PEMODELAN MATEMATIKA PART 1 MODEL SEDERHANA

PEMODEL AN
MATEMATIKA
YULIANI PUJI ASTUTI
DEFINISI MODEL
PEMODELAN MATEMATIKA ?
CONTOH MODEL MATEMATIKA
MANFAAT MODEL MATEMATIKA
PENERAPAN MODEL MATEMATIKA
PRINSIP PEMODELAN MATEMATIKA
JENIS PEMODELAN MATEMATIKA
• MODEL KUANTITATIF
Model yang disusun berdasarkan data-data kuantitatif.
Data kuantitatif merupakan data numeric hasil pengamatan suatu fenomena atau proses.
Pendekatan yang digunakan Antara lain Statistik, Numerik ataupun Analitik.
Contoh :
- Model kenaikan harga BBM tiap tahun selama 10 tahun
- Model produksi mesin berdasarkan konsumsi bahan bakar dan biaya tenaga listrik
- Model populasi ikan disungai brantas yang dipengaruhi tingkat pencemaran air sungai
JENIS PEMODELAN MATEMATIKA
• MODEL KUALITATIF
Model yang disusun berdasarkan data-data kualitatif.
Data kualitatif merupakan data penilaian secara linguistic seperti jarang, sering, selalu, tidak pernah, dll.
Pada model matematika, data kualitatif ini harus dibawa ke dalam nilai (rentang nilai) numeric.
Data kualitatif sering dijumpai pada bidang ilmu social dan seni (meng-eksak-kan fenomena social)
Contoh :
- Model hubungan bilateral antar Negara ASEAN
- Model cinta Romeo dan Juliet
- Model strategi perang dalam game Mobile Legend
LANGKAH-LANGKAH PEMODELAN
MATEMATIKA
• Mengamati fenomena mikroskopis yang terjadi dan menyimpulkan hal-hal esensial yang
merupakan karakter pokok dari fenomena tersebut. (Menentukan variable Matematis)
• Menyusun mekanisme proses yang menyebabkan terjadinya fenomena mikroskopis pada poin 1.
(Menentukan hubungan antar variable)
• Mencari konsep dasar yang dapat digunakan pada poin 2 , dapat berupa kaidah, konsep, atau
teorema.
• Melakukan penyederhanaan berbasis asumsi-asumsi yang logis. (semakin banyak asumsi model
menjadi kurang ideal, karena akan mengeliminir variable yang terlibat pada model matematika)
• Merumuskan model matematika
SEKILAS QUOTE
“Perjalanan 1.000km dimulai dengan langkah pertama”
(Lao Tzu, abad ke-6 SM)
PEMODELAN MATEMATIKA
SEDERHANA (1)
• Sebanyak 440 orang mahasiswa melakukan perjalanan wisata. Ditengah jalan
salah satu bus mogok sehingga penumpangnya dipindahkan ke bus-bus yang lain.
Jika tiap bus mendapatkan tambahan 4 penumpang, tentukan jumlah bus yang
dipakai mula-mula.
Gunakan kaidah pemodelan Matematika dalam menyelesaikan permasalahan
tersebut.
PENYELESAIAN
• Misalkan Jumlah bus mula-mula = x
• Jumlah Bus setelah mogok = x-1
• Jumlah penumpang tiap bus sebelum mogok = 440/x
• Jumlah penumpang tiap bus setelah satu bis mogok = 440/(x-1)
•
440
𝑥−1
• 𝑥
=
440
𝑥
= 11
+4
PEMODELAN MATEMATIKA
SEDERHANA (2)
• Deri memiliki beberapa lembar uang Rp 10.000 dan Rp 20.000. Jika uang Deri
ditukar dengan lembaran Rp 50.000, jumlah lembarnya berkurang 11 lembar.
Jika ditukar dengan pecahan Rp 5.000, jumlahnya bertambah 25 lembar. Berapa
jumlah uang Deri ?
Gunakan kaidah pemodelan Matematika dalam menyelesaikan permasalahan
tersebut.
CEK JAWABAN ANDA
• Total Uang Deri Rp 200.000,-
KONSEP KESETIMBANGAN
Pada Pemodelan Matematika terdapat konsep kesetimbangan dalam penyusunannya. Hal ini
terbagi dalam 3 hal yaitu :
1.
Jumlah yang Tetap
2.
Selisih yang tetap
3.
Perbandingan yang Tetap
JUMLAH TETAP
Pada banyak fenomena seringkali menggunakan konsep kuantitas tetap.
Pada berbagai proses misalkan penguapan cairan, reaksi kima, dll massa
total tidak berubah menurut Lavoisier atau sering disebut neraca massa.
• Adi dan Bayu bermain kelereng berdua. Sebelum bermain jumlah
kelereng Adi dibanding Bayu adalah1:2. Dalam permainan tersebut Bayu
kalah 3 kelereng. Setelah permainan tersebut perbandingan kelereng
mereka menjadi 4:5. Berapa jumlah kelereng mereka?
CEK JAWABAN ANDA
• Kelereng Adi 9
• Kelereng Bayu 18
• Jumlah kelereng Adi dan Bayu 27
SELISIH TETAP
Siti berlari dari pasar kearah utara dengan kecepatan 5m/s. Enam
detik kemudian, Bella menyusul siti dari lokasi yang sama Siti
berangkat menuju ke utara dengan kecepatan 5,5m/s. Pada jarak
berapa meter dari lokasi berangkat Bella bisa menyusul Siti?
CEK JAWABAN
• 330 meter
PERBANDINGAN TETAP
• Pada berbagai peristiwa seringkali dijumpai kaidah perbandingan tetap. Misalkan dalam
pembuatan bangunan dibutuhkan perbandingan semen dan pasir sebesar 1:3. Dari satu ton
batang tebu dihasilkan 0,12 ton gula pasir (Rein,2007), dll.
Contoh permasalahan :
Bahan C dibuat dari bahan A dan B. Untuk tiap 2 kg bahan A dibutuhkan 3 kg bahan B dan
menghasilkan 4kg C. A,B, dan C disimpan dalam gudang yang sama dengan perbandingan 2:4:1.
Jumlah total ketiga bahan tersebut 140 ton. Sebagian A dan B diproses menjadi C dan hasilnya
disimpan dalam gudang yang sama. Setelah proses tersebut, ternyata total yang ada digudang
berkurang 10%. Massa A, B, dan C masing-masing sekarang adalah …
CEK JAWABAN
• A = 12 ton
• B = 38 ton
• C = 76 ton
KONSEP DIFERENSIAL PADA
PEMODELAN MATEMATIKA
• Konsep diferensial seringkali digunakan untuk menyusun suatu model matematika. Hal ini dapat
diterapkan pada suatu fenomena yang terjadi secara kontinu, biasanya berdasarkan perubahan
variable waktu.
Sebagai contoh fenomena gerak lurus berikut.
x(0)
v
x(t)
Jika anda mengendarai motor dari posisi awal x(0) dan pada saat t sekon ada diposisi x(t).
𝑥 𝑡 = 𝑡 3 … (1)
Sesuai persamaan gerak (1) didapat table
berikut:
0
0
Jika pengendara pada detik ke-4 ( t=4)
melihat spidometer , maka kecepatan
kecepatan yang tertera pada spidometer
adalah …………………………………..
1
1
Kecepatan ini dinamakan kecepatan sesaat.
2
8
3
27
4
64
t(sekon) x(meter)
Kecepatan benda berubah terhadap waktu.
QOUTE OF THE DAY
“Imajinasi lebih Penting daripada Pengetahuan”
(Albert Einstein, 1879-1955)
KONSEP INTEGRAL PADA
PEMODELAN MATEMATIKA
• Konsep integral, yang merupakan anti derivative juga memiliki penerapan pada suatu fenomena
yang terjadi secara kontinu.
Sebagai contoh fenomena gerak suatu benda dengan arah x berikut :
Jika anda mengendarai motor dengan kecepatan bergantung waktu (t) mengikuti persamaan v(t)
𝑣 𝑡 = 3𝑡 2 … (2)
Sesuai persamaan (2) didapatkan table berikut :
Sesuai persamaan gerak (2) didapat table
berikut:
0
0
Jika anda yang mengendarai kendaraan
tersebut, saat detik ke-4, t=4, Jarak yang
telah anda tempuh adalah
………………………… meter
1
3
Apakah Jarak=waktu.Kecepatan berlaku?
2
12
S=t.v
3
27
S=4.48?
4
48
Langkah ini bermakna setiap saat, kecepatan
benda sama yaitu sebesar 48m/s
t(sekon) v(m/s)
Kecepatan benda berubah terhadap waktu.
• Cara tersebut tidak dapat dipakai karena kecepatan benda berubah setiap waktu.
• 𝑠=
𝑛
𝑖=1 𝑣𝑖 ∆𝑡
MODEL DEBIT AIR
• Debit (Q) merupakan laju alir suatu fluida dalam besaran volume per satuan waktu.
• 𝑄=
𝑉
𝑡
• Permasalahan :
Suatu tangki diisi air dari slang yang mana debit alirannya tidak tetap mengikuti persamaan :
𝑄 𝑡 = −𝑡 2 + 10𝑡
Jika cairan diasumsikan homogen, dan tangki semula kosong, tentukan volume cairan setelah 6
sekon.
Berapa volume air maksimal yang dapat ditampung?
MODEL BAN BOCOR
• Suatu ban mobil memiliki volume 40liter semula bertekanan awal 𝑃0 = 3,5 𝑎𝑡𝑚. Suhu lingkungan
tetap dan tekanan udara luar 𝑃𝑢 = 1 𝑎𝑡𝑚. Pada ban tersebut terdapat lubang kecil dan terjadi
kebocoran udara keluar ban. Laju lebocoran udara (F) dalam mol/jam bergantung pada selisih
tekanan dalam ban (P)atm dirumuskan sebagai : 𝐹 = 𝑘(𝑃 − 𝑃𝑢 ), k=0,2 mol/jam/atm.
Tentukan model tekanan udara dalam ban pada detik ke-t
Konstruksi Model :
• Rumusan untuk jumlah Gas (G) untuk F tetap adalah 𝐺 = 𝐹. 𝑡
• Karena nilai F bergantung P, maka besar F setiap waktu akan berubah.
Perubahan nilai G karena F yang berubah ubah menurut berjalannya waktu memenuhi persamaan
∆𝐺 = 𝐹. ∆𝑡 , jika waktu berjalan secara kontinyu persamaan menjadi 𝑑𝐺 = 𝐹. 𝑑𝑡
MODEL BAN BOCOR (LANJUTAN)
• Berkurangnya mol udara dalam ban = jumlah mol udara keluar dari ban.
• Maka berlaku : −𝑑𝑛 = 𝑑𝐺,
−𝑑𝑛 = 𝐹. 𝑑t
−𝑑𝑛 = 𝑘 𝑃 − 𝑃𝑢 . 𝑑t (3)
• Karena udara diasumsikan sebagai gas ideal, maka berlaku P𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 , 𝑛 =
𝑃𝑉
𝑅𝑇
(4)
P tekanan,V volum, n jumlah mol, R tetapan gas= 0,082 Latm/mol/K,T suhu mutlak.
• Substitusi (4) ke (3) didapat : −𝑑
−
𝑃𝑉
𝑅𝑇
𝑉
𝑑
𝑅𝑇
= 𝑘 𝑃 − 𝑃𝑢 . 𝑑𝑡
𝑃 = 𝑘 𝑃 − 𝑃𝑢 . 𝑑𝑡
𝑑𝑃
(𝑃−𝑃𝑢)
=
−𝑘𝑅𝑇
. 𝑑𝑡
𝑉
(5)model Matematika peristiwa ban bocor
MODEL BAN BOCOR (LANJUTAN)
• Untuk mendapatkan persamaan tekanan tiap waktu, persamaan (5) yang merupakan persamaan
diferensial dapat kita cari solusinya.
𝑃
𝑑𝑃
𝑘𝑅𝑇
=−
𝑉
𝑃0 (𝑃 − 𝑃𝑢)
𝑡
𝑑𝑡
0
𝑃 − 𝑃𝑢
𝑘𝑅𝑇
𝑙𝑛
=−
𝑡
𝑃0 − 𝑃𝑢
𝑉
𝑘𝑅𝑇
𝑡
𝑉
𝑃 = 1 + 2,5 exp(−0,123t)
𝑃 = 𝑃𝑢 + 𝑃0 − 𝑃𝑢 𝑒𝑥𝑝 −
QUOTE
• “Alam semesta adalah BUKU bagi siapa saja yang hendak mempelajarinya, dan Bahasa buku itu
adalah MATEMATIKA”
(Pythagoras, 571-531 SM)
MODEL SQUEEZY BALL
• Sebuah padatan berbentuk bola dengan jari-jari 5cm memiliki kadar air yang tidak seragam,
tergantung jarak dari pusat bola. Persamaan hubungan kadar air (C) dalam gram/cm kubik
dengan jarak dari pusat bola (r) dalam cm adalah : 𝐶 = 0,4(1 − 0,04𝑟 2 )
• Tentukan massa air total yang ada dalam squeezy ball tersebut.
MODEL SQUEEZY BALL (LANJUTAN)
• Massa air dalam benda dengan volume V yang kadar airnya senilai C memenuhi persamaan :
𝑚 = 𝑉. 𝐶
• Karena nilai C tidak sama pada tiap posisi yang berbeda dari pusat r, maka kita buat 𝑑𝑟 → 0
𝑑𝑚 = 𝐶. 𝑑𝑉
𝑑𝑚 = 0,4(1 − 0,04𝑟 2 ). 4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟
𝑚 = 1,6𝜋
𝑟3
3
−
0,04 5
𝑟
5
𝑚 = 26,67𝜋 𝑔𝑟𝑎𝑚
𝑟=5
𝑟=0