Hak Cipta dan Hak Penerbitan dilindungi Undang-undang Cetakan pertama, Desember 2016 Penulis : 1. Rudy Hartono, SKM.,M.Kes 2. Rahmat Kamaruddin, S.Si Pengembang Desain Instruksional : Drs. Pramono Sidi, M.Si Desain oleh Tim P2M2 : Kover & Ilustrasi : Tata Letak : Sunarti Nono Suwarno Jumlah halaman 306 : Matematika dan Statistik DAFTAR ISI BAB I: BILANGAN Topik 1. Pengantar Konsep Bilangan dan Bilangan Bulat ……………........................................ Latihan ………………………………………….............................................................................. Ringkasan …………………………………................................................................................... Tes 1 ……………………………..……......................................................................................... 1 2 5 6 6 Topik 2. Pengantar Konsep Bilangan dan Bilangan Bulat ...................................................... Latihan ……………………………………..............................................……............................... Ringkasan ………………………………….................................................................................. Tes 2 ……………………….…………………..……......................................................................... 8 16 17 17 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................. DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 19 20 BAB II: FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA 21 Topik 1. Keterlibatan Mahasiswa ................................................................................... Latihan ………………………………………….............................................................................. Ringkasan ………………………………….................................................................................. Tes 1 ……………………….…………………..……......................................................................... 22 25 27 27 Topik 2. Persamaan Fungsi Logaritma Latihan ……………………………………..............................................……............................... Ringkasan ………………………………….................................................................................. Tes 2 ……………………….…………………..……......................................................................... 29 37 38 38 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................. 40 41 BAB III: SATUAN PENGUKURAN DAN KONSENTRASI 42 Topik 1. Disiplin Dalam Standar Pelayanan Kebidanan ……………………………………………………… Latihan ………………………………………….............................................................................. Ringkasan ………………………………….................................................................................. Tes 1 ……………………….…………………..……......................................................................... 43 46 48 48 iii Matematika dan Statistik Topik 2. Memahami Konsentrasi Latihan ……………………………………..............................................……............................... Ringkasan ………………………………….................................................................................. Tes 2 ……………………….…………………..……......................................................................... 50 54 56 56 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................. 58 59 BAB IV: TURUNAN (DERIVATIF) 60 Topik 1. Definisi dan Rumus-Rumus Turunan ................................................................... Latihan ………………………………………….............................................................................. Ringkasan …………………………………................................................................................... Tes 1 .……………………….…………………..……......................................................................... 61 63 64 65 Topik 2. Jenis-Jenis Turunan Latihan ..……………………………………..............................................……............................... Ringkasan ..…………………………………................................................................................. Tes 2 .……………………….…………………..……......................................................................... 67 76 78 78 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 81 82 BAB V: PENGGUNAAN TURUNAN 83 Topik 1. Menentukan Garis Singgung, Garis Normal serta Nilai Maksimum dan Minimum Latihan ………………………………………….............................................................................. Ringkasan …………………………………................................................................................... Tes 1 ……………………….…………………..……......................................................................... 84 91 93 93 Topik 2. Menentukan Titik Ekstrim Latihan …………………….………………..............................................……............................... Ringkasan ……….……………………………............................................................................... Tes 2 ……………….……….…………………..……......................................................................... 95 102 103 103 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 106 107 iv Matematika Statistik BAB VI: INTEGRAL 108 Topik 1. Integral Tak Tentu ............................................................................................. Latihan ………….……………………………………....................................................................... Ringkasan ……..…………………………………........................................................................... Tes 1 ……………………….…………………..……......................................................................... 110 114 115 115 Topik 2. Integral Tentu Latihan ……………………………………..............................................……............................... Ringkasan ………………………………….................................................................................. Tes 2 ……………………….…………………..……......................................................................... 118 121 122 122 Topik 3. Integral Parsial dan Penggunaan Integral ............................................................ Latihan ……………………………………..............................................……............................... Ringkasan ………………………………….................................................................................. Tes 3 ……………………….…………………..……......................................................................... 124 136 136 137 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 139 140 BAB VII: STATISTIKA DESKRIPTIF 141 Topik 1. Konsep Dasar Statistik ...................................................................................... Latihan ………………………………………….............................................................................. Ringkasan ………………………………….................................................................................. Tes 1 ……………………….…………………..……......................................................................... 142 158 159 160 Topik 2. Konsep Probabilitas Latihan …….………………………………..............................................……............................... Ringkasan ….……………………………….................................................................................. Tes 2 .……………………….…………………..……......................................................................... 162 178 180 180 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 183 184 BAB VIII: STATISTIKA INFERENSIAL 185 Topik 1. Konsep Dasar Statistika Inferensial .................................................................... v 186 Matematika dan Statistik Latihan ………………………………………….............................................................................. Ringkasan …………………………………................................................................................... Tes 1 ……………………….…………………..……......................................................................... 199 201 202 Topik 2. Statistik Parametrik Latihan ……………………………………..............................................……............................... Ringkasan ………………………………….................................................................................. Tes 2 ……………………….…………………..……......................................................................... 205 233 237 238 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... LAMPIRAN ……………….............................................................................................. 242 244 BAB IX: STATISTIKA NON-PARAMETRIK 252 Topik 1. Konsep Dasar Statistika Non-Parametrik ............................................................... Latihan …………………………………….........…....................................................................... Ringkasan ………………………………….................................................................................. Tes 1 ……………………….…………………..……......................................................................... 253 257 259 259 Topik 2. Aplikasi Statistik Non Parametrik ....................................................................... Latihan ……………………………………..............................................……............................... Ringkasan ………………………………….................................................................................. Tes 2 ……………………….…………………..……......................................................................... 262 278 282 282 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... LAMPIRAN .............................................................................................................. 287 288 290 vi Matematika dan Stastistika BAB I BILANGAN Rudy Hartono dan Rahmat Kamaruddin PENDAHULUAN Dalam menghitung (counting), matematikawan biasanya tidak menghitung jumlah dari objek-objek dalam suatu koleksi pada suatu waktu, tetapi lebih mencari untuk menentukan pola-pola dan hubungan di antara objek-objek yang memungkinkan mereka untuk menghitung dengan cara tidak langsung. Dalam hal ini, menghitung terjadi dalam banyak bagian dari matematika dan sering melibatkan metode-metode yang cukup canggih. Pada Bab 1 ini disajikan beberapa topik mengenai bilangan, yang terbagi dalam beberapa topik yang harus dipelajari sebagai dasar untuk melakukan operasi-operasi dasar yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Topik 1 pada modul ini dibahas secara detail mengenai konsep bilangan, mulai dari definisi yang paling sederhana sampai ke yang agak rumit. Pada Topik 1 ini juga dibahas tentang bilangan bulat beserta sifat-sifat bilangan asli N mulai dari sifat tertutup, sifat komutatif, sifat asosiatif sifat modulus, sifat distributive dan sifat invers. Topik 2, memuat tentang bilangan pecahan dan pengembangannya serta bilangan lainnya yang terdiri dari presentase, bilangan desimal, bilangan real, pertidaksamaan dan nilai mutlak. Pada Topik 2 ini dilengkapi beberapa contoh soal latihan yang harus saudara selesaikan sendiri. Secara keseluruhan, setelah mempelajari modul ini, diharapkan anda dapat: 1. Membuktikan sifat-sifat operasi yang berlaku di antara himpunan-himpunan; 2. Mengenal/menjelaskan macam-macam bilangan dan operasinya; 3. Mengerti sifat-sifat operasi yang berlaku; 4. Mengerti sifat terurut sempurna dalam bilangan asli N ; 5. Mengerti dan dapat menggunakan prinsip pertidaksamaan; 6. Mengerti nilai mutlak dan operasinya. Sebagai bekal/bahan utama dalam memahami bilangan, pelajari bab ini seteliti mungkin karena Bab 1 ini merupakan modul dasar untuk itu. Ikuti petunjuk, baik pada contoh, latihan maupun petunjuk jawaban soal latihan. Apabila dalam satu topik masih belum dipahami, coba ulang kembali dan begitu seterusnya. 1 Matematika dan Stastistika Topik 1 Pengantar Konsep Bilangan dan Bilangan Bulat Dalam topik ini akan dibahas materi konsep bilangan dan apa yang kita sebut dengan bilangan bulat. Untuk mempelajari topik ini, ada baiknya kita perhatikan suatu kejadian sehari-hari yang terjadi di sekitar kita. Coba perhatikan keadaan berikut: PENGANTAR KONSEP BILANGAN Di toko pakaian, Anda membeli 5 barang dengan harga Rp17.000, Rp22.000, Rp18.000, Rp23.000, dan Rp19.000. Berapa kira-kira Anda harus membayar? Apakah Rp25.000, Rp50.000, Rp100.000, Rp200.000, atau Rp400.000? Jika Anda melihat harga setiap barang dan kelima barang tersebut, Anda akan melihat bahwa setiap barang berharga sekitar Rp20.000. Jadi, total harga akan berkisar Rp20.000 × 5 = Rpl00.000. Jika Anda dapat segera memperkirakan harga tersebut, Anda akan dapat mendeteksi apakah Anda diminta membayar lebih atau kurang. Jika Anda sulit memperkirakan harga tersebut, Anda dapat menjadi lebih miskin dengan cepat! Sekarang, mari kita perhatikan contoh di bidang farmasi: Seorang pasien dengan berat badan 61 kilogram membutuhkan dosis obat 20 miligram per kilogram berat badan. Perkirakan berapa total obat yang harus diterima pasien? Apakah 200, 400 600, 800, atau 1200 miligram? Berat badan pasien sekitar 60 kilogram. Jadi, pasien membutuhkan kurang lebih 20 mg × 60.(Jika Anda tidak dapat langsung mengalikan 60, kalikan dulu dengan 10, lalu kalikan dengan 6.) Jika pasien memiliki berat badan 10 kilogram,ia akan membutuhkan 20 mg × 10 =200 miligram. Dengan demikian, pasien keberatan badan 60 kilogram membutuhkan 200 mg × 6 = 1200 miligram. Jadi, jawaban yang kredibel adalah 1200mg. Perkiraan yang kredibel bukanlah tebakan asal-asalan, tetapi jawaban yang masuk akal berdasarkan informasi yang diberikan pada Anda. Dalam kasus ini, jawaban yang benar tentunya 1260 miligram Namun, kemungkinan Anda membahayakan pasien dengan estimasi banyak 5% dari jawaban yang benar lebih kecil dibandingkan jawaban dengan tingkat kesalahan 50%, 100%, atau 900%. Anda mungkin berpikir tidak mungkin Anda memberikan jawaban dengan tingkat kesalahan 900%, tetapi dosis yang 10 kali lebih tinggi (overdose) atau 10 kali lebih rendah (underdose) memberi tingkat kesalahan sebesar itu. Kesalahan semacam ini sering kali terjadi pada mahasiswa yang sangat bergantung pada kalkulator dan menerima jawaban kalkulator tanpa berpikir panjang. Karena itu, kami mendorong Anda untuk melatih contohcontoh soal dalam materi pada bagian ini tanpa menggunakan kalkulator. Selanjutnya, setelah Anda yakin telah menjawab suatu pertanyaan, tanyakan pada diri anda sendiri, ‘Apakah jawaban ini kredibel?’ 2 Matematika dan Stastistika Untuk memudahkan anda menyelesaikan masalah seperti di atas, selanjutnya anda akan mempelajari konsep serta sifat-sifat bilangan untuk membantu anda dalam menyelesaikan beberapa masalah kefarmasian yang berkaitan dengan materi bilangan Definisi: Jika a dan b bilangan asli, maka ada suatu bilangan asli yang ditulis sebagai a b yang merupakan jumlah dari a dan b . Juga ada suatu bilangan asli a b (atau ditulis sebagai a b atau ab ) yang merupakan hasil kali dari a dan b . Sifat-sifat bilangan asli N : 1. Sifat tertutup N dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, karena jumlah/hasil kali dari setiap 2 (dua) bilangan asli juga merupakan bilangan asli. Ditulis: Untuk setiap n1 , n2 N, n1 n2 N dan n1 n2 N . (notasi = ada). 2. Sifat komutatif Untuk setiap n1 , n2 N berlaku: n 1 n2 n2 n 1 a. (komutatif penjumlahan) b. 3. b. 5. (komutatif perkalian) Sifat asosiatif Untuk setiap n1 , n2 N berlaku: b. 4. n 1 n2 n2 n 1 n n 1 n 2 n 3 n1 n 2 n 3 1 n 2 n 3 n1 n 2 n 3 (asosiatif penjumlahan) (asosiatif perkalian) Sifat modulus Untuk setiap bilangan asli nN berlaku: n00n a. (modulus penjumlahan) 0 adalah bilangan kesatuan untuk penjumlahan, 0 N. n 1 1 n b. (modulus perkalian) 1 adalah bilangan kesatuan untuk perkalian, 1 N . Sifat distributif Untuk setiap bilangan asli n N berlaku: a. n1 n2 n 3 n1 n 3 n2 n 3 b. n1 n2 n3 n1 n2 n1 n3 Catatan (1): Gabungan dari himpunan bilangan asli N dan bilangan nol, yaitu: N 0 0,1,2,... disebut himpunan bilangan cacah. 3 Matematika dan Stastistika Definisi: Sebuah bilangan x disebut negatif (invers penjumlahan) dari bilangan asli a , apabila berlaku a x x a 0 ditulis x a . Himpunan dari semua bilangan negatif di atas, disebut himpunan bilangan bulat negatif atau x|x n n x 0, n N I ..., 3, 2, 1,0,1,2,3,... disebut himpunan bilangan bulat (integer). Semua sifat (1) sampai dengan (5) di atas berlaku pula untuk I . Untuk I ada tambahan sifat berikut, 6. Sifat Invers Untuk setiap a I , terdapat a I sedemikian sehingga a a 0 (sifat invers/berkebalikan dari penjumlahan. Di sini 0 0 0 , sehingga invers dari a nol adalah nol). Definisi: Jika a, b, c adalah bilangan bulat, serta berlaku ab c , maka a dan b disebut faktorfaktor (pembagi-pembagi) dari c . sedangkan c disebut kelipatan dari a dan dari b . Definisi: Suatu bilangan bulat a disebut genap jika salah satu faktor dari a adalah bilangan 2, atau 2x | x I . Bilangan yang bukan genap disebut ganjil,atau bilangan ganjil adalah 2x 1| x I 8 2 4 ; dimana 4 I , maka 8 genap. 0 2 0 ; dimana 0 I , maka 0 genap. 15 2 7 1 ; di mana 7 I , makal 5 ganjil. Definisi: Suatu bilangan bulat positif disebut majemuk (composite) dinyatakan sebagai hasil kali dua (atau lebih) bilangan bulat positif 1 . bila dapat Definisi: Suatu bilangan bulat positif disebut prima apabila bilangan itu bukan bilangan 1 (satu), serta bukan bilangan majemuk. Atau dengan perkataan lain: suatu bilangan asli kecuali 1, yang hanya habis dibagi 1 dan bilangan sendiri disebut bilangan prima. 4 Matematika dan Stastistika Latihan 1) Hasil dari 12 : 3 8 5 adalah .... 2) a. –20 b. –44 c. 60 d. –160 Hasil dari 4 10:2 5 adalah .... 3) a. –15 b. 35 c. –29 d. –5 Hasil dari 10 43 4 adalah .... 4) a. –37 b. –57 c. –29 d. –19 Hasil dari 90: 3 4 adalah .... 5) a. –120 b. –60 c. 240 d. 160 Hasil dari 23 3 9 adalah .... 6) 7) a. 35 b. –17 c. 29 d. –11 Suhu tempat A adalah 100oC di bawah nol, suhu tempat B adalah 200oC di atas nol, dan suhu tempat C adalah tepat di antara suhu tempat A dan tempat B . Suhu tempat C adalah… a. 100oC b. 300oC c. 0oC d. 50oC Dalam kompetisi Matematika, setiap jawaban benar diberi skor 3 , jawaban salah diberi skor 1 , dan jika tidak menjawab diberi skor 0 . Dari 40 soal yang diujikan, Dedi menjawab 31 soal, yang 28 soal di antaranya dijawab benar. Skor yang diperoleh Dedi adalah …. 5 Matematika dan Stastistika a. b. c. d. 81 84 87 93 Petunjuk Jawaban Latihan 1) 2) Selesaikan terlebih dahulu perkalian dan pembagian, lalu selesaikan penjumlahan dan pengurangan. 4 10: 2x 5 4 5x 5 6) tempat A 100oC dibawah nol berarti 100oC Ringkasan Anda telah mengingat kembali definisi bilangan, pengantar konsep bilangan, mulai dari definisi bilangan, sifat-sifat dasar bilangan bulat, dan operasi dasar pada bilangan bulat sampai pada operasi yang lebih luas yang masih berlaku pada sebarang bilangan. Di akhir bagian ini, diingatkan kembali mengenai gabungan penggunaan sifat-sifat dasar bilangan bulat. Materi ini menjadi dasar/pengetahuan bagi materi berikutnya, pada topik berikutnya maupun modul berikutnya. Tes 1 1) Nilai n dari n 8 14 adalah .... A. B. C. D. 6 –6 22 –22 2) Hasil dari penjumlahan bilangan 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 64 adalah... A. 2650 B. 3200 C. 2197 D. 2.080 3) Seekor lumba-lumba melompat samapai ketinggian 3 meer di atas permukaan air laut, kemudian turun dan menyelam sampai kedalamn 7 meter. Maka jarak puncak lompatan dengan kedalaman penyelamatan adalah .... A. 4 meter B. 7 meter 6 Matematika dan Stastistika C. D. 4) Hasil kali dari bilangan 25 18 10 adalah .... A. B. C. D. 5) 8 meter 10 meter –700 700 540 –540 Hasil pemabagian dari bilangan 42: 8 15 adalah .... A. B. C. D. 8 –6 9 –7 7 Matematika dan Stastistika Topik 2 Bilangan Pecahan dan Bilangan-Bilangan Lainnya Definisi: Jika a bilangan bulat, a 0 , maka terdapat suatu bilangan Bilangan 1 1 sedemikian sehingga a 1 . a a 1 1 disebut kebalikan (invers) dari a , ditulis juga a 1 . a a Definisi: Jika a dan b bilangan bulat dan b 0 , maka terdapat sebuah bilangan a 1 a yang disebut b b hasil bagi dan a oleh b . a disebut pembilang, b disebut penyebut. Jika a bukan suatu bilangan bulat, maka ia b disebut bilangan pecahan. Definisi: Sebagai akibat operasi perkalian, kita dapatkan operasi perpangkatan dan pengakaran. Bilangan x disebut pangkat n dari bilangan a jika berlaku: x a a ... a n buah Ditulis juga x a n Definisi : Bilangan x disebut bilangan akar n dari bilangan a jika berlaku: a x x x n buah ditulis a x atau x a Pecahan menyatakan proporsi dari keseluruhan bagian. Sebagai contoh,Anda memiliki disk drive dengan kapasitas 400 GB dan Anda menyimpan file sebesar 100 GB pada disk drive tersebut. Bagian dari kapasitas penyimpanan yang telah digunakan pada disc drive tersebut dapat ditulis sebagai: n n 100 400 Bilangan di atas garis disebut pembilang, sedangkan bilangan di bawah garis disebut penyebut. Dalam contoh ini, Anda dapat menganggap 100 sebagai ‘proporsi’ dari 8 Matematika dan Stastistika ‘keseluruhan’ 400. Jika pembilang lebih besar dan penyebut, pecahan disebut “pecahan kasar (vulgar fraction)”. Sebagai contoh, 18 4 A. MACAM-MACAM PECAHAN 1. Pecahan Setara 100 perhatikan bahwa jika Anda mengalikan 400 (atau membagi) pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama, pecahan akan tetap bernilai sama. 100 200 1 Jadi, (karena kita mengalikan bilangan atas dan bawah dengan 2). Pecahan ini 400 800 4 juga ekuivalen karena sekarang kita membagi pembilang dan penyebut dengan 200. Perhatikan bahwa dalam modul ini, Anda mungkin akan menemukan pecahan yang agak 25 “jelek”, seperti . Berdasarkan pengalaman, mahasiswa sering kali merasa ngeri jika 0,01 Jika Anda melihat contoh sebelumnya, diminta mengevaluasi pecahan semacam ini. Untuk mengevaluasi pecahan ini, prinsipnya sama dengan sebelumnya, yaitu kalikan bilangan atas dan bawah pecahan hingga diperoleh bilangan bulat yang mudah ditangani. Perkalian 10 biasanya paling membantu. 25 250 2500 Jadi, 2500 (tiap kali kita mengalikan atas dan bawah dengan 10). 0,01 0,1 1 2. Menyederhanakan Pecahan Soal pecahan biasanya lebih mudah dikerjakan apabila pembilang dan penyebut bernilai sekecil mungkin. Nilai tersebut diperoleh dengan membagi pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama berulang kali untuk memperoleh bilangan bulat yang lebih kecil sampai proses pembagian tidak dapat diulangi lagi. Biasanya lebih mudah untuk mencoba membagi pembilang dan penyebut dengan bilangan-bilangan kecil, seperti 2, 3, 4, 5, atau 10. Contoh 1.2.1: Sederhanakan 24 sesederhana mungkin. 96 Jawab : a. Perhatikan pembilang dan penyebut,serta periksa apakah keduanya dapat langsung dibagi. b. Ulangi sampai diperoleh pecahan yang paling sederhana. Karena 24 dan 96 merupakan bilangan genap, keduanya dapat dibagi 2. 9 Matematika dan Stastistika Jadi, 24 12 6 3 96 48 24 12 Sekarang pembilang dan penyebut dapat dibagi 3 maka 3 1 . Pecahan kini berada dalam 12 4 bentuk paling sederhana. B. PRESENTASE DAN BILANGAN DESIMAL 1. Persentase Seperti pecahan, persentase juga menyatakan proporsi dan keseluruhan bagian. Sebagai contoh, 90% mahasiswa lulus ujian, ini berarti 90 dari 100 mahasiswa yang ikut ujian berhasil lulus. Perhatikan bahwa “kese1uruhan” di sini tidak harus 100. Jika mahasiswa yang ikut ujian sebanyak 200 orang dan yang lulus 180 orang, persentase yang lulus juga 90%. 2. Desimal Desimal adalah cara untuk menyatakan bilangan yang (biasanya) tidak bulat. Tanda koma digunakan untuk memisahkan bilangan bulat dan bagian desimal yang tidak bulat. Sebagai contoh, 1,25 gram obat berarti kita memiliki 1 gram obat, ditambah dua per sepuluh dari 1 gram, dan ditambah 5 per seratus dari 1 gram. Perhatikan jika satu-satunya angka sebelum koma adalah nol, kita sedang menghitung suatu nilai yang kurang dan satu. Sebagai contoh. 0,25 gram obat berarti kurang dari 1 gram dan menyatakan dua per sepuluh dan lima per seratus dari 1 gram seperti sebelumnya. 3. Konversi antara Pecahan dan Desimal Setiap desimal (atau setiap bilangan bulat) dapat dikonversi menjadi pecahan hanya dengan meletakkan bilangan desimal itu di atas penyebut 1. Contoh 1.2.2: Ubah 0,25 menjadi pecahan paling sederhana Jawab: a. Tulis 0,25 sebagai desimal. b. Buat pecahan setara dengan mengalikan bilangan atas dan bawah dengan 10 sampai tanda koma desimal hilang. c. Sederhanakan pecahan tersebut dengan pembagian. Dengan demikian, 0,25 dapat ditulis menjadi 0,25 1 . Sekarang, evaluasi pecahan ini seperti cara yang dijelaskan sebelumnya: 0,25 1 2,5 10 25 100 = (bilangan atas dan bawah dikali 10) Anda tentu dapat melihat bahwa pecahan ini mudah disederhanakan: 25 100 5 10 1 4 (bilangan atas dan bawah dibagi 5) 10 Matematika dan Stastistika Pengubahan pecahan menjadi desimal dapat dilakukan dengan membagi pembilang dengan penyebut. Pembilang mungkin perlu ditulis sebagai desimal dengan memberikan satu atau lebih angka nol setelah koma untuk dapat melakukan pembagian. Contoh 1.2.3: Nyatakan 2 5 dalam bentuk desimal Jawab: Cobalah langsung membagi pembilang dengan penyebut. Jika pembilang lebih kecil dari penyebut, tulis pembilang sebagai desimal dengan satu atau lebih angka nol setelah tanda koma untuk dapat melakukan pembagian. Jadi, tulis 2,0 dan bagi dengan 5, Anda akan memperoleh 0,4. Anda juga dapat menulis 2,00 dibagi lima dan memperoleh jawaban 0,40 yang setara dengan 0,4. Pada sejumlah kasus, Anda tidak akan mendapat jawaban yang berakhir dengan nol dan Anda dapat menulis jawaban dalam waktu yang tidak terbatas. Sebagai contoh, jika Anda menyatakan 1/3 dalam bentuk desimal, jawabannya adalah 0,33333... dan seterusnya. Dalam modul ini, kebanyakan jawaban akan diberikan dalam dua tempat desimal (jumlah digit setelah tanda koma), kecuali proses pembagian dapat diselesaikan dengan sempurna tanpa hasil sisa. Sebagai contoh, jika Anda menyatakan 1/8 dalam bentuk desimal, Anda akan memperoleh hasil tepat 0,125. 4. Konversi Antara Pecahan dan Persentase Konversi pecahan menjadi persentase sangat mudah dilakukan, yaitu hanya dengan mengalikan pembilang dengan 100 dan mengevaluasi pecahan tersebut seperti sebelumnya,lalu hasilnya diberi tanda %. Contoh 1.2.4: Nyatakan 4 5 dalam bentuk persentase Jawab: a. Kalikan pembilang dengan 100. b. Evaluasi pecahan sebagai bilangan (atau desimal). c. Beri tanda % setelah nilai hasil. Jadi, 4 5 menjadi 400 5 80 . Dengan demikian, hasilnya adalah 80%. Perhatikan bahwa persentase dapat mengandung desimal. Sebagai contoh, 305 100 3,05% . Konversi persentase menjadi pecahan juga sangat sederhana. Bagi bilangan dengan 100, lalu nyatakan pecahan dalam bentuk paling sederhana. Contoh 1.2.5: Nyatakan 55% dalam bentuk pecahan 11 Matematika dan Stastistika Jawab: a. Bagi bilangan dengan 100. b. Sederhanakan pecahan. Jadi, 55% menjadi 55 100 . Jika kita sederhanakan, pecahan ini menjadi 11 20 yang tidak dapat disederhanakan lebih lanjut 5. Konversi Antara Desimal dan Persentase Cara paling cepat untuk mengonversi desimal menjadi persentase adalah dengan mengalikan bilangan desimal tersebut dengan 100.lalu memberikan tanda % setelah hasil. Contoh 1.2.6: Nyatakan 0,6 dalam bentuk persentase Jawab: a. Kalikan dengan 100. b. Beri tanda %. 0,6 dikali 100 adalah 60%. Pengubahan persentase menjadi desimal dapat dilakukan hanya dengan membalikkan tahapan di atas. Contoh 1.2.7: Nyatakan 12% dalam bentuk desimal Jawab: Bagi dengan 100. 12 0,12 Jadi, 12% = 100 Dalam contoh ini, kita dapat menyederhanakan pecahan itu menjadi 3 . Namun, 25 pembagian 100 lebih mudah daripada 25. Catatan (2): Bilangan pecahan dapat ditulis dalam bentuk desimal. Uraian desimalnya selalu berakhir atau berulang. 5 Misalnya: 1 2 0,5 (artinya 1 2 0 ). 10 21 50 0,42 artinya 21 50 0 4 10 2 100 . 2 7 0,285714285714.... angka 285714 berulang . Definisi: Gabungan himpunan bilangan bulat dan himpunan bilangan pecahan disebut himpunan bilangan rasional Q . Kita dapat mendefinisikan bilangan rasional sebagal bilangan yang 12 Matematika dan Stastistika dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua buah bilangan bulat. Bilangan irrasional (nonrasional) adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari 2 buah bilangan bulat atau bilangan yang uraian desimalnya tidak pernah berulang. Contoh 1.2.8 : 2 1,4142 3,1415 e 2,7182..... (bilangan Euler yang merupakan bilangan pokok logaritma natural). Gabungan himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional disebut himpunan bilangan nyata (real) R , atau R# .Bilangan yang mengandung faktor satuan khayal I disebut bilangan khayal (imajiner), di mana i 1 (satuan khayal, i i i 2 1 ). Bentuk umumnya ai , a R # . Misalnya 54i , 2i , dan i 2 . Bilangan Real Kita buat sebuah garis lurus. Ambil titik 0 sebagai titik awal (titik nol) yang menyatakan bilangan nol. Kita buat peraturan bahwa titik-titik di sebelah kanan 0 menyatakan bilanganbilangan positif, di sebelah kiri 0 menyatakan bilangan-bilangan negatif. Kemudian kita tentukan satuannya (unit). Garis ini disebut garis bilangan real (atau garis bilangan) yang merupakan sistem koordinat pada garis lurus (dimensi satu) dan digambarkan sebagai berikut: Setiap bilangan real dapat dinyatakan oleh satu dan hanya satu titik pada garis bilangan dan setiap titik pada garis bilangan menyatakan satu dan hanya satu bilangan. Semua sifat yang berlaku pada himpunan bagian dari R# , juga berlaku pada R# . Misalnya sifat ke-6 adalah: Untuk setiap a R# , terdapat a R# , sehingga a a 0, a (a) 0 . Untuk setiap a 0 dan a R # , terdapat 1 a R # , sehingga a 1 a 1 . Pertidaksamaan Definisi: a bilangan real, a 0 a positif ( > dibaca “lebih besar”) a 0 a negatif ( > dibaca “lebih kecil”) ( artinya jika dan hanya jika, artinya berlaku baik dibaca dari arah kiri maupun kanan. Jadi bila definisi di atas dibaca : jika a 0 maka a positif , dan jika a positif, maka a 0 ). 13 Matematika dan Stastistika Kemudian jika a dan b bilangan real, maka : a b a b 0 (definisi lebih besar) serta a b a b 0 (definisi lebih kecil) abba pada garis bilangan : jika a b maka a terletak di sebelah kanan b . notasi : a b artinya a lebih kecil atau sama dengan b . Sifat-sifat : 1) Jika a, b R , maka salah satu dari pernyataan ini benar : a b; a) b) a b ; c) a b 2) Jika a 0 dan b 0 , maka a b 0 dan ab 0 . 3) Sifat transitif : Jika a b dan b c , maka a c atau jika a b dan b c , maka a c . 4) Jika a b dan c bilangan real sebarang, maka a c b c 5) Jika a b dan c d , maka a c b d a 0 jika dan hanya jika a 0 6) a 0 jika dan hanya jika a 0 7) 8) Jika a 0 dan b 0 , maka ab 0 a 0 dan b 0 , maka ab 0 a 0 dan b 0 , maka ab 0 Jika a b dan c 0 , maka ab bc Jika a b dan c 0 , maka ab bc Contoh 1.2.9 : Selesaikan pertidaksamaan : x2 5x 24 0 . Harga nol dari x2 5x 24 0 adalah x1 8 dan x2 3 . Sebut x 2 5x 24 y , maka y 0 untuk 3 x 8 y 0 untuk x 3 atau x 8 Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan di atas adalah nilai-nilai x yang memenuhi 3 x 8 atau dapat ditulis sebagai himpunan x |3 x 8 . Catatan (3): Interval (selang): Bilangan a dan b adalah bilangan real dan a b , maka himpunan bagian dan R# adalah: A1 x |a x b A2 x |a x b A3 x |a x b interval buka interval tutup-buka interval tutup 14 Matematika dan Stastistika A4 x |a x b Notasi lain adalah: interval buka-tutup A2 a, b A1 a, b A3 a, b A4 a, b Catatan (4): Interval-interval tak hingga. A x |x a x | x a ,a B x | x a x |a x a, B C x | x a x | x a ,a D x | x a x |a x a, E x | x R # x | x , Dimana a suatu bilangan real A, B, C , D, dan E disebut interval tak hingga. Harga Mutlak Harga mutlak (absolut) dan suatu hilangan real didefinisikan sebagai: a jika a 0 a a jika a 0 misalnya: 3 3, karena 3 0 2 2 2, karena 2 0 3 2 3 2 2 3, karena 3 2 0 Sifat-Sifat Harga Mutlak Jika a, b R # , maka : 1) |a| 0 2) |a| |a| 3) 4) 5) 6) a2 |a| |a| b jika dan hanya jika b a b, dimana b 0 |a| b jika dan hanya jika a b, atau a b |a b| |b a| 15 Matematika dan Stastistika 7) 8) 9) 10) 11) 12) |a b| |b a| a a , b0 b b |a b| ||a||b|| |a b| |a||b| |a b| ||a||b|| |a b| |a||b| Contoh 1.2.10 : |2x 3| 7 Berarti : 7 2 x 3 7 10 2 x 4 5 x 2 Latihan 1) Bentuk sederhana dari a. b. c. d. 2) 3) 4) 5) 96 adalah .... 360 8 15 8 30 16 30 4 15 Bentuk persen dari bilangan-bilangan pecahan 8 1 8 ; ; ; 0,36 berturut-turut 25 4 50 adalah ... a. 32%, 25%, 16%, 36% b. 36%, 25%, 16%, 32% c. 25%, 16%, 32%, 36% d. 16%, 32%, 36%, 25% Toko A memberikan potongan harga 20% setiap penjualan barang, untuk pembelian sepasang sepatu, Raisa membayar kepada kasir sebesar Rp40.000,00. Harga sepasang sepatu sebelum mendapat potongan harga adalah … Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x2 x 6 0 adalah .... 2 x 3 a. x 2 atau x 3 b. x 2 atau x 3 c. 2 x 3 d. Selesaikan pertidaksamaan 2x 5 | x 4 adalah .... 16 Matematika dan Stastistika a. b. c. d. 6) 1 x x 4 3 x 3 x 4 x x 1 x 3 3 1 x 3 4 Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan a. b. c. d. x 2 x 4 x 3 x 4 x 1 x 4 x 1 x 4 2x 1 7 adalah .... x 3 Petunjuk Penyelesaian Soal 1) 2) Untuk menyederhanakan, pembilang dan penyebut bagikan dengan KPK kedua bilangan tersebut Kalikan dengan 100% Ringkasan Sampai di sini saudara telah mengingat kembali jenis-jenis bolangan, terdiri dari aturan bilangan pecahan, dan bilangan-bilangan lainnya, bilangan real,pertidaksamaan,dan harga mutlak. Selain itu, presentase dan bilangan desimal juga telah dibahas, mulai dari konversi bilangan desimal ke presentase serta konversi persentase ke bilangan desimal. Dengan bekal ini, diharapkan topik-topik berikutnya yang memanfaatkan pengertian bilangan itu dan sifatsifatnya dapat teratasi dengan baik. Tes 2 1) Bentuk pecahan dari 45 menit dari 1 jam adalah .... 3 A. bagian dari 1 jam 4 1 B. bagian dari 1 jam 2 1 C. bagian dari 1 jam 3 17 Matematika dan Stastistika D. 2) Pecahan yang senilai dengan pecahan A. B. C. D. 3) 2 bagian dari 1 jam 3 9 40 9 38 12 56 12 72 Susunan deretan pecahan A. B. C. D. 3 adalah .... 14 7 11 , 1, dalam urutan naik (dari kecil ke besar) adalah .... 8 12 7 11 , 1, 8 12 7 11 , ,1 8 12 11 7 1, , 12 8 11 7 , ,1 12 8 4) Dua per lima dari penduduk suatu kota adalah laki-laki. Jika banyak penduduk kota tersebut 8 juta jiwa, tentukan banyak laki-laki! A. 3.200.000 jiwa B. 1.600.000 jiwa C. 4.000.000 jiwa D. 3.000.000 jiwa 5) Bentuk persen dari dari bilangan A. B. C. D. 2 adalah .... 15 35 % 1 % 3 1 13 % 3 13% 18 Matematika dan Stastistika Kunci Jawaban Tes Tes 1 1) B 2) D 3) D 4) A 5) B Tes 2 1) A 2) C 3) B 4) A 5) C 19 Matematika dan Stastistika Daftar Pustaka Ayu Laraswati. 2013. Pengertian Bilangan Desimal Otal dan Biner. (online) Diakses pada tanggal 10 Juni 2014 http://ayularasswati.wordpress.com/2013/09/16/pengertian-bilangan-desimal-oktaldan-biner/ Ainul Wicaskono. 2012. Tugas Matematika Bilangan Bulat dan Ganjil. (online) Diakses pada tanggal 10 Juni 2014 http://ainulwicaksono.blogspot.com/2012/10/tugas-matematika-bilangan-bulatganjil.html Anonymous. 2010. Rumus Bilangan Ganjil dan Rumus Bilangan Genap. (online) Diakses pada tanggal 10 Juni 2014 http://asimtot.wordpress.com/2010/07/25/rumus-bilangan-ganjil-dan-rumusbilangan-genap/ Anonymous. 2010. Bilangan Ganjil dan Bilangan Genap. (online) Diakses pada tanggal 10 Juni 2014 http://asimtot.wordpress.com/2010/06/09/bilangan-ganjil-dan-bilangan-genap/ 20 Matematika dan Stastistika BAB II FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA Rudy Hartono dan Rahmat Kamaruddin PENDAHULUAN Dalam ilmu pengetahuan dan teknologi maupun kehidupan sehari-hari , fungsi eksponen dan logaritma sering kali digunakan untuk mendeskripsikan suatu peristiwa pertumbuhan maupun peluruhan. Misalnya uang yang diinvestasikan di sebuah bank, peluruhan zat radioaktif, pertambahan penduduk dan lain sebagainya. Hal ini dikarenakan logaritma merupakan invers (kebalikan) dari eksponen. Logaritma juga digunakan untuk memecahkan masalah eksponen yang sulit dicari akar-akar atau penyelesaiannya. Pada Bab 2 ini anda akan mempelajari sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah. Untuk mempelajari modul ini, Anda diharapkan telah memahami pangkat/eksponen, persamaan kuadrat, penyelesaian persamaan kuadrat, menggambar kurva suatu persamaan kuadrat, trigonometri. Pada Topik 1 pada modul ini, dibahas mengenai definisi fungsi eksponen dan sifatsifatnya serta penggunaannya dalam pemecahan masalah. Pada Topik 2 diperkenalkan fungsi logaritma, sifat-sifatnya serta operasi-operasi penggunaannya. Setelah menyelesaikan modul ini, diharapkan Anda mampu menggunakan konsep fungsi eksponen dan logaritma untuk menyelesaikan persoalan-persoalan matematis. Secara sistematis, Anda diharapkan mampu : 1. Menjelaskan sifat-sifat fungsi eksponen 2. Menjelaskan sifat-sifat logaritma 3. Menjelaskan bentuk- bentuk persamaan eksponen dan logaritma beserta fungsinya 4. Menjelaskan bentuk-bentuk pertidaksamaan eksponen dan logaritma. 5. Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait atau jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, tanyakan kepada tutor pendamping Anda. 21 Matematika dan Stastistika Topik 1 Keterlibatan Mahasiswa Dalam Topik 1 ini akan dibahas materi perpangkatan/eksponen bilangan bulat. Untuk mempelajari bagian modul ini, ada baiknya kita ingat kembali sifat-sifat bilangan berpangkat rasional. Bilangan berpangkat merupakan prasyarat mempelajari persamaan eksponen, fungsi eksponen dan fungsi logaritma. Untuk mengingat kembali tentang bilangan eksponen, perhatikan beberapa sifat berikut. A. 1. PENGERTIAN FUNGSI EKSPONEN Jika a dan b bilangan real, p dan q bilangan rasional maka berlaku hubungan sebagai berikut : 1 ap p 7. ap aq apq a pq 2. 3. a :a a (a p )q a pq 4. (ab) a .b p q p p p p a a p b b 1 ap p a 0 a p q 8. 9. a ap p ab p a p b 10. p 11. a0 1 q a pa b pb p 5. 6. Pada modul ini akan lebih mendalami tentang perpangkatan yang pangkatnya merupakan suatu fungsi. Bentuk perpangkatan yang pangkatnya merupakan suatu fungsi disebut fungsi eksponen. Fungsi eksponen banyak manfaatnya dalam kehidupan. Misalnya dalam peluruhan radioaktif, pertumbuhan tanaman, perhitungan bunga tabungan di Bank dan sebagainya. B. PERSAMAAN FUNGSI EKSPONEN DAN PENERAPANNYA 1. Bentuk a f ( x ) 1 Jika a f ( x ) 1 dengan a 0 dan a 0 , maka f x 0 Seperti apakah contoh dan cara menyelesaikan persamaan fungsi eksponen berbentuk f x a f ( x ) 1 ? Ya, perlu Anda ketahui bahwa: a 1 dengan a 0 , dan a 0 , maka f x 0 . Perhatikan contoh berikut ini! 22 Matematika dan Stastistika Contoh 2.1.1: Tentukan himpunan penyelesaian dari: uu 35x10 1 Jawab: 35 x 10 1 35 x 10 30 5x 10 0 5x 10 x 2 2. Bentuk a f ( x ) ap Jika a f ( x ) ap dengan a 0 dan a 0 , maka f x p Contoh 2.1.2 : Tentukan himpunan penyelesaian dari: a. 52 x1 625 1 22 x 7 b. 32 Jawab : a. 52 x1 625 52 x1 53 2x 1 3 2 x 4 , jadi x 2 1 22 x 7 b. 32 2 x7 2 25 2 x 7 5 2x 2 x 1 3. Bentuk a f x ag x Jika a f x ag x dengan a 0 dan a 0 , maka f x g x Contoh 2.1.3 : 2 2 9 x x 27x 1 a. b. 25X 2 0,2 1 X 23 Matematika dan Stastistika Jawab: 2 2 9 x x 27x 1 a. 32( x x ) 33( x 1) 2 x 2 x 3x 2 3 2 2 2x2 2x 3x2 3 x 2 2x 3 0 x 3 x 1 0 x 3 x 1 Jadi HP = 1,3 b. 25x 2 0,2 1 x 52 x 2 511 x 2 x 4 1 x 2 x x 1 4 x 5 Jadi HP = 5 4. Bentuk a f ( x) b f ( x ) Jika a f ( x) b f ( x ) dengan a 0 dan a 1 , b 0 dan b 1 , dan a b maka f x 0 Contoh 2.1.4: 6x 3 9x 3 Jawab: 6x 3 9x 3 x 3 0 x 3 Jadi HP = 3 5. Bentuk A(a f ( x ) )2 B(aF ( x ) ) C 0 Dengan memisalkan a p , maka bentuk persamaan di atas dapat diubah menjadi persamaan kuadrat : Ap2 Bp C 0 f x Contoh 2.1.5 : 22 x 2x3 16 0 Jawab : 22 x 2 x 3 16 0 22 x 2 x 23 18 0 Dengan memisalkan 2 x p , maka persamaan menjadi 24 Matematika dan Stastistika p2 8 p 16 0 p 4 p 4 0 p4 Untuk p 4 2x 4 2x 22 x 2 Jadi HP = 2 Latihan 1) Bentuk a. b. c. d. 2) 3) 3n1 3n dapat disederhanakan menjadi … 3n 3n1 3 4 3 2 5 4 4 3 x 1 y 1 1 1 x y yx a. yx xy b. xy yx c. yx xy d. xy Jika a. b. c. d. 1 dalam bentuk pangkat adalah … yx yx yx yx yx yx yx yx a 2 7 dan a 2 7, a b 4ab 28 30 32 34 25 Matematika dan Stastistika 4) Jika x a. b. c. d. 5) 1 x 4 x 3 x 2 maka nilai 6 4 x x 5 x 4 1 16 1 8 1 2 4 Nyatakan bentuk berikut dalam pangkat positif dan bentuk akar, x 1 y 1 1 2 x y a. x y xy b. y x xy c. x y xy d. xy y x 6) Diketahui 2x 2 x 5 . Nilai 22 x 22 x …. a. 23 b. 24 c. 25 d. 26 7) Jika a. b. c. d. 8) Nilai a. b. c. d. 1 2 2 3 p q 6 dengan p dan q bilangan bulat, maka p q .... 2 3 3 2 -2 -3 x yang memenuhi persamaan 2x 525 x 64 adalah .... -2 -1 0 1 26 Matematika dan Stastistika Ringkasan Pada topik ini, kita telah mempelajari persamaan eksponen dan fungsi eksponen dengan menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dalam menyelesaikan persamaan eksponen. Fungsi eksponen f dengan bilangan pokok a ( a konstan) adalah fungsi yang didefenisikan dengan rumus : f x ax , a 0 dan a 1 Tes 1 1) Nilai dari x agar 32 x 3 0 .... A. 1 1 B. 2 1 C. 3 1 D. 4 2) Nilai A. B. C. D. 3) 4) 5) x dari persamaan 35 x 1 27x 3 0 .... 5 6 7 8 Cari himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen 32 x 2 8 3x 1 0 A. 2 B. -1 C. 0 D. -2 Jika f x 2x 1 tentukan nilai dari f 3 dan f 3 .... 1 A. 2 B. 0,25 C. 0,125 D. 25 Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut. 1 3 252 x 1 1252 x 27 Matematika dan Stastistika A. B. C. D. ½ 5/2 5/3 5/4 28 Matematika dan Stastistika Topik 2 Persamaan Fungsi Logaritma Pengertian logaritma sebagai invers (kebalikan) dari perpangkatan, dapat dijelaskan melalui pembahasan berikut ini: Contoh 2.2.1: 1. 24 2 2 2 2 16 2. 103 10 10 10 1000 Dari contoh di atas tampak bahwa apabila bilangan pokok dan pangkatnya diketahui maka dapat ditentukan hasil perpangkatannya. Nah! Permasalahannya adalah bagaimana cara menentukan pangkat, apabila bilangan pokok dan hasil perpangkatannya diketahui: Misal : 1. Berapa n , jika 2n 16 2. Berapa x , jika 10x 1000 Jawaban permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan cara yang disebut logaritma. Nilai n atau x tersebut ditentukan sebagai berikut: 1. 2n 16 maka n 2 log16 2 log24 4 2. 10x 1000 maka x 10 log1000 10 log103 3 Sekarang terlihat bahwa antara logaritma dan perpangkatan terdapat hubungan, yaitu bahwa logaritma merupakan invers ( kebalikan) dari perpangkatan, sehingga dapat didefinisikan sebagai berikut : Definisi : Logaritma suatu bilangan x dengan bilangan pokok a (ditulis a log x ) adalah eksponen bilangan berpangkat yang menghasilkan x jika a dipangkatkan dengan eksponen itu. Dirumuskan : a log x n artinya x an untuk a 0; a 1 dan x 0 a disebut bilangan pokok x disebut bilangan logaritma atau numerus dengan x 0 n disebut hasil logaritma atau eksponen dari basis Untuk lebih memahami konsep ini ikutilah contoh-contoh berikut ini dengan teliti agar kamu tidak menemui hambatan di kemudian hari . Contoh 2.2.2 : Nyatakan dalam bentuk logaritma: 29 Matematika dan Stastistika 1. 2. 3. 34 81 1 3 2 23 0,001 103 Jawab: 34 81 3 log81 4 1. 1 1 3 2 2 3 log 3 2 2. 3 3 10 0,001 10 log0,001 3 3. Nyatakan dalam bentuk pangkat 5 log25 2 1. 1 3 log 3 2. 27 a log b c 3. Jawab: 5 log25 2 25 52 1. 1 1 3 log 3 33 2. 27 27 a log b c b ac 3. Tentukan nilai logaritma berikut! 2 log32 1. 2. 3. 3 log3 3 1 2 log 2 2 Jawab : 2 log32 2 log25 5 1. 3 3 2 2. 3 log3 3 3 log3 2 3. 2 log A. SIFAT-SIFAT LOGARITMA 1 1 1 2 2 log2 2 2 2 Ada 7 (tujuh) sifat pada logaritma ini yang akan membantu kamu dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan logaritma yaitu: 30 Matematika dan Stastistika Sifat 1 a log x a log y a log xy Contoh 2.2.3: Sederhanakanlah ! 2 1. log4 2 log8 1 3 log 3 log81 2. 9 2 log2 2 2 log 4 2 3. Jawab : 2 log4 2 log8 2 log4 8 2 log32 5 1. 1 1 3 log 3 log81 3 log 81 3 log9 2 2. 9 9 2 2 log2 2 log 4 2 2 log2 2 4 2 2 log16 4 3. Sifat 2 a log x a log y a log x y Contoh 2.2.4 : Sederhanakanlah! 2 log16 2 log8 1. 2. log1000 log100 3 log18 3 log6 3. Jawab : 1. 2. 3. 16 2 log2 1 8 1000 log1000 log100 log log10 1 100 18 3 log18 3 log6 3 log 1 6 2 log16 2 log8 2 log Sifat 3 a log x n n a log x 31 Matematika dan Stastistika Contoh 2.2.5 : Sederhanakan! 1. 2log3 4log3 2. 2log a 2log b Jawab: 2log3 4log3 log32 log34 1. log9 log81 log9 81 log729 2. 2log a 2log b log a2 log b2 log a2 b2 log ab 2 Ingat : 1. log2 x log x log x log x 2 log x 2 2log x Jadi log2 x log x 2 1 2. log 1 x log x 1 log x 1 log log x x 1 Jadi log x log x 1 Sifat 4 1. 2. c log x log a 1 g log a a log g a log x c Contoh 2.2.6: 3 log7 7 log81 Jawab : 1. 3 log7 log81 log3 log7 log 34 = log 3 log7 7 log81 32 Matematika dan Stastistika 4log3 4 log3 1 3 log7 7 log81 7 7 log81 log3 7 log34 log34 = 7 log3 log3 = 3 log34 4 = 2. Sifat 5 a a log x x Contoh 2.2.7 : 1. 4 2 log5 3 3 2. 22 log2 2 log5 3 1 2 3 log2 Jawab : 1. 4 2 log 5 3 2. 3 22 log2 2 log 5 1 32 3 2 log2 2 log 5 3 3 2 log2 52 25 1 2 1 32 3 Sifat 6 Perhatikan uraian berikut untuk menunjukkan sifat 6 logaritma ini : n log am m log a m p a p log am log a 1. log pn n log p n 2. Jika m n maka diperoleh: log an n.log a p pn log am log a log pn n.log p Sehingga dapat disimpulkan bahwa : Untuk p dan a bilangan real positif p 1 maka: m pn log a m p log a n pn log an p log a Jika numerus dan bilangan pokok dipangkatkan dengan bilangan yang sama maka hasilnya tetap. 33 Matematika dan Stastistika Contoh 2.2.8 : Hitunglah ! 8 log16 1. 8 log64 2. 3. Jika 3 log5 a hitunglah 25 log27 Jawab : 1. 2. 3. 42 4 4 log2 1 3 3 3 3 6 4 6 8 log64 2 log26 2 log2 1 2 3 3 3 3 log5 a , maka : 2 3 3 1 3 1 3 25 log27 5 log33 5 log3 3 2 2 log5 2 a 2a 8 3 log16 2 log24 Sifat 7 Perhatikan uraian di bawah ini! Misalkan n p log a , maka a pn , oleh karena n p log a , maka pn p a pn ) sehingga disimpulkan : Untuk p dan a bilangan real p 1 maka p p log a a Contoh 2.2.9: Sederhanakan ! 1. 2. 10log x 3. 27 9 3 2 log a 9 log b Jawab : 2 10 2 10log x 10 log x x 2 1. 2. 9 3 log a 9 3. 27 9 log b 32 log a2 9 9 2 33 3 3 = 2x 4 2 1 = 9 9 log a2 9 log b 3 3 2 9 log b 4 am an 3 log b a2 n 4 32 3 9 log b m 3 = b 4 sifat 7 = 4 b3 mengubah eksponen ke akar 34 p log a a (karena Matematika dan Stastistika B. MENGGUNAKAN TABEL LOGARITMA 1. Mencari hasil logaritma menggunakan daftar logaritma N 0 1 2 3 4 5 6 0 . . 721 7 8 9 .8530 log721,8 2,8530 log72,18 1,8530 log7,218 0,830 Hasil penghitungan logaritma dari satu bilangan akan diperoleh bagian desimal. Bagian bulat di sebut karakteristik/induk yang diperoleh dari perhitungan, sedang bagian desimal disebut matise diperoleh dari tabel logaritma. Bilangan pokok pada daftar adalah 10. Untuk menentukan logaritma bilangan yang lebih besar dari 10 atau antara 0 dan 1 dapat dilakukan dengan cara bilangan itu diubah dalam bentuk baku : a 10n , dengan 1 a 10 dan n bilangan bulat, sehingga : log a 10n log a log10n n log a Contoh 2.2.10 : 1. log34000 log 3,4 104 log3,4 log10 4 dari tabel log 4,4 0,5315 0,5315 4 4,5315 2. log0,284 log 2,84 102 log2,84 log10 2 dari tabel log2,84 0,4533 0,4533 2 Anti Logaritma Yaitu mencari bilangan logaritma jika diketahui hasil logaritma N 0 1 2 3 4 5 6 0 . . 721 7 8 9 .8759 35 Matematika dan Stastistika Contoh 2.2.11 : log x 0,8759 x 7,515 Misalnya, carilah nilai x dengan menggunakan daftar logaritma dari 2x 10 Jawab : log2x log10 Dari daftar x log2 log10 log2 0,3010 log10 x log2 1 x 3,322 0,3010 C. OPERASI PADA LOGARITMA 1. Operasi Perkalian log a b loga logb Contoh 2.2.12: Hitunglah 6,28 × 2,536 Jawab: Jika p 6,28 2,536 log p log 6,28 2,536 log p log6,28 log2,536 1,2021 Jadi, p antilog 1,2021 15,926 2. Operasi Pembagian log a log a log b b Contoh 2.2.13: Hitunglah 325,6 : 48,5 Jawab: Jika p 325,6: 48,5 log p log 325,6: 48,5 36 Matematika dan Stastistika log p log325,6 log48,5 2,5127 1,6857 0,8270 Jadi, p anti log0,8270 6,7 3. Operasi Akar dan Pangkat log an nlog a 1 log n a log a n Contoh 2.2.14 : Dengan menggunakan tabel logaritma, tentukan nilai dari soal-soal berikut. a. 58 47,32 b. 18,6 Jawab : a. Jika p 58 log p log 58 8log 5 log p 8 0,699 5,592 Jadi, p anti log 5,592 390800 b. Jika p log p log 47,32 , maka 18,6 47,32 18,6 1 log 47,32 18,6 2 1 1,6750 1,1643 2 1 0,5107 0,2553 2 Jadi, p anti log 0,2553 1,8001 Latihan 1) Ubah bentuk pangkat pada soal-soal berikut menjadi bentuk logaritma: a) 23 8 b) 54 625 c) 72 49 37 Matematika dan Stastistika 2) Tentukan nilai dari: 2 log8 3 log9 5 log125 a) 2 1 log 18 3 log 19 5 log 125 b) 3) Tentukan nilai dari 4 log8 27 log9 a) 8 log 4 27 log 19 b) 4) Tentukan nilai dari: a) 5) 2 log8 3 b) log27 Diketahui: log p A logq B Tentukan nilai dari log p3q2 Petunjuk Jawaban Latihan 1) a log x na 2) 2 log8 3 log9 5 log125 Ringkasan Sampai di sini kita telah dikenalkan dengan persamaan dan fungsi logarimat, Logaritma merupakan invers atau kebalikan dari perpangkatan atau eksponen. Jika 32 9 , maka kita dapat menuliskannya dalam bentuk logaritma, yaitu 3 log9 2 atau log39 2 . Ingat juga bahwa jika tidak ditulis atau jika terdapat angka di depan log seperti ini 3log berarti log itu berbasis 10 yang bisa kita tuliskan seperti ini 10 log . Namun umumnya log basis 10 tidak dituliskan. Sifat- sifat yang berlaku dalam logaritma inilah yang sering kita hadapi dalam operasi penyelesaian soal-soal logaritma. Logaritma digunakan untuk menentukan besar pangkat dari suatu bilangan pokok. Tak hanya dalam bidang studi matematika, logaritma juga sering digunakan dalam soal perhitungan bidang studi yang lain, misalnya menentukan orde reaksi dalam pelajaran laju reaksi kimia, menentukan koefisien serap bunyi dalam pelajaran akustik dan lain sebagainya. Tes 2 1) Nilai logaritma dari 2 log8 3 log9 5 log125 .... A. 6 B. 7 38 Matematika dan Stastistika C. D. 2) Diketahui log2 3 a dan log3 5 b , maka log 6 15 …. A. B. C. D. 3) 8 9 ab ab a 1 b 1a b 1 a 1b Jika log3 5 m dan log7 5 n , maka log35 15 .... 1m A. 1n 1n B. 1m m 1 n C. n 1 m D. n 1 m m 1 n 4) Jika a, b, c 1 , maka logabc 3 ab logabc 3 bc logabc 3 ac .... 1 A. 3 2 B. 3 1 C. 4 D. 3 5) Jika A. B. C. D. log 3 x log2 x p p dan q , x 1, y 1 , maka .... log 3 y log2 y q log2 3 log3 2 log 4 9 log2 3 2 39 Matematika dan Stastistika Kunci Jawaban Tes Tes 1 1) B 2) A 3) D 4) B 5) C Tes 2 1) B 2) C 3) D 4) A 5) C 40 Matematika dan Stastistika Daftar Pustaka http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2014/11/rumus-lengkap-logaritma-dan-contohsoal.html http://id.wikipedia.org/wiki/Logaritma Anonymous. 2011. Bentuk Akar Pangkat dan Logaritma. (online) Diakses pada tanggal 10 Juni 2014 http://matematikaeducation-matematika.blogspot.com/2011/01/bentuk-akar-pangkat-danlogaritma.html Anonymous. 2008. Perpangakatan dan Akar Bilangan. (online) Diakses pada tanggal 10 Juni 2014 http://applikasi.wordpress.com/2008/06/06/perpangkatan-dan-akar-bilangan/ Ali Yaramadon. 2013. Tugas Pengertian dan Macam-macam Bentuk Akar. (online) Diakses pada tanggal 10 Juni 2014 http://aliyaramadonasman1.blogspot.com/2013/07/tugas-pengertian-dan-macammacam_6143.html Wilson Simangunsong, 2005. Matematika Dasar, Jakarta: Penerbit Erlangga. 41 Matematika dan Stastistika BAB III SATUAN PENGUKURAN DAN KONSENTRASI Rudy Hartono dan Rahmat Kamaruddin PENDAHULUAN Sifat-sifat dari suatu benda atau kejadian yang kita ukur, misalnya panjang benda, massa benda, lamanya waktu lari mengelilingi sebuah lapangan sering kali kita jumpai, apa saja yang bias kita ukur dari sebuah buku? Pada sebuah buku dapat kita mengukur massa, panjang, lebar dan tebal buku. Bagaimanakah kita menyatakan hasil pengukuran panjang buku? Di Inggris, system metric merupakan sistem yang kini paling lazim digunakan untuk menyatakan jumlah (kuantitas) dalam farmasi. Untuk kuantitas tertentu, satuan dasar yang digunakan adalah gram untuk satuan dasar massa; liter untuk satuan dasar volume; dan mol untuk satuan dasar jumlah obat. Awalan (prefiks) digunakan untuk menyatakan kuantitas yang lebih besar atau lebih kecil dari satuan dasar. Kebanyakan sediaan farmasetika yang digunakan mengandung bahan aktif (obat) yang terlarut dab terdispersi alam pelarut (solven) atau pengencer (diluen). Berbagai pernyataan dapat digunakan untuk menjelaskan konsentrasi obat dalam sediaan. Karena itu, pemahaman tentang pernyataan-pernyataan ini sangat penting dalam praktik farmasi. Selain itu, pemahaman tentang pernyataan-pernyataan konsentrasi juga penting ketika memeriksa hasil uji laboratorium klinis karena hasil uji biokimia dapat diberikan dalam berbagai bentuk. Pada modul ini di Topik 1, kita akan membahas tentang satuan massa, satuan volume dan satuan jumlah obat. Pada Topik 2, akan dibahas empat cara berbeda untuk menyatakan konsentrasi, yaitu kuantitas per volume, persentase konsentrasi, bagian dan rasio. Setelah menyelesaikan modul ini, diharapkan anda mampu menggunakan konsep satuan pengukuran dan konsentrasi dalam pemecahan masalah dalam kehidupan seharihari. Secara keseluruhan, setelah mempelajari modul ini diharapkan anda dapat : 1. Menyebutkan satuan massa, volume, dan jumlah obat yang biasa digunakan. 2. Mengkonversi satuan massa, volume, dan jumlah obat antara yang lebih besar dan yang lebih kecil. 3. Memahami empat cara berbeda untuk menyatakan konsentrasi, yaitu kuantitas per volume, persentase konsentrasi, yaitu kuantitas per volume, persentase konsentrasi, rasio dan bagian. 4. Mengonversi pernyataan-pernyataan konsentrasi. 42 Matematika dan Stastistika Topik 1 Satuan Pengukuran A. SISTEM METRIK Untuk profesional kesehatan saat ini, sistem metrik merupakan sistem yang kini paling lazim digunakan untuk menyatakan jumlah (kuantitas) dalam farmasi. Untuk kuantitas tertentu, satuan dasar yang digunakan adalah gram untuk satuan dasar massa; liter untuk satuan dasar volume; dan mol untuk satuan dasar jumlah obat. Sistem metrik menggunakan desimal, yang diterjemahkan menjadi power of tens. Pada sistem metrik terdapat awalan (prefiks) yang digunakan untuk menyatakan kuantitas yang lebih besar atau lebih kecil dari satuan dasar. Tabel 3.1 memuat daftar awalan yang paling sering digunakan dalam farmasi dan contoh untuk setiap awalan. Tabel 3.1 Awalan yang Digunakan Dalam Sistem Metrik Awalan Kilo Mili Mikro B. Menyatakan Seribu kali lebih besar dan satuan dasar Seribu kali lebih kecil dan satuan dasar Satu juta kali lebih kecil dan satuan dasar Contoh Kilogram Millimeter Mikro omo SATUAN MASSA Satuan massa yang paling lazim digunakan didaftar pada Tabel 3.2. Tabel 3.2. Satuan Massa Satuan 1 Kilogram 1 Gram 1 Miligram 1 Mikrogram Singkatan Kg G Mg g atau mcg Setara dengan 1000 gram 1000 miligram 1000 mikrogram Massa yang lebih besar atau lebih kecil dari jumlah-jumlah tersebut jarang digunakan dalam farmasi. Untuk mengubah dari satuan yang lebih kecil ke satuan yang lebih besar (contohnya miligram ke gram,gram ke kilogram), kita perlu membagi dengan 1000. Sebaliknya, untuk mengubah dari satuan yang lebih besar ke satuan yang lebih kecil (contohnya kilogram ke gram,gram ke miligram), kita harus mengalikan dengan 1000 (lihat Gambar 3.1). 43 Matematika dan Stastistika Gambar 3.1 Konversi antara Satuan-satuan Massa Contoh 3.1.1: Jumlahkan 0,0025kg , 1750mgr , 2,5gr , dan 750.000mcgr (berikan jawaban Anda dalam gram). Jawab: 1. Ubah setiap kuantitas menjadi gram. 2. Jumlahkan kuantitas yang telah diubah. 0,00250kg 0,00250 1000 gr 2,50gr 1750mgr 1750:1000 gr 1,75gr 2,50gr 2,50gr 750000mgr 750000:1000000 gr 0,75gr Massa total = 7,50gr Jawaban: 7,50gr C. SATUAN VOLUME Satuan dasar volume adalah liter (L). Satu liter terdiri dari 10 desiliter, atau 100 sentiliter atau 1000 milliliter. Milliliter setara dengan centimeter kubik(cc) walaupun singkatan yang lebih dipilih adalah ml. Tabel 3.1 mendaftar satuan-satuan volume yang lazim digunakan dalam farmasi. Tabel 3.1 Satuan yang digunakan dalam farmasi Satuan 1 Liter 1 Mililiter Singkatan L mL Setara dengan 1000 mililiter 1000 mikroliter Untuk mengonversi volume dari liter menjadi mililiter, kita harus mengalikan dengan 1000, sedangkan untuk mengonversi volume dari mililiter menjadi liter, kita harus membagi dengan 1000 (lihat Gambar 3.2) 44 Matematika dan Stastistika Gambar 3.2 Konversi Antara Satuan-satuan Volume Contoh, 3.1.2: Jumlahkan 3L, 1150mL dan 0,75L . Berikan volume total dalam mL Jawab: 1. Ubah setiap kuantitas menjadi mililiter. 2. Jumlahkan kuantitas yang telah diubah. 2L 31000mL 3000 mL 1150 mL 1150 mL 0,75L 0,75 1000mL 750 mL Volume total = 4900 mL Jawaban: 4900 mL Contoh 3.1.3 : Seorang pasien diberi resep 10 mL campuran untuk digunakan empat kali sehari. Berapa banyak campuran (dalam liter) yang dibutuhkan oleh pasien selama 30 hari? Jawab: 1. Hitung berapa banyak campuran yang digunakan oleh pasien setiap hari. 2. Hitung berapa banyak campuran yang dibutuhkan oleh pasien selama 30 hari 3. Konversi angka yang diperoleh dan mL ke L Setiap hari pasien menggunakan 10mL 4 40mL Selama 30 hari pasien membutuhkan 40mL 30 1200mL 1200 mL 1 0,2L 1,2L Jawaban: 1,2L 1. Satuan Jumlah Obat Satuan dasar untuk jumlah obat adalah mol. Satu mol adalah jumlah bahan yang mengandung 6,02 × 1023satuan formula komponennya (contohnya atom, molekul, atau ion). Jumlah mol suatu obat dapat langsung dinyatakan sebagai massa karena satu mol suatu berat obat, dalam gram, sama dengan massa molekul relatif (relative molecular ‘op[]mass, 45 Matematika dan Stastistika RMM) obat tersebut. Contohnya, 1 mol kalium kiorida (RMM =74,5) memiliki berat 74,5 gram. Tabel 3.4 menunjukkan satuan jumlah obat yang lazim digunakan dalam farmasi. Tabel 3.4 Satuan Jumlah Obat Satuan Mol Milimol Singkatan Mol mmol Setara dengan 1000 milimol 1000 mikromol Gambar 3.3 menunjukkan konversi antara mol dan milimol, serta konversi satuansatuan ini ke dalam satuan massa. Gambar 3.3 Konversi Antara Satuan-satuan Jumlah Obat Contoh 3.1.4: Berapa milimol kalium kiorida (asumsikan RMM 75 ) yang terdapat dalam 150gr obat? Jawab: 1. Hitung jumlah mol obat. 2. Ubah hasil yang diperoleh ke dalam milimol. 75 gr adalah berat 1 mol kalium klorida 1gr adalah berat 1: 75 mol kalium klorida 150 gram adalah berat 150 : 75 mol kalium klorida = 2 mol 2 mol 2 1000 milimol = (2 × 1000) milimol = 2000 milimol Jawaban: 2000 milimol Latihan 1) Hasil jumlah dar 7 kg, 75 g, dan 750.000 mcg adalah .... g a. 7000 b. 7500 c. 7000,75 d. 7075,75 46 Matematika dan Stastistika 2) 3) 4) 5) 6) 7) 7) Volume total dari 0,04 L, 20 rnL, dan 200 µL adalah .... mL a. 20 b. 60 c. 60,2 d. 80,2 Seorang dokter meresepkan 250mg minosiklin untuk digunakan empat kali sehari selama 20 hari. Total minosiklin yang dibutuhkan oleh pasien adalah .... a. 10 g b. 20 g c. 30 g d. 40 g Satu kapsul obat mengandung bahan Fenilpropanolamin hidrokiorida 50 mg. Berapakah dalam gram yang dibutuhkan untuk membuat 10.000 kapsul .... a. 50 g b. 100 g c. 500 g d. 1000 g Satu tompok transdermal (transdermal patch) mengandung 8 mgestradiol. Jumlah gram estradiol yang dibutuhkan untuk membuat 50.000 tompok adalah .... a. 100 g b. 200 g c. 300 g d. 400 g Suatu inhaler menghantarkan 50 mcgr salmeterol pada setiap hirupan (inhalasi). Inhaler tersebut mengandung 200inhalasi terukur. Jumlah miligram salmeterol terkandung dalam inhaler ini adalah .... a. 10 mg b. 20 mg c. 30 mg d. 40 mg Pasien diberi resep 15mL campuran untuk digunakan dua kali sehari selama 14 hari. Banyak campuran yang harus diberikan adalah .... a. 210 mL b. 400 mL c. 420 mL d. 460 mL Setiap kapsul natrium bikarbonat berisi 600 mgr bahan tersebut. Jika pasien menggunakan tujuh kapsul sehari, jumlah mmol natrium bikarbonat yang digunakan pasien adalah … (RMM natrium bikarbonat = 84). a. 5 mmol b. 50 mmol 47 Matematika dan Stastistika 8) 9) c. 10 mmol d. 100 mmol Suatu infus intravena mengandung 30 mmol natrium klorida. Jumlah massa natrium klorida (dalam gram) yang terkandung dalam infus tersebut adalah … (RMMnatrium klorida = 60). a. 0,18 g b. 1,8 g c. 18 g d. 180 g Sebuah tablet efervesen untuk rehidrasi oral mengandung 120 mgnatrium klorida dan 150 mgr kalium kiorida. Jumlah mmol klorida terkandung dalam satu tablet adalah .... (RMM natrium klorida (NaCl) = 60 dan RMM kalium klorida (KCl) = 75). a. 1 mmol b. 2 mmol c. 3 mmol d. 4 mmol Ringkasan Untuk kuantitas tertentu, satuan dasar yang digunakan adalah gram untuk satuan dasar massa; liter untuk satuan dasar volume; dan mol untuk satuan dasar jumlah obat. Sistem metrik menggunakan desimal, yang diterjemahkan menjadi power of ten. Satuan massa yang paling lazim digunakan adalah kilogram, gram,miligram dan mikrogram. Satuan dasar volume adalah liter (L). Satu liter terdiri dari 10 desiliter, atau 100 sentiliter atau 1000 milliliter. Satuan dasar untuk jumlah obat adalah mol. Satu mol adalah jumlah bahan yang mengandung 6,02 × 1023 satuan formula komponennya (contohnya atom, molekul, atau ion). Tes 1 1) Suatu inhaler menghantarkan 50 mikrogram salmeterol pada setiap hirupan (inhalasi). Inhaler tersebut mengandung 200 inhalasi terukur. Berapa miligram salmeterol terkandung dalam inhaler ini? A. 100 g B. 200 g C. 300 g D. 400 g 48 Matematika dan Stastistika 2) Pasien diberi resep 15 mL campuran untuk digunakan dua kali sehari selama 14 hari. Berapa banyak campuran yang harus diberikan? A. 0,1 mg B. 1 mg C. 10 mg D. 100 mg 3) Setiap kapsul natrium bikarbonat berisi 600 mg bahan tersebut. Jika pasien menggunakan tujuh kapsul sehari, berapa mmol natrium bikarbonat yang digunakan pasien? (RMM natrium bikarbonat = 84). A. 42 mmol B. 420 mmol C. 4,2 mmol D. 0,42 mmol 4) Suatu infus intravena mengandung 30 mmol natrium klorida. Berapa massanatrium klorida (dalam gram) yang terkandung dalam infus tersebut? (RMM natrium klorida = 60). A. 5 mmol B. 50 mmol C. 2 mmol D. 20 mmol 5) Satu tompok transdermal (transdermal patch) mengandung 8 mgestradiol. Berapa gram estradiol yang dibutuhkan untuk membuat 50.000 tompok? A. 1,8 g B. 18 g C. 0,9 g D. 9 g 49 Matematika dan Stastistika Topik 2 Memahami Konsentrasi A. PERNYATAAN KONSENTRASI Kebanyakan sediaan farmasetika yang digunakan mengandung bahan aktif(obat) yang terlarut atau terdispersi dalam pelarut (solven) atau pengencer (diluen). Berbagai pernyataan dapat digunakan untuk menjelaskan konsentrasi obat dalam sediaan. Karena itu, pemahaman tentang pernyataan-pernyataan ini sangat penting dalam praktik farmasi. Selain itu, pemahaman tentang pernyataan-pernyataan konsentrasi juga penting ketika memeriksa hasil uji laboratorium klinis karena hasil uji biokimia dapat diberikan bentuk. Dalam kegiatan ini, kita akan membahas empat cara berbeda untuk menyatakan konsentrasi: 1. kuantitas per volume 2. persentase konsentrasi 3. bagian 4. rasio 1. Kuantitas Per Volume Pernyataan kuantitas per volume digunakan untuk menunjukkan konsentrasi obat dalam larutan dan untuk hasil uji laboratorium klinis. Pernyataan kuantitas per volume memberikan jumlah atau berat obat (jumlah dalam mol atau berat dalam gram) dalam volume larutan. Sebagai contoh, larutan natrium klorida 9gr/L berarti 9 gr natrium klorida terlarut dalam 1 liter larutan; larutan natrium klorida 1 mmol/L mengandung 1 mmol/L (ekuivalen dengan 0,058 g) natrium klorida terlarut dalam1 liter larutan. Contoh 3.2.1: Berapa berat natrium bikarbonat (dalam gram) dibutuhkan untuk membuat 200 mL larutan 6 gr/L ? Jawab: a. Perhatikan pernyataan konsentrasi dan hitung berapa banyak natrium bikarbonat yang terkandung dalam 1mL larutan. b. Hitung berapa banyak natrium bikarbonat dibutuhkan untuk membuat 200mL larutan. 6 gr/L berarti 6 gr natrium bikarbonat harus dilarutkan dalam 1L ( 1000mL ) larutan. Jadi, 6:1000 gr natrium bikarbonat harus dilarutkan dalam 1 mL larutan. Jadi, 6:1000 200gr natrium bikarbonat harus dilarutkan dalam 200mL larutan. Jawaban: 1,2gr . 50 Matematika dan Stastistika Contoh 3.2.2 : Seorang pasien memiliki kadarkaliurn serum 4 mmol/L . a. Berapa mmol kalium terkandung dalam 20 mL sampel serum pasien? b. Berapa miligram kalium terkandung dalam sampel ini? (RMM kalium = 40) Jawab: a) 1) Perhatikan pernyataan konsentrasi dan hitung berapa milimolkalium terkandung dalam 1 mL serum. 2) Hitung berapa milimol kalium terkandung dalam 20 mL serum. 4mmol/L berarti 4mmol kalium terkandung dalam 1L serum. Jadi 4:1000mmol kalium terkandung dalam 1 mL serum. Karena itu, (4 × 20) ÷ 1000 mmol kalium terkandung dalam 20 mL serum. 80:1000mmol 0,08 mmol Jawaban: 0,08 mmol Jawab: b) Konversi jumlah mmol menjadi mgr dengan mengalikan nilai tersebut dengan RMM (lihat kegiatan 3.1). 1mmol kalium memiliki berat 40 mgr . 0,08 mmol kalium memiliki berat 0,08 40mgr 3,2mgr . 0,08 mmol kalium terkandung dalam 20 mL serum. Jawaban: 3,2 mgr kalium terkandung dalam 20 mL serum 2. Persentase Konsentrasi Persentase dapat digunakan untuk menyatakan konsentrasi obat, baik dalam bentuk sediaan cair maupun padat. Persentase konsentrasi menjelaskan jumlah bagian obat (dalam gram atau militer) dalam 100 bagian bentuk sediaan. Ada tiga persentase konsentrasi yang lazim digunakan. Penggunaan ketiga persentase ini bergantung pada sifat produk. a. %bv Persen berat-dalam-volume digunakan untuk menyatakan berat suatu padatan dalam 100 mL produk cair. Sebagai contoh, larutan natrium klorida 1% b v dalam air berarti 1gr natrium klorida terkandung dalam 100 mL larutan. Untuk membuat larutan ini, 1 gr natrium klorida dilarutkan dalam sedikit air, kemudian larutan diencerkan hingga 100 mL dengan air. b. %bb Persen berat-dalam-berat digunakan untuk menyatakan berat suatu padatan, atau kadang-kadang cairan, dalam 100 g produk padat. Sebagai contoh, salep hidrokortison 1% b b berarti 1 gr hidrokortison terkandung dalam 100 gr salep akhir. Untuk membuat 51 Matematika dan Stastistika produk ini, 1 gr hidrokortison dicampur dengan sedikit basis salep, kemudian produk dibuat menjadi 100 gr dengan penambahan basis salep lebih lanjut. b. %v v Persen volume-dalam-volume digunakan untuk menyatakan volume suatu cairan dalam 100 mL produk cair. Sebagai contoh, emulsi yang mengandung 50% v v parafin cair berarti 50mL parafin cair terdapat dalam 100mL emulsi akhir. Contoh 3.2.3: Obat kumur mengandung 0,1% b v klorheksidin glukonat. Berapa gram klorheksidin glukonat terkandung dalam 250 mL obat kumur? Jawab: 1) Perhatikan pernyataan konsentrasi dan tentukan berapa banyak obat (dalam gram) terkandung dalam 1 mL produk. 2) Hitung berapa banyak obat terkandung dalam 250 mL produk. 0,1% b v berarti 100 mL obat kumur mengandung 0,1 gr klorheksidin glukonat. Jadi, 1 mL obat kumur mengandung (0,1c 100) g klorheksidin glukonat. Karena itu, 250mL obat kumur mengandung 0,1:100 250gr klorheksidin glukonat = 0,25gr . Jawaban: 0,25 gr Contoh 3.2.4: Berapa berat mikonazol yang dibutuhkan untuk membuat 40 gr krim yang mengandung 2% b b obat? Jawab: 1) Perhatikan pernyataan konsentrasi dan tentukan berapa banyak obat terkandung dalam 1 gr produk. 2) Hitung berapa banyak obat terkandung dalam 40 gr produk. 2% b b berarti 100 gr krim harus mengandung 2 gr mikonazol. Jadi, 1 gr krim harus mengandung 2:100 gr mikonazol. Karena itu, 40gr krim harus mengandung 2:100 40 gr mikonazol. Jawaban: 0,8 gr Contoh 3.2.5: Berapa banyak minyak kacang (arachis oil) yang dibutuhkan untuk membuat 300 mL emulsi yang mengandung 30% v v minyak kacang? 52 Matematika dan Stastistika Jawab: 1) Perhatikan pernyataan konsentrasi dan tentukan berapa banyak minyak kacang yang terkandung dalam 1 mL produk. 2) Hitung berapa banyak minyak kacang yang terkandung dalam 300 mL produk. 30% v v berarti 100 mL emulsi mengandung 30 mL minyak kacang. Jadi, 1mL emulsi mengandung 30:100 mL minyak kacang. Karena itu, 30 mL emulsi mengandung 30:100 300 mL minyak kacang = 90 mL . Jawaban: 90 mL 3. Rasio Konsentrasi Rasio konsentrasi terutama digunakan untuk menyatakan konsentrasi larutan yang sangat encer. Rasio menyatakan jumlah bagian pelarut (biasanya dalam mililiter) yang di dalamnya terlarut atau terdispersi satu bagian obat (biasanya dalam gram). Jadi, larutan obat 1: 5000 mengindikasikan 1 gr obat terlarut dalam 5000 mL ( 5L ) larutan. Contoh 3.2.6: Berapa miligram adrenalin terkandung dalam 10mL larutan obat 1: 10000 ? Jawab: 1) Ubah rasio menjadi pernyataan kuantitas per volume. 2) Hitung berapa banyak adrenalin terkandung dalam 1 mL larutan. 3) Hitung berapa banyak adrenalin terkandung dalam 10mL larutan. Larutan 1:10.000 berarti 1 g adrenalin terlarut dalam 10.000 mL larutan. Jadi, larutan akan mengandung adrenalin. 1mL 1:10000 gr Karena itu, 10mL larutan akan mengandung 1:10000 10gr 0,001gr 1mgr adrenalin. Jawaban: 1 miligram 4. Bagian sebagai Pernyataan Konsentrasi Metode pernyataan konsentrasi ini mirip dengan pernyataan rasio. Namun, dalam pernyataan konsentrasi bagian, simbol rasio diganti dengan kata ‘dalam’. Jadi, larutan 1: 1000 menjadi 1 dalam 1000, tetapi artinya tidak berubah, yaitu 1gr obat terlarut dalam 1000 mL larutan. Contoh 3.2.7: Satu ampul 10 mL yang berisi larutan bupivakain hidroklorida 1 dalam 200.000 diberikan pada pasien. Berapa miligram bupivakain hidroklorida yang diterima pasien? Jawab: 1) Ubah pernyataan bagian menjadi pernyataan kuantitas per volume. 53 Matematika dan Stastistika 2) 3) Hitung berapa banyak bupivakain hidroklorida terkandung dalam 1 mL larutan. Hitung berapa banyak bupivakain hidroklorida terkandung dalam 10 mL larutan. Larutan 1dalam 200.000 berarti 1 gr bupivakain hidroklorida terlarut dalam 200000 mL larutan. Jadi, 1 mL larutan akan mengandung 1:200000 gr bupivakain hidroklorida. Karena itu, 10mL larutan akan mengandung 1:200000 10gr 0,00005gr 0,05mgr bupivakain hidroklorida. Jawaban : 0,05 miligram B. KONVERSI ANTAR PERNYATAAN KONSENTRASI Konversi antar pernyataan konsentrasi sering kali perlu dilakukan. Untuk melakukan hal ini, Anda harus memastikan bahwa Anda memahami makna setiap pernyataan konsentrasi yang telah dijelaskan sebelumnya. Contoh 3.2.8: Suatu larutan mengandung 10mgr obat dalam 5mL larutan. Nyatakan konsentrasi ini sebagai rasio konsentrasi. Jawab: 1. Tentukan pernyataan konsentrasi yang diperlukan. 2. Karena yang dibutuhkan adalah rasio konsentrasi, tentukan berapa volume larutan yang akan mengandung 1 gr obat. 3. Nyatakan konsentrasi sebagai rasio. 10 mgr obat terkandung dalam 5mL larutan. Jadi, 1mgr obat terkandung dalam 5:10mL larutan. Karena itu, 1gr terkandung dalam 5:10 1000 mL 500 mL larutan Jawaban: rasio konsentrasi 1: 500 Latihan 1) Pasien diberi resep suspensi yang mengandung 2 mgr/mL obat. Aturan pakainya adalah pasien menggunakan 10 mL suspensi tiga kali sehari selama satu minggu. Jumlah miligram obat yang akan diterima pasien dalam seminggu adalah .... a. 400 mg obat b. 410 mg obat c. 420 mg obat d. 430 mg obat 54 Matematika dan Stastistika 2) Pasien melarutkan dua tablet, masing-masing mengandung 300 mgr aspirin, dalam 120 mL air. konsentrasi aspirin % b v dalam larutan adalah … 3) 4) 5) a. 0,5 % b/v b. 5 % b/v c. 0,1 % b/v d. 10 % b/v Jumlah gram antibiotik yang dibutuhkan untuk membuat 50 mL larutan antibiotik 0,25%b v adalah .... a. 0,125 g b. 0,25 g c. 0,5 g d. 1g Obat gosok mengandung 5%v v metilsalisilat. Jumlah metil salisilat yang dibutuhkan untuk membuat 600 mL obat gosok adalah .. a. 10 mL b. 20 mL c. 30 mL d. 40 mL Banyaknya hidrokortison yang terdapat dalam 120 gr krim yang mengandung 0,5b b 7) hidrokortison adalah … a. 0,3 g b. 0,6 g c. 0,9 g d. 1g Infus natrium klorida 0,9% b v banyak digunakan untuk penggantian elektrolit. Konsentrasi natrium klorida dalam mmol/L (Anggap RMM natrium klorida = 60) adalah … mmol/L a. 10 b. 15 c. 20 d. 25 Banyaknya volume larutan adrenalin 1: 20000 yang mengandung 50 mgr obat 8) adalah .... a. 1L b. 2L c. 3L d. 4L Konsentrasi % b v suatu larutan natrium bikarbonat 1000 mmol/L (RMM natrium 6) bikarbonat = 84) adalah .... % b/v a. 0,84 55 Matematika dan Stastistika 9) b. 8,4 c. 0,42 d. 4,2 Pasien menggunakan 200 mL larutan antiseptik 1: 8000 setiap hari selama 10 hari. 10) Jumlah gram obat antiseptik yang telah digunakan adalah …. a. 1g b. 0,75 g c. 0,5 g d. 0,25 g Anda diberi obat serbuk yang mengandung kadar air 10%b b . Berat serbuk yang Anda butuhkan untuk membuat 5 L larutan berair yang mengandung konsentrasi obat anhidrat 4%b v adalah .... a. b. c. d. 111,1 g 222,2 g 121,2 g 221, 2 g Ringkasan Sampai di sini saudara telah mempelajari dan mengenal dengan baik beberapa tentang Konsentrasi, Memahami Konsentrasi diperkenalkan empat cara berbeda untuk menyelesaikan konsentrasi, yaitu kuantitas per volume, presentase konsentrasi, rasio, dan bagian. Terdapat istilah % b v , %b b , dan % v v . Pada bagian terakhir disajikan bagaimana menginterpretasi pernyataan konsentrasi dalam bagian dan mengonvensi pernyataanpernyataan konsentrasi. Tes 2 1) Berapa gram antibiotik yang dibutuhkan untuk membuat 50 mL larutan antibiotik 0,25% b v ? A. B. C. D. 2) 0,25 0,5 0,125 0,0,2 Obat gosok mengandung 5% v v metil salisilat. Berapa banyak metil salisilat yang dibutuhkan untuk membuat 600 mL obat gosok? A. 30 mL B. 60 mL 56 Matematika dan Stastistika C. D. 3) Berapa banyak hidrokortison yang terdapat dalam 120 g krim yang mengandung 0,5%b b hidrokortison? A. B. C. D. 4) 90 mL 120 mL 0,2 g 0,6 g 0,9 g 0,12 g Infus natrium klorida 0,9% b v banyak digunakan untuk penggantian elektrolit. Nyatakan konsentrasi natrium klorida dalam mmol/L (Anggap RMM natrium klorida = 60). A. 15 mmol/L B. 30 mmol/L C. 45 mmol/L D. 50 mmol/L 5) Berapa volume larutan adrenalin 1:20.000 yang mengandung 50mg obat? A. 0,5 L B. 0,1 L C. 1L D. 10 L 57 Matematika dan Stastistika Kunci Jawaban Tes Tes 1 1) D 2) C 3) B 4) B 5) A Tes 2 1) C 2) A 3) B 4) A 5) C 58 Matematika dan Stastistika Daftar Pustaka Anonymous. 2010. Sistem Metrik. (online) Diakses pada tanggal 10 Juni 2014. http://asimtot.wordpress.com/2010/07/25/sistem metrik/ Anonymous. 2010. Konsentrasi. (online) Diakses pada http://asimtot.wordpress.com/2010/06/09/konsentrasi/ tanggal 10 Juni Dakin & Porter, 1969. Elementary Analysis, 6. Bell and Sons Ltd., London. Departemen Pendidikan dan Kebudayaan, 1980. Matematika, Jakarta: Sumber Bahagia. 59 2014 Matematika dan Stastistika BAB IV TURUNAN (DERIVATIF) Rudy Hartono dan Rahmat Kamaruddin PENDAHULUAN Dalam Bab 4 tentang turunan akan diuraikan pengantar kepada definisi turunan, aturan yang ada pada turunan dan penggunaannya. Pembahasan mengenai turunan telah kita jumpai pada materi kalkulus. Pada bab ini pembahasan lebih ditekankan pada unsur analisisnya, demikian halnya akan dibahas tentang kajian analitik (pembuktian) untuk aturan-aturan yang menggunakan turunan. Selain itu, akan diberikan beberapa contoh dari penggunaan aturan-aturan turunan yang telah dibuktikan. Bab 4 ini memuat uraian, contoh, latihan, petunjuk jawaban latihan , rangkuman, dan soal tes. 1. Bacalah uraian dan contoh dengan cermat dan berulang-ulang sehingga Anda benarbenar memahami dan materi yang dipelajari. 2. Kerjakan latihan yang tersedia secara mandiri. Apabila dalam kasus atau tahapan tertentu Anda mengalami kesulitan menjawab, maka pelajarilah rambu-rambu jawaban latihan. Jika langkah ini belum berhasil menjawab pemasalahan, maka mintalah bantuan tutor Anda atau orang lain yang lebih memahami. 3. Ulangilah pengerjaan tes sampai anda benar-benar merasa mampu mengerjakan semua soal dengan benar. Setelah mempelajari Bab ini, diharapkan Anda mampu memahami konsep turunan. Secara lebih terperinci, Anda diharapkan mampu: 1. Mencari turunan suatu fungsi dengan menggunakan definisi. 2. Membuktikan suatu teorema turunan fungsi. 3. Memahami aturan rantai untuk fungsi tersusun. 4. Memahami turunan dari fungsi-fungsi invers, turunan fungsi implisit, dan penurunan dengan bantuan logaritma. 5. Mencari turunan dari fungsi dalam persamaan parameter. 6. Mencari turunan kedua dan turunan yang lebih tinggi. 60 Matematika dan Stastistika Topik 1 Definisi dan Rumus-Rumus Turunan Definisi Pandang suatu fungsi y f x . Misalkan nilai x berubah dengan x sehingga y berubah dengan y maka y f x x f x . Apabila x 0 , maka didefinisikan: Turunan pertama dari y terhadap x adalah: dy y f x x f x y f f lim dx x x Atau bila x h , menjadi lim h 0 f x h f x h Catatan(1) Apabila kita mengambil x positif ,kita katakan turunan ke kanan. Sebaliknya, bila x di ambil negatif, kita katakan turunan ke arah kiri. Pada fungsi terdefenisi dalam interval a x b : pada x a b , boleh kita ambil x positif maupun negatif. Tetapi pada x a , x harus positif. Kita tulis: f a x f a dan pada x b, x harus negatif, kita tulis: f a lim x 0 x f b x f b f b lim x 0 x Contoh 4.1.1: Diketahui fungsi f x 5x3 Maka f x x f x 5 x x 5x 3 f x lim lim x 0 x 0 x x 2 2 2 lim 15x 15xx 5x 15x 3 x 0 RUMUS-RUMUS DASAR TURUNAN 1. 2. 3. y x n , maka y nx n1 y suatu fungsi konstanta, maka y 0 y suatu fungsi trigonometri: a. y sin x , maka y cos x b. y cos x , maka y sin x y tan x , maka y sec2 x c. 61 Matematika dan Stastistika 4. 5. 6. y cot x , maka y csc2 x d. e. y sec x , maka y sec x tan x f. y csc x , maka y csc x cot x y suatu fungsi trigonometri: 1 a. y g log x , maka y x lng 1 y ln x , maka y b. x y suatu fungsi eksponen: y a x , maka y a x lna a. y e x , maka y e x b. y suatu fungsi siklometri: 1 y arc sin x , maka y a. 1 x2 1 b. y arc cos x , maka y 1 x2 1 y arc tan x , maka y c. 1 x2 1 y arc cot x , maka y d. 1 x2 1 y arc sec x , maka y e. x x2 1 1 y arc csc x , maka y f. x x2 1 Contoh 4.1.2: y x 5 , maka y 5x 4 1 2 y 2 , maka y 2 x 3 3 x x 1 1 y x , maka y 12 x 2 2 x Contoh 4.1.3: 1. y sin x , maka y ' cos x 1 y 3log x, maka y ' 2. x In 3 3. y = 5, maka y ' 0 4. 2x , maka y ' 2x ln2 62 Matematika dan Stastistika Latihan 1) Diketahui fungsi f x 5x3 . Maka turunan pertama dari fungsi tersebut adalah … 2) a. 15x 3 b. 15x2 c. 25x3 d. 25x 3 Nilai turunan dari y x 5 adalah .... a. b. c. d. 3) x4 1 4 x 5 5x 4 4x5 Nilai turunan dari y 1 adalah .... x2 1 x3 2 b. x3 3 c. x3 2 d. x Diketahui y x , maka nilai turunan pertamanya adalah 1 a. 2 x 1 b. x c. 2 d. 2 x 5 y x 5x 4 10 x 2 6 , maka turunan pertama dari fungsi tersebut adalah .... a. 4) 5) a. b. c. d. 6) x 4 5x3 10x 6 x 5 20x 4 20x2 6x 5x 4 20x 3 20 x 5x 6 20 x 5 20 x Turunan pertama dari fungsi y 3x 2 adalah …. 4 a. 3x 2 b. 12 63 Matematika dan Stastistika c. d. 7) 8) 4 Diketahui y e 5x , maka nilai y adalah …. a. 5x b. 5e5 x c. 4e5 x d. 5 Diketahui fungsi f x ln3x , maka nilai dari a. b. c. d. 9) 3x 2 3 12 3x 2 dy adalah dx x 1 x lnx y 2x Diketahui y e2 x tentukan nilai y untuk x 2 x 1 Ringkasan Anda telah mengingat kembali definisi turunan, mulai dari teori turunan, rumus-rumus dasar turunan dan operasi dasar pada turunan sampai pada operasi yang lebih luas yang masih berlaku pada sebarang turunan. Di akhir bagian ini, diingatkan kembali mengenai gabungan penggunaan rumus-rumus dasar turunan. Materi ini menjadi dasar/pengetahuan bagi materi berikutnya, pada topik berikutnya maupun modul berikutnya Turunan atau derivatif f x ke x adalah fungsi lain f x yang nilainya untuk sebarang x c adalah : f c lim h 0 f c h f c h Bila secara umum untuk x c dan h x , maka f x x f x h0 x f x lim 64 Matematika dan Stastistika Tes 1 1) Nilai turunan dari f x x3 5x2 4x 9 adalah .... A. B. C. D. 2) Nilai turunan dari f x 2x 3 x 2 1 adalah .... A. B. C. D. 3) 4) 2x 2 6 x 2 2x 2 6 x 2 6x2 6x 2 6x2 6x 2 x2 4 Nilai turunan dari adalah .... 3x 7 3x 2 14 x 12 A. 19 x 2 42 x 49 3x 2 14 x 12 B. 19 x 2 42 x 49 x2 4 x 2 C. x 2 2x 9 x2 4 x 2 D. x 2 2x 9 Nilai turunan dari f x 2x 3 adalah .... 3 A. B. C. D. 5) 3x2 10 x 4 x2 10x 4 3x2 10x 4 x2 10x 4 72x2 24 x 54 72x2 54 x 24 24 x2 72x 54 24 x2 72x 24 Nilai turunan fungsi dari fungsi f x 6x3 adalah.. A. B. C. D. 6x2 12x2 18x2 6x2 65 Matematika dan Stastistika 6) Diketahui f t A. t 2t 2 1 B. C. D. 7) 8) 2 6 3 , maka nilai dari f t adalah… t t 2 t 2 2t 3 t2 t 2t 2 t2 1 t 2t Diketahui f x x 3 2x 2 , maka nilai dari f t adalah .... 3 4x A. 3 2x 3 4x B. 3 2x2 3 2x C. 3 4x 3 4 x2 D. 3 2x2 Diberikan y 3 4 x x 2 , nilai dari y adalah .... 12 A. B. C. D. 2–x 2–y 2 x y 2y x 66 Matematika dan Stastistika Topik 2 Jenis-Jenis Turunan A. ATURAN RANTAI UNTUK FUNGSI TERSUSUN Untuk fungsi-fungsi yang bentuknya rumit, di mana y adalah fungsi dari u (atau v) , u dan v merupakan fungsi dari x , turunannya kita cari dengan mengembalikannya ke rumus dasar. Cara pengembaliannya sebagai berikut : 1. Jika berbentuk y u, maka y u , bilangan . 2. Jika berbentuk y u v , maka y u v . 3. Jika berbentuk y uv , maka y uv uv . u uv uv 4. Jika berbentuk y , maka y . v v2 Serta gabungan dari bentuk-bentuk tersebut. Contoh 4.2.1: 1. y 8 x 3 , maka y 8 x 3 24 x 2 2. y 3tan x , maka y 3 tan x 3sec2 x 3. 4. 5. y x 2 e x , maka y 2x e x y x 3 x 2 x 2, maka y 3x 2 2x 1 y x 3 2x , maka y 3x 2 2x x 3 2x ln2 6. y 1 cos x x sin x cos x x sin x x , maka y 2 cos x cos2 x cos x Contoh 4.2.2: y 8 x 4 7 x 3 2 x 3, maka y 32 x 3 21x 2 2 1. 2. y 3x2e x tan x , maka y 3x 2 e x tan x 3x 2 e x tan x 6 xe x tan x 3x 2 e x tan x e x sec2 x 6xe x tan x 3x2e x tan x 3x2e x sec2 x (dapat dicatat bahwa bila y UVW , maka y UVW UV W UVW ). 3. 2 x x ln x 1 X1 x 2 1 x2 1 y , maka y 2 x ln x x ln x x 3 2x 2 ln x x 2 x 1 x 3 2x 2 ln x x ln2 x 67 Matematika dan Stastistika Selain dari ke-4 bentuk di atas (serta gabungannya), suatu fungsi mungkin merupakan suatu fungsi tersusun dari fungsi pada rumus dasar. Untuk mencari turunannya, kita gunakan suatu rumus yang disebut aturan rantai. Jika y f x yang merupakan suatu fungsi tersusun y g u dan u h x , maka: dy dy du . dx du dx Contoh 4.2.3: 1. y 3x 2 u4 dimana u 3x 2, maka 2. dy du 3 4u2 3 12u3 12 3 x 2 du dx y 5cos x2 1 5cos u dimana u x 2 1, maka 4 y dy du 5sinu 2 x 10 x sin x 2 1 du dx 1 1 y sinln x , maka y cosln x cosln x x x y 3. 4. y e x 3 4 , maka y e 3x 3x e x3 4 2 x 3 4 2 Catatan (2) : Secara umum, jika y f x merupakan fungsi tersusun y f1 u1 , u1 f2 u2 ,..., un fn1 x , maka : dun dy dy du1 dx du1 dx2 dx Contoh 4.2.4: y ln sin e x2 1 Penyelesaian : Misalkan y lnu1 u1 sine u2 e x2 1 x2 1 sinu1 eu3 u3 x 2 1 u4 , u4 x 2 1 Maka : dy 1 1 du1 u1 sin e x2 1 2 du1 cos u2 cos e x 1 du1 68 Matematika dan Stastistika 2 du2 eu3 e x 1 du3 du3 1 1 du4 2 u4 2 x 2 1 du4 2x dux Jadi, 1 y sin e x 2 1 2 xe cos e x 2 1 cos e 2 x 2 1 sin e x 2 1 e x 2 1 1 2 x2 1 2x x 2 1 x 2 1 Catatan (3) : Secara geometri, turunan pada suatu titik menyatakan koefisien arag (gradient) garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Misalkan fungsi y f x , titik P x1 , y1 pada grafik dari y f x koefisien arah garis singgung m f x1 lim x 0 f x1 x f x x Contoh 4.2.5: Tentukan persamaan garis singgung di titik x 2 pada fungsi f x 3x 4 Penyelesaian: Koefisien arah garis singgung : m f x 12x3 f 2 128 96 Persamaan garis singgung : y y1 m x x1 karena x1 2, maka y1 324 48 . Jadi garis singgung tersebut adalah y 96x 144 . B. TURUNAN DARI FUNGSI-FUNGSI INVERS Jika y f x kontinu dan monoton naik (atau turun) pada interval a x b , maka terdapat suatu fungsi invers x f 1 y yang kontinu juga. Berlaku: f 1 y 69 1 dy dx Matematika dan Stastistika Contoh 4.2.6: 1 3 Diketahui f x y 2x 3 . Fungsi inversnya adalah f 1 y y 2 2 dy dx 1 Terlihat bahwa, 2 dan dx dy 2 Contoh 4.2.7: 2 dx 1 1 1 y 3 f x x inversnya x y dan 2 dy dy 3x 2 3y 3 3 dx dy dx Terlihat bahwa 3x 2 0 di x 0, sedangkan untuk y 0, tidak ada dx dy 1 3 3 C. TURUNAN FUNGSI IMPLISIT Untuk menghitung turunan pertama dari fungsi implisit f x , y 0 , kita memandang tiap-tiap suku sebagai suatu fungsi dari x , kemudian menurunkan suku demi suku. Misalnya untuk fungsi implisit x 2 xy y 3 0 . x 2 x y xy xy y xy Bentuk suku y 3 , misalkan y 3 u , maka du du dy dy u 3y 2 3y 2 y dx dy dx dx Atas kanan 0 0 Jadi turunan pertama dari x 2 xy y 3 0 adalah 2x y xy 3y 2 y 0 atau 2x 3y 2 y 2x y Jadi, y 2x y x 3y 2 Contoh 4.2.8: cos x e y xy 2 0 diturunkan menjadi : sin x e y y y 2 2 xyy 0 e y 2 xy y 1 sin x y 2 1 sin x y y e 2xy 2 y 70 Matematika dan Stastistika D. PENURUNAN DENGAN BANTUAN LOGARITMA (LOGARITHMIC DIFFERENTIATION) Pada beberapa fungsi tertentu, lebih mudah apabila mempergunakan logaritma ketika mencari turunannya, terutama untuk fungsi berbentuk y uv di mana u dan v fungsi-fungsi dari x dan fungsi berbentuk: f x f2 x fn x y 1 g1 x g2 x gn x Contoh 4.2.9: y x sin x ln y ln x sin x sin x ln x 1 1 y cos x ln x sin x y x 1 y y cos x ln x sin x x 1 y x sin x cos x ln x sin x x Contoh 4.2.10: y x 3e2 x cos2 x , dengan logaritma menjadi: ln y 3ln x 2 x ln e 2lncos x 3ln x 2 x 2lncos x 1 3 2 y 2 sin x y x cos x 3 y y 2 2tan x x 3 x 3e2 x cos2 x 2 2tan x x E. TURUNAN DARI FUNGSI DALAM PERSAMAAN PARAMETER Suatu fungsi dalam persamaan parameter y g t , t f 1 x 71 x f t y g t kita ubah menjadi Matematika dan Stastistika Menurut aturan rantai, berlaku: dy dy dt dt 1 , sedangkan , sehingga diperoleh dx dx dt dx dx dt dy dy dt dx dx dt Contoh 4.2.11: x et Diketahui fungsi 3t y e Fungsi tersebut dapat kita ubah menjadi y e3t et x 3 , sehingga 3 dy 3x 2 . dx Dengan menggunakan rumus di atas, diperoleh: dy dy dt 3e3t dt dx e3 dt Tetapi kadang-kadang sukar menggunakan cara pertama itu, misalnya: x t et Diketahui fungsi y t cos t Akan menuliskan t sebagai fungsi dari x , maka: dy dy dt cos t t sint (mudah sekali dihitung) dt dx 1 et dt F. TURUNAN KEDUA DAN TURUNAN YANG LEBIH TINGGI 1 1 3 3 y 2x 2 6x 3 2x 2 4x 4 9 Jika y f x mempunyai turunan pada suatu interval, maka turunannya adalah y f x merupakan suatu fungsi baru pada interval tersebut. Jika fungsi yang baru tersebut kita turunkan, maka turunannya adalah y f x disebut turunan kedua dari y f x 72 Matematika dan Stastistika terhadap x . Demikian seterusnya untuk yang turunan ketiga y f x , turunan keempat, kelima, dan seterusnya. Bermacam-macam notasi yang dapat kita gunakan, antara lain: y , y , y ,..., y m ,... f , f , f ,..., f m ,... dy d 2 y d 3 y d my , , ,..., ,... dx dx 2 dx 3 dx m Dy , D2 y , D 3 y ,..., D m y ,... Dx y , Dx2 y , Dx3 y ,..., Dxm y ,... 0 Dapat dicatat: kita dapat menganggap y sendiri sebagai turunan ke-nol, atau y Contoh 4.2.12: Misalnya y 2x 5 , maka y 10 x 4 , y 40 x 3 , y 120 x 2 , dan seterusnya. Catatan (4): Turunan yang lebih tinggi untuk fungsi berbentuk uv adalah : uv uv uv uv uv 2uv uv uv uv 3uv 3uv uv uv m u mv mu m1v m m 1 m 2 u v uv m 2 m m u m k v k k 0 k Catatan (5): Koofesien di atas adalah koofesien binomial (mengikuti segitiga pascal) m m! Ckm (kombinasi) k k ! m k ! Aturan di atas disebut aturan Leibnitz. Contoh 4.2.13: Tentukan turunan ke-3 dari y x2 f x 73 Matematika dan Stastistika Jawab : u x 2 dan v f x Misalkan uv uv 3uv 3uv uv 0 f x 3 2 f x 3 2 x f x x 2 f x Contoh 4.2.14: x y f x 2 , untuk setiap x . Tentukan turunan ketiga. x 1 Jawab : u 1 diubah ke dalam bentuk y uv dengan v v w f x u v 3u v 3u v uv Bentuk y 2x 2 x 1 x 48 x x 1 24 x x 1 0 v 3 0 v 3 1 2 x 2 1 3 4 2 3 2 2 2 3 48 x 4 x 2 1 48 x 2 x 2 1 6 x 2 1 3 x 2 1 4 x 2 1 4 2 2 48x 48x x 1 6 x 1 4 6 x 4 2 2 2 2 36 x 2 6 Contoh 4.2.15: Turunan kedua untuk fungsi tersusun: Asalnya y u5 , dimana u x 3 1 . Menurut aturan rantai, diperoleh: dy dy du 5u 4 3x 2 15u 4 x 2 dx du dx dy Biarkan tetap berbentuk di atas, lalu dilanjutkan menghitung , yaitu: du 5 Du4 x 2 15u4 Dx 2 60u3 3x 2 x 2 30u4 x 30u3 x u 6 x 3 , dengan u x 3 1 Contoh 4.2.16: Turunan kedua untuk fungsi implicit: Diketahui y 3 y x 0 Turunan pertama: 74 Matematika dan Stastistika 3y 2 y y 1 0 y 1 3y 1 2 Turunan kedua: 6yy y 3y 2 y y 0 y 6 y y 3y 2 2 1 6 y 3y 2 1 3 Contoh 4.2.17: Turunan kedua untuk fungsi dalam bentuk parameter, misalnya : x t t 3 p t , y 3t 2t 3 q t maka y dy q t 3 6t 2 h t dx p t 1 3t 2 Sehingga diperoleh x p t sebagai persamaan parameter dari grafik y y h t Dengan cara yang sama, diperoleh: 3 6t 2 2 d 2 y h t 1 3t 30t 2 2 dx p t 1 3t 1 3t 2 3 Catatan (6) : x p t berlaku Secara umum untuk bentuk parameter y q t p t q t p t q t y 3 p t Contoh 4.2.18: Pada Contoh (4.2.17) : x t t 3 , maka x 1 3t 2 dan x 6t y 3t 2t 3 ,maka y 3 6t 2dan y 12t 75 Matematika dan Stastistika Sehingga dy (3 6t 2 ) dan dx (1 3t 2 ) d 2 y (1 3t 2 )(12t ) (6t )(3 6t 2 ) 30t 2 2 3 dx (1 3t ) (1 3t 2 )3 Catatan (7) : Kita mempergunakan pula istilah hasil bagi diferensial sebagai istilah lain dari turunan. Sedang “dierensial” mempunyai arti yang sedikit berbeda : Jika y f x suatu fungsi, maka : 1. 2. Dx disebut dierensial dari x , dimana dx x Dy disebut dierensial dari y , dimana dy f x dx ( x , y adalah perubahan dari x dan y ) Contoh 4.2.19: Jika y f x x2 , maka dy 2xdx Sementara y (x x)2 x 2 2xx x 2 Jadi, sebenarnya dy adalah y dengan mengabaikan suku x 2 yang sangat yang sangat kecil bila x kecil. Contoh 4.2.20: Rumus-rumus untuk diferensial tidak berbeda dengan rumus-rumus untuk turunan. Misalnya : 1. y 2cos x , maka dy 2sin xdx 2. 2 y 3e2 x arctan2x , maka dy 6e2 x dx 1 4 x2 Latihan 1) x t 2 2t Turuna pertama dari adalah … 3 y t 5 1 a. 4 27 b. 4 27 c. 7 d. 4 76 Matematika dan Stastistika 2) Diketahui e x a. 3x 2e x b. 3x 2 e x 3 3 3 4 , maka y adalah .... 4 4 3x 2 e x c. 3 x 2e x 4 d. Diketahui f x y 2x 3 . Fungsi inversnya f 1 x adalah .... 3 3) 2 1 b. 2 1 3 y c. 2 2 1 y 2 d. 2 Turunan pertama dari fungsi implisit x cos x e y xy 2 0 adalah .... a. 4) 5) 6) a. 1 sin x y 2 ey 2xy b. 1 sin x y 2 ey 2xy c. 1 sin x x 2 ey 2xy d. 1 sin x y 2 ey xy Dengan logaritma, turunan dari y x 3e2 x cos x adalah .... 3 a. x 3e2 x cos2 x 2 2tan x x 3 2x 2 b. x e cos x 3 c. 2 2tanx x 3 d. cos2 x 2 2tan x x t x e dy Diketahui fungsi , maka nilai adalah …. 3t dx y e a. b. c. d. 3x x2 3x2 6x2 77 Matematika dan Stastistika 7) Turunan ketiga dari y x2 f x adalah .... a. 6xf x 6 f x f x b. c. 6 6x x2 f x f x f x 6 f x 6xf x x2 f x x y F x 2 untuk setiap x , maka turunan ketiga dari fungsi tersebut adalah …. x 1 d. 8) a. b. c. d. x x x x 2 2 2 2 1 6x 36x 6 1 6 x 36 x 6 1 6 x 36 x 1 6 x 36 x 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 Ringkasan Sampai di sini saudara telah mengingat kembali jenis-jenis turunan, terdiri dari aturan rantai untuk fungsi tersusun, turunan dari fungsi-fungsi invers,turunan fungsi implisit, penurunan dengan bantuan logaritma, turunan dari fungsi dalam persamaan parameter, turunan kedua dan turunan yang lebih tinggi. Selain itu, turunan antar jenis turunan juga telah dibahas. Dengan bekal ini, diharapkan topik-topik berikutnya yang memanfaatkan pengertian fungsi dan sifat-sifatnya dapat teratasi dengan baik. Tes 2 1) 2) Jika f x sin2 2 x maka nilai dari f 0 adalah .... 6 2 3 A. B. 2 3 C. D. 2 Persamaan garis singgung kurva y 2 x 2 di titik 2,p adalah .... A. B. C. D. x – 2y 6 0 x – 2y – 6 0 2x 2y – 6 0 2x – y 6 0 78 Matematika dan Stastistika 3) Turunan ke- n dari f x 1 .... 3x 2 1 3n n! f x n 1 3x 2 n 1 3n n! n f x n 1 x 2 n A. B. C. D. 4) 7) f n x 3n n! x 2 n 1 3n n! x 2 n 1 270 meter 320 meter 670 meter 720 meter Diketahui f x 3x3 6x2 4 , nilai dari f 1 adalah .... A. B. C. D. 6) f n x Suatu peluru ditembakkan ke atas, jika tinggi h meter stelah t detik dirumuskan dengan ht 120t 5t 2 maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah … A. B. C. D. 5) n -21 -11 21 11 x a cos t t sint Diketahui , nilai y adalah .... y a sint t cos t tant A. 2t B. 1t tant C. 1 D. t Nilai y dari y A. B. C. D. 1 lntan x adalah .... 2sin2 x tan x csc x tan x csc x tan x csc4 x 79 Matematika dan Stastistika 8) 1 x x 2 a2 a2 ln x x 2 a2 2 ax A. y B. C. D. , maka y adalah .... a2 x2 ax a x 2 80 Matematika dan Stastistika Kunci Jawaban Tes Tes 1 1) A 2) D 3) A 4) C 5) C 6) B 7) D 8) C Tes 2 1) C 2) A 3) A 4) D 5) C 6) C 7) D 8) B 81 Matematika dan Stastistika Daftar Pustaka http://id.wikipedia.org/wiki/Turunan Razali Muhammad, dkk. 2010. Kalkulus Diferensial. Bogor: Ghalia Indonesia. Hw, Slamet. 2000. Kalkulus. Surakarta : Muhammadiyah University Press. 82 Matematika dan Stastistika BAB V PENGGUNAAN TURUNAN Rudy Hartono dan Rahmat Kamaruddin PENDAHULUAN alam Modul 5 tentang pemakaian turunan akan diuraikan turunan sebagai salah satu bagian dari kalkulus banyak digunakan dalam bidang ekonomi dan bisnis, industri, fisika (misalnya dalam mekanika dan elektro), biologi, ilmu-ilmu sosial, dan sebagainya . Pembahasan mengenai turunan telah kita jumpai pada materi kalkulus. Pada modul ini pembahasan lebih ditekankan pada unsur analisis dan pemakaiannya, demikian halnya akan dibahas tentang kajian analitik (pembuktian) untuk aturan-aturan yang menggunakan pemakaian turunan. Selain itu, akan diberikan beberapa contoh dari penggunaan aturan-aturan turunan yang telah dibuktikan. Modul 5 ini memuat uraian, contoh, latihan, petunjuk jawaban latihan , rangkuman, dan soal tes. 1. Bacalah uraian dan contoh dengan cermat dan berulang-ulang sehingga Anda benarbenar memahami dan materi yang dipelajari. 2. Kerjakan latihan yang tersedia secara mandiri. Apabila dalam kasus atau tahapan tertentu Anda mengalami kesulitan menjawab, maka pelajarilah rambu-rambu jawaban latihan. Jika langkah ini belum berhasil menjawab pemasalahan, maka mintalah bantuan tutor Anda atau orang lain yang lebih memahami. 3. Ulangilah pengerjaan tes sampai Anda benar-benar merasa mampu mengerjakan semua soal dengan benar. Setelah mempelajari modul ini, diharapkan Anda mampu memahami konsep turunan. Secara lebih terperinci, Anda diharapkan mampu : 1. Memahami garis singgung dan garis normal 2. Memahami nilai maksimal dan minimal dalam pemakaian turunan 3. Mampu menghitung nilai ekstrim 4. Mampu memahami pemakaian turunan dalam kehidupan sehari-hari. 83 Matematika dan Stastistika Topik 1 Menentukan Garis Singgung, Garis Normal serta Nilai Maksimum dan Minimum Turunan sebagai salah satu bagian dari kalkulus banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam bidang ekonomi dan bisnis, industri, fisika (misalnya dalam mekanika dan elektro), biologi, ilmu-ilmu sosial, dan sebagainya. Pada Topik ini akan dibahas beberapa di antaranya. A. GARIS SINGGUNG DAN GARIS NORMAL Jika fungsi f x mempunyai suatu turunan pertama f x0 pada x x0 yang hingga, maka grafik y f x mempunyai garis singgung di x0 , y0 dengan koefisien arah : m tan f x0 Jika m 0 maka garis singgung sejajar sumbu X , persamaan: y y0 Garis singgung tersebut mempunyai persamaan: y y0 m x x0 Gambar 5.1 Jika f x kontinu pada x x0 tetapi f x , maka grafik mempunyai garis singgung yang sejajar sumbu Y , persamaannya: x x0 . Sebagai contoh adalah titik B dan titik D pada gambar. Garis normal grafik fungsi f x pada salah satu titik adalah garis yang tegak lurus garis singgung pada titik tersebut. 84 Matematika dan Stastistika Persamaan garis normal di x x0 : Y y0 1 X x0 f x Jika garis singgung // sumbu Y maka garis normal // sumbu X . Jika garis singgung // sumbu X maka garis normal // sumbu Y . Gambar 5.1.2 Contoh 5.1.1: Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada y x 3 2x 2 4 pada titik ... Jawab: f (x) y 3x 2 4 x dan f 2 4 Jadi, garis singgung: y 4 4 x 2 atau y 4 x 4 Garis normal: y 4 x 2 4 atau 4y x 18 Contoh5.1.2: Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik x y 16. 2 2 Jawab: Misalkan titik P x0 , y0 adalah titik singgung, maka: 1. 2. x02 y02 16 karena P hiperbola x x 2x 2yy 0 y dan m 0 y y0 Garis singgung melalui titik 2, 2 dan x0 , y0 , sehingga (y0 2) (x0 2) x0 (y0 2) y0 (x0 2) m x02 2 x0 y02 2y0 2 x0 2y0 x02 y02 2 x0 2y0 16 x 8 y3 85 2, 2 terhadap hiperbola Matematika dan Stastistika Subtitusikan ke (1) diperoleh y0 3, x0 5, dan m 3 5 Jadi persamaan garis singgung : y 3 5 x 5 atau 3y 5x 16 3 Catatan (1): Sudut perpotongan antara dua buah grafik fungsi didefinisikan sebagai sudut antara kedua garis singgung pada titik potong kedua grafik tersebut. Untuk menentukan sudut perpotongan antara dua grafik fungsi, langkahnya sebagai berikut. 1. Tentukan titik potong 2. Tentukan koefisien garis singgung m1 dan m2 pada titik potong tersebut 3. Jika .., maka sudut perpotongan 00 1 Jika m1 , maka sudut perpotongan 900 m2 Jika tidak memenuhi syarat di atas maka: m1 m2 tan , dengan adalah sudut lancip 1 m 1m 2 Contoh 5.1.3: Tentukan sudut perpotongan antara grafik y 2 4 x dan 2 x 2 12 5y Jawab: y2 disubtitusikan ke 2x 2 12 5y 4 Diperoleh y1 2 x1 1 y2 4 x2 4 y2 4 x x Jadi titik potongnya adalah P1 1,2 dan P2 4, 4 Untuk y 2 4 x 2yy 4 y 2 y 2 x 2 12 5y 4 x 5y y 4x 5 2 1 4 1, m2 4 2 5 5 2 1 4 16 , m2 4. Untuk titik P2 4, 4 : m1 4 2 5 5 m m2 9 atau 83o40 Jadi P1 : tan 1 1 m1m2 Untuk titik P1 1,2 : m1 86 Matematika dan Stastistika Catatan (2) Panjang garis singgung adalah panjang potongan garis singgung di hitung dari titik singgung sampai titik potong dengan sumbu X . Sedangkan panjang proyeksi potongan garis tersebut pada sumbu X di sebut panjang subgaris singgung (panjang subtangen). Panjang garis normal adalah panjang potongan garis normal di hitung dari titik potong dengan garis singgung sampai titik potong dengan sumbu X . Sedangkan panjang proyeksi garis tersebut pada sumbu X di sebut panjang subgaris normal (panjang subnormal). Perhatikan Gambar 5.3 Jika m tan adalah koefisien arah garis singgung y Panjang subtangen (St ) TS 0 m Panjang subnormal (Sn ) SN |my0 | Panjang garis singgung TP TS2 SP2 Panjang garis normal NP SN2 SP2 Gambar 5.3 Contoh 5.1.4: Tentukan panjang garis singgung, subtangen, garis normal, dan subnormal dari xy 2x y 5 pada titik 2,1 Jawab: y xy 2 – y 0 y y 2 x 1 pada titik 2,1 , y m 3 y 1 panjang subtangen 0 m 3 panjang subnormal |my0 | 3 87 Matematika dan Stastistika 2 10 1 1 3 3 panjang garis singgung panjang garis normal B. (3)2 12 10 MAKSIMA DAN MINIMA Definisi : Suatu fungsi f x dikatakan naik pada titik x x0 jika untuk h 0 yang cukup kecil, berlaku f x0 h f x0 f x0 h Fungsi f x dikatakan turun pada titik x x0 jika untuk h 0 yang cukup kecil, berlaku f x0 h f x0 f x0 h Catatan (3) Telah diketahui bahwa turunan pertama pada titik x x0 menyatakan koefisien arah garis singgung pada titik x x0 , maka definisi dapat kita tulis: f x naik pada titik x x0 jika f x0 0 f x naik pada titik x x0 jika f x0 0 Apabila f x0 0 dikatakan f x mempunyai suatu titik krisis pada x x0 . Suatu fungsi f x dikatakan naik (monoton naik) pada suatu interval jika f x0 0 untuk setiap x pada interval tersebut. Dan fungsi f x dikatakan turun pada suatu interval jika f x0 0 untuk setiap x pada interval tersebut. Contoh 5.1.5: Perhatikan Gambar 5.4 berikut. Gambar 5.4 f x naik pada interval a x r dan t x u , sedangkan f x turun pada interval r x t . Titik kritis dari f x tersebut adalah titik R, S, dan T di mana garis singgung pada titik tersebut horizontal. 88 Matematika dan Stastistika Catatan (4): Perhatikan Gambar 5.5 berikut: Gambar 5.5 Busur dari f x pada Gambar 5.5 (a) disebut cembung dan busur dari f x pada Gambar 5.5 (b) disebut cekung. Busur dari f x disebut cembung apabila ditarik garis singgung pada suatu titik pada busur, maka semua titik lain pada busur tersebut terletak di atas garis singgung. Busur dari f x disebut cekung apabila semua titik lain pada busur terletak di bawah garis singgung tersebut. Dapat ditulis juga: f x di sekitar x x0 adalah cembung jika f x0 0 , dan f x cekung jika f x0 0 . Gambar 5.6 Gambar 5.7 Catatan (5): Apabila pada x x0 , busur dari f x berubah dari cembung ke cekung atau sebaliknya, dikatakan bahwa f x mempunyai titik belok pada x x0 . Dapat ditulis: P x0 , f x0 adalah titik belok dari f x jika f x0 0 dan f x0 0 . Contoh 5.1.6: y 3x 4 10 x 3 12x 2 12x 7 89 Matematika dan Stastistika Penyelesaian: y 12x 3 30 x 2 24 x 12 y 36 x 2 60 x 24 Untuk mencari titik belok y 0 , sehingga y 36 x 2 60 x 24 0 1 Dari persamaan ini, diperoleh: x dan x 2 3 Jika: 1 x maka y , berarti cembung 3 1 x 2 maka y , berarti cekung 3 x 2 maka y , berarti cembung x 1 1 1 x x 2 x 2 x 2 3 3 3 y , cembung y , cekung y , cembung 1 322 Titik belok adalah , dan 2, 63 karena pada titik tersebut y berubah tanda. 3 27 1 (Juga dapat diselediki bahwa y 72x 60 0 untuk x maupun x 2 ) 3 Definisi: Fungsi f x dikatakan mempunyai harga maksimum relatif f x0 di x x0 jika ada q 0 yang cukup kecil, sedemikian sehingga f x f x0 untuk setiap x dengan 0 | x x0 | q . Fungsi f x dikatakan mempunyai harga minimum relatif f x0 di x x0 jika ada q 0 yang cukup kecil, sedemikian sehingga f x f x0 untuk setiap x dengan 0 | x x0 | q . Titik x , f x yang merupakan titik maksimum/minimum relatif disebut juga titik ekstrem 0 Catatan (6): Jika f x didefenisikan pada suatu interval tertentu dan terdapat x x0 pada interval tersebut sedemikian sehingga f x0 f x untuk setiap x pada interval tersebut, maka f x dikatakan mempunyai maksimum mutlak f x0 pada titik x x0 f x dikatakan mempunyai minimum mutlak bila f x0 f x 90 Matematika dan Stastistika Gambar 5.8 Titik R adalah titik maksimum relatif dari f x , karena jika diambil q 0 cukup kecil berlaku f x f r untuk 0 | x r | q . Titik T adalah titik minimum relatif. Sedangkan S bukan titik maksimum maupun minimum relatif. Pada contoh di atas titik R merupakan titik maksimum mutlak pada interval a x u . Titik T bukan titik minimum mutlak pada interval a x u karena f a f t . Tetapi jika diambil interval r x u maka T merupakan titik minimum mutlak. Contoh 5.1.7: f x 2x2 5x 4 untuk 1 x 2 5 f x 4 x 5 0 x merupakan titik kritis dan juga merupakan titik maksimum relatif 4 (ambil q kecil sekali, misalnya 0,001 maka 5 5 5 f 0,001 f f 0,001 . 4 4 4 5 Dapat dilihat dari gambar, titik x merupakan satu-satunya titik maksimum relatif dan 4 juga merupakan titik maksimum mutlak. Sedangkan titik minimum mutlak diperoleh pada titik batas interval yaitu pada x 2 dan pada gambar terlihat bahwa nilai minimum relatif tidak ada. Latihan 1) Persamaan garis singgung dan garis normal pada y x 3 2x 2 4 adalah .... a. y x 18 b. y x 18 c. 4y x 18 d. 4y x 18 91 pada titik (2,4) Matematika dan Stastistika 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Persamaan garis singgung yang melalui titik (2,-2) terhadap hiperbola x 2 y 2 16 adalah .... a. 3y 5x 16 b. y x 16 c. y 3 5x 5 d. y 5x 25 Sudut perpotongan antara grafik y 2 4 x dan 2 x 2 12 5y adalah .... a. 800 b. 810 c. 820 d. 830 Panjang garis singgung dari xy 2x y 5 pada titik (2,1) adalah .... 1 a. 3 3 b. 10 c. 3 10 d. Persamaan garis yang menyinggung parabola y 2 2x 4y 1 0 di (-2,1) adalah .... a. xy 0 b. x y 1 0 c. x y 1 0 d. x y 1 0 Persamaan garis singgung di (2,2) pada x 2 2xy y 2 2x y 6 0 adalah … a. yx 0 b. y 2x 0 c. y 2x 0 d. 2y x 0 Persamaan garis yang menyinggung y x 3 6 x 2 serta sejajar garis y 6x 2 dan y 6x 12 adalah .... a. x y 14 b. x y 14 c. 6x y 14 d. x 6y 14 Perkalian dari dua bilangan positif adalah 16. Jumlah kedua bilangan tersebut apabila jumlah bilangan pertama dengan kuadrat bilangan kedua adalah terkecil adalah … a. 8 b. 9 c. 10 d. 12 92 Matematika dan Stastistika Ringkasan Gradian garis untuk persamaan y mx c adalah m a b gradien garis untuk persamaan ax by c , maka m gradien garis jika diketahui dua titik, misal x1 , y1 dan x2 , y2 maka untuk mencari gradien garisnya m y2 y1 x2 x1 Gradien dua garis lurus, berlaku ketentuan : jika saling sejajar maka m1 m2 jika saling tegak lurus maka m1 m2 1 atau m1 Jika terdapat kurva y f x disinggung oleh sebuah garis di titik 1 m2 x1 , y1 maka gradien garis singgung tersebut bisa dinyatakan dengan m f x1 . Sementara itu x1 dan y1 memiliki hubungan y1 f x1 . Sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dengan y y1 m x x1 . Jadi intinya jika kita akan mencari persamaan garis singgung suatu kurva jika diketahui gradiennya m dan menyinggung di titik x1 , y1 maka kita gunakan persamaan y y1 m x x1 Sedangkan jika diketahui 2 titik, misalnya x1 , y1 dan x2 , y2 maka untuk mencari persamaan garis singgung dari dua titik tersebut kita dapat gunakan persamaan y y1 x x1 y2 y1 x2 x1 Tes 1 1) Persamaan garis singgung pada kurva y 2 x 2 6 x 7 yang tegak lurus garis x 2y 13 0 adalah .... A. y 2x 15 0 B. y 2x 15 0 C. y x 15 0 D. y x 15 0 93 Matematika dan Stastistika 2) 3) 4) 5) Garis singgung pada kurva y x 2 4 x 3 di titik (1, 0) adalah .... A. y 2x 4 B. y 2x 4 C. y 2x 2 D. y 2x 2 Grafik fungsi f x x3 a x2 b x c hanya turun pada interval 1 x 5 . Nilai a b adalah .... A. -11 B. -12 C. -15 D. -21 Persamaan garis singgung pada kurva y x 3 10 di titik yang berordinat 18 adalah.. A. y 4x 8 0 B. y 4x 8 0 C. y 6x 18 0 D. y 6x 18 0 Persamaan garis singgung pada kurva y = y x 4 5x 2 10 di titik yang berkoordinat 6 .… A. y x 4 0 B. y 2x 4 0 C. y 4x 4 0 D. y 6x 4 0 94 Matematika dan Stastistika Topik 2 Menentukan Titik Ekstrim CARA MENGHITUNG EKSTREM Untuk menghitung ekstrem dapat dipergunakan suatu cara yang disebut tes turunan kedua. Langkah-langkahnya sebagai berikut: 1. Hitung titik kritis x x0 dari persamaan f x . 2. Untuk titik kritis x x0 maka: f x mempunyai nilai maksimum relatif jika f x0 0 f x mempunyai nilai minimum relatif jika f x0 0 Contoh 5.2.1: 250 250 f x x2 , maka f x 2 x 2 x x Titik kritis diperoleh dari f x 0 berarti 2 x 250 0 , diperoleh x 5 x2 500 dan f 5 6 0 x3 Berarti f x mempunyai minimum relatif di x 5 sebesar f 5 75 . f x 2 Catatan (7): Apabila tes turunan kedua tidak kita gunakan atau gagal, pilihan lain adalah tes turunan pertama. Langkahnya sebagai berikut. 1. Hitung titik kritis x0 dari f x 0 2. Tentukan suatu interval x0 q x x0 q dan tentukan tanda dari f x pada interval tersebut. a. Jika tanda f x berubah dari positif menjadi negatif pada x x0 maka x x0 b. maksimum relatif. Jika tanda f x berubah dari negatif menjadi positif pada x x0 maka titik x x0 adalah minimum relatif. c. Jika f x tidak berubah tanda, berarti x x0 bukan maksimum atau minimum relatif. Catatan (8): F x mungkin pula mempunyai ekstrem pada x x0 meskipun f x0 tidak ada. Titik x x0 dimana f x0 tidak ada juga merupakan titik kritis dari fungsi. Nilai x x0 ini dipergunakan untuk langkah (2) pada tes turunan pertama di atas. 95 Matematika dan Stastistika Contoh 5.2.2: Diberikan f x x 4 2x3 3x2 4x 4 Tentukan nilai maksimum dan minimum (dengan tes turunan pertama). Jawab: 1 2 f x 4x3 6x2 6x 4 0 , diperoleh titik kritis x 2, , 1 . Kita tentukan tanda dari f x di sekitar titik kritis. Jika x 2 maka f x negatif : turun 1 Jika 2 x maka f x positif : naik 2 1 Jika x 1 maka f x negatif : turun 2 Jika x 1 maka f x positif : naik . f x turun f x f x naik turun f x naik Dari Catatan (5) dapat disimpulkan bahwa x 2 dan x 1 adalah titik minimum dan 1 x adalah titik maksimum. 2 Contoh 5.2.3: f x 2 x 3 maka f x 2 2 1 3x 3 96 Matematika dan Stastistika Pada titik x 0 , f x tidak ada, tetapi f x 2 , maka x 0 adalah titik kritis (Catatan (5)). Kalau diselidiki tanda f x di sekitar x 0 maka untuk: x 0, f x negatif : turun dan untuk x 0, f x positif : naik Jadi, pada titik x 0 , f x berubah tanda dari negatif ke positif, berarti x 0 titik minimum, dengan nilai sebesar f 0 2 . Contoh 5.2.4: Tentukan dua buah bilangan yang jumlahnya 16 dan perkaliannya adalah terbesar. Jawab: Misalnya bilangan-bilangan itu p dan q , Maka p q 16 dan hasil kalinya y pq p16 p terbesar. dy 16 2p 0 , diperoleh p 8 . dp d 2y Dengan tes turunan kedua 2 2 0 , maka p 8 adalah titik maksimum. dp Jadi bilangan tersebut p 8 dan q 16 8 8 . Dan tentukan titik kritis Contoh 5.2.5: Suatu silinder dengan alas lingkaran memiliki volume 64 satuan volume. Tentukan ukuran silinder tersebut agar luas bahan sekecil mungkin jika: 1. Silinder terbuka di atas, 2. Silinder tertutup di atas dan di bawah. Jawab: 1. Misalkan r jari-jari alas dan t tinggi silinder . Volume silinder V r 2 64 Luas bahan yang dipakai L luas selimut + luas alas 2 t r 2 Selalu diusahakan supaya L merupakan fungsi dari satu variabel saja, yaitu dengan 64 mengganti t 2 maka diperoleh : r 2 r 64 128 L 2 rt r 2 r2 r2 2 r r 128 r2 0 Turunan pertama = 0, maka r 4 Diperoleh titik kritis r 3 97 Matematika dan Stastistika Ada baiknya bila kita melakukan tes turunan kedua untuk memastikan bahwa r 4 3 adalah titik minimum. Tetapi dalam soal-soal aplikasi seperti ini, mudah dirasakan bahwa benar fungsi L r mempunyai minimum. Jadi tes turunan kedua tidak perlu 2. kita lakukan. 4 64 4 Jadi, r 3 satuan panjang dan t 2 3 satuan panjang atau t r r Jika silinder tertutup maka 2 r 64 128 L 2 rt r 2 r2 r2 2 r r dL 128 2 4 r 0 dr r 32 Diperoleh titik kritis r 3 Jadi, r 3 32 satuan panjang dan t 64 32 23 satuan panjang atau t 2r . 2 r Contoh 5.2.6: Tentukan ukuran dari kerucut lingkaran tegak dengan volume minimum yang menyelubungi suatu bola berjari-jari 8. Jawab : Misalkan jari-jari kerucut = r Jika AD x , maka tinggi kerucut. Perhatikan segitiga ADE siku-siku di E, maka AE x2 64 Segitiga ABC sebangun dengan segitiga AED , berarti: 8 x 8 r x 8 maka r 8 x2 64 x2 64 Volume kerucut : V r2 x 8 3 3 2 64 x 8 16 x 8 V 3x 2 192 x 8 . Jika r diganti, diperoleh : dV 16 x 8 x 24 0 diperoleh titik kritis x 8 dan x 24 2 dx x 8 2 Karena x merupakan suatu panjang, maka kita ambil nilai yang positif, .. Jadi, tinggi kerucut adalah x 8 24 8 32 dan jari-jari alas r 8 2 . Contoh 5.2.7: 98 Matematika dan Stastistika Tentukan ukuran dari persegi panjang dengan luas terbesar yang dapat dibuat di dalam parabola y 2 4 px yang dibatasi oleh garis x a (lihat gambar) Jawab: Misalkan persegi panjang tersebut PBBP Jadi, ukuran dari persegi panjang tersebut adalah : 4ap y 2 2a Panjang: 2y 2 dan lebar a x a 3 4p 3 Contoh 5.2.8: Tentukan tinggi dari silinder lingkaran tegak yang volumenya tersebar yang dibuat di dalam bola berjari-jari R . Jawab : Misalkan : jari-jari alas silinder = r , tinggi silinder = 2t . volume silinder = V 2 r 2t pada segitiga MPQ , r 2 R2 t 2 Dengan mengganti r 2 diperoleh V 2 R2 t 2 t dV R 2 R2 6 t 2 0, sehingga t dt 3 R 2R Jadi, tinggi silinder adalah: 2t dan jari-jari: r R 3 3 2 Contoh 5.2.9: Sebuah karton berbentuk segitiga sama sisi dengan sisi p. dari karton tersebut dibuat sebuah prisma segitiga tegak tanpa tutup. Tentukan ukuran prisma supaya isinya sebesar mungkin. Misalkan tinggi prisma = x dan sisi alas = y dapat dilihat dari gambar 99 Matematika dan Stastistika AP QP x cot30o x 3 , sehingga v PQ AB AP QB p 2x 3 Volume prisma = luas alas × tinggi = luas segitiga sama sisi. V PQR tinggi y2 x 3 4 p 2x 3 2 4 atau p2 x 3 3px 2 3px 3 3 4 dV p2 3 6 px 9 x 2 3 0 dx 4 V p 3 p 3 dan x 6 18 Di sini kita melakukan tes turunan kedua pada masing-masing titik kritis. p 3 d 2V d 2V , untuk diperoleh x 3p (negatif) minimum, sedangkan 6 p 18 x 3 6 dx 2 dx 2 p 3 p 3 d 2V untuk x di peroleh sebagai 3p (positif) , maksimum. Jadi, kita ambil x 2 18 18 dx 2p tinggi prisma dan sisi alas prisma adalah p 2 x 3 . 3 Diperoleh titik kritis x Catatan (9) : Tanpa melakukan tes turunan kedua kita juga dapat menentukan bahwa yang diminta p 3 p 3 adalah x karena jika di ambil tinggi x maka didapatkan sisi alas prisma 18 6 y p 2 x 3 0 , jelas bukan prisma yang diminta. Contoh (5.2.10): Sebuah kawat panjangnya p di potong menjadi 2 bagian. Bagian pertama menghubungkan membentuk sebuah bujur sangkar dan bagian lain membentuk sebuah lingkaran. Tentukan panjang masing-masing bagian, supaya jumlah luas daerah bujur sangkar dan lingkaran sekecil mungkin. Jawab : Misalkan : Sisi bujur sangkar : x Jari-jari lingkaran : y Keliling bujur sangkar : K1 4 x Keliling lingkaran : K2 2 y Berlaku hubungan X y : 4 x 2 y p (panjang kawat) atau x Jumlah luas bujur sangkar dan lingkaran adalah L x 2 2 y 2 dan jika x diganti maka: 100 p 2 y 4 Matematika dan Stastistika p 2 y 2 y 0 dL 16 dy 4 p 2p Diperolehkan titik kritis : y dan x 2 8 2 8 p 2 y y 2 L dan 2 Jadi, K1 4 x 2 8p 2 p dan K2 2 y 2 8 2 8 Contoh 5.2.11: Sebuah kerucut lingkaran tegak K1 tingginya t dan jari-jari lingkaran alasnya = r . Sebuah kerucut lain K2 terletak di dalam kerucut pertama dalam keadaan terbalik di mana puncaknya berimpit dengan pusat lingkaran alas kerucut terbalik di mana puncaknya berimpit dengan pusat lingkaran alas kerucut pertama. Tentukan ukuran kerucut tersebut agar volumenya terbesar. Jawab : Misalkan tinggi kerucut K2 adalah x dan jari-jari lingkaran alasnya y . Perhatikan segitiga PQR maka: r t x RS ST tx y dimana atau atau y t RP PQ t r r dan t konstanta. ( y 2 x) r 2 x(t x)2 Volume kerucut dan K2 : v 3 3t 2 dv r 2 2 t 2 t 4tx 3x 2 0 . dari sini diperoleh x t dan x 3 dx 3t sebagai titik kritis. Jelas x t tak dapat diambil karena berakibat y 0 dan volume = 0 bukan yang terbesar. 2r t Jadi, x merupakan tinggi kerucut K2 dan jari-jarinya adalah y . 3 3 Contoh 5.2.12: Tentukan persamaan garis melalui titik 3,4 yang bersama dengan sumbu-sumbu koordinat di kuadran pertama membentuk segitiga yang luasnya terkecil 0 . Jawab : Misalkan garis memotong sumbu X di Aa,0 dan memotong sumbu Y di B 0, b Persamaan garis tersebut dapat ditulis: Karena melalui 3,4 , maka memenuhi x y 1 a b 101 Matematika dan Stastistika 3b 3 4 1 atau a a b b 4 3b 2 Luas segitiga ABO adalah 2b 4 dan dL 3b b 8 , sehingga diperoleh b 0 dan b 8 db 2 b 4 2 Jelas b 0 tidak diambil berarti b 8 . 3b x y 6 , sehingga persamaan garisnya adalah 1 Untuk b 8 , maka a 6 8 b 4 Latihan 1) Diketahui f x 3 2x x2 . Nilai maksimum dari fungsi tersebut adalah .... 2) a. 4 b. 3 c. 2 d. 1 Diketahui f x x2 2x 3 . Nilai minimum dari fungsi tersebut adalah .... 3) 4) 5) a. -1 b. -2 c. -3 d. -4 Tinggi dari silinder lingkaran tegak yang volumenya terbesar yang dibuat di dalam bola berjari-jari R adalah .... R a. 3 2R b. 3 R c. 3 2R d. 2 Ukuran dari kerucut lingkaran tegak dengan volume minimum yang menyelubungi suatu bola berjari-jari 8 adalah .... a. tinggi = 8 dan jari – jari = 2 b. tinggi = 32 dan jari – jari = 8 2 c. tinggi = 24 dan jari – jari = 8 2 d. tinggi = 32 dan jari – jari = 8 Diberikan f x x 4 2x3 3x2 4x 4 nilai maksimum dan minimum (dengan tes turunan pertama) adalah .... 102 Matematika dan Stastistika a. b. c. d. 6) x 2 dan x 1 titik minimum dan x 1 titik maksimum 2 1 titik maksimum 2 1 x 1 dan x 2 titik minimum dan x titik maksimum 2 x 2 dan x 1 titik minimum dan x 2 titik maksimum x 2 dan x 1 titik minimum dan x Dua buah bilangan yang jumlahnya 16 dan perkaliannya terbesar adalah … a. 14 dan 2 b. 12 dan 4 c. 8 dan 8 d. 9 dan 7 Ringkasan Suatu fungsi f dikatakan naik pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1 dan x2 dalam selang tersebut, x1 x2 mengakibatkan f x1 f x2 . Suatu fungsi f dikatakan turun pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1 dan x2 dalam selang tersebut, x1 x2 mengakibatkan f x1 f x2 . Suatu fungsi dikatakan naik jika bergerak ke kanan, grafik fungsi tersebut bergerak ke atas, dan turun jika grafik fungsi tersebut bergerak ke bawah. Sebagai contoh, fungsi di samping naik pada selang ,a , konstan pada selang a, b , dan turun pada selang b, . Seperti yang ditunjukkan Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun di bawah ini, turunan positif akan mengakibatkan suatu fungsi akan naik, turunan negatif akan mengakibatkan fungsi tersebut turun, dan turunan nol pada seluruh selang akan mengakibatkan fungsi tersebut konstan pada selang tersebut. Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada selang tutup a, b dan terdiferensialkan pada selang buka a, b . 1. 2. 3. Jika f x 0 untuk semua x dalam a, b , maka f naik pada a, b . Jika f x 0 untuk semua x dalam a, b , maka f turun pada a, b . Jika f x 0 untuk semua x dalam a, b , maka f konstan pada a, b . Tes 2 1) Tentukan tinggi dari silinder lingkaran tegak yang volumenya tersebar yang dibuat di dalam bola berjari-jari R .... A. B. 2R 5 2R 2 103 Matematika dan Stastistika 2) 5R 5 C. D. 5R 2 Sebuah karton berbentuk segitiga sama sisi dengan sisi p. dari karton tersebut dibuat sebuah prisma segitiga tegak tanpa tutup. Tentukan ukuran prisma supaya isinya sebesar mungkin. A. B. C. D. 3) 4) 2P 2 2P 5 2P 3 2P 4 Sebuah kawat panjangnya p di potong menjadi 2 bagian. Bagian pertama menghubungkan membentuk sebuah bujur sangkar dan bagian lain membentuk sebuah lingkaran. Tentukan panjang masing-masing bagian, supaya jumlah luas daerah bujur sangkar dan lingkaran sekecil mungkin. 8p 2 p A. Bagian 1 dan bagian 2 2 8 2 8 B. Bagian 1 8p 2 p dan bagian 2 2 8 2 8 C. Bagian 1 4p p dan bagian 2 2 8 2 8 D. Bagian 1 4p p dan bagian 2 2 8 2 8 Sebuah kerucut lingkaran tegak K1 tingginya t dan jari-jari lingkaran alasnya = r . Sebuah kerucut lain K2 terletak di dalam kerucut pertama dalam keadaan terbalik di mana puncaknya berimpit dengan pusat lingkaran alas kerucut terbalik di mana puncaknya berimpit dengan pusat lingkaran alas kerucut pertama. Tentukan ukuran kerucut tersebut agar volumenya terbesar. 104 Matematika dan Stastistika A. B. C. D. 5) t dan jari-jari 2r 3 2r Tinggi t dan jari-jari 3 t 3r Tinggi dan jari-jari 3 2 t 2r Tinggi dan jari-jari 3 3 Tinggi Tentukan persamaan garis melalui titik (3,4) yang bersama dengan sumbu-sumbu koordinat di kuadran pertama membentuk segitiga yang luasnya terkecil ≠ 0. x y 0 A. a b x y 0 B. a b x y 1 C. a b x y 1 D. a b 105 Matematika dan Stastistika Kunci Jawaban Tes Tes 1 1) B 2) C 3) D 4) D 5) A Tes 2 1) A 2) C 3) A 4) D 5) C 106 Matematika dan Stastistika Daftar Pustaka http://id.wikipedia.org/wiki/Turunan Hw, Slamet. 2000. Kalkulus. Surakarta : Muhammadiyah University Press. Razali, Muhammad, dkk. 2010. Kalkulus Diferensial. Bogor: Ghalia Indonesia. 107 Matematika dan Stastistika BAB VI INTEGRAL Rudy Hartono dan Rahmat Kamaruddin PENDAHULUAN Gottifried Wilhelm von Leibniz (1649) adalah seorang ilmuwan, filsuf matematikawan, diplomat, pustakawan, dan pengacara berkebangsaan Jerman keturunan Sorb. Leibniz dan Newton, sama-sama diberi penghargaan atas perannya dalam mengembangkan kalkulus modern, khususnya dalam pengembangan integral. Menurut catatannya, terobosan sangat penting terjadi pada 11 November 1675 ketika ia mendemonstrasikan kalkulus integral pertama kalinya untuk menghitung luas daerah di bawah fungsi y x . Ia memperkenalkan beberapa notasi dalam kalkulus yang tetap digunakan sampai sekarang, sebagai contoh simbol integral merupakan modifikasi dari huruf diambil dari kata Latin Summa dan penggunaan huruf d untuk diferensial (turunan) dari kata Latin differentia. Dalam bab ini, Anda akan mempelajari integral yang di dalamnya menyangkut tentang merancang aturan integral tak tentu dari aturan turunan. Menghitung integral tak tentu fungsi aljabar. Menjelaskan integral tentu sebagai luas daerah di bidang datar. Menghitung integral dengan rumus integral subtitusi, menghitung integral dengan rumus integral parsial. Pada bab ini terdiri dari 3 topik. Topik 1, memuat tentang integral tak tentu mulai dari konsep yang merupakan invers atau kebalikan dari pendeferensialan, yaitu anti turunandari suatu fungsi. Dibahas pula secara detail mengenai rumus-rumus integral tak tentu. Topik 2, memuat tentang integral tentu yang merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses perhitungan luas suatu daerah di bawah suatu kurva yang batas-batas dari daerah tersebut diketahui. Dijelaskan pula mengenai sifat-sifat integral tak tentu dalam penyelesaiannya. Topik 3, kita akan membahas tentang integral parsial dan penggunaan integral. Memuat penggunaan integral khususnya volume dan luas benda putar yang dibatasi Dua kurva yang diputar mengelilingi sumbu x . Setelah Anda mempelajari modul ini diharapkan Anda memahami konsep Integral, secara sistematis Anda diharapkan mampu: 1. Menjelaskan konsep integral tak tentu 2. Menjelaskan konsep integral tentu 3. Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar sederhana 4. Menjelaskan konsep integral parsial dan penggunaannya 108 Matematika dan Stastistika 5. 6. Menjelaskan dan mengerti penggunaan integral khususnya luas dan volume benda putar Menjelaskan dan menggunakan integral luas dan volume benda putar yang dibatasi Dua Kurva yang diputar mengelilingi sumbu x . 109 Matematika dan Stastistika Topik 1 Integral Tak Tentu PENGERTIAN INTEGRAL TAK TENTU Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah . Integral Tak tentu adalah suatu bentuk anti turunan dari suatu fungsi yang dapat diturunkan pada selang tertentu. Pada pembahasan Integral tak Tentu akan diperkenalkan sebagai kebalikan operasi pendeferensial, yakni sebagai bentuk paling umum dari “anti turunan”. Jika F x adalah sebuah fungsi dengan F x f x dapat dikatakan bahwa 1. turunan F x adalah f x dan 2. antiturunan dari f x adalah F x Proses menentukan anti turunan dari suatu fungsi f dinamakan integral tak tentu, ditulis dengan lambang : f x dx F x c Perhatikan bagan berikut Deferensial (turunan) Dx x 1 Dx x 2 1 2x Integral (anti turunan) F x Fx 1 x F (x) Fx (2 x) x 2 1 Dx x 3 1 3x 2 F (x) Fx (3x 2 ) x 3 c . Dx x n c nx n1 . F x Fx nx n1 x n c Dapat dilihat bahwa Fx nx n1 x n c n x n11 c n 1 1 Jadi, Fx x n x n1 c , n 1 n 1 110 Matematika dan Stastistika Oleh Leibnitz ditulis dengan simbol x ndx x n1 c , n 1 n 1 B. RUMUS INTEGRAL TAK TENTU 1. Jika F x adalah fungsi dengan F x maka f x dx F x c ; dengan c sembarang konstanta Contoh 6.1.1: Tentukan nilai 4 x 3 2x 2dx Jawab : 4x 3 4 3 1 2 21 x x c 31 21 4 2 x4 x3 c 4 3 2 x4 x3 c 3 2 x 2dx Jadi, dengan menggunakan aturan tersebut, kita tidak perlu mengetahui terlebih dahulu fungsi awalnya, tetapi cukup diketahui fungsi turunannya. Dengan demikian jika 2 F x 4 x 3 2 x 2 , maka F x x 4 x 3 c 3 2. Untuk n bilangan rasional dengan n 1 , dan a, c adalah bilangan real maka berlaku aturan: 1 n 1 n a. x dx n 1 x C a n 1 n b. ax dx n 1 x C Contoh 6.1.2 : Hitunglah integral berikut 4x dx 1 x dx 3 a. b. 2 c. x 3 dx d. 1 x3 dx Jawab: 4 4 x dx 3 1 x 3 3 1 C x4 C 111 Matematika dan Stastistika 3. 1 1 1 x 21 C x 1 C C 2 1 x 3 3 1 5 1 1 2 x 3 dx x 2 dx x2 x2 x x c 3 5 5 1 2 2 3 1 1 1 21 2 3 1 dx x 2 dx x 2 x c 3 3 1 2 x 1 2 2 b. x dx x c. d. 2 2 dx Jika f x dan g x merupakan dua fungsi yang dapat diintegralkan dan c , k bilangan real, maka: a. dx x c b. c. d. e. f. k dx kx c x n 1 c n 1 k f x dx k f x dx n x dx f x g x dx f x dx g x dx f x g x dx f x dx g x dx Contoh 6.1.3: Tentukan hasil dari a. b. c. 2 4 x dx x 1 dx 3 2 x 3 2x x dx Jawab: a. 2x 4 x 3 dx 2 x 4 x 2 dx 2 2 x 4 x 2 dx 2 2 x 3 3 11 1 1 2 x 2 c 11 1 2 1 132 2 x c 13 2 4 13 x2 c 13 112 4 23 dx 2 x 2 dx 11 Matematika dan Stastistika b. x 1 dx x c. 1 2 1 2 1 1 x x xc 21 11 1 x3 x2 x c 3 x 3 2x x 3 2x x dx x x 2 2 2 x 1 dx x x 3 x 2 2x x 4. 1 5 2 1 12 dx 2 x 2 dx 1 5 1 x2 2 1 1 x2 c 5 1 1 1 2 2 1 7 2 3 x2 x2 c 7 3 2 2 2 27 4 23 x x c 7 3 2 3 4 x x x x c 7 3 Misalkan f1 x , f2 x ,..., fn x adalah fungsi yang dapat diintegralkan. Integral tak tentu hasil penjumlahan dua fungsi atau lebih sama dengan integral tak tentu dari masing-masing fungsi, yaitu: f x f x f x dx f x dx f x dx f x dx 1 2 1 n 2 Contoh 6.1.4: Tentukan nilai dari n 3x 6 2x2 1 dx Jawab: 3x 6 2 x 2 1 dx 3 3x dx 2 x 2dx 1 dx 6 3 2 x7 x3 x c 7 3 Contoh 6.1.5: 113 Matematika dan Stastistika Carilah nilai f x jika f x x3 4x2 3 dan f 0 1 Jawab: f x x 3 4 x 2 3 maka f x x 3 4 x2 3 dx 1 4 f x x 3 4 x 2 3 dx f x x 4 x 3 3x c 4 3 Karena f 0 1 f x 0 0 0 c 1, berarti c 1, 1 4 1 4 sehingga f x x 4 x 3 3x c x 4 x 3 3x 1 4 3 4 3 Latihan 1) 2) 3) Tentukan hasil dari integral berikut: Tentukan integral dari 4x 3dx a. x4 b. x3 c. x2 d. 12x2 Jika diketahui tentukan integralnya ! a. 4 x2 9x 5 C 2 3 9 2 x x 5x C b. 3 2 1 2 x 9 x 10 C c. 3 d. 4 x3 9x2 5x 10 C 1 Jika diketahui dx maka integralnya adalah… 3 2 x 1 a. b. c. d. 4) 1 C 4 2 x 1 2 1 4 2x 1 2 1 2 4 x 1 2 1 2 2 x 1 Integral dari 2 C C C 1 3 3x 2 5 adalah … 114 Matematika dan Stastistika a. b. c. d. 5) 2 2 3x 2 3 2 2 2 x 2 3 1 2 2 3x 2 3 1 1 C C C 2 3x 2 3 2 C Hasil dari 8 x 3 3x 2 x 5 dx adalah … a. b. c. d. 1 2 x 4 x 3 x 2 5x C 2 1 2x 3 x2 x 5 C 2 4 3 x x x2 5x Cs 2x 4 x3 4 x2 5x C Ringkasan Integral Tak tentu adalah suatu bentuk anti turunan dari suatu fungsi yang dapat diturunkan pada selang tertentu. Integral tak Tentu akan diperkenalkan sebagai kebalikan operasi pendeferensial, yakni sebagai bentuk paling umum dari “anti turunan”. Jika F x adalah sebuah fungsi dengan F x f x dapat dikatakan bahwa 1. turunan F x adalah f x dan 2. antiturunan dari f x adalah F x Jika F x adalah fungsi dengan F x maka f x dx F x c ; dengan c sembarang konstanta. Selanjutnya Untuk n bilangan rasional dengan n 1 , dan a , adalah bilangan real maka berlaku aturan: 1 n 1 n 1. x dx n 1 x c a n 1 n 2. ax dx n 1 x c Tes 1 1) Jika diketahui maka nilai integralnya adalah .... 115 Matematika dan Stastistika 2 A. 1 2 x x 5x c 2 B. 1 2x 2x 10 x c 2 C. 1 2 x 2 x 5x c 2 D. 1 2x 2x 10 x c 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 2) B. C. D. 2x 1 x 5 dx , maka nilai integralnya adalah .... 2 3 x 9 x 2 15 x c 3 2 3 x 9 x 2 15x c 3 2 3 9 2 x x 15x c 3 2 2 3 9 2 x x 15x c 3 2 1 2 x 1 Jika diketahui A. B. C. D. 4) 3 Jika diketahui A. 3) 4 1 2 1 4 2x 1 2 1 2 x 1 2 1 2 x 1 2 B. C. D. dx , maka nilai integralnya adalah .... c 4 2 x 1 Jika diketahui A. 3 c c c 5x 1 10 dx maka nilai integralnya adalah .... 1 11 5x 1 c 55 1 11 5x 1 c 55 5x 1 c 11 5x 1 c 11 116 Matematika dan Stastistika 5) Jika diketahui A. B. C. D. 1 3 3x 2 5 dx ,maka nilai ntegralnya adalah 1 2 c 2 3x 2 3 1 2 c 2 x 2 3 1 2 c 2 x 2 3 1 2 c 2 3x 2 3 117 Matematika dan Stastistika Topik 2 Integral Tentu A. PENGERTIAN INTEGRAL TENTU Pada Topik 2, telah diperkenalkan integral tak tentu dimana batas integral tak di tentukan. Pada bab ini akan diperkenalkan integral tentu sebagai limit jumlah reiman,sebagai generalisasi dari proses perhitungan luas daerah tertutup pada bidang datar,volume benda dan luas permukaan benda putar. Jika fungsi f kontinu a, b dan fungsi F adalah suatu anti turunan f pada a, b , maka b f x dx F b F a a Selanjutnya ditulis F b F a F x a b Contoh 6.2.1: 3 Selesaikan x 4 dx 1 Penyelesaian : x2 4 4x 2 1 3 x 4 dx 1 2 32 1 4 3 4 1 2 2 33 7 2 2 40 20 2 B. SIFAT-SIFATINTEGRAL TENTU 1. Integral tentu sebagai operator linear,yaitu bersifat : Misal f dan g terintegralkan pada a, b dan k suatu konstanta, maka kf dan f g terintegralkan dengan, a. b. b b a b a k f x dx k f x dx b b a a f x g x dx f x dx g x dx a 118 Matematika dan Stastistika b b a a f x dx f x dx , a b c. Contoh 6.2.2: 3 Selesaikan 6x 2dx 2 Penyelesaian: 3 x3 2 6 x dx 62 x dx 6 3 2 3 3 2 2 3 2 33 2 38 2. Sifat penambahan selang Jika f terintegralkan pada suatu selang tertutup yang mengandung tiga titik a, b, dan c , maka c b c a a b f x dx f x dx f x dx a , b a , c Tidak tergantung dari urutan a, b, dan c. Contoh 6.2.3: 4 Hitunglah | x 2| dx 3 Jawab: Jika f x | x 2| berubah nilainya pada titik x 0 , sehingga harus diselesaikan sebagai berikut, x 2, jika x 2 f x | x 2|= x 2, jika x 2 4 2 4 3 2 | x 2| dx | x 2| dx | x 2| dx 3 2 4 x 2 dx x 2 dx 3 2 2 4 37 1 1 x 2 2x x 2 2x 2 3 2 2 2 119 Matematika dan Stastistika 3. Sifat Simetri a. Jika f fungsi genap f x f x , maka a a b. a f x dx 2 f x dx 0 Jika fungsi ganjil f x f x , maka a f x dx 0 a Contoh 6.2.4: Selesaikan x cos 4 dx Jawab: Sebelum kita menyelesaikan hasil pengintegralan di atas, maka di tentukan terlebih dulu apakah fungsi tersebut ganjil atau genap x x x f x cos f x cos cos 4 4 4 x Karena f x f x , maka f x cos adalah fungsi genap, sehingga, 4 x x cos 4 dx 20 cos 4 dx x 8 cos 4 0 x d 4 x 8 sin 4 0 8 sin sin0 4 4 2 Contoh 6.2.5: 3 x3 Selesaikan 2 dx x 2 3 Jawab: Sebelum kita menyelesaikan hasil pengintegralan di atas, maka di tentukan dahulu apakah fungsi tersebut ganjil atau genap. 120 Matematika dan Stastistika x x3 x3 f x 2 dan f x f x 2 x 2 x2 2 x 2 3 x3 adalah fungsi ganjil, sehingga x2 2 3 x3 x2 2 dx 0 3 Karena f x f x , maka f x Latihan 3 1) Hasil dari 3x 2 2x 2 dx 40 Nilai p 2) 2 a. 1 b. 1 c. 2 d. Hasil dari cos5 x dx a. b. c. d. 3) 1 cos6 x sin x C 6 1 cos 6 x sin x C 6 2 1 sin x sin3 x sin5 x C 3 5 2 3 1 5 sin x sin x sin x C 3 5 Hasil dari a. b. c. d. 3 2x dx 2 1 3 3 2x C 2 1 3 3 2x C 2 1 3 3 2x C 6 1 3 3 2x C 6 3 4) 1 p 2 Hasil dari x 2 x 3 dx 0 a. b. 2 27 27 2 121 Matematika dan Stastistika c. d. 14 27 22 14 3 5) Hasil dari x 2 6 x 8 dx 2 a. b. c. d. 2 3 3 2 4 3 3 4 Ringkasan Pada bab ini telah dijelaskan tentang integral yang meliputi integral tak tentu, integral tentu serta penggunaan integral dalam kehidupan sehari-hari. Pembaca diharapkan mampu memahami apa yang termuat dalam modul, baik itu konsep sampai dengan penggunaan rumus serta penggunaannya dalam kehidupan sehari-hari. Konsep integral ini merupakan konsep yang mendasar dan sangat diperlukan dalam penyelesaian soal soal integral,pemecahan masalah yang berkaitan dengan integral. Sering kali integral muncul dalam masalah kehidupan sehari-hari, dalam menentukan luas benda putar dan volume benda putar. Tes 2 3 1) Hitunglah nilai dari 3x 2 2 x 1 dx .... 2 A. B. C. D. 30 31 32 33 4 x 6 x dx .... 4 2) Hitunglah nilai dari 1 A. B. C. D. 20 24 28 32 122 Matematika dan Stastistika 2 3) Hitunglah nilai dari sin x dx .... 0 A. B. C. D. 4 2 ½ ¼ 4 4) cos2x dx Tentukan nilai dari .... 0 A. B. C. D. 4 6 8 10 2 5) Tentukan nilai dari e x 2 dx .... 2 A. B. C. D. 1 2 3 4 123 Matematika dan Stastistika Topik 3 Integral Parsial dan Penggunaan Integral A. INTEGRAL PARSIAL Metode ini didasarkan pada integrasi dari rumus untuk turunan dari hasilkali dua fungsi, misalkan u f x dan v g x , maka Dx f x g x f x Dx g x g x Dx f x Atau f x Dx g x Dx f x g x g x Dx f x a Dengan mengintegrasikan kedua ruas persamaan tersebut diperoleh f x Dx g x dx f x g x g x Dx f x Karena dv Dx g x dan du Dx f x , maka persamaan menjadi u dv uv v du Contoh 6.3.1: Hitung 16 x 3 cos 2x dx Jawab: Beberapa cara biasa digunakan untuk menyelesaikan soal integral parsial, dua diantaranya akan ditunjukkan di sini. Cara Pertama Langkah pertama, tentukan dulu mana u dan mana dv , kemudian kita misalkan (1) x 3 u cos 2x dx dv (2) Langkah pertama selesai, kita lihat lagi rumus dasar integral parsial, yaitu: u dv uv v du Terlihat di situ kita perlu u , perlu v dan perlu du . u nya sudah ada, tinggal mencari du dan v nya. Dari persamaan (1), untuk menentukan du , caranya turunkan u nya, u x 3 du 1 du dx dx 124 Matematika dan Stastistika Dari persamaan (2), untuk menentukan v , dv cos 2 x dx atau dv cos 2 x dx dv artinya turunan dari v adalah cos 2x , untuk mendapatkan v , berarti kita harus dx integralkan cos cos 2x jika lupa, silahkan lihat lagi cara integral pada fungsi trigonometri, 1 v cos 2 x dx sin 2 x c 2 Kita rangkum lagi : 1 u x 3 ; v sin 2 x ; du dx 2 Saatnya kembali ke rumus dasar, masukkan nilai-nilai yang sudah dicari tadi: 16 x 3 cos 2x dx Simpan dulu 16 nya, terakhir nanti hasilnya baru di kali 16 x 3 cos 2x dx uv v du 1 1 x 3 sin 2 x sin 2 x du 2 2 1 1 x 3 sin 2 x sin 2 x dx 2 2 1 1 x 3 sin 2 x cos 2 x 2 2 1 1 x 3 sin 2 x cos 2 x 2 4 sekarang kalikan dengan 16, dan tambahkan dengan C nya, sehingga diperoleh: 1 1 16 x 3 sin 2 x cos 2 x 4 2 1 1 16 x 3 sin 2 x cos 2 x C 4 2 8 x 3 sin 2 x 4cos 2 x C Cara Kedua 16 x 3 cos 2x dx. .......... Langkah Pertama Buat tabel dua kolom terlebih dahulu seperti berikut 125 Matematika dan Stastistika Tempatkan x 3 di kolom sebelah kiri dan turunkan berturut-turut sampai dapat NOL. Sementara cos 2x di sebelahnya integralkan berturut-turut hingga terakhir sejajar dengan angka nol sebelah kiri. Kolom pertama x 3 jika diturunkan hasilnya adalah 1, jika diturunkan hasilnya adalah 0. Kolom kedua cos 2x jika diintegralkan hasilnya adalah 1 1 sin 2 x , kemudian sin 2 x 2 2 1 diintegralkan, hasilnya adalah: cos 2 x 4 Langkah ketiga Kalikan baris pertama kolom 1 dengan baris kedua kolom dua, dan baris kedua kolom 1 dengan baris ketiga kolom 2,lebih mudahnya ikuti tanda panah yang diberikan gambar di atas, jangan lupa sertakan tanda plus atau minusnya. Sehingga menghasilkan: 1 1 16 x 3 sin 2 x 1 cos 2 x C 2 4 = 8 x 3 sin2x 4cos 2x C 8 x 3 sin2x 4cos 2x C Hasilnya sama dengan cara yang pertama, untuk soal-soal berikutnya akan dipakai cara kedua saja. 126 Matematika dan Stastistika B. PENGGUNAAN INTEGRAL 1. a. Luas Daerah Bidang Rata Luas Daerah di atas Sumbu x Jika y f x 0 , maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva y f x , garis x a dan x b serta sumbu x dapat ditentukan dengan rumus: b L f x dx a b. Luas Daerah di bawah Sumbu x Jika y f x 0 (kurva di bawah sumbu x ), maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva y f x , garis x a dan x b serta sumbu x dapat ditentukan dengan rumus: b L f x dx a 127 Matematika dan Stastistika c. Luas Daerah Antara Dua Kurva di Atas Sumbu x Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y f x dan y g x dimana f x g x dalam interval x a dan x b dapat ditentukan dengan rumus : b L f x g x dx a d. Luas Daerah Antara Dua Kurva di Bawah Sumbu x Rumus : b L f x g x dx a Contoh 6.3.2: Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x 2 , garis x 0 dan x 2 serta sumbu x adalah .... 128 Matematika dan Stastistika Jawab: Cara Pertama : 2 L x 2 dx 0 1 2 x2 2 0 1 2 2 2 2 0 2 24 6 satuan luas Cara Kedua Karena gambarnya berbentuk trapesium, maka kita dapat juga menggunakan rumus luas trapesium. tinggi trapesium = 2 sisi sejajar 1 = 2 sisi sejajar 2 = 4 maka: 1 1 L 2 4 2 6 2 6 satuan luas 2 2 Luas daerah yang dibatasi kurva y x 2 3x 4 Jawab : Cara Biasa x 2 3x 4 x 4 x 2 3x x 4 4 0 x2 4 x 0 x x 4 0 x 0 x 4 129 dan garis y x 4 adalah .... Matematika dan Stastistika a L f x g x dx b 0 x 2 4 x dx 4 0 1 x 3 2x 2 4 3 3 2 1 0 4 2 4 3 64 0 32 3 64 96 0 3 32 kurva berada dibawah sumbu x 3 32 3 Cara Praktis : D D 6a2 x 2 3x x 4 4 0 Gunakan rumus: L x2 4 x 0 Dari persamaan ini, diperoleh a 1, b 4, dan c 0 D b2 4ac 42 4 1 0 16 0 16 D D , diperoleh 6a2 16 16 64 32 L 2 6 3 6 1 dari rumus L C. VOLUME BENDA PUTAR Metode yang dapat kita gunakan untuk menghitung volume benda putar menggunakan integral ada 2, yaitu : 130 Matematika dan Stastistika 1. Metode Cakram Berdasarkan rumus Volume = Luas Alas × tinggi Luas Alas di sini selalu berupa lingkaran maka Luas Alas = r 2 (dimana r adalah jari-jari putaran), digunakan jika batang potongan yang dipilih tegak lurus dengan sumbu putar 131 Matematika dan Stastistika 2. Metode Cincin Silinder Menurut pengertian bahwa jika suatu luasan diputar terhadap sumbu tertentu, akan terbentuk suatu benda putar dengan volume sebesar luasan tersebut dikalikan dengan keliling putaran. Dikarenakan keliling lingkaran = 2 r , jika luas bidang yang diputar = A , maka volume = 2 r A . digunakan jika batang potongan sejajar dengan sumbu putar Contoh 6.3.3: 1. Carilah volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurva y x 2 , sumbu x, dan 0 x 2 jika diputar terhadap sumbu x? Jawab: Menggunakan metode cakram 132 Matematika dan Stastistika 2 Vx y 2dx 0 2 x 2 dx 2 0 2 x 4 dx 0 1 2 x5 5 0 1 1 25 0 5 5 5 32 32 0 satuan volume 5 5 Menggunakan metode cincin silinder y x2 x y Karena daerah yang diarsir ada di sebelah kanan sumbu x, maka dipilih x y 4 Vx 2 y 2 x dy 0 4 2 y 2 y dy 0 4 2 2y y 2 dy 3 0 2 5 4 2 y 2 y 2 5 0 2 5 2 5 2 42 4 2 02 0 2 5 5 64 2 16 0 0 5 16 32 80 64 2 2 satuan volume 5 5 5 5 133 Matematika dan Stastistika 2. Carilah volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y x 2 dan garis y 2x diputar mengelilingi sumbu y? Penyelesaian: Perpotongan kurva dan garis: x2 2x x2 2x 0 x x 2 0 x 0 atau x 2 x 0 y 02 0 x 2 y 22 4 Jadi titik potong kurva dan garis adalah 0,0 dan 2,4 Menggunakan Metode cakram: y x2 x y Karena daerah yang diarsir ada di sebelah kanan sumbu x, maka dipilih x y (separuh kurva sebelah kanan). 1 y 2x x y 2 134 Matematika dan Stastistika 4 Vy x12 x22 dy 0 0 4 y 2 1 y 2 2 dy 4 1 y y 2 dy 4 0 1 4 1 y2 y3 12 0 2 1 1 1 1 4 2 4 3 02 0 3 12 12 2 2 16 64 0 0 2 12 16 24 16 8 8 satuan volume 3 3 3 3 Menggunakan metode cincin silinder: 2 Vy 2 x y1 y2 dx 0 2 2 x 2 x x 2 dx 0 135 Matematika dan Stastistika 2 2 2 x 2 x 3 dx 0 1 2 2 2 x 3 x 4 4 0 3 2 1 1 2 2 23 24 03 04 4 4 3 3 16 2 4 0 0 3 16 12 8 2 satuan volume 3 3 3 Latihan 1) Tentukan hasil dar i x 2 sin x dx 2) Tentukan hasil dari x 2 cos x dx 3) 4) Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x 2 2 dan y 2x 2 x 4 Gambarlah daerah R yang dibatasi oleh kurva-kurva y x 6, y x 3 dan 2y x 0 , kemudian hitunglah luasnya. Hitunglah volume benda putar yang terjadi oleh daerah yang dibatasi kurva y x 2 dan y 6 x x 2 jika diputar mengelilingi garis x 4 ? 5) Ringkasan Pada bab ini telah dijelaskan tentang integral yang meliputi integral tak tentu, integral tentu serta penggunaan integral dalam kehidupan sehari-hari. Pembaca diharapkan mampu memahami apa yang termuat dalam modul, baik itu konsep sampai dengan penggunaan rumus serta penggunaannya dalam kehidupan sehari-hari. Konsep integral ini merupakan konsep yang mendasar dan sangat diperlukan dalam penyelesaian soal soal integral,pemecahan masalah yang berkaitan dengan integral. Sering kali integral muncul dalam masalah kehidupan sehari-hari, dalam menetukan luas benda putar dan volume benda putar. 136 Matematika dan Stastistika Tes 3 1) Luas daaerah yang dibatasi kurva y x 2 dan garis x y 6 adalah.. 20 65 satuan luas A. 22 satuan luas B. C. D. 2) 24 65 satuan luas 26 satuan luas Jika f x x 2 4 dan g x f x , luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g 2 dalam satuan luas adalah .... 19 satuan luas A. 23 satuan luas B. 20 13 satuan luas C. 21 13 satuan luas D. 3) Luas daerah D yang dibatasi oleh parabola y x 2 kuadran I, garis x y 2 dan garis y 4 adalah .... 12 satuan luas A. 9 satuan luas B. 6 satuan luas C. 3 satuan luas D. 4) Volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang di kuadran I yang dibatasi oleh kurva x 2 2y 2 , sumbu Y , dan lingkaran x 2 y 2 9 diputar mengelilingi sumbu Y adalah .... 164 satuan volume A. 15 64 satuan volume B. 15 328 satuan volume C. 15 satuan volume D. 15 137 Matematika dan Stastistika 5) Perhatikan gambar diarsir di bawah ini! Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu Y, volume benda putar yang terjadi adalah… 6 satuan volume A. 2 6 satuan volume B. 5 2 satuan volume C. 5 5 satuan volume D. 2 138 Matematika dan Stastistika Kunci Jawaban Tes Tes 1 1) A 2) C 3) B 4) B 5) C Tes 2 1) D 2) B 3) C 4) C 5) B Tes 3 1) A 2) D 3) D 4) D 5) B 139 Matematika dan Stastistika Daftar Pustaka http://kamikita.student.fkip.uns.ac.id/ http://www.matematikastudycenter.com/bank-soal-un-mtk-sma/20-bank-soal-un-smaintegral-volume-benda-putar#ixzz23PemQAog Anonim. Integral. http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/files/2008/08/fr-bab-14riemann.pdf Anonim. Notasi Sigma.http://ns1.cic.ac.id/~ebook/ebook/adm/myebook/0004.pdf Ayres, Jr. Frank ; 1964 ; Differential and Integral Calculus ; New York ; Schaum’s Outline Series Mc Graw-Hill Book Company Ayres, Jr. Frank, Lea Prasetio; 1985; Teori dan Soal-soal Diferensial dan Integral Kalkulus; Jakarta: Penerbit Erlangga. Dale Varberg, Edwin J.Purcell, I Nyoman Susila ; 2001; Kalkulus jilid 1; Batam: Penerbit Interaksar. 140 Matematika dan Stastistika BAB VII STATISTIKA DESKRIPTIF Rudy Hartono PENDAHULUAN Selamat Anda telah belajar tentang matematika, semoga makin memudahkan anda mempelajari materi tentang statistik ini. Materi ini adalah tentang statistik. Modul ini mempelajari tentang statistik deskriptif yaitu statistik yang menyederhanakan data sehingga lebih mudah untuk memahami data tersebut. Untuk memudahkan dalam mempelajari statistika, maka perlu diberikan pengantar statistika yang membahas tentang pemahaman istilah-istilah dalam statistika, klasifikasi dan lain-lain. Setelah mempelajari modul ini mahasiswa akan dapat : 1. Menjelaskan definisi statistik 2. Membedakan statistik deskriptif dan statistik inferensial 3. Membedakan antara populasi, sampel dan sampling 4. Menyebutkan dan memberikan contoh tentang data dan jenis-jenis data 5. Membedakan skala pengukuran data. 141 Matematika dan Stastistika Topik 1 Konsep Dasar Statistik A. DEFINISI STATISTIKA, STATISTIK DAN PARAMETER Statistika menurut definisinya adalah ilmu pengetahuan yang membahas tentang caracara pengumpulan data, penyajian data, pengolahan data dan penarikan kesimpulan berdasarkan data tersebut. Statistik menurut definisi yang benar adalah semua harga, nilai, data atau besaran yang dipunyai sampel dan biasanya dilambangkan dengan huruf abjad Latin misalnya ratarata hitung X , simpangan baku S , variansi S 2 dan sebagainya. Statistik ini umumnya merupakan penduga bagi parameter. Parameter berasal dari kata para (sama dengan di samping) dan meter (sama dengan suatu ukuran). Jadi parameter dapat diartikan suatu ukuran, besaran, data atau nilai yang dipunyai populasi dan sulit untuk diukur. Parameter biasanya dilambangkan dengan huruf abjad Yunani misalnya nilai rata-rata hitung () simpangan baku ( ) , variansi ( 2 ) dan sebagainya. B. PENGGOLONGAN STATISTIKA Berdasarkan ruang lingkup penerapan statistika dalam penelitian, maka statistika dapat digolongkan menjadi statistika deskriptif dan statistika inferensial (statistika induktif). Statistika deskriptif adalah statistika yang membahas tentang cara-cara meringkas, menyajikan mendeskripsikan suatu data dengan tujuan agar data tersebut mudah dimengerti dan lebih mempunyai makna. Penyajian suatu data dapat berbentuk daftar (tabel) dan dalam bentuk diagram (gambar). Deskripsi suatu data dinyatakan dalam bentuk ukuran pemusatan misalnya rata-rata hitung, modus dan sebagainya. Bentuk lain adalah ukuran letak misalnya median, kuartil dan sebagainya. Deskripsi lain adalah ukuran penyebaran misalnya rentang, simpangan baku, koefisien keragaman dan sebagainya. Statistika inferensial adalah statistika yang dipergunakan untuk menyimpulkan tentang parameter (populasi) berdasarkan statistik (sampel) atau lebih di kenal untuk proses generalisasi. Jadi dalam statistika inferensial diperlukan adanya suatu hipotesis. Penggolongan lain berdasarkan manfaatnya, statistika dibedakan menjadi statistika terapan yang membahas tentang penerapan statistika untuk menunjang ilmu-ilmu lainnya. Berikutnya adalah statistika matematik yang membahas tentang perkembangan teori statistika yang banyak bersifat matematik. Penggolongan berikutnya berdasarkan asumsi atau syarat-syarat parameter dan skala data yang akan dianalisis, terdiri atas statistika parametrik dan statistika nonparameterik. Statistika parametrik memperhatikan tentang syarat-syarat atau asumsi parameter misalnya variansi sama, data berdistribusi normal dan sebagainya. Data yang dianalisis pada statistika parametrik skala pengukurannya adalah rasio atau interval. 142 Matematika dan Stastistika Statistika nonparametrik sesuai dengan namanya merupakan kebalikan dari statistika parameterik yang telah diuraikan di atas. Jadi tantang asumsi atau syarat-syarat parameter tidak diperhatikan dan skala datanya berbentuk ordinal atau nominal. Namun demikian data yang dianalisis, skala pengukurannya bisa berbentuk rasio atau interval, tetapi data tersebut tidak berdistribusi normal. Oleh karena itu statistika nonparametrik disebut juga sebagai statistika bebas sebaran (freedisribution). Pada statistika nonparametrik, karena data yang diuji sering berbentuk ranking atau jenjang, maka statistika nonparametrik sering juga disebut teknik pengujian rank. Yang perlu mendapat perhatian, bila suatu data memenuhi syarat untuk diuji dengan statistika parametrik sebaiknya diuji dengan statistika parametrik pula. Bila data tersebut diuji dengan statistika nonparametrik berarti menyia-nyiakan informasi, karena kemaknaannya menjadi berkurang, namun hal ini tidak merupakan keharusan tergantung kepada keperluannya. Statistika nonparametrik di samping mempunyai kelemahan di atas juga mempunyai keuntungan yaitu perhitungannya relatif mudah dan memungkinkan untuk membuktikan hipotesis yang tidak terkait dengan parameternya. C. POPULASI, SAMPEL DAN SAMPLING Populasi adalah kumpulan atau totalitas suatu obyek yang akan diduga karakteristiknya (parameternya). Berdasarkan jumlahnya, populasi dibedakan menjadi populasi finit dan populasi infinit. Populasi finit adalah populasi yang jumlahnya terbatas berarti bisa dihitung jumlahnya misalnya staf pengajar Jurusan Kebidanan Politeknik Kesehatan Makassar, Jumlah bayi yang lahir di RS Pertiwi Makassar periode Januari – Oktober 2005 dan sebagainya. Populasi infinit adalah populasi yang jumlahnya tidak terbatas berarti tidak bisa ditentukan jumlahnya misalnya jumlah bakteri, virus, debu dan sebagainya. Pendapat lain menyatakan bila jumlah populasi itu > 10.000 dimasukkan ke dalam populasi infinit dan kebalikannya dimasukkan ke dalam populasi finit. Pemahaman tentang populasi infinit dan finit ini penting, karena jumlah sampel salah satunya tergantung kepada jenis populasi apakah infinit atau finit. Sampel adalah bagian dari populasi yang diambil untuk diketahui karakteristiknya dan proses pengambilannya dinamakan sampling. Tentang macam-macam sampling biasanya dibicarakan dalam metode penelitian. Bila seluruh populasi itu dijadikan sampel, maka jenis sampel ini disebut total populasi dan proses pengambilan sampelnya disebut sensus. D. DATA Data adalah catatan atas kumpulan fakta. Data merupakan bentuk jamak dari datum, berasal dari bahasa Latin yang berarti "sesuatu yang diberikan". Dalam penggunaan seharihari data berarti suatu pernyataan yang diterima secara apa adanya. Pernyataan ini adalah hasil pengukuran atau pengamatan suatu variabel yang bentuknya dapat berupa angka, kata-kata, atau citra. 143 Matematika dan Stastistika Berdasarkan keilmuan atau sudut pandang ilmiah, maka fakta dikumpulkan untuk menjadi data. Data kemudian diolah sehingga dapat diutarakan secara jelas dan tepat sehingga dapat dimengerti oleh orang lain yang tidak langsung mengalaminya sendiri, hal ini dinamakan deskripsi. Pemilahan banyak data sesuai dengan persamaan atau perbedaan yang dikandungnya dinamakan klasifikasi. Dalam pokok bahasan Manajemen Pengetahuan, data dicirikan sebagai sesuatu yang bersifat mentah dan tidak memiliki konteks. Dia sekedar ada dan tidak memiliki signifikansi makna di luar keberadaannya itu. Dia bisa muncul dalam berbagai bentuk, terlepas dari apakah dia bisa dimanfaatkan atau tidak. 1. a. b. c. d. e. Jenis-Jenis Data Data dapat dibagi menjadi berdasarkan: Cara memperolehnya, maka data dapat dibagi menjadi: data primer adalah data yang diambil secara langsung dari obyek penelitian oleh peneliti perorangan maupun organisasi. misalnya: mewawancarai langsung pengunjung ApotikMalifah Farma untuk meneliti kepuasan konsumen dan data sekunder data yang didapat tidak secara langsung dari objek penelitian. Dalam hal ini peneliti mendapatkan data yang sudah jadi yang dikumpulkan oleh pihak lain dengan berbagai cara atau metode baik secara komersial maupun non komersial. Contohnya adalah pada peneliti yang menggunakan data statistik hasil penelitian dari mahasiswa diploma tiga, strata satu, strata dua dan strata tiga minat farmasi, laporan hasil penelitian pakar dan lain-lain. Sumber data. Data ini terdiri atas: data internal yaitu data yang menggambarkan situasi dan kondisi pada suatu organisasi secara internal, misalnya seorang mahasiswa Diploma Tiga Jurusan Farmasi Poltekkes Makassar ingin mengumpulkan data tentang berat badan mahasiswa Jurusan Farmasi Poltekkes Makassar dan data eksternal adalah data yang menggambarkan situasi serta kondisi yang ada di luar organisasi tersebut, misalnya mahasiswa Diploma Tiga Farmasi Poltekkes Makassar ingin mengumpulkan data tentang kepuasan mahasiswa di Diploma Tiga Akademi Farmasi Sandi Karsa Makassar. Jenis data : data kuantitatif adalah data yang dipaparkan dalam bentuk angka-angka, misalnya tinggi badan mahasiswa Diploma Tiga Jurusan Farmasi Poltekkes Makassar dan data kualitatif adalah data yang disajikan dalam bentuk kata-kata yang mengandung makna atau dengan kata lain adalah bukan dalam bentuk angka, misalnya warna, suku, bangsa, bahasa, agama, rasa dan lain sebagainya. Sifat data : data diskrit adalah data didapatkan dari hasil menghitung yang hasil akhirnya adalah bilangan bulat, misalnya jumlah mahasiswa, jumlah balita, jumlah kuman dan data kontinu adalah data yang didapatkan dari hasil mengukur dan akhir data menghasilkan bilangan bulat dan atau desimal, misalnya berat badan si A adalah 38,0 Kg dan berat badan si B adalah 39,65 Kg. Berat badan si A menghasilkan bilangan bulat dan berat badan si B menghasilkan bilangan desimal (pecahan). Waktu pengumpulannya : data crosssection(at a point of time) adalah data yang menunjukkan titik waktu tertentu, misalnya laporan keuangan Apotik Sana Farma 144 Matematika dan Stastistika Makassar per 31 Desember 2014dan data berkala (timeseries) adalah data yang nilainya menggambarkan sesuatu dari waktu ke waktu atau periode tertentu secara historis,misalnya data timeseries adalah data perkembangan harga obat generik dengan obat paten dari tahun 2010 sampai 2014. 2. Skala Pengukuran Data Berdasarkan skala pengukurannya, data dibedakan menjadi data skala rasio (skala nisbah), interval ( skala selang), ordinal (skala jenjang), dan skala nominal (skala kategorial). Data skala rasio ciri-cirinya adalah nilainya bersifat absolut (mutlak) dan ciri-ciri yang dipunyai skala interval, ordinal dan nominal juga dipunyai pada skala rasio serta dapat dilakukan operasi matematika di dalamnya , /, , dan ^ . Contoh data skala rasio adalah berat badan dalam kilogram, tinggi badan dalam sentimeter dan sebagainya. Berdasarkan tingkatannya data skala rasio paling tinggi, kemudian berturut-turut adalah skala interval, ordinal dan yang paling rendah tingkatannya adalah data skala nominal. Data skala interval mempunyai ciri jarak antara interval satu dengan lainnya adalah sama dan nilainya tidak bersifat absolut. Ciri-ciri ordinal dan nominal juga ada pada data skala interval serta dapat dilakukan operasi matematika , /, , dan ^ . Contoh hasil pengukuran terhadap 5 obyek menghasilkan angka 10, 8, 6, 4, dan 2. jadi selisih antara 10 dengan 8 adalah sama dengan selisih 8 dengan 6. Contoh lain adalah hasil pengukuran suhu dengan skala celcius. Angka 00C berarti tidak menunjukkan suhunya tidak ada, misalnya kalau diukur dengan skala Kelvin suhu tidak akan 0. Selisih antara 50C dengan 100C adalah sama dengan selisih antara 100C dengan 150C. Data skala ordinal, ordinal berasal dari kata ordo yang artinya tataan atau deret. Data skala ordinal mempunyai arti tingkatan, deret atau jenjang, sifat nominalnya ada dan nilainya tidak bersifat absolut. Contoh nilai mutu ujian terdiri atas 4, 3, 2, 1 dan 0. selisih antara nilai mutu 4 dan 3 tidak sama dengan selisih nilai mutu 3 dan 2. Contoh lain hasil kejuaraan tinju juara 1, 2, 3 dan 4. Selisih kemampuan antara juara 1 dengan 2 tidak sama dengan selisih juara 2 dan 3. Data ini mempunyai ciri posisi data tidak setara dan tidak bisa dilakukan operasi matematik di dalamnya , /, , dan ^ . Data skala nominal (kategorial), data tersebut dikategorikan misalnya jenis kelamin terdiri atas laki-laki dan wanita. Tekanan darah dikategorikan menjadi normal dan tidak normal. Cara pelayanan dibedakan menjadi luwes, sedang dan judes. Kategori suatu data sering diberikan nama atau lambang misalnya jenis kelamin laki-laki (= 2) dan wanita ( = 1), maka skala kategorial disebut pula sebagai skala nominal (berasal dari kata name = nama).Data nominal mempunyai ciri posisi data setara dan tidak dapat dilakukan operasi matematika , /, , dan ^ . Pembagian lain data dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu. Data diskrit adalah data yang diperoleh dengan cara menghitung misalnya jumlah penduduk, jumlah bidan, jumlah dokter dan lain-lain. Data diskrit tidak mungkin berbentuk pecahan. Kebalikannya adalah data kontinu yaitu data yang diperoleh dengan cara mengukur misalnya tekanan darah, kadar hemoglobin, berat badan dan sebagainya. Jadi data kontinu nilainya bisa berbentuk pecahan ataupun bilangan bulat. 145 Matematika dan Stastistika 3. a. b. Penyajian Data Ada dua cara penyajian data yang sering dilakukan, yaitu : daftar atau tabel, grafik atau diagram. a. Penyajian Data dalamBentukTabel Misalkan, hasil ujian akhir semester mata kuliah Bahasa Indonesia 37 mahasiswa Jurusan Farmasi Poltekkes Makassar disajikan dalam tabel di bawah. Penyajian data pada Tabel 7.1 dinamakan penyajian data sederhana. Dari Tabel 7.1, Anda dapat menentukan banyak mahasiswa yang mendapat nilai 9, yaitu sebanyak 7 orang. Berapa orang mahasiswa yang mendapat nilai 5? Nilai berapakah yang paling banyak diperoleh mahasiswa? Jika data hasil ujian akhir semester Mata Kuliah Bahasa Indonesia itu disajikan dengan cara mengelompokkan data nilai mahasiswa, diperoleh tabel frekuensi berkelompok seperti pada Tabel 7.1. Tabel 7.1 Penyajian Data Sederhana Nilai Frekuensi 2 7 4 3 5 5 6 4 7 10 9 7 10 1 Tabel 7.2 Tabel Distribusi Frekuensi Interval Kelas 1–2 3–4 5–6 7–8 9–10 Turus Frekuensi EB 7 C 3 EC 8 EE 10 EC 8 Jumlah 37 b. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram Kerap kali data yang disajikan dalam bentuk tabel sulit untuk dipahami. Lain halnya jika data tersebut disajikan dalam bentuk diagram maka Anda akan dapat lebih cepat memahami data itu. Diagram adalah gambar yang menyajikan data secara visual yang biasanya berasal 146 Matematika dan Stastistika dari tabel yang telah dibuat. Meskipun demikian, diagram masih memiliki kelemahan, yaitu pada umumnya diagram tidak dapat memberikan gambaran yang lebih detail. 1) Diagram Batang Diagram batang biasanya digunakan untuk menggambarkan data diskrit (data cacahan). Diagram batang adalah bentuk penyajian data statistik dalam bentuk batang yang dicatat dalam interval tertentu pada bidang cartesius. Ada dua jenis diagram batang, yaitu a) diagram batang vertikal, dan b) diagram batang horizontal. Contoh 7.1.1: Selama 1 tahun, Apotik "Malifah Farma" mencatat keuntungan setiap bulan sebagai berikut. Tabel 7.3 Keuntungan Apotik "Malifah Farma" per Bulan (dalam jutaan rupiah) Bulan ke 2,5 1,8 2,6 4,2 3,5 3,3 4,0 5,0 2,0 4,2 6,2 6,2 Keuntungan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a) Buatlah diagram batang vertikal dari data tersebut. b) Berapakah keuntungan terbesar yang diperoleh Apotik "Malifah Farma" selama 1 tahun? c) Kapan Apotik "Malifah Farma" memperoleh keuntungan yang sama selama dua bulan berturut-turut? Penyelesaian : a) Diagram batang vertikal dari data tersebut, tampak pada gambar berikut. Gambar 7.1. Diagram batang vertikal Keuntungan Apotik "Malifah Farma" per Bulan (dalam juta rupiah) Gambar 7.1. Diagram batang vertikal Keuntungan Apotik "Malifah Farma" per Bulan (dalam juta rupiah). Dari diagram tersebut tampak bahwa keuntungan 147 Matematika dan Stastistika b) 2) terbesar yang diperoleh Apotik "Malifah Farma" selama 1 tahun adalah sebesar Rp 6.200.000,00. Apotik "Malifah Farma" memperoleh keuntungan yang sama selama dua bulan beturut-turut pada bulan ke-11 dan ke-12. Diagram Garis Pernahkah Anda melihat grafik nilai tukar dolar terhadap rupiah atau pergerakan saham di TV? Grafik yang seperti itu disebut diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk menggambarkan data tentang keadaan yang berkesinambungan (sekumpulan data kontinu). Misalnya, jumlah penduduk setiap tahun, perkembangan berat badan bayi setiap bulan, dan suhu badan pasien setiap jam. Seperti halnya diagram batang, diagram garis pun memerlukan sistem sumbu datar (horizontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang saling berpotongan tegak lurus. Sumbu mendatar biasanya menyatakan jenis data, misalnya waktu dan berat. Adapun sumbu tegaknya menyatakan frekuensi data. Langkah-langkah yang dilakukan untuk membuat diagram garis adalah sebagai berikut. a) Buatlah suatu koordinat (berbentuk bilangan) dengan sumbu mendatar menunjukkan waktu dan sumbu tegak menunjukkan data pengamatan. b) Gambarlah titik koordinat yang menunjukkan data pengamatan pada waktu t. c) Secara berurutan sesuai dengan waktu, hubungkan titik-titik koordinat tersebut dengan garis lurus. Contoh7.1.2 : Berikut ini adalah tabel berat badan seorang bayi yang dipantau sejak lahir sampai berusia 9 bulan. Usia (bulan) 3,5 4 5,2 6,4 6,8 7,5 7,5 8 Berat Badan (kg) 0 1 2 3 4 5 6 7 a) Buatlah diagram garisnya. b) Pada usia berapa bulan berat badannya menurun? c) Pada usia berapa bulan berat badannya tetap? 8,8 8,6 8 9 Jawab: a) Langkah ke-1 Buatlah sumbu mendatar yang menunjukkan usia anak (dalam bulan) dan sumbu tegak yang menunjukkan berat badan anak (dalam kg). Langkah ke-2 Gambarlah titik koordinat yang menunjukkan data pengamatan pada waktu t bulan. Langkah ke-3 Secara berurutan sesuai dengan waktu, hubungkan titik-titik koordinat tersebut dengan garis lurus. 148 Matematika dan Stastistika Dari ketiga langkah tersebut, diperoleh diagram garis dari data tersebut tampak pada Gambar 7.2. Gambar 7.2 Diagram garis berat badan bayi sejak usia 0 – 9 bulan b) c) Dari diagram tersebut dapat dilihat bahwa berat badan bayi menurun pada usai 8 sampai 9 bulan. Berat badan bayi tetap pada usia 5 sampai 6 bulan. Darimana Anda memperoleh hasil ini? Jelaskan. Observasi: Interpolasi dan Ekstrapolasi Data Anda dapat melakukan observasi terhadap kecenderungan data yang disajikan pada suatu diagram garis. Dari observasi ini, Anda dapat membuat perkiraan-perkiraan dengan cara interpolasi dan ekstrapolasi. Hal ini ditempuh dengan mengganti garis patah pada diagram garis menjadi garis lurus. Interpolasi data adalah menaksir data atau memperkirakan data di antara dua keadaan (misalnya waktu) yang berurutan. Misalkan, dari gambar grafik Contoh soal 2. dapat diperkirakan berat badan bayi pada usia 5,5 bulan. Coba Anda amati grafik tersebut, kemudian tentukan berat badan bayi pada usia 5,5 bulan. Ekstrapolasi data adalah menaksir atau memperkirakan data untuk keadaan (waktu) mendatang. Cara yang dapat dilakukan untuk ekstrapolasi adalah dengan memperpanjang ruas garis terujung ke arah kanan. Misalkan, dari gambar grafik soal 2. dapat diperkirakan berat badan bayi pada usia 10 bulan. Jika garis lurus sudah ditentukan, Anda dapat menentukan interpolasi data. Untuk ekstrapolasi data, Anda harus berhati-hati. Menurut diagram garis, berapa kira-kira berat badan bayi pada usia 10 bulan? Berikan alasan Anda. 149 Matematika dan Stastistika 3) Diagram Lingkaran Untuk mengetahui perbandingan suatu data terhadap keseluruhan, suatu data lebih tepat disajikan dalam bentuk diagram lingkaran. Diagram lingkaran adalah bentuk penyajian data statistika dalam bentuk lingkaran yang dibagi menjadi beberapa juring lingkaran. Langkah-langkah untuk membuat diagram lingkaran adalah sebagai berikut. a) Buatlah sebuah lingkaran pada kertas. b) Bagilah lingkaran tersebut menjadi beberapa juring lingkaran untuk menggambarkan kategori datanya yang telah diubah ke dalam derajat. Agar lebih jelasnya, pelajarilah contoh berikut. Contoh7.1.3 : Tabel berikut menunjukkan banyaknya mahasiswa Jurusan Farmasi di Poltekkes Makassar menurut tingkatan pada tahun 2014. a. b. c. Tingkat Banyaknya I 150 II 98 III 82 Buatlah diagram lingkaran untuk data tersebut. Berapa persen mahasiswa yang berada pada tingkat II ? Berapa persen siswa yang berada pada tingkat III? Jawab : a. Jumlah seluruh siswa adalah 330 orang. Seluruh siswa diklasifikasikan menjadi 3 katagori: tingkat I = 150 orang, tingkat II = 98 orang, dan tingkat III = 82 orang. • Tingkat I = (150/330) x 100% = 45,46% Besar sudut sektor lingkaran = 45,46% × 360° = 163,66° • Tingkat II = (98/330) x 100% = 29,7% Besar sudut sektor lingkaran = 29,7% × 360° = 106,9° • Tingkat III= (82/330) x 100% = 24,85% Besar sudut sektor lingkaran = 24,85% × 360° = 89,45° Diagram lingkaran ditunjukkan pada Gambar 7.3. Gambar 7.3 Diagram lingkaran junlah mahasiswa Jurusan Farmasi di Poltekkes Makassar menurut tingkatan pada tahun 2014 150 Matematika dan Stastistika b. c. D. Persentase mahasiswa yang berada pada tingkat II adalah 29,7 %. Persentase mahasiswa yang berada pada tingkat III adalah 24,85%. TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI, FREKUENSI RELATIF KUMULATIF, HISTOGRAM, POLIGON FREKUENSI, DAN OGIVE DAN 1. Tabel Distribusi Frekuensi Data yang berukuran besar (n 30) lebih tepat disajikan dalam tabel distribusi frekuensi, yaitu cara penyajian data yang datanya disusun dalam kelas-kelas tertentu. Langkah-langkah penyusunan tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut. a. Langkah pertama menentukan jangkauan J yaitu selisih antara nilai maksimal dan nilai minimal. Langkah kedua menentukan banyak kelas b. K yang terbentuk yaitu dengan menggunakan rumus "Sturgess" yaitu: K 1 3,3log n dengan n adalah banyak data. Banyak kelas harus merupakan bilangan bulat positif hasil pembulatan. Langkah ketiga menentukan panjang interval kelas I dengan menggunakan rumus: J K Langkah keempat menentukan batas-batas kelas. Data terkecil harus merupakan batas bawah interval kelas pertama atau data terbesar adalah batas atas interval kelas terakhir. Langkah kelima memasukkan data ke dalam kelas-kelas yang sesuai dan menentukan nilai frekuensi setiap kelas dengan sistem turus. Langkah keenam menuliskan turus-turus dalam bilangan yang bersesuaian dengan banyak turus. I c. d. e. Ingatlah: Menentukan banyak kelas interval dengan aturan Sturges dimaksudkan agar interval tidak terlalu besar sebab hasilnya akan menyimpang dari keadaan sesungguhnya. Sebaiknya, jika interval terlalu kecil, hasilnya tidak menggambarkan keadaan yang diharapkan. Contoh7.1.4 : Seorang peneliti mengadakan penelitian tentang berat badan dari 35 orang mahasiswa tingkat II Jurusan Farmasi Poltekkes Makassar. Data hasil penelitian itu (dalam kg) disajikan berikut ini: 48 32 46 27 43 46 25 41 40 58 16 36 21 42 47 55 60 58 46 44 63 66 28 56 50 21 56 55 25 74 43 37 51 53 39 Sajikan data tersebut ke dalam tabel distribusi frekuensi. 151 Matematika dan Stastistika Jawab : a. Jangkauan J Xm Xn 74 16 58 . b. Banyak kelas K 1 3,3log n 1 3,3log35 6,095 1 3,3log35 6, 095. Banyak kelas dibulatkan menjadi "6". c. Panjang interval kelas I adalah I J 58 9,67 . Panjang interval kelas dibulatkan K 6 menjadi "10". Dengan panjang interval kelas = 10 dan banyak kelas = 6, diperoleh tabel distribusi frekuensi seperti pada Tabel 7.1.4. atau Tabel 7.1.5 Cara I: Batas bawah kelas pertama diambil datum terkecil. Amati Tabel 7.1.4. Dari tabel tersebut tampak bahwa frekuensi paling banyak dalam interval 46 - 55. Artinya, berat badan kebanyakan berkisar antara 46 kg dan 55 kg Tabel 7.4 Tabel Distribusi Frekuensi Interval Kelas 16–25 26–35 36–45 46–55 56–65 66–75 Turus Frekuensi E 5 C 3 ED 9 EE 10 EA 6 B 2 Jumlah 35 Cara II: Batas atas kelas terakhir diambil datum terbesar. Amati Tabel 5. Tabel 7.5 Tabel Distribusi Frekuensi Interval Kelas 15–24 25–34 35–44 45–54 55–64 65–74 Turus Frekuensi C 3 E 5 ED 9 EC 8 EC 8 B 2 Jumlah 35 152 Matematika dan Stastistika Dari tabel tampak frekuensi paling sedikit dalam interval 65–74. Artinya, berat badan antara 65 kg dan 74 kg ada 2 orang. Perhatikan interval kelas yang pertama, yaitu 15 – 24. 15 disebut batas bawah dan 24 disebut batas atas. Ukuran 15 – 24 adalah hasil pembulatan, ukuran yang sebenarnya terletak pada 14,5 – 24,5. 14,5 disebut tepi bawah kelas (batas bawah nyata) dan 24,5 disebut tepi atas kelas (batas atas nyata) pada interval kelas 15 – 24. Dalam menentukan tepi bawah kelas dan tepi atas kelas pada setiap interval kelas, harus diketahui satuan yang dipakai. Dengan demikian, untuk tepi bawah kelas adalah batas bawah kelas dikurangi 1/2 satuan ukuran. Jadi, tepi kelas dari interval kelas 15 – 24 menjadi 14,5 – 24,5. 2. Frekuensi Relatif dan Kumulatif Frekuensi yang dimiliki setiap kelas pada tabel distribusi frekuensi bersifat mutlak. Adapun frekuensi relatif dari suatu data adalah dengan membandingkan frekuensi pada interval kelas itu dengan banyak data dinyatakan dalam persen. Contoh: interval frekuensi kelas adalah 20. Total data seluruh interval kelas = 80 maka frekuensi relatif kelas ini adalah 20 1 1 , sedangkan frekuensi relatifnya adalah 100% 25% . 80 4 4 Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan rumus frekuensi relatif? Cobalah nyatakan rumus frekuensi relatif dengan kata-kata Anda sendiri. Frekuensi relatif dirumuskan sebagai berikut: frekuensi kelas ke-k Frekuensi relatif kelas ke-k = banyak data Frekuensi kumulatif kelas ke-k adalah jumlah frekuensi pada kelas yang dimaksud dengan frekuensi kelas-kelas sebelumnya. Ada dua macam frekuensi kumulatif, yaitu a. frekuensi kumulatif "kurang dari" ("kurang dari" diambil terhadap tepi atas kelas); b. frekuensi kumulatif "lebih dari" ("lebih dari" diambil terhadap tepi bawah kelas). 1 Tepi atas = batas atas satuan pengukuran 2 1 Tepi bawah = batas bawah satuan pengukuran 2 Contoh7.1.5 : Dari Tabel 4. untuk interval kelas 46 – 55 (kelas 4), hitunglah a. frekuensi relatif; b. frekuensi kumulatif "kurang dari"; c. frekuensi kumulatif "lebih dari". Jawab : a. Frekuensi relatif kelas ke-4 = (frekuensi kelas ke-4 / banyak datum) × 100% = 10/35 × 100% = 28,57% b. Frekuensi kumulatif "kurang dari" untuk interval kelas 46 – 55 153 Matematika dan Stastistika c. = 5 + 3 + 9 + 10 = 27 (kurang dari tepi atas kelas 55,5) Frekuensi kumulatif "lebih dari" untuk interval kelas 46 – 55 = 10 + 6 + 2 = 18 (lebih dari tepi bawah kelas 45,5). 3. Histogram dan Poligon Frekuensi Histogram merupakan diagram frekuensi bertangga yang bentuknya seperti diagram batang. Batang yang berdekatan harus berimpit. Untuk pembuatan histogram, pada setiap interval kelas diperlukan tepi-tepi kelas. Tepi-tepi kelas ini digunakan untuk menentukan titik tengah kelas yang dapat ditulis sebagai berikut : 1 Titik tengah kelas tepi kelas tepi bawah kelas 2 Poligon frekuensi dapat dibuat dengan menghubungkan titik-titik tengah setiap puncak persegi panjang dari histogram secara berurutan. Agar poligon "tertutup" maka sebelum kelas paling bawah dan setelah kelas paling atas, masing-masing ditambah satu kelas. Contoh7.1.6 : Tabel distribusi frekuensi hasil ujian matematika Kelas XI SMK Farmasi Yamasi di Makassar diberikan pada Tabel 6. Buatlah histogram dan poligon frekuensinya. Tabel 7.6 Tabel distribusi frekuensi hasil ujian matematika Kelas XI SMK Farmasi Yamasi di Makassar. Interval Kelas 21–30 31–40 41–50 51–60 61–70 71–80 81–90 Frekuensi 2 3 11 20 33 24 7 100 Gambar 7.4 Histogram hasil ujian matematika Kelas XI SMK Farmasi Yamasi di Makassar. 154 Matematika dan Stastistika Dari histogram tersebut tampak bahwa kebanyakan siswa memperoleh nilai antara 60,5 dan 70,5. Coba Anda ceritakan hal lain dari histogram tersebut. 4. Ogive Grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi kumulatif lebih dari dinamakan poligon kumulatif. Untuk populasi yang besar, poligon mempunyai banyak ruas garis patah yang menyerupai kurva sehingga poligon frekuensi kumulatif dibuat mulus, yang hasilnya disebut ogive. Ada dua macam ogive, yaitu sebagai berikut : a. Ogive dari frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogive positif. b. Ogive dari frekuensi kumulatif lebih dari disebut ogive negatif. Contoh7.1.7 : Tabel 7.7. dan 7.8, berturut-turut adalah tabel distribusi frekuensi kumulatif "kurang dari" dan "lebih dari" tentang nilai ulangan Biologi Kelas XI SMK Farmasi Yamasi di Makassar. Tabel 7.7 Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif "Kurang Dari" tentang Nilai Ulangan Biologi Kelas XI SMK Farmasi Yamasi di Makassar. Nilai < 20,5 < 30,5 < 40,5 < 50,5 < 60,5 < 70,5 < 80,5 < 90,5 Frekuensi 0 2 5 16 36 69 93 100 Tabel 7.8 Tabel distribusi frekuensi kumulatif "lebih dari" tentang nilai ulangan Biologi Kelas XI SMK Farmasi Yamasi di Makassar. Nilai > 20,5 > 30,5 > 40,5 > 50,5 > 60,5 > 70,5 > 80,5 > 90,5 Frekuensi 100 98 95 84 64 31 7 0 155 Matematika dan Stastistika a. b. c. Buatlah ogive positif dan ogive negatif dari tabel tersebut. Berapakah jumlah siswa yang mempunyai nilai Biologi kurang dari 85? Berapakah jumlah siswa yang mempunyai nilai Biologi kurang lebih dari 40? Jawab : a. Ogive positif dan ogive negatif dari tabel tersebut tampak pada Gambar 7.5. Gambar 7.5 Kurva Ogif Positif dan Negatif Nilai Ulangan Biologi Kelas XI SMK Farmasi Yamasi di Makassar b. c. E. Dari kurva ogive positif, tampak siswa yang mempunyai nilai kurang dari 85 adalah sebanyak 93 orang. Dari kurva ogive negatif, tampak siswa yang mempunyai nilai lebih dari 40 adalah sebanyak 96 orang. DISTRIBUSI NORMAL Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bellcurve) karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng. Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada ilmu alam maupun ilmu sosial. Beragam skor pengujian psikologi dan fenomena fisika seperti jumlah foton dapat dihitung melalui pendekatan dengan mengikuti distribusi normal. Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidang statistika, misalnya distribusi samplingrata-rata akan mendekati normal, meski distribusi populasi yang diambil tidak 156 Matematika dan Stastistika berdistribusi normal. Distribusi normal juga banyak digunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika, dan kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikannormalitas suatu data. Distribusi normal pertama kali diperkenalkan oleh Abraham deMoivre dalam artikelnya pada tahun 1733 sebagai pendekatan distribusi binomial untuk n besar. Karya tersebut dikembangkan lebih lanjut oleh Pierre Simon deLaplace, dan dikenal sebagai teorema Moivre-Laplace. Laplace menggunakan distribusi normal untuk analisis galat suatu eksperimen. Metode kuadrat terkecil diperkenalkan oleh Legendre pada tahun 1805. Sementara itu Gauss mengklaim telah menggunakan metode tersebut sejak tahun 1794 dengan mengasumsikan galatnya memiliki distribusi normal. Istilah kurva lonceng diperkenalkan oleh Jouffret pada tahun 1872 untuk distribusi normal bivariat. Sementara itu istilah distribusi normal secara terpisah diperkenalkan oleh Charles S. Peirce, Francis Galton, dan Wilhelm Lexis sekitar tahun 1875. Terminologi ini secara tidak sengaja memiliki nama sama. Distribusi normal baku (standar) adalah distribusi peubah acak dengan rata-rata 0 dan varian 1. Peubah acak normal baku dilambangkan dengan Z yang merupakan hasil transformasi dari peubah acak X yang berdistribusi normal. Bentuk transformasi peubah acak tersebut adalah sebagai berikut : X Z Oleh karena itu fungsi : 1 1 f z n z;0,1 exp z 2 2 2 Perbandingan distribusi normal peubah acak x dan dengan distribusi normal standar z: 1 P x1 X x2 2 x2 2 e 1 x 2 dx x1 z2 2 z z 2 1 2 P x1 X x2 e dz n z;0,1 dz 2 z1 z1 P x1 X x2 P z1 Z z2 Nilai probabilitas dari P z1 Z z2 telah dihitung dan ditabelkan dalam Tabel Z distribusi normal. F. 1. PERANAN STATISTIKA DALAM PENELITIAN Statistika dalam penelitian mempunyai peranan yang sangat penting yaitu : Memudahkan dalam membuat judul penelitian, rumusan masalah, tujuan dan hipotesis. Seseorang yang kurang menguasai statistika, judul penelitian, rumusan masalah, tujuan dan hipotesis yang disusun biasanya kurang tajam atau mengambang. 157 Matematika dan Stastistika 2. 3. 4. Validitas dan reliabilitas alat pengumpul data ditentukan, biasanya dipergunakan korelasi Pearson dan Spearman. Penentuan besar sampel, banyak faktor yang mempengaruhi besarnya sampel penelitian di antaranya jenis penelitian (deskriptif atau inferensial), jenis populasi (finit atau infinit), simpangan baku, prevalensi, harga , harga , biaya, waktu, tenaga, jenis percobaan (merusak atau tidak merusak unit percobaan) dan sebagainya. Sangat penting untuk menyimpulkan hasil (generalisasi) khususnya jenis penelitian inferensial. Latihan 1) 2) 3) 4) 5) Distribusi yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika adalah distribusi: a. Ganda c. Gauss b. Skewnees d. Portal Distribusi normal sebagai pendekatan distribusi binomial untuk nbesarpertama kali diperkenalkan oleh: a. Abraham deMoivre c. Laplace b. Legendre d. Galton Jika populasi yang besar, poligon mempunyai banyak ruas garis patah yang menyerupai kurva sehingga poligon frekuensi kumulatif dibuat mulus, yang hasilnya disebut: a. Ogive c. Histogram b. Polygon d. Batang Berdasarkan tabel berikut: Penggunaan Ciprofloxacin Frekuensi Tablet 15–24 3 25–34 5 35–44 9 45–54 8 Jumlah 25 Penggunaan Ciprofloxacin tablet terbanyak adalah : a. 45 – 54 c. 35 – 44 b. 15 – 24 d. 25 – 34 Menentukan banyaknya suatu kelas yang terbentuk yaitu dengan menggunakan rumus yaitu: K 1 3,3log n dengan n adalah banyak data. Rumus tersebut adalah: a. Phytagoras c. Dalton b. Sturgess d. Pascal 158 Matematika dan Stastistika 6) 7) 8) 9) 10) Menaksir data atau memperkirakan data di antara dua keadaan yang berurutan disebut dengan: a. Counterpolasi data c. Interpolasi data b. Ekstrapolasi data d. Isolasi data Untuk menaksir atau memperkirakan data untuk keadaan yang akan datang. Cara yang dapat dilakukan yaitu dengan a. Polarisasi data c. Interpolasi data b. Ekstrapolasi data d. Sinkronisasi data Jumlah penduduk, jumlah bidan, jumlah dokter, jumlah kuman termasuk dalam data: a. Nominal c. Ordinal b. Diskrit d. Kontinu Data yang dapat berbentuk pecahan atau pun bilangan bulat disebut dengan data: a. Kontinu c. Interval b. Rasio d. Diskrit Jika seorang mahasiswa Jurusan Farmasi Tingkat III ingin meneliti dengan menggunakan data mahasiswa Jurusan Farmasi di Institusi Pendidikan lain, maka data yang dihasilkan adalah data: a. Kualitatif c. Internal b. Diskrit d. Eksternal Ringkasan Statistik merupakan suatu teknik, cara atau metoda untuk mengumpulkan, mengolah, menganalisis dan menarik kesimpulan pada suatu data. Statistik berdasarkan ruang lingkupnya dibagi menjadi statistik deskriptif dan statistik inferensial. Populasi adalah sekumpulan subyek yang hendak diketahui karakteristiknya, sampel adalah sebagian dari populasi yang mempunyai karakteristik yang sama dan sampling adalah teknik, cara atau metoda yang digunakan untuk mendapatkan sampel dari suatu populasi. Data merupakan kumpulan dari beberapa fakta yang nyata, dengan skala pengukuran data adalah nominal, ordinal, interval dan rasio. Penyajian data dapat dilakukan dengan berbagai cara antara lain diagram, grafik, tabel dan sebagainya. Peranan statistik sangat besar di segala aspek kehidupan. 159 Matematika dan Stastistika Tes 1 1) Ilmu yang mempelajari tentang cara mengumpulkan, mengolah, menganalisis dan menarik kesimpulan pada suatu data di sebut dengan .... A. statistik B. matematika C. statistika D. matematik 2) Sekumpulan fakta yang didapatkan dari suatu penelitian disebut .... A. data B. transformasi C. informasi D. variabel 3) Untuk merubah data kualitatif menjadi data kuantitatif maka digunakan teknik .... A. kualifikasi B. stratifikasi C. kuantifikasi D. klasterisasi 4) Data yang diperoleh dari hasil penghitungan populasi di sebut dengan .... A. statistik B. variabel C. parameter D. skala 5) Estimatevalue adalah nilai yang diperoleh dari hasil perhitungan .... A. populasi B. sampel C. sampling D. sub populasi 6) Data berikut ini adalah jumlah mahasiswa Jurusan Farmasi Poltekkes Makassar tingkat I sebanyak 100 orang, tingkat II sebanyak 200 orang dan tingkat III sebanyak 50 orang. Prosentasi mahasiswa Tingkat Jurusan Farmasi I sebesar .... A. 25,78% B. 26,98 % C. 27,64% D. 28,57% 160 Matematika dan Stastistika 7) Data diskrit dan kontinu merupakan bagian dari data berdasarkan .... A. jenisnya B. sifat C. sumber data D. waktu pengumpulan 8) Data yang jumlahnya kecil serta memerlukan suatu kesimpulan sederhana, biasanya dalam bentuk tulisan atau narasi adalah penyajian data dalam bentuk .... A. tekstular B. grafik C. tabulasi D. diagram batang 9) Jika variabel dalam bentuk kategorikal yang berfungsi untuk perbandingan frekuensi distribusi data, maka jenis diagram yang digunakan adalah .... A. line diagram B. bar diagram C. piechart D. pictogram 10) Untuk melihat trend data dengan variabel numerical, maka jenis diagram yang digunakan adalah .... A. curtogram B. pictogram C. line diagram D. piechart 161 Matematika dan Stastistika Topik 2 Konsep Probabilitas Rata-rata fenomena massa yang timbul secara berurutan atau serentak seperti pancaran elektron, panggilan telepon, deteksi radar, kendali mutu, kegagalan sistem, permainan berbasis kebetulan, mekanika statistik, turbulensi, suara, tingkat kelahiran atau kematian, herediter banyak terkait dengan teori probabilitas. Dengan pendekatan teori probabilitas diketahui bahwa bila jumlah pengamatan dari fenomena tersebut di atas meningkat, maka rata-rata fenomena massa tersebut mendekati nilai konstan. Sebagai contoh, pada pelemparan mata uang logam, presentasi munculnya sisi muka M mendekati 0,5 atau nilai konstan tertentu. Angka yang sama akan diperoleh bila dilakukan pelemparan n kali di mana kuantitas n besar. Tujuan dari teori probabilitas adalah untuk mendeskripsikan dan meramal rata-rata tersebut di atas dengan menghubungkan probabilitas dengan berbagai macam kejadian. Probabilitas dari kejadian A di dalam suatu eksperimen A dapat ditafsirkan sebagaiberikut: “Jika eksperimen diulang n kali dan kejadian A timbul nA kali, maka dengan derajat n kepastian yang tinggi (highdegree of certainty), frekuensi relatif A dari kejadian A adalah n mendekati Pr A ”. nA ...............................(1) di mana n cukup besar. n Penafsiran probabilitas dengan menggunakan pendekatan definisi frekuensi relatif seperti tersebut di atas sebetulnya tidak tepat. Ada cara untuk memperbaiki definisi di atas dengan memberikan muatan probabilitas pada ungkapan “derajat kepastian yang tinggi”. Pada penyelidikan probabilistik dari suatu fenomena fisika perlu dibedakan tiga hal sebagai berikut : Tahap pertama (klasik), yaitu suatu proses di mana Pr A dari suatu kejadian A tidak dapat Pr A dibuat pasti. Tahap ini berdasarkan rumus (1) di mana Pr A dihitung dengan menggunakan pendekatan frekuensi relatif. Latihan 1, jika suatu dadu digulirkan 10000 kali dan angka 2 muncul sebanyak 1674 kali, 1674 0,1674 . Dalam beberapa hal Pr A diperoleh secara apriori lewat maka Pr 2 10000 penalaran yang murni tanpa lewat percobaan. Maka karena dadu mempunyai enam sisi yang simetris dan jika dadu digulirkan secara jujur maka 1 Pr 2 0,167 6 Tahap kedua (konseptual), di mana probabilitas memenuhi suatu aksioma tertentu. Lewat penalaran deduktif ditentukan probabilitas Pr A dari suatu kejadian A dan Pr B dari 162 Matematika dan Stastistika suatu kejadian B. Pada pengguliran dadu secara jujur dapat dideduksikan bahwa probabilitas 3 kejadian di mana angka ganjil muncul adalah sama dengan 0,5 . 6 Pernyataan yang bisa diberikan adalah sebagai berikut : 1 3 Jika Pr 1 Pr 2 Pr 6 maka Pr angka ganjil 0,5 6 6 Tahap ketiga (fisik), peramalan secara fisik dilakukan dengan menggunakan hasil pada tahap kedua. Dalam tahap ini perhitungan probabilitas berdasarkan pendekatan frekuensi relatif dengan demikian hasilnya tidak tepat jika dadu digulirkan sebanyak 10000 kali maka diharapkan bahwa angka genap akan muncul sebanyak 5000 kali atau separuh dari jumlah pengguliran dadu tersebut. Untuk selanjutnya teori probabilitas berkenaan dengan tahap kedua yaitu dari probabilitas yang diasumsikan mempunyai nilai tertentu, maka teori probabilitas menjelaskan bagaimana menurunkan probabilitas lainnya. Dengan demikian proses penurunan probabilitas bersifat tautologis karena hasilnya sarat dengan asumsi. Contoh mudah yang mengandung makna tautologis adalah persamaan gerak suatu satelit adalah termasuk dalam hukum Newton. Tak seorang pun menyangkal kebenaran dari nilai ilmu mekanika. Tahap satu dan tiga masuk dalam kajian bidang statistika, walaupun dalam statistika semua hasil perhitungan dinyatakan dalam pernyataan probabilitas. Ada suatu perbedaan yaitu pada uji eksperimental akhir diterapkan pada kejadian di mana nilai probabilitasnya mendekati satu. Dalam hal ini penafsiran frekuensi relatif mengambil bentuk sebagai berikut: Jika probabilitas suatu kejadian mendekati satu maka dengan derajat kepastian yang tinggi kejadian tersebut timbul pada suatu eksperimen tunggal. Dalam hal ini dikembangkan teknik untuk menentukan jumlah hasil yang mungkin dari suatu eksperimen tertentu atau untuk menentukan jumlah elemen di dalam suatu himpunan tanpa menghitung secara langsung. Teknik ini disebut analisis kombinatorial. Jika suatu prosedur dapat ditampilkan dalam x3 cara yang berbeda, demikian juga untuk prosedur kedua dapat ditampilkan dalam cara yang berbeda dan seterusnya untuk prosedur berikutnya, maka jumlah cara di mana prosedur dapat ditampilkan dalam urutan adalah merupakan hasil perkalian n n n 1. Notasi Faktorial n! 1 2 3 n 2 n 1 n . Penting untuk diingat bahwa 0! 1 Contoh 7.2.1: 2! 2 1 2 3! 3 2 1 6 . . dan seterusnya 163 Matematika dan Stastistika 2. Permutasi Permutasi suatu obyek adalah susunan himpunan dari n obyek dalam urutan yang ditentukan. Jadi suatu susunan k n obyek dalam urutan yang ditentukan disebut k permutasi atau permutasi n obyek yang diambil sejumlah k sekaligus. Perlu diperhatikan bahwa susunan urutan amat penting dalam permutasi. Sebagai contoh adalah suatu himpunan terdiri dari huruf a, b, c, d . Maka bdca,dcab,acdb adalah permutasi 4 huruf yang diambil 4 sekaligus. Maka bad ,adb, cbd ,dan bca adalah permutasi 4 huruf yang diambil 3 sekaligus. Maka ad , cb, da, dan bd adalah permutasi 4 huruf yang diambil 2 sekaligus. Jumlah permutasi n obyek yang diambil k sekaligus dinyatakan dengan rumus sebagai berikut : n! Pn ,k n n 1 n 2 n k 1 n k ! 3. Permutasi Dengan Repetisi (Ulangan) Sering dijumpai jumlah permutasi obyek di mana beberapa diantaranya adalah sama. Untuk itu perlu disimak dalil sebagai berikut : Dalil : Jumlah permutasi n obyek, n1 dari padanya sama, n2 dari padanya sama, ..., nr dari padanya sama adalah: n! n1 ! n2 !....nr Contoh 7.2.2.: Seseorang ingin membentuk semua kemungkinan 5 huruf dari kata DADDY . Maka didapat 5! = 120 permutasi dari obyek D1 , A, D2 , D3 ,Y . Dalam hal ini 3 D adalah berbeda. Coba amati 6 permutasi sebagai berikut : D1D2D3 AY D2D1D3 AY D3D1D2 AY D1D3D2 AY D2D3D1 AY D3D2D1 AY akan menghasilkan kata yang sama bila indeks 1, 2, 3, dipindahkan. Angka 6 tersebut berasal dari 3! = 3*2*1 = 6 cara yang berbeda atas penempatan 3 huruf D pada 3 posisi yang pertama di dalam permutasi. 5! 5 4 3 2 1 120 20 perkataan yang terdiri dari 5 huruf yang berbeda yang Jadi 3! 3 2 1 6 dapat dibentuk dengan menggunakan huruf dari kata DADDY . 164 Matematika dan Stastistika Contoh 7.2.3.: Ada isyarat berbeda yang dapat dibentuk dari himpunan 4 bendera merah yang berbeda, 3 bendera putih yang berbeda, dan satu bendera biru yang masing-masing terdiri dari 8 bendera yang terpasang di suatu tiang ?. Dalam hal ini dicari jumlah permutasi 8 obyek yang 4 diantaranya sama (bendera merah), 3 di antaranya sama (bendera putih). Jawab: 8! 8 7 6 5 4 3 2 1 40320 280 isyarat yang berbeda. 4!3!1! 4 3 2 1 3 2 1 1 144 4. Kombinasi Misalkan terdapat himpunan n obyek, maka kombinasi n obyek yang diambil k sekaligus atau k kombinasi merupakan subhimpunan k elemen. Jadi k kombinasi adalah pemilihan sebanyak k dari n obyek tanpa mempersoalkan urutan. Sebagai contoh; terdapat huruf a, b, c , dan d dan diambil 3 sekaligus diperoleh kombinasi abc , acb, cba, cab, cba sehingga pada kombinasi tidak diperhitungkan. Rumus yang digunakan: Jumlah kombinasi n obyek yang diambil k sekaligus adalah: P n! C n ,k n ,k k ! k ! n k ! Contoh 7.2.4.: Terdapat panitia yang terdiri dari 3 anggota dari 8 orang yang ada. 8! 8! 8*7*6*5*4*3*2*1 C8,3 56 panitia yang berbeda. 3!(8 3)! 3!5! 3*2*1*5*4*3*2*1 Pemilihan Pengurus Contoh 7.2.5.: Sebanyak 8 anggota pengurus Lembaga Masyarakat Desa dipilih dari 20 orang anggota Badan Musyawarah Desa. Hitung jumlah kelompok pengurus yang berbeda. Untuk itu digunakan rumus kombinasi seperti di atas sebagai berikut : P n! C n ,k n ,k k ! k ! n k ! C20,8 20! 20! 20*19*18*17*16*15*14*13 125970 8!(20 8)! 8!12! 8*7*6*5*4*3*2*1 5. Koefisien Binomial Contoh 7.2.6.: Sebuah mata uang logam dilempar secara jujur sebanyak 10 kali selanjutnya hitung (a) probabilitas timbulnya 3M (b) probabilitas timbulnya 3M Untuk 10 pelemparan mata uang logam, ruang sampel yang terbentuk terdiri dari 210 hasil yang mungkin yang masing-masing mempunyai probabilitas yang sama. Jumlah susunan 165 Matematika dan Stastistika 10 yang berbeda yang terbentuk dari 3M dan 7B adalah . Dengan demikian probabilitas 3 timbulnya 3M adalah : 10 10! 3 3!(10 3)! Pr MMM 10 0,1172 2 210 6. Hipotesis Hipotesis berasal dari kata hipo yang artinya rendah atau lemah dan tesis adalah pernyataan. Jadi hipotesis adalah pernyataan atau jawaban untuk menjawab/memecahkan masalah penelitian, tetapi masih lemah karena belum didukung oleh data dan belum diuji kebenarannya. Hipotesisi juga dapat didefinisikan secara sederhana sebagai suatu pernyataan tentative yang menjelaskan terjadinya perilaku, fenomena, atau peristiwa. Pernyataan hipotesis lazimnya menyangkut prediksi peneliti tentang hubungan variabelvariabel yang menjadi permasalahan penelitian. Pengelola rumah sakit misalnya, membuat hipotesis bahwa rata-rata lama tinggal pasien di rumah sakit tersebut adalah enam hari; petugas kesehatan membuat hipotesis bahwa program pelatihan keterampilan komunikasi tertentu efektif dalam meningkatkan kemampuan komunikasi pemberi pelayanan kesehatan dan pasien; seorang dokter membuat hipotesis bahwa sebuah obat baru efektif dalam menurunkan tekanan darah sebesar 90% dari semua kasus yang mendapatkan obat. Hipotesis statistik dinyatakan dalam dua bentuk yaitu hipotesis nol / nihil (Ho) dan hipotesis alternatif (Ha). Hipotesis nol berdasarkan dugaan tak berbeda, tak berhubungan dan sebagainya, maka pernyataannya biasanya diawali dengan kata-kata tidak terdapat perbedaan, tidak terdapat hubungan dan sebagainya. Kebalikannya adalah hipotesis alternatif dengan pernyataannya diawali dengan kata-kata terdapat perbedaan, terdapat hubungan dan sebagainya. Ho dan Ha bersifat antagonistik, artinya bila Ho diterima maka otomatis Ha ditolak dan demikian pula sebaliknya. Kriteria penerimaan atau penolakan hipotesis berdasarkan kepada harga (alpha = kesalahan tipe I) yaitu besarnya kesalahan dalam menolak Ho. Besarnya harga alfa ini disebut sebagai taraf signifikansi atau taraf nyata. Biasanya harga juga dinyatakan dengan huruf p (besarnya peluang kesalahan dalam menolak Ho). Dalam penelitian sebenarnya masih terdapat kesalahan tipe II (= beta), yaitu besarnya kesalahan dalam menerima Ho. Harga biasanya dipergunakan untuk menentukan kuasa uji ( 1 = kuasa uji = power of test). Dalam praktek yang dipakai untuk menentukan apakah Ho dan Ha yang diterima adalah harga p . Besarnya harga biasanya ditentukan berdasarkan pendekatan konvensional dari kelaziman bidang penelitiannya. Untuk penelitian bidang hayati harga umumnya ditentukan setinggi-tingginya 0,05 atau 5 % dan bidang sosial bisa lebih besar lagi. 7. Statistik Deskriptif Untuk menyederhanakan suatu data sehingga data tersebut dapat dengan mudah untuk dipahami atau dimengerti merupakan definisi dari statistik deskriptif. Statistik ini 166 Matematika dan Stastistika terdiri atas 3 (tiga) bagian yaitu ukuran pemusatan (Central Tendency), ukuran penyebaran (Dispersi) dan ukuran letak (Fractil). 8. Ukuran Pemusatan Sekarang kita memasuki bahasan tentang ukuran pemusatan. Ukuran pemusatanadalah nilai tunggal yang mewakili satu set data, nilai itu menunjukkan pusat nilai data (Mason, et. Al, 1999). Ukuran pemusatan terdiri atas mean, median dan modus. Mean adalah rata-rata, juga disebut dengan rerata. Simbol dari mean adalah X dibaca X bar. Mean dipakai untuk menentukan angka/nilai rerata sekumpulan set data baik dalam bentuk tunggal, perbandingan dua nilai rerata, maupun set data harmonik. Nilai rerata adalah sebuah angka yang dapat mewakili sebagian besar nilai individu atau unit analisis setiap individu. Set data bagaimanapun bentuknya hanya akan ada tiga jenis yaitu tunggal, ganda (berbanding) dan harmonik. Data tunggal adalah data yang bersifat tunggal dengan jumlah individu atau anggota relatif kecil. Biasanya kurang dari 10, tetapi tidak ada batasan yang jelas apa yang dimaksud set data kecil. Beberapa ahli statistika menetapkan 11 unit (Siegel, 1997) ada juga yang menetapkan 30 unit analisis (Walpole, 1995). Data dengan set data perbandingan maksudnya ada dua kelompok data atau lebih tetapi sudah diketahui nilai reratanya. Misalnya berat badan mahasiswa di kelas A adalah 45,5 kg, berat badan mahasiswa kelas B adalah 46,5 kg dan berat badan mahasiswa kelas C adalah 50 kg. Kasus seperti ini adalah kasus rerata perbandingan.Rerata harmonik berbeda dengan rerata tunggal dan rerata perbandingan.Rerata harmonik adalah rerata yang berubah secara periodik baik beraturan atau tidak beraturan dalam ukuran waktu tertentu.Pemakaian rerata harmonik banyak digunakan dalam dunia kesehatan. Mean dengan data tunggal dapat diketahui dengan menggunakan rumus berikut : xi mean X n Penjelasan dari rumus diatas adalah bahwa nilai rerata yang ditulis dengan X di baca X bar adalah nilai rerata sebuah set data. Jika semua nilai gugus data dijumlahkan maka itu ditulis dengan xi .Tulisan n kecil adalah jumlah semua individu. Latihan Ada tiga orang ibu hamil diukur kadar hemoglobinnya masing masing 10,0 mg/dl, 11,0 mg/dl dan 10,0 mg/dl. Maka nilai rerata dapat dihitung menjadi: 10,0 11,0 10,0 10,33 Rerata HB X 3 Perhitungan nilai reratadiatas adalah perhitungan yang digunakan jika set datanya tunggal. Tugas ahli farmasi lebih banyak berhadapan dengan data dalam bentuk distribusi frekuensi tunggal.Pemahaman lebih baik untuk menggunakan cara hitung rerata tertimbang adalah dengan memperhatikan Tabel 7.11 Distribusi Frekuensi Berat Badan Mahasiswa DIII Farmasi Poltekkes Makassar Tahun 2014 dibawah ini. Pada tabel tersebut diketahui bahwa tabel tersebut terdiri dari dua kolom dan enam baris. 167 Matematika dan Stastistika Tabel 7.9 Berat Badan Mahasiwa DIII Farmasi Frekuensi fi 1 4 14 15 3 2 Berat Badan (Kg) xi 45 46 47 48 49 50 Jadi tabel ini termasuk jenis tabel tunggal yang sederhana. Data dalam bentuk set data tunggal, sehingga untuk menghitung nilai reratanya terlebih dahulu kita menjumlahkan semua nilai berat badan untuk semua mahasiswa yang diukur berat badannya. Perhitungan menggunakan rumus berikut ini: x n fi xi f i Distribusi frekuensi dengan data tunggal adalah set data yang tidak mempunyai interval kelas tetapi skalanya adalah data rasio. Contoh 7.2.7: Tabel 7.10 Berat Badan Mahasiswa Farmasi Poltekkes Makassar Berat Badan (Kg) xi Frekuensi fi fi xi 45 46 47 48 49 50 Jumlah 1 4 14 15 3 2 45 184 658 720 147 100 39 1854 Contoh 7.2.8.: Kasus lain adalah jika data distribusi frekuensi berskala interval, maka perhitungan nilai reratanya berbeda meskipun prinsipnya sama. Perhatikan tabel berat badan mahasiswa DIII Farmasi tahun 2014 Kelas A. 168 Matematika dan Stastistika Tabel 7.11 Berat Badan Mahasiswa DIII Farmasi Berat Badan (Kg) xi Frekuensi fi 35-40 41-45 46-50 51-55 56-60 61-65 Jumlah 1 4 14 15 3 2 Titik Tengah 37.5 42,5 47.5 52,5 57,5 62.5 37,5 170 665 787,5 172,5 125 39 39 1957.5 fi xi Perhatikan bahwa kita membutuhkan nilai tengah disetiap interval kelas.Caranya adalah dengan menambah tepi bawah kelas dengan tepi atas kelas dibagi dua.Misalnya untuk kelas pertama tepi kelas bawah adalah 35 dan tepi atas kelas adalah 40. Jadi 35 40 :2 37,5 . Demikian juga untuk kelas kedua. x 1957,5 50,19 39 Rerata untuk data perbandingan adalah rerata dari dua atau lebih set data yang sudah memiliki nilai rerata. Contoh 7.2.9.: Rerata mahasiswa Diploma III Jurusan Farmasi Poltekkes Makassar mengunjungi perpustakaan adalah tingkat I adalah 2, tingkat II adalah 4 dan tingkat III adalah 8. Maka rerata mahasiswa mengunjungi perpustakaan dalam seminggu adalah tingkat I, II, dan III dihitung dengan rerata perbandingan. Harus digunakan rumus berikut untuk menyelesaikannya. U n x1 x2 x3 U 3 248 4 Rerata Harmonik adalah rerata yang digunakan pada data yang berubah nilainya antar waktu. H f f x i i 169 i Matematika dan Stastistika Tabel 7.12 Nilai Ujian Statistika Jurusan Farmasi 2014 Nilai Ujian xi fi xi Fi xi 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100 1 2 5 15 25 20 12 35,5 45,4 55,5 65,5 75,6 85,5 95,5 0,0282 0,0440 0,0901 0,2290 0,3311 0,2339 0,1256 Jumlah 80 1,0819 Sumber: Sudjana, 1995. Jadi dengan menggunakan rerata harmonis diketahui H 80 73,94 . 1,0819 9. Median (Nilai tengah) Median adalah nilai yang berada di tengah pada suatu set data atau nilai yang membagi dua suatu set data. Median adalah nilai yang menjadi batas 50 persen distribusi frekuensi bagian bawah dan 50 persen distribusi frekuensi bagian atas. Ringkasnya median adalah nilai yang membagi distribusi menjadi 2 bagian yang sama yakni 50 persen, 50 persen. Harga median dapat ditentukan dengan beberapa formulasi tergantung pada kasus yang dihadapi. Hanya dua hal yang perlu dibedakan pada kasus ini yaitu set data ganjil dan set data genap. Ini jika kita temukan data tunggal. Median untuk set data ganjil adalah data yang terletak ditengah setelah data tersusun dari yang terendah ke tertinggi. Contoh 7.2.10.: Kadar cholesterol penderita Stroke di RS Daya Makassar adalah 220, 223, 224, 229, 309 (mg/dl), maka mediannya adalah 224 mg/dl karena data ini terletak ditengah. Berbeda halnya jika set data genap misalnya data kolesterol penderita stroke sebagai berikut; 220, 223, 224, 229, maka mediannya adalah (223+224 )/2 =223,5 mg/dl. Median untuk data berkelompok adalah sebagai berikut: 1 2n F Me b p f 170 Matematika dan Stastistika Me adalah median dan simbol b adalah batas bawah kelas median.Ini diketahui berdasarkan frekuensi paling besar dari semua frekuensi yang ada.Simbol p adalah panjang kelas diketahui dengan menghitung selisih tepi atas kelas dengan tepi bawah kelas.Simbol n adalah banyaknya data sedangkan simbol f adalah frekuensi khusus kelas median berada. Contoh 7.2.11: Tabel 7.13 Distribusi Nilai Ujian Statistika Nilai Ujian xi Frekuensi fi 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100 1 2 5 15 25 20 12 40 23 Me 70,5 10 77,3 25 Perhatikan nilai 70,5 berasal dari nilai 70 71 / 2 70,5. Adalah sebuah nilai yang terletak antara tepi kelas atas dengan tepi bawah kelas. 10. Modus (Mode) Secara sederhana modus didefinisikan nilai yang paling sering muncul atau nilai yang memiliki frekuensi yang terbanyak. Satu hal yang perlu diingat bahwa modus adalah persoalan nilai bukannya frekuensi. Frekuensi hanya menunjuk intensitas kemunculan sesuatu nilai.Pada data tunggal menentukan mode/modus mungkin tidaklah terlampau sulit. Hanya dengan memperhatikan nilai yang memiliki frekuensi terbanyak maka dapat diidentifikasi nilai modus/mode dari distribusi data. Hal ini agak berbeda jika berhadapan dengan data bergolong. Apabila data yang dihadapi bergolong menentukan harga modus ada 2 pendekatan, yakni pertama, dengan menentukan midpoint atau nilai tengah dari interval kelas yang memiliki frekuensi terbanyak dan kedua dengan formulasi sebagai berikut: b Mo b p 1 b1 b2 171 Matematika dan Stastistika Penjelasan rumus diatas adalah Mo = modus dan simbol b adalah batas bawah kelas modus dicirikan sebagai interval kelas dengan frekuensi terbanyak. Simbol p adalah panjang kelas modus, simbol b1 adalah frekuensi kelas modus dikurangi dengan frekuensi kelas interval sebelum kelas modus. Simbol b2 adalah frekuensi kelas modus dikurangi dengan kelas interval dengan tanda kelas yang lebih besar sesudah kelas modus. Tabel 7.14 Distribusi Nilai Ujian Statistika Nilai Ujian xi Frekuensi fi 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100 1 2 5 15 25 20 12 Dari tabel diatas diketahui b 70,5; b1 25 15 10; b2 25 20 5; p 10 10 Mo 70,5 10 77,17 10 5 11. Dispersi (Nilai Penyebaran) Pemahaman terhadap nilai sebaran mempermudah kita memahami cara melakukan perhitungan nilai sebaran. Konsep nilai sebaran mendeskripsikan sebuah nilai yang menunjukkan sebaran data. Sebaran data berguna untuk mengetahui variasi data, sehingga apabila diperlukan untuk menilai pemerataan maka nilai sebaran akan membantu kita untuk mengetahui keterwakilan setiap nilai dalam sebuah set data. Dalam terminologi statistika penyebaran data dapat dilakukan dengan alat statistik yang disebut variabilitas. Variabilitas sering juga disebut dispersi atau penyebaran. Definisi ringkas variabilitas adalah derajat penyebaran nilai variabel dari suatu tendensi sentral tertentu. Pengukuran variabilitas juga memiliki fungsi penting yakni sebagai alat untuk mengetahui homogenitas dan heterogenitas data. Jika data yang kita hadapi memiliki tingkat penyebaran yang tinggi berarti data cenderung bersifat heterogen. Pemahaman tentang homogenitas dan heterogenitas data dalam kelompok sangat penting tidak hanya untuk kepentingan identifikasi karakter/ ciri kelompok tetapi juga untuk memperoleh pemahaman tentang perbedaan antara dua kelompok atau lebih. Satu catatan yang perlu dicermati dalam pengukuran variabilitas bahwa pengukuran ini dapat diterapkan jika data yang diperoleh dalam bentuk numerik atau berskala interval dan rasio. 172 Matematika dan Stastistika Pengukuran variabilitas termasuk bidang statistika deskriptif. Pengukuran variabilitas dapat dimanfaatkan untuk kepentingan praktis misalnya; penyusunan standar nilai baik untuk kepentingan akademik maupun praktis dengan menggunakan standar deviasi. Untuk menentukan peloncat tinggi yang diajukan dalam perlombaan seorang pelatih juga memerlukan alat statistik berupa variabilitas untuk memilihnya. Seorang guru atau instruktur juga memerlukan informasi tentang perbedaan variabilitas dalam kecakapan mata pelajaran antar 2 kelas ketika hendak memperlakukan 2 kelas secara berbeda akibat adanya perbedaan kondisi kelas/murid tersebut. Selain untuk kepentingan praktis pengukuran variabilitas juga memiliki arti teoritik yang sangat penting. Setidaknya melalui pengukuran ini dapat dilakukan identifikasi tentang ciri kelompok dan perbedaan antar 2 kelompok atau lebih. 12. Jenis Pengukuran Variabilitas Pengukuran variabilitas terdiri atas beberapa pengukuran antara lain: (a) Range; (b) Mean Deviasi; (c) Standard Deviasi dan (d). Z score atau standar score. a. Range Range atau jarak pengukuran adalah selisih antara nilai tertinggi hasil pengukuran dan nilai terendah hasil pengukuran R X tertinggi X terendah b. Mean Deviasi (MD) Mean deviasi atau rata-rata deviasi (penyimpangan) yaitu rata-rata dari deviasi nilainilai dari mean dalam suatu distribusi. Dalam hal ini diambil nilai yang absolut artinya deviasi baik yang berarah negatif maupun positif semuanya dianggap positif (+) xi X MD n Penjelasan tentang rumus diatas adalah MD = mean deviasi yang ingin dicari dan xi X adalah harga mutlak atau selisih antara nilai rerata dengan nilai setiap unsur penyusunnya tanpa nilai negatif. Contoh 7.2.13: Perhatikan tabel berikut ini: Tabel 7.15 Jumlah Sapi Peternak di Desa Lero Xi Xi X xi X 8 7 10 11 -1 -2 1 2 1 2 1 2 173 Matematika dan Stastistika Perhatikan bahwa berdasarkan hasil perhitungan diketahui nilai rerata jumlah ternak adalah 9.Jadi selisih antara jumlah masing masing ternak dengan 9 adalah 1 , 2 , 1 dan 2 . Setelah dikonversi menjadi nilai mutlak maka semuanya dirubah menjadi bilangan bulat positif. Jadi mean deviasinya adalah MD 6 1 1 4 2 c. Standar Deviasi (SD) Standar deviasi (SD) secara matematik dibatasi sebagai akar dari jumlah deviasi kuadrad dibagi banyaknya individu kurang 1. Pemahaman kita akan lebih mudah jika kita perhatikan tabel berikut ini: Contoh 7.2.14: Tabel 7.16 Berat Daging Kurban Terdidtribusi Xi Xi X xi x 8 7 10 11 4 0 -1 2 3 -4 0 1 4 9 16 30 2 Digunakan rumus standar deviasi berikut ini: x s 1 x 2 n 1 Perhatikan bahwa s adalah standar deviasi dan x1 x adalah kuadrat dari selisih nilai 2 rerata dengan nilai individu dan n 5 , karena jumlah individunya adalah 5. Pada tabel diatas 30 2,7386 . reratanya adalah 8. Sehingga standar deviasinya adalah s 4 d. Varians Varians adalah nilai kuadrat dari simpangan baku (standar deviasi). Jadi jika data diatas ingin diketahui nilai variansnya maka hanya dikuadratkan nilai simpangan bakunya sebagai berikut : Contoh 7.2.15: x x 2 s 2 i n 1 2,73862 7,5 174 Matematika dan Stastistika e. Standar Error (Galat Baku) Galat baku menunjukkan bahwa simpangan baku dibagi akar sejumlah data atau jika s simbolkan dengan rumus statistik adalah se yang berlaku sama terhadap data tunggal n dan data kelompok. f. KoefisienVariasi (CoefisienVarians) Pada koefisien variasi menunjukkan bahwa simpangan baku dibagi dengan rerata dikalikan 100 %. Rumus ini juga berlaku untuk data tunggal dan data berkelompok. 13. Fraktil a. Kuartil Kuartil adalah nilai yang memisahkan tiap-tiap 25 persen dalam distribusi frekuensi. Fungsi kuartil untuk menentukan nilai batas tiap 25 persen dalam distribusi yang dipersoalkan. Oleh sebab itu teknik ini diterapkan jika analisis dilakukan dengan tujuan untuk membagi distribusi menjadi 4 bagian, selanjutnya menentukan batas tiap 25 persen distribusi dimaksud.Dalam statistik dikenal ada 3 nilai kuartil yakni; kuartil 1 K1 , kuartil 2 K2 dan kuartil ke 3 K3 . Kuartil pertama K1 adalah suatu nilai yang membatasi 25% distribusi bagian bawah dan 75 % distribusi bagian atas. Kuartil kedua K2 adalah nilai yang membatasi 50% distribusi bagian bawah dan 50% distribusi bagian atas. Dalam hal ini kuartil kedua dapat diidentikkan dengan pengukuran median (Md). Kuartil ketiga K3 adalah nilai yang membatasi 75% distribusi bagian bawah dan 25% distribusi bagian atas. Asumsi teknik pengukuran kuartil: data yang diperoleh dari hasil pengukuran dalam bentuk numerik (angka) dan lazimnya setingkat skala interval. Cara menentukan kuartil dibedakan menurut data tunggal dan data berkelompok. Cara menghitung kuartil data tunggal adalah: i n 1 Ki 4 Penjelasan tentang simbol Ki adalah Kuartil ke 1, sedangkan simbol i adalah angka 1, 2 dan 3 atau K1 , K2 dan K3 . Simbol (i) menunjukkan kuartil ke berapa yang hendak dihitung; sedangkan (n) menunjukkan jumlah individu atau frekuensi. Cara menentukan kuartil untuk data berkelompok atau data yang menggunakan kelas interval. Rumus yang dapat dipakai adalah sebagai berikut: n N cfb K n Bb 4 i Fd 175 Matematika dan Stastistika Penjelasan tentang rumus diatas adalah Kn = nilai kuartil yang dicari K1 , K2 , atau K3 . Simbol Bb adalah batas bawah nyata dari interval yang mengandung kuartil. Simbol cfb adalah frekuensi kumulatif dibawah interval yang mengandung kuartil. Simbol Fd adalah: frekuensi dalam interval kelas yang mengandung kuartil. Simbol (i) adalah lebar interval/ n lebar kelas dan simbol N adalah: komponen yang menunjuk pada urutan kuartil. Jika 4 1 N artinya kuartil pertama. N adalah jumlah data. 4 b. Desil Nilai yang memisahkan distribusi data menjadi 10 bagian. Nilai desil membagi sepuluh bagian yang sama. Fungsi desil merupakan nilai batas tiap 10% dalam distribusi yang dipersoalkanmetode ini diterapkan pada kelompok atau distribusi data dibagi menjadi 10 bagian yang sama. Untuk selanjutnya menentukan batas tiap 10 persen dalam distribusi dimaksud. Dalam statistik dikenal ada 9 nilai desil yakni; desil 1 D1 , desil 2 D2 , desil ke 3 D3 dan seterusnya sampai dengan dersil ke 9 atau D9 . Cara menentukan harga desil dibedakan menjadi dua cara. Cara menghitung desil untuk data tunggal berbeda dengan data berkelompok. Cara menghitung desil untuk data data tunggal atau tanpa frekuensi adalah sebagai berikut: Di i n 1 10 Penjelasan tentang rumus diatas adalah Di adalah desil ke- i . Dimana simbol (i) adalah bilangan 1,2,3,4,5,6,7,8,9 yang menunjukkan desilkeberapa yang akan diketahui sedangkan n = jumlah individu / frekuensi. Apabila kita berhadapan dengan jumlah data berkelompok maka persentil dapat dilakukan dengan rumus : n N cfb 10 Dn Bb i fd Penjelasan tentang rumus diatas adalah bahwa Dn = nilai desil yang dicari ( D1 , D2 sampai dengan D9 ). Setelah itu perhatikan simbol Bb = batas bawah dari interval yang mengandung desil yang ingin dicari dan terletak pada kelas keberapa. Simbol cfb = frekuensi kumulatif dibawah interval yang mengandung desil dan ( fd) adalah frekuensi dalam interval kelas yang mengandung desil. Lebar interval kelas selanjutnya ditulis dengan 1 N adalah komponen yang menunjuk pada urutan desil. Jika (i).Keterangan tentang 100 1 N artinya persentil pertama (P1 ) . N adalah jumlah data. 100 176 Matematika dan Stastistika c. Persentil Jika desil adalah nilai yang memisahkan distribusi menjadi 10 bagian maka nilai persentil membagi distribusi menjadi 100 bagian yang sama. Oleh karena itu fungsi persentil adalah menentukan nilai batas tiap 1 persen dalam distribusi yang dipersoalkan. Teknik ini diterapkan jika kelompok atau distribusi data dibagi menjadi 100 bagian yang sama, untuk selanjutnya menentukan batas tiap 1 persen dalam distribusi dimaksud. Dalam statistik dikenal ada 99 nilai persentil yakni; persentil 1 (P1 ) , persentil 2 (P2 ) , persentil ke-3 (P3 ) dan seterusnya sampai dengan persentil ke 99 atau P99 . Persentil pertama (P1 ) adalah suatu nilai yang membatasi 1% distribusi bagian bawah dan 99 % distribusi bagian atas. Persentil kedua (P2 ) adalah nilai yang membatasi 2% distribusi bagian bawah dan 98% distribusi bagian atas. Persentil ke-50 (P50 ) adalah nilai yang membatasi 50% distribusi bagian bawah dan 50% distribusi bagian atas. Dalam hal ini persentil 50 dapat diidentikkan dengan pengukuran median ( Me ) dan kuartil ke-2 ( K2 ) serta desil ke 5 atau D5 . Persentil ke 99 ( P99 ) adalah nilai yang membatasi 99% distribusi bagian bawah dan 1% distribusi bagian atas. Asumsi teknik pengukuran persentil adalah bahwa biasanya persentil dipakai pada data yang diperoleh dari hasil pengukuran dalam bentuk numerik (angka) dan lazimnya setingkat skala interval. Cara menentukan harga persentil dibedakan menjadi dua cara. Cara menghitung persentil untuk data tunggal berbeda dengan data berkelompok. Cara menghitung persentil untuk data data tunggal atau tanpa frekuensi adalah sebagai berikut: Pi i n 1 100 Penjelasan tentang rumus diatas adalah Pi adalah persentil ke- i . Dimana simbol ( i ) adalah bilangan 1,2,3,4,..99. yang menunjukkan persentilkeberapa yang akan diketahui sedangkan n = jumlah individu / frekuensi. Apabila kita berhadapan dengan jumlah data berkelompok maka persentil dapat dilakukan dengan rumus : n N cfb 100 Pn Bb i fd Penjelasan tentang rumus diatas adalah bahwa Pn =: nilai persentil yang dicari ( P1 , P2 sampai dengan P99 ). Setelah itu perhatikan simbol Bb = batas bawah dari interval yang mengandung persentil yang ingin dicari dan terletak pada kelas keberapa. Simbol cfb = frekuensi kumulatif dibawah interval yang mengandung persentil dan fd adalah: frekuensi dalam interval kelas yang mengandung persentil. Lebar interval kelas selanjutnya ditulis 177 Matematika dan Stastistika dengan ( i ).Keterangan tentang persentil. Jika 1 N adalah komponen yang menunjuk pada urutan 100 1 N artinya persentil pertama P1 . N adalah jumlah data. 100 Latihan 1) 2) 3) 4) 5) 6) Bagian dari matematika yang merupakan cikal bakal statistika adalah : a. Probabilitas b. Signifikansi c. Exactly d. Rasio Untuk menyederhanakan suatu data sehingga data tersebut mudah untuk dimengerti maka digunakan statistik: a. Inferensial b. Deskriptif c. Parametrik d. Non-parametrik 5 3 1 7 6 berdasarkan data tersebut maka nilai mediannya adalah: a. 1 b. 5 c. 3 d. 7 f 5 10 15 10 5 6 x 10 11 12 13 14 15 Berdasarkan data diatas, maka nilai modus sebesar : a. 10 b. 11 c. 12 d. 15 Masih menggunakan tabel diatas. Nilai median sebesar: a. 10 b. 11 c. 15 d. 12 Nilai mean data diatas sebesar: a. 12,353 b. 15,521 c. 12,917 d. 15,452 178 Matematika dan Stastistika 7) Range data di atas sebesar : a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 Penggunaan Paracetamol Tablet 15 – 20 21 – 25 26 – 30 31 – 35 36 – 40 8) 9) 10) f 5 10 20 10 5 Nilai simpangan baku penggunaan Tablet Paracetamol di atas: a. 5,244 b. 5,367 c. 5,125 d. 5,853 Nilai kuartil ke 2 pada penggunaan Tablet Paracetamol di atas sebesar: a. 25 b. 24 c. 28 d. 27 Nilai persentil ke 50 penggunaan Tablet Paracetamol di atas sebesar: a. 10 b. 15 c. 20 d. 25 Petunjuk dalammenjawab. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat dan benar dengan melingkari di depan jawaban tersebut Jawaban 1. A 2. B 3. B 4. C 5. D 6. 7. 8. 9. 10. A D A C D 179 Matematika dan Stastistika Ringkasan Probabilitas merupakan dasar dari ilmu statistik, tetapi bagian dari matematika. Hipotesis adalah asumsi, dugaan atau kesimpulan sementara yang masih lemah, sehingga memerlukan alat untuk menguji hipotesis tersebut. Alat tersebut yang dinamakan statistik. Statistik deskriptik adalah statistik yang digunakan untuk menyederhanakan suatu data sehingga data tersebut mudah untuk dipahami/dimengerti. Pembagian statistik deskriptif adalah centraltendency (ukuran pemusatan), dispersi (ukuran penyebaran) dan fraktil (ukuran letak). Ukuran pemusatan terdiri atas mean, median dan modus. Ukran penyebaran terbagi atas range, simpangan baku, varians, koefisien variasi, dan standarderror. Fraktil terdiri atas kuartil, desil dan persentil. Tes 2 1) Sifat dari statistika adalah .... A. Exact B. Unpredictable C. Predictable D. Probabel 2) Probabilitas dari fenomena fisika terdiri dari hal dibawah ini,kecuali.... A. Klasik B. Konseptual C. Fisik D. Holistik 3) Central tendency (ukuran pemusatan) yang sangat dipengaruhi oleh nilai ekstrem adalah .... A. Median B. Modus C. Mean D. Range 4) Besarnya peluang kesalahan dalam menolak Hipotesis nol (Ho)adalah .... A. α B. γ C. β D. σ 180 Matematika dan Stastistika 5) Power of test dalam pengujian hipotesis dikenal dengan simbol .... A. α B. γ C. β D. σ Konsentrasi Larutan HCl 6 – 10 % 11 – 15 % 16 – 20 % 21 – 25 % 26 – 30 % f 10 5 20 5 10 6) Mean konsentrasi larutan HCl di atas adalah .... A. 16,5 B. 18,5 C. 15,5 D. 17,5 7) Median konsentrasi larutan HCl di atas adalah .... A. 18 B. 17 C. 16 D. 15 8) Modus konsentrasi larutan HCl di atas adalah .... A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 9) Simpangan baku konsentrasi larutan HCl di atas adalah .... A. 4,3011 B. 4,7892 C. 4,2671 D. 4,6731 181 Matematika dan Stastistika 10) Desil ke 5 konsentrasi larutan HCl di atas adalah .... A. 10 B. 20 C. 18 D. 15 182 Matematika dan Stastistika Kunci Jawaban Tes Tes 1 1) C 2) C 3) C 4) A 5) C 6) D 7) A 8) A 9) C 10) C Tes 2 1) D 2) D 3) C 4) A 5) C 6) B 7) A 8) D 9) A 10) C 183 Matematika dan Stastistika Daftar Pustaka Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250. Kuntoro, 2012. Probabilitas. Pustaka Melati Surabaya. Santoso, Singgih, 2002. Buku Latihan SPSS Statistik Parametrik. PT Elex Media Komputindo Kelompok Gramedia, Jakarta. Siegel, S., 1958. NonparametricMethods for theBehavioral Sciences, McGraw-Hill. New York. Steel, R. G. D. And J. H, 1981. PrinciplesandProsedures of Statistics. 2nd ed. McGraw-HillBook Co., New York. Zainuddin, M., 1990. Peranan Statistika Dalam Penelitian Dalam S. Tirtowidardjo dan Sarmanu (ed). Penataran Dasar-Dasar Metodologi Penelitian, Statistika dan Komputer. Lembaga Penelitian Unair. 184 Matematika dan Stastistika BAB VIII STATISTIKA INFERENSIAL Rudy Hartono PENDAHULUAN Setelah kita mempelajari Bab 7, banyak manfaat statistik yang dapat diaplikasikan dalam segala bidang, utamanya di bidang farmasi. Bagaimana menyederhanakan data farmasi, sehingga lebih mudah untuk dipahami dan mengerti utamanya buat melakukan perencanaan ataupun pengambilan keputusan akan lebih mudah dengan mempelajari tentang statistik deskriptif. Bab ini akan menguraikan tentang statistik inferensial. Seperti telah diketahui bersama bahwa statistik inferensial terbagi atas 2 bagian yaitu statistik parametrik dan statistik nonparametrik. Setelah mempelajari bab ini mahasiswa akan dapat : 1. menjelaskan definisi statistik inferensial dan jenis-jenisnya. 2. menjelaskan syarat hipotesis dalam penggunaan statistik parametrik 3. menjelaskan interpretasi uji hiptesis. 4. Menjelaskan prosedur uji statistik. 5. Memahami tingkat kemaknaan, keputusan statistic dan nilai p. 6. Menjelaskan kesalahan pengambilan keputusan statistik. 7. Menjelaskan kuasan statistik dan distribusi pencuplikan. Sebagai bekal/bahan utama dalam memahami statistik inferensial, pelajari bab ini seteliti mungkin karena Bab 8 ini merupakan bab dasar untuk memahami bab selanjutnya. Ikuti petunjuk, baik pada contoh, latihan maupun petunjuk jawaban soal latihan. Apabila dalam satu topik masih belum dipahami, coba ulang kembali dan begitu seterusnya. 185 Matematika dan Stastistika Topik 1 Konsep Dasar Statistika Inferensial A. DEFINISISTATISTIK INFERENSIAL DAN JENIS-JENISNYA Manfaat utama statistik secara modern adalah melakukan inferensi statistik. Inferensi statistik adalah penarikan kesimpulan (inferensi) tentang karakteristik populasi dengan menggunakan informasi yang diperoleh dari suatu sampel yang diambil dari populasi. Bahasan inferensi statistik mencakup dua hal yaitu : (1) membuat dugaan tentang parameter populasi dan (2) menguji hipotesis tentang karakteristik populasi. Masalah utama dalam inferensi statistik adalah bagaimana memastikan bahwa perbedaan-perbedaan yang teramati antara dua (atau beberapa) sampel betul-betul mencerminkan perbedaan-perbedaan pada populasi asal sampel. Sewaktu melakukan inferensi tentang karakteristik populasi selalu terdapat kemungkinan inakurasi penarikan kesimpulan karena peran peluang atau variasi-variasi pencuplikan (sampling variability). Namun, peran peluang itu dapat diperkecil dengan memperbesar ukuran sampel. Sebagai contoh, kita memiliki sebuah populasi terdiri atas 100 kelereng yang setengah bagiannya berwarna merah dan setengah bagian berwarna biru. Andaikata kita mencuplik sampel terdiri atas dua kelereng, maka 1 dari 4 kesempatan (1/22) akan memperoleh kelereng berwarna merah saja (atau biru saja). Artinya, kita membuat kesalahan sebesar 25% dengan menyimpulkan bahwa populasi kelereng berwarna merah saja ( padahal sesungguhnya hanya separuh bagian), jika sampel yang kita cuplik hanya berukuran 2 buah. Tetapi andaikata sampel kita berukuran 10 kelereng, maka akan terdapat kemungkinan sebesar 1 1 dari 1024 kesempatan 10 bahwa kelereng yang kita cuplik berwarna merah saja. Artinya, 2 kita “hanya” membuat kesalahan sebesar 0,10 persen, jika sampel yang kita cuplik berukuran 10 buah. Jelas bahwa jika ukuran sampel-sampel diperbesar, variasi-variasi antara sampel akan makin kecil, presisi akan meningkat, dan kemungkinan untuk secara keliru membuat kesimpulan dari sampel tentang karakteristik populasi sesungguhnya akan makin kecil. Sebaliknya, jika ukuran sampel kecil, variasi-variasi antara sampel akan makin besar, presisi akan berkurang, dan kemungkinan untuk secara keliru membuat kesimpulan dari sampel tentang karakteristik populasi yang sesungguhnya akan makin besar. Yang akan ditekankan di sini adalah bahwa peran peluang merupakan salah stu aspek yang perlu dijelaskan dalam laporan penelitian untuk menilai presisi temuan penelitian kita. Statistik inferensial adalah jenis statistik yang menganalisis data yang berasal dari sampel, dan membuat suatu generalisasi (diberlakukan secara umum) kepada populasi.Dalam statistika inferensia diadakan pendugaan parameter, membuat hipotesis, serta melakukan pengujian hipotesis tersebut sehingga sampai pada kesimpulan yang berlaku secara umum. Metode ini disebut juga statistika induktif, karena kesimpulan yang ditarik didasarkan pada informasi dari sebagian data saja. Pengambilan kesimpulan dari 186 Matematika dan Stastistika statistika inferensia yang hanya didasarkan pada sebagian data saja yang menyebabkan sifat tak pasti,memungkinkan terjadi kesalahan dalam pengambilan keputusan,sehingga pengetahuan mengenai teori peluang mutlak diperlukan dalam melakukan metode-metode statistika inferensial. Berdasarkan ruang lingkupnya maka statistik inferensial kemudian dibedakan menjadi statistik parametrik dan statistik non-parametrik. Statistik parametrik mensyaratkan terpenuhinya banyak asumsi, yaitu asumsi tentang kenormalan data, homogenitas data, dan datanya berupa interval atau rasio. Sedangkan statistik non parametrik tidak memerlukan asumsi-asumsi diatas untuk terpenuhi yaitu data mempunyai data ordinal atau nominal. Statistik non-parametrik biasa juga disebut dengan statistik bebas distribusi (free distribution). B. SYARAT UJI HIPOTESIS DALAM PENGGUNAAN STATISTIK PARAMETRIK Uji hipotesis merupakan proses pengujian kemaknaan statistik dan kuantifikasi besarnya pengaruh variasi pengambilan sampel terhadap hasil-hasil yang teramati dari suatu penelitian. Para pengambil keputusan sering dihadapkan pada situasi yang disalamnya pengetahuan tentang (parameter-parameter populasi sangat langkah, sehingga membuatuhkan suatu startegi pengambilan keputusan berdasarkan probabilitas yang disebut uji hipotesis. Uji hipotesis membantu para peneliti, klinisi, administrator kesehatan dalam mengabil keputusan tentang populasi, dengan cara menganalisis data sampel yang dicuplik dari populasi tersebut. Secara sederhana hipotesis dapat didefinisikan sebagai suatu pernyataan tentative yang menjelaskan terjadinya perilaku, fenomena, atau peristiwa. Pernyataan hipotesis lazimnya menyangkut prediksi peneliti tentang hubungan variabel-variabel yang menjadi permasalahan penelitian. Pengelola rumah sakit umpamanya, membuat hipotesis bahwa rata-rata lama rawat inap pasien di rumah sakit tersebut lima hari; petugas kesehatan masyarakat membuat hipotesis bahwa program pelatihan keterampilan komunikasi tertentu efektif dalam meningkatkan kemampuan komunikasi pemberi pelayanan kesehatan dan pasien; seorang dokter membuat hipotesis bahwa sebuah obat baru efektif dalam menurunkan tekanan darah sebesar 90% dari semua kasus yang mendapat obat. Definisi lain tentang uji hipotesis menyatakan bahwa suatu metode pengambilan keputusan yang didasarkan dari analisis data, baik dari percobaan yang terkontrol, maupun dari observasi (tidak terkontrol). Dalam statistik sebuah hasil bisa dikatakan signifikan secara statistik jika kejadian tersebut hampir tidak mungkin disebabkan oleh faktor yang kebetulan, sesuai dengan batas probabilitas yang sudah ditentukan sebelumnya. Uji hipotesis kadang disebut juga "konfirmasi analisis data". Keputusan dari uji hipotesis hampir selalu dibuat berdasarkan pengujian hipotesis nol. Ini adalah pengujian untuk menjawab pertanyaan yang mengasumsikan hipotesis nol adalah benar. 187 Matematika dan Stastistika Daerah kritis (bahasa Inggris: critical region) dari uji hipotesis adalah serangkaian hasil yang bisa menolak hipotesis nol, untuk menerima hipotesis alternatif. Daerah kritis ini biasanya disimbolkan dengan huruf C. Hipotesis dapat diklasifikasikan menjadi 2 jenis yaitu (1) hipotesis konseptual, dan (2) hipotesis operasional. Hipotesis konseptual merupakan pemikiran solutif tentang permasalahan penelitian yang mendorong peneliti untuk melakukan riset . Pemikiran itu dapat muncul berkaitan dengan teori sebelumnya (deduktif), atau timbul setelah orang melakukan observasi-observasi dalam kehidupan sehari-hari (induktif). Umpamanya berdasarkan pengalaman praktek, seorang dokter melihat kemungkinan bahwa suatu kombinasi obat modern dan tradisional lebih efektif dan membutuhkan dosis yang lebih rendah untuk menyembuhkan kanker dari pada kalau diberikan secara sendiri-sendiri. Seorang manajer rumah sakit melihat bahwa program modifikasi perilaku mungkin lebih efektif dari pada program latihan keterampilan karyawan untuk meningkatkan penampilan kerja mereka. Dengan uji hipotesis dapat ditetapkan apakah pernyataan-pernyataan itu cocok dengan data yang dikumpulkan. Hipotesis konseptual dioperasionalisasikan menjadi hipotesis operasional. Hipotesis operasional dinyatakan sedemikian rupa sehingga biasa langsung dievaluasi dengan teknikteknik statistik sesuai. Oleh karena itu hipotesis operasional disebut juga hipotesis kerja (hipotesis statistik). Hipotesis statistik adalah sebuah pernyataan tentang parameter yang menjelaskan suatu populasi (bukan sampel). Sampai dengan keputusan obyektif apakah hipotesis tertentu cocok atau tidak dengan data yang dikumpulkan, diperlukan suatu prosedur obyektif penolakan dan penerimaan hipotesis. Prosedur yang obyektif menjadi penting dalam metode ilmiah, agar ketika seorang peneliti lain bias mengulanginya (replikasi) dengan metode dan prosedur yang sama. Statistik adalah angka yang dihitung dari sekumpulan sampel. Hipotesis nol H0 adalah sebuah hipotesis yang berlawanan dengan teori yang akan dibuktikan. Hipotesis alternatif H1 atau hipotesis kerja Ha adalah sebuah hipotesis (kadang gabungan) yang berhubungan dengan teori yang akan dibuktikan. Tes statistik adalah sebuah prosedur yang masukannya adalah sampel dan hasilnya adalah hipotesis. Daerah penerimaan adalah nilai dari tes statistik yang menggagalkan untuk penolakan hipotesis nol. Daerah penolakan adalah nilai dari tes statistik untuk penolakan hipotesis nol. Kekuatan Statistik 1 merupakan probabilitas kebenaran pada saat menolak hipotesis nol. Tingkat signifikan test merupakan probabilitas kesalahan pada saat menolak hipotesis nol. Nilai P ( P -value) merupakan probabilitas, mengasumsikan hipotesis nol benar. 188 Matematika dan Stastistika C. INTERPRETASI Jika nilai p lebih kecil dari tingkat signifikan tes yang diharapkan, maka hipotesis nol bisa ditolak. Jika nilai p tidak lebih kecil dari tingkat signifikan tes yang diharapkan bisa disimpulkan bahwa tidak cukup bukti untuk menolak hipotesa nol, dan bisa disimpulkan bahwa hipotesa alternatif yang benar. 1. a. b. c. d. e. Prosedur Uji Hipotesis Data. Data merupakan basis prosedur pengujian. Karena itu sifat-sifat dan skala pengukuran data perlu diketahui untuk menentukan metode uji yang akan digunakan. Asumsi. Asumsi adalah kondisi model statistik yang melatarbelakangi suatu uji. Setiap uji dibuat berdasarkan model statistik tertentu dan dengan syarat-syarat pengukuran variabel tertentu. Kadang-kadang kita dapat menguji apakah kondisi yang diisyaratkan itu dipenuhi atau tidak. Namun sering kali kita hanya dapat membuat “asumsi” tentang kondisi hal tersebut. Dalam banyak situasi kita harus biasa nyakin bahwa asumsiasumsi yang kita buat itu benar. Uji parametrik pada umumnya membuat asumsi lebih banyak dari pada nonparametrik. Konsekuensinya, generalisasi penerapan uji parametric lebih terbatas dari pada uji non-parametrik, tetapi uji parametric memiliki kuasa statistik lebih besar dari pada uji non-arametrik. Hipotesis. Dalam konteks analisis statistik dikenal istilah hipotesis nol dan hipotesis alternatif. Jika kita membandingkan keunggulan cara pemberian vaksin Hepatitis B intradermal dan intramuscular, dan kita mulai dengan asumsi bahwa kedua metode menghasilkan titer anti bodi sama baiknya, maka asumsi itu disebut hipotesis nol. Karena itu hipotesis nol sering disebut juga “hipotesis tanpa perbedaan”. Akan tetapi jika kita berpikir bahwa metode intradermal lebih buruk dari pada metode intramuscular, maka kita sedang membuat suatu pernyataan yang disebut hipotesis alternatif. Hipotesis nol, ditulis H 0 , lazimnya merupakan hipotesis yang dicoba untuk ditolak. Sedangkan hipotesis alternatif, ditulis sebagai H a , lazimnya merupakan hipotesis yang dicoba untuk diterima. Statistik Uji. Merupakan suatu statistik yang dapat dihitung dari data sampel. Statistik uji dapat memberi beberapa kemungkinan nilai, nilai yang teramati tergantung pada sampel yang dicuplik. Statistik uji berfungsi sebagai “pengambil keputusan”, karena besar kecilnya selalu dipakai untuk memutuskan apakah akan menolak atau tidak menolak H 0 . Distribusi Pencuplikan Statistik Uji. Merupakan keadaan yang H 0 -nya benar harus diketahui untuk dipakai sebagai acuan penolakan atau penerimaan hipotesis nol. Setiap distribusi statistik uji parametrik mempunyai bentuk tertentu. Umpama, distribusi statistik z mengikuti bentuk distribusi normal, jika hipoteis nol benar dan asumsi-asumsi dipenuhi. Sebaliknya, distribusi statistik nonparametrik, tidak memiliki bentuk fungsional distribusi tertentu, sehingga kadang-kadang disebut statistik bebas distribusi. 189 Matematika dan Stastistika f. g. h. i. Aturan Pengambilan Keputusan. Semua nilai-nilai statistik uji terletak pada sumbu horizontal dari grafik distribusi statistik uji, dan dibagi menjadi dua kelompok yaitu (1) kelompok pertama membentuk daerah penolakan H 0 , dan (2) kelompok kedua membentuk daerah penerimaan H 0 . Nilai-nilai statistik yang terletak dalam daerah penolakan adalah nilai-nilai yang kecil kemungkinannya untuk terjadi, jika hipotesis nol benar. Sedang nilai statistik yang terletak dalam daerah enerimaan adalah nilai-nilai yang besar kemungkinannya untuk terjadi, jika hipotesis nol benar. Hipotesis nol ditolak bila nilai statistik uji yang kita hitung dari sampel merupakan salah satu dari nilai-nilai yang terletak di dalam daerah penolakan. Sedangkan hipotesis nol tidak ditolak (atau”diterima”) bila nilai statistik uji yang kita hitung dari sampel merupakan salah satu dari nilai-nilai yang terletak di dalam daerah penerimaan. Penghitungan Statistik. Berdasarkan data dari sampel kita menghitung sebuah nilai statistik uji dan membandingkan nilai statistik uji itu dalam distribusi pencuplikan, pada keadaan yang H 0 -nya benar, apakah terletak dalam daerah penerimaan atau penolakan. Keputusan Statistik. Keputusan statistik akan berupa menolak atau tidak menolak hipotesis nol. Hipotesis nol ditolak jika nilai statistik uji yang dihitung terletak di dalam daerah penolakan, dan hipotesis nol tidak ditolak jika nilai statistik uji yang dihitung terletak di dalam daerah penerimaan. Kesimpulan. Jika H 0 ditolak, kita simpulkan bahwa H a benar. Sebaliknya jika H 0 tidak ditolak, kita simpulkan bahwa H 0 mungkin benar. 2. Tingkat Kemaknaan Tingkat kemaknaan (level of significance) adalah suatu konsep penting dalam pengambilan keputusan menolak atau menerima hipotesis nol. Dalam uji hipotesis, kita menolak H 0 dan menerima Ha jika nilai statistik memiliki probabilitas untuk terjadi. Probabilitas tertentu yang dipakai sebagai patokan penolakan dan penerimaan H 0 inilah yang disebut tingkat kemaknaan . Nilai-nilai yang umum misalnya 0,05 dan 0,01. Tingkat kemaknaan juga dapat dipandang sebagai cara untuk menetapkan apakah temuan penelitian dapat dikatakan suatu peristiwa langkah, pada keadaan yang hipotesis nol-nya benar. Jadi misalnya kita temukan bahwa suatu nilai statistik uji (atau nilai-nilai lainnya yang lebih ekstrim dari nilai statistik uji tersebut) lebih kecil atau sama dengan dan H 0 benar, maka kita dapat mengatakan bahwa temuan itu merupakan peristiwa langkah, dan oleh karena itu secara probabilistik kita menolak H 0 . Jelas bahwa probabilitas menentukan keputusan penolakan dan penerimaan H 0 . Konsekuensinya, demi alasan-alasan objektivitas, maka hendaknya sudah ditentukan sebelum data terkumpul. Pemilihan tingkat kemaknaan hendaknya dilakukan dengan hatihati dan mempertimbangkan kemaknaan praktis hasil penelitian kelak. Dalam bedah otak misalnya, seorang peneliti akan meneliti apakah penggunaan kortikosteroid dosis tinggi lebih efektif jika dibandingkan dengan tidak menggunakan kortikosteroid untuk mengatasi 190 Matematika dan Stastistika oedema otak. Kemaknaan praktis penelitian tersebut adalah jika kesimpulan penelitian kelak membenarkan hipotesis alternatif, maka dampaknya tidak saja pada perubahan manajemen terapi oedema otak di rumah sakit itu, dampaknya tidak saja pada perubahan manajemen terapi oedema otak di rumah sakit itu, tetapi juga akibat-akibat sampingan penggunaan kortikosteroid dosis tinggi pada semua pasien oedema otak selanjutnya. Dengan kasus seperti ini, peneliti sebaiknya memilih tingkat kemaknaan secara konservatif, misalnya 0,01 . Dengan memilih 0,01 (tidak 0,05), maka akan diperlukan probabilitas nilai statistik yang lebih kecil atau sama dengan 0,01, sehingga tidak mudah menolak H 0 dan mengambil kesimpulan bahwa kortikosteroid dosis tinggi lebih efektif dari pada tanpa penggunaan kortikosterod. 3. Daerah Penolakan Daerah penolakan merupakan suatu daerah dalam distribusi pencuplikan nol. Yang dimaksud dengan distribusi pencuplikan nol ialah distribusi pencuplikan pada keadaan yang H 0 -nya benar. Daerah penolakan memuat semua nilai-nilai statistik dengan probabilitas kejadian masing-masing nilai itu, jika H 0 benar, lebih kecil atau sama dengan . Gambar 8.1 Daerah Penolakan pada Uji Satu Sisi dan Dua Sisi Daerah yang diarsir berupa titik-titik adalah daerah penolakan pada uji satu sisi dengan 5% . 191 Matematika dan Stastistika Daerah yang diarsir berupa titik-titik adalah daerah penolakan pada uji dua sisi dengan 5% . Sifat daerah penolakan dipengaruhi oleh pernyataan hipotesis alternatif (Ha ) . Jika H a menunjukkan prediksi arah perbedaan, uji yang dilakukan adalah ji satu sisi. Sebaliknya jika Ha tidak secara khusus menunjukkan arah perbedaan, maka uji yang dilakukan ialah uji dua sisi. Luas daerah penolakan baik uji satu sisi maupun uji dua sisi adalah sama. Yang berbeda adalah lokasinya. Pada uji satu sisi, daerah penolakan terletak pada salah satu dari kedua sisi distribusi pencuplikan. Probabilitas untuk memperoleh suatu nilai statistik di daerah penolakan itu lebih kecil atau sama dengan . Pada uji dua sisi, daerah penolakan terletak pada kedua sisi distribusi pencuplikan. Probabilitas untuk memperoleh suatu nilai statistik pada salah satu dari dua daerah 1 penolakan itu lebih kecil atau sama dengan 2 Gambar di atas menyajikan daerah penolakan untuk uji satu sisi dan uji dua sisi. Salah satu gambar (A) memperlihatkan kurva distribusi pencuplikan yang memuat daerah penolakan satu sisi dan gambar lainnya (B) memperlihatkan kurva distribusi pencuplikan yang memuat daerah penolakan dua sisi. 4. Keputusan Statistik Jika uji statistik menghasilkan suatu nilai statistik yang terletak pada daerah penolakan, kita menolak H 0 , jika probabilitas kejadian suatu nilai statistik tertentu, pada keadaan yang H 0 -nya benar, dalam suatu distribusi pencuplikan adalah sangat kecil, kita melihat terdapat dua alasan yang menjelaskan fakta tersebut. Pertama, H 0 salah (sehingga kita menolak H 0 ). Kedua H 0 benar (tetapi keputusan kita menolak H 0 ) dan nilai statistik itu kita pandang sebagai suatu peristiwa langkah untuk terjadi. Dalam proses pengambilan keputusan, yang sering kita pakai adalah alasan pertama. Pada kesempatan lain tentu saja alasan kedua mungkin lebih tepat untuk dipakai. Probabilitas untuk alasan kedua, yaitu menolak H 0 meskipun H 0 benar, adalah , dan kesalahan menolak H 0 yang benar itu disebut kesalahan tipe I. a. Nilai p Dalam laporan hasil penelitian perlu disebutkan probabilitas pasti temuan penelitian. Probabilitas pasti lazim dikenal sebagai nilai p . Nilai p menunjukkan probabilitas untuk memperoleh nilai sebesar atau lebih ekstrim dari nilai statistik yang teramati hanya karena peluang, dengan asumsi H 0 benar. Makin besar nilai statistik uji kemaknaan, makin kecil nilai p . Tujuan melaporkan nilai p hasil penelitian ialah agar para pembaca dan peneliti lainnya mendapatkan kesempatan untuk memutuskan sendiri apakah menolak atau menerima hipotesis nol. Bagi peneliti satu dan lainnya, makna aplikatif suatu penelitian dapat berbeda. Misalnya, suatu temuan penelitian menghasilkan nilai p 0,002 . Bagi seorang peneliti, temuan tersebut disimpulkan bermakna, arena tingkat kemaknaan 192 Matematika dan Stastistika yang dipakai adalah 0,05. Sebaliknya, pembaca hasil penelitian mungkin menyimpulkan bahwa temuan tersebut tidak bermakna, sebab pertimbangan kepentingan aplikatif yang berbeda, ia berpendapat bahwa tingkat kemaknaan yang lebih pantas di pakai sebagai patokan adalah 0,01. Terdapat beberapa isu penting yang perlu diperhatikan dalam membuat interpretasi hasil uji kemaknaan statistik. Pertama, nilai p hendaknya tidak dipandang sebagai aturan yang kaku tentang peran peluang dalam suatu hasil penelitian. Nilai p hendaknya hanya dipandang sebagai petunjuk berapa besar kemungkinan peluang ikut “bermain” terhadap hasil penelitian. Tidak ada nilai p , bagaimanapun kecilnya, dapat sama sekali menyingkirkan peran peluang. Katakanlah sebuah studi menemukan bahwa hubungan antara kebiasaan merokok ibu dan memiliki anak dengan berat badan lahir rendah (BBLR) bermakna pada p 0,001 . Dengan p 0,001 jelas terdapat 1 di antara 1000 bahwa hasil penelitian tersebut terjadi hanya karena peluang, dan penelitian yang satu itu kebetulan milik kita. Hanya saja, dalam kasus ini kita dapat mengatakan bahwa peran peluang agaknya bukan merupakan alasan yang kuat untuk menjelaskan hubungan kedua variabel tersebut. Sebaliknya, meskipun nilai p besar, tidak berarti bahwa temuan yang teramati semata-mata terjadi karena peluang. Kita hanya dapat mengatakan bahwa peran peluang tidak dapat disingkirkan untuk menjelaskan temuan penelitian. Di samping nilai p , kontribusi ukuran sampel dan interval keyakinan hendaknya juga diperhatikan dalam membuat interpretasi hasil. Beberapa praktisi penelitian begitu fanatik dan terbawa arus yang salah dengan patokan "p 0,05" sampai-sampai timbul pameo yang menyatakan bahwa bagi mereka nilai p merupakan agama (the religion of p value). Kedua, perlu dibedakan antara kemaknaan statistik dan kemaknaan praktis (biologis, klinis dan sebagainya). Perbedaan yang begitu kecil sehingga mempunyai arti klinis bias saja bermakna secara statistik ( artinya kecil kemungkinan terjadi karena kebetulan), jika sampel yang dicuplik berukuran cukup besar. Sebaliknya, perbedaan yang besar dan mempunyai arti klinis penting bias saja tidak pernah mencapai kemaknaan statistic, jika sampel terlalu kecil. b. Kesalahan pengambilan keputusan statistik Terdapat 2 jenis kesalahan pada waktu kita membuat keputusan tentang H 0 . Pertama, kesalahan tipe I, yaitu menolak H 0 padahal sesungguhnya H 0 benar. Kedua, kesalahan tipe II, yaitu tidak menolak H 0 padahal sesungguhnya H 0 salah. Probabilitas untuk membuat kesalahan tipe I disebut . Makin besar probabilitas , makin besar pula kemungkinan menolak H 0 secara keliru. Probabilitas untuk membuat kesalahan tipe II disebut . Makin besar probabilitas , makin besar pula kemungkinan tidak menolak H 0 secara keliru. Jadi dan tidak saja menunjukkan suatu jenis kesalahan pengambilan keputusan statistik, tetapi juga besarnya probabilitas untuk membuat kesalahan itu sehingga ditulis sebagai: pkesalahan tipe I pkesalahan tipe II 193 Matematika dan Stastistika Tabel selanjutnya memperlihatkan empat kemungkinan hasil uji hipotesis. Dengan sajian “tabel kontingensi” kiranya dapat dipahami bahwa antara keempat sel saling bergantung, termasuk hubungan antara membuat kesalahan tipe I dan kesalahan tipe II. Antara membuat kesalahan tipe I dan membuat kesalahan tipe II terdapat hubungan terbalik. Dengan ukuran sampel konstan, jika kita coba mengurangi kesalahan tipe I dengan menetapkan pada tingkat yang rendah, probabilitas untuk untuk membuat kesalahan tipe II akan meningkat. Sebaliknya, jika kita mencoba mengurangi kesalahan tipe II, probabilitas untuk membuat kesalahan tipe I akan meningkat. Dalam inferensi statistik, seorang peneliti harus pandai melakukan tawar-menawar dengan pertimbangan sebaik-baiknya tentang potensi dalam membuat salah satu dari kedua kesalahan tersebut. Jadi, dalam uji hipotesis, kita harus berusaha membuat keseimbangan optimal antara kedua jenis kesalahan tersebut. Untuk mencapai keseimbangan itu kita perlu memahami konsep kuasa statistik. Tabel 8.1 Empat Kemungkinan Hasil Uji Hipotesis Kesimpulan Uji Kemaknaan Tidak menolak H 0 (secara statistik tidak bermakna) Menolak H 0 (secara statistik bermakna) Kebenaran H 0 Benar H a Benar Benar : H 0 benar, dan kita tidak menolak H 0 Kesalahan Tipe II atau : Ha Kesalahan Tipe I atau : H0 benar, tetapi kita menolak H 0 Benar : H a benar, dan kita menolak H 0 benar, tetapi kita tidak menolak H 0 c. Kuasa statistik Kuasa statistik (power) dapat didefinisikan sebagai probabilitas untuk menolak H 0 ketika H 0 memang salah. Dengan kata lain, kuasa menunjukkan kemampuan untuk dapat mendeteksi adanya perbedaan bermakna antara kelompok-kelompok yang diteliti, ketika perbedaan-perbedaan itu memang ada. Kuasa ditulis sebagai berikut : Kuasa 1 pkesalahan tipe II 1 Jadi misalnya ditetapkan sebesar 0,3, artinya terdapat peluang sebesar 30% untuk membuat kesalahan tipe II dan secara keliru tidak menolak H 0 padahal Ha benar, maka kuasa dalam penelitian tersebut adalah 1 – 0,3 = 0,7. Dengan kuasa sebesar 70% berarti penelitian itu mempunyai kemampuan sebesar 70% untuk dapat mendeteksi perbedaan antara kelompok-kelompok yang diteliti, jika memang terdapat perbedaan. Kuasa merupakan fungsi dari : (1) jenis uji statistik yang dipilih, (2) sifat dari hipotesis alternatif, (3) ukuran sampel, (4) varians populasi, (5) tingkat kemaknaan α, dan (6) variabelvariabel lain yang berkaitan dengan uji statistik yang dipilih. Karena model matematik yang digunakan pada uji parametrik memakai asumsi lebih banyak daripada uji nonparametrik, pada umumnya parametrik memiliki kuasa yang lebih besar dari pada uji nonparametrik. Pernyataan hipotesis alternatif juga menentukan kuasa. 194 Matematika dan Stastistika Jika H a menunjukkan arah, uji yang digunakan adalah uji satu sisi. Jika H a tidak secara khusus menunjukkan arah, uji yang digunakan adalah uji dua sisi. Uji satu sisi memiliki kuasa lebih besar daripada uji dua sisi. Pada umumnya kuasa uji statistik meningkat dengan bertambahnya ukuran sampel. d. Distribusi pengambilan Konsep distribusi pengambilan perlu diketahui untuk memahami inferensi statistik. Distribusi pencuplikan merupakan suatu distribusi teoritis dari semua nilai-nilai statistik yang diperoleh dari semua sampel dengan ukuran sama, yang bias diambil secara acak dari sebuah populasi, pada keadaan yang H 0 -nya benar. Statistik yang dimaksud misalnya mean sampel, simpang baku sampel, T Mann-Whitney, W Kendall. Yang tercakup dalam distribusi pengambilan, jika H 0 benar, tidak hanya probabilitas untuk memperoleh nilai sebesar statistik yang terhitung dari sampel tetapi juga nilai-nilai lainnya yang lebih ekstrim (tidak konsisten dengan H 0 ) dari nilai statistik tersebut. Distribusi pengambilan, jika H 0 benar, inilah yang dipakai sebagai acuan untuk mengetahui probabilitas untuk memperoleh nilai statistik yang kita hitung. Distribusi pengambilan bias kita bangun secara empiris jika pengambilan berasal dari populasi yang diskrit dan terbatas (finite). Langkah-langkah untuk membangun sebuah distribusi pengambilan adalah sebagai berikut : 1) Dari suatu populasi terbatas dengan ukuran N , ambillah semua sampel berukuran n . 2) Hitung statistik sampel yang menjadi perhatian penelitian, misalnya mean sampel. 3) Buatlah daftar semua nilai statistik sampel pada satu kolom, dan daftar frekuensi kejadian dari semua nilai statistik sampel tersebut pada kolom lainnya. 4) Buatlah histogram distribusi pengambilan dari statistik tersebut. Jika dari masingmasing titik tengah ditarik garis, kita akan memperoleh polygon distribusi frekuensi. Sesuai dengan namanya, polygon berarti suatu gambar dengan banyak sudut. Jika sampel-sampel yang bias dicuplik sangat banyak (sehingga jumlah statistik sampel sangat besar), polygon distribusi pencuplikan akan kehilangan sudutnya dan membentuk kurva distribusi frekuensi. Distribusi pengambilan yang sesungguhnya hampir tidak mungkin kita buat, jika ukuran populasi N tak terbatas (infinite). Namun distribusi pengambilan dapat didekati dengan mengambil cukup banyak sampel, masing-masing dengan ukuran n . Jika variabel yang menjadi perhatian penelitian mempunyai distribusi normal, distribusi pencuplikan dapat didekati dengan suatu asumsi yang kita percaya kebenarannya. Asumsi tersebut terkenal dengan nama teorema limit sentral. Teorema limit sentral menyatakan bahwa:jika sebuah variabel pada populasi didistribusikan dengan mean = dan simpang baku = , dan jika sampel-sampel acak berukuran n diambil dari populasi variabel itu, maka x dari sampel kurang lebih akan didistribusikan secara normal dengan mean = dan simpang baku = n , jika n besar. 195 Matematika dan Stastistika Contoh 8.1.1: Kita akan mempelajari bagaimana mengetahui probabilitas untuk memperoleh sebuah mean sampel dengan menerapkan pengetahuan tentang : (1) teorema limit sentral, dan (2) distribusi pencuplikan mean sampel. Misalnya, kita mengetahui populasi berat badan lahir bayi di Kota Makassar didistribusikan normal dengan 3100g dan 500g . Kita ingin mengetahui besarnya probabilitas untuk memperoleh mean sampel = 3000 g dari sampel acak berukuran = 100, yang dicuplik dari populasi tersebut. Dengan menerapkan teorema limit sentral, distribusi pencuplikan dari mean semua sampel berukuran n = 100 akan 500 mempunyai mean = 3100 ( = 3100) dan simpang baku = n 50 . Teorema limit 100 sentral juga menyatakan bahwa jika n sampel cukup besar, mean sampel akan didistribusikan secara normal. Karena variabel didistribusikan normal, statistik uji yang digunakan adalah z yang mempunyai bentuk formula sebagai berikut: z x 3000 3100 2 n 500 100 Dengan mengacu pada tabel distribusi normal baku, probabilitas untuk memperoleh nilai sebesar x sampel ialah p = 0,228. Dalam latihan 1 di atas populasi variabel (berat badan lahir bayi) diasumsikan apakah distribusi pencuplikan x sampel memiliki bentuk normal pula,jawabannya : ya, asal n sampel cukup besar. Dalam hal mean sampel, kita bias yakin bahwa distribusi pencuplikan mendekati normal pada tiga keadaan yaitu : (1) pencuplikan berasal populasi yang memiliki distribusi normal, baik ukuran sampel besar maupun kecil, (2) pencuplikan berasal dari populasi yang memiliki distribusi tidak normal, asal ukuran sampel besar, (3) pencuplikan berasal dari populasi yang bentuk fungsional distribusinya tidak diketahui, asal ukuran sampel besar. Contoh 8.1.2.: Seorang yang dituduh pencuri dihadapkan kepada seorang hakim. Seorang hakim akan menganggap orang tersebut tidak bersalah, sampai kesalahannya bisa dibuktikan. Seorang jaksa akan berusaha membuktikan kesalahan orang tersebut. Dalam kasus ini, hipotesis nol (H0 ) adalah: "Orang tersebut tidak bersalah", dan hipotesis alternatif ( H1 ) adalah: "Orang tersebut bersalah". Hipotesis alternatif ( H1 ) inilah yang akan dibuktikan. Ada dua kondisi yang mungkin terjadi terhadap orang tersebut: 1) Orang tersebut tidak bersalah. 2) Orang tersebut bersalah. Dan ada dua keputusan yang bisa diambil hakim: 1) Melepaskan orang tersebut. 2) Memenjarakan orang tersebut. 196 Matematika dan Stastistika H 0 benar, (Orang tersebut tidak bersalah) 1) 2) Menerima H 0 (Orang tersebut dibebaskan) Keputusan yang Benar Menolak H 0 (Orang tersebut dipenjara) Keputusan yang salah (Kesalahan Tipe I) H a Benar (Orang tersebut bersalah) Keputusan yang salah (Kesalahan Tipe II) Keputusan yang Benar Dalam kasus ini, ada dua kemungkinan kesalahan yang dilakukan hakim: Memenjarakan orang yang benar (Kesalahan Tipe I) Melepaskan orang yang bersalah (Kesalahan Tipe II) Rumus Ada banyak jenis uji hipotesis yang dikenal. Tabel berikut menjelaskan rumus untuk masingmasing uji hipotesis tersebut. Nama Rumus Satu sampel uji Satu sampel uji z z x n x1 x2 d0 2 1 n1 Satu sampel uji t Pasangan uji t 2 2 n2 Asumsi / Catatan (Populasi normal atau n 30 ) dan diketahui. ( z adalah jarak dari rata-rata sehubungan dengan simpangan baku rata-rata). Untuk distribusi non-normal memungkinkan untuk dihitung proporsi terkecil dalam sebuah populasi yang berada di dalam k simpangan baku untuk setiap k . Populasi normal dan observasi independen dan 1 dan 2 diketahui x 0 , df n 1 s n d d0 t , df n 1 sd n t 197 (Populasi normal atau n 30 ) dan tidak diketahui (Populasi normal dari perbedaan atau n 30 ) dan tidak diketahui Matematika dan Stastistika t Dua sampel uji t test digabung variansi yang sama x x d0 sp 1 1 n1 n2 sp2 n1 1 s12 n2 1 s22 , n1 n2 2 df n1 n2 2 t Dua sampel t test terpisah variansi tidak sama z H0 : p1 p2 digabungkan Dua proporsi uji z |d 0 | 0 tidak digabung x df x d s12 s22 n1 n2 2 2 1 1 p 1 p n1 n2 x x p 1 2 n n2 z p1 p2 d0 p1 1 p1 p2 1 p2 Dua sampel F test untuk persamaan variansi n1 F diketahui (Populasi normal atau n1 n2 40 ) dan observasi independen dan kedua 1 2 2 p1 p2 z (Populasi normal atau n1 n2 40 ) dan observasi independen dan 1 2 tidak , s s n n s12 s22 n1 n2 n1 1 n2 1 p p0 z n p0 1 p0 Satu proporsi uji Dua proporsi uji , n2 s12 s22 diketahui np0 10 dan n1 p0 10 n1 p1 5 dan n1 1 p1 5 dan n2 p2 5 dan n2 1 p2 5 dan observasi independen. n1 p1 5 dan n1 1 p1 5 dan n2 p2 5 dan n2 1 p2 5 dan observasi independen. Populasi normal Diurutkan s12 s22 dan H 0 ditolak jika F F , n1 1, n2 1 2 , probabilitas melakukan kesalahan tipe I (menolak hipotesis nol pada saat hipotesis nol benar) n = jumlah sampel n1 = jumlah sampel 1 n2 = jumlah sampel 2 x = rata-rata sampel 0 = dugaan rata-rata populasi 198 Matematika dan Stastistika 1 = rata-rata populasi 1 2 = rata-rata populasi 2 = simpangan baku populasi 2 = variansi populasi s = simpangan baku sampel k = penjumlahan (dari angka sejumlak k ) s2 s12 = Varians sampel = Simpangan baku sampel 1 s22 = Simpangan baku sampel 2 t df = t statistik = derajat kebebasan = Rata-rata perbedaan sampel = dugaan rata-rata perbedaan populasi = simpangan baku perbedaan d d0 sd 2 = Chi-squared statistik p p0 p1 p2 dp x = proporsi sampel, (kecuali ditentukan sebelumnya) n = dugaan proporsi populasi = proporsi 1 = proporsi 2 = dugaan perbedaan proporsi minn1 , n2 = minimum of n1 and n2 x1 n1 p1 x2 n2 p2 Latihan 1) Penarikan kesimpulan tentang karakteristik populasi dengan menggunakan informasi yang diperoleh dari suatu sampel yang diambil dari populasi disebut .... A. statistik inferensial B. statistik deduktif C. statistik deskriptif D. matematika 2) Sewaktu melakukan inferensi tentang karakteristik populasi selalu terdapat kemungkinan inakurasi penarikan kesimpulan karena peran peluang atau variasi-variasi pencuplikan (sampling variability). Namun, peran peluang itu dapat diperkecil dengan memperbesar ukuran .... 199 Matematika dan Stastistika A. B. C. D. sampel sampling populasi variabel 3) Proses pengujian kemaknaan statistik dan kuantifikasi besarnya pengaruh variasi pengambilan sampel terhadap hasil-hasil yang teramati dari suatu penelitian disebut uji .... A. matematik B. kausalitas C. hipotesis D. integral 4) Jika nilai p lebih kecil dari tingkat signifikan tes yang diharapkan, maka hipotesis nol .... A. ditolak B. diekstrapolasi C. diterima D. disubtitusi 5) Untuk menentukan uji statistik yang akan digunakan, maka variabel yang diteliti perlu diketahui .... A. karakteristik B. kategori C. skala data D. profil 6) Probabilitas tertentu yang dipakai sebagai patokan penolakan dan penerimaan H 0 inilah yang disebut tingkat kemaknaan dengan simbol .... A. α B. β C. σ D. Γ 7) Probabilitas untuk menolak H 0 meskipun H 0 benar, adalah α, dan kesalahan menolak H 0 yang benar itu disebut kesalahan tipe .... A. B. C. D. IV III II I 200 Matematika dan Stastistika 8) Probabilitas untuk memperoleh nilai sebesar atau lebih ekstrim dari nilai statistik yang teramati hanya karena peluang, dengan asumsi H 0 benar disimbolkan dengan nilai .... A. B. C. d. 9) Ʃ χ p µ Jika pada analisis statistik kesimpulan tidak menolak H 0 padahal sesungguhnya H 0 salah, maka kesalahan ini disebut dengan kesalahan tipe .... A. I B. II C. III D. IV 10) Kuasa statistik merupakan fungsi dari, kecuali .... A. uji statistik B. ukuran sampel C. hipotesis alternatif D. mean populasi. Ringkasan Inferensi statistik adalah penarikan kesimpulan (inferensi) tentang karakteristik populasi dengan menggunakan informasi yang diperoleh dari suatu sampel yang diambil dari populasi. Statistika inferensia menganalisis pendugaan parameter, membuat hipotesis, serta melakukan pengujian hipotesis tersebut sehingga sampai pada kesimpulan yang berlaku secara umum atau disebut dengan generalisasi. Tingkat kemaknaan (level of significance) adalah suatu konsep penting dalam pengambilan keputusan menolak atau menerima hipotesis nol. Kuasa merupakan fungsi dari : jenis uji statistik yang dipilih, sifat dari hipotesis alternatif, ukuran sampel, varians popula3si, tingkat kemaknaan α, dan variabel-variabel lain yang berkaitan dengan uji statistik yang dipilih. Distribusi pencuplikan merupakan suatu distribusi teoritis dari semua nilai-nilai statistik yang diperoleh dari semua sampel dengan ukuran sama, yang bisa dicuplik secara acak dari sebuah populasi. Terdapat 2 jenis kesalahan pada waktu kita membuat keputusan tentang H 0 . Pertama, kesalahan tipe I, yaitu menolak H 0 padahal sesungguhnya H 0 benar. Kedua, kesalahan tipe II, yaitu tidak menolak H 0 padahal sesungguhnya H 0 salah. 201 Matematika dan Stastistika Tes 1 1) Suatu distribusi teoritis dari semua nilai-nilai statistik yang diperoleh dari semua sampel dengan ukuran sama, yang bias dicuplik secara acak dari sebuah populasi, pada keadaan yang H 0 -nya benar disebut dengan distribusi .... A. B. C. D. pencuplikan matematik sampel inferensi 2) Jika sebuah variabel pada populasi didistribusikan dengan mean = dan simpang baku = , dan jika sampel-sampel acak berukuran n dicuplik dari populasi variabel itu, maka rata-rata dari sampel kurang lebih akan didistribusikan secara normal dengan mean = dan simpang baku = n , jika n besar di sebut dengan teorema limit .... A. tendency B. fungsi C. sentral D. integral 3) Rumus statistik yang digunakan jika populasi normal, maka untuk uji satu sampel dengan jumlah sampel lebih dari 30 dan σ diketahui adalah .... x A. z n x x z 1 2 B. 12 n1 C. D. 4) z 22 n2 x1 x2 d0 12 n1 x z N 22 n2 Penggunaan rumus statistik untuk uji satu sampel dengan jumlah sampel lebih dari 30 dan σ tidak diketahui serta populasi normal adalah .... x 0 t , df n 1 A. s n x B. z n 202 Matematika dan Stastistika C. t D. z d d0 , df n 1 sd n x1 x2 d0 12 n1 5) 22 n2 Makin besar probabilitas , makin besar pula kemungkinan menolak H 0 secara .... A. B. C. D. 6) benar integrasi keliru pasti Daerah penolakan H 0 memuat semua nilai-nilai statistik dengan probabilitas kejadian masing-masing nilai itu, jika H 0 benar, lebih kecil atau sama dengan .... A. B. C. D. σ α µ β 7) Untuk melakukan suatu penelitian, konsekuensinya demi alasan-alasan objektivitas maka hendaknya sudah ditentukan pada saat A. analisis data B. sementara data terkumpul C. sesudah data terkumpul D. sebelum data terkumpul 8) Akibat model matematik yang digunakan pada uji parametrik memakai asumsi lebih banyak daripada uji nonparametrik, maka kuasa statistik pada uji parametrik memiliki kuasa yang .... A. lebih kecil B. identik C. lebih besar D. tidak berbeda 9) Distribusi pencuplikan yang sesungguhnya hampir tidak mungkin kita buat, jika ukuran populasi .... A. infinite B. ferensi C. finit D. inferensi 203 Matematika dan Stastistika 10) Jika seorang peneliti ingin meneliti tentang khasiat obat baru untuk penyakit kanker, maka α yang digunakan secara konservatif sebaiknya sebesar .... A. 0,01 B. 0,05 C. 0,1 D. 0,001 204 Matematika dan Stastistika Topik 2 Statistik Parametrik Setelah kita mengkaji Topik 1, maka Topik 2 ini akan membahas tentang aplikasi statistik parametrik yaitu sebagai berikut : 1. Uji perbedaan rata-rata 2 kelompok 2. Uji perbedaan rata-rata lebih dari 2 kelompok 3. Uji hubungan antara 2 variabel menggunakan korelasi product moment (Pearson) 4. Uji pengaruh antara 2 variabel menggunakan regresi linier sederhana Uji Perbedaan Rata-Rata 2 Kelompok Student’s t test (uji t ) pertama kali ditemukan oleh W. J. Gosset seorang mahasiswa Perancis pada tahun 1908 dengan nama samaran Student. Prinsip penggunaan uji t adalah untuk membuktikan signifikan atau tidaknya dua nilai rata-rata. Syarat-syarat penggunaan uji t : 1. Uji t dipergunakan bila simpangan baku populasinya ( ) tidak diketahui, bila simpangan baku populasinya diketahui seharusnya dipergunakan uji Z . Buku-buku lama menyatakan bahwa uji t dipergunakan bila n1 dan n2 30 , tidak tergantung 2. 3. kepada simpangan baku populasi diketahui atau tidak. Bila ukuran sampel 1 dan 2 tidak sama, selisih keduanya adalah ≤ 50 %. Data mempunyai skala pengukuran ratio atau interval. Data berdistribusi normal. Pembuktian normalitas data ini dapat dipergunakan uji 2 , Liliefors, uji Kolmogorof Smirnov 1 sampel dan lain-lain. Uji dapat dikelompokkan menjadi dua golongan yaitu uji satu sampel dan uji t dua sampel. A. UJI T SATU SAMPEL Uji t satu sampel ini dipergunakan untuk membedakan nilai rata-rata sampel dengan nilai rata-rata populasi sebagai standarnya. Rumus-rumus yang dipergunakan untuk uji t adalah sebagai berikut: x 0 thit s n x = nilai rata-rata sampel 0 = nilai rata-rata populasi, biasanya sebagai nilai standar s = simpangan baku sampel n = ukuran sampel 205 Matematika dan Stastistika Bentuk hipotesisnya ada tiga macam yaitu, nilai rata-rata sampel berbeda dengan nilai rata-rata populasi, lebih besar atau lebih kecil dari nilai rata-rata populasi. Bila hipotesis ini dirumuskan adalah sebagai berikut : H0 : 0 ; Ha : 0 (uji 2sisi/ekor) 1. H0 : 0 ; Ha : 0 (uji 1 sisi/ekor) 2. H0 : 0 ; Ha : 0 3. Kriteria penerimaan hipotesisnya adalah : Untuk hipotesis formula 1, H 0 diterima bila: t 1 1 n 1 2 thit t 1 1 n 1 2 Untuk hipotesis formula 2, H 0 diterima bila : thit t1 n1 Untuk hipotesis formula 3, H 0 diterima bila: thit t1 n1 n 1 = derajat bebas, dipergunakan untuk melihat tabel t . Bila t hitung yang diperoleh kebalikan dari kriteria di atas, maka sebaliknya Ha yang diterima. Bila mempergunakan program komputer H 0 diterima jika probabilitasnya p 0,05 . Contoh 8.2.1: Masyarakat mengeluh bahwa kadar nikotin rokok X diduga lebih tinggi dari kadar standar yang ditentukan (kadar standarnya 0 20 mg/batang ). Untuk membuktikan keluhan masyarakat ini diambil sampel random sebanyak 10 batang dan kadar nikotin per batangnya masing-masing adalah 22, 21, 19, 20, 21, 22, 22, 21, 22 dan 25. Harga α yang dipergunakan 5%. Penyelesaian : H0 : 0 20 mg Ha : 0 20 mg X 2 4645, X 215, mean 21,5 4645 2152 / 10 s 1,5811 10 1 x 0 s/ n 21,5 20 1,5 thit 3,000 1,5811 / 10 0,4999 thit 206 Matematika dan Stastistika t0,959 1,83 . Karena t hitung t tabel , maka H a diterima berarti keluhan masyarakat tersebut terbukti benar (kadar nikotin > yang ditulis di dalam label). Berikut ini adalah contoh perhitungan dengan menggunakan program SPSS. T-Test One-Sample Statistics Std. Mean Deviation 21.5000 1.58114 N NIKOTIN 10 Std. Error Mean .50000 One-Sample Test Test Value = 20 NIKOTIN t Df Sig. (2-tailed) Mean Difference 3.000 9 .015 1.5000 95% Confidence Interval of the Difference Lower Upper .3689 2.6311 Uji t Dua Sampel Uji t dua sampel ini dibedakan menjadi uji t dua sampel yang berhubungan dan uji t dua sampel bebas. Uji t dua sampel berhubungan Uji t dua sampel berhubungan di sebut juga sebagai uji t sebelum sesudah (before after t test) atau uji t dua sampel yang berpasangan (paired t test). Rumus yang dipergunakan adalah : d thit s n d di s n di 2 ( di)2 n(n 1) s = simpangan baku beda sampel d = selisih nilai rata-rata 1 dan 2 n = ukuran sampel Contoh 8.2.2: Apakah ada pengaruh suntikan depo provera terhadap tekanan darah sistolik? Wanita A B C D E F G H I J Sebelum 125 128 130 131 125 137 134 128 135 129 Sesudah 128 127 129 134 127 132 128 130 131 128 207 Matematika dan Stastistika di di 2 -3 1 1 -3 -2 5 6 -2 4 1 9 1 1 9 4 25 36 4 16 1 H0 : 1 2 H1 : 1 2 d 3 1 1 3 2 5 6 2 4 1 8 d 8 di 106 2 i s 10(106) 82 3,3267 10(9) 8 0,76045 3,3267 10 sedang t0,9759 2,262 t hit = thit Hasil yang diperoleh t hitung < t tabel , maka H 0 diterima berarti Depo Provera tidak berpengaruh nyata terhadap tekanan darah sistolik ( p 0,05 ). Berikut ini adalah hasil perhitungan dengan program SPSS : NPar Tests Tests of Normality Kolmogorov-Smirnova VAR00004 SEBELUM 1 Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig. .124 10 .200* .942 10 .571 a. Lilliefors Significance Correction *. This is a lower bound of the true significance. T-Test Pair 1 PRE POST Paired Samples Statistics Std. Mean N Deviation 130.6000 10 4.22164 129.8000 10 1.98886 Std. Error Mean 1.33500 .62893 Paired Samples Correlations Pair 1 SEBELUM & SESUDAH 208 N Correlation Sig. 10 .578 .080 Matematika dan Stastistika Uji t Dua Sampel bebas Uji t ini akan membandingkan perbedaan dua nilai rata-rata dua kelompok sampel yang betul-betul bebas atau terpisah. Uji t ini dibedakan Paired Samples Test Paired Differences Mean Pair 1 SEB SES Std. Std. Error Deviation Mean .80000 3.32666 1.05198 95% Confidence Interval of the Difference Lower Upper t df Sig. (2-tailed) -1.57975 3.17975 .760 9 .466 menjadi 2 kelompok yaitu uji t dengan variansi homogen dan uji t dengan variansi heterogen. Homogen atau heterogennya kedua variansi diketahui dengan uji F ( F = Fisher). s2 Fhit 12 di mana s12 s22 s2 H 0 : variansi I = variansi 2 (DATA HOMOGEN) H a : variansi I ≠ variansi 2 (DATA HETEROGEN) H 0 diterima berarti kedua variansi homogen H 0 diterima bila : Fhit Fa v1 ,v2 v1 n1 1 dan v2 n2 1 Bila terbukti bahwa kedua sampel berasal dari populasi dengan variansi yang homogen, maka dipergunakan uji t dengan rumus perhitungan sebagai berikut: thit x1 x2 1 1 s n1 n2 (n1 1)s12 (n2 1)s22 s n1 n2 2 x1 = nilai rata-rata sampel 1, s12 = variansi sampel 1 x2 = nilai rata-rata sampel 2, s22 = variansi sampel 2 s = simpangan baku gabungan dua sampel H 0 diterima bila : t 1 1 db 2 thit t 1 1 db 2 209 Matematika dan Stastistika atau thit t 1 1 db 2 dan thit t 1 1 db 2 db n1 n2 2 Contoh 8.2.3: Terdapat dugaan dari para dokter, bahwa mutu vitamin B 12 buatan pabrik B lebih baik dibanding dengan vitamin b12 buatan pabrik A. Untuk membuktikan dugaan para dokter ini kedua kelompok vitamin tersebut disuntikkan secara terpisah kepada masing-masing 10 pasien. Penyuntikan dilakukan secara intramuskular setiap minggu selama 4 bulan. Mutu atau kurang mutunya vitamin B12 ini ditentukan oleh kadar Hb sesudah disuntik. Kadar Hb dihitung pada saat satu minggu setelah suntikan terakhir dengan peralatan dan cara yang sama. Kadar Hb dua kelompok sampel sebelum disuntik tidak berbeda nyata. Buktikan, apakah dugaan para dokter tersebut terbukti benar. Diketahui harga 5% dan data kadar Hb-nya adalah sebagai berikut : Pabrik A 12,2 11,3 14,7 11,4 11,5 12,7 11,2 12,1 13,3 10,8 B 13,0 13,4 16,0 13,6 14,0 13,8 13,5 13,8 15,5 13,2 H0 : a b Ha : a b A : x 12,12 s 1,18115 B : x 13,98 s 0,98522 s2 1,3951 n 10 s 0,97066 n 10 1,3951 Fhit 1,4373 0,97066 F0,05 9,9 3,18 , jadi Fhit Ftabel , maka H 0 diterima artinya varian populasi homogen. s 2 10 11,3951 10 1 0,97066 10 10 2 (12,5559) (8,73594) 1,0876 18 12,12 13,98 1,86 t 3,8240 1,0876 1 / 10 1 / 10 0,4864 t0,9518 1,734 Kesimpulan : thit t tabel 3,8204 1,734 sehingga H a diterima artinya vit B12 buatan pabrik B memang lebih baik dibandingkan dengan buatan pabrik A. Berikut ini adalah hasil perhitungan dengan program komputer. 210 Matematika dan Stastistika T-Test Group Statistics PABRIK A B DATA N 10 10 Mean 12.1200 13.9800 Std. Deviation 1.18115 .98522 Std. Error Mean .37351 .31156 Independent Samples Test Levene's Test for Equality of Variances DATA Equal variances assumed Equal variances not assumed t-test for Equality of Means 95% Confidence Sig. (2Mean Std. Error Interval of the tailed) Difference Difference Difference Lower Upper F Sig. t df .317 .581 -3.824 18 -3.824 17.439 .001 1.8600 .48639 2.882 .83813 .001 1.8600 .48639 2.884 .83576 NPar Tests One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test DATA VAR00003 N 10 10 Normal Mean 12.1200 13.9800 Parameters(a,b) Std. Deviation 1.18115 .98522 Most Extreme Absolute .200 .292 Differences Positive .200 .292 Negative -.132 -.160 Kolmogorov-Smirnov Z .633 .923 Asymp. Sig. (2-tailed) .818 .362 a. Test distribution is Normal. b. Calculated from data. Bila terbukti bahwa kedua sampel berasal dari populasi dengan variansi yang heterogen maka rumus perhitungan yang dipergunakan adalah : x1 x2 thit 2 s1 n1 s22 n2 211 Matematika dan Stastistika H 0 diterima bila : s12t1 s22t2 n1 n2 thit 2 s1 s22 n1 n2 s12t1 s22t2 n1 n2 2 s1 s22 n1 n2 Untuk uji dua ekor : t1 t 1 dan t2 t 1 1 n2 1 2 1 n1 1 2 Untuk uji satu ekor : t1 t1 n1 1 dan t2 t1 n2 1 Contoh 8.2.4: Data berikut ini adalah pendapatan 15 karyawan Poltekkes Makassar dan 11 orang karyawan Politani Pangkep (× Rp10.000,00). Buktikan apakah pendapatan kedua karyawan tersebut berbeda nyata. (diketahui harga 0,05 ). Poltekkes 35,3 35,9 37,2 33 31,9 33,7 36 35 33,3 33,6 37,9 35,6 29 33,7 35,7 Politani 32,5 34 34,4 31,8 35 34,6 34,6 33,5 31,5 33,8 33,6 Poltekkes : x1 34,45 s1 2,22 s12 4,95 Politani : x1 33,57 s1 1,17 s12 1,37 4,95 Fhit 3,61 F 0,0514,10 2,86 1,37 n1 15 n2 11 Variansi kedua sampel tersebut adalah heterogen: 34,45 33,57 thit 1,30525 t0,9514 1,761 dan t0,9510 1,812 4,95 1,37 15 11 4,95 / 15(1,761 1,37 / 11(1,81) t 1,79 4,95 / 15 1,37 / 11 Hasil perhitungan diperoleh thit t tabel , maka H 0 diterima berarti pendapatan karyawan Poltekkes dan Politani tersebut tidak berbeda nyata. 1. Uji Perbedaan Lebih dari 2 Kelompok (Analisis of Varians/ Anova) Anova bila diterjemahkan ke dalam Bahasa Indonesia artinya adalah sidik ragam atau analisis ragam, pertama kali diperkenalkan oleh R. A. Fisher pada tahun 1925. Untuk 212 Matematika dan Stastistika mengenang jasa-jasanya, maka anova di sebut pula sebagai uji F. Karena jasanya dalam bidang statistika, R. A. Fisher pernah dianugerahi gelar Baronet oleh Ratu Inggris. Sidik ragam sebenarnya merupakan pengembangan dari uji t untuk dua sampel yang bebas. Anova dipergunakan untuk mengetahui perbedaan nilai rata-rata lebih dari dua macam perlakuan dan kontrol dalam hal ini masuk ke dalam perlakuan. Anova dapat dikelompokkan menjadi anova satu arah dan anova dua arah. Beberapa persyaratan yang harus dipenuhi pada anova adalah : a. Normalitas Data mempunyai skala pengukuran rasio atau interval dan berasal dari populasi dengan sebaran normal. Uji normalitas dapat dilakukan dengan uji χ 2 (chi-square), kertas probabilitas, Kolmogorov Smirnov atau uji Liliefors. Data yang menyebar normal bila digambarkan kurvanya berbentuk simetris seperti lonceng. Bila data tersebut terbukti tidak menyebar normal, maka bisa didekati dengan cara transformasi data. Bila tetap tidak memenuhi persyaratan, maka analisisnya bisa dipergunakan uji statistik non parametrik. b. Homogenitas variansi Perlu diketahui pangkat dua dari simpangan baku disebut variansi. Untuk mengetahui apakah variansi dari perlakuan homogen atau tidak dapat dilakukan pengujian dengan uji Bartlett. c. Independen Galat atau kekeliruan bersifat bebas terhadap sesamanya (independen). Dengan kata lain, bahwa data pengamatan harus bebas satu sama lainnya. Persyaratan ini bisa dipenuhi bila perlakuan yang diberikan terhadap unit eksperimen dengan cara acak (random). Bila timbul keragu-raguan tentang acak atau tidaknya perlakuan yang diberikan dapat dilakukan pengujian dengan uji randomisasi (uji statistik non parametrik). Anova Satu Arah Anova satu arah ditemukan pada : Rancangan Acak Lengkap (RAL) RAL disebut juga rancangan rambang lugas atau desain acak sempurna (DAS), completely randomized design atau simple randomized design. Pada RAL arah semua variabel yang berpengaruh selain perlakuan adalah homogen. Keuntungan RAL, analisisnya termasuk sederhana dan banyak ulangan ( ni ) boleh sama atau tidak, bila tidak sama sebaiknya perbedaannya adalah < 50%. Suatu misal terjadi ‘kematian atau kehilangan unit eksperimen saat percobaan berlangsung tidak menjadi masalah dari segi analisisnya, asalkan jumlah unit eksperimennya yang hilang < 50%. Kerugian umumnya kesulitan memperoleh unit eksperimen yang homogen. Demikian pula penanganan variabel selain perlakuan yang homogen sering kali mengalami kesulitan. Akibatnya tidak jarang kesulitan dalam penarikan kesimpulan apakah respons yang timbul itu betul-betul dari perlakuan atau variabel lain yang tidak dikehendaki. RAL sangat cocok untuk penelitian klinik 213 Matematika dan Stastistika atau penelitian lain dalam laboratorium dan kurang cocok untuk penelitian lapangan atau survei. Data Pengamatan x12 Perlakuan (Variabel Independen) 2 ....... k x21 x ....... k1 x22 xk 2 ....... ...... x1n1 ...... x2n2 1 x11 x x Nilai rata-rata x1 Jumlah pengamatan Total ....... ........ xknk (variabel dependen) ....... x x2 ....... xk n1 n2 ........ nk 2 2 ....... 2 1 s1 Variansi ....... 2 s2 x T k sk n i Cara perhitungan : x FK n JKT x FK x x JKP 2 T 2 ij 2 2 1 2 n1 n2 JK sisa JKT JKP x ... 2 k nk FK Keterangan : FK = faktor koreksi JKT = jumlah kuadrat total JKP = jumlah kuadrat perlakuan JK sisa = jumlah kuadrat sisa. Istilah lain ialah jumlah kuadrat galat atau jumlah kuadrat kekeliruan. Sumber variasi Perlakuan Sisa Total db JK KT Fhit k 1 JKP JKP k 1 KTperlakuan JKsisa JKsisa (ni 1) (k 1) (ni 1) (k 1) (n 1) i JKT 214 KTsisa F v1 ,v2 Ftabel Matematika dan Stastistika db = derajat kebebasan KT = kuadrat tengah v1 db perlakuan, merupakan pembilang v2 db sisa, merupakan penyebut Bentuk hipotesisnya adalah : H0 : 1 2 k H0 : 1 2 k Penarikan kesimpulannya : H 0 diterima bila Fhit F v1 ,v2 dan sebaliknya H a diterima bila Fhit F v1 ,v2 . Bila H a diterima, berarti terdapat respons yang berbeda dari bermacam-macam perlakuan. Dengan kata lain bila H a diterima berarti minimal terdapat sepasang perlakuan yang berbeda. Pasanganpasangan mana yang berbeda menyebabkan respons yang berbeda belum diketahui, masih memerlukan pengujian lebih lanjut setelah anova (multiple comparison). Menurut Frederik (1955), sebaiknya db sisa dari anova ≥ 20, ketentuan ini dapat dipergunakan untuk menentukan salah satu cara sederhana untuk menentukan jumlah ulangan ( ni ), dengan rumus sebagai berikut : k 1 ni 1 20 , misalnya jumlah perlakuannya = 4 maka : 20 20 ni 1 ni 7,7 3 3 maka jumlah ulangan minimalnya sama dengan 8. untuk penentuan jumlah minimal ulangan cara yang lebih baik akan diuraikan kemudian. 1 Menurut Higgins dikoreksi dengan menambahkan = n dimana f adalah persentasi 1 f 4 1 ni 1 20 ni 1 dari penambahan sampel biasanya 10 – 20 %. Latihan Penggunaan anova dengan ulangan yang tidak sama Ingin diketahui apakah terdapat perbedaan mutu bola lampu listrik buatan pabrik A, B, C dan pabrik D. Mutu atau tidaknya bola lampu ditentukan oleh daya tahan hidupnya. Pengambilan contoh dilakukan secara random, bola lampu buatan pabrik A dan B masingmasing diambil sebanyak 5 buah. Untuk bola lampu buatan pabrik C dan D masing-masing diambil 4 buah. Bola lampu tersebut dinyalakan dan daya hidupnya diukur (dalam bulan). Buktikan dengan mempergunakan alfa = 5 %, apakah mutu bola lampu buatan empat pabrik tersebut terdapat perbedaan? 215 Matematika dan Stastistika A 12 20 23 10 17 Merek Lampu B C D 14 6 9 15 16 14 10 16 18 19 20 19 22 82 80 58 60 280 16.4 5 16 5 14.5 4 15 4 18 Pengamatan DAYA TAHAN x i x ni 280 FK 2 4355,55 18 JKT 122 202 232 102 172 192 4355,55 382,44 822 802 582 602 JKP 4355,55 10,25 5 5 4 4 JKS 382,44 10,25 372,19 Tabel Anova Sumber variasi Perlakuan Sisa Total db JK KT Fhit F0 ,05 3 14 17 10.25 372.19 382.44 3.42 26.58 0.13 3.34 H0 : A B C D Ha : A B C D Nilai dari Fhit 0,13 3,34 , maka H 0 yang diterima. Jadi mutu merek bola lampu listrik buatan pabrik A, B, C dan D tidak berbeda nyata ( p 0,05 ). Nilai rata-rata daya tahan tersebut sebenarnya berbeda dan perbedaannya bukan karena merek, tetapi karena faktor lain yang tidak diketahui. Bila soal tersebut dikerjakan dengan program komputer hasilnya adalah sebagai berikut : One way Te st of Homogeneity of Variance s VAR00001 Levene Statistic .123 df 1 df 2 3 14 Sig. .945 216 Matematika dan Stastistika ANOV A VA R00001 Betw een Groups Within Groups Total Sum of Squares 10.244 372.200 382.444 df 3 14 17 Mean Square 3.415 26.586 F .128 Sig. .942 Perbedaan rata-rata, mungkin disebabkan oleh : 1) variabel yang dikendalikan tidak betul-betul terkendali 2) perbedaan yang terjadi selama percobaan, misalnya lampu di goyang, voltase naik dan lain-lain. Latihan Penggunaan anova dengan ulangan yang sama Ingin diketahui apakah terdapat perbedaan mutu obat tidur merek A, B, C dan plasebo. Obat yang bermutu bila cepat menyebabkan tertidur setelah meminum obat tersebut. Variabel kendali adalah berat badan, umur, waktu tidur sama, kegiatan, makanan. Taraf signifikansi yang dipergunakan adalah 5% dan data percobaan (dalam menit) tersebut adalah : Pengamatan Mutu x x i Plasebo 78 91 97 82 85 77 85 A 55 66 49 64 70 68 62 510 372 Obat Tidur B 64 60 67 62 66 65 64 384 17222 FK 123533,50 24 JKT 782 912 972 822 772 762 123553,50 126808 123553,50 3254,5 JKP 125646 123553,5 2092,5 JKS 3254,5 2092,5 1162 217 C 75 93 78 71 63 76 76 456 1722 Matematika dan Stastistika Tabel Anova Sumber variasi Perlakuan Sisa Total db JK KT Fhit F0 ,05 3 20 23 2092.50 1162 3254.5 697.5 58.1 12.005 3.10 Out put SPSS Oneway ANOVA WAKTU Between Groups Within Groups Total Sum of Squares df Mean Square F Sig. 2092.500 3 697.500 12.005 .000 1162.000 3254.500 20 23 58.100 Post Hoc Tests Multiple Comparisons Dependent Variable: WAKTU LSD (I) Pabrik Plasebo Pabrik A Pabrik B Pabrik C (J) Pabrik Pabrik A Pabrik B Pabrik C Plasebo Pabrik B Pabrik C Plasebo Pabrik A Pabrik C Plasebo Pabrik A Pabrik B Mean Difference (I-J) 23.0000(*) 21.0000(*) 9.0000 -23.0000(*) -2.0000 -14.0000(*) -21.0000(*) 2.0000 -12.0000(*) -9.0000 14.0000(*) 12.0000(*) Std. Error Sig. 4.40076 4.40076 4.40076 4.40076 4.40076 4.40076 4.40076 4.40076 4.40076 4.40076 4.40076 4.40076 .000 .000 .054 .000 .654 .005 .000 .654 .013 .054 .005 .013 95% Confidence Interval Lower Bound Upper Bound 13.8202 32.1798 11.8202 30.1798 -.1798 18.1798 -32.1798 -13.8202 -11.1798 7.1798 -23.1798 -4.8202 -30.1798 -11.8202 -7.1798 11.1798 -21.1798 -2.8202 -18.1798 .1798 4.8202 23.1798 2.8202 21.1798 * The mean difference is significant at the .05 level. Nilai Fhit 12,01 3,10 , jadi terdapat perbedaan yang nyata ( p 0,05 ) tentang mutu obat tidur (plasebo, A, B dan C). Untuk mengetahui obat tidur jenis apa yang mutunya terbaik perlu pengujian lebih lanjut, yaitu pengujian nilai rata-rata setelah anova (paling tidak ada sepasang yang berbeda). 218 Matematika dan Stastistika Pengujian tentang perbedaan nilai rata-rata setelah anova ada bermacam-macam cara yaitu : uji LSD (least significant different/ beda nyata terkecil), HSD (honestly significant different/beda nyata jujur), Bonferroni, Sidak, Scheffe, REGWF, REGWQ, SNK (student newman keul), Tukey, Tukey’s-b, DMRT (Duncan’s multiple range test), Hochberg’s GT2, Gabriel, Waller-Duncan, Dunnet dan sebagainya. Dari soal di atas maka diberikan contoh untuk uji LSD (Least Significant Different). 2. Uji LSD Uji ini disebut pula sebagai uji beda nyata terkecil (BNT), uji ini merupakan pengembangan dari uji t . Syarat penggunaan uji BNT, hasil uji F (anova) adalah bermakna. Jumlah ulangannya bisa sama atau tidak, tetapi sebaiknya ulangannya adalah sama. Bila ulangannya tidak sama, cara pengerjaannya tidak praktis seperti halnya pada uji t . Bila jumlah ulangannya sama, cara pengujian ini mempergunakan satu nilai pembanding yang dapat dihitung dengan mempergunakan rumus : 1 1 KTsisa n1 n2 t nilainya dapat dilihat pada tabel dengan harga 0,05 dan db dbsisa dari anova. LSD t 1 1 db 2 Jadi LSD t0,97520 2(58,1) / 6 2,09 2(58,1) / 6 9,19 Selanjutnya dibuat matriks dengan menyusun secara urut dari nilai terkecil atau dari nilai terbesar, dari nilai rata-rata respons perlakuan. Matriks selisih nilai rata-rata Obat Nilai rata-rata A B C Plasebo 62 64 76 85 A 62 0 B 64 2 0 C 76 14 12 0 Plasebo 85 23 21 9 0 LSD0,05 = 9,19 Cara membaca matriks, bila selisih antara dua perlakuan minimal sama dengan nilai > LSD-nya, maka antara dua perlakuan ini adalah berbeda nyata atau sangat nyata. Sebaliknya bila lebih kecil dibandingkan dengan nilai LSD-nya, maka antara dua perlakuan ini tidak berbeda nyata. Selanjutnya untuk memudahkan dalam menyimpulkan hasil pada matriks tersebut perlu dibuat notasi garis atau notasi huruf. 219 Matematika dan Stastistika Obat : Nilai rata-rata Notasi garis A 62a B 64a C 76b Plasebo 85b Notasi huruf a a b b Nilai rata-rata pada baris sama yang diikuti oleh superskrip yang berbeda, menunjukkan berbeda nyata ( p 0,05 ). Jadi dapat disimpulkan bahwa obat yang paling bermutu adalah obat A atau obat B. 2. Uji t Sebenarnya uji setelah anova ini mempunyai banyak kekurangan dibandingkan dengan uji rata-rata setelah anova lainnya. Karena uji t setelah anova mempergunakan nilai pembanding t yang berubah-ubah, akibatnya uji ini tidak praktis karena cara-cara perhitungannya lebih panjang, sehingga peluang terjadinya kesalahan dalam perhitungan akan lebih besar. Rumus uji t yang dipergunakan adalah sebagai berikut : x1 x2 thit KT .sisa(1 / n1 1 / n2 ) Plasebo >< obat A : 85 62 thit 5,23 58,10(1 / 6 1 / 6) t0,97510 2,23 Jadi mutu obat A lebih baik dibandingkan dengan plasebo p 0,05 thit Plasebo >< obat B 85 64 58,10(1 / 6 1 / 6) t0,97510 2,23 4,77 Jadi mutu obat B lebih baik dibanding dengan plasebo p 0,05 Plasebo >< obat C 85 76 2,05 58,10(1 / 6 1 / 6) t0,97510 2,23 thit Jadi mutu obat C dan plasebo tidak berbeda nyata p 0,05 thit obat C >< obat A : 76 62 58,10(1 / 6 1 / 6) t0,97510 2,23 220 3,18 Matematika dan Stastistika Jadi mutu obat A lebih baik dibanding dengan obat C p 0,05 Antara obat C dengan obat B dan antara obat B dengan obat A bisa dikerjakan sendiri untuk latihan. 4. Hubungan antara 2 Variabel menggunakan Korelasi Product Moment (Pearson). Korelasi Pearson (product moment) merupakan salah satu statistika inferensial, yang dapat dilihat pada bagan berikut, analisis statistik terbagi menjadi dua yaitu statistik deskriptif dan statistik inferensial. Statistik deskriptif mempelajari penyajian statistik dari data pada sampel, sedangkan statistik inferensial mempelajari penarikan kesimpulan pada populasi dari seperangkat data dari sampel. Statistika inferensial terdiri dari uji komparasi dan uji hubungan. Uji hubungan terdiri dari uji korelasi, uji regresi dan uji asosiasi. Korelasi adalah hubungan dua variabel rambang (bivariate random) yang berdistribusi normal yang menyatakan adanya perubahan satu variabel akan diikuti oleh perubahan variabel lain. Sifat hubungannya adalah linier, karenanya bila hubungan dua variabel itu nonlinier maka uji korelasi (yang bersifat linier) akan menyebabkan penerimaan Ho yang menyatakan rho = 0. Macam hubungannya ada dua, yaitu a. Positif bila perubahan variabel II dari kecil ke besar juga dengan perkataan lain perubahan kedua variabel searah; b. Negatif bila perubahan variabel I dari kecil ke besar akan diikuti oleh perubahan variabel II dari besar ke kecil (perhatikan diagram sebaran pada halaman berikut), dengan perkataan lain perubahannya berlawanan arah satu sama lain. Korelasi juga bersifat simetris atau saling mempengaruhi artinya perubahan X diikuti oleh Y dan sebaliknya perubahan Y juga diikuti oleh X ; dari kenyataan ini kita dapat menyatakan bahwa korelasi terjadi pada satu sampel dengan pengamatan pada beberapa variabel. Koefisien Korelasi Koefisien korelasi merupakan ukuran kuat hubungan antara variabel X dan Y , yang dinyatakan dengan huruf r (huruf kecil) untuk sampel dan dengan untuk populasi. Harga r beranjak dari 0 sampai +1 (korelasi positif) dan dari -1 sampai 0 (korelasi negatif); koefisien ini tidak mempunyai satuan. Perhitungan koefisien korelasi : Untuk setiap variabel hitunglah jumlah item X jumlah kuadrat item X 2 dan jumlah perkalian variabel-variabel tersebut XY dan cacah pasangan tersebut n , akan diperoleh X , X 2 , Y , Y 2 , XY , dan n . Dari data statistik dasar di atas kita hitung koefisien korelasi dengan rumus sebagai berikut : 221 Matematika dan Stastistika Rumus komputasi data kasar : r XY X Y n X X 2 n 2 Rumus komputasi deviasi : 2 X 2 Y n xy x y r 2 2 xy XY X X Y n 2 x X 2 2 n Y 2 y Y 2 2 n Setelah selesai menghitung statistik r maka perlu diuji kemaknaannya berdasarkan pengujian hipotesis nihilnya yang berbunyi : H0 : 0 (tidak ada hubungan korelasi antara X dan Y ) Ha : 0 (ada hubungan korelasi antara X dan Y ) Dengan kesalahan I (α ) = 0,05 Macam pengujian H0 : 0 a. Bandingkan dengan titik kritis r dengan db n 2 dan 0,05 . Bila r r n2 maka H 0 ditolak dengan p . b. 1r kemudian hitung z dengan rumus: 1r z hitung z dengan rumus : z Hitunglah z dengan rumus: z 0,5ln 1 z n3 Gunakan titik kritis tabel z area under curve, bila z z1 z 2 atau z z ditolak dengan daftar sederhana z untuk hipotesis bermacam arah: Dua arah Satu arah Z 1,96 0,05 Z 1,65 Z 2,571 0,01 Z 2,326 Z 1 bertanda negatif 2 222 1 1 2 maka H 0 Matematika dan Stastistika 1. Hitung statistik t dengan rumus: thit t t r n 2 1 r 2 1 db 2 2. titik kritis gunakan tabel dengan db n 2 dan kesalahan I , bila , maka H 0 ditolak dengan p Hitung F dengan rumus : r 2 (n 2) titik kritis adalah tabel F distribusi dengan db numerator = 1 dan db F 1 r2 denumerator = n 2 . Bila F F 1,n2 , maka H 0 ditolak dengan p . Estimasi dari r Estimasi ini berguna untuk memperkirakan harga koefisien korelasi di populasi. Estimasi ini merupakan estimasi interval 95 % untuk 0,05 , yang mempunyai harga minimum dan harga maksimum. Harga minimum adalah : 1r 1 0,5ln z 1 1 r 1 2 n 3 harga maksimum adalah : 1r 1 0,5ln z 1 bila H 0 untuk r ditolak dengan p 0,01 maka harga estimasi 1 r 1 2 n 3 juga dihitung untuk 0,01 . Latihan Berikut ini adalah data kadar kolesterol darah dalam mg % yang selanjutnya dianggap sebagai variabel Y dan berat badan dalam kg yang selanjutnya dianggap sebagai variabel X . Kedua variabel diukur dari 10 orang laki-laki. Data tersebut disusun kemudian dilengkapi dengan kolom X 2 yang berisi kuadrat dari masing-masing X , kolom Y 2 yang berisi kuadrat dari masing-masing Y dan terakhir kolom XY yang berisi hasil perkalian X dan Y . Pada baris terakhir dilengkapi dengan jumlah masing-masing kolom, hasilnya dapat dilihat pada tabel berikut: No. 1 2 3 4 5 Kolesterol (Y ) 150 175 180 250 225 BB (X ) 45 50 45 65 75 Y2 X2 XY 22500 30625 32400 62500 50625 2025 2500 2025 4225 5625 6750 8750 8100 16250 16875 223 Matematika dan Stastistika BB (X ) 60 75 80 50 55 Y2 X2 XY 6 7 8 9 10 Kolesterol (Y ) 200 175 275 160 190 40000 30625 75625 25600 36100 3600 5625 6400 2500 3025 12000 13125 22000 8000 10450 1980 600 406600 37550 122300 No. Y n X Y Koefisien korelasi r dihitung : r XY 2 X 2 XY X Y n X X 2 n 2 X 2 Y n (600 x1980) 122300 10 r (600)2 (1980)2 37550 406600 10 10 2 r 0,737 Titik kritis r0,02510 0,632 Karena rhit rtabel , maka H 0 ditolak dengan thit r n 2 1 r 2 0,737 8 1 0,7372 p 0,05 , jika tidak ada tabel r maka digunakan tabel t : 3,0841 db 10 2 8 t1 1 0,05 8 t0,9758 2,31 , 2 H 0 ditolak, kesimpulan ada hubungan antara BB dan Kolesterol. Kesimpulan : terdapat hubungan korelasi yang bermakna antara berat badan dan kadar kolesterol darah. Dari perhitungan komputer (output) program SPSS maka dapat dilihat sebagai berikut : Correlations Descriptive Statistics Mean Std. Deviation N KOLESTER 198.0000 40.22161 10 BB 60.0000 13.12335 10 224 Matematika dan Stastistika Correlations KOLESTER BB KOLESTER Pearson 1 .737(*) Correlation Sig. (2-tailed) . .015 N 10 10 BB Pearson .737(*) 1 Correlation Sig. (2-tailed) .015 . N 10 10 * Correlation is significant at the 0.05 level (2-tailed). Perhitungan estimasi Harga minimum adalah : 1 r 1 1 0,737 1 0,5ln z1 0,5ln 1,96 0,203 1 r 2 n 3 1 0,737 10 3 ( z1 nilainya negatif) dengan harga maksimum adalah : 2 0,5ln 1 r z 1 1 r 1 2 (z nilainya positif). 1 1 2 1 n 3 0,5ln 1 0,737 1 1,96 1,684 1 0,737 10 3 Karena harga maksimal adalah 1, jadi interval konfiden 96% untuk adalah 0,203 dan 1. 4. Pengaruh antara 2 Variabel menggunakan Regresi Linier Sederhana Kita berhadapan dengan masalah korelasi bila kita melakukan studi hubungan antara dua variabel tanpa mempertahankan konstan salah satu variabel tersebut, dan kita berhadapan dengan masalah regresi bila kita melakukan studi pengaruh terhadap suatu variabel dan variabel lain dipertahankan konstan pada beberapa tingkat. Pada regresi kita berhadapan dengan rancangan statistik k-sampel bebas yang membentuk peringkat sebagai berikut : a. b. c. Variabel X konstan pada setiap tingkatan dan variabel Y merupakan variabel rambang. Menggunakan asumsi distribusi normal univariat pada X tertentu Y Hubungannya bersifat asimetris: X 225 Matematika dan Stastistika Terdapat perbedaan masalah regresi pada studi eksperimental dan studi observasional. Pada eksperimental variabel X dapat dikendalikan oleh peneliti sedang pada observasional tidak satupun dari variabel X dan Y yang diubah oleh peneliti. Sebetulnya masalah regresi lebih cocok untuk studi eksperimental dari pada studi observasional walaupun masalah regresi pada praktek sehari-hari digunakan pada kedua studi. Pada studi eksperimental, karena variabel bebas ( X ) dimanipulasi oleh peneliti, jika dapat ditunjukkan bahwa variabel terikat ( Y ) ada hubungan dengan variabel bebas yaitu dengan adanya koefisien kemiringan (slope = 1 ) populasi tidak sama dengan nol, maka dapat disimpulkan bahwa hubungan X dan Y dapat menunjang kausalitas artinya dapat dinyatakan bahwa X menyebabkan Y , dan Y tergantung pada X . Pada studi observasional hubungan X dan Y tidak menunjang kausalitas, walaupun pada kedua studi kita dapat meramal harga Y pada suatu harga X tertentu asal X masih dalam batas rentangan harga X ; artinya interpolasi boleh dilakukan tetapi bukan ekstrapolasi. a. Hipotesis Pada masalah regresi secara matematik sama saja dengan kita menentukan garis lurus ramalan Y 0 1 X dari data-data yang kita kumpulkan. Menurut matematika bahwa bila menarik garis lurus harus ada dua cara yaitu : 1) Melalui dua titik dengan koordinat tertentu 2) Melalui satu titik dan sudut pengarah (sudut potong) antara garis dengan sumbu X . Di sini akan digunakan cara nomor 2, sebagai titik ialah titik potong garis dengan sumbu Y dengan koordinat 0,b0 dan sudut pengarah dalam hal ini adalah tangen sudut tersebut b1 . Pada masalah regresi hipotesis yang akan dibuktikan ada dua buah, hipotesis ketergantungan atau hubungan 1 dan hipotesis asal garis regresi 0 . b. Formulasi hipotesis tersebut adalah sebagai berikut : Hipotesis ketergantungan: H0 : 1 0 Y tidak tergantung pada X Ha : 1 0 Y tergantung pada X Hipotesis asal : H0 : 1 0 Y berasal dari titik asal 0,0 Ha : 1 0 Y bukan berasal dari titik asal b. Komputasi analisis regresi Seperti pada studi korelasi maka pada studi regresi kita lakukan langkah-langkah sebagai berikut : 226 Matematika dan Stastistika X , jumlah kuadrat item X dan jumlah perkalian variabel-variabel tersebut XY dan cacah pasangan tersebut ( n ), akan 2 Untuk setiap variabel hitunglah jumlah item diperoleh X , X , XY , Y , Y , XY 2 2 dan n . Setelah itu hitunglah variansi dan kovariansi dengan rumus : X sebagai variansi X Y sebagai variansi Y 2 x X 2 2 n 2 y Y 2 2 n xy XY X Y sebagai kovariansi XY n Perhatikan ! variansi dan kovariansi tertulis dengan huruf kecil ! Menghitung koefisien b1 (kemiringan atau slope) xy b1 x2 Menghitung koefisien b0 (titik asal atau intersep atau constant ) Y b X b0 1 n n Menghitung galat baku ramalan (standard error of estimate = SEE) Bila pada statistika deskriptif kita menghitung galat baku atau standar deviasi untuk suatu seperangkat data maka perhitungan garis regresi diperlukan juga standar deviasi tetapi dengan nama lain dan rumus lain. Rumus SEE adalah sebagai berikut: SEE 1) y 2 b1 xy n 2 Menguji hipotesis ketergantungan: H0 : 1 0 y tidak tergantung pada X Ha : 1 0 y tergantung pada X Untuk itu diperlukan penghitungan seb1 dengan rumus : SEE seb1 x2 Untuk pengujian H 0 digunakan uji t dengan rumus : b 1 dengan db n 2 tb1 1 seb1 227 Matematika dan Stastistika Titik kritis adalah tabel t . H 0 ditolak bila tb1 t 1 2) 2 n2 Menguji hipotesis asal : H0 : 1 0 berasal dari titik asal 0,0 Ha : 1 0 bukan berasal dari titik asal Untuk itu diperlukan penghitungan seb0 dengan rumus : X 1 n seb0 SEE n x2 2 Untuk menguji H 0 digunakan uji t dengan rumus : b 0 dengan db n 2 tb0 0 seb0 Titik kritis adalah tabel t , di mana H 0 ditolak bila tb0 t n2 Menguji linieritas garis Untuk keperluan ini diperlukan data berikut : 1) Menghitung koefisien korelasi : r dihitung dengan cara yang sama seperti pada studi korelasi dengan rumus : xy kemaknaan r dapat disamakan dengan kemaknaan b1. r x2 y2 2) 3. Menguji linieritas garis regresi : Untuk keperluan ini yang diperlukan adalah r 2 atau coefficient of determination (CD) yang berarti varian yang dapat diterangkan oleh hubungan X dan Y . Makin besar r 2 makin fit data-data dengan garis regresi itu, dengan perkataan lain makin mungkin untuk menyatakan bahwa hubungan X dan Y makin mendekati linier. Cara lain adalah melakukan/membuat diagram sebaran hubungan kedua variabel (diagram plot). Bila gambaran sekilas memperlihatkan adanya kecenderungan titik-titik hubungan berada pada satu garis lurus atau sekitar garis lurus maka dapat disimpulkan garis regresinya linier. Latihan Dari data di atas yang kita pakai pada studi korelasi didapatkan harga statistik sebagai berikut : 10 1980 600 406600 37550 122300 N Y X Y 228 2 X 2 XY Matematika dan Stastistika X 37550 Y 406600 2 x X 2 2 n 6002 1550 10 2 y 2 Y 2 n xy XY 19802 14560 10 X Y 122300 600 1980 3500 n 10 Koefisien korelasi r dihitung : X Y XY n r 2 2 X Y 2 2 X Y n n (600 x1980) 122300 10 0,736752312 2 600 19802 37550 406600 10 10 Coefficient of determination = r 2 0,7367523122 = 0,5428 Koefisien slope = koefisien b1 b1 xy 3500 2,258064516 b1 x 1550 1 2 Standard error of estimate : SEE y 2 b1 xy n 2 14560 (2,258064516 x3500) 28,846088 8 Koefisien intersep = koefisien b0 Y b X 1980 2,2580645 600 62,516112904 b b0 1 0 0 n n 10 10 Uji hipotesis 1 (Ketergantungan) SEE 28,846088 seb1 0,732691 2 1550 x 229 Matematika dan Stastistika Untuk pengujian H 0 digunakan uji t dengan rumus : b 1 2,258064516 tb1 1 3,08188 di mana p 0,05 seb1 0,732691 Uji hipotesis 0 (titik asal) seb 0 SEE 2 X 600 1 n 1 10 28,846088 44,897901 n 10 1550 x2 2 Untuk menguji H 0 digunakan uji t dengan rumus : b 0 62,5161 tb0 0 1,39241 p 0,05 seb 0 44,897901 t 1 t0,9758 2,306 t0,9958 3,355 1 n 2 2 Prediksi nilai Y dari harga X tertentu Prediksi suatu nilai Y dari harga X tertentu tergantung pada kegunaan prediksi tersebut, di sini terbagi dua yaitu : Prediksi nilai Y populasi : Diperlukan seYpop yang rumusnya : X X 2 seYpop SEE 1 n n x2 Confident Interval 95 % : Y t 1 seYpop uy . x Y t 2 1 1 2 seYpop Bila berat badan = 50 kg berapa kadar kolesterolnya ? 2 600 50 1 10 seYpop 28,846088 11,70014285 10 1550 230 Matematika dan Stastistika Hargaprediksi Ykolester 62,516129 2,258065xBB Y 62,516129 2,258065x50 141,746 Nilai t0,058 2,306 Minimum : 141,746 – 2,306 × 11,7001 = 114,7656 Maximum : 141,746 + 2,306 × 11,7001 = 168,7264 Jadi untuk berat badan 50 kg maka di populasi terdapat kadar kolesterol antara 114,7656 sampai dengan 168,7264. Prediksi nilai Y individu : Diperlukan seY ind yang rumusnya : X X n 1 seYind SEE 1 n x2 Confident Interval 95 % : Y t 1 seYind uy . x Y t 2 1 1 2 2 seYind Seperti di atas bila berat badan adalah 50 kg maka : seYind 28,846088 2 600 50 1 10 seYind 1 31,12860639 10 1550 Harga prediksi Y = 62,516129 + 2,258065 × 50 = 141,746 t0,058 2,306 Minimum : 141,746 – 2,306 × 31,12860 = 69,9634336 Maximum : 141,746 + 2,306 × 31,12860 = 213,528566 Jadi untuk berat badan sebesar 50 kg pada individu terdapat kadar kolesterol antara 69,963433 dan 213,5285663. Out put komputer dengan program SPSS dapat dilihat sebagai berikut : 231 Matematika dan Stastistika Regression Descriptive Statistics Mean Std. Deviation 198.0000 40.22161 60.0000 13.12335 KOLESTER BB Pearson Correlation Sig. (1-tailed) N N 10 10 Correlations KOLESTER KOLESTER 1.000 BB .737 KOLESTER . BB .008 KOLESTER 10 BB 10 BB .737 1.000 .008 . 10 10 Model Summary Model R 1 a. .737(a) R Square .543 Adjusted R Square .486 Std. Error of the Estimate 28.84609 Change Statistics R Square Change F Change .543 9.498 df1 1 df2 8 Sig. F Change .015 Predictors: (Constant), BB ANOVA(b) Model 1 a. b. Regression Residual Total Sum of Squares 7903.226 6656.774 14560.000 df 1 8 9 Mean Square 7903.226 832.097 F 9.498 Sig. .015(a) Predictors: (Constant), BB Dependent Variable: KOLESTER Coefficients(a) Model 1 (Constant) BB Unstandardized Coefficients Std. B Error 62.516 44.898 2.258 .733 Standardized Coefficients t Sig. 1.392 3.082 .201 .015 Beta .737 232 95% Confidence Interval for B Lower Upper Bound Bound -41.019 166.051 .568 3.948 Matematika dan Stastistika Latihan 1) Ingin diketahui asumsi masyarakat tentang garam beriodium. Asumsinya adalah kadar iodium pada garam kurang dari 30 ppm (part per million). Maka diambillah sampel garam dapur secara random pada rumah tangga sebanyak 10 rumah tangga secara acak dengan data sebagai berikut: 17 18 20 25 32 36 19 30 21 28. α yang digunakan sebesar 5%. Jawab: Diketahui µ = 30 ppm rata-rata = 24,6 lalu membuat hipotesis yaitu H0 : 30mg Ha : 30mg Menghitung jumlah data 246 dan dan jumlah kudrat data yaitu 2 2 6444 Setelah itu masukkan ke dalam rumus simpangan baku sebagai berikut: 2 s 2 n 1 n 2472 10 6,603 10 1 6505 x 0 s/ n 24,6 30 5,4 thit 2,586 6,603 2,0881 10 thit Karena hipotesisnya adalah 1 sisi dan 5% maka nilai t tabel sebesar t1 n1 t10,05101 t0,959 . Karena tingkat kepercayaan sebesar 0,95 dan derajat bebas sebesar 9 maka nilai t tabel sebesar 1,83. Nilai t tabel positif dirubah menjadi negatif juga karena nilai t hitung negatif. Karena thit t tabel atau 2,586 1,83 , maka H a diterima berarti keluhan masyarakat tersebut terbukti benar bahwa kadar KIO 3< dari yang ditulis di dalam label). 2) Suatu studi ingin mengetahui tentang pengaruh suplementasi tablet besi terhadap kenaikan kadar hemoglobin ibu hamil. Data kadar hemoglobin dengan satuan mg/dl disajikan sebagai berikut: Sebelum 9,0 9,2 8,3 7,9 8,8 8,5 8,2 9,4 9,5 9,6 Sesudah 10,1 9,7 9,2 8,5 8,9 8,8 8,6 9,5 9,8 9,6 233 Matematika dan Stastistika 5% , Apakah terdapat pengaruh pemberian tablet besi terhadap kenaikan kadar hemoglobin? Jawab: Diketahui : H0 : 1 2 H1 : 1 2 Mencari nilai d yaitu dengan berikut : Sebelum 9,0 9,2 8,3 Sesudah 10,1 9,7 9,2 d -1,1 -0,5 -0,9 2 d 1,21 0,25 0,81 mengurangi data sebelum dengan data sesudah sebagai 7,9 8,5 -0,6 0,36 8,8 8,9 -0,1 0,01 8,5 8,8 -0,3 0,09 8,2 8,6 -0,4 0,16 9,4 9,5 -0,1 0,01 9,5 9,8 -0,3 0,09 9,6 9,6 0 0 d 1,1 0,5 0,9 0,6 0,1 0,3 0,4 0,1 0,3 0 4, 3 d 1,21 0,25 0,81 0,36 2 i 0,01 0,09 0,16 0,01 0,09 0 2,99 n di 2 di 2 s n(n 1) selanjutnya semua nilai yang didapatkan disubtitusi ke dalam rumus di atas sebagai berikut: 10 2,99 4,3 s 0,3560 10(10 1) 4,3 d 0,356 thit thit 3,8196 s n 10 2 sedang nilai t tabel, karena hipotesis 2 sisi dan α = 5% maka adalah t1 1 n1 atau t1 1 0,05101 t0,959 hal ini menunjukkan bahwa tingkat kepercayaan 2 2 sebesar 0,975 dan derajat kebebasan sebesar 9 maka nilai t tabel sebesar 2,262 (lihat lampiran tabel t ). Karena nilai t hitung negatif maka nilai t tabel juga dibuat negatif yaitu -2,262. Hasil yang diperoleh thit t tabel atau 3,8196 2,262 , maka H 0 ditolak berarti Tablet Besi berpengaruh nyata terhadap kenaikan kadar Hb ibu hamil ( p 0,05 ). 3) Apakah terdapat perbedaan kadar Imunoglobulin A (IgA) pada lanjut usia yang mendapatkan seng sulfat dan sinbiotik dengan data IgA sebagai berikut : 234 Matematika dan Stastistika Suplemen Kadar IgA (ug/mmol) Seng sulfat 1,2 1,5 1,0 1,9 2,0 1,7 1,6 1,3 2,0 0,9 Sinbiotik 1,4 1,7 1,3 2,1 2,2 1,9 1,7 1,5 2,2 1,4 Berdasarkan data tersebut di atas tarik kesimpulan dengan tingkat kepercayaan 95%. Jawab: H0 : 1 2 Ha : 1 2 Hipotesis tersebut merupakan hipotesis 2 sisi. Pertama kita mencari varian dari populasi yaitu : s2 Fhit 12 di mana s12 s22 s2 H 0 : variansi I = variansi 2 (DATA HOMOGEN) H a : variansi I ≠ variansi 2 (DATA HETEROGEN) H 0 diterima berarti kedua variansi homogen H 0 diterima bila : Fhit Fa v1 ,v2 v1 n1 1 10 1 9, v2 n2 1 10 1 9 Untuk mendapatkan nilai Fhit , maka akan dicari masing-masing nilai varian kelompok 1 dan kelompok 2 sebagai berikut : x 2 s x 2 n 1 n x 2 s 2 x 2 n 1 n Untuk kelompok seng sulfat : Nilai x2 24,25 dan x 15,1 sedang nilai n 10 , maka 15,1 24,25 2 s 10 10 1 0,4012 s2 0,4012 0,161 2 Untuk kelompok sinbiotik : Nilai x2 31,34 dan x 17,4 sedang nilai n 10 , maka 17,4 31,34 2 s2 10 10 1 0,1182 235 Matematika dan Stastistika Setelah itu mencari Fhit sebagai berikut: Fhit s12 s22 0,161 1,3621 0,1182 Karena v1 9, v2 9 dengan 5% maka Ftabel 3,18 . Kesimpulan: Ftabel Fhit atau 3,18 1,3621 sehingga H 0 diterima, maka variansi Fhit kelompok seng tidak berbeda dengan variansi kelompok sinbiotik. Selanjutnya digunakan uji t 2 sampel bebas dengan variansi homogen sebagai berikut: x x thit 1 2 1 1 s n1 n2 dan nilai s (n1 1)s12 (n2 1)s22 n1 n2 2 Pertama mencari nilai simpangan baku beda sampel sebagai berikut : (10 1)0,161 (10 1)0,1182 s 0,3743 10 10 2 Selanjutnya substitusi ke dalam rumus t hitung sebagai berikut : 1,51 1,74 thit 1,3756 1 1 0,3743 10 10 5% , Karena hipotesis 2 sisi dengan maka nilai 1 t tabel 1 n1 n2 2 t1 1 0,0510 10 2 t 0,97510 . Artinya bahwa 0,975 adalah tingkat 2 2 kepercayaan (confidence of interval) dan 18 adalah derajat kebebasan yang dipergunakan untuk melihat tabel t. Nilai t tabel sebesar 2,101 (terlampir tabel t ), karena nilai thit negatif, maka nilai t tabel juga dibuat negatif yaitu sebesar – 2,101. Jadi 2,101 1,3756 , maka H 0 diterima akibatnya kesimpulan dari hasil analisis ini adalah tidak ada perbedaan kadar IgA yang mendapatkan suplementasi seng dan yang mendapatkan suplemen sinbiotik. Petunjuk Jawaban Latihan 1) 2) 3) 4) 5) Di buat hipotesis nol dan alternatif untuk menentukan apakah uji satu sisi atau dua sisi (jika hipotesis sesuai diberi skor 5). Menentukan skala data dari variabel yang diteliti (jika skala data sesuai diberi skor 5). Menentukan uji statistik yang sesuai (jika uji statistik sesuai diberi skor 10). Menghitung statistik berdasarkan rumus tersebut (jika hasil akhir benar dan tepat diberi skor 30). Membandingkan hasil hitung dengan tabel statistik yang sesuai (jika benar dan sesuai diberi skor 30). 236 Matematika dan Stastistika 6) Membuat kesimpulan (jika kesimpulan sesuai dengan uji statistik maka diberi skor 20). Ringkasan Uji beda adalah bagian dari statistik inferensial untuk melihat perbedaan rata-rata pada kelompok. Uji beda terdiri atas 2 yaitu uji beda 2 kelompok atau biasa disebut uji t dan uji beda lebih dari 2 kelompok yang biasa disebut analisis of varians (Anova). Persyaratan data dari variabel yang diteliti adalah data interval dan rasio. Uji hubungan antara 2 variabel yaitu uji statistik inferensial untuk melihat hubungan antar variabel bebas dan variabel terikat. Uji statistik ini menggunakan uji korelasi product moment (Pearson). Persyaratan variabel mempunyai data interval atau rasio. Uji pengaruh antara 2 variabel yaitu uji statistik inferensial untuk melihat pengaruh antara variabel bebas terhadap variabel terikat menggunakan regresi linier sederhana. Persyaratan data dari variabel yang diteliti adalah data interval dan rasio. Prosedur statistik parametrik dibuat berdasarkan sejumlah asumsi. Sebagai contoh, umumnya untuk membuat asumsi bahwa sampel dicuplik dari populasi normal, atau paling sedikit mendekati normal. Karena itu uji parametric seperti uji z , t , r , F dikategorikan statistik teori normal. Di samping normalitas distribusi populasi, asumsi-asumsi yang digunakan dalam model matematik uji paramterik adalah: 1. Independensi pemilihan unit sampel dari populasi, 2. Independensi pengamatan unit observasi, 3. Kesamaan varians jika membandingkan dua atau sejumlah sampel, 4. Variabel diukur minimal dalam skala interval. Validitas penggunaan uji statistik parametrik ditentukan oleh pemenuhan asumsi tersebut. Jika kondisi itu tidak dipenuhi, validitas hasil penelitian diragukan. Normalitas distribusi bias diketahui secara visual dengan menampilkan data dalam bentuk histogram ataupun menghitung statistic deskriptif, misalnya ukuran tendensi sentral dan derajat kemencengan. Beberapa asumsi bias diuji, misalnya normalitas distribusi dicek dengan uji kesesuaian kai kuadrat. Untuk mengatasi penyimpangan asumsi teori normal dapat dilakukan dengan cara : 1. data ditransformasi sehingga distribusi mendekati normal dan varians menjadi lebih stabil. Tergantung sifat ketidaknormalan data, transformasi data yang dapat dilakukan adalah : akar kuadrat, logaritma, kebalikan (reciprocal), dan sinus arcus. 2. bebas distribusi, karena tidak bertujuan menduga maupun menguji parameter populasi, tetapi cukup membandingkan karakteristik populasi-populasi secara umum, maka metode bebas distribusi juga disebut nonparametrik. 237 Matematika dan Stastistika Tes 2 1) Studi tentang khasiat simplisia (bahan obat yang berasal dari alam) sebagai antiinfeksi yang terdiri atas kunyit, kunyit putih dan daun miyana. Variabel yang diukur adalah jumlah kuman yang mati pada tikus yang mendapatkan infeksi. Data berikut menunjukkan jumlah kuman yang masih hidup : Simplisia Jumlah kuman (n x 107) Kunyit 2,1 1,9 3,0 2,7 2,8 3,1 2,7 1,9 1,8 4,1 Kunyit putih 2,2 1,8 3,1 2,6 2,9 3,0 2,6 1,8 1,6 3,8 Daun miyana 1,9 2,0 3,0 2,8 2,7 2,9 2,8 2,0 1,7 3,9 Harga α sebesar 5%. Tarik kesimpulan berdasarkan data di atas. 2) Seorang peneliti ingin mengetahui hubungan antara kadar kolesterol dengan asam urat. α yang digunakan sebesar 5%. Berdasarkan hasil penelitian maka diketahui data sebagai berikut : kolesterol 90 95 96 97 98 100 99 94 91 93 Asam urat 100 105 110 115 120 125 123 120 115 118 3) Apakah terdapat pengaruh antara berat badan lahir bayi dengan asupan protein ibu hamil. Dengan data sebagai berikut: Berat badan lahir bayi (kg) 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 Asupan protein (g) 10 11 12 13 14 15 16 17 19 18 Tingkat kepercayaan sebesar 95%. Buat kesimpulan tentang masalah di atas. 1) Jawaban H 0 : tidak ada perbedaan rata-rata jumlah kuman pada ketiga simplisia H a : ada perbedaan yang bermakna rata-rata jumlah kuman pada ketiga simplisia ANOVA Jumlah Kuman Hidup Sum of Squares Between Groups Within Groups Total .025 12.974 12.999 df 2 27 29 Mean Square F .012 .026 .481 Sig. .975 Berdasarkan Tabel Anova di atas menunjukkan bahwa nilai Fhit 0,026 . Jika dibandingkan dengan nilai Ftabel F v1 ,v2 , di mana v1 dfbetween group 2 dan v2 dfwithin group 27 dipergunakan untuk melihat tabel statistik. Nilai Ftabel sebesar 3,35. 238 Matematika dan Stastistika Karena Fhit Ftabel , maka H 0 diterima artinya tidak ada perbedaan antara kunyit, kunyit 2) putih dan daun miyana dalam membunuh kuman (anti infeksi). H 0 : tidak ada hubungan antara kadar kolesterol dengan asam urat H a : ada perbedaan yang bermakna antara kadar kolesterol dengan asam urat 90 95 96 97 98 100 99 94 91 93 953 Kolesterol 100 105 110 115 120 125 123 120 115 118 1151 As. Urat 8100 9025 9216 9409 9604 10000 9801 8836 8281 8649 10000 11025 12100 13225 14400 15625 15129 14400 13225 13924 9000 9975 10560 11155 11760 12500 12177 11280 10465 10974 90921 133053 109846 x y xy y2 x2 Menggunakan rumus koefisien korelasi Pearson x y xy n r 2 2 x y 2 2 x y n n 1151 109846 953 10 r 0,6503 2 2 953 133053 1151 90921 10 10 Disubstitusi ke dalam rumus t r n 2 0,6503 8 2,4211 1 r2 1 0,65032 Setelah itu membandingkan dengan tabel t 1-1/2α (n-2) = t 0,975 (8). Nilai t tabel dengan tingkat kepercayaan 0,975 dan df = 8 sebesar 2,306. Karena thit t tabel , maka H 0 ditolak artinya ada hubungan yang bermakna antara kadar kolesterol dan asam urat yaitu semakin meningkat kolesterol juga akan meningkatkan asam urat. 239 Matematika dan Stastistika 3) Hipotesis titik asal H 0 : y berasal dari titik asal H a : y tidak berasal dari titik asal Hipotesis ketergantungan H 0 : asupan protein ibu hamil tidak mempengaruhi berat badan lahir bayi H a : asupan protein ibu hamil mempengaruhi berat badan lahir bayi Model Summary Model R 1 .988a R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate .976 .973 .04985 a. Predictors: (Constant), As.Protein Berdasarkan tabel di atas menunjukkan bahwa R2 0,976 menunjukkan bahwa 97,6% asupan protein ibu hamil akan mempengaruhi berat badan lahir bayi. Selebihnya 2,4% variabel lain yang tidak diteliti tetapi ikut mempengaruhi hasil penelitian. ANOVAb Model 1 Sum of Squares df Mean Square Regression .805 1 .805 Residual .020 8 .002 Total .825 9 F Sig. 324.012 .000a a. Predictors: (Constant), As.Protein b. Dependent Variable: BBL Nilai F sebesar 324,021 dengan p 0,000 menunjukkan bahwa besarnya pengaruh variabel asupan protein terhadap BBL bayi. Coefficientsa Unstandardized Coefficients 1 Standardized Coefficients Model B Std. Error Beta t Sig. (Constant) 1.218 .081 15.009 .000 As.Protein .099 .005 .988 18.000 .000 a. Dependent Variable: BBL Berdasarkan tabel di atas menunjukkan bahwa nilai konstanta t 15,009 dan p 0,000 berarti hipotesis titik asal menerima H 0 artinya variabel y tidak berasal dari titik asal. 240 Matematika dan Stastistika Hipotesis ketergantungan menunjukkan bahwa asupan protein nilai t 18 dan p 0,000 artinya adalah asupan protein mempengaruhi BBL Bayi dimana semakin meningkat asupan protein ibu hamil juga akan meningkatkan berat badan lahir bayi. 241 Matematika dan Stastistika Daftar Pustaka Chandra Budiman, 1995. Pengantar Statistik Kesehatan. Jakarta: EGC. Dajan Anto, 1986. Pengantar Metode Statistik Jilid II. Jakarta: LP3ES. Daniel Wayne W., 1989. Statistika Nonparametrik Terapan. Jakarta: Gramedia. Kuntoro, 2002. Pengantar Teori Probabilitas. Surabaya: Pustaka Melati. ………., 2011. Metode Statistik Edisi Revisi. Surabaya: Pustaka Melati. Murti Bhisma, 1996. Penerapan Metode Non-Parametrik dalam Ilmu-Ilmu Kesehatan. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. Nurgiyantoro Burhan, Gunawan, Marzuki, 2000. Statistik Terapan Untuk Ilmu-Ilmu Sosial. Yogyakarta: Gadjah Mada University Press. Saleh Samsubar, 1996. Statistik Nonparametrik Edisi 2. Yogyakarta: BPFE. Siegel Sidney, 1997. Statistik Nonparametrik untuk Ilmu-Ilmu Sosial. Jakarta: Gramedia. Sugiyono, 2003. Statistik Nonparametris untuk Penelitian. Bandung: Alfabeta. Siagian, Dergibson & Sugiarto, 2002. Metode Statistika untuk Bisnis dan Ekonomi, PT Gramedia Pustaka Utama Jakarta. ISBN 979-655-924-2 Walpole, Ronald E, 1993. Pengantar Statistika, PT Gramedia Pustaka Utama. Jakarta ISBN 979-403-313-8 Ross, Sheldon, 1976. A First Course in Probability. R. A. Fisher. 1925. Statistical Methods for Research Workers, Edinburgh: Oliver and Boyd, 1925, p.43. Cramer, Duncan; Dennis Howitt. 2004. The Sage Dictionary of Statistics. p. 76. ISBN 076194138X. Lehmann, E.L.; Romano, Joseph P. 2005. Testing Statistical Hypotheses (3E ed.). New York: Springer.ISBN 0387988645. 242 Matematika dan Stastistika NIST handbook: Two-Sample t-Test for Equal Means Steel, R.G.D, and Torrie, J. H., Principles and Procedures of Statistics with Special Reference to the Biological Sciences., McGraw Hill, 1960, page 350. Weiss, Neil A. 1999. Introductory Statistics (5th ed.). p. 802. ISBN 0-201-59877-9. NIST handbook: F-Test for Equality of Two Standard Deviations (Testing standard deviations the same as testing variances). 243 Matematika dan Stastistika Lampiran Lampiran 1 Fungsi Distribusi pada Distribusi Probabilitas t-Student dk 0,001 1 –318,309 2 –22,327 3 –10,215 4 –7,173 5 –5,893 0,005 0,01 –63,657 –31,821 –9,925 –6,965 –5,841 –4,541 –4,604 –3,747 –4,032 –3,365 0,025 –12,706 –4,303 –3,182 –2,776 –2,571 0,05 –6,314 –2,920 –2,353 –2,132 –2,015 0,10 –3,078 –1,886 –1,638 –1,533 –1,476 0,20 –1,376 –1,961 –0,978 –0,941 –0,920 0,30 –0,727 –0,617 –0,584 –0,569 –0,559 0,40 dk –0,325 1 –0,289 2 –0,277 3 –0,271 4 –0,267 5 6 7 8 9 10 –5,208 4,785 4,501 4,297 –4,144 –3,707 3,499 –3,355 –3,250 –3,169 –3,143 2,998 –2,896 –2,821 2,764 –2,447 2,365 –2,306 –2,262 2,228 –1,943 1,895 –1,860 –1,833 1,812 –1,440 1,415 –1,397 –1,383 1,372 –0,906 0,896 –0,889 –0,833 0,879 –0,553 0,549 –0,546 –0,543 0,542 –0,265 0,263 –0,262 –0,261 0,260 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4,025 3,930 3,852 3,787 3,733 –3,106 –3,055 –3,012 –2,977 2,947 –2,718 –2,681 –2,650 –2,624 2,602 –2,201 –2,179 –2,160 –2,145 2,131 –1,796 –1,782 –1,771 –1,761 1,753 –1,363 –1,356 –1,350 –1,345 1,341 –0,876 –0,873 –0,870 –0,868 0,866 –0,540 –0,539 –0,538 –0,537 0,536 –0,260 –0,259 –0,259 –0,258 0,258 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3,686 3,646 3,610 3,579 3,552 –2,921 –2,898 –2,878 –2,861 –2,845 –2,583 –2,567 –2,552 –2,539 –2,528 –2,120 –2,110 –2,101 –2,093 –2,086 –1,746 –1,740 –1,734 –1,729 –1,725 –1,337 –1,333 –1,330 –1,328 –1,325 –0,865 –0,863 –0,862 –0,861 –0,860 –0,535 –0,534 –0,534 –0,533 –0,533 –0,258 –0,257 –0,257 –0,257 –0,257 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 3,527 3,505 3,485 3,467 3,450 –2,831 –2,819 –2,807 –2,797 –2,787 –2,518 –2,508 –2,500 –2,492 –2,485 –2,080 –2,074 –2,069 –2,064 –2,060 –1,721 –1,717 –1,714 –1,711 –1,708 –1,323 –1,321 –1,319 –1,318 –1,316 –0,859 –0,858 –0,858 –0,857 –0,856 –0,532 –0,532 –0,532 –0,531 –0,531 –0,257 –0,256 –0,256 –0,256 –0,256 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3,435 3,421 3,408 3,396 3,385 –2,779 –2,771 –2,763 –2,756 –2,750 –2,479 –2,473 –2,467 –2,462 –2,457 –2,056 –2,052 –2,048 –2,045 –2,042 –1,706 –1,703 –1,701 –1,699 –1,697 –1,315 –1,314 –1,313 –1,311 –1,310 –0,856 –0,855 –0,855 –0,854 –0,854 –0,531 –0,531 –0,530 –0,530 –0,530 –0,256 –0,256 –0,256 –0,256 –0,256 26 27 28 29 30 244 Matematika dan Stastistika 31 32 33 34 35 3,375 3,365 3,356 3,348 3,340 –2,744 –2,738 –2,733 –2,728 –2,724 –2,453 –2,449 –2,445 –2,441 –2,438 –2,040 –2,037 –2,035 –2,032 –2,030 –1,696 –1,694 –1,692 –1,691 –1,690 –1,309 –1,309 –1,308 –1,307 –1,306 –0,853 –0,853 –0,853 –0,852 –0,852 –0,530 –0,530 –0,530 –0,529 –0,529 –0,256 –0,255 –0,255 –0,255 –0,255 dk 36 37 38 39 40 0,001 3,333 3,326 3,319 3,313 3,307 0,005 –2,719 –2,715 –2,712 –2,708 –2,704 0,01 –2,434 –2,431 –2,429 –2,426 –2,423 0,025 –2,028 –2,026 –2,024 –2,023 –2,021 0,05 –1,688 –1,687 –1,686 –1,685 –1,684 0,10 –1,306 –1,305 –1,304 –1,304 –1,303 0,20 –0,852 –0,851 –0,851 –0,851 –0,851 0,30 –0,529 –0,529 –0,529 –0,529 –0,529 0,40 dk –0,255 36 –0,255 37 –0,255 38 –0,255 39 –0,255 40 41 42 43 44 45 3,301 3,296 3,291 3,286 3,281 –2,701 –2,698 –2,695 –2,692 –2,690 –2,421 –2,418 –2,416 –2,414 –2,412 2,020 2,018 2,017 2,015 2,014 1,683 1,682 1,681 1,680 1,679 1,303 1,302 1,302 1,301 1,301 0,850 0,850 0,850 0,850 0,850 0,529 0,528 0,528 0,528 0,528 0,255 0,255 0,255 0,255 0,255 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 3,277 3,273 3,269 3,265 3,261 –2,687 –2,685 –2,682 –2,680 –2,678 –2,410 –2,408 –2,407 –2,405 –2,403 –2,013 –2,012 –2,011 –2,010 –2,009 –1,679 –1,678 –1,677 –1,677 –1,676 –1,300 –1,300 –1,299 –1,299 –1,299 –0,850 –0,849 –0,849 –0,849 –0,849 –0,528 –0,528 –0,528 –0,528 –0,528 –0,255 –0,255 –0,255 –0,255 –02,55 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 3,258 3,255 3,251 3,248 3,245 –2,676 –2,674 –2,672 –2,670 –2,668 –2,402 –2,400 –2,399 –2,397 –2,396 –2,008 –2,007 –2,006 –2,005 –2,004 –1,675 –1,675 –1,674 –1,674 –1,673 –1,298 –1,298 –1,298 –1,297 –1,297 –0,849 –0,849 –0,848 –0,848 –0,848 –0,528 –0,528 –0,528 –0,528 –0,527 –0,255 –0,255 –0,255 –0,255 –0,255 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 3,242 3,239 3,237 3,234 3,232 –2,667 –2,665 –2,663 –2,662 –2,660 –2,395 –2,394 –2,392 –2,391 –2,390 –2,003 –2,002 –2,002 –2,001 –2,000 –1,673 –1,672 –1,672 –1,671 –1,671 –1,297 –1,297 –1,296 –1,296 –1,296 –0,848 –0,848 –0,848 –0,848 –0,848 –0,527 –0,527 –0,527 –0,527 –0,527 –0,255 –0,255 –0,255 –0,254 –0,254 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 3,229 3,227 3,225 3,223 3,220 –2,659 –2,657 –2,656 –2,655 –2,654 –2,389 –2,388 –2,387 –2,386 –2,385 –2,000 –1,999 –1,998 –1,998 –1,997 –1,670 –1,670 –1,669 –1,669 –1,669 –1,296 –1,295 –1,295 –1,295 –1,295 –0,848 –0,847 –0,847 –0,847 –0,947 –0,527 –0,527 –0,527 –0,527 –0,527 –0,254 –0,254 –0,254 –0,254 –0,254 61 62 63 64 65 245 31 32 33 34 35 Matematika dan Stastistika 66 67 68 69 70 3,218 3,216 3,214 3,213 3,211 –2,652 –2,651 –2,650 –2,649 –2,648 –2,384 –2,383 –2,382 –2,382 –2,381 –1,997 –1,996 –1,995 –1,995 –1,994 –1,668 –1,668 –1,668 –1,667 –1,667 –1,295 –1,294 –1,294 –1,294 –1,294 –0,847 –0,847 –0,847 –0,847 –0,847 –0,527 –0,527 –0,527 –0,527 –0,527 –0,254 –0,254 –0,254 –0,254 –0,254 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 3,209 3,207 3,206 3,204 3,202 –2,647 –2,646 –2,645 –2,644 –2,643 –2,380 –2,379 –2,379 –2,378 –2,377 –1,994 –1,993 –1,993 –1,993 –1,992 –1,667 –1,666 –1,666 –1,666 –1,665 –1,294 –1,293 –1,293 –1,293 –1,293 –0,847 –0,847 –0,847 –0,847 –0,846 –0,527 –0,527 –0,527 –0,527 –0,527 –0,254 –0,254 –0,254 –0,254 –0,254 71 72 73 74 75 dk 76 77 78 79 80 0,001 3,201 3,199 3,198 3,197 3,195 0,005 –2,642 –2,641 –2,640 –2,640 –2,639 0,01 –2,376 –2,376 –2,375 –2,374 –2,374 0,025 –1,992 –1,991 –1,991 –1,990 –1,990 0,05 –1,665 –1,665 –1,665 –1,664 –1,664 0,10 –1,293 –1,293 –1,292 –1,292 –1,292 0,20 –0,846 –0,846 –0,846 –0,846 –0,846 0,30 –0,527 –0,527 –0,527 –0,527 –0,526 0,40 dk –0,254 76 –0,254 77 –0,254 78 –0,254 79 –0,254 80 81 82 83 84 85 3,194 3,193 3,191 3,190 3,189 –2,638 –2,637 –2,636 –2,636 –2,635 –2,373 –2,373 –2,372 –2,372 –2,371 –1,990 –1,989 –1,989 –1,989 –1,988 –1,664 –1,664 –1,663 –1,663 –1,663 –1,292 –1,292 –1,292 –1,292 –1,292 –0,846 –0,846 –0,846 –0,846 –0,846 –0,526 –0,526 –0,526 –0,526 –0,526 –0,254 –0,254 –0,254 –0,254 –0,254 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 3,188 3,187 3,185 3,184 3,183 –2,634 –2,634 –2,633 –2,632 –2,632 –2,370 –2,370 –2,369 –2,369 –2,368 –1,988 –1,988 –1,987 –1,987 –1,987 –1,663 –1,663 –1,662 –1,662 –1,662 –1,291 –1,291 –1,291 –1,291 –1,291 –0,846 –0,846 –0,846 –0,846 –0,846 –0,526 –0,526 –0,526 –0,526 –0,526 –0,254 –0,254 –0,254 –0,254 –0,254 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 3,182 3,181 3,180 3,179 3,178 –2,631 –2,630 –2,630 –2,629 –2,629 –2,368 –2,368 –2,367 –2,367 –2,366 –1,986 –1,986 –1,986 –1,986 –1,985 –1,662 –1,662 –1,661 –1,661 –1,661 –1,291 –1,291 –1,291 –1,291 –1,291 –0,846 –0,846 –0,846 –0,845 –0,845 –0,526 –0,526 –0,526 –0,526 –0,526 –0,254 –0,254 –0,254 –0,254 –0,254 91 92 93 94 95 96 97 98 3,177 –2,628 –2,366 –1,985 –1,661 –1,290 –0,845 –0,526 –0,254 96 3,176 –2,627 –2,365 –1,985 –1,661 –1,290 –0,845 –0,526 –0,254 97 3,175 –2,627 –2,365 –1,984 –1,661 –1,290 –0,845 –0,526 –0,254 98 246 Matematika dan Stastistika 99 100 3,175 –2,626 –2,365 –1,984 –1,660 –1,290 –0,845 –0,526 –0,254 99 3,174 –2,626 –2,364 –1,984 –1,660 –1,290 –0,845 –0,526 –0,254 100 3,090 –2,576 –2,326 –1,960 –1,645 –1,282 –0,842 –0,524 –0,253 dk 0,60 0,70 0,80 0,90 1 0,325 0,727 1,376 3,078 2 0,289 0,617 1,961 1,886 3 0,277 0,584 0,978 1,638 4 0,271 0,569 0,941 1,533 5 0,267 0,559 0,920 1,476 0,95 6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 6 7 8 9 10 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 0,265 0,263 0,262 0,261 0,260 0,553 0,549 0,546 0,543 0,542 0,906 0,896 0,889 0,883 0,879 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 0,975 0,99 0,995 0,999 dk 12,706 31,821 63,657 318,309 1 4,303 6,965 9,925 22,327 2 3,182 4,541 5,841 10,215 3 2,776 3,747 4,604 7,173 4 2,571 3,365 4,032 5,893 5 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 3,707 3,499 3.355 3,250 3,169 5,208 6 4,785 7 4,501 8 4,297 9 4,144 10 0,260 0,259 0,259 0,258 0,258 0,540 0,539 0,538 0,537 0,536 0,876 0,873 0,870 0,868 0,866 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 4,025 3,930 3,852 3,787 3,733 11 12 13 14 15 0,258 0,257 0,257 0,257 0,257 0,535 0,534 0,534 0,533 0,533 0,865 0,863 0,862 0,861 0,860 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 3,686 3,646 3,610 3,579 3,552 16 17 18 19 20 0,257 0,256 0,256 0,256 0,256 0,532 0,532 0,532 0,531 0,531 0,859 0,858 0,858 0,857 0,856 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 3,527 3,505 3,485 3,467 3,450 21 22 23 24 25 0,256 0,256 0,256 0,256 0,256 0,531 0,531 0,530 0,530 0,530 0,856 0,855 0,855 0,854 0,854 1,315 1,314 1,313 1,311 1,310 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042 2,479 2,473 2,467 2,462 2,457 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750 3,435 3,421 3,408 3,396 3,385 26 27 28 29 30 247 Matematika dan Stastistika 0,256 0,255 0,255 0,255 0,255 0,530 0,530 0,530 0,529 0,529 0,853 0,853 0,853 0,852 0,852 1,309 1,309 1,308 1,307 1,306 1,696 1,694 1,692 1,691 1,690 2,040 2,037 2,035 2,032 2,030 2,453 2,449 2,445 2,441 2,438 2,744 2,738 2,733 2,728 2,724 3,375 3,365 3,356 3,348 3,340 31 32 33 34 35 0,255 0,255 0,255 0,255 0,255 0,529 0,529 0,529 0,529 0,529 0,852 0,851 0,851 0,851 0,851 1,306 1,305 1,304 1,304 1,303 1,688 1,687 1,686 1,685 1,684 2,028 2,026 2,024 2,023 2,021 2,434 2,431 2,429 2,426 2,423 2,719 2,715 2,712 2,708 2,704 3,333 3,326 3,319 3,313 3,307 36 37 38 39 40 dk 0,60 0,255 0,255 0,255 0,255 0,255 0,70 0,529 0,528 0,528 0,528 0,528 0,80 0,850 0,850 0,850 0,850 0,850 0,90 1,303 1,302 1,302 1,301 1,301 0,95 1,683 1,682 1,681 1,680 1,679 0,975 0,99 2,020 2,421 2,018 2,418 2,017 2,416 2,015 2,414 2,014 2,412 0,995 2,701 2,698 2,695 2,692 2,690 0,999 dk 3,301 41 3,296 42 3,291 43 3,286 44 3,281 45 0,255 0,255 0,255 0,255 0,255 0,528 0,528 0,528 0,528 0,528 0,850 0,849 0,849 0,849 0,849 1,300 1,300 1,299 1,299 1,299 1,679 1,678 1,677 1,677 1,676 2,013 2,012 2,011 2,010 2,009 2,410 2,408 2,407 2,405 2,403 2,687 2,685 2,682 2,680 2,678 3,277 3,273 3,269 3,265 3,261 46 47 48 49 50 0,255 0,255 0,255 0,255 0,255 0,528 0,528 0,528 0,528 0,527 0,849 0,849 0,848 0,848 0,848 1,298 1,298 1,298 1,297 1,297 1,675 1,675 1,674 1,674 1,673 2,008 2,007 2,006 2,005 2,004 2,402 2,400 2,399 2,397 2,396 2,676 2,674 2,672 2,670 2,668 3,258 3,255 3,251 3,248 3,245 51 52 53 54 55 0,255 0,255 0,255 0,254 0,254 0,527 0,527 0,527 0,527 0,527 0,848 0,848 0,848 0,848 0,848 1,297 1,297 1,296 1,296 1,296 1,673 1,672 1,672 1,671 1,671 2,003 2,002 2,002 2,001 2,000 2,395 2,394 2,392 2,391 2,390 2,667 2,665 2,663 2,662 2,660 3,242 3,239 3,237 3,234 3,232 56 57 58 59 60 0,254 0,254 0,254 0,254 0,254 0,527 0,527 0,527 0,527 0,527 0,848 0,847 0,847 0,847 0,847 1,296 1,295 1,295 1,295 1,295 1,670 1,670 1,669 1,669 1,669 2,000 1,999 1,998 1,998 1,997 2,389 2,388 2,387 2,386 2,385 2,659 2,657 2,656 2,655 2,654 3,229 3,227 3,225 3,223 3,220 61 62 63 64 65 248 Matematika dan Stastistika 0,254 0,254 0,254 0,254 0,254 0,527 0,527 0,527 0,527 0,527 0,847 0,847 0,847 0,847 0,847 1,295 1,294 1,294 1,294 1,294 1,668 1,668 1,668 1,667 1,667 1,997 1,996 1,995 1,995 1,994 2,384 2,383 2,382 2,382 2,381 2,652 2,651 2,650 2,649 2,648 3,218 3,216 3,214 3,213 3,211 66 67 68 69 70 0,254 0,254 0,254 0,254 0,254 0,527 0,527 0,527 0,527 0,527 0,847 0,847 0,847 0,847 0,846 1,294 1,293 1,293 1,293 1,293 1,667 1,666 1,666 1,666 1,665 1,994 1,993 1,993 1,993 1,992 2,380 2,379 2,379 2,378 2,377 2,647 2,646 2,645 2,644 2,643 3,209 3,207 3,206 3,204 3,202 71 72 73 74 75 0,254 0,254 0,254 0,254 0,254 0,527 0,527 0,527 0,527 0,526 0,846 0,846 0,846 0,846 0,846 1,293 1,293 1,292 1,292 1,292 1,665 1,665 1,665 1,664 1,664 1,992 1,991 1,991 1,990 1,990 2,376 2,376 2,375 2,374 2,374 2,642 2,641 2,640 2,640 2,639 3,201 3,199 3,198 3,197 3,195 76 77 78 79 80 dk 0,60 0,254 0,254 0,254 0,254 0,254 0,70 0,526 0,526 0,526 0,526 0,526 0,80 0,846 0,846 0,846 0,846 0,846 0,90 1,292 1,292 1,292 1,292 1,292 0,95 1,664 1,664 1,663 1,663 1,663 0,975 1,990 1,989 1,989 1,989 1,988 0,99 2,373 2,373 2,372 2,372 2,371 0,995 2,638 2,637 2,636 2,636 2,635 0,999 3,194 3,193 3,191 3,190 3,189 dk 81 82 83 84 85 0,254 0,254 0,254 0,254 0,254 0,526 0,526 0,526 0,526 0,526 0,846 0,846 0,846 0,846 0,846 1,291 1,291 1,291 1,291 1,291 1,663 1,663 1,662 1,662 1,662 1,988 1,988 1,987 1,987 1,987 2,370 2,370 2,369 2,369 2,368 2,634 2,634 2,633 2,632 2,632 3,188 3,187 3,185 3,184 3,183 86 87 88 89 90 1,986 1,986 1,986 1,986 1,985 1,985 1,985 1,984 1,984 1,984 1,960 2,368 2,631 2,368 2,630 2,367 2,630 2,367 2,629 2,366 2,629 2,366 2,628 2,365 2,627 2,365 2,627 2,365 2,626 2,364 2,626 2,326 2,576 0,254 0,526 0,846 1,291 1,662 0,254 0,526 0,846 1,291 1,662 0,254 0,526 0,846 1,291 1,661 0,254 0,526 0,845 1,291 1,661 0,254 0,526 0,845 1,291 1,661 0,254 0,526 0,845 1,290 1,661 0,254 0,526 0,845 1,290 1,661 0,254 0,526 0,845 1,290 1,661 0,254 0,526 0,845 1,290 1,660 0,254 0,526 0,845 1,290 1,660 0,253 0,524 0,842 1,282 1,645 249 3,182 91 3,181 92 3,180 93 3,179 94 3,178 95 3,177 96 3,176 97 3,175 98 3,175 99 3,174 100 3,090 ∞ Matematika dan Stastistika Lampiran 2 Tabel 2 Distribusi F 250 Matematika dan Stastistika 251 Matematika dan Stastistika BAB IX STATISTIKA NON-PARAMETRIK Rudy Hartono PENDAHULUAN Setiap bahasan metode mengkombinasikan konsep, prosedur, contoh-contoh soal, latihan-latihan soal, maupun jawaban latihan soal. Tujuannya adalah agar memudahkan pembaca memahami konsep, membiasakan diri dengan prosedur dan formula metode statistik non-parametrik, maupun melihat persoalan-persoalan yang bias dipecahkan dengan metode-metode itu. Latihan soal beserta jawabannya memungkinkan mahasiswa untuk dapat belajar sendiri. Setelah kita mempelajari Bab VIII, banyak manfaat statistik parametrik yang dapat diaplikasikan dalam segala bidang, utamanya di bidang farmasi. Aplikasi di bidang statistiknon-parametrik. Bagaimana menyederhanakan data farmasi, sehingga lebih mudah untuk dipahami dan mengerti utamanya buat pengambilan keputusan akan lebih mudah dengan mempelajari tentang statistik deskriptif. Setelah mempelajari bab ini mahasiswa akan dapat : 1. Menjelaskan definisi statistik non-parametrik 2. menjelaskan syarat-syarat penggunaan statistik non-parametrik 3. kelebihan dan kekurangan statistik nonparametrik 4. menganalisis dan menarik kesimpulan menggunakan uji wilcoxon, Mc Nemar dan Mann Whitney 5. menganalisis dan menarik kesimpulan menggunakan korelasi spearman. 6. Menganalisis dan menarik kesimpulan menggunakan uji chi square 252 Matematika dan Stastistika Topik 1 Konsep Dasar Statistika Non-Parametrik DEFINISI STATISTIK NON-PARAMETRIK Statistik inferensial merupakan alat untuk merancang penelitian, menganalisis data, dan menarik kesimpulan tentang populasi dari data sampel. Namun sebelum melakukan proses generalisasi tersebut, kita perlu mengetahui sifat-sifat data sampel itu sendiri. Statistik deskriptif berfungsi mengembangkan indikator dan ukuran yang dapat menggambarkan karakteristik data yang telah dikumpulkan dan ditabulasi. Ukuran statistik yang lazim dipakai untuk menggambarkan data penelitian dan survei ialah ukuran tendensi sentral, ukuran dispersi, ukuran fraktil, ukuran hubungan (dalam hal ini korelasi) dan lainlain. Statistik inferensial berdasarkan ruang lingkupnya terdiri atas statistik parameterik dan statistik non-parametrik. Statistik parametrik telah dibahas pada Bab 7 sebelumnya. Statistik non parametrik adalah statistik yang tidak menggunakan asumsi distribusi normal sehingga lebih mudah dalam menyelesaikannya serta data dari variabel yang diukur adalah data kualitatif (nominal atau ordinal) atau biasa disebut juga dengan statistik bebas distribusi (free distribution). 1. Istilah - Istilah Konsep dan metode tentang statistik yang diterapkan ke dalam ilmu biologi, farmasi, kesehatan, dan kedokteran bidang ilmu tersebut merupakan bagian dari Biostatistik. Observasi yang biasa juga disebut dengan pengamatan adalah suatu peristiwa yang disertai dengan pengukuran atau perhitungannya, contohnya dosis obat paracetamol adalah suatu peristiwa atau kejadian dan 500 mg adalah pengukuran. Unit observasi yang juga disebut unit pengamatan merupakan sumber pengamatan, contohnya orang atau obyek. Istilah yang lebih khas adalah individu atau subyek. Populasi merupakan sekumpulan subyek yang hendak diketahui karakteristiknya atau keseluruhan dari subyek ataupun elemen penelitian lainnya (contohnya benda dan pengukuran-pengukurannya). Definisi populasi harus jelas dan ketat, sehingga mudah untuk menghitung atau mengukurnya, contohnya semua balita di Kota Makassar, semua lanjut usia yang berumur 60 – 70 tahun, semua wanita usia subur yang belum menikah, semua penderita psikosomatik, dan semua dokter Pegawai Tidak tetap (PTT) di Sulawesi Selatan. Populasi statistik dapat juga berupa panjang badan, kadar vitamin A dalam serum, pembacaan hasil titrasi, jumlah sel eritrosit dalam darah manusia, dan lain sebagainya. Populasi terdiri atas 2 yaitu pertama populasi yang dapat dihitung (finite) dan kedua populasi yang tidak terhitung dan tak terbatas (infinite). 253 Matematika dan Stastistika Unit sampel adalah setiap anggota populasi. Sampel merupakan sebagian dari populasi yang mempunyai karakteristik yang sama atau kelompok dari unit-unit sampel. Misalnya kita mempunyai populasi terdiri atas orang yang resinten terhadap antibiotik di Indonesia. Jika data yang digunakan untuk menganalisis hanya orang di 5 propinsi di Indonesia, berarti kita hanya memiliki sebagian dari orang yang resisten terhadap antibiotik pada popualsi, dan disebut dengan sampel. Beberapa teknik dalam mengambil sampel dari suatu populasi, cara, teknik atau metode ini disebut sampling (pencuplikan). Tujuan dari sampling adalah supaya didapatkan suatu sampel yang mewakili (representatif) tentang ciri khas populasi dimana variabel-variabelnya akan dikumpulkan datanya. Data merupakan suatu set nilai yang dicatat dari sebuah atau lebih unit pengamatan. Di sisi lain data adalah kumpulan dari beberapa fakta. Variabel merupakan suatu konsep atau fenomena alam yang mempunyai variasi nilai. Misalnya variabel kadar parasetamol dalam 1 sendok teh dalam bentuk sirup, umur pasien yang mengunjungi apotik di suatu rumah sakit, dan usia balita yang mengunjungi dokter spesialis anak di Makassar. Parameter merupakan suatu ukuran yang digunakan untuk menggambarkan karakteristik atau hubungan antar variabel populasi, contohnya rata-rata, varians, simpangan baku, dan proporsi. Misalnya rata-rata lama waktu tunggu pasien untuk mengambil obat, atau angka kelahiran, angka kesakitan dan angka kematian. Istilah parameter yang digunakan selalu berhubungan dengan populasi dan sering dirancukan dengan istilah statistik yang mengarah ke sampel. Peluang atau disebut juga dengan probabilitas adalah frekuensi relatif atau rata-rata peluang terjadinya suatu peristiwa yang dapat diharapkan secara rata-rata atau dalam jangka panjang. Misalnya : peluang untuk sembuh setelah berobat dengan teknologi tinggi, peluang interaksi penggunaan beberapa obat pada satu kali minum, peluang kegagalan pengobatan jika menggunakan obat-obat yang belum terstandarisasi. Peluang dinyatakan dalam bentuk angka, mulai dari 0 hingga 1. Contohnya, probabilitas untuk memperoleh bayi laki-laki adalah sekali dalam 10 kehamilan atau 1/10, probabilitas memperoleh siswa yang mempunyai Intelectual Questions (IQ) 200 adalah 1 dari 50 anak atau 1/50. Nilai Sentral tendensi adalah ukuran pusat tendensi yang menggunakan kecenderungan nilai-nilai pengamatan memusat pada suatu titik. Ukuran tendensi sentral yaitu mean, median dan modus. Ketiga nilai sentral tendensi tersbut adalah yang terpenting. Modus merupakan nilai atau angka yang mempunyai frekuensi kemunculan yang tersering atau terbanyak. Mean merupakan rerata aritmatik yang bisa diperoleh dengan menambahkan seluruh nilai dalam sampel dan membaginya dengan seluruh sampel. Median merupakan nilai atau angka yang berada di tengah suatu set data yang telah diurutkan (array). Contoh dapat dilihat kembali pada Bab 7 yang telah dibahas sebelumnya. Ukuran dispersi atau disebut juga ukuran penyebaran yang menggambarkan sejauh mana nilai-nilai pengamatan menyebar dari rerata aritmatiknya. Ukuran dispersi yang penting adalah simpangan baku dan kuadrat dari simpangan baku yang disebut varians. 254 Matematika dan Stastistika Semakin besar nilai simpangan baku menunjukkan bahwa makin lebar penyebaran dari nilainilai observasi. Statistik non-parametrik yaitu statistik bebas sebaran (tidak mensyaratkan bentuk sebaran parameter populasi, baik normal atau tidak). Selain itu, statistik non-parametrik biasanya menggunakan data kualitatif, yakni nominal dan ordinal. 2. Model Matematik Penggunaan model matematik tertentu selalu menyangkut sifat populasi dan cara mengambil sampel pada populasi. Setiap uji statistik yang menggunakan suatu uji statistik baru bisa dikatakan valid (sahih) jika ada 2 asumsi berikut ini yang dipenuhi sebagai berikut : a. Asumsi model matematik uji b. Teknik pengukuran variabel Semakin kuat asumsi yang mendasari suatu uji, makin sempit generalisasi penerapannya, semakin kecil kemungkinan kesalahan inferensi, dan semakin besar kuasa statistik ujinya. Kebalikannya, semakin sedikit asumsi mendasari suatu uji semakin luas generalisasi penerapannya, semakin besar kemungkinan kesalahan inferensi dan semakin kecil kuasa statistik uji tersebut. Uji parametrik, contohnya uji t dan F, menggunakan sejumlah asumsi yang kuat. Jika semua asumsi bisa dipenuhi , uji t atau uji F mempunyai kuasa yang lebih besar dari pada uji non parametric yang penggunaannya sama. Istilah lain adalah lebih mampu untuk menolak Ho, ketika Ho memang salah dari pada uji non parametric yang menggunakan asumsi lebih sedikit. Supaya penggunaan uji t memiliki kuasa yang besar, paling tidak kondisi-kondisi di bawah ini perlu dipenuhi : a. Pengamatan dilakukan independen, artinya nilai satu pengamatan tidak boleh mempengaruhi nilai pengamatan lainnya. b. Sampel berasal dari populasi yang mempunyai distribusi normal c. Dalam analisis dua kelompok, populasi-populasi asal kedua kelompok memiliki varians yang sama, atau sedikitnya rasio varians keduanya diketahui d. Variabel diukur minimal dalam skala interval. Jika data yang akan dianalisis memenuhi asumsi di atas, penggunaan uji statistic parametric, misalnya uji t dan uji F tersebut di atas, adalah pilihan utama, sebab mempunyai kuasa yang lebih besar dari pada uji non parametric. Selanjutnya apa yang dapat dilakukan jika situasi tersebut tidak dapat dipenuhi. Bagaimana jika populasi tidak berdistribusi normal? Bagaimana jika variabel tidak diukur dalam skala interval? Dan bagaimana jika varians populasi tidak sama, saat akan dibandingkan sejumlah kelompok? Secara empiris menunjukkan bahwa sebagian data riset mengandung sedikit penyimpangan asumsi, tanpa memberikan perbedaan pengaruh terhadap keputusan statistik. Sampai saat ini belum adanya standar baku tentang kapan penyimpangan asumsi bisa dikatakan “sedikit” sehingga “boleh tidak terpenuhi” dan kapan dikatakan “banyak” sehingga “hasil analisis tidak valid”. Situasi saat ini uji statistik non paramterik mempunyai 255 Matematika dan Stastistika peran penting sebagai uji alternatif yang setara. Uji statistic non parametric dapat memiliki kuasa statistik yang sebanding dengan uji parametric, asalkan besar sampel cukup besar. 3. Variabel dan Skala Pengukuran Seperti telah diketahui sebelumnya bahwa variabel adalah suatu konsep atau fenomena alam yang mempunyai variasi nilai. Di mana variasi nilai tersebut dapat diukur baik secara kualitatif maupun kuantitatif. Berdasarkan metode riset dengan rancangan eksperimen murni, variasi nilai dapat dimanipulasi menurut keperluan penelitian. Observasi dan pengukuran variabel akan menghasilkan data. Misalnya suatu penelitian melihat pengaruh kontrasepsi oral terhadap tekanan darah sistolik. Pada penelitian ini kontrasepsi oral merupakan suatu variabel yang secara kualitatif dapat diamati dan akan menghasilkan data kategoarikal yaitu menggunakan kontrasepsi oral dan tidak menggunakan kontrasepsi oral. Cara klasifikasi variabel akan sangat penting dalam pembagian menurut tingkat pengukuran. Berdasarkan teknik ini variabel diklasifikasikan menjadi: variabel nominal, ordinal, interval dan rasio. Variabel nominal tidak lain adalah kategori yang diberi nama. Kategori tersebut dapat diurutkan maupun diberi peringkat. Tidak dapat dibedakan apakah kategori yang satu mempunyai tingkat yang lebih tinggi dengan kategori yang lain. Misalnya : seks, suku, bangsa, negara, nama, alamat, warna, suku dan lain sebagainya. Variabel ordinal merupakan kategori yang dapat diurutkan atau diberi peringkat. Sudah dapat dibedakan antara kategori satu dengan kategori lainnya, tetapi tidak dapat diketahui besarnya perbedaan tersebut. Misalnya peringkat kelas (peringkat I, II, II dan seterusnya), nilai prestasi mahasiswa (A, B, C, D dan E), skala sikap (sangat setuju, setuju, kurang setuju, tidak setuju, sangat tidak setuju). Variabel interval adalah variabel yang perbedaan antara nilai pengamatan yang satu dengan lainnya dapat diketahui dengan pasti dan merupakan bentuk angka/bilangan, mempunyai nilai nol tidak mutlak/absolut. Misalnya suhu dalam derajat Celsius, pendapatan, pengeluaran, dan lain sebagainya. Variabel rasio merupakan bagian dari variabel interval tetapi mempunyai nilai nol yang mutlak/absolut. Contohnya tinggi badan, berat badan, luas, waktu. Sebagaimana variabel rasio tinggi badan si Alif 195 cm tidak hanya boleh dikatakan berselisih 65 cm dengan tinggi badan si Andi 130 cm, tetapi dapat juga dibuat kesimpulan bahwa tinggi si Alif adalah 1,5 kali tinggi badan si Andi. 4. a. b. c. d. Syarat Penggunaan Statistik Non-Parametrik Statistik non-parametrik dapat digunakan jika memenuhi syarat sebagai berikut : Data tidak berdistribusi normal Umumnya data berskala nominal dan ordinal biasanya pada penelitian kesehatan atau kedokteran/farmasi Umumnya jumlah sampel kecil 256 Matematika dan Stastistika Kelebihan dan kekurangan statistik non-parametrik Kelebihan: a. Tidak membutuhkan asumsi normalitas. b. Secara umum metode statistik non-parametrik lebih mudah dikerjakan dan lebih mudah dimengerti jika dibandingkan dengan statistik parametrik karena statistika nonparametrik tidak membutuhkan perhitungan matematik yang rumit seperti halnya statistik parametrik. c. Statistik non-parametrik dapat digantikan data numerik (nominal) dengan jenjang (ordinal). d. Kadang-kadang pada statistik non-parametrik tidak dibutuhkan urutan atau jenjang secara formal karena sering dijumpai hasil pengamatan yang dinyatakan dalam data kualitatif. e. Pengujian hipotesis pada statistik non-parametrik dilakukan secara langsung pada pengamatan yang nyata. f. Walaupun pada statistik non-parametrik tidak terikat pada distribusi normal populasi, tetapi dapat digunakan pada populasi berdistribusi normal. Kekurangan : a. Statistik non-parametrik terkadang mengabaikan beberapa informasi tertentu. b. Hasil pengujian hipotesis dengan statistik non-parametrik tidak setajam statistik parametrik. c. Hasil statistik non-parametrik tidak dapat diekstrapolasikan ke populasi studi seperti pada statistik parametrik. Hal ini dikarenakan statistik non-parametrik mendekati eksperimen dengan sampel kecil dan umumnya membandingkan dua kelompok tertentu. d. Meski konsep dan prosedur non-parametrik sederhana, tetapi pekerjaan hitungmenghitung bisa membutuhkan banyak waktu jika ukuran sampel yang dianalisis besar Latihan 1) Metode analisis data yang tidak memerlukan asumsi distribusi normal disebut dengan statistik .... A. parametrik B. non parametrik C. inferensial D. deskriptif 2) Jika untuk menguji hipotesis tetapi variabel yang diukur menghasilkan data kualitatif maka selayaknya digunakan statistik .... A. inferensial B. non parametrik C. parametrik D. deskriptif 257 Matematika dan Stastistika 3) Ukuran statistik yang sering digunakan untuk menggambarkan data penelitian dan survey, kecuali .... A. Tendensi sentral B. Fraktil C. Dispersi D. Adiksi 4) Statistik deskriptif berfungsi menggambarkan karakteristik data yang telah dikumpulkan dan ditabulasi untuk mengembangkan .... A. indikator B. presisi C. prevalensi D. prediksi 5) Konsep maupun metode tentang statistik yang diterapkan ke dalam ilmu biologi, farmasi, kesehatan, dan kedokteran bidang ilmu tersebut merupakan bagian dari .... A. biostatistik B. biografi C. biosains D. bioteknologi 6) Dosis obat natrium diklofenak adalah suatu peristiwa dan 25 mg adalah pengukuran, contoh tersebut merupakan .... A. observasi B. konsep C. fenomena D. kategori 7) Individu atau obyek adalah unit .... A. konsep B. observasi C. kategori D. fenomena 8) Sekumpulan subyek yang hendak diketahui karakteristiknya disebut dengan .... A. sampel B. populasi C. sampling D. sub populasi 258 Matematika dan Stastistika 9) Populasi yang jumlahnya tidak terhitung dan tak terbatas disebut dengan .... A. infinite B. future C. finite D. infuture 10) Semua penderita HIV/AIDS di dunia, merupakan populasi .... A. finite B. infinite C. constan D. constanta Ringkasan Statistik non parametrik adalah statistik yang tidak menggunakan asumsi distribusi normal sehingga lebih mudah dalam menyelesaikannya serta data dari variabel yang diukur adalah data kualitatif (nominal atau ordinal) atau biasa disebut juga dengan statistik bebas distribusi (free distribution). Populasi merupakan sekumpulan subyek yang hendak diketahui karakteristiknya atau keseluruhan dari subyek ataupun elemen penelitian lainnya (contohnya benda dan pengukuran-pengukurannya). Unit sampel adalah setiap anggota populasi. Sampel merupakan sebagian dari populasi yang mempunyai karakteristik yang sama atau kelompok dari unit-unit sampel. Variabel merupakan suatu konsep atau fenomena alam yang mempunyai variasi nilai. Parameter merupakan suatu ukuran yang digunakan untuk menggambarkan karakteristik atau hubungan antar variabel populasi. Statistik non-parametrik dapat digunakan jika memenuhi syarat sebagai berikut : 1. Data tidak berdistribusi normal 2. Umumnya data berskala nominal dan atau ordinal 3. biasanya pada penelitian kesehatan atau kedokteran/farmasi 4. Umumnya jumlah sampel kecil Tes 1 1) Tujuan dari sampling adalah agar didapatkan tentang ciri khas populasi di mana variabel-variabelnya akan dikumpulkan datanya pada suatu sampel yang .... A. representatif B. prediktif C. konstruktif D. fakultatif 259 Matematika dan Stastistika 2) Suatu set nilai yang dicatat dari sebuah atau lebih unit pengamatan disebut .... A. fakta B. informasi C. data D. isu 3) Rata-rata lama waktu tunggu pasien untuk mengambil obat merupakan contoh dari .... A. peluang B. parameter C. variabel D. indikator 4) Statistik pada akhirnya membuat kesimpulan mengarah ke sampel, sedangkan yang mengarah ke populasi adalah .... A. indikator B. probabilitas C. variabel D. parameter 5) Frekuensi relatif peluang terjadinya suatu peristiwa yang dapat diharapkan secara ratarata atau dalam jangka panjang disebut .... A. probabilitas B. matematik C. exactly D. inferensial 6) Yang termasuk dalam nilai sentral tendensi di bawah ini adalah .... A. range B. simpangan baku C. modus D. varians 7) Tidak termasuk dalam nilai penyebaran di bawah ini adalah .... A. mean B. standar error C. median D. modus 8) Setiap uji statistik yang menggunakan suatu uji statistik baru bisa dikatakan valid (sahih) jika dipenuhi oleh, kecuali .... A. asumsi model matematik uji 260 Matematika dan Stastistika B. C. D. teknik peningkatan variabel hipotesis parameter 9) Data kuantitatif pada suatu variabel tetapi tidak mempunyai distribusi yang normal, maka untuk menguji hipotesis harus menggunakan statistik .... A. inferensial B. parametrik C. non parametrik D. deskriptif 10) Mendekati eksperimen dengan sampel kecil dan umumnya membandingkan dua kelompok tertentu, maka hasil statistik non-parametrik tidak dapat di .... A. ekstrapolasi B. polarisasi C. ekstradisi D. tradisi 261 Matematika dan Stastistika Topik 2 Aplikasi Statistik Non Parametrik Aplikasi penggunaan statistik non parametrik setelah mempelajari konsep dasarnya sebagai berikut yaitu Uji Wilcoxon, Uji Mc Nemar, Uji Mann Whitney, Korelasi Spearman dan Uji Chi Square. A. UJI WILCOXON Uji Wilcoxon terdiri atas tiga macam yaitu uji jenjang bertanda Wilcoxon, uji jumlah jenjang Wilcoxon dan uji jumlah jenjang berstrata Wilcoxon. 1. Uji Jenjang Bertanda Wilcoxon (Wilcoxon’s Signed Rank Test). Uji ini ditemukan oleh Frank Wilcoxon pada tahun 1945. Uji ini disebut pula sebagai uji pasangan bertanda Wilcoxon (Wilcoxon’s Pairs Sign Rank Test). Uji jenjang bertanda Wicoxon merupakan pengembangan dari uji tanda. Di samping tanda + atau – perbedaan pada uji ini juga memperhatikan nilai beda. Persyaratan datanya sama dengan uji tanda. Cara analisis uji jenjang bertanda Wilcoxon adalah sebagai berikut : a. Berikan jenjang (rank) untuk tiap Y X dari terkecil ke terbesar tanpa memperhatikan tanda beda. Bila ada dua atau lebih nilai Y X sama besarnya, maka jenjang untuk tiap-tiap Y X adalah jenjang rata-ratanya. b. c. Beri tanda + atau – pada tiap-tiap jenjang dan beda 0 tidak diperhatikan. Jumlahkan T semua jenjang bertanda + dan -. d. Jumlah jenjang T yang terkecil bandingkan dengan T n . H 0 ditolak bila : Thit T n . Contoh : Pengaruh penyuluhan terhadap sanitasi pasar yang telah diuji dengan uji tanda tersebut di atas akan diuji dengan uji jenjang bertanda Wilcoxon. Penjual A B C D E F G H I Penyuluhan Sebelum X Sesudah Y 23 40 35 24 17 32 27 32 25 21 48 45 22 19 37 29 38 24 Beda Y X -2 +8 +10 -2 +2 +5 +2 +6 -1 262 Rank Y X 5 9 10 4 3 6 2 7 1 3.5 9 10 3.5 3.5 6 3.5 7.5 1 + 3.5 9 10 3.5 3.5 6 3.5 7.5 1 Matematika dan Stastistika Penjual Penyuluhan Sebelum X Sesudah Y J K 30 41 Beda Rank Y X 36 30 +6 -11 Y X 8 11 7.5 11 + 7.5 47 T - 11 19 T 19 T0,0511 11 H 0 diterima, jadi penyuluhan tidak memperbaiki sanitasi pasar. Berikut out put SPSS dari data di atas : Descriptive Statistics PRE POST N Mean Std. Deviation Minimum Maximum 11 11 29.6364 31.7273 7.35218 9.83962 17.00 19.00 41.00 48.00 Wilcoxon Signed Ranks Test Ranks N Mean Rank POST - PRE Negative Ranks Positive Ranks Ties Total Sum of Ranks 4(a) 4.75 19.00 7(b) 6.71 47.00 0(c) 11 a POST < PRE b POST > PRE c POST = PRE Test Statistics(b) POST - PRE Z -1.252(a) Asymp. Sig. (2-tailed) .211 a. Based on negative ranks. b. Wilcoxon Signed Ranks Test Bila n 25 , maka perhitungannya dengan uji Z yaitu: n(n 1)(2n 1) T 24 263 Matematika dan Stastistika T Zhit n(n 1) 4 T T T H 0 diterima bila : Zhit Z 1 1 2 2 2. Uji Jumlah Jenjang Wilcoxon(Wilcoxon’s Rank Sum Test) Uji jumlah jenjang bertanda Wilcoxon dipergunakan untuk membandingkan perbedaan antara dua sampel bebas. Uji ini mirip dengan uji t untuk dua sampel bebas. Langkah-langkah analisisnya sebagai berikut : a. Gabungkan kedua sampel dan berikan jenjang tiap tiap anggotanya dari yang terkecil ke terbesar. Bila ada dua atau lebih nilai yang sama besarnya berikan jenjang rataratanya. b. Jumlahkan masing-masing cuplikan misalnya T1 dan T2 c. d. Nilai T yang terkecil bandingkan dengan T n1 ,n2 Kriteria pengambilan keputusan adalah : H 0 ditolak bila T T n1 ,n2 Contoh : Data berikut ini adalah nilai tarik suara darma wanita FK dan FKG masing-masing sebanyak 10 orang. Buktikan apakah terdapat perbedaan kualitas suara tersebut 0,05 . Nama Nilai peserta FK A 16 B 12 C 18 D 19 E 14 F 13 G 18 H 19 I 15 J 10 Rank Nama peserta FKG 7 7.5 K 2 2 L 10 10 M 12 13.5 N 4 4 O 3 3 P 9 10 Q 13 13.5 R 5 5.5 S 1 1 T T1 70 Nilai Rank 16 15 19 23 25 21 26 20 18 19 8 7.5 6 5.5 14 13.5 18 18 19 19 17 17 20 20 16 16 11 10 15 13.5 T2 140 T1 70 dan T0,0510,10 78 , maka H 0 ditolak, jadi kualitas suara tersebut berbeda nyata. Apabila n1 atau n2 atau keduanya > 20, maka analisisnya dengan uji Z. 264 Matematika dan Stastistika Zhit n(n1 n2 1) 2T n1n2 (n1 n2 1) 3 Di mana : N = jumlah sampel dengan jumlah jenjang terkecil ( T ) T = jumlah jenjang terkecil n1 = jumlah sampel 1 n2 = jumlah sampel 2 H 0 diterima bila Zhit Z 1 1 2 2 kualitas suara kelompok paduan suara FK paduan suara FKG Total Ranks N 10 10 20 Mean Rank 7.00 14.00 Sum of Ranks 70.00 140.00 Test Statistics(b) kualitas suara 15.000 70.000 -2.662 .008 Mann-Whitney U Wilcoxon W Z Asymp. Sig. (2-tailed) Exact Sig. [2*(1-tailed Sig.)] a Not corrected for ties. b Grouping Variable: kelompok .007(a) 3. Uji Jumlah Jenjang Berstrata Wilcoxon (Wilcoxon’s Stratified Rank Sum Test) Uji ini dipergunakan untuk membandingkan dua perlakuan pada beberapa kelompok / strata dan jumlah sampel n pada tiap-tiap kelompok itu sama. Kalau dibandingkan dengan uji statistika parametrik, uji jumlah jenjang berstrata Wilcoxon mirip uji F pada rancangan acak kelompok. Langkah-langkah analisisnya mirip dengan uji jumlah bertanda Wilcoxon. Perbedaannya, bahwa pemberian jenjang dilakukan pada tiap-tiap strata secara terpisah. Selanjutnya jenjang untuk tiap-tiap perlakuan dijumlahkan. Jumlah jenjang yang terkecil T dibandingkan dengan T g ,n 265 Matematika dan Stastistika Kriteria penarikan keputusan adalah : H 0 ditolak bila T T g ,n g = jumlah strata n = jumlah sampel tiap-tiap strata. Contoh : Data berikut ini adalah nilai libido dua kelompok penderita impotensia yang berbadan gemuk dan kurus setelah disuntik hormon testoteron buatan pabrik A dan B. Buktikan apakah kualitas testoteron buatan pabrik A dan B tersebut berbeda 0,01 Berat Badan Gemuk Kurus Hormon Testoteron Pabrik A Pabrik B (Nilai) (Rank) (Nilai) (Rank) 14 1 26 10 19 5,5 25 9 18 3,5 21 8 19 5,5 20 7 15 2 18 3.5 18 7 19 8,5 12 2 16 5,5 10 1 15 4 13 3 23 10 16 5,5 19 8,5 T2 74 T1 36 T 36 T0,012,5 38 , maka H 0 ditolak berarti kualitas testoteron buatan pabrik A dan B tersebut berbeda nyata. Untuk membuktikan perbedaan libido antara penderita gemuk dengan kurus yang disuntik hormon testoteron A dan B cukup dengan uji jumlah jenjang Wilcoxon. B. UJI MC NEMAR Uji Mc Nemar merupakan uji perbandingan dua variabel yang berpasangan atau variabel – variabel yang memenuhi rancangan penelitian before – after. Kedua variabel itu harus berskala nominal dan dikotomi, misalnya setuju – tidak setuju, mati – hidup, dan sebagainya. Pada buku-buku tertentu maka uji ini disebut uji simetri yang bertujuan membuktikan hipotesis probabilitas “setuju” sebelum perlakuan sama dengan sesudah perlakuan : P setuju sebelum P setuju sesudah 266 Matematika dan Stastistika Model ini didasarkan pada kenyataan bahwa ada beberapa kasus yang mengalami perubahan “ tanggap “ setelah diberi suatu perlakuan. Untuk keperluan ini maka kita akan menghitung setiap perubahan sikap pada setiap kasus artinya kita akan menghitung : 1. Berapa orang yang asalnya setuju menjadi tak setuju 2. Berapa orang yang asalnya setuju tetap setuju 3. Berapa orang yang asalnya tak setuju menjadi setuju 4. Berapa orang yang asalnya tak setuju tetap tak setuju Angka-angka itu kita masukkan dalam format tabel kategorik 2 × 2 sebagai berikut : Sebelum Sikap Setuju Tak Setuju Sesudah Setuju Tak Setuju A B C D Syarat penggunaan: Harga harapan (setengah dari jumlah yang mengalami perubahan sikap) harus lebih dari atau sama dengan 5. atau bila dituliskan dalam bahasa matematik syarat itu berbunyi : BC 5 2 Bila syarat itu tidak dipenuhi maka penyelesaiannya menggunakan Binomial Test. Rumus yang digunakan : (bila syarat dipenuhi) B C 1 2 2 (Mc.Nemar) BC Untuk uji signifikansinya digunakan tabel chi kuadrat dengan derajat bebas db 1 2 2 dan 0,05 H 0 ditolak bila hitung 0,05 1 tabel . Contoh : Berikut ini adalah hasil suatu penelitian perubahan sikap pemuka masyarakat terhadap dihapuskannya restribusi sampah (data fiktif) : Perubahan sikap Setuju – setuju Setuju – tidak Tidak – tidak Tidak – setuju 11 4 1 Cacah 16 11 1 4 2 2 11 4 2 0,05 1 3,841 2,4 267 Matematika dan Stastistika Jadi H 0 diterima, artinya probabilitas “setuju” pada keadaan sebelum penyuluhan sama dengan setelah penyuluhan. Berikut ini tampilan komputer dengan menggunakan program SPSS: Test Statistics (a) SEBELUM & SESUDAH SESUDAH SEBELUM Setuju Tidak setuju Setuju 16 11 Tidak 4 1 setuju Test Statistics (b) SEBELUM & SESUDAH N Exact Sig. (2-tailed) 32 .118(a) a Binomial distribution used. b McNemar Test C. UJI MANN WHITNEY Uji Mann – Whitney sama dengan uji jumlah jenjang Wilcoxon, perbedaannya terutama dipergunakan untuk dua sampel yang berukuran tidak sama. Namun demikian, uji Mann-Whitney juga dapat digunakan untuk menguji dua sampel berukuran sama. Bila sampel 1 dan 2 masing-masing adalah n1 dan n2 maka langkah-langkah pengujiannya adalah sebagai berikut : 1. Gabungkanlah kedua sampel dan beri jenjang dari tiap nilai terkecil sampai nilai terbesar. T1 dan T2 2. Hitunglah jumlah jenjang masing-masing sampel misalnya n n 1 U1 n1n2 1 1 T1 2 n (n 1) U2 n1n2 2 2 T2 2 Nilai U yang terkecil bandingkan dengan U n1 ,n2 . Dengan kriteria penarikan kesimpulan adalah : H 0 diterima bila Uhit U n1 ,n2 . Contoh : Ingin diketahui mutu pakan ayam lokal buatan pabrik A dan buatan pabrik B. Pakan buatan pabrik A diberikan secara terpisah kepada 12 ekor ayam dan pakan buatan pabrik B 268 Matematika dan Stastistika diberikan kepada 9 ekor ayam lainnya. Pertambahan berat badan (gram) tertera di bawah ini. Pakan A 72 75 72 76 80 82 78 78 73 71 70 70 Pakan B 77 82 84 81 74 79 83 83 83 Buktikan apakah ada perbedaan mutu kedua pakan tersebut di atas? 0,05 . Pakan A 72 75 72 76 80 82 78 78 73 71 70 70 Rank 4,5 8 4,5 9 14 16,5 11,5 11,5 6 3 1,5 1,5 Pakan B Rank 77 82 84 81 74 79 83 83 83 10 16,5 21 15 7 13 19 19 19 T1 91,5 12(13) 91,5 94,5 2 9(10) U2 (12)(9) 139,5 13,5 2 dan T2 139,5 U1 (12)(9) U0,0512,9 26 Karena 13,5 < 26 , maka H 0 ditolak. Kesimpulan terdapat perbedaan mutu pakan ayam buatan pabrik A dan buatan pabrik B. Out put komputer dapat dilihat sebagai berikut : Mann-Whitney Test Ranks BB KEL 1.00 2.00 Total N 12 9 21 Mean Rank 7.63 15.50 Sum of Ranks 91.50 139.50 Te st Statis ticsb Mann-Whitney U Wilcoxon W Z As ymp. Sig. (2-tailed) Exact Sig. [2*(1-tailed Sig.)] BB 13.500 91.500 -2.886 .004 a. Not c orrected f or ties. b. Grouping Variable: KEL 269 a .002 Matematika dan Stastistika D. UJI KORELASI SPEARMAN Uji ini sebagai alternatif dari uji korelasi Pearson dengan asumsi di mana sampel berasal dari populasi mempunyai distribusi normal bivariat tak terpenuhi. Dalam hal ini seorang peneliti berhadapan dengan data yang terhimpun di dalam satu variabel dengan subyek sebanyak N 1, 2, 3,...,N . Tiap subyek mempunyai dua variabel yang masing-masing mempunyai skala ukuran ordinal atau lebih tinggi (interval, rasio) di mana asumsi pada paragraf pertama tidak terpenuhi. Teori Misalkan subyek 1,2,...,N mempunyai variabel VAR-1 dan VAR – 2. Skor dari masingmasing variabel diganti dengan peringkat. Bila ada skor yang sama (ties) maka dibuat ratarata peringkat. Sebaiknya untuk aturan / contoh ties lihat uji Friedman. Untuk setiap subyek dihitung di yaitu selisih antara peringkat pada dua variabel pada subyek ke – i , kemudian masing-masing di pangkatkan dua: di2 dan dijumlahkan: N d i 1 2 i . Untuk lebih jelasnya lihat tabel berikut: Skor Skor Skor . . . Skor Peringkat Skor Skor . . . Skor di di2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Maka koefisien korelasi Spearman (rs) dapat dihitung dengan menggunakan rumus : N rs 1 6 di2 i 1 3 di mana N = jumlah subyek N N Seperti koefisien korelasi Pearson, rs mempunyai nilai antara -1 sampai dengan +1. Cara penafsiran sama dengan r . Ties pada setiap variabel dihitung dengan rumus : g Tx ti3 ti di mana t = size of ties i 1 g Ty ti3 ti i 1 Rumus rs N N 3 3 N 6 di2 N i 1 T x Ty 2 N Tx Ty N 3 N TxTy 2 270 Matematika dan Stastistika Untuk menguji H0 : s rho spearman 0 , bila N 4 dan = 0,25 – 0,0005 (uji satu arah) = 0,50 – 0,001 (uji dua arah) Lihat tabel Q (buku Sidney Siegel). Selanjutnya H 0 ditolak bila rshit rs tabel . Untuk sampel besar, dipakai uji statistik Z rs N 1 Kriteria H 0 ditolak bila Zhit Z 1 atau Zhit Z 1 . 1 2 2 Contoh : Seorang peneliti ingin mempelajari hubungan tingkat pengetahuan (knowledge) dan praktek aturan lalu lintas pada mereka yang mengajukan permohonan surat izin mengemudi (SIM) sebanyak 12 subyek dipilih, pengetahuan diperoleh dari ujian teori dan praktek diperoleh dari ujian praktek (road test). Masing-masing mempunyai skor 0 – 150. Selanjutnya H 0 : tidak ada hubungan antara pengetahuan dan praktek aturan lalu lintas diuji dengan menggunakan 0,05 (uji dua arah). Pengetahuan (variabel 1) 82 98 87 40 116 113 111 83 85 126 106 117 Praktek (Variabel 2) 42 46 39 37 65 88 86 56 62 92 54 81 PERINGKAT Variabel 1 Variabel 2 2 3 6 4 5 2 1 1 10 8 9 11 8 10 3 6 4 7 12 12 7 5 11 9 271 di di2 -1 2 3 0 2 -2 -2 -3 -3 0 2 2 1 4 9 0 4 4 4 9 9 0 4 4 2 di 52 Matematika dan Stastistika Correlations Spearman' PENGETAH s rho PRAKTEK PENGETAH 1.000 . 12 .818(**) .001 12 Correlation Coefficient Sig. (1-tailed) N Correlation Coefficient Sig. (1-tailed) N PRAKTEK .818(**) .001 12 1.000 . 12 ** Correlation is significant at the 0.01 level (1-tailed). E. UJI CHI SQUARE (KAI KUADRAT) Uji chi square adalah satu jenis uji komparatif non parametris yang dilakukan pada dua variabel, di mana skala data kedua variabel adalah nominal. (Apabila dari 2 variabel, ada 1 variabel dengan skala nominal maka dilakukan uji chi square dengan merujuk bahwa harus digunakan uji pada derajat yang terendah). Prinsip-prinsip penggunaan : 1. Hanya dapat dipergunakan pada data kualitatip. 2. Dapat dipergunakan pada sampel dari berbagai macam ukuran (sample size) selama tidak menyimpang ketentuan butir 9 dan 10. juga dapat dipergunakan pada berbagai macam kategori. 3. Hitungan akhir selalu melibatkan angka sebenarnya (frekuensi) bukan prosen atau proporsi. 4. Untuk setiap kategori, perbedaan nilai pengamatan (observed value) dan nilai harapan (expected value) dihitung, selanjutnya dikuadratkan dan dibagi dengan nilai harapan sehingga secara keseluruhan rumus perhitungan 2 2 dengan fe ketentuan f0 harga yang diamati dan fe adalah harga harapan ; makin besar sample 5. size makin besar harga 2 sehingga kuadrat mempunyai tendensi meningkat dengan meningkatnya sample size. Jumlah kategori mempengaruhi besar df (derajat bebas) yang juga akan mempengaruhi bentuk : distribusi teoritis chi-quadrat. Makin besar df makin besar pula titik kritisnya pada tingkat kepercayaan tertentu. bila kita ingin membandingkan 2 atau lebih distribusi sampel maka uji yang sesuai adalah r c contingency chi square. Data disusun menurut r -baris r 2,3,..., k dan menurut c -kolom 6. 7. menjadi : fo fe c 2,3,..., k dan menurut harapan diperoleh dari perkalian jumlah total setiap sampel dengan proporsi yang sesuai pada distribusi total. bila distribusi sampel berasal dari satu populasi maka uji yang sesuai adalah Goodness of fit test. Dalam hal ini nilai harapan diperoleh dari proporsi distribusi populasi dan mempunyai db r 1 atau db k 1 . bila kita ingin mengetahui asosiasi atau korelasi diantara 2 variabel dari data kualitatif, maka lakukan uji chi kuadrat dulu dengan rumus diatas. Jika ternyata dalam pengujian 272 Matematika dan Stastistika H 0 , kita menolak H 0 , maka kita dapat melanjutkan dengan menghitung koefisien kontingensi dengan rumus : = c 8. 9. 10. 11. 2 2 N dengan c selalu > 0. Distribusi sampling chi kuadrat akan sesuai dengan distribusi teoritis chi kuadrat bila : nilai harapan setiap sel tidak boleh kurang dari satu. Cacah sel yang mempunyai nilai harapan < 5 tidak melebihi 20 % jumlah sel seluruhnya (Rule of The Thumb). Aturan ini berdasarkan pengalaman dari pakar penelitian dan atau statistik di seluruh dunia. Jika tidak sesuai dengan ketentuan di atas, kategori-kategori tertentu yang sesuai digabung, sehingga cacah sel lebih sedikit hingga nilai harapan baru memenuhi syarat. Sering penggabungan ini menyebabkan sel dalam tabel tinggal 2 × 2 dan bila toh masih tidak memenuhi syarat maka uji statistik yang digunakan adalah Fisher’s Exact Test. Untuk db 1 diperlukan koreksi yang disebut Yate’s Correction for Continuity. Besarnya koreksi itu ialah 0,5 hingga rumus itu menjadi: 2 N 2 N ad bc fo fe 0,5 2 c2 fe m 1m 2 n 1n 2 Pada umumnya chi-kuadrat hanya dapat dipergunakan untuk uji independensi antar faktor pada satu sampel dengan faktor yang bersifat bebas (independen). Chi kuadrat tidak dapat digunakan pada correlated sample (misal rancangan penelitian sebelum – sesudah pada data kualitatif) dan dalam hal ini harus mempergunakan Mc Nemar Simetry Chi Square atau modifikasinya. Rule of the thumb uji 2 : a. Tidak boleh ada nilai harapan < 1 b. Nilai harapan: 5 e 0 bisa asal tidak lebih dari 20% jumlah sel yang mengandung nilai tersebut. k r chi kuadrat Uji chi kuadrat yang termasuk dalam analisis kategorik yang berlaku hanya untuk data berskala nominal, baik nominal yang asli ataupun nominal hasil transformasi. Seperti yang kita telah ketahui bahwa untuk data berskala interval atau rasio yang berdistribusi normal kita gunakan analisis parameterik dan untuk data berskala ordinal atau berskala interval yang berdistribusi tidak normal atau tidak diketahui macam distribusinya kita gunakan uji non-parametrik. Analisis kategorik merupakan analisis data berskala nominal yang diklasifikasi silangkan dalam bentuk tabel kategorik B kali K ( B K ). B dalam hal ini adalah baris dan K adalah kolom, dengan ketentuan B minimal 2 kategori begitu juga K minimal 2. Analisis ini mempeljari pendekatan chi-kuadrat untuk sampel besar, koefisien asosiasi dan metode Fisher untuk sampel kecil. 273 Matematika dan Stastistika 1. 2. Kegunaan analisis kategorik: Pada sampel-sampel bebas digunakan uji homogenitas proporsi pada masing-masing sampel. Pada satu sampel digunakan uji independensi bila faktor-faktor yang dipelajari bersifat bebas (independent factor), dan digunakan uji simetri McNemar bila faktor-faktor yang dipelajari berkaitan (related factor). Uji Homogenitas Untuk K Sampel Uji ini dipergunakan untuk menguji H 0 : tidak terdapat perbedaan distribusi kategori sebanyak r dari k – sampel. 1. 2. 3. Syarat : Kita berhadapan dengan k sampel bebas Sampel tersebut mempunyai data kualitatif yang terbagi dalam r – kategori Memenuhi syarat penggunaan uji chi kuadrat pada umumnya Seperti pada perhitungan chi kuadrat pada umumnya, bila syarat penggunaan uji chi kuadrat terpenuhi, maka rumus perhitungan ialah seperti rumus 1, dan distribusi samplingnya mendekati distribusi chi kuadarat dengan db k 1 r 1 Hipotesis yang diuji : H 0 : sebanyak k populasi mempunyai distribusi sama H a : paling sedikit satu dari k populasi mempunyai distribusi yang berbeda dengan yang lain. Contoh : Dua sampel terdiri dari 100 pria dan 100 wanita, kepada mereka ditanyakan apakah setuju atau tidak terhadap pernyataan “wanita mempunyai hak dan kewajiban yang sama dengan pria”, hasilnya ialah dari pria 30 orang setuju dan 70 tidak sedang dari wanita 45 orang setuju dan 55 tidak. Jika pria dari populasi 1 dan wanita dari populasi 2, dapat dinyatakan bahwa peluang setuju untuk populasi ke i = Pi ( i = 1, 2, jadi untuk uji homogenitas dua populasi kita menguji H 0 yang berbunyi : P1 P2 . Tabel 9.1 Kerangka Hubungan Pria Wanita Jumlah S a T b Jumlah n1 c m1 d m2 n2 274 N Matematika dan Stastistika Di mana p1 a c dan p2 . Statistik pengujiannya adalah 2 seperti pada rumus pertama n1 n2 yaitu : n n ad bc 2 2 m1m2n1n2 2 n2 besar maka 2 mendekati distribusi chi kuadrat dengan derajat bebas Untuk n1 dan db 1 , H 0 ditolak bila 2 2 1 . Setelah data dimasukkan dalam tabel maka terlihat sebagai berikut : Pria Wanita Jumlah Tabel 9.2 Hubungan Sex dan Tanggapan S T 30 70 45 55 75 125 Jumlah 100 100 200 Kita hitung statistik 2 : 2 n 2 n ad bc 2 200 30 55 70 45 100 2 4,1813 m1m2n1n2 75 125 100 100 Untuk 0,05 dan db 1 maka 20,051 3,841 . Karena 2 20,051 maka H 0 ditolak berarti P1 P2 . Kita menyelidiki hasil biakan kuman stafilokokus yang terdiri dari 4 strain, yaitu strain I, II, III dan NT (No Typing). Sampel diambil dari luka-luka dari para pekerja tambang. Selanjutnya dibiakkan dalam pembenihan yang berbeda yaitu pembenihan H, E dan L maka dalam hal ini k 3 dan r 4 , hasilnya sebagai berikut : Tabel 9.3 Pembenihan Stafilokokus H E L Strain Subtotal Obs Exp Obs Exp Obs Exp I 34 30,9 47 45,9 22 26,3 103 II 19 23,4 41 34,8 18 19,8 78 III 12 12,3 14 18,3 15 10,4 41 IV 7 5,4 5 8,0 6 4,6 18 Subtotal 72 107 61 240 (GT) 275 Matematika dan Stastistika 1. 2. Hitung harga harapan (expected) dengan mengalikan subtotal baris yang bersangkutan dengan subtotal kolom yang bersangkutan kemudian dibagi dengan grand total (GT), misalnya untuk menghitung harga harapan I – H didapat dengan mengalikan 103 (subtotl baris) dengan 72 (subtotal kolom) dan dibagi dengan 240 (GT) hasilnya ialah : 72 103 30,9 . Dengan cara yang sama kita hitung harga harapan setiap sel dan 240 hasilnya tercantum dalam tabel 3. Dengan rumus 1 kita hitung chi kuadrat hasilnya: 34 30,9 2 2 30,9 6 4,6 2 4,6 8,183 3. db 4 1 3 1 6 0,05 4. Dari tabel chi kuadrat kita dapatkan 20,056 12,59 5. Karena 2 12,59 maka H 0 diterima dengan p 0,05 6. Kesimpulan : tidak terdapat perbedaan distribusi strain kuman stafilokokus pada ketiga pembenihan (H, E dan L). Uji Chi Kuadrat Untuk Dependensi dan Asosiasi / Korelasi Uji ini dipakai untuk menguji H 0 : apakah variabel X dan Y independen satu sama lain. 1. 2. 3. 4. Uji ini dipakai bila: kita berhadapan dengan satu sampel masing-masing individu/elemen dalam sampel tersebut mempunyai dua variabel x dan y yang masing-masing merupakan data kualitatip (atau disebut atribut) masing-masing variabel dibagi menjadi dua atau lebih kategori. bila kita akan menguji korelasi/asosiasi dari 2 variabel tersebut kita harus melakukan pengujian chi kuadrat dulu, bila dalam pengujian itu H 0 ditolak, yang berarti menerima H a yang berbunyi : variabel X dan Y dependen satu sama lain, maka dilanjutkan dengan menghitung kuat hubungan dengan rumus sebagai berikut : C 2 2 N C = contingency coeficient Sifat-Sifat C : Bila tidak terdapat hubungan antara kedua variabel maka C 0 dan C tidak dapat mencapai nilai 1, karena bila k r batas atas harga C merupakan fungsi jumlah kategori ( k ) dengan demikian: k 1 Cmax k Cmax bergantung pada besarnya k dan r , jadi dua nilai C yang berasal dari tabel 3 × 3 tidak dapat dibandingkan (not comparable). 276 Matematika dan Stastistika 1. 2. 3. 4. Proses penghitungan C hitung chi kuadrat dari tabel kontingensi yang tersedia dengan mengingat syarat perhitungan chi kuadrat buktikan bahwa H 0 ditolak atau diterima hitung C dan Cmax C hitung C corrected dengan rumus : C corr Cmax Contoh : Seorang ahli bedah saraf menyelidiki hubungan antara jenis tumor otak dengan letaknya di otak. Untuk itu diselidiki 200 penderita tumor yang diselidiki : Keganasan tumor : ganas, jinak, borderline. Letak tumor yang diselidiki : occipital (bagian belakang), temporo-occipital (bagian kanan-kiri dan pelipis), frontal (depan). Akan di uji H 0 : tidak terdapat hubungan antara jenis tumor dengan letak tumor tersebut. Hasilnya sebagai berikut : Tabel 9.4 Hubungan Jenis Tumor Otak dan Letaknya Ganas Jinak Borderline Subtotal Obs Exp Obs Exp Obs Exp Occipital 100 70,79 8 4,57 9 21,64 103 Frontal 10 29,04 25 10,08 13 8,88 48 temporal 11 21,18 9 7,35 15 6,48 35 Subtotal 121 42 37 200 (GT) Letak Cara : 1. Lakukan uji chi kuadrat setelah mempersiapkan nilai harapan masing-masing sel. 2. Hitung signifikansi chi kuadrat yang didapat dengan membandingkan hasil chi kuadrat dengan tabel chi dengan ketentuan db k 1 r 1 3 13 1 4 dan 0,05 Hasil hitungan chi kuadrat : 2 2 88,09 0,05 4 9,4 ternyata H 0 ditolak. 3. Lanjutkan dengan menghitung C dengan rumus 2 hasilnya: C 2 N 2 88,09 0,55 88,09 200 277 Matematika dan Stastistika 4. Hitung Cmax dengan rumus sebagai berikut: Cmax k 1 31 0,82 dengan k 3 0,55 0,67 di mana Ccorr 0,75 = kuat, 0,5 – 0,75 = cukup kuat. Artinya dari 0,82 hasil perhitungan C corr bahwa hubungan cukup kuat. Ccorr Uji untuk Asosiasi Uji hampir sama dengan uji C bedanya ialah bahwa uji hanya untuk tabel kategorik 2 × 2, dan nilai minimal 0 (nol) dan maksimal 1 (satu). Pada tabel yang lebih besar dari 2 × 2 tidak dapat digunakan uji asosiasi karena nilainya mungkin lebih besar dari 1. Cara: 1. Seperti pada perhitungan koefisien kontingensi C maka cara penghitungan chi kuadrat. Bila H 0 ditolak pada tingkat chi kuadrat baru dilanjutkan penghitungan koefisien . 2. Untuk menghitung koefisien digunakan rumus : 2 N Latihan 1) Yang bukan termasuk Uji Wilcoxon adalah .... A. Uji jenjang bertanda Wilcoxon B. Uji jumlah jenjang Wilcoxon C. Uji jenjang berstrata Wilcoxon D. Uji jumlah jenjang berstrata Wilcoxon. 2) Uji jenjang bertanda Wicoxon merupakan pengembangan dari uji .... A. Tanda B. Hubungan C. Beda D. Pengaruh 3) Uji jumlah jenjang bertanda Wilcoxon dipergunakan untuk membandingkan perbedaan antara dua sampel bebas. Uji ini mirip dengan uji .... t satu sampel A. t dua sampel bebas B. t dua sampel berpasangan C. D. anova 4) Uji yang dipergunakan untuk membandingkan dua perlakuan pada beberapa kelompok/strata dan jumlah sampel pada tiap-tiap kelompok itu sama. Kalau 278 Matematika dan Stastistika dibandingkan dengan uji statistika parametrik, uji jumlah jenjang berstrata Wilcoxon setara dengan .... A. Uji t B. uji χ2 C. Uji r D. Uji F 5) Uji Mc Nemar merupakan uji perbandingan dua variabel yang berpasangan atau variabel-variabel yang memenuhi rancangan penelitian before – after. Kedua variabel itu harus berskala .... A. Nominal dan dikotomi B. Interval C. Ordinal D. Rasio 6) Uji Mann – Whitney sama dengan uji jumlah jenjang Wilcoxon, perbedaannya terutama dipergunakan untuk dua sampel yang berukuran tidak sama .... A. sama B. sejajar C. tidak sama D. tidak sejajar 7) Uji ini sebagai alternatif dari uji korelasi Pearson dengan asumsi di mana sampel berasal dari populasi mempunyai distribusi normal bivariat tak terpenuhi. Uji ini adalah .... A. Wilcoxon B. Mc Nemar C. Spearman D. Mann Whitney 8) Uji komparatif non parametris yang dilakukan pada dua variabel, di mana skala data kedua variabel adalah nominal atau kategorik disebut dengan uji .... A. Mc Nemar B. Chi Square C. Mann Whitney D. Spearman 9) Cacah sel yang mempunyai nilai harapan < 5 tidak melebihi 20% jumlah sel seluruhnya merupakan salah satu syarat dari uji kai kuadrat disebut dengan .... A. Rule of The Thumb B. Rule of the Bom’s 279 Matematika dan Stastistika C. D. Rule of the Jungle Rule of the Spons 10) Yang termasuk uji asosiasi dibawah ini adalah .... A. Mc Nemar B. Yate’ Correction C. Mann Whitney D. Coefisien phi 11) Suatu studi ingin melihat pengaruh pemberian captopril dan diuretika terhadap tekanan darah sistolik. Sampel terdiri atas 10 pasien mendapat captopril dengan dosis 6,25 mg dan diuretika. Pasien diukur tekanan darah sistolik sebelum pemberian obat (x) dan 70 menit sesudah pemberian obat (y). Hasil terlihat pada tabel berikut: Tabel Tekanan darah Sistolik Pasien sebelum dan sesudah pemberian captopril dan diuretika Pasien A B C D E F G H I J Tekanan Sebelum 175 179 165 170 162 180 177 178 140 176 darah sesudah 140 143 135 133 162 150 182 139 173 141 Apakah pengobatan tersebut efektif untuk menurunkan tekanan darah pasien-pasien itu, pada tingkat kemaknaan 0,05. Jawab : Ho : pengobatan tidak efektif untuk menurunkan tekanan darah Ha : pengobatan efektif untuk menurunkan tekanan darah Karena variabel tekanan darah adalah skala data interval, tetapi data tidak berdistribusi normal, maka dianalisis menggunakan Uji Jenjang Bertanda Wilcoxon. Cara analisis Uji Jenjang Bertanda Wilcoxon adalah sebagai berikut : a. Berikan jenjang (rank) untuk tiap Y X dari terkecil ke terbesar tanpa memperhatikan tanda beda. Bila ada dua atau lebih nilai Y X sama besarnya, maka jenjang untuk tiap-tiap Y X adalah jenjang rata-ratanya. b. c. d. Penjual A B C D Beri tanda + atau – pada tiap-tiap jenjang dan beda 0 tidak diperhatikan. Jumlahkan T semua jenjang bertanda + dan –. Jumlah jenjang T yang terkecil bandingkan dengan T n . Thit T n . Tekanan Darah Sebelum X Sesudah Y 175 179 165 170 140 143 135 133 280 Beda Y X -35 -36 -30 -37 H 0 ditolak bila : Rank Y X 6 7 3 8 5,5 7 2,5 8 + 5.5 7 2,5 8 Matematika dan Stastistika Tekanan Darah Sebelum X Sesudah Y Penjual E F G H I J 12) 162 180 177 178 140 176 162 150 182 139 173 141 Beda Y X 0 -30 +5 -39 +33 -35 Rank Y X 2 1 9 4 5 2,5 1 9 4 5,5 + - 2,5 1 9 4 5,5 5 40 T Nilai T hitung yang terkecil adalah 5, sedangkan nilai T tabel dengan jumlah sampel 10 dengan α = 5% sebesar 8. Kesimpulan Ho ditolak artinya pengobatan dengan captopril dan diuretika efektif menurunkan tekanan darah. Hasil penelitian tentang pengaruh pemakaian estrogen terhadap kejadian kanker endometrium. Sebanyak 317 wanita dengan kanker endometrium (kasus) dibandingkan dengan 317 wanita tanpa kanker endometrium (control). Wanita dari kedua kelompok tersebut kemudian diteliti riwayatnya apakah sebelum diagnosis kanker menggunakan estrogen (paling sedikit 6 bulan lamanya) atau tidak memakai estrogen. Data sebagai berikut : Tabel Data Studi Pengaruh Estrogen terhadap Kanker Endometrium dengan rancangan kasus-kontrol dan pencocokan. Kontrol Total Estrogen Tanpa Estrogen Kasus Estrogen 25 95 120 Tanpa estrogen 10 130 140 Total 35 225 260 Jawab: Ho : tidak ada pengaruh yang bermakna antara esterogen terhadap kanker endometrium Ha : ada pengaruh yang bermakna antara esterogen terhadap kanker endometrium Karena rancangan kasus kontrol dan pencocokan maka uji yang digunakan adalah Mc Nemar: B C 1 2 2 (Mc.Nemar) BC ( 95 10 1)2 χ2 7,161 95 10 2 0,05 1 3,841 (nilai tabel) Kesimpulan : karena kai kuadrat hitung lebih besar dari kai kuadrat tabel artinya Ho ditolak, maka terdapat pengaruh yang bermakna antara estrogen terhadap kanker endometrium. 281 Matematika dan Stastistika Ringkasan Pemilihan statistik non-parametrik dapat langsung dilakukan jika jumlah sampel sangat kecil atau skala data dari variabel yang diteliti adalah nominal atau ordinal. Dapat juga data interval atau rasio tetapi distribusi data tidak normal atau disebut juga statistik bebas distribusi, karena prosedur pengujiannya tidak berdasarkan asumsi distribusi populasi normal. Jenis-jenis statistik non-parametrik adalah sebagai berikut : 1. Untuk uji beda: a. Uji beda 2 sampel adalah Uji Wilcoxon, Uji Mann-Whitney, Uji Mc. Nemar b. Uji beda lebih dari 2 sampel adalah Uji Kruskal Wallis dan Uji Friedman 2. Untuk uji hubungan antar variabel: terdapat Uji Korelasi Spearman, Uji Chi Square 3. Untuk uji pengaruh antar variabel: terdapat Uji Regresi Logistik. 4. Uji Asosiasi: koefisien Kontingensi, Koefisien Phi. Tes 2 1) Kai kuadrat tidak dapat digunakan pada correlated sample (misal rancangan penelitian sebelum – sesudah) pada data kualitatif dan dalam hal ini harus mempergunakan uji .... A. Mc Nemar Simetry B. Mann Whitney C. Mc Nemar D. Yate’s correction 2) Uji hampir sama dengan uji C bedanya ialah bahwa uji hanya untuk tabel kategorik .... A. 4×3 B. 3×2 C. 3×3 D. 2 × 2 3) Jika data berskala ordinal atau berskala interval yang berdistribusi tidak normal atau tidak diketahui macam distribusinya kita gunakan uji .... A. Non-parametrik B. Parametrik C. Kai kuadrat D. Yate’s correction 4) Bila distribusi sampel berasal dari satu populasi maka uji yang sesuai adalah .... A. Goodness of fit test 282 Matematika dan Stastistika B. C. D. Goodness of testimony Goodness of profit test Goodness of try out Test 5) Apabila penggabungan sel menyebabkan sel dalam tabel tinggal 2 × 2 dan jika masih tidak memenuhi syarat maka uji statistik yang digunakan adalah uji A. Fisher’s Exact B. Spearman C. Mc Nemar D. Mann Whitney 6) Uji korelasi Spearman dengan asumsi di mana sampel berasal dari populasi mempunyai distribusi normal bivariat tak terpenuhi dan merupakan alternative dari uji korelasi .... A. Bivariat B. Pearson C. Kontingensi D. Phi 7) Fisher’s Exact Test adalah uji yang digunakan untuk menguji kemaknaan hubungan antara dua variabel kategorikal menggunakan pendekatan .... A. Matematis B. Inferensi C. Probabilitas D. Integral 8) Uji alternatif yang digunakan jika jumlah sampel yang kecil untuk tabel silang 2 × 2 adalah .... A. Yate’s correction B. Exact Fhiser test C. Koefisien Phi D. Koefisien Kontingensi 9) Analisis non parametrik hasil pengukuran pada subyek atau analisis yang sama, sebelum dan sesudah memperoleh perlakuan atau intervensi atau analisis hasil observasi kasus dan kontrol dengan pencocokan menggunakan uji .... A. Mann Whitney B. Wilcoxon C. Kai Kuadrat D. Mc Nemar 283 Matematika dan Stastistika 10) Yang termasuk uji parametrik di bawah ini adalah .... A. Korelasi Pearson B. Koefisien Kontingensi C. Korelasi Spearman D. Koefisien Phi 11) Sebelas pasien dari rumah sakit A dan Sembilan pasien dari rumah sakit B yang menjalani prosedur operasi yang sama mengikuti sebuat studi. Variabel yang menjadi perhatian adalah waktu operasi (dalam menit) sebagaimana terlihat pada tabel berikut. Tabel Waktu (dalam menit) yang diperlukan dalam ruang operasi di rumah sakit A dan di rumah sakit B Rumah Sakit A (x) 35 30 33 39 41 29 30 36 45 40 31 Rumah Sakit B(y) 45 38 42 50 48 51 32 37 46 Dapatkah ditarik kesimpulan bahwa waktu operasi di rumah sakit B lebih lama dari pada di rumah sakit A? Jawab : Ho : Waktu operasi di Rumah Sakit B sama dengan di Rumah Sakit A Ha : Waktu operasi di Rumah Sakit B lebih lama dari pada di Rumah Sakit A Data dianggap tidak berdistrubusi normal, dan jumlah data berbeda sehingga menganalisisnya menggunakan uji Mann Whitney yaitu Gabungkanlah kedua sampel dan beri jenjang dari tiap nilai terkecil sampai nilai terbesar. T1 dan T2 Hitunglah jumlah jenjang masing-masing sampel misalnya n n 1 U1 n1n2 1 1 T1 2 n (n 1) U2 n1n2 2 2 T2 2 284 Matematika dan Stastistika Nilai U yang terkecil bandingkan dengan U n1 ,n2 . Dengan kriteria penarikan kesimpulan adalah : H 0 diterima bila Uhit U n1 ,n2 . Rumah Sakit A (x) 35 30 33 39 41 29 30 36 45 40 31 T1 Peringkat 7 3 6 11 12 1 2 8 14 12 4 80 Rumah Sakit B(y) 45 38 42 50 48 51 32 37 46 Peringkat T2 122 15 10 13 18 17 19 5 9 16 Jika disubtitusi ke rumus U1 = U2 = Yang digunakan sebagai nilai U yang terkecil yaitu 22 sedangkan nilai U tabel sebesar 23 berarti Ho ditolak karena U hitung < U tabel artinya waktu operasi di Rumah Sakit B lebih lama dari pada di Rumah Sakit A. 12) Teori Perilaku Skinner mulai banyak diterapkan untuk membentuk perilaku hidup sehat. Telah dilakukan obeservasi perilaku konsumen dalam pemakaian garam beriodium di sejumlah kota di Sulawesi Selatan. Selanjutnya dilakukan obeservasi perilaku pemakaian garam beriodium pada 1000 konsumen di sejumlah pasar modern dan tradisional, sebelum dan sesudah intervensi pemasaran sosial. Dengan tingkat kemaknaan 5%, dapatkan anda membuktikan bahwa intervensi tersebut berhasil mengubah perilaku konsumsi garam beriodium. Hasilnya tampak pada data berikut : Sesudah Total Garam Beriodium Bukan garam beriodium Sebelum Garam Bukan garam Beriodium beriodium 300 300 Total 600 150 250 400 450 550 1000 285 Matematika dan Stastistika Jawab : Ho : Intervensi tidak merubah perilaku konsumsi garam beriodium Ha : Intervensi merubah perilaku konsumsi garam beriodium Karena data before after, maka digunakan uji Mc Nemar B C 1 2 2 (Mc.Nemar) BC ( 95 10 1)2 χ2 7,161 95 10 2 0,05 1 3,841 (nilai tabel) Kesimpulan : karena kai kuadrat hitung lebih besar dari kai kuadrat tabel artinya Ho ditolak, maka intervensi merubah perilaku konsumsi garam beriodium. 286 Matematika dan Stastistika Kunci Jawaban Tes Formatif Tes 1 1) A 2) C 3) B 4) D 5) A 6) C 7) A 8) A 9) C 10) A Tes 2 1) A 2) D 3) A 4) A 5) A 6) B 7) C 8) B 9) D 10) A 287 Matematika dan Stastistika Daftar Pustaka Chandra Budiman, 1995. Pengantar Statistik Kesehatan. Jakarta: EGC. Dajan Anto, 1986. Pengantar Metode Statistik Jilid II. Jakarta: LP3ES. Daniel Wayne W. 1989. Statistika Nonparametrik Terapan. Jakarta: Gramedia. Kuntoro, 2002. Pengantar Teori Probabilitas. Surabaya: Pustaka Melati. ………., 2011. Metode Statistik Edisi Revisi. Surabaya: Pustaka Melati. Murti Bhisma, 1996. Penerapan Metode Non-Parametrik dalam Ilmu-Ilmu Kesehatan. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. Nurgiyantoro Burhan, Gunawan, Marzuki, 2000. Statistik Terapan Untuk Ilmu-Ilmu Sosial. Yogyakarta: Gadjah Mada University Press. Saleh Samsubar, 1996. Statistik Nonparametrik Edisi 2. Yogyakarta: BPFE. Siegel Sidney, 1997. Statistik Nonparametrik untuk Ilmu-Ilmu Sosial. Gramedia. Sugiyono, 2003. Statistik Nonparametris untuk Penelitian. Bandung: Alfabeta. Siagian, Dergibson & Sugiarto, 2002. Metode Statistika untuk Bisnis dan Ekonomi, PT Gramedia Pustaka Utama Jakarta. ISBN 979-655-924-2 Walpole, Ronald E, 1993. Pengantar Statistika, PT Gramedia Pustaka Utama. Jakarta ISBN 979-403-313-8 Ross, Sheldon, 1976. A First Course in Probability. R. A. Fisher 1925. Statistical Methods for Research Workers, Edinburgh: Oliver and Boyd, 1925, p.43. Cramer, Duncan; Dennis Howitt. 2004. The Sage Dictionary of Statistics. p. 76. ISBN 076194138X. Lehmann, E.L.; Romano, Joseph P. 2005. Testing Statistical Hypotheses (3E ed.). New York: Springer.ISBN 0387988645. 288 Matematika dan Stastistika NIST handbook: Two-Sample t-Test for Equal Means Steel, R.G.D, and Torrie, J. H., Principles and Procedures of Statistics with Special Reference to the Biological Sciences., McGraw Hill, 1960, page 350. Weiss, Neil A. 1999. Introductory Statistics (5th ed.). p. 802. ISBN 0-201-59877-9. NIST handbook: F-Test for Equality of Two Standard Deviations (Testing standard deviations the same as testing variances) 289 Matematika dan Stastistika Lampiran Lampiran 1 Fungsi Distribusi pada Distribusi Probabilitas Khi-Kuadrat 20,001 0,000 0,002 0,024 0,091 0,210 20,005 0,000 0,010 0,072 0,207 0,412 20,01 0,000 0,020 0,115 0,297 0,554 20,025 0,001 0,051 0,216 0,484 0,831 20,05 0,004 0,103 0,352 0,711 1,145 20,10 0,016 0,211 0,584 1,064 1,610 20,20 0,064 0,446 1,005 1,649 2,343 20,30 0,148 0,713 1,424 2,195 3,000 20,40 0,275 1,022 1,869 2,753 3,655 20,50 dk 0,455 1 1,386 2 2,366 3 3,357 4 4,351 5 6 7 8 9 10 0,381 0,598 0,857 1,152 1,479 0,676 0,989 1,344 1,735 2,156 0,872 1,239 1,646 2,088 2,558 1,237 1,690 2,180 2,700 3,247 1,635 2,167 2,733 3,325 3,940 2,204 2,833 3,490 4,168 4,865 3,070 3,822 4,594 5,380 6,179 3,828 4,671 5,527 6,393 7,267 4,570 5,493 6,423 7.357 8,295 5,348 6 6,346 7 7,344 8 8,343 9 9,342 10 11 12 13 14 15 1,834 2,214 2,617 3,041 3,483 2,603 3,074 3,565 4,075 4,601 3,053 3,571 4,107 4,660 5,229 3,816 4,404 5,009 5,629 6,262 4,575 5,226 5,892 6,571 7,261 5,578 6,989 8,418 9,237 6,304 7,807 9,034 10,182 7,042 8,634 9,926 11,129 7,790 9,467 10,821 12,078 8,547 10,307 11,721 13,030 16 17 18 19 20 3,942 4,416 4,905 5,407 5,921 5,142 5,697 6,265 6,844 7,434 5,812 6,408 7,015 7,633 8,260 6,908 7,564 8,231 8,907 9,591 7,962 8,672 9,390 10,117 10,851 21 6,447 8,034 8,897 10,283 11,591 13,240 15,445 17,132 18,768 20,337 21 22 23 24 25 6,983 8,643 9,542 10,982 12,338 7,529 9,260 10,196 11,689 13,091 8,085 9,886 10,856 12,401 13,848 8,649 10,520 11,524 13,120 14,611 dk 1 2 3 4 5 26 27 28 29 30 31 9,222 9,803 10,391 10,986 11,588 12,196 11,160 11,808 12,461 13,121 13,787 14,458 12,198 12,879 13,565 14,256 14,953 15,655 13,844 14,573 15,308 16,047 16,791 17,539 15,379 16,151 16,928 17,708 18,493 19,281 9,312 10,085 10,865 11,651 12,443 11,152 12,002 12,857 13,716 14,578 12,624 13,531 14,440 15,352 16,266 10,341 11,340 12,340 13,339 14,339 11 12 13 14 15 13,983 15,338 16 14,937 16,338 17 15,893 17,338 18 16,850 18,338 19 17,809 19,337 20 14,041 14,848 15,659 16,473 16,341 17,168 18,062 18,940 18,101 19,021 19,943 20,867 19,729 20,690 21,652 22,616 21,337 22,337 23,337 24,337 22 23 24 25 17,292 18,114 18,939 19,768 20,599 21,434 19,820 20,703 21,588 22,475 23,364 24,255 21,792 22,719 23,647 24,577 25,508 26,440 23,579 24,544 25,509 26,475 27,442 28,409 25,336 26,336 27,336 28,336 29,336 30,336 26 27 28 29 30 31 290 Matematika dan Stastistika 32 33 34 35 12,811 13,431 14,057 14,688 15,134 15,815 16,501 17,192 16,362 17,074 17,789 18,509 18,291 19,047 19,806 20,569 20,072 20,867 21,664 22,465 22,271 23,110 23,952 24,797 25,148 26,042 26,938 27,836 27,373 28,307 29,242 30,178 29,376 30,344 31,313 32,282 31,336 32,336 33,336 34,336 32 33 34 35 36 37 38 39 40 15,324 15,965 16,611 17,262 17,916 17,887 18,586 19,289 19,996 20,707 19,233 19,960 20,691 21,426 22,164 21,336 22,106 22,878 23,654 24,433 23,269 24,075 24,884 25,695 26,509 25,643 26,492 27,343 28,196 29,051 28,735 29,635 30,537 31,441 32,345 31,115 32,053 32,992 33,932 34,872 33,252 34,222 35,192 36,163 37,134 35,336 36,336 37,335 38,335 39,335 36 37 38 39 40 dk 41 42 43 44 45 20,001 18,575 19,239 19,906 20,576 21,251 20,005 21,421 22,138 22,859 23,584 24,311 20,01 22,906 23,605 24,398 25,148 25,901 20,025 25,215 25,999 26,785 27,575 28,366 20,05 27,326 28,144 28,965 29,787 30,612 20,10 29,907 30,765 31,625 32,487 33,350 20,20 20,30 20,40 20,50 dk 33,251 35,813 38,105 40,335 41 34,157 36,755 39,077 41,335 42 35,065 37,698 40,050 42,335 43 35,974 38,641 41,022 43,335 44 36,884 39,585 41,995 44,335 45 46 47 48 49 50 21,929 22,610 23,295 23,983 24,674 25,041 25,775 26,511 27,349 27,991 26,657 27,416 28,177 28,941 29,707 29,160 29,956 30,755 31,555 32,357 31,439 32,268 33,098 33,930 34,764 34,215 35,081 35,949 36,818 37,689 37,795 38,708 39,620 40,534 41,449 40,529 41,474 42,420 43,366 44,313 42,948 43,942 44,915 45,889 46,864 45,335 46,335 47,335 48,335 49,335 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 25,368 26,065 26,765 27,468 28,173 28,735 29,481 30,230 30,981 31,735 30,475 31,246 32,018 32,793 33,570 33,162 33,968 34,276 35,586 36,398 35,600 36,437 37,276 38,116 38,958 38,560 39,433 40,308 41,183 42,060 42,365 43,281 44,199 45,117 46,036 45,261 46,209 47,157 48,106 49,055 47,838 48,913 49,788 50,764 51,739 50,335 51,335 52,335 53,335 54,335 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 28,881 29,592 30,305 31,020 31,738 32,490 33,248 34,008 34,770 35,534 34,350 35,131 35,913 36,698 37,485 37,212 38,027 38,844 39,662 40,482 39,801 40,646 41,492 42,339 43,188 42,937 43,816 44,696 45,577 46,459 46,955 47,875 48,797 49,718 50,641 50,005 50,956 51,906 52,858 53,809 52,715 53,691 54,667 55,643 56,620 55,335 56,335 57,335 58,335 59,335 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 32,439 33,181 33,906 34,633 35,362 36,300 37,068 37,838 38,610 39,383 38,273 39,063 39,855 40,649 41,444 41,303 42,126 42,950 43,776 44,603 44,038 44,889 45,741 46,595 47,450 47,342 48,226 49,111 49,996 50,883 51,564 52,487 53,412 54,336 55,262 54,761 55,714 56,666 57,620 58,573 57,597 58,574 59,551 60,528 61,506 60,335 61,335 62,335 63,335 64,335 61 62 63 64 65 291 Matematika dan Stastistika 66 67 68 69 70 36,093 36,826 37,561 38,298 39,036 40,158 40,935 41,713 42,494 43,275 42,240 43,038 43,838 44,639 45,442 45,431 46,261 47,092 47,924 48,758 48,305 49,162 50,020 50,879 51,739 51,770 52,659 53,548 54,438 55,329 56,188 57,115 58,042 58,970 59,898 59,527 60,481 61,436 62,391 63,346 62,484 63,461 64,440 65,418 66,396 65,335 66,335 67,335 68,334 69,334 66 67 68 79 70 71 72 73 74 75 39,777 40,519 41,264 42,010 42,757 44,058 44,843 45,629 46,417 47,206 46,246 47,051 47,858 48,666 49,475 49,592 50,428 51,265 52,103 52,942 52,600 53,462 54,325 55,189 56,054 56,221 57,113 58,006 58,900 59,795 60,827 61,756 62,686 63,616 54,547 64,302 65,258 66,214 67,170 68,127 67,375 68,353 69,332 70,311 71,290 70,334 71,334 72,334 73,334 74,334 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 43,507 44,258 45,010 45,764 46,520 47,997 48,788 49,582 50,376 51,172 50,286 51,097 51,910 52,725 53,540 53,782 54,623 55,466 56,309 57,153 56,920 57,786 58,654 59,522 60,391 60,690 61,586 62,483 63,380 64,278 65,478 66,409 67,431 68,274 69,207 69,084 70,042 70,999 71,957 72,915 72,270 73,249 74,228 75,208 76,188 75,334 76,334 77,334 78,334 79,334 76 77 78 79 80 dk 81 82 83 84 85 20,001 47,277 48,036 48,796 49,557 50,320 20,005 51,969 52,767 53,567 54,368 55,170 20,01 54,357 55,174 55,993 56,813 57,634 20,025 57,998 58,845 59,692 60,540 61,389 20,05 61,261 62,132 63,004 63,876 64,749 20,10 65,176 66,076 66,976 67,876 68,777 20,20 20,30 20,40 20,50 dk 70,140 73,874 77,168 80,334 81 71,074 74,833 78,148 81,334 82 72,008 75,792 79,128 82,344 83 72,943 76,751 80,108 83,334 84 73,878 77,710 81,089 84,334 85 86 87 88 89 90 51,085 51,850 52,617 53,386 54,155 55,973 56,777 57,582 58,389 59,196 58,456 59,279 60,103 60,928 61,754 62,239 63,089 63,941 64,793 65,647 65,623 66,498 67,737 68,249 69,126 69,679 70,581 71,484 72,387 73,291 74,813 75,749 76,685 77,622 78,558 78,670 79,630 80,590 81,550 82,511 82,069 83,050 84,031 85,012 85,993 85,334 86,334 87,334 88,334 89,334 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 54,926 55,698 56,472 57,246 58,022 60,005 60,815 61,625 62.437 63,250 62,581 63,409 64,238 65,068 65,898 66,501 67,356 68,211 69,068 69,925 70,003 70,882 71,760 72,640 73,520 74,196 75,100 76,006 76,912 77,818 79,496 80,433 81,371 82,309 83,248 83,472 84,433 85,394 86,356 87,317 86,974 87,955 88,936 89,917 90,899 90,334 91,334 92,334 93,334 94,334 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 58,799 59,577 60,356 61,137 61,918 64,063 64,878 65,694 66,510 67,328 66,730 67,562 68,396 69,230 70,065 70,783 71,642 72,501 73,361 74,222 74,401 75,282 76,164 77,046 77,929 78,725 79,633 80,541 81,449 82,358 84,187 85,126 86,065 87,005 87,945 88,279 89,241 90,204 91,166 92,129 91,881 92,862 93,844 94,826 95,808 95,334 96,334 97,334 98,334 99,334 96 97 98 99 100 292 Matematika dan Stastistika dk 1 2 3 4 5 20,50 20,60 20,70 20,80 20,90 20,95 0,455 0,708 1,074 1,642 2,706 3,841 1,386 1,833 2,408 3,219 4,605 5,991 2,366 2,946 3,665 4,642 6,251 7,815 3,357 4,045 4,878 5,989 7,779 9,488 4,351 5,132 6,064 7,289 9,236 11,070 6 7 8 9 10 5,348 6,211 7,231 8,558 6,346 7,283 8,383 9,803 7,344 8,351 9,524 11,030 8,343 9,414 10,656 12,242 9,342 10,473 11,781 13,442 20,975 5,024 7,378 9,348 11,143 12,832 20,99 6,635 9,210 11,345 13,277 15,086 20,995 20,999 dk 7,879 10,828 1 10,597 13,815 2 12,838 16,266 3 14,860 18,467 4 16,750 20,515 5 10,645 12,017 13,362 14,684 15,987 12,592 14,067 15,507 16,919 18,307 14,449 16,013 17,535 19,023 20,483 16,812 18,475 20,090 21,666 23,209 18,548 20,278 21,955 23,589 25,188 22,458 24,322 26,124 27,877 29,588 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10,341 11,340 12,340 13,339 14,339 11,530 12,584 13,636 14,685 15,733 12,899 14,011 15,119 16,222 17,322 14,631 15,812 16,985 18,151 19,311 17,275 18,549 19,812 21,064 22,307 19,675 21,026 22,362 23,685 24,996 21,920 23,337 24,736 26,119 27,488 24,725 26,217 27,688 29,141 30,578 26,757 28,299 29,819 31,319 32,801 31,264 32,909 34,528 36,123 37,697 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15,338 16,338 17,338 18,338 19,337 16,780 17,824 18,868 19,910 20,951 18,418 19,511 20,601 21,689 22,775 20,465 21,615 22,760 23,900 25,037 23,542 24,769 25,989 27,204 28,412 26,296 27,587 28,869 30,144 31,410 28,845 30,191 31,526 32,852 34,170 32,000 33,409 34,805 36,191 37,566 34,267 35,718 37,156 38,582 39,997 39,252 40,790 42,312 43,820 45,315 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 20,337 21,337 22,337 23,337 24,337 21,991 23,031 24,069 25,106 26,143 23,858 24,939 26,018 27,096 28,172 26,171 27,301 28,429 29,553 30,675 29,615 30,813 32,007 33,196 34,382 32,671 33,924 35,172 36,415 37,652 35,479 36,781 38,076 39,364 40,646 38,932 40,289 41,638 42,980 44,314 41,401 42,796 44,181 45,558 46,928 46,797 48,268 49,728 51,178 52,620 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 25,336 26,336 27,336 28,336 29,336 27,179 28,214 29,249 30,283 31,316 29,246 30,319 31,391 32,461 33,530 31,795 32,912 34,027 35,139 36,250 35,563 36,741 37,916 39,087 40,256 38,885 40,115 41,337 42,557 43,773 41,923 43,195 44,461 45,722 46,979 45,642 46,963 48,278 49,588 50,692 48,290 49,645 50,993 52,336 53,672 54,052 55,476 56,892 58,301 59,703 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 30,336 31,336 32,336 33,336 34,336 32,349 33,381 34,413 35,444 36,475 34,598 35,665 36,731 37,795 38,859 37,359 38,466 39,572 40,676 41,778 41,422 42,585 43,745 44,903 46,059 44,985 46,194 47,400 48,602 49,802 48,232 49,480 50,725 51,966 53,203 52,191 53,486 54,776 56,061 57,342 55,003 56,328 57,648 58,964 60,275 61,098 62,487 63,870 65,247 66,619 31 32 33 34 35 293 Matematika dan Stastistika 36 37 38 39 40 35,336 36,336 37,335 38,335 39,335 37,505 38,535 39,564 40,593 41,622 39,922 40,984 42,045 43,105 44,165 42,879 43,978 45,076 46,173 47,269 47,212 48,363 49,513 50,660 51,805 50,998 52,192 53,384 54,572 55,758 dk 41 42 43 44 45 20,50 40,355 41,335 42,335 43,445 44,335 20,60 42,651 43,479 44,706 45,734 46,761 20,70 45,224 46,282 47,339 48,396 49,452 20,80 48,363 49,456 50,548 51,639 52,729 20,90 52,949 54,090 55,230 56,369 57,505 20,95 56,942 58,124 59,303 60,481 61,656 20,975 60,561 61,777 62,990 64,201 65,410 46 47 48 49 50 45,335 46,335 47,335 48,335 49,335 47,787 48,814 49,840 50,866 51,892 50,507 51,562 52,616 53,670 54,723 53,818 54,906 55,993 57,079 58,164 58,641 59,774 60,907 62,038 63,167 62,830 64,001 65,171 66,339 67,505 66,617 67,821 69,023 70,222 71,420 71,201 72,443 73,683 74,919 76,154 74,436 75,704 76,969 78,231 79,490 81,400 82,720 84,037 85,350 86,661 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 50,335 51,335 52,335 53,335 54,335 52,917 53,942 54,967 55,992 57,016 55,775 56,827 57,879 58,930 59,980 59,248 60,332 61,414 62,496 63,577 64,295 65,422 66,548 67,673 68,796 68,669 69,832 70,993 72,153 73,311 72,616 73,810 75,002 76,192 77,380 77,386 78,616 79,843 81,069 82,292 80,747 82,001 83,253 84,502 85,749 87,968 89,272 90,573 91,872 93,167 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 55,335 56,335 57,335 58,335 59,335 58,040 59,064 60,088 61,111 62,135 61,031 62,080 63,129 64,178 65,227 64,658 65,737 66,816 67,894 68,972 69,919 71,040 72,160 73,279 74,397 74,468 75,624 76,778 77,931 79,082 78,567 79,752 80,936 82,117 83,298 83,513 84,733 85,950 87,166 88,379 86,994 88,236 89,477 90,715 91,952 94,460 95,751 97,039 98,324 99,607 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 60,335 61,335 62,335 63,335 64,335 63,158 64,181 65,204 66,226 67,249 66,274 67,322 68,369 69,416 70,462 70,049 71,125 72,201 73,276 74,351 75,514 76,630 77,745 78,860 79,973 80,232 81,381 82,529 83,675 84,821 84,476 85,654 86,830 88,004 89,177 89,591 90,801 92,010 93,217 94,433 93,186 100,888 94,419 102,166 95,649 103,442 96,878 104,716 98,105 105,988 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 65,335 66,335 67,335 68,334 69,334 68,271 69,293 70,315 71,337 72,358 71,508 72,554 73,600 74,645 75,689 75,424 76,498 77,571 78,643 79,715 81,085 82,197 83,308 84,418 85,527 85,965 87,108 88,250 89,391 90,531 90,349 95,626 99,330 107,258 91,529 96,828 100,554 108,525 92,689 98,028 101,776 109,791 93,856 99,227 102,996 111,055 95,023 100,425 104,215 112,317 66 67 68 69 70 294 54,437 55,668 56,896 58,120 59,342 58,619 59,892 61,162 62,428 63,691 61,581 62,883 64,181 65,476 66,766 67,985 69,346 70,703 72,055 73,402 36 37 38 39 40 20,99 20,995 20,999 dk 64,950 68,053 74,745 41 66,206 69,336 76,084 42 67,459 70,616 77,418 43 68,709 71,893 78,749 44 69,957 73,166 80,077 45 Matematika dan Stastistika 71 72 73 74 75 70,334 71,334 72,334 73,334 74,334 73,380 74,401 75,422 76,443 77,464 76,734 77,778 78,821 79,865 80,908 80,786 81,857 82,927 83,997 85,066 86,635 87,743 88,850 89,956 91,061 91,670 96,189 101,621 105,432 113,577 92,808 97,353 102,816 106,648 114,835 93,945 98,516 104,010 107,862 116,091 95,081 99,678 105,202 109,074 117,364 96,217 100,839 106,393 110,286 118,599 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 75,334 76,334 77,334 78,334 79,334 78,485 79,505 80,526 81,546 82,566 81,951 82,994 84,036 85,078 86,120 86,135 87,203 88,271 89,338 90,405 92,166 97,351 101,999 107,583 111,495 119,850 93,270 98,780 103,158 108,771 112,704 121,100 94,374 99,880 104,316 109,958 113,911 122,348 95,476 100,980 105,473 111,144 115,117 123,594 96,578 102,079 106,629 112,329 116,321 124,839 76 77 78 79 80 dk 81 82 83 84 85 20,50 89,334 81,334 82,334 83,334 84,334 20,60 83,586 84,606 85,626 86,646 87,665 20,70 87,161 88,202 89,243 90,284 91,325 20,80 20,90 91,472 97,680 92,538 98,780 93,604 99,880 94,669 100,980 95,734 102,079 86 87 88 89 90 85,334 86,334 87,334 88,334 89,334 88,685 89,704 90,723 91,742 92,761 91 92 93 94 95 90,334 91,334 92,334 93,334 94,334 96 97 98 99 100 20,95 20,975 20,99 20,995 20,999 dk 103,010 107,783 113,512 117,524 126,082 104,139 108,937 114,695 118,726 127,324 105,267 110,090 115,876 119,927 128,565 106,395 111,242 117,057 121,126 129,804 107,522 112,393 118,236 122,325 131,041 81 82 83 84 85 92,365 96,799 103,177 93,405 97,863 104,139 94,445 98,927 105,267 95,484 99,991 106,395 96,524 101,054 107,522 108,648 109,773 110,898 112,022 113,145 113,544 119,414 123,522 132,277 114,693 120,591 124,718 133,512 115,841 121,767 125,912 134,745 116,989 122,942 127,106 135,977 118,136 124,116 128,299 137,208 86 87 88 89 90 93,780 97,563 102,117 108,661 94,799 98,602 103,179 109,756 95,818 99,641 104,241 110,850 96,836 100,679 105,303 111,944 97,855 101,717 106,364 113,038 114,268 115,390 116,511 117,632 118,752 119,282 125,289 129,490 138,438 120,427 126,462 130,681 139,666 121,571 127,633 131,871 140,893 122,715 128,803 133,059 142,119 123,858 129,973 134,246 143,343 91 92 93 94 95 95,334 98,873 102,755 107,425 114,131 96,334 99,892 103,793 108,486 115,223 97,334 100,910 104,831 109,574 116,315 98,334 101,928 105,868 110,607 117,407 99,334 102,946 106,906 111,667 118,498 119,871 120,990 122,108 123,225 124,342 125,000 131,141 135,433 144,576 96 126,141 132,309 136,619 145,789 97 127,282 133,476 137,803 147,010 98 128,422 134,642 138,987 148,230 99 129,561 135,807 140,169 149,449 100 295 Matematika dan Stastistika Lampiran 2 Tabel Nilai Kritis J pada Uji Wilcoxon n 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 = 0,01 --0 2 3 5 7 10 13 16 20 23 28 32 38 43 49 55 61 68 296 = 0,05 0 2 4 6 8 11 14 17 21 25 30 35 40 46 52 59 66 73 81 89 Matematika dan Stastistika Lampiran 3 Tabel Nilai Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney = 0,025 pada satu ujung atau = 0,05 pada dua ujung N1/n2 9 1 2 0 3 2 4 4 5 7 6 10 7 12 8 15 9 17 10 20 11 23 12 26 13 28 14 31 15 34 16 37 17 39 18 42 19 45 20 48 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0 3 5 8 11 14 17 20 23 26 29 33 36 39 42 45 48 52 55 0 3 6 9 13 16 19 23 26 30 33 37 40 44 47 51 55 58 62 1 4 7 11 14 18 22 26 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 1 4 8 12 16 20 24 28 33 37 41 45 50 54 59 63 67 72 76 1 1 1 2 2 2 2 5 5 6 6 7 7 8 9 10 11 11 12 13 13 13 14 15 17 18 19 20 17 19 21 22 24 25 27 22 24 26 28 30 32 34 26 29 31 34 36 38 41 31 34 37 39 42 45 48 36 39 42 45 48 52 55 40 44 47 51 55 58 62 45 49 53 57 61 65 69 50 54 59 63 67 72 76 55 59 64 67 74 78 83 59 64 70 75 80 85 90 64 70 75 81 86 92 98 67 75 81 87 93 99 105 74 80 86 93 99 106 112 78 85 92 99 106 113 119 83 90 98 105 112 119 127 297
