statistika Non-Parametrik
DEFINISI STATISTIK NON-PARAMETRIK
Statistik inferensial merupakan alat untuk merancang penelitian, menganalisis data,
dan menarik kesimpulan tentang populasi dari data sampel. Namun sebelum melakukan
proses generalisasi tersebut, kita perlu mengetahui sifat-sifat data sampel itu sendiri.
Statistik deskriptif berfungsi mengembangkan indikator dan ukuran yang dapat
menggambarkan karakteristik data yang telah dikumpulkan dan ditabulasi. Ukuran statistik
yang lazim dipakai untuk menggambarkan data penelitian dan survei ialah ukuran tendensi
sentral, ukuran dispersi, ukuran fraktil, ukuran hubungan (dalam hal ini korelasi) dan lainlain.
Statistik inferensial berdasarkan ruang lingkupnya terdiri atas statistik parameterik dan
statistik non-parametrik. Statistik parametrik telah dibahas pada Bab 7 sebelumnya.
Statistik non parametrik adalah statistik yang tidak menggunakan asumsi distribusi
normal sehingga lebih mudah dalam menyelesaikannya serta data dari variabel yang diukur
adalah data kualitatif (nominal atau ordinal) atau biasa disebut juga dengan statistik bebas
distribusi (free distribution).
1.
Istilah - Istilah
Konsep dan metode tentang statistik yang diterapkan ke dalam ilmu biologi, farmasi,
kesehatan, dan kedokteran bidang ilmu tersebut merupakan bagian dari Biostatistik.
Observasi yang biasa juga disebut dengan pengamatan adalah suatu peristiwa yang
disertai dengan pengukuran atau perhitungannya, contohnya dosis obat paracetamol adalah
suatu peristiwa atau kejadian dan 500 mg adalah pengukuran.
Unit observasi yang juga disebut unit pengamatan merupakan sumber pengamatan,
contohnya orang atau obyek. Istilah yang lebih khas adalah individu atau subyek.
Populasi merupakan sekumpulan subyek yang hendak diketahui karakteristiknya atau
keseluruhan dari subyek ataupun elemen penelitian lainnya (contohnya benda dan
pengukuran-pengukurannya). Definisi populasi harus jelas dan ketat, sehingga mudah untuk
menghitung atau mengukurnya, contohnya semua balita di Kota Makassar, semua lanjut usia
yang berumur 60 – 70 tahun, semua wanita usia subur yang belum menikah, semua
penderita psikosomatik, dan semua dokter Pegawai Tidak tetap (PTT) di Sulawesi Selatan.
Populasi statistik dapat juga berupa panjang badan, kadar vitamin A dalam serum,
pembacaan hasil titrasi, jumlah sel eritrosit dalam darah manusia, dan lain sebagainya.
Populasi terdiri atas 2 yaitu pertama populasi yang dapat dihitung (finite) dan kedua populasi
yang tidak terhitung dan tak terbatas (infinite).
253
 Matematika dan Stastistika 
Unit sampel adalah setiap anggota populasi.
Sampel merupakan sebagian dari populasi yang mempunyai karakteristik yang sama
atau kelompok dari unit-unit sampel. Misalnya kita mempunyai populasi terdiri atas orang
yang resinten terhadap antibiotik di Indonesia. Jika data yang digunakan untuk menganalisis
hanya orang di 5 propinsi di Indonesia, berarti kita hanya memiliki sebagian dari orang yang
resisten terhadap antibiotik pada popualsi, dan disebut dengan sampel. Beberapa teknik
dalam mengambil sampel dari suatu populasi, cara, teknik atau metode ini disebut sampling
(pencuplikan). Tujuan dari sampling adalah supaya didapatkan suatu sampel yang mewakili
(representatif) tentang ciri khas populasi dimana variabel-variabelnya akan dikumpulkan
datanya.
Data merupakan suatu set nilai yang dicatat dari sebuah atau lebih unit pengamatan.
Di sisi lain data adalah kumpulan dari beberapa fakta.
Variabel merupakan suatu konsep atau fenomena alam yang mempunyai variasi nilai.
Misalnya variabel kadar parasetamol dalam 1 sendok teh dalam bentuk sirup, umur pasien
yang mengunjungi apotik di suatu rumah sakit, dan usia balita yang mengunjungi dokter
spesialis anak di Makassar.
Parameter merupakan suatu ukuran yang digunakan untuk menggambarkan
karakteristik atau hubungan antar variabel populasi, contohnya rata-rata, varians,
simpangan baku, dan proporsi. Misalnya rata-rata lama waktu tunggu pasien untuk
mengambil obat, atau angka kelahiran, angka kesakitan dan angka kematian. Istilah
parameter yang digunakan selalu berhubungan dengan populasi dan sering dirancukan
dengan istilah statistik yang mengarah ke sampel.
Peluang atau disebut juga dengan probabilitas adalah frekuensi relatif atau rata-rata
peluang terjadinya suatu peristiwa yang dapat diharapkan secara rata-rata atau dalam
jangka panjang. Misalnya : peluang untuk sembuh setelah berobat dengan teknologi tinggi,
peluang interaksi penggunaan beberapa obat pada satu kali minum, peluang kegagalan
pengobatan jika menggunakan obat-obat yang belum terstandarisasi. Peluang dinyatakan
dalam bentuk angka, mulai dari 0 hingga 1. Contohnya, probabilitas untuk memperoleh bayi
laki-laki adalah sekali dalam 10 kehamilan atau 1/10, probabilitas memperoleh siswa yang
mempunyai Intelectual Questions (IQ) 200 adalah 1 dari 50 anak atau 1/50.
Nilai Sentral tendensi adalah ukuran pusat tendensi yang menggunakan
kecenderungan nilai-nilai pengamatan memusat pada suatu titik. Ukuran tendensi sentral
yaitu mean, median dan modus. Ketiga nilai sentral tendensi tersbut adalah yang terpenting.
Modus merupakan nilai atau angka yang mempunyai frekuensi kemunculan yang tersering
atau terbanyak. Mean merupakan rerata aritmatik yang bisa diperoleh dengan
menambahkan seluruh nilai dalam sampel dan membaginya dengan seluruh sampel. Median
merupakan nilai atau angka yang berada di tengah suatu set data yang telah diurutkan
(array). Contoh dapat dilihat kembali pada Bab 7 yang telah dibahas sebelumnya.
Ukuran dispersi atau disebut juga ukuran penyebaran yang menggambarkan sejauh
mana nilai-nilai pengamatan menyebar dari rerata aritmatiknya. Ukuran dispersi yang
penting adalah simpangan baku dan kuadrat dari simpangan baku yang disebut varians.
254
 Matematika dan Stastistika 
Semakin besar nilai simpangan baku menunjukkan bahwa makin lebar penyebaran dari nilainilai observasi.
Statistik non-parametrik yaitu statistik bebas sebaran (tidak mensyaratkan bentuk
sebaran parameter populasi, baik normal atau tidak). Selain itu, statistik non-parametrik
biasanya menggunakan data kualitatif, yakni nominal dan ordinal.
2.
Model Matematik
Penggunaan model matematik tertentu selalu menyangkut sifat populasi dan cara
mengambil sampel pada populasi. Setiap uji statistik yang menggunakan suatu uji statistik
baru bisa dikatakan valid (sahih) jika ada 2 asumsi berikut ini yang dipenuhi sebagai berikut :
a.
Asumsi model matematik uji
b.
Teknik pengukuran variabel
Semakin kuat asumsi yang mendasari suatu uji, makin sempit generalisasi
penerapannya, semakin kecil kemungkinan kesalahan inferensi, dan semakin besar kuasa
statistik ujinya. Kebalikannya, semakin sedikit asumsi mendasari suatu uji semakin luas
generalisasi penerapannya, semakin besar kemungkinan kesalahan inferensi dan semakin
kecil kuasa statistik uji tersebut. Uji parametrik, contohnya uji t dan F, menggunakan
sejumlah asumsi yang kuat. Jika semua asumsi bisa dipenuhi , uji t atau uji F mempunyai
kuasa yang lebih besar dari pada uji non parametric yang penggunaannya sama. Istilah lain
adalah lebih mampu untuk menolak Ho, ketika Ho memang salah dari pada uji non
parametric yang menggunakan asumsi lebih sedikit. Supaya penggunaan uji t memiliki kuasa
yang besar, paling tidak kondisi-kondisi di bawah ini perlu dipenuhi :
a.
Pengamatan dilakukan independen, artinya nilai satu pengamatan tidak boleh
mempengaruhi nilai pengamatan lainnya.
b.
Sampel berasal dari populasi yang mempunyai distribusi normal
c.
Dalam analisis dua kelompok, populasi-populasi asal kedua kelompok memiliki varians
yang sama, atau sedikitnya rasio varians keduanya diketahui
d.
Variabel diukur minimal dalam skala interval.
Jika data yang akan dianalisis memenuhi asumsi di atas, penggunaan uji statistic
parametric, misalnya uji t dan uji F tersebut di atas, adalah pilihan utama, sebab mempunyai
kuasa yang lebih besar dari pada uji non parametric. Selanjutnya apa yang dapat dilakukan
jika situasi tersebut tidak dapat dipenuhi. Bagaimana jika populasi tidak berdistribusi
normal? Bagaimana jika variabel tidak diukur dalam skala interval? Dan bagaimana jika
varians populasi tidak sama, saat akan dibandingkan sejumlah kelompok?
Secara empiris menunjukkan bahwa sebagian data riset mengandung sedikit
penyimpangan asumsi, tanpa memberikan perbedaan pengaruh terhadap keputusan
statistik. Sampai saat ini belum adanya standar baku tentang kapan penyimpangan asumsi
bisa dikatakan “sedikit” sehingga “boleh tidak terpenuhi” dan kapan dikatakan “banyak”
sehingga “hasil analisis tidak valid”. Situasi saat ini uji statistik non paramterik mempunyai
255
 Matematika dan Stastistika 
peran penting sebagai uji alternatif yang setara. Uji statistic non parametric dapat memiliki
kuasa statistik yang sebanding dengan uji parametric, asalkan besar sampel cukup besar.
3.
Variabel dan Skala Pengukuran
Seperti telah diketahui sebelumnya bahwa variabel adalah suatu konsep atau
fenomena alam yang mempunyai variasi nilai. Di mana variasi nilai tersebut dapat diukur
baik secara kualitatif maupun kuantitatif. Berdasarkan metode riset dengan rancangan
eksperimen murni, variasi nilai dapat dimanipulasi menurut keperluan penelitian. Observasi
dan pengukuran variabel akan menghasilkan data. Misalnya suatu penelitian melihat
pengaruh kontrasepsi oral terhadap tekanan darah sistolik. Pada penelitian ini kontrasepsi
oral merupakan suatu variabel yang secara kualitatif dapat diamati dan akan menghasilkan
data kategoarikal yaitu menggunakan kontrasepsi oral dan tidak menggunakan kontrasepsi
oral.
Cara klasifikasi variabel akan sangat penting dalam pembagian menurut tingkat
pengukuran. Berdasarkan teknik ini variabel diklasifikasikan menjadi: variabel nominal,
ordinal, interval dan rasio.
Variabel nominal tidak lain adalah kategori yang diberi nama. Kategori tersebut dapat
diurutkan maupun diberi peringkat. Tidak dapat dibedakan apakah kategori yang satu
mempunyai tingkat yang lebih tinggi dengan kategori yang lain. Misalnya : seks, suku,
bangsa, negara, nama, alamat, warna, suku dan lain sebagainya.
Variabel ordinal merupakan kategori yang dapat diurutkan atau diberi peringkat.
Sudah dapat dibedakan antara kategori satu dengan kategori lainnya, tetapi tidak dapat
diketahui besarnya perbedaan tersebut. Misalnya peringkat kelas (peringkat I, II, II dan
seterusnya), nilai prestasi mahasiswa (A, B, C, D dan E), skala sikap (sangat setuju, setuju,
kurang setuju, tidak setuju, sangat tidak setuju).
Variabel interval adalah variabel yang perbedaan antara nilai pengamatan yang satu
dengan lainnya dapat diketahui dengan pasti dan merupakan bentuk angka/bilangan,
mempunyai nilai nol tidak mutlak/absolut. Misalnya suhu dalam derajat Celsius, pendapatan,
pengeluaran, dan lain sebagainya.
Variabel rasio merupakan bagian dari variabel interval tetapi mempunyai nilai nol yang
mutlak/absolut. Contohnya tinggi badan, berat badan, luas, waktu. Sebagaimana variabel
rasio tinggi badan si Alif 195 cm tidak hanya boleh dikatakan berselisih 65 cm dengan tinggi
badan si Andi 130 cm, tetapi dapat juga dibuat kesimpulan bahwa tinggi si Alif adalah 1,5 kali
tinggi badan si Andi.
4.
a.
b.
c.
d.
Syarat Penggunaan Statistik Non-Parametrik
Statistik non-parametrik dapat digunakan jika memenuhi syarat sebagai berikut :
Data tidak berdistribusi normal
Umumnya data berskala nominal dan ordinal
biasanya pada penelitian kesehatan atau kedokteran/farmasi
Umumnya jumlah sampel kecil
256
 Matematika dan Stastistika 
Kelebihan dan kekurangan statistik non-parametrik
Kelebihan:
a.
Tidak membutuhkan asumsi normalitas.
b.
Secara umum metode statistik non-parametrik lebih mudah dikerjakan dan lebih
mudah dimengerti jika dibandingkan dengan statistik parametrik karena statistika nonparametrik tidak membutuhkan perhitungan matematik yang rumit seperti halnya
statistik parametrik.
c.
Statistik non-parametrik dapat digantikan data numerik (nominal) dengan jenjang
(ordinal).
d.
Kadang-kadang pada statistik non-parametrik tidak dibutuhkan urutan atau jenjang
secara formal karena sering dijumpai hasil pengamatan yang dinyatakan dalam data
kualitatif.
e.
Pengujian hipotesis pada statistik non-parametrik dilakukan secara langsung pada
pengamatan yang nyata.
f.
Walaupun pada statistik non-parametrik tidak terikat pada distribusi normal populasi,
tetapi dapat digunakan pada populasi berdistribusi normal.
Kekurangan :
a.
Statistik non-parametrik terkadang mengabaikan beberapa informasi tertentu.
b.
Hasil pengujian hipotesis dengan statistik non-parametrik tidak setajam statistik
parametrik.
c.
Hasil statistik non-parametrik tidak dapat diekstrapolasikan ke populasi studi seperti
pada statistik parametrik. Hal ini dikarenakan statistik non-parametrik mendekati
eksperimen dengan sampel kecil dan umumnya membandingkan dua kelompok
tertentu.
d.
Meski konsep dan prosedur non-parametrik sederhana, tetapi pekerjaan hitungmenghitung bisa membutuhkan banyak waktu jika ukuran sampel yang dianalisis besar
Latihan
1)
Metode analisis data yang tidak memerlukan asumsi distribusi normal disebut dengan
statistik ....
A.
parametrik
B.
non parametrik
C.
inferensial
D. deskriptif
2)
Jika untuk menguji hipotesis tetapi variabel yang diukur menghasilkan data kualitatif
maka selayaknya digunakan statistik ....
A.
inferensial
B.
non parametrik
C.
parametrik
D. deskriptif
257
 Matematika dan Stastistika 
3)
Ukuran statistik yang sering digunakan untuk menggambarkan data penelitian dan
survey, kecuali ....
A.
Tendensi sentral
B.
Fraktil
C.
Dispersi
D. Adiksi
4)
Statistik deskriptif berfungsi menggambarkan karakteristik data yang telah
dikumpulkan dan ditabulasi untuk mengembangkan ....
A.
indikator
B.
presisi
C.
prevalensi
D. prediksi
5)
Konsep maupun metode tentang statistik yang diterapkan ke dalam ilmu biologi,
farmasi, kesehatan, dan kedokteran bidang ilmu tersebut merupakan bagian dari ....
A.
biostatistik
B.
biografi
C.
biosains
D. bioteknologi
6)
Dosis obat natrium diklofenak adalah suatu peristiwa dan 25 mg adalah pengukuran,
contoh tersebut merupakan ....
A.
observasi
B.
konsep
C.
fenomena
D. kategori
7)
Individu atau obyek adalah unit ....
A.
konsep
B.
observasi
C.
kategori
D. fenomena
8)
Sekumpulan subyek yang hendak diketahui karakteristiknya disebut dengan ....
A.
sampel
B.
populasi
C.
sampling
D. sub populasi
258
 Matematika dan Stastistika 
9)
Populasi yang jumlahnya tidak terhitung dan tak terbatas disebut dengan ....
A.
infinite
B.
future
C.
finite
D. infuture
10)
Semua penderita HIV/AIDS di dunia, merupakan populasi ....
A.
finite
B.
infinite
C.
constan
D. constanta
Ringkasan
Statistik non parametrik adalah statistik yang tidak menggunakan asumsi distribusi
normal sehingga lebih mudah dalam menyelesaikannya serta data dari variabel yang diukur
adalah data kualitatif (nominal atau ordinal) atau biasa disebut juga dengan statistik bebas
distribusi (free distribution).
Populasi merupakan sekumpulan subyek yang hendak diketahui karakteristiknya atau
keseluruhan dari subyek ataupun elemen penelitian lainnya (contohnya benda dan
pengukuran-pengukurannya).
Unit sampel adalah setiap anggota populasi.
Sampel merupakan sebagian dari populasi yang mempunyai karakteristik yang sama
atau kelompok dari unit-unit sampel.
Variabel merupakan suatu konsep atau fenomena alam yang mempunyai variasi nilai.
Parameter merupakan suatu ukuran yang digunakan untuk menggambarkan
karakteristik atau hubungan antar variabel populasi.
Statistik non-parametrik dapat digunakan jika memenuhi syarat sebagai berikut :
1.
Data tidak berdistribusi normal
2.
Umumnya data berskala nominal dan atau ordinal
3.
biasanya pada penelitian kesehatan atau kedokteran/farmasi
4.
Umumnya jumlah sampel kecil
Tes 1
1)
Tujuan dari sampling adalah agar didapatkan tentang ciri khas populasi di mana
variabel-variabelnya akan dikumpulkan datanya pada suatu sampel yang ....
A.
representatif
B.
prediktif
C.
konstruktif
D. fakultatif
259
 Matematika dan Stastistika 
2)
Suatu set nilai yang dicatat dari sebuah atau lebih unit pengamatan disebut ....
A.
fakta
B.
informasi
C.
data
D. isu
3)
Rata-rata lama waktu tunggu pasien untuk mengambil obat merupakan contoh dari ....
A.
peluang
B.
parameter
C.
variabel
D. indikator
4)
Statistik pada akhirnya membuat kesimpulan mengarah ke sampel, sedangkan yang
mengarah ke populasi adalah ....
A.
indikator
B.
probabilitas
C.
variabel
D. parameter
5)
Frekuensi relatif peluang terjadinya suatu peristiwa yang dapat diharapkan secara ratarata atau dalam jangka panjang disebut ....
A.
probabilitas
B.
matematik
C.
exactly
D. inferensial
6)
Yang termasuk dalam nilai sentral tendensi di bawah ini adalah ....
A.
range
B.
simpangan baku
C.
modus
D. varians
7)
Tidak termasuk dalam nilai penyebaran di bawah ini adalah ....
A.
mean
B.
standar error
C.
median
D. modus
8)
Setiap uji statistik yang menggunakan suatu uji statistik baru bisa dikatakan valid
(sahih) jika dipenuhi oleh, kecuali ....
A.
asumsi model matematik uji
260
 Matematika dan Stastistika 
B.
C.
D.
teknik peningkatan variabel
hipotesis
parameter
9)
Data kuantitatif pada suatu variabel tetapi tidak mempunyai distribusi yang normal,
maka untuk menguji hipotesis harus menggunakan statistik ....
A.
inferensial
B.
parametrik
C.
non parametrik
D. deskriptif
10)
Mendekati eksperimen dengan sampel kecil dan umumnya membandingkan dua
kelompok tertentu, maka hasil statistik non-parametrik tidak dapat di ....
A.
ekstrapolasi
B.
polarisasi
C.
ekstradisi
D. tradisi
261
 Matematika dan Stastistika 
Topik 2
Aplikasi Statistik Non Parametrik
Aplikasi penggunaan statistik non parametrik setelah mempelajari konsep dasarnya
sebagai berikut yaitu Uji Wilcoxon, Uji Mc Nemar, Uji Mann Whitney, Korelasi Spearman dan
Uji Chi Square.
A.
UJI WILCOXON
Uji Wilcoxon terdiri atas tiga macam yaitu uji jenjang bertanda Wilcoxon, uji jumlah
jenjang Wilcoxon dan uji jumlah jenjang berstrata Wilcoxon.
1.
Uji Jenjang Bertanda Wilcoxon (Wilcoxon’s Signed Rank Test).
Uji ini ditemukan oleh Frank Wilcoxon pada tahun 1945. Uji ini disebut pula sebagai uji
pasangan bertanda Wilcoxon (Wilcoxon’s Pairs Sign Rank Test). Uji jenjang bertanda
Wicoxon merupakan pengembangan dari uji tanda. Di samping tanda + atau – perbedaan
pada uji ini juga memperhatikan nilai beda. Persyaratan datanya sama dengan uji tanda.
Cara analisis uji jenjang bertanda Wilcoxon adalah sebagai berikut :
a.
Berikan jenjang (rank) untuk tiap Y  X  dari terkecil ke terbesar tanpa
memperhatikan tanda beda. Bila ada dua atau lebih nilai Y  X  sama besarnya, maka
jenjang untuk tiap-tiap Y  X  adalah jenjang rata-ratanya.
b.
c.
Beri tanda + atau – pada tiap-tiap jenjang dan beda 0 tidak diperhatikan.
Jumlahkan T  semua jenjang bertanda + dan -.
d.
Jumlah jenjang T  yang terkecil bandingkan dengan T  n . H 0 ditolak bila : Thit  T n .
Contoh : Pengaruh penyuluhan terhadap sanitasi pasar yang telah diuji dengan uji tanda
tersebut di atas akan diuji dengan uji jenjang bertanda Wilcoxon.
Penjual
A
B
C
D
E
F
G
H
I
Penyuluhan
Sebelum  X 
Sesudah Y 
23
40
35
24
17
32
27
32
25
21
48
45
22
19
37
29
38
24
Beda
Y  X 
-2
+8
+10
-2
+2
+5
+2
+6
-1
262
Rank
Y  X 
5
9
10
4
3
6
2
7
1
3.5
9
10
3.5
3.5
6
3.5
7.5
1
+
3.5
9
10
3.5
3.5
6
3.5
7.5
1
 Matematika dan Stastistika 
Penjual
Penyuluhan
Sebelum  X 
Sesudah Y 
J
K
30
41
Beda
Rank
Y  X 
36
30
+6
-11
Y  X 
8
11
7.5
11
+
7.5
47
T
-
11
19
T  19
T0,0511  11
H 0 diterima, jadi penyuluhan tidak memperbaiki sanitasi pasar. Berikut out put SPSS dari
data di atas :
Descriptive Statistics
PRE
POST
N
Mean
Std. Deviation
Minimum
Maximum
11
11
29.6364
31.7273
7.35218
9.83962
17.00
19.00
41.00
48.00
Wilcoxon Signed Ranks Test
Ranks
N
Mean Rank
POST - PRE
Negative
Ranks
Positive
Ranks
Ties
Total
Sum of Ranks
4(a)
4.75
19.00
7(b)
6.71
47.00
0(c)
11
a POST < PRE
b POST > PRE
c POST = PRE
Test Statistics(b)
POST - PRE
Z
-1.252(a)
Asymp. Sig. (2-tailed) .211
a. Based on negative ranks.
b. Wilcoxon Signed Ranks Test
Bila n  25 , maka perhitungannya dengan uji Z yaitu:
n(n  1)(2n  1)
T 
24
263
 Matematika dan Stastistika 
T 
Zhit 
n(n  1)
4
T   T
T
H 0 diterima bila : Zhit  Z 1
1 
  
2 2 
2.
Uji Jumlah Jenjang Wilcoxon(Wilcoxon’s Rank Sum Test)
Uji jumlah jenjang bertanda Wilcoxon dipergunakan
untuk membandingkan
perbedaan antara dua sampel bebas. Uji ini mirip dengan uji t untuk dua sampel bebas.
Langkah-langkah analisisnya sebagai berikut :
a.
Gabungkan kedua sampel dan berikan jenjang tiap tiap anggotanya dari yang terkecil
ke terbesar. Bila ada dua atau lebih nilai yang sama besarnya berikan jenjang rataratanya.
b.
Jumlahkan masing-masing cuplikan misalnya T1 dan T2
c.
d.
Nilai T yang terkecil bandingkan dengan T  n1 ,n2 
Kriteria pengambilan keputusan adalah : H 0 ditolak bila T  T n1 ,n2 
Contoh :
Data berikut ini adalah nilai tarik suara darma wanita FK dan FKG masing-masing sebanyak
10 orang. Buktikan apakah terdapat perbedaan kualitas suara tersebut   0,05 .
Nama
Nilai
peserta
FK
A
16
B
12
C
18
D
19
E
14
F
13
G
18
H
19
I
15
J
10
Rank
Nama
peserta
FKG
7
7.5
K
2
2
L
10 10
M
12 13.5
N
4
4
O
3
3
P
9
10
Q
13 13.5
R
5
5.5
S
1
1
T
T1  70
Nilai
Rank
16
15
19
23
25
21
26
20
18
19
8
7.5
6
5.5
14 13.5
18
18
19
19
17
17
20
20
16
16
11
10
15 13.5
T2  140
T1  70 dan T0,0510,10  78 , maka H 0 ditolak, jadi kualitas suara tersebut berbeda nyata.
Apabila n1 atau n2 atau keduanya > 20, maka analisisnya dengan uji Z.
264
 Matematika dan Stastistika 
Zhit 
n(n1  n2  1)  2T
n1n2 (n1  n2  1)
3
Di mana :
N = jumlah sampel dengan jumlah jenjang terkecil ( T )
T = jumlah jenjang terkecil
n1 = jumlah sampel 1
n2 = jumlah sampel 2
H 0 diterima bila Zhit  Z 1 1 
  
2 2 
kualitas suara
kelompok
paduan suara FK
paduan suara FKG
Total
Ranks
N
10
10
20
Mean Rank
7.00
14.00
Sum of Ranks
70.00
140.00
Test Statistics(b)
kualitas suara
15.000
70.000
-2.662
.008
Mann-Whitney U
Wilcoxon W
Z
Asymp. Sig. (2-tailed)
Exact Sig. [2*(1-tailed
Sig.)]
a Not corrected for ties.
b Grouping Variable: kelompok
.007(a)
3.
Uji Jumlah Jenjang Berstrata Wilcoxon (Wilcoxon’s Stratified Rank Sum Test)
Uji ini dipergunakan untuk membandingkan dua perlakuan pada beberapa kelompok /
strata dan jumlah sampel  n pada tiap-tiap kelompok itu sama. Kalau dibandingkan dengan
uji statistika parametrik, uji jumlah jenjang berstrata Wilcoxon mirip uji F pada rancangan
acak kelompok.
Langkah-langkah analisisnya mirip dengan uji jumlah bertanda Wilcoxon.
Perbedaannya, bahwa pemberian jenjang dilakukan pada tiap-tiap strata secara terpisah.
Selanjutnya jenjang untuk tiap-tiap perlakuan dijumlahkan. Jumlah jenjang yang terkecil T 
dibandingkan dengan T g ,n
265
 Matematika dan Stastistika 
Kriteria penarikan keputusan adalah :
H 0 ditolak bila T  T g ,n
g = jumlah strata
n = jumlah sampel tiap-tiap strata.
Contoh :
Data berikut ini adalah nilai libido dua kelompok penderita impotensia yang berbadan
gemuk dan kurus setelah disuntik hormon testoteron buatan pabrik A dan B.
Buktikan apakah kualitas testoteron buatan pabrik A dan B tersebut berbeda
  0,01
Berat
Badan
Gemuk
Kurus
Hormon Testoteron
Pabrik A
Pabrik B
(Nilai) (Rank) (Nilai) (Rank)
14
1
26
10
19
5,5
25
9
18
3,5
21
8
19
5,5
20
7
15
2
18
3.5
18
7
19
8,5
12
2
16
5,5
10
1
15
4
13
3
23
10
16
5,5
19
8,5
T2  74
T1  36
T  36
T0,012,5  38 , maka H 0 ditolak berarti kualitas testoteron buatan pabrik A dan B tersebut
berbeda nyata.
Untuk membuktikan perbedaan libido antara penderita gemuk dengan kurus yang
disuntik hormon testoteron A dan B cukup dengan uji jumlah jenjang Wilcoxon.
B.
UJI MC NEMAR
Uji Mc Nemar merupakan uji perbandingan dua variabel yang berpasangan atau
variabel – variabel yang memenuhi rancangan penelitian before – after. Kedua variabel itu
harus berskala nominal dan dikotomi, misalnya setuju – tidak setuju, mati – hidup, dan
sebagainya.
Pada buku-buku tertentu maka uji ini disebut uji simetri yang bertujuan membuktikan
hipotesis probabilitas “setuju” sebelum perlakuan sama dengan sesudah perlakuan :
P setuju sebelum  P setuju sesudah
266
 Matematika dan Stastistika 
Model ini didasarkan pada kenyataan bahwa ada beberapa kasus yang mengalami
perubahan “ tanggap “ setelah diberi suatu perlakuan. Untuk keperluan ini maka kita akan
menghitung setiap perubahan sikap pada setiap kasus artinya kita akan menghitung :
1.
Berapa orang yang asalnya setuju menjadi tak setuju
2.
Berapa orang yang asalnya setuju tetap setuju
3.
Berapa orang yang asalnya tak setuju menjadi setuju
4.
Berapa orang yang asalnya tak setuju tetap tak setuju
Angka-angka itu kita masukkan dalam format tabel kategorik 2 × 2 sebagai berikut :
Sebelum
Sikap
Setuju
Tak Setuju
Sesudah
Setuju
Tak Setuju
A
B
C
D
Syarat penggunaan:
Harga harapan (setengah dari jumlah yang mengalami perubahan sikap) harus lebih
dari atau sama dengan 5. atau bila dituliskan dalam bahasa matematik syarat itu berbunyi :
BC
5
2
Bila syarat itu tidak dipenuhi maka penyelesaiannya menggunakan Binomial Test.
Rumus yang digunakan : (bila syarat dipenuhi)
 B  C  1

2

2
(Mc.Nemar)
BC
Untuk uji signifikansinya digunakan tabel chi kuadrat dengan derajat bebas  db  1
2
2
dan   0,05 H 0 ditolak bila hitung
 0,05
1  tabel .
Contoh :
Berikut ini adalah hasil suatu penelitian perubahan sikap pemuka masyarakat terhadap
dihapuskannya restribusi sampah (data fiktif) :
Perubahan sikap
Setuju – setuju
Setuju – tidak
Tidak – tidak
Tidak – setuju
 11  4  1

Cacah
16
11
1
4
2

2
11  4
2
0,05

1 3,841
 2,4
267
 Matematika dan Stastistika 
Jadi H 0 diterima, artinya probabilitas “setuju” pada keadaan sebelum penyuluhan
sama dengan setelah penyuluhan.
Berikut ini tampilan komputer dengan menggunakan program SPSS:
Test Statistics (a)
SEBELUM & SESUDAH
SESUDAH
SEBELUM
Setuju
Tidak setuju
Setuju
16
11
Tidak
4
1
setuju
Test Statistics (b)
SEBELUM & SESUDAH
N
Exact Sig. (2-tailed)
32
.118(a)
a Binomial distribution used.
b McNemar Test
C.
UJI MANN WHITNEY
Uji Mann – Whitney sama dengan uji jumlah jenjang Wilcoxon, perbedaannya
terutama dipergunakan untuk dua sampel yang berukuran tidak sama. Namun demikian, uji
Mann-Whitney juga dapat digunakan untuk menguji dua sampel berukuran sama. Bila
sampel 1 dan 2 masing-masing adalah n1 dan n2 maka langkah-langkah pengujiannya
adalah sebagai berikut :
1.
Gabungkanlah kedua sampel dan beri jenjang dari tiap nilai terkecil sampai nilai
terbesar.
T1 dan T2
2.
Hitunglah
jumlah
jenjang
masing-masing
sampel
misalnya
n  n  1
U1  n1n2  1 1
 T1
2
n (n  1)
U2  n1n2  2 2
 T2
2
Nilai U yang terkecil bandingkan dengan U n1 ,n2  . Dengan kriteria penarikan
kesimpulan adalah : H 0 diterima bila Uhit  U n1 ,n2  .
Contoh :
Ingin diketahui mutu pakan ayam lokal buatan pabrik A dan buatan pabrik B. Pakan buatan
pabrik A diberikan secara terpisah kepada 12 ekor ayam dan pakan buatan pabrik B
268
 Matematika dan Stastistika 
diberikan kepada 9 ekor ayam lainnya. Pertambahan berat badan (gram) tertera di bawah
ini.
Pakan A 72 75 72 76 80 82 78 78 73 71 70 70
Pakan B 77 82 84 81 74 79 83 83 83
Buktikan apakah ada perbedaan mutu kedua pakan tersebut di atas?   0,05 .
Pakan A 72 75 72 76 80 82 78 78 73 71 70 70
Rank
4,5 8 4,5 9 14 16,5 11,5 11,5 6 3 1,5 1,5
Pakan B
Rank
77 82 84 81 74 79 83 83 83
10 16,5 21 15 7 13 19 19 19
T1  91,5
12(13)
 91,5  94,5
2
9(10)
U2  (12)(9) 
 139,5  13,5
2
dan T2  139,5
U1  (12)(9) 
U0,0512,9  26
Karena 13,5 < 26 , maka H 0 ditolak. Kesimpulan terdapat perbedaan mutu pakan ayam
buatan pabrik A dan buatan pabrik B. Out put komputer dapat dilihat sebagai berikut :
Mann-Whitney Test
Ranks
BB
KEL
1.00
2.00
Total
N
12
9
21
Mean Rank
7.63
15.50
Sum of Ranks
91.50
139.50
Te st Statis ticsb
Mann-Whitney U
Wilcoxon W
Z
As ymp. Sig. (2-tailed)
Exact Sig. [2*(1-tailed
Sig.)]
BB
13.500
91.500
-2.886
.004
a. Not c orrected f or ties.
b. Grouping Variable: KEL
269
a
.002
 Matematika dan Stastistika 
D.
UJI KORELASI SPEARMAN
Uji ini sebagai alternatif dari uji korelasi Pearson dengan asumsi di mana sampel
berasal dari populasi mempunyai distribusi normal bivariat tak terpenuhi. Dalam hal ini
seorang peneliti berhadapan dengan data yang terhimpun di dalam satu variabel dengan
subyek sebanyak N 1, 2, 3,...,N  . Tiap subyek mempunyai dua variabel yang masing-masing
mempunyai skala ukuran ordinal atau lebih tinggi (interval, rasio) di mana asumsi pada
paragraf pertama tidak terpenuhi.
Teori
Misalkan subyek 1,2,...,N mempunyai variabel VAR-1 dan VAR – 2. Skor dari masingmasing variabel diganti dengan peringkat. Bila ada skor yang sama (ties) maka dibuat ratarata peringkat. Sebaiknya untuk aturan / contoh ties lihat uji Friedman.
Untuk setiap subyek dihitung di yaitu selisih antara peringkat pada dua variabel pada subyek
ke – i , kemudian masing-masing di pangkatkan dua: di2 dan dijumlahkan:
N
d
i 1
2
i
. Untuk lebih
jelasnya lihat tabel berikut:
Skor
Skor
Skor
.
.
.
Skor
Peringkat
Skor
Skor
.
.
.
Skor
di
di2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Maka koefisien korelasi Spearman (rs) dapat dihitung dengan menggunakan rumus :
N
rs  1 
6 di2
i 1
3
di mana N = jumlah subyek
N N
Seperti koefisien korelasi Pearson, rs mempunyai nilai antara -1 sampai dengan +1. Cara
penafsiran sama dengan r .
Ties pada setiap variabel dihitung dengan rumus :
g
Tx    ti3  ti  di mana t = size of ties
i 1
g
Ty    ti3  ti 
i 1
Rumus
rs 
N
N
3
3
 N   6 di2 
N
i 1
T
x
 Ty 
2
 N   Tx  Ty   N 3  N   TxTy
2
270
 Matematika dan Stastistika 
Untuk menguji H0 : s rho spearman  0 , bila N  4 dan
 = 0,25 – 0,0005 (uji satu arah)
= 0,50 – 0,001 (uji dua arah)
Lihat tabel Q (buku Sidney Siegel). Selanjutnya H 0 ditolak bila rshit  rs tabel .
Untuk sampel besar, dipakai uji statistik Z  rs N  1
Kriteria H 0 ditolak bila Zhit  Z 1 atau Zhit  Z 1 .
1 
2
2

Contoh :
Seorang peneliti ingin mempelajari hubungan tingkat pengetahuan (knowledge) dan praktek
aturan lalu lintas pada mereka yang mengajukan permohonan surat izin mengemudi (SIM)
sebanyak 12 subyek dipilih, pengetahuan diperoleh dari ujian teori dan praktek diperoleh
dari ujian praktek (road test). Masing-masing mempunyai skor 0 – 150. Selanjutnya H 0 :
tidak ada hubungan antara pengetahuan dan praktek aturan lalu lintas diuji dengan
menggunakan   0,05 (uji dua arah).
Pengetahuan
(variabel 1)
82
98
87
40
116
113
111
83
85
126
106
117
Praktek
(Variabel 2)
42
46
39
37
65
88
86
56
62
92
54
81
PERINGKAT
Variabel 1 Variabel 2
2
3
6
4
5
2
1
1
10
8
9
11
8
10
3
6
4
7
12
12
7
5
11
9
271
di
di2
-1
2
3
0
2
-2
-2
-3
-3
0
2
2
1
4
9
0
4
4
4
9
9
0
4
4
2
di  52
 Matematika dan Stastistika 
Correlations
Spearman' PENGETAH
s rho
PRAKTEK
PENGETAH
1.000
.
12
.818(**)
.001
12
Correlation Coefficient
Sig. (1-tailed)
N
Correlation Coefficient
Sig. (1-tailed)
N
PRAKTEK
.818(**)
.001
12
1.000
.
12
** Correlation is significant at the 0.01 level (1-tailed).
E.
UJI CHI SQUARE (KAI KUADRAT)
Uji chi square adalah satu jenis uji komparatif non parametris yang dilakukan pada dua
variabel, di mana skala data kedua variabel adalah nominal. (Apabila dari 2 variabel, ada 1
variabel dengan skala nominal maka dilakukan uji chi square dengan merujuk bahwa harus
digunakan uji pada derajat yang terendah).
Prinsip-prinsip penggunaan :
1.
Hanya dapat dipergunakan pada data kualitatip.
2.
Dapat dipergunakan pada sampel dari berbagai macam ukuran (sample size) selama
tidak menyimpang ketentuan butir 9 dan 10. juga dapat dipergunakan pada berbagai
macam kategori.
3.
Hitungan akhir selalu melibatkan angka sebenarnya (frekuensi) bukan prosen atau
proporsi.
4.
Untuk setiap kategori, perbedaan nilai pengamatan (observed value) dan nilai harapan
(expected value) dihitung, selanjutnya dikuadratkan dan dibagi dengan nilai harapan
sehingga secara keseluruhan rumus perhitungan 
2

2
dengan
fe
ketentuan f0 harga yang diamati dan fe adalah harga harapan ; makin besar sample
5.
size makin besar harga  2 sehingga kuadrat mempunyai tendensi meningkat dengan
meningkatnya sample size. Jumlah kategori mempengaruhi besar df (derajat bebas)
yang juga akan mempengaruhi bentuk : distribusi teoritis chi-quadrat. Makin besar df
makin besar pula titik kritisnya pada tingkat kepercayaan tertentu.
bila kita ingin membandingkan 2 atau lebih distribusi sampel maka uji yang sesuai
adalah r  c contingency chi square. Data disusun menurut r -baris  r  2,3,..., k  dan
menurut c -kolom
6.
7.
menjadi :
 fo  fe 
 c  2,3,..., k 
dan menurut harapan diperoleh dari perkalian
jumlah total setiap sampel dengan proporsi yang sesuai pada distribusi total.
bila distribusi sampel berasal dari satu populasi maka uji yang sesuai adalah Goodness
of fit test. Dalam hal ini nilai harapan diperoleh dari proporsi distribusi populasi dan
mempunyai db  r  1 atau db  k  1 .
bila kita ingin mengetahui asosiasi atau korelasi diantara 2 variabel dari data kualitatif,
maka lakukan uji chi kuadrat dulu dengan rumus diatas. Jika ternyata dalam pengujian
272
 Matematika dan Stastistika 
H 0 , kita menolak H 0 , maka kita dapat melanjutkan dengan menghitung koefisien
kontingensi dengan rumus : = c 
8.
9.
10.
11.
2
2  N
dengan c selalu > 0.
Distribusi sampling chi kuadrat akan sesuai dengan distribusi teoritis chi kuadrat bila :
nilai harapan setiap sel tidak boleh kurang dari satu. Cacah sel yang mempunyai nilai
harapan < 5 tidak melebihi 20 % jumlah sel seluruhnya (Rule of The Thumb). Aturan ini
berdasarkan pengalaman dari pakar penelitian dan atau statistik di seluruh dunia.
Jika tidak sesuai dengan ketentuan di atas, kategori-kategori tertentu yang sesuai
digabung, sehingga cacah sel lebih sedikit hingga nilai harapan baru memenuhi syarat.
Sering penggabungan ini menyebabkan sel dalam tabel tinggal 2 × 2 dan bila toh
masih tidak memenuhi syarat maka uji statistik yang digunakan adalah Fisher’s Exact
Test.
Untuk db  1 diperlukan koreksi yang disebut Yate’s Correction for Continuity.
Besarnya koreksi itu ialah 0,5 hingga rumus itu menjadi:
2
N

2
N  ad  bc  
 fo  fe  0,5  
2
 c2  
fe
m 1m 2 n 1n 2
Pada umumnya chi-kuadrat hanya dapat dipergunakan untuk uji independensi antar
faktor pada satu sampel dengan faktor yang bersifat bebas (independen). Chi kuadrat
tidak dapat digunakan pada correlated sample (misal rancangan penelitian sebelum –
sesudah pada data kualitatif) dan dalam hal ini harus mempergunakan Mc Nemar
Simetry
Chi Square atau modifikasinya.
Rule of the thumb uji  2 :
a.
Tidak boleh ada nilai harapan < 1
b.
Nilai harapan: 5  e  0 bisa asal tidak lebih dari 20% jumlah sel yang
mengandung nilai tersebut.
k  r chi kuadrat
Uji chi kuadrat yang termasuk dalam analisis kategorik yang berlaku hanya untuk data
berskala nominal, baik nominal yang asli ataupun nominal hasil transformasi. Seperti yang
kita telah ketahui bahwa untuk data berskala interval atau rasio yang berdistribusi normal
kita gunakan analisis parameterik dan untuk data berskala ordinal atau berskala interval
yang berdistribusi tidak normal atau tidak diketahui macam distribusinya kita gunakan uji
non-parametrik.
Analisis kategorik merupakan analisis data berskala nominal yang diklasifikasi silangkan
dalam bentuk tabel kategorik B kali K ( B  K ). B dalam hal ini adalah baris dan K adalah
kolom, dengan ketentuan B minimal 2 kategori begitu juga K minimal 2. Analisis ini
mempeljari pendekatan chi-kuadrat untuk sampel besar, koefisien asosiasi dan metode
Fisher untuk sampel kecil.
273
 Matematika dan Stastistika 
1.
2.
Kegunaan analisis kategorik:
Pada sampel-sampel bebas digunakan uji homogenitas proporsi pada masing-masing
sampel.
Pada satu sampel digunakan uji independensi bila faktor-faktor yang dipelajari bersifat
bebas (independent factor), dan digunakan uji simetri McNemar bila faktor-faktor yang
dipelajari berkaitan (related factor).
Uji Homogenitas Untuk K Sampel
Uji ini dipergunakan untuk menguji H 0 : tidak terdapat perbedaan distribusi kategori
sebanyak r dari k – sampel.
1.
2.
3.
Syarat :
Kita berhadapan dengan k sampel bebas
Sampel tersebut mempunyai data kualitatif yang terbagi dalam r – kategori
Memenuhi syarat penggunaan uji chi kuadrat pada umumnya
Seperti pada perhitungan chi kuadrat pada umumnya, bila syarat penggunaan uji chi
kuadrat terpenuhi, maka rumus perhitungan ialah seperti rumus 1, dan distribusi
samplingnya mendekati distribusi chi kuadarat dengan db   k  1 r  1
Hipotesis yang diuji :
H 0 : sebanyak k populasi mempunyai distribusi sama
H a : paling sedikit satu dari k populasi mempunyai distribusi yang berbeda dengan yang
lain.
Contoh :
Dua sampel terdiri dari 100 pria dan 100 wanita, kepada mereka ditanyakan apakah setuju
atau tidak terhadap pernyataan “wanita mempunyai hak dan kewajiban yang sama dengan
pria”, hasilnya ialah dari pria 30 orang setuju dan 70 tidak sedang dari wanita 45 orang
setuju dan 55 tidak.
Jika pria dari populasi 1 dan wanita dari populasi 2, dapat dinyatakan bahwa peluang setuju
untuk populasi ke i = Pi ( i = 1, 2, jadi untuk uji homogenitas dua populasi kita menguji H 0
yang berbunyi : P1  P2 .
Tabel 9.1
Kerangka Hubungan
Pria
Wanita
Jumlah
S
a
T
b
Jumlah
n1
c
m1
d
m2
n2
274
N
 Matematika dan Stastistika 
Di mana p1 
a
c
dan p2  . Statistik pengujiannya adalah  2 seperti pada rumus pertama
n1
n2
yaitu :
n

n  ad  bc  
2
2  
m1m2n1n2
2
n2 besar maka  2 mendekati distribusi chi kuadrat dengan derajat bebas
Untuk n1 dan
db  1 , H 0 ditolak bila  2   2 1 . Setelah data dimasukkan dalam tabel maka terlihat
sebagai berikut :
Pria
Wanita
Jumlah
Tabel 9.2
Hubungan Sex dan Tanggapan
S
T
30
70
45
55
75
125
Jumlah
100
100
200
Kita hitung statistik  2 :
2
n

2
n  ad  bc  
2  200  30  55  70  45  100 

2
 

 4,1813
m1m2n1n2
75  125  100  100
Untuk   0,05 dan db  1 maka  20,051  3,841 . Karena  2   20,051
maka H 0
ditolak berarti P1  P2 .
Kita menyelidiki hasil biakan kuman stafilokokus yang terdiri dari 4 strain, yaitu strain I, II, III
dan NT (No Typing). Sampel diambil dari luka-luka dari para pekerja tambang. Selanjutnya
dibiakkan dalam pembenihan yang berbeda yaitu pembenihan H, E dan L maka dalam hal ini
k  3 dan r  4 , hasilnya sebagai berikut :
Tabel 9.3
Pembenihan Stafilokokus
H
E
L
Strain
Subtotal
Obs Exp Obs Exp Obs Exp
I
34 30,9 47 45,9 22 26,3
103
II
19 23,4 41 34,8 18 19,8
78
III
12 12,3 14 18,3 15 10,4
41
IV
7
5,4
5
8,0
6
4,6
18
Subtotal 72
107
61
240
(GT)
275
 Matematika dan Stastistika 
1.
2.
Hitung harga harapan (expected) dengan mengalikan subtotal baris yang bersangkutan
dengan subtotal kolom yang bersangkutan kemudian dibagi dengan grand total (GT),
misalnya untuk menghitung harga harapan I – H didapat dengan mengalikan 103
(subtotl baris) dengan 72 (subtotal kolom) dan dibagi dengan 240 (GT) hasilnya ialah :
72
103 
 30,9 . Dengan cara yang sama kita hitung harga harapan setiap sel dan
240
hasilnya tercantum dalam tabel 3.
Dengan rumus 1 kita hitung chi kuadrat hasilnya:
 34  30,9 
 
2
2
30,9
 6  4,6 
  
2
4,6
 8,183
3.
db   4  1 3  1  6   0,05
4.
Dari tabel chi kuadrat kita dapatkan  20,056  12,59
5.
Karena  2  12,59 maka H 0 diterima dengan p  0,05
6.
Kesimpulan : tidak terdapat perbedaan distribusi strain kuman stafilokokus pada ketiga
pembenihan (H, E dan L).
Uji Chi Kuadrat Untuk Dependensi dan Asosiasi / Korelasi
Uji ini dipakai untuk menguji H 0 : apakah variabel X dan Y independen satu sama
lain.
1.
2.
3.
4.
Uji ini dipakai bila:
kita berhadapan dengan satu sampel
masing-masing individu/elemen dalam sampel tersebut mempunyai dua variabel
x dan y yang masing-masing merupakan data kualitatip (atau disebut atribut)
masing-masing variabel dibagi menjadi dua atau lebih kategori.
bila kita akan menguji korelasi/asosiasi dari 2 variabel tersebut kita harus melakukan
pengujian chi kuadrat dulu, bila dalam pengujian itu H 0 ditolak, yang berarti
menerima H a yang berbunyi : variabel X dan Y dependen satu sama lain, maka
dilanjutkan dengan menghitung kuat hubungan dengan rumus sebagai berikut :
C
2
2  N
C = contingency coeficient
Sifat-Sifat C :
Bila tidak terdapat hubungan antara kedua variabel maka C  0 dan C tidak dapat
mencapai nilai 1, karena bila k  r batas atas harga C merupakan fungsi jumlah
kategori ( k ) dengan demikian:
k 1
Cmax 
k
Cmax bergantung pada besarnya k dan r , jadi dua nilai C yang berasal dari tabel 3 × 3
tidak dapat dibandingkan (not comparable).
276
 Matematika dan Stastistika 
1.
2.
3.
4.
Proses penghitungan C
hitung chi kuadrat dari tabel kontingensi yang tersedia dengan mengingat syarat
perhitungan chi kuadrat
buktikan bahwa H 0 ditolak atau diterima
hitung C dan Cmax
C
hitung C corrected dengan rumus : C corr 
Cmax
Contoh :
Seorang ahli bedah saraf menyelidiki hubungan antara jenis tumor otak dengan letaknya di
otak. Untuk itu diselidiki 200 penderita tumor yang diselidiki :
Keganasan tumor : ganas, jinak, borderline. Letak tumor yang diselidiki : occipital (bagian
belakang), temporo-occipital (bagian kanan-kiri dan pelipis), frontal (depan).
Akan di uji H 0 : tidak terdapat hubungan antara jenis tumor dengan letak tumor tersebut.
Hasilnya sebagai berikut :
Tabel 9.4
Hubungan Jenis Tumor Otak dan Letaknya
Ganas
Jinak
Borderline
Subtotal
Obs Exp Obs Exp Obs Exp
Occipital 100 70,79 8
4,57
9 21,64
103
Frontal
10 29,04 25 10,08 13 8,88
48
temporal 11 21,18 9
7,35 15 6,48
35
Subtotal 121
42
37
200
(GT)
Letak
Cara :
1.
Lakukan uji chi kuadrat setelah mempersiapkan nilai harapan masing-masing sel.
2.
Hitung signifikansi chi kuadrat yang didapat dengan membandingkan hasil chi kuadrat
dengan tabel chi dengan ketentuan db   k  1 r  1  3  13  1  4 dan   0,05
Hasil hitungan chi kuadrat :
2
 2  88,09 0,05
 4   9,4 ternyata H 0 ditolak.
3.
Lanjutkan dengan menghitung C dengan rumus 2 hasilnya:
C
2
 N
2

88,09
 0,55
88,09  200
277
 Matematika dan Stastistika 
4.
Hitung Cmax dengan rumus sebagai berikut: Cmax 
k 1
31

 0,82 dengan
k
3
0,55
 0,67 di mana Ccorr  0,75 = kuat, 0,5 – 0,75 = cukup kuat. Artinya dari
0,82
hasil perhitungan C corr bahwa hubungan cukup kuat.
Ccorr 
Uji  untuk Asosiasi
Uji  hampir sama dengan uji C bedanya ialah bahwa uji  hanya untuk tabel kategorik 2 ×
2, dan nilai minimal 0 (nol) dan maksimal 1 (satu). Pada tabel yang lebih besar dari 2 × 2
tidak dapat digunakan uji asosiasi  karena nilainya mungkin lebih besar dari 1.
Cara:
1.
Seperti pada perhitungan koefisien kontingensi C maka cara penghitungan chi
kuadrat. Bila H 0 ditolak pada tingkat chi kuadrat baru dilanjutkan penghitungan
koefisien  .
2.
Untuk menghitung koefisien  digunakan rumus :  
2
N
Latihan
1)
Yang bukan termasuk Uji Wilcoxon adalah ....
A.
Uji jenjang bertanda Wilcoxon
B.
Uji jumlah jenjang Wilcoxon
C.
Uji jenjang berstrata Wilcoxon
D. Uji jumlah jenjang berstrata Wilcoxon.
2)
Uji jenjang bertanda Wicoxon merupakan pengembangan dari uji ....
A.
Tanda
B.
Hubungan
C.
Beda
D. Pengaruh
3)
Uji jumlah jenjang bertanda Wilcoxon dipergunakan untuk membandingkan perbedaan
antara dua sampel bebas. Uji ini mirip dengan uji ....
t satu sampel
A.
t dua sampel bebas
B.
t dua sampel berpasangan
C.
D. anova
4)
Uji yang dipergunakan untuk membandingkan dua perlakuan pada beberapa
kelompok/strata dan jumlah sampel pada tiap-tiap kelompok itu sama. Kalau
278
 Matematika dan Stastistika 
dibandingkan dengan uji statistika parametrik, uji jumlah jenjang berstrata Wilcoxon
setara dengan ....
A.
Uji t
B.
uji χ2
C.
Uji r
D. Uji F
5)
Uji Mc Nemar merupakan uji perbandingan dua variabel yang berpasangan atau
variabel-variabel yang memenuhi rancangan penelitian before – after. Kedua variabel
itu harus berskala ....
A.
Nominal dan dikotomi
B.
Interval
C.
Ordinal
D. Rasio
6)
Uji Mann – Whitney sama dengan uji jumlah jenjang Wilcoxon, perbedaannya
terutama dipergunakan untuk dua sampel yang berukuran tidak sama ....
A.
sama
B.
sejajar
C.
tidak sama
D. tidak sejajar
7)
Uji ini sebagai alternatif dari uji korelasi Pearson dengan asumsi di mana sampel
berasal dari populasi mempunyai distribusi normal bivariat tak terpenuhi. Uji ini
adalah ....
A.
Wilcoxon
B.
Mc Nemar
C.
Spearman
D. Mann Whitney
8)
Uji komparatif non parametris yang dilakukan pada dua variabel, di mana skala data
kedua variabel adalah nominal atau kategorik disebut dengan uji ....
A.
Mc Nemar
B.
Chi Square
C.
Mann Whitney
D. Spearman
9)
Cacah sel yang mempunyai nilai harapan < 5 tidak melebihi 20% jumlah sel seluruhnya
merupakan salah satu syarat dari uji kai kuadrat disebut dengan ....
A.
Rule of The Thumb
B.
Rule of the Bom’s
279
 Matematika dan Stastistika 
C.
D.
Rule of the Jungle
Rule of the Spons
10)
Yang termasuk uji asosiasi dibawah ini adalah ....
A.
Mc Nemar
B.
Yate’ Correction
C.
Mann Whitney
D. Coefisien phi
11)
Suatu studi ingin melihat pengaruh pemberian captopril dan diuretika terhadap
tekanan darah sistolik. Sampel terdiri atas 10 pasien mendapat captopril dengan dosis
6,25 mg dan diuretika. Pasien diukur tekanan darah sistolik sebelum pemberian obat
(x) dan 70 menit sesudah pemberian obat (y). Hasil terlihat pada tabel berikut:
Tabel Tekanan darah Sistolik Pasien sebelum dan sesudah pemberian captopril dan
diuretika
Pasien
A
B C D E
F G H I
J
Tekanan Sebelum 175 179 165 170 162 180 177 178 140 176
darah
sesudah 140 143 135 133 162 150 182 139 173 141
Apakah pengobatan tersebut efektif untuk menurunkan tekanan darah pasien-pasien
itu, pada tingkat kemaknaan 0,05.
Jawab :
Ho : pengobatan tidak efektif untuk menurunkan tekanan darah
Ha : pengobatan efektif untuk menurunkan tekanan darah
Karena variabel tekanan darah adalah skala data interval, tetapi data tidak
berdistribusi normal, maka dianalisis menggunakan Uji Jenjang Bertanda Wilcoxon.
Cara analisis Uji Jenjang Bertanda Wilcoxon adalah sebagai berikut :
a.
Berikan jenjang (rank) untuk tiap Y  X  dari terkecil ke terbesar tanpa
memperhatikan tanda beda. Bila ada dua atau lebih nilai Y  X  sama besarnya,
maka jenjang untuk tiap-tiap Y  X  adalah jenjang rata-ratanya.
b.
c.
d.
Penjual
A
B
C
D
Beri tanda + atau – pada tiap-tiap jenjang dan beda 0 tidak diperhatikan.
Jumlahkan T  semua jenjang bertanda + dan –.
Jumlah jenjang T  yang terkecil bandingkan dengan T  n .
Thit  T n .
Tekanan Darah
Sebelum  X 
Sesudah Y 
175
179
165
170
140
143
135
133
280
Beda
Y  X 
-35
-36
-30
-37
H 0 ditolak bila :
Rank
Y  X 
6
7
3
8
5,5
7
2,5
8
+
5.5
7
2,5
8
 Matematika dan Stastistika 
Tekanan Darah
Sebelum  X 
Sesudah Y 
Penjual
E
F
G
H
I
J
12)
162
180
177
178
140
176
162
150
182
139
173
141
Beda
Y  X 
0
-30
+5
-39
+33
-35
Rank
Y  X 
2
1
9
4
5
2,5
1
9
4
5,5
+
-
2,5
1
9
4
5,5
5
40
T
Nilai T hitung yang terkecil adalah 5, sedangkan nilai T tabel dengan jumlah sampel 10
dengan α = 5% sebesar 8. Kesimpulan Ho ditolak artinya pengobatan dengan captopril
dan diuretika efektif menurunkan tekanan darah.
Hasil penelitian tentang pengaruh pemakaian estrogen terhadap kejadian kanker
endometrium. Sebanyak 317 wanita dengan kanker endometrium (kasus)
dibandingkan dengan 317 wanita tanpa kanker endometrium (control). Wanita dari
kedua kelompok tersebut kemudian diteliti riwayatnya apakah sebelum diagnosis
kanker menggunakan estrogen (paling sedikit 6 bulan lamanya) atau tidak memakai
estrogen. Data sebagai berikut :
Tabel Data Studi Pengaruh Estrogen terhadap Kanker Endometrium dengan rancangan
kasus-kontrol dan pencocokan.
Kontrol
Total
Estrogen
Tanpa Estrogen
Kasus
Estrogen
25
95
120
Tanpa estrogen
10
130
140
Total
35
225
260
Jawab:
Ho : tidak ada pengaruh yang bermakna antara esterogen terhadap kanker endometrium
Ha : ada pengaruh yang bermakna antara esterogen terhadap kanker endometrium
Karena rancangan kasus kontrol dan pencocokan maka uji yang digunakan adalah Mc
Nemar:
 B  C  1

2

2
(Mc.Nemar)
BC
( 95  10  1)2
χ2 
 7,161
95  10
2
0,05
1  3,841 (nilai tabel)
Kesimpulan : karena kai kuadrat hitung lebih besar dari kai kuadrat tabel artinya Ho ditolak,
maka terdapat pengaruh yang bermakna antara estrogen terhadap kanker endometrium.
281
 Matematika dan Stastistika 
Ringkasan
Pemilihan statistik non-parametrik dapat langsung dilakukan jika jumlah sampel sangat
kecil atau skala data dari variabel yang diteliti adalah nominal atau ordinal. Dapat juga data
interval atau rasio tetapi distribusi data tidak normal atau disebut juga statistik bebas
distribusi, karena prosedur pengujiannya tidak berdasarkan asumsi distribusi populasi
normal.
Jenis-jenis statistik non-parametrik adalah sebagai berikut :
1.
Untuk uji beda:
a.
Uji beda 2 sampel adalah Uji Wilcoxon, Uji Mann-Whitney, Uji Mc. Nemar
b.
Uji beda lebih dari 2 sampel adalah Uji Kruskal Wallis dan Uji Friedman
2.
Untuk uji hubungan antar variabel: terdapat Uji Korelasi Spearman, Uji Chi Square
3.
Untuk uji pengaruh antar variabel: terdapat Uji Regresi Logistik.
4.
Uji Asosiasi: koefisien Kontingensi, Koefisien Phi.
Tes 2
1)
Kai kuadrat tidak dapat digunakan pada correlated sample (misal rancangan penelitian
sebelum – sesudah) pada data kualitatif dan dalam hal ini harus mempergunakan uji ....
A.
Mc Nemar Simetry
B.
Mann Whitney
C.
Mc Nemar
D. Yate’s correction
2)
Uji  hampir sama dengan uji C bedanya ialah bahwa uji  hanya untuk tabel
kategorik ....
A.
4×3
B.
3×2
C.
3×3
D. 2 × 2
3)
Jika data berskala ordinal atau berskala interval yang berdistribusi tidak normal atau
tidak diketahui macam distribusinya kita gunakan uji ....
A.
Non-parametrik
B.
Parametrik
C.
Kai kuadrat
D. Yate’s correction
4)
Bila distribusi sampel berasal dari satu populasi maka uji yang sesuai adalah ....
A.
Goodness of fit test
282
 Matematika dan Stastistika 
B.
C.
D.
Goodness of testimony
Goodness of profit test
Goodness of try out Test
5)
Apabila penggabungan sel menyebabkan sel dalam tabel tinggal 2 × 2 dan jika masih
tidak memenuhi syarat maka uji statistik yang digunakan adalah uji
A.
Fisher’s Exact
B.
Spearman
C.
Mc Nemar
D. Mann Whitney
6)
Uji korelasi Spearman dengan asumsi di mana sampel berasal dari populasi
mempunyai distribusi normal bivariat tak terpenuhi dan merupakan alternative dari uji
korelasi ....
A.
Bivariat
B.
Pearson
C.
Kontingensi
D. Phi
7)
Fisher’s Exact Test adalah uji yang digunakan untuk menguji kemaknaan hubungan
antara dua variabel kategorikal menggunakan pendekatan ....
A.
Matematis
B.
Inferensi
C.
Probabilitas
D. Integral
8)
Uji alternatif yang digunakan jika jumlah sampel yang kecil untuk tabel silang 2 × 2
adalah ....
A.
Yate’s correction
B.
Exact Fhiser test
C.
Koefisien Phi
D. Koefisien Kontingensi
9)
Analisis non parametrik hasil pengukuran pada subyek atau analisis yang sama,
sebelum dan sesudah memperoleh perlakuan atau intervensi atau analisis hasil
observasi kasus dan kontrol dengan pencocokan menggunakan uji ....
A.
Mann Whitney
B.
Wilcoxon
C.
Kai Kuadrat
D. Mc Nemar
283
 Matematika dan Stastistika 
10)
Yang termasuk uji parametrik di bawah ini adalah ....
A.
Korelasi Pearson
B.
Koefisien Kontingensi
C.
Korelasi Spearman
D. Koefisien Phi
11)
Sebelas pasien dari rumah sakit A dan Sembilan pasien dari rumah sakit B yang
menjalani prosedur operasi yang sama mengikuti sebuat studi. Variabel yang menjadi
perhatian adalah waktu operasi (dalam menit) sebagaimana terlihat pada tabel
berikut.
Tabel Waktu (dalam menit) yang diperlukan dalam ruang operasi di rumah sakit A dan
di rumah sakit B
Rumah Sakit A (x)
35
30
33
39
41
29
30
36
45
40
31
Rumah Sakit B(y)
45
38
42
50
48
51
32
37
46
Dapatkah ditarik kesimpulan bahwa waktu operasi di rumah sakit B lebih lama dari
pada di rumah sakit A?
Jawab :
Ho :
Waktu operasi di Rumah Sakit B sama dengan di Rumah Sakit A
Ha :
Waktu operasi di Rumah Sakit B lebih lama dari pada di Rumah Sakit A
Data dianggap tidak berdistrubusi normal, dan jumlah data berbeda sehingga
menganalisisnya menggunakan uji Mann Whitney yaitu Gabungkanlah kedua sampel
dan beri jenjang dari tiap nilai terkecil sampai nilai terbesar.
T1 dan T2
Hitunglah
jumlah
jenjang
masing-masing
sampel
misalnya
n  n  1
U1  n1n2  1 1
 T1
2
n (n  1)
U2  n1n2  2 2
 T2
2
284
 Matematika dan Stastistika 
Nilai U yang terkecil bandingkan dengan U n1 ,n2  . Dengan kriteria penarikan
kesimpulan adalah : H 0 diterima bila Uhit  U n1 ,n2  .
Rumah Sakit
A (x)
35
30
33
39
41
29
30
36
45
40
31
T1
Peringkat
7
3
6
11
12
1
2
8
14
12
4
80
Rumah Sakit
B(y)
45
38
42
50
48
51
32
37
46
Peringkat
T2
122
15
10
13
18
17
19
5
9
16
Jika disubtitusi ke rumus U1 =
U2 =
Yang digunakan sebagai nilai U yang terkecil yaitu 22 sedangkan nilai U tabel sebesar
23 berarti Ho ditolak karena U hitung < U tabel artinya waktu operasi di Rumah Sakit B
lebih lama dari pada di Rumah Sakit A.
12)
Teori Perilaku Skinner mulai banyak diterapkan untuk membentuk perilaku hidup
sehat. Telah dilakukan obeservasi perilaku konsumen dalam pemakaian garam
beriodium di sejumlah kota di Sulawesi Selatan. Selanjutnya dilakukan obeservasi
perilaku pemakaian garam beriodium pada 1000 konsumen di sejumlah pasar modern
dan tradisional, sebelum dan sesudah intervensi pemasaran sosial. Dengan tingkat
kemaknaan 5%, dapatkan anda membuktikan bahwa intervensi tersebut berhasil
mengubah perilaku konsumsi garam beriodium. Hasilnya tampak pada data berikut :
Sesudah
Total
Garam
Beriodium
Bukan garam
beriodium
Sebelum
Garam
Bukan garam
Beriodium
beriodium
300
300
Total
600
150
250
400
450
550
1000
285
 Matematika dan Stastistika 
Jawab :
Ho : Intervensi tidak merubah perilaku konsumsi garam beriodium
Ha : Intervensi merubah perilaku konsumsi garam beriodium
Karena data before after, maka digunakan uji Mc Nemar
 B  C  1

2

2
(Mc.Nemar)
BC
( 95  10  1)2
χ2 
 7,161
95  10
2
0,05
1  3,841 (nilai tabel)
Kesimpulan : karena kai kuadrat hitung lebih besar dari kai kuadrat tabel artinya Ho ditolak,
maka intervensi merubah perilaku konsumsi garam beriodium.
286
 Matematika dan Stastistika 
Kunci Jawaban Tes Formatif
Tes 1
1)
A
2)
C
3)
B
4)
D
5)
A
6)
C
7)
A
8)
A
9)
C
10) A
Tes 2
1)
A
2)
D
3)
A
4)
A
5)
A
6)
B
7)
C
8)
B
9)
D
10) A
287
 Matematika dan Stastistika 
Daftar Pustaka
Chandra Budiman, 1995. Pengantar Statistik Kesehatan. Jakarta: EGC.
Dajan Anto, 1986. Pengantar Metode Statistik Jilid II. Jakarta: LP3ES.
Daniel Wayne W. 1989. Statistika Nonparametrik Terapan. Jakarta: Gramedia.
Kuntoro, 2002. Pengantar Teori Probabilitas. Surabaya: Pustaka Melati.
………., 2011. Metode Statistik Edisi Revisi. Surabaya: Pustaka Melati.
Murti Bhisma, 1996. Penerapan Metode Non-Parametrik dalam Ilmu-Ilmu Kesehatan.
Jakarta: Gramedia Pustaka Utama.
Nurgiyantoro Burhan, Gunawan, Marzuki, 2000. Statistik Terapan Untuk Ilmu-Ilmu Sosial.
Yogyakarta: Gadjah Mada University Press.
Saleh Samsubar, 1996. Statistik Nonparametrik Edisi 2. Yogyakarta: BPFE.
Siegel Sidney, 1997. Statistik Nonparametrik untuk Ilmu-Ilmu Sosial. Gramedia.
Sugiyono, 2003. Statistik Nonparametris untuk Penelitian. Bandung: Alfabeta.
Siagian, Dergibson & Sugiarto, 2002. Metode Statistika untuk Bisnis dan Ekonomi, PT
Gramedia Pustaka Utama Jakarta. ISBN 979-655-924-2
Walpole, Ronald E, 1993. Pengantar Statistika, PT Gramedia Pustaka Utama. Jakarta ISBN
979-403-313-8
Ross, Sheldon, 1976. A First Course in Probability.
R. A. Fisher 1925. Statistical Methods for Research Workers, Edinburgh: Oliver and Boyd,
1925, p.43.
Cramer, Duncan; Dennis Howitt. 2004. The Sage Dictionary of Statistics. p. 76.
ISBN 076194138X.
Lehmann, E.L.; Romano, Joseph P. 2005. Testing Statistical Hypotheses (3E ed.). New York:
Springer.ISBN 0387988645.
288
 Matematika dan Stastistika 
NIST handbook: Two-Sample t-Test for Equal Means
Steel, R.G.D, and Torrie, J. H., Principles and Procedures of Statistics with Special Reference to
the Biological Sciences., McGraw Hill, 1960, page 350.
Weiss, Neil A. 1999. Introductory Statistics (5th ed.). p. 802. ISBN 0-201-59877-9.
NIST handbook: F-Test for Equality of Two Standard Deviations (Testing standard deviations
the same as testing variances)
289
 Matematika dan Stastistika 
Lampiran
Lampiran 1
Fungsi Distribusi pada Distribusi Probabilitas Khi-Kuadrat
20,001
0,000
0,002
0,024
0,091
0,210
20,005
0,000
0,010
0,072
0,207
0,412
20,01
0,000
0,020
0,115
0,297
0,554
20,025
0,001
0,051
0,216
0,484
0,831
20,05
0,004
0,103
0,352
0,711
1,145
20,10
0,016
0,211
0,584
1,064
1,610
20,20
0,064
0,446
1,005
1,649
2,343
20,30
0,148
0,713
1,424
2,195
3,000
20,40
0,275
1,022
1,869
2,753
3,655
20,50 dk
0,455 1
1,386 2
2,366 3
3,357 4
4,351 5
6
7
8
9
10
0,381
0,598
0,857
1,152
1,479
0,676
0,989
1,344
1,735
2,156
0,872
1,239
1,646
2,088
2,558
1,237
1,690
2,180
2,700
3,247
1,635
2,167
2,733
3,325
3,940
2,204
2,833
3,490
4,168
4,865
3,070
3,822
4,594
5,380
6,179
3,828
4,671
5,527
6,393
7,267
4,570
5,493
6,423
7.357
8,295
5,348 6
6,346 7
7,344 8
8,343 9
9,342 10
11
12
13
14
15
1,834
2,214
2,617
3,041
3,483
2,603
3,074
3,565
4,075
4,601
3,053
3,571
4,107
4,660
5,229
3,816
4,404
5,009
5,629
6,262
4,575
5,226
5,892
6,571
7,261
5,578 6,989 8,418 9,237
6,304 7,807 9,034 10,182
7,042 8,634 9,926 11,129
7,790 9,467 10,821 12,078
8,547 10,307 11,721 13,030
16
17
18
19
20
3,942
4,416
4,905
5,407
5,921
5,142
5,697
6,265
6,844
7,434
5,812
6,408
7,015
7,633
8,260
6,908
7,564
8,231
8,907
9,591
7,962
8,672
9,390
10,117
10,851
21
6,447
8,034
8,897 10,283 11,591 13,240 15,445 17,132 18,768 20,337 21
22
23
24
25
6,983 8,643 9,542 10,982 12,338
7,529 9,260 10,196 11,689 13,091
8,085 9,886 10,856 12,401 13,848
8,649 10,520 11,524 13,120 14,611
dk
1
2
3
4
5
26
27
28
29
30
31
9,222
9,803
10,391
10,986
11,588
12,196
11,160
11,808
12,461
13,121
13,787
14,458
12,198
12,879
13,565
14,256
14,953
15,655
13,844
14,573
15,308
16,047
16,791
17,539
15,379
16,151
16,928
17,708
18,493
19,281
9,312
10,085
10,865
11,651
12,443
11,152
12,002
12,857
13,716
14,578
12,624
13,531
14,440
15,352
16,266
10,341
11,340
12,340
13,339
14,339
11
12
13
14
15
13,983 15,338 16
14,937 16,338 17
15,893 17,338 18
16,850 18,338 19
17,809 19,337 20
14,041
14,848
15,659
16,473
16,341
17,168
18,062
18,940
18,101
19,021
19,943
20,867
19,729
20,690
21,652
22,616
21,337
22,337
23,337
24,337
22
23
24
25
17,292
18,114
18,939
19,768
20,599
21,434
19,820
20,703
21,588
22,475
23,364
24,255
21,792
22,719
23,647
24,577
25,508
26,440
23,579
24,544
25,509
26,475
27,442
28,409
25,336
26,336
27,336
28,336
29,336
30,336
26
27
28
29
30
31
290
 Matematika dan Stastistika 
32
33
34
35
12,811
13,431
14,057
14,688
15,134
15,815
16,501
17,192
16,362
17,074
17,789
18,509
18,291
19,047
19,806
20,569
20,072
20,867
21,664
22,465
22,271
23,110
23,952
24,797
25,148
26,042
26,938
27,836
27,373
28,307
29,242
30,178
29,376
30,344
31,313
32,282
31,336
32,336
33,336
34,336
32
33
34
35
36
37
38
39
40
15,324
15,965
16,611
17,262
17,916
17,887
18,586
19,289
19,996
20,707
19,233
19,960
20,691
21,426
22,164
21,336
22,106
22,878
23,654
24,433
23,269
24,075
24,884
25,695
26,509
25,643
26,492
27,343
28,196
29,051
28,735
29,635
30,537
31,441
32,345
31,115
32,053
32,992
33,932
34,872
33,252
34,222
35,192
36,163
37,134
35,336
36,336
37,335
38,335
39,335
36
37
38
39
40
dk
41
42
43
44
45
20,001
18,575
19,239
19,906
20,576
21,251
20,005
21,421
22,138
22,859
23,584
24,311
20,01
22,906
23,605
24,398
25,148
25,901
20,025
25,215
25,999
26,785
27,575
28,366
20,05
27,326
28,144
28,965
29,787
30,612
20,10
29,907
30,765
31,625
32,487
33,350
20,20 20,30 20,40 20,50 dk
33,251 35,813 38,105 40,335 41
34,157 36,755 39,077 41,335 42
35,065 37,698 40,050 42,335 43
35,974 38,641 41,022 43,335 44
36,884 39,585 41,995 44,335 45
46
47
48
49
50
21,929
22,610
23,295
23,983
24,674
25,041
25,775
26,511
27,349
27,991
26,657
27,416
28,177
28,941
29,707
29,160
29,956
30,755
31,555
32,357
31,439
32,268
33,098
33,930
34,764
34,215
35,081
35,949
36,818
37,689
37,795
38,708
39,620
40,534
41,449
40,529
41,474
42,420
43,366
44,313
42,948
43,942
44,915
45,889
46,864
45,335
46,335
47,335
48,335
49,335
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
25,368
26,065
26,765
27,468
28,173
28,735
29,481
30,230
30,981
31,735
30,475
31,246
32,018
32,793
33,570
33,162
33,968
34,276
35,586
36,398
35,600
36,437
37,276
38,116
38,958
38,560
39,433
40,308
41,183
42,060
42,365
43,281
44,199
45,117
46,036
45,261
46,209
47,157
48,106
49,055
47,838
48,913
49,788
50,764
51,739
50,335
51,335
52,335
53,335
54,335
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
28,881
29,592
30,305
31,020
31,738
32,490
33,248
34,008
34,770
35,534
34,350
35,131
35,913
36,698
37,485
37,212
38,027
38,844
39,662
40,482
39,801
40,646
41,492
42,339
43,188
42,937
43,816
44,696
45,577
46,459
46,955
47,875
48,797
49,718
50,641
50,005
50,956
51,906
52,858
53,809
52,715
53,691
54,667
55,643
56,620
55,335
56,335
57,335
58,335
59,335
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
32,439
33,181
33,906
34,633
35,362
36,300
37,068
37,838
38,610
39,383
38,273
39,063
39,855
40,649
41,444
41,303
42,126
42,950
43,776
44,603
44,038
44,889
45,741
46,595
47,450
47,342
48,226
49,111
49,996
50,883
51,564
52,487
53,412
54,336
55,262
54,761
55,714
56,666
57,620
58,573
57,597
58,574
59,551
60,528
61,506
60,335
61,335
62,335
63,335
64,335
61
62
63
64
65
291
 Matematika dan Stastistika 
66
67
68
69
70
36,093
36,826
37,561
38,298
39,036
40,158
40,935
41,713
42,494
43,275
42,240
43,038
43,838
44,639
45,442
45,431
46,261
47,092
47,924
48,758
48,305
49,162
50,020
50,879
51,739
51,770
52,659
53,548
54,438
55,329
56,188
57,115
58,042
58,970
59,898
59,527
60,481
61,436
62,391
63,346
62,484
63,461
64,440
65,418
66,396
65,335
66,335
67,335
68,334
69,334
66
67
68
79
70
71
72
73
74
75
39,777
40,519
41,264
42,010
42,757
44,058
44,843
45,629
46,417
47,206
46,246
47,051
47,858
48,666
49,475
49,592
50,428
51,265
52,103
52,942
52,600
53,462
54,325
55,189
56,054
56,221
57,113
58,006
58,900
59,795
60,827
61,756
62,686
63,616
54,547
64,302
65,258
66,214
67,170
68,127
67,375
68,353
69,332
70,311
71,290
70,334
71,334
72,334
73,334
74,334
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
43,507
44,258
45,010
45,764
46,520
47,997
48,788
49,582
50,376
51,172
50,286
51,097
51,910
52,725
53,540
53,782
54,623
55,466
56,309
57,153
56,920
57,786
58,654
59,522
60,391
60,690
61,586
62,483
63,380
64,278
65,478
66,409
67,431
68,274
69,207
69,084
70,042
70,999
71,957
72,915
72,270
73,249
74,228
75,208
76,188
75,334
76,334
77,334
78,334
79,334
76
77
78
79
80
dk
81
82
83
84
85
20,001
47,277
48,036
48,796
49,557
50,320
20,005
51,969
52,767
53,567
54,368
55,170
20,01
54,357
55,174
55,993
56,813
57,634
20,025
57,998
58,845
59,692
60,540
61,389
20,05
61,261
62,132
63,004
63,876
64,749
20,10
65,176
66,076
66,976
67,876
68,777
20,20 20,30 20,40 20,50 dk
70,140 73,874 77,168 80,334 81
71,074 74,833 78,148 81,334 82
72,008 75,792 79,128 82,344 83
72,943 76,751 80,108 83,334 84
73,878 77,710 81,089 84,334 85
86
87
88
89
90
51,085
51,850
52,617
53,386
54,155
55,973
56,777
57,582
58,389
59,196
58,456
59,279
60,103
60,928
61,754
62,239
63,089
63,941
64,793
65,647
65,623
66,498
67,737
68,249
69,126
69,679
70,581
71,484
72,387
73,291
74,813
75,749
76,685
77,622
78,558
78,670
79,630
80,590
81,550
82,511
82,069
83,050
84,031
85,012
85,993
85,334
86,334
87,334
88,334
89,334
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
54,926
55,698
56,472
57,246
58,022
60,005
60,815
61,625
62.437
63,250
62,581
63,409
64,238
65,068
65,898
66,501
67,356
68,211
69,068
69,925
70,003
70,882
71,760
72,640
73,520
74,196
75,100
76,006
76,912
77,818
79,496
80,433
81,371
82,309
83,248
83,472
84,433
85,394
86,356
87,317
86,974
87,955
88,936
89,917
90,899
90,334
91,334
92,334
93,334
94,334
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
58,799
59,577
60,356
61,137
61,918
64,063
64,878
65,694
66,510
67,328
66,730
67,562
68,396
69,230
70,065
70,783
71,642
72,501
73,361
74,222
74,401
75,282
76,164
77,046
77,929
78,725
79,633
80,541
81,449
82,358
84,187
85,126
86,065
87,005
87,945
88,279
89,241
90,204
91,166
92,129
91,881
92,862
93,844
94,826
95,808
95,334
96,334
97,334
98,334
99,334
96
97
98
99
100
292
 Matematika dan Stastistika 
dk
1
2
3
4
5
20,50
20,60
20,70 20,80 20,90 20,95
0,455 0,708 1,074 1,642 2,706 3,841
1,386 1,833 2,408 3,219 4,605 5,991
2,366 2,946 3,665 4,642 6,251 7,815
3,357 4,045 4,878 5,989 7,779 9,488
4,351 5,132 6,064 7,289 9,236 11,070
6
7
8
9
10
5,348 6,211 7,231 8,558
6,346 7,283 8,383 9,803
7,344 8,351 9,524 11,030
8,343 9,414 10,656 12,242
9,342 10,473 11,781 13,442
20,975
5,024
7,378
9,348
11,143
12,832
20,99
6,635
9,210
11,345
13,277
15,086
20,995 20,999 dk
7,879 10,828 1
10,597 13,815 2
12,838 16,266 3
14,860 18,467 4
16,750 20,515 5
10,645
12,017
13,362
14,684
15,987
12,592
14,067
15,507
16,919
18,307
14,449
16,013
17,535
19,023
20,483
16,812
18,475
20,090
21,666
23,209
18,548
20,278
21,955
23,589
25,188
22,458
24,322
26,124
27,877
29,588
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10,341
11,340
12,340
13,339
14,339
11,530
12,584
13,636
14,685
15,733
12,899
14,011
15,119
16,222
17,322
14,631
15,812
16,985
18,151
19,311
17,275
18,549
19,812
21,064
22,307
19,675
21,026
22,362
23,685
24,996
21,920
23,337
24,736
26,119
27,488
24,725
26,217
27,688
29,141
30,578
26,757
28,299
29,819
31,319
32,801
31,264
32,909
34,528
36,123
37,697
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
15,338
16,338
17,338
18,338
19,337
16,780
17,824
18,868
19,910
20,951
18,418
19,511
20,601
21,689
22,775
20,465
21,615
22,760
23,900
25,037
23,542
24,769
25,989
27,204
28,412
26,296
27,587
28,869
30,144
31,410
28,845
30,191
31,526
32,852
34,170
32,000
33,409
34,805
36,191
37,566
34,267
35,718
37,156
38,582
39,997
39,252
40,790
42,312
43,820
45,315
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
20,337
21,337
22,337
23,337
24,337
21,991
23,031
24,069
25,106
26,143
23,858
24,939
26,018
27,096
28,172
26,171
27,301
28,429
29,553
30,675
29,615
30,813
32,007
33,196
34,382
32,671
33,924
35,172
36,415
37,652
35,479
36,781
38,076
39,364
40,646
38,932
40,289
41,638
42,980
44,314
41,401
42,796
44,181
45,558
46,928
46,797
48,268
49,728
51,178
52,620
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
25,336
26,336
27,336
28,336
29,336
27,179
28,214
29,249
30,283
31,316
29,246
30,319
31,391
32,461
33,530
31,795
32,912
34,027
35,139
36,250
35,563
36,741
37,916
39,087
40,256
38,885
40,115
41,337
42,557
43,773
41,923
43,195
44,461
45,722
46,979
45,642
46,963
48,278
49,588
50,692
48,290
49,645
50,993
52,336
53,672
54,052
55,476
56,892
58,301
59,703
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
30,336
31,336
32,336
33,336
34,336
32,349
33,381
34,413
35,444
36,475
34,598
35,665
36,731
37,795
38,859
37,359
38,466
39,572
40,676
41,778
41,422
42,585
43,745
44,903
46,059
44,985
46,194
47,400
48,602
49,802
48,232
49,480
50,725
51,966
53,203
52,191
53,486
54,776
56,061
57,342
55,003
56,328
57,648
58,964
60,275
61,098
62,487
63,870
65,247
66,619
31
32
33
34
35
293
 Matematika dan Stastistika 
36
37
38
39
40
35,336
36,336
37,335
38,335
39,335
37,505
38,535
39,564
40,593
41,622
39,922
40,984
42,045
43,105
44,165
42,879
43,978
45,076
46,173
47,269
47,212
48,363
49,513
50,660
51,805
50,998
52,192
53,384
54,572
55,758
dk
41
42
43
44
45
20,50
40,355
41,335
42,335
43,445
44,335
20,60
42,651
43,479
44,706
45,734
46,761
20,70
45,224
46,282
47,339
48,396
49,452
20,80
48,363
49,456
50,548
51,639
52,729
20,90
52,949
54,090
55,230
56,369
57,505
20,95
56,942
58,124
59,303
60,481
61,656
20,975
60,561
61,777
62,990
64,201
65,410
46
47
48
49
50
45,335
46,335
47,335
48,335
49,335
47,787
48,814
49,840
50,866
51,892
50,507
51,562
52,616
53,670
54,723
53,818
54,906
55,993
57,079
58,164
58,641
59,774
60,907
62,038
63,167
62,830
64,001
65,171
66,339
67,505
66,617
67,821
69,023
70,222
71,420
71,201
72,443
73,683
74,919
76,154
74,436
75,704
76,969
78,231
79,490
81,400
82,720
84,037
85,350
86,661
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
50,335
51,335
52,335
53,335
54,335
52,917
53,942
54,967
55,992
57,016
55,775
56,827
57,879
58,930
59,980
59,248
60,332
61,414
62,496
63,577
64,295
65,422
66,548
67,673
68,796
68,669
69,832
70,993
72,153
73,311
72,616
73,810
75,002
76,192
77,380
77,386
78,616
79,843
81,069
82,292
80,747
82,001
83,253
84,502
85,749
87,968
89,272
90,573
91,872
93,167
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
55,335
56,335
57,335
58,335
59,335
58,040
59,064
60,088
61,111
62,135
61,031
62,080
63,129
64,178
65,227
64,658
65,737
66,816
67,894
68,972
69,919
71,040
72,160
73,279
74,397
74,468
75,624
76,778
77,931
79,082
78,567
79,752
80,936
82,117
83,298
83,513
84,733
85,950
87,166
88,379
86,994
88,236
89,477
90,715
91,952
94,460
95,751
97,039
98,324
99,607
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
60,335
61,335
62,335
63,335
64,335
63,158
64,181
65,204
66,226
67,249
66,274
67,322
68,369
69,416
70,462
70,049
71,125
72,201
73,276
74,351
75,514
76,630
77,745
78,860
79,973
80,232
81,381
82,529
83,675
84,821
84,476
85,654
86,830
88,004
89,177
89,591
90,801
92,010
93,217
94,433
93,186 100,888
94,419 102,166
95,649 103,442
96,878 104,716
98,105 105,988
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
65,335
66,335
67,335
68,334
69,334
68,271
69,293
70,315
71,337
72,358
71,508
72,554
73,600
74,645
75,689
75,424
76,498
77,571
78,643
79,715
81,085
82,197
83,308
84,418
85,527
85,965
87,108
88,250
89,391
90,531
90,349 95,626 99,330 107,258
91,529 96,828 100,554 108,525
92,689 98,028 101,776 109,791
93,856 99,227 102,996 111,055
95,023 100,425 104,215 112,317
66
67
68
69
70
294
54,437
55,668
56,896
58,120
59,342
58,619
59,892
61,162
62,428
63,691
61,581
62,883
64,181
65,476
66,766
67,985
69,346
70,703
72,055
73,402
36
37
38
39
40
20,99 20,995 20,999 dk
64,950 68,053 74,745 41
66,206 69,336 76,084 42
67,459 70,616 77,418 43
68,709 71,893 78,749 44
69,957 73,166 80,077 45
 Matematika dan Stastistika 
71
72
73
74
75
70,334
71,334
72,334
73,334
74,334
73,380
74,401
75,422
76,443
77,464
76,734
77,778
78,821
79,865
80,908
80,786
81,857
82,927
83,997
85,066
86,635
87,743
88,850
89,956
91,061
91,670 96,189 101,621 105,432 113,577
92,808 97,353 102,816 106,648 114,835
93,945 98,516 104,010 107,862 116,091
95,081 99,678 105,202 109,074 117,364
96,217 100,839 106,393 110,286 118,599
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
75,334
76,334
77,334
78,334
79,334
78,485
79,505
80,526
81,546
82,566
81,951
82,994
84,036
85,078
86,120
86,135
87,203
88,271
89,338
90,405
92,166 97,351 101,999 107,583 111,495 119,850
93,270 98,780 103,158 108,771 112,704 121,100
94,374 99,880 104,316 109,958 113,911 122,348
95,476 100,980 105,473 111,144 115,117 123,594
96,578 102,079 106,629 112,329 116,321 124,839
76
77
78
79
80
dk
81
82
83
84
85
20,50
89,334
81,334
82,334
83,334
84,334
20,60
83,586
84,606
85,626
86,646
87,665
20,70
87,161
88,202
89,243
90,284
91,325
20,80 20,90
91,472 97,680
92,538 98,780
93,604 99,880
94,669 100,980
95,734 102,079
86
87
88
89
90
85,334
86,334
87,334
88,334
89,334
88,685
89,704
90,723
91,742
92,761
91
92
93
94
95
90,334
91,334
92,334
93,334
94,334
96
97
98
99
100
20,95 20,975 20,99 20,995 20,999 dk
103,010 107,783 113,512 117,524 126,082
104,139 108,937 114,695 118,726 127,324
105,267 110,090 115,876 119,927 128,565
106,395 111,242 117,057 121,126 129,804
107,522 112,393 118,236 122,325 131,041
81
82
83
84
85
92,365 96,799 103,177
93,405 97,863 104,139
94,445 98,927 105,267
95,484 99,991 106,395
96,524 101,054 107,522
108,648
109,773
110,898
112,022
113,145
113,544 119,414 123,522 132,277
114,693 120,591 124,718 133,512
115,841 121,767 125,912 134,745
116,989 122,942 127,106 135,977
118,136 124,116 128,299 137,208
86
87
88
89
90
93,780 97,563 102,117 108,661
94,799 98,602 103,179 109,756
95,818 99,641 104,241 110,850
96,836 100,679 105,303 111,944
97,855 101,717 106,364 113,038
114,268
115,390
116,511
117,632
118,752
119,282 125,289 129,490 138,438
120,427 126,462 130,681 139,666
121,571 127,633 131,871 140,893
122,715 128,803 133,059 142,119
123,858 129,973 134,246 143,343
91
92
93
94
95
95,334 98,873 102,755 107,425 114,131
96,334 99,892 103,793 108,486 115,223
97,334 100,910 104,831 109,574 116,315
98,334 101,928 105,868 110,607 117,407
99,334 102,946 106,906 111,667 118,498
119,871
120,990
122,108
123,225
124,342
125,000 131,141 135,433 144,576 96
126,141 132,309 136,619 145,789 97
127,282 133,476 137,803 147,010 98
128,422 134,642 138,987 148,230 99
129,561 135,807 140,169 149,449 100
295
 Matematika dan Stastistika 
Lampiran 2
Tabel Nilai Kritis J pada Uji Wilcoxon
n
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
 = 0,01
--0
2
3
5
7
10
13
16
20
23
28
32
38
43
49
55
61
68
296
 = 0,05
0
2
4
6
8
11
14
17
21
25
30
35
40
46
52
59
66
73
81
89
 Matematika dan Stastistika 
Lampiran 3
Tabel Nilai Kritis untuk Statistik U
Pada Uji Mann-Whitney
 = 0,025 pada satu ujung atau  = 0,05 pada dua ujung
N1/n2 9
1
2
0
3
2
4
4
5
7
6 10
7 12
8 15
9 17
10 20
11 23
12 26
13 28
14 31
15 34
16 37
17 39
18 42
19 45
20 48
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0
3
5
8
11
14
17
20
23
26
29
33
36
39
42
45
48
52
55
0
3
6
9
13
16
19
23
26
30
33
37
40
44
47
51
55
58
62
1
4
7
11
14
18
22
26
29
33
37
41
45
49
53
57
61
65
69
1
4
8
12
16
20
24
28
33
37
41
45
50
54
59
63
67
72
76
1 1 1 2 2 2 2
5 5 6 6 7 7 8
9 10 11 11 12 13 13
13 14 15 17 18 19 20
17 19 21 22 24 25 27
22 24 26 28 30 32 34
26 29 31 34 36 38 41
31 34 37 39 42 45 48
36 39 42 45 48 52 55
40 44 47 51 55 58 62
45 49 53 57 61 65 69
50 54 59 63 67 72 76
55 59 64 67 74 78 83
59 64 70 75 80 85 90
64 70 75 81 86 92 98
67 75 81 87 93 99 105
74 80 86 93 99 106 112
78 85 92 99 106 113 119
83 90 98 105 112 119 127
297
Download
Random flashcards
Rekening Agen Resmi De Nature Indonesia

9 Cards denaturerumahsehat

Rekening Agen Resmi De Nature Indonesia

9 Cards denaturerumahsehat

English Training Melbourne

2 Cards Einstein College of Australia

Dokumen

2 Cards oauth2_google_646e7a51-ae0a-49c7-9ed7-2515744db732

Dokumen

2 Cards oauth2_google_646e7a51-ae0a-49c7-9ed7-2515744db732

Create flashcards