1. FUNGSI P

RANGKAIAN LISTRIK II
(TKE 132103 / 2 SKS)
FUNGSI PEMAKSA SINUSOIDA
Materi kuliah
Teknik Elektro Unsoed
Daru Tri Nugroho, S.T. M.T.
PENDAHULUAN
Respons lengkap sebuah rangkaian listrik
linear dibentuk dari dua bagian :
• respons alami
• respons paksa keadaan tunak (steadystate).
Beberapa alasan mengapa hanya menghitung
respons paksaan (keadaan tunak atau steadystate) :
• Respons alamiah hanya ada beberapa saat saja
(umumnya berorde mikro atau milli detik).
• Dianggap sudah memahami respons alamiah.
• Memudahkan perhitungan.
Contoh sifat sinusoida yang terjadi di alam ;
•
•
•
•
•
gerak bandul,
lenturan bola,
getaran tali gitar,
atmosfer politik di dalam suatu negara, dan
riak pada permukaan air
Respon paksaan
untuk rangkaian RL seri
i
R
υS(t) = Vm cos ωt
+
~
L
-
Persaman diferensial :
L
Bentuk umum arusnya :
di
 Ri  Vm cos t
dt
it   I1 cos t  I 2 sin t
Mensubstitusikan bentuk umum arus ke dalam persamaan
diferensial menghasilkan :
L( I 1 sin t  I 2 cos t )  R( I 1 cos t  I 2 sin t )  Vm cos t
Jika kita mengumpulkan suku-suku cosinus dan sinus,
maka kita dapatkan :
( LI 1  RI 2 ) sin t  ( LI 2  RI 1  Vm ) cos t  0
Jika faktor-faktor yang mengalikan cos ωt dan sin ωt masing-masing
adalah nol, maka :
LI 2  RI 1  Vm  0
 LI1  RI 2  0
Penyelesaian simultan untuk I1 dan I2 menghasilkan :
I1 
RV m
R 2   2 L2
I2 
LVm
R 2   2 L2
Jadi, didapat respons paksaan :
i (t ) 
RVm
LVm
cos

t

sin t
2
2 2
2
2 2
R  L
R  L
Respon dinyatakan sebagai cosinusoida tunggal dengan sebuah
sudut fase.
i (t )  A cos(t   )
A cost     A cos cos t  A sin  sin t
A cos  cos t  A sin  sin t 
RV m
LVm
cos

t

sin t
2
2 2
2
2 2
R  L
R  L
RV m
A cos   2
R   2 L2
LVm
A sin   2
R   2 L2
Untuk mendapatkan A dan θ :
A sin 
L
 tan  
A cos 
R
A2 cos 2   A2 sin 2   A2
R 2Vm2
 2 L2Vm2
Vm2
 2
 2
2
2 2 2
2 2 2
(R   L )
(R   L )
R   2 L2
Maka :
  tan
A
1
L
R
Vm
R 2   2 L2
Bentuk respons paksaan menjadi :
i (t ) 
L 

cos t  tan 1

2
2 2
R


R  L
Vm
υ,i
θ
i(t)
ωt
π
0
2π
υ(t)
Fungsi pemaksa sinusoida yang digunakan (hitam) dan
respons arus sinusoida yang dihasilkan (biru) rangkaian RL seri
Contoh Soal
1. Misalkan R adalah 200 Ω dan L adalah 8 mH pada rangkaiaan yang
diperlihatkan pada Gambar 3. Bila υS = 40 cos 104t V, carilah: (a) υR (t),
tegangan melintasi R, referensi + di sebelah kiri; (b) υL(t), tegangan
melintasi L, referensi + sebelah atas; (c) pS(t), daya yang dicatu oleh
sumber.
i(t)
200 Ω
υS(t) = 40 cos 104t V
+
~
−
8
mH
Gambar 3: Rangkaian RL seri untuk mana diinginkan respons paksaan.
Jawab :
i (t ) 

L 

cos t  tan 1

2
2 2
R 

R  L
Vm
4
3
 4

1 10  8 10

cos10 t  tan
2
4 2
3 2
200
200  (10 )  (8 10 )


40

40
cos 10 4 t  tan 1 0,4
46400
40

cos 10 4 t  21,8
215,4




 0,1857 cos(10 4 t  21,8) A
 R (t )  R  i (t )
 200  0,1857 cos(10 4 t  21,8)
 37,1cos(10 4 t  21,8) V
di
 L (t )  L
dt
d (0,1857 cos(10 4 t  21,8))
 8 10
dt
 8 10 3  0,1857 10 4  sin( 10 4 t  21,8)
3
 14,586  sin( 10 4 t  21,8)
 14,586  cos(10 4 t  21,8  90)
 14,586  cos(10 4 t  111,80)
 14,586  cos(10 4 t  68,198) V
p S (t )   S (t )  i (t )
 40  cos10 4 t  0,1857  cos(10 4  21,8)
 7,43 cos 10 4 t  cos(10 4 t  21,8) W
2.
Gunakan teorema Thevenin untuk menyederhanakan
rangkaian dari Gambar 4 dan carilah harga-harga pada saat t = 0
untuk (a) iL; (b) υ6; (c) υ1.
~
18 sin
500t mA
2
kΩ
+ υ1
−
1
kΩ 6
kΩ
iL
+
υ6
_
3H
Gambar 4: Lihat Contoh Soal 2.
i7
Jawab :
1 kΩ
18 sin 500t mA
~
2 kΩ
6 kΩ
a
υTH
b
(a)
Gambar 5a : Tegangan Thevenin Gambar 4.
Arus pada tahanan 1 dan 6 kΩ
2
i7 (t ) 
 18  sin 500t mA
27
 4 sin 500t mA
Tegangan Thevenin diukur pada tahanan 6 kΩ,
 TH  ( ab ) OC
 6  i7 (t )  6  4 sin 500t
 24 sin 500t V
1 kΩ
2 kΩ
6 kΩ
a
RTH
b
(b)
Gambar 5b: Tahanan Thevenin Gambar 4.
Tahanan Thevenin rangkaian Gambar 4.
RTH
3  6 18


 2 k
36
9
i
+
υTH(t) = 24 sin 500t
V
~
2 kΩ
3H
−
(c)
Gambar 5c: Rangkaian ekivalen Thevenin Gambar 4.
(a) iL(t)
i L (t ) 
500  3 

 sin  500t  tan 1
3 
3 2
2
2
2  10 

(2  10 )  500  3
24
24
 sin( 500t  tan 1 0,75)
2500
 9,6  10 3 sin( 500t  36,87) A

pada saat t = 0
i L (0)  9,6  10 3 sin( 500  0  36,87)
 9,6  10 3 sin( 36,87)
 9,6  0,6
 5,76 mA
(b) υ6
di
dt
d (9,6  10 3  sin( 500t  36,87))
3
dt
 3  9,6  10 3  500  cos(500t  36,87)
6  L
 14,4 cos(500t  36,87)
pada saat t = 0
 6 (0)  14,4  cos(500  0  36,87)
 14,4  cos( 36,87)
 14,4  0,8
 11,52 V
(c) pada saat t = 0
+ υ1 − −5,76 mA
1 kΩ i1kΩ
18 sin 500t
mA
~
2 kΩ
6 kΩ
1,92 mA
+
υ6
_
Gambar 6: Gambar 4 pada saat t = 0.
3H
Arus pada tahanan 6 kΩ yaitu
6
11,52
i6 

 1,92 mA
3
R
6  10
N
dengan mempergunakan KCL pada simpul
i
n 0
0
n
i1k  5,76  1,92
 3,84 mA
sehingga tegangan pada tahanan 1 kΩ
1k  i1k  R1k
 3,84  10
 3,84 V
3
 1  10
3
Latihan Soal
1. Sumber tegangan Vm cos ωt, tahanan R, dan kapasitor C semuanya
dalam keadaan seri. (a) Tuliskan persamaan integrodiferensial di dalam
arus loop i dan kemudian diferensiasikan untuk mendapatkan persamaan
diferensial untuk rangkaian. (b) Anggaplah bentuk umum yang sesuai untuk
respons paksaan i(t), substitusikan ke dalam persamaan diferensial
tersebut, dan tentukan bentuk eksak dari respons paksaan.
2.Dengan mempergunakan teorema Thevenin untuk menyederhanakan
rangkaian dari Gambar 7 maka carilah harga-harga pada saat t = 5 ms
untuk (a) iC; (b) υ2.
2Ω
5Ω
iC
50 cos 103t
mV
+
~
−
Gambar 7: Lihat Latihan Soal 2
+
υ2
_
2Ω
1 mF