integral-fungsi-kompleks

4. Integral Fungsi Kompleks
4. INTEGRAL FUNGSI KOMPLEKS
Seperti halnya dalam fungsi riil, dalam fungsi kompleks juga dikenal istilah
integral fungsi kompleks serta sifat-sifatnya. Sifat keanalitikan suatu fungsi dalam
suatu lintasan tertutup penting dalam perhitungan integral. Setelah membaca Bab
4, mahasiswa diharapkan dapat :
 Menghitung integral lintasan kompleks.
 Menggunakan teorema Cauchy Goursat dan rumus integral Cauchy dalam
perhitungan integral
 Menggunakan turunan fungsi analitik untuk menghitung integral
4.1 Fungsi Kompleks dari Variabel Riil
Misalkan F (t ) adalah fungsi kompleks dari variabel riil t , ditulis
sebagai F (t )  u (t )  i v(t ) dengan u (t ) dan v (t ) adalah fungsi riil. Jika u (t )
dan v (t ) kontinu pada interval tertutup a  t  b , maka

b
a
b
F (t ) dt   u(t ) dt  i
a

b
a
v(t ) dt .
38
4. Integral Fungsi Kompleks
Sifat-sifat
1. Re 

2. Im 
b
a

b
a
b
F (t ) dt    Re F (t )  dt
 a
b
F (t ) dt    Im F (t )  dt
a

b
b
a
b
a
a
 k F (t ) dt  k  F (t ) dt
 F (t ) dt    F (t ) dt
 F (t ) dt   F (t ) dt
3.
4.
a
5.
b
b
b
a
a
Pembuktian sifat-sifat integral di atas menggunakan sifat-sifat integral fungsi riil.
Bukti sifat 3 :

b
a
b
k F (t ) dt   k [ u(t )  i v(t )] dt
a
b
b
a
a
  k u(t ) dt   k i v(t ) dt
(sifat integral fungsi riil :
b

b

b
a
b
k f ( x) dx  k  f ( x)dx
a
b
 k  u(t ) dt  k  i v(t ) dt
 u(t) dt   i v(t) dt 
a
k
a
b
b
a
b

k
a
a
F (t ) dt (terbukti). □
Bukti sifat 4 :

b
a
b
F (t ) dt   u(t ) dt  i
a

b
v(t ) dt
a
(sifat integral fungsi riil :
a
   u(t ) dt  i

  
b
a

b
a
b
a

a
b
u(t ) dt  i
v(t ) dt

a
b
v(t ) dt
u(t )  i v(t ) dt

a
a
f ( x) dx   f ( x)dx )
b

   F (t ) dt (terbukti). □
b
4.2 Lintasan
Jika g dan h fungsi bernilai riil dan kontinu dari variabel t dalam interval
tertutup a  t  b , maka himpunan titik-titik di bidang xy dapat dinyatakan
dalam bentuk parametrik x  g (t ) ,
y  h(t ) , a  t  b . Oleh karena itu,
himpunan titik-titik dalam bidang kompleks juga dapat dinyatakan dalam
bentuk parametrik.
39
4. Integral Fungsi Kompleks
Definisi 4.1
Kurva di bidang datar merupakan kurva mulus (smooth curve) jhj
kurva tersebut dapat dinyakan dengan dua fungsi bernilai riil
x  g (t ) , y  h(t ),   t  
dx
dy
 g ' (t ) dan
 h' (t ) ada dan kontinu
sedemikian sehingga
dt
dt
dalam interval   t   .
Contoh 1
Kurva
dengan
x  2 cos t , y  2 sin t , 0  t 
bentuk
parametrik
3
merupakan kurva mulus.
2
□
Jika C merupakan kurva mulus dengan bentuk parametrik :
x  g (t ) , y  h(t ),   t  
maka

titik pada C yang berpadanan dengan t   disebut titik awal C .

titik pada C yang berpadanan dengan t   disebut titik akhir C .
Selanjutnya, C disebut lintasan (path) bila C terdiri dari berhingga banyak kurva
mulus,
C  C1  C 2    C n
dengan C1 , C 2 ,, C n merupakan kurva mulus.
penting
dalam
integral
fungsi
kompleks
Pengertian lintasan ini sangat
karena
berperan
sebagai
selang
pengintegralan dalam integral fungsi riil dari satu variabel.
Catatan :
1. C disebut lintasan tertutup jika titik akhir C berhimpit dengan titik awal C .
2. C disebut lintasan terbuka jika titik akhir C tidak berhimpit dengan titik awal C .
3. C disebut lintasan sederhana jika lintasan tidak memotong dirinya sendiri.
4. C disebut lintasan berganda jika lintasan memotong dirinya sendiri.
Contoh 2
C2
C2
C1
C1
C3
a. Lintasan tertutup
b. Lintasan terbuka
40
C3
4. Integral Fungsi Kompleks
c. Lintasan sederhana
Teorema 4.1
( Kurva Jordan )
d. Lintasan berganda
Jika C lintasan tertutup sederhana di bidang datar, maka bidang
datar itu dibagi oleh C menjadi 3 bagian, yaitu
1. kurva C .
2. bagian dalam C , ditulis Int (C ) , yang merupakan
himpunan terbuka dan terbatas.
3. bagian luar C , ditulis Ext (C ) , yang merupakan himpunan
terbuka dan tidak terbatas.
Kurva C merupakan batas dari himpunan Int (C ) dan Ext (C ) . □
4.3 Integral Garis
Misalkan kurva mulus C disajikan dengan x  g (t ) ,
y  h(t ) , a  t  b .
g (t ) dan h(t ) kontinu di a  t  b . g ' (t ) dan h' (t ) kontinu di a  t  b . Kurva
C mempunyai arah dari titik awal
A ( g (a), h(a)) ke titik akhir B ( g (b), h(b)) dan
P ( x, y ) suatu fungsi yang terdefinisi di C .
Teorema 4.2
1. Jika

C
P ( x, y ) kontinu

C

A
C
Teorema 4.3
C
P ( x, y ) dx
dan
P( x, y ) dx 

b
a
P [ g (t ), h(t ) ] g ' (t ) dt
P( x, y ) dy   P [ g (t ), h(t ) ] h' (t ) dt
a
A
P( x, y ) dx    P( x, y ) dx
B
3. Jika


b
C
2.
C , maka
P( x, y ) dy ada dan

B
di
P ( x, y ) dan Q ( x, y ) kontinu di C , maka
P( x, y ) dx   Q( x, y ) dx  
C
C
 P( x, y) dx  Q( x, y) dx.
□
Jika P ( x, y ) dan Q ( x, y ) serta turunan parsial tingkat pertama
kontinu pada seluruh daerah tertutup R yang dibatasi lintasan
tertutup C , maka
 Q P 
  P dx  Q dy    x  y  dx dy .
C
□
R
Contoh 3
Tentukan integral garis fungsi M ( x, y )  x  y sepanjang lintasan C  K dengan
C : garis dari (0,0) ke (2,0) dan K : garis dari (2,0) ke (2,2).
41
4. Integral Fungsi Kompleks
Penyelesaian :
C: y0 , 0 x2
(2,2)
K : x2 , 0 y2
K
Pada kurva C :
dx  0 .
(0,0)
C

CK
dy  0 dan pada kurva K :
(2,0)
M ( x, y ) dx   M ( x, y ) dx   M ( x, y ) dx
C
K
  ( x  y ) dx
C
2
  x dx
0
= 2.

CK
□
M ( x, y ) dy   M ( x, y ) dy   M ( x, y ) dy
C
K
  ( x  y ) dy
K
2
  (2  y ) dx
0
= 6.
□
4.4 Integral Lintasan Kompleks
Diberikan lintasan C dalam bentuk parametrik x  g (t ) ,
a  t  b.
h(t ) kontinu di a  t  b .
g (t ) dan
y  h(t ) dengan
g ' (t ) dan h' (t ) kontinu di
a  t  b . Jika z  x  i y , maka titik-titik z terletak C . Arah pada kurva C
( g (a ), h(a )) ke ( g (b), h(b)) atau dari z   sampai z   dengan   ( g (a), h(a))
dan   ( g (b), h(b)) .
Definisi 4.2
Diberikan fungsi f ( z )  u ( x, y )  i v( x, y ) dengan u dan v fungsi
dari t yang kontinu sepotong-potong pada a  t  b . Integral
fungsi f (z ) sepanjang lintasan C dengan arah dari z  
sampai z   adalah


Sifat-sifat
1.
2.

f ( z ) dz   f g (t )  i h(t ) g ' (t )  i h' (t ) dt
b
a



 k f ( z) dz  k 
C
f ( z ) dz    f ( z ) dz
C
f ( z ) dz
42
4. Integral Fungsi Kompleks
  f ( z)  g ( z ) dz  
3.
C
C
f ( z ) dz   g ( z ) dz
C
Contoh 4
Hitung

z e z dz jika  : garis lurus dari z 0  1 ke z1  2  i .
2
Penyelesaian :
z1  2  i
z0  1
(0,1)
(2,1)
Persamaan garis  : y  1 dan mempunyai bentuk parametrik :
x  g (t )  t
y  h(t )  1
, t [ 0, 2]
( 4.1 )
Dari (4.1) diperoleh :
z  g (t )  i h(t )  t  i
dz  g ' (t )  i h' (t )dt  1. dt
Karena f ( z )  z e z maka f g (t )  i h(t )  f (t  i)  (t  i) e (t i ) .
2
2
Sehingga,

2
z e z dz   (t  i ) e (t i ) 1 dt
2
2
0
2
  (t  i ) e (t i ) dt (gunakan subtitusi : u  (t  i ) )
2
0



1 3 4 i
e
 e 1 .
2
□
4.5 Pengintegralan Cauchy
Teorema 4.4
( Teorema Cauchy)
Jika f (z ) analitik dan f ' ( z ) kontinu di dalam dan pada
lintasan tertutup sederhana C , maka

C
f ( z ) dz  0 . □
C
f (z ) analitik dan f ' ( z ) kontinu
Contoh 4
Misalkan diberikan C sebarang lintasan tertutup dalam bidang kompleks.
1.
f ( z)  z 2
2.
f ( z)  1
Teorema 4.5
( Teorema CauchyGoursat)


C
C
Jika
z 2 dz  0 .
□
dz  0 .
□
f (z ) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup
sederhana C , maka
43

C
f ( z ) dz  0 . □
4. Integral Fungsi Kompleks
C
f (z ) analitik
Contoh 5
Diketahui C : z  1 . Hitunglah

C
f ( z ) dz jika f ( z ) 
Penyelesaian :
1
.
z 3
1
, f (z ) tidak analitik di z  3 dan z  3 terletak di luar C .
( z  3) 2
Oleh karena itu, f (z ) analitik di dalam dan pada lintasan C , sehingga
1
C ( z  3) dz  0 . □
f ' ( z)  
Teorema 4.6
(Bentuk lain
Teorema Cauchy
Goursat )
Jika fungsi f (z ) analitik di seluruh domain terhubung
Teorema 4.7
(Teorema Cauchy
Goursat yang
diperluas)
Diberikan
sederhana D , maka untuk setiap lintasan tertutup C di
dalam D , berlaku  f ( z ) dz  0 . □
C
suatu
lintasan
tertutup
C , sedangkan
C1 , C 2 ,, C n adalah lintasan-lintasan tertutup yang terletak
di interior C sedemikian sehingga C1 , C 2 ,, C n tidak saling
berpotongan. Jika fungsi f (z ) analitik di dalam daerah
tertutup yang terdiri dari titik-titik pada C dan titik-titik di
dalam C , kecuali titik-titik interior C1 , C 2 ,, C n , maka

C
f ( z ) dz  
C1
f ( z ) dz  
C2
f ( z ) dz    
Cn
f ( z ) dz . □
C
f (z ) tidak analitik
C1
f (z ) analitik
Contoh 6
Hitung

C
dz
, jika C : z  2  2 .
( z  3)
Penyelesaian :
1
tidak analitik di z  3 yang berada di dalam interior C .
z 3
Dibuat lintasan tertutup C1 di dalam C berpusat di z  3 yaitu
1
1
1
C1 : z  3  . Diperoleh z  3  e i t , 0  t  2 dan dz  e i t dt .
2
2
2
f ( z) 
Menurut Teorema Cauchy Goursat yang diperluas,
44
4. Integral Fungsi Kompleks

C
dz
dz

C
1 ( z  3)
( z  3)

i
2 1
2
0

2
i e i t dt
it
1
2 e
dt
0
 2 i .
□
4.6 Integral Tak Tentu dan Integral Tentu
Jika fungsi
F ( z)  
z
z0
f analitik di dalam domain terhubung sederhana D , maka
f ( ) d mempunyai turunan untuk setiap titik z di dalam D dengan
F ' ( z )  f ( z ) , asalkan lintasan pengintegralan dari z 0 ke z seluruhnya terletak di
dalam D . Jadi F (z ) juga analitik di dalam D .
Teorema 4.8
Jika  dan  di dalam D , maka


D
f ( z ) dz  F (  )  F ( ) . □

f (z ) analitik

Contoh 7
 1 2i
z dz   z 2 
 2  2i .
i
2  i
(Karena f ( z )  z merupakan fungsi utuh, maka dapat dibuat sebarang domain
terhubung sederhana D yang memuat lintasan pengintegralan dari z  i ke
□
z  2  i ).

2i
4.7 Rumus Integral Cauchy
Teorema 4.9
(Rumus
Integral
Cauchy )
Jika f (z ) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup C dan
z 0 sebarang titik di dalam C , maka
1
f ( z)
f ( z0 ) 
dz

C
2 i
z  z0
atau
f ( z)
C z  z 0 dz  2 i . f ( z 0 ) . □
C
45
4. Integral Fungsi Kompleks
f (z ) analitik
z0
Turunan
Fungsi
Analitik
1
f ' ( z0 ) 
2 i 
f ' ' ( z0 ) 
2!
2 i C
C
f ( z)
dz 
( z  z0 ) 2
f ( z)
dz 
( z  z0 )3

f ( z)
dz  2 i . f ' ( z 0 )
( z  z0 ) 2
2 i
f ( z)
dz 
. f ' ' ( z0 )
3
2!
( z  z0 )
C

C

f n ( z0 ) 
n!
f ( z)
dz 

2 i C ( z  z 0 ) n 1

C
2 i n
f ( z)
dz 
. f ( z0 )
n 1
n!
( z  z0 )
Contoh 8
1. Hitung

C
dz
dengan C : z  2  2 .
z 3
Penyelesaian :
Diambil : f ( z )  1 ( f (z ) analitik di dalam dan pada C )
z 0  3 di dalam C .
f ( z 0 )  f (3)  1
Menggunakan rumus integral Cauchy, diperoleh

dz
 2  i . f ( z 0 )  2  i .1  2  i . □
z 3

dz
dengan C : z  3  2 .
z ( z  2) 2
C
2. Hitung
C
3
Penyelesaian :
1
( f (z ) analitik di dalam dan pada C )
z3
z 0  2 di dalam C .
3
3
f ' ( z )   4  f ' ( z 0 )  f ' ( 2)   .
16
z
Diambil : f ( z ) 
Menggunakan turunan fungsi analitik, diperoleh

C
2 i
2 i
dz
3
3

. f ( z0 ) 
.( )    i . □
2
1!
1
16
8
z ( z  2)
3
4.8 Teorema Morera dan Teorema Lionville
Teorema 4.10
(Teorema Morera)
Jika f (z ) kontinu dalam domain terhubung D dan untuk
setiap lintasan tertutup C dalam D berlaku
maka f (z ) analitik di seluruh D .
46
□

C
f ( z ) dz  0 ,
4. Integral Fungsi Kompleks
Teorema 4.11
(Teorema
Lionville)
f (z ) terbatas di seluruh bidang
kompleks, maka f (z ) adalah suatu fungsi konstan. □
Jika
f (z ) analitik dan
4.9 Teorema Modulus Maksimum
Jika f (z ) analitik dan M nilai maksimum dari f (z ) untuk z di dalam


daerah D  z : z  z 0  r , dan jika f ( z 0 )  M , maka f (z ) konstan di seluruh
daerah D . Akibatnya, jika f (z ) analitik dan tidak konstan pada D , maka
f ( z0 )  M .
Prinsip Modulus
Maksimum
Jika fungsi tak konstan f (z ) analitik di z 0 , maka di setiap
Teorema 4.12
(Teorema
Modulus
Maksimum)
Jika
Teorema 4.13
(Ketaksamaan
Cauchy)
Jika
kitar dari z 0 , terdapat titik z dan
f ( z0 )  f ( z) .
f (z ) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup
sederhana C , dan f (z ) tidak konstan, maka f (z ) mencapai
nilai maksimum di suatu titik pada C , yaitu pada perbatasan
daerah itu dan tidak di titik interior. □
f (z ) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup
 r , dan f (z ) terbatas pada C ,
n!M
f ( z)  M , z  C maka f n ( z 0 )  n , n  0 ,1, 2 , □
r
sederhana C :
z  z0
.
Ringkasan
Sifat keanalitikan fungsi kompleks di dalam dan pada suatu lintasan tertutup
merupakan hal yang harus diperhatikan dalam perhitungan integral fungsi
kompleks.
47
4. Integral Fungsi Kompleks
Soal-soal
1. Hitung

2. Hitung

C
z e z dz jika  : kurva y  x 2 dari z 0  0 ke z1  1  i .
2
f ( z ) dz jika f ( z )  z 3 dengan C : setengan lingkaran z  2 dari
z  2i ke z  2i .
3. Hitung integral fungsi f (z ) sepanjang lintasan tertutup C berikut :
a. f ( z ) 
z ez
, C : z  1 (counterclockwise).
(4 z   i ) 2
b. f ( z ) 
e2z
, C : ellips x 2  4 y 2  4 (counterclockwise).
( z  1) 2 ( z 2  4)
c. f ( z ) 
Ln ( z  3)  cos z
, C : segiempat dengan titik-titik sudut z  2
( z  1) 2
dan z  2 i (counterclockwise).
d. f ( z ) 
2z 3  3
, C : terdiri dari z  2 (counterclockwise) dan
z ( z  1  i) 2
z  1 (clockwiswe).
e. f ( z ) 
(1  z ) sin z
, C : z  i  2 (counterclockwise).
(2 z  1) 2
2
ez
f. f ( z ) 
, C : segiempat dengan titik-titik sudut z  3  3 i
z ( z  2i ) 2
(counterclockwise) dan z  1 (clockwiswe).
g. f ( z ) 
z 3  sin z
, C : segitiga dengan titik-titik sudut z  2 , z  2 i
( z  i) 3
(counterclockwise).
48