bab-6-transformasi-laplace

BAB VI
TRANSFORMASI LAPLACE
Standar Kompetensi
Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat
memahami cara menentukan transformasi Laplace dan transformasi Laplace
invers suatu fungsi serta mengaplikasikannya dalam menentukan selesaian
persamaan diferensial tingkat tinggi.
Kompetensi Dasar
1. Mahasiswa
dapat
menentukan
transformasi
Laplace
fungsi
dengan
Laplace
fungsi
dengan
menggunakan metode langsung (integral tak wajar)
2. Mahasiswa
dapat
menentukan
transformasi
menggunakan metode deret.
3. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace invers fungsi dengan
menggunakan metode pecahan parsial.
4. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace invers fungsi dengan
menggunakan rumus penguraian Heaviside.
5. Menentukan
selesian
persamaan
diferensial
tingkat
tinggi
dengan
menggunakan aplikasi transformasi Laplace dan transformasi Laplace invres.
Bab III dalam buku ini membahas hal-hal pokok tentang (1) bentuk umum
persamaan diferensial linear, (2) cara menentukan selesaian persamaan diferensial
linear yang meliputi: cara faktor integral, metode Lagrange, mengubah persamaan
diferensial linear menjadi persamaan diferensial eksak, dan persamaan Bernoulli.
6.1
Transformasi Laplace
Definisi
Misalkan F (t ) suatu fungsi t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari F(t)
dinotasikan dengan L{F(t)} yang didefinisikan oleh:
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo151
`
L{F (t )}   e st F (t )dt  f ( s)
0
Karena L{F (t )} adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingga (  )
maka
`
L{F (t )}   e  st F (t )dt  f (s)
0
p
 Lim  e  st F (t )dt
p 
0
Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk
beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada.
Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya W(t),
G(t), Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf
kecil yang bersangkutan sehingga L {W(t)} = w(s), L {G(t)} = g(s), L {Y(t)} =
y(s) dan seterusnya.
Teorema
Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap
interval 0  t  N dan eksponensial berorde  untuk t > N, maka transformasi
Laplace f(s) ada untuk setiap s > 
Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa
fungsi sederhana.
No.
F (t )
L{F (t )}
1.
1
1
,s  0
s
2.
t
1
,s  0
s2
3.
t2
2
,s  0
s3
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo152
tn
n!
n = 0,1,2,3,….
s n 1
4.
,s  0
5.
e
6.
at
sin at
1
,s  0
sa
a
,s  0
s  a2
2
cos at
7.
s
,s  0
s  a2
2
8.
sinh at
a
,s  a
s  a2
2
9.
cosh at
s
,s  a
s  a2
2
10.
t cos at
s2  a
(s 2  a 2 ) 2
11.
t sin at
2a
s
(s  a 2 ) 2
2
Sebagai pemahaman bagi pembaca, berikut ini diberikan beberapa contoh
transformasi Laplace suatu fungsi.
Tentukan transformasi Laplace fungsi berikut:
1. F (t )  1
`
L{F (t )}   e  st 1  f ( s)
0
p
 Lim  e  st dt
p 
0
p
 1

 lim   e  st 
p 
 s
0
1
1 

 lim     0 
p 
se 
 se
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo153
 0

1
s
1
s
 f (s )
2. F (t )  t
`
L{F (t )}   e  st t dt
0
p
 
1
 lim  t.  d e  st
p 
s
0
p
1
  lim te  st   e  st dt
s p
0
p
1
1


  lim  te  st  e  st 
s p
s
o
p
1
1
1 

 
  lim  pe  sp  e  sp    0e 0  e 0 
s p
s
s 0
 
1
1 

   0  0   0   
s
s 

1
1
  0  
s
s

3.
1
s2
F (t )  e at
`
L{F (t )}   e  st t e at dt
0
p
 lim  e ( s a )t dt
p 
0
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo154



1
lim e ( s  a )t
s  a p 

1
1 
 1
lim  ( s  a )   ( s  a ) 0 
 ( s  a ) p   e
s


1
sa
p
0
4. F (t )  sin at

L{F (t )}   e  st sin at dt
0
p
1
 Lim  e  st  d (cos at )
p 
a
0
p

 1

1
 Lim  cos at.e  st   cos atd (e  st ) 
a
a
p  
0
0
p

 1

s
 st

 Lim  cos at.e    cos at.e  st dt 

p  
a
p
 a
0
p

 1

s
1
 Lim  cos at.e  st   e  st . d (sin at ) 
p 
a0
a
 a
0
p
p
 1

s  st
 st

 Lim  cos at.e  2 (e sin at   sin at.d (e  st ) 

p  
a
0
 a
0
p
p
 1

s  st
 st

 Lim  cos at.e  2 (e sin at   sin at.  se  st ) 

p  
a
0
 a
0
p
p
 1

s
s2
 Lim  cos at.e  st  2 e  st sin at  2  sin at.se  st ) 

p  
a
a 0
 a
0
p
a2  1
s
 st
 st 
 Lim 2
  cos at.e  2 sin at.e 
p  a  s 2
a
 a
0

a2
a2  s2
 cos at s. sin at 
 2 st 

st
a .e 
 a.e
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo155

a2
a2  s2

 1

 0  0     0  
 a



a2
a2  s2
1
 
a

a
a  s2
2
5. F (t )  cos at

L{F (t )}   e  st cos at dt
0
p
 Lim  e  st
p 
0
1
d (sin at )
a
p

1

1
 st

 Lim sin at.e   sin atd (e  st ) 
p 
a
0
a
0
p

1

s
 Lim sin at.e  st   sin at.e  st dt 

p   a
a
p

0
p

1

s
1
 Lim sin at.e  st   e  st . d ( cos at ) 
p  a
a0
a

0
p
p
1

s  st
 st

 Lim sin at.e  2 (e ( cos at )    cos at.d (e  st ) 

p   a
a
0

0
p
p
1

s
 Lim sin at.e  st  2 (e  st cos at )   cos at.  se  st dt ) 

p   a
a
0

0
p
2 p
1

s
s

st

st
 Lim sin at.e  2 (e cos at )  2  cos at.e  st ) 

p   a
a
a 0

0
p
a2  1
s
 st
 st 
 Lim 2
 sin at.e  2 cos at.e 
2
p  s  a
a
a
0

a 2  sin at s. cos at 
 2 st 

s 2  a 2  a.e st
a .e 
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo156

a2
s2  a2

s 

 0  0   0  2  
a 


a2  s 
 2
 
s  a2  a2 

a
s  a2
2
Syarat Cukup Transformasi Laplace Ada
Jika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang
berhingga 0  t  N dan eksponensial berorde  untuk t > N, maka transformasi
Laplacenya f(s) ada untuk semua s >  .
Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah cukup
untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi transformasi
Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi.
6.2
Metode Transformasi Laplace
Untuk memudahkan bagi pengguna matematika, terdapat beberapa cara yang
digunakan untuk menentukan transformasi Laplace. Cara tersebut adalah:
a. Metode langsung, berkaitan dengan definisi.
Metode ini berkaitan langsung dengan definisi

L{F (t )}   e  st F (t )dt
0
p
 Lim  e  st F (t )dt
p 
0
Contoh

L{F (t )}   e  st F (t )dt
0
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo157
p
 lim  e  st tdt
p 
0
p
1
 lim  t.  d (e  st )
p 
s
0
p
1
  lim te  st   e  st dt
s p
0
p
1
1


  lim te  st  e  st 
p


s
s

0
1
1
  0  
s
s

1
s2
 f (s )
b. Metode Deret
Misal F(t) mempunyai uraian deret pangkat yang diberikan oleh
F (t )  a0  a1t  a 2 t 2  a3t 3  ...

  ant n
n 0
Maka transformasi Laplacenya dapat diperoleh dengan menjumlahkan
transformasi setiap sukunya dalam deret, sehingga:
L{F (t )}  L{a 0 }  L{a1t}  L{a 2 t 2 }  L{a3t 3 }  ...

ao a1 2!a2
  3  ...
s s2
s

n! a n
, syarat ini berlaku jika deretnya konvergen untuk s > 
n 1
n0 s

c. Metode Persamaan differensial
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo158
Metode ini menyangkut menemukan persaman differensial yang dipenuhi oleh
F(t) dan kemudian menggunakan teorema-teorema di atas.
d. Menurunkan terhadap parameter
e. Aneka ragam metode, misalnya dengan menggunakan teorema-teorema yang
ada.
f. Menggunakan tabel-tabel, melalui penelusuran rumus yang sudah ditetapkan.
6.3
Sifat-sifat Transformasi Laplace
Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, sifat-sifat tersebut
antara lain:
a) Sifat linear
Jika c 1 dan c 2 adalah sebarang konstanta, sedangkan F1 (t ) dan F2 (t ) adalah
fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace masing-masing f1 (s)
dan f 2 ( s) , maka:
L{c1 F1 (t )  c2 F2 (t )}  c1 f1 (s)  c2 f (s)
Bukti:

L{c1 F (t ) c 2 F2 (t )}   e  st {c1 F1 (t )  c2 F2 (t )}dt
0


  e c1 F1 (t )dt   e  st c1 F2 (t )dt
 st
0
0
p

0
0
 c1  e  st F1 (t )dt  c2  e  st F2 (t )dt
 c1 f1 (s)  c2 f 2 (s)
1. L{5t  3}  L{5t  3a}  L{5t}  L{3}
 5L{t}  3L{1}
5

1
1
3
2
s
s
5 3

s2 s
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo159
2. L{6 sin 2t  5 cos 2t}  L{6 sin 2t}  L{5 cos 2t}
 6 L{sin 2t}  5L{cos 2t}
6

2
s
5 2
s 4
s 4
2
12  5s
s2  4
3. L{(t 2  1) 2 }  L{t 4  2t 2  1}
 L{t 4 }  L{2t 2 }  L{1}
 L{t 4 }  2L{t 2 }  L{1}


4!
s
4 1
 2!  1
 2 21  
s  s
24 4 1
 
s5 s3 s
4. L{4e 5t  6t 2  3 sin 4t  2 cos 2t}
 L{4e 5t }  L{6t 2 }  L{3 sin 4t}  L{2 cos 2t}
 

 4L e 5t  6L t 2  3Lsin 4t  2Lcos 2t
4

1
2
4
s
6 3 3 2
2 2
s 5
s
s 4
s 4
4
12
12
2s
 3  2
 2
s 5 s
s  16 s  4
Dengan menggunakan sifat linear, tentukan transformasi Laplace fungsí berikut.
1. F (t )  2t 2  e t t
2. F (t )  6 sin 2t  cos 2t
3. F (t )  (sin t  cos t ) 2
1
4. F (t )  cosh 3t  sinh t
2
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo160
5. F (t )  2t  2
3
6. F (t )  (sin t  3) 2
b) Sifat translasi atau pergeseran pertama
Jika L{F (t )}  f (s) maka L{e 2t F (t )}  f ( s  a)
Bukti
`
Karena L{F (t )}   e  st F (t )dt  f ( s) , maka
0
`
L{e F (t )}   e  st e at F (t )dt
at
0

  e ( s a )t F (t )dt
0
 f (s  a)
Contoh:
1. Tentukan L{e 3t F (t )} jika L{F (t )}  f (s)
Menurut sifat 2 di atas, L{e at F (t )}  f ( s  a)
Maka L{e 3t F (t )}  f s  (3) 
 f ( s  3)
s
2. Tentukan L{e 2t F (t )}, jika L{F (t )}  f  
a
Menurut sifat 2 di atas, L{e at F (t )}  f ( s  a)
s
 s 2
Karena L{F (t )}  f  , maka L{e 2t F (t )}  f 

a
 a 
 s 2
 f  
a a
3. Tentukan L{e t F (t )} jika L{cos 2t} 
Karena L{cos 2t} 
s
s 4
2
s
maka menurut sifat translasi pertama
s 4
2
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo161
L{e t F (t )}  f ( s  1)
L{e t F (t )} 

s 1
( s  1) 2  4
s 1
s  2s  5
2
4. Tentukan L{e 2t (3 cos 6t  5 sin 6t )}
Me6nurut sifat linear,
L{e 2t (3 cos 6t  5 sin 6t )}  L{e 2t (3 cos 6t )}  L{e 2t (5 sin 6t )}
 3L{2t cos 6t}  5L{e 2t sin 6t} }
Karena L{cos 6t} 
s
6
dan L{sin 6t}  2
s  36
s  36
2
maka menurut sifat translasi
3L{2t cos 6t}  3 f (s  2)
3
( s  2)
,
( s  2) 2  36
dan
5L{2t sin 6t}  5
6
(s  2
sehingga
L{e L{e  2t (3 cos 6t  5 sin 6t )}  3

( s  2)
6
5
2
( s  2)  36
( s  2) 2  36
3s  24
s  4s  40
2
Soal
Tentukan transformasi Laplace fungsi
1) F (t )  et sin 2 t
2) F (t )  (1  te t ) 3
t
3) F (t )  (3 sinh 2t  5 cosh 2t )
4) F (t )  (t  2) 2 e t
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo162
5) F (t )  e 2t sinh 2t  cosh 3t 
6) F (t )  e  t (1  2t )
c. Sifat translasi atau pergeseran kedua
 F (t  a), untuk t  a
Jika L{F (t )}  f ( s) dan G (t )  
0, untuk t  a
maka
L{G(t )}  e  as f ( s)
Bukti

L{( G(t )}   e  st G(t )dt
0
a

  e G(t )dt   e  st G(t )dt
 st
0
a
a

0
a
  e  st (0)dt   e  st F (t  a)dt

  e  st F (t  a)dt
a
Misal u = t-a maka t = u+a dan du = dt, sehingga

e
a
 st

F (t  a)dt   e  s (u  a ) F (u )du
0

 e as  e  su F (u )du
0
 e  as f (s)
Contoh
2
2

cos(
t

),
t


3
3
Carilah L{F (t )} jika F (t )  
0, t  2

3
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo163
Menurut definisi transformasi Laplace

L{F (t )}   e  st F (t )dt
0
2 / 3

 st
 e (0)dt 

0
e

 st
cos(t  2 / 3)dt
2 /3

  e  s (u  2 / 3) cosudu
0
e
 2s / 3

e
 su
cos udu
0
se 2s / 3
 2
s 1
d. Sifat pengubahan skala
Jika L{F (t )}  f ( s) maka L{F (at )}  1 f  s 
a
a
Bukti
Karena

L{F (t )}   e  st F (t )dt
0
maka

L{F (at )}   e  st F (at )dt
0
Misal u  at maka du  adt sehingga dt 
du
a

Menurut definisi L{F (at )   e  st F (at )dt
0

 e
0
s
u  
a
F (u )
du
a
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo164
s
1   u
  e  a  F (u )du
a

1 s
f 
a a
Contoh:
1. Jika L{F (t )} 
6
 f (s)
( s  2) 3
maka L{F (3t )} 


1 s
f( )
3 3
6
s

3  2 
3

3
6.9
( s  6) 3
Soal:
(t  1) 2 , t  1
1. Hitunglah L{F (t )} jika F (t )  
0,0  t  1
2. Jika L{F (t )} 
s2  s 1
, carilah L{F (2t )}
(2s  1) 2 ( s  1)
3. Jika L{F (t )} 
e 1/ s
, carilah L{e t F (3t )}
s
Jawab
Karena L{F (t )} 
L{F (3t )} 
e 1 / s
 f ( s), maka menurut sifat 4 diperoleh
s
1 s
f 
3 3

Sehingga L{F (3t )} 
3
s
1e
3 s
3
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo165
3
1 
 e s
s
 f (s )
Berdasarkan sifat Jika L{F (t )}  f ( s)
maka L{e at F (t )}  f ( s  a) (sifat 2)
Maka L{e t F (3t )}  f (s  1)
3


1
e ( S 1)
( s  1)
e. Transformasi Laplace dari turunan-turunan
Jika L{F (t )}  f ( s) maka L{F ' (t )}  sf ( s)  F (0)

Karena Karena L{F (t )}   e  st F (t )dt  f ( s) , maka
0

L{F ' (t )}   e  st F ' (t )dt
0

  e  st dF (t )
0
p



  e  st F (t )   F (t )d (e  st ) 
0

0

  F (0)  s  e  st F (t )dt
0
 sf ( s)  F (0)
Jika L{F ' (t )}  sf ( s)  F (0) maka L{F ' ' (t )}  s 2 f (s)  sF (0)  F ' (s)
Bukti

L{F ' ' (t )}   e  st F " (t )dt
0
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo166

  e  st d ( F ' (t ))
0

  st


  e F ' (t )   F ' (t )d (e  st ) 
0





  e  st F ' (t )  s  F ' (t )e  st dt 
0



 e  st F ' (t )  s(sf (s)  F (0))

 s 2 f (s)  sF (0)  F ' (0)
Dengan cara yang sama diperoleh

L{F ' ' ' (t )}   e  st F ' ' ' (t )dt
0

  e  st d ( F ' ' (t ))
0



  e  st F ' ' (t )   F ' ' (t )d (e  st ) 
0





  e  st F ' ' (t )  s  e  st F ' ' (t )dt 
0



  st


 e F ' ' (t )  s e F ' (t )   F ' (t )d (e  st ) 
0


 st
 s 3 f (s)  s 2 F (0)  sF ' (0)  F ' ' (0)
Akhirnya dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa,
jika
L{F (t )}  f ( s)
maka
L{F ( n) (t )}  sf (s)  s n1 F (0)  s n2 F ' (0)  ...  sF ( n2) (0)  F ( n1) (0)
Contoh soal
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo167
Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turuan,
tunjukkan bahwa
L{sin at} 
a
 f ( s)
s  a2
2
Misal F (t )  sin at diperoleh F ' (t )  a cos at , F ' ' (t )  a 2 sin at
sehingga L{sin at}  
1
L{F ' ' (t )
a2
Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turunan
diperoleh
 1 
L{sin at}    2 sf ( s )  sF (0)  F ' (0)  f
 a 

1  2
a

s 2
 s (0)  a 
2 
2
a  s a


1
a2
1
 2
a

 as 2

 2


a
2
s

a


 as 2  as 2  a 3 


s2  a2


a
s  a2
2
f. Tansformasi Laplace dari integral-integral
t
 f (s)
Jika L{F (t )}  f ( s) maka L  F (u )du  
s
0

Bukti:
t
Misal G(t )   F (u )du maka G ' (t )  F (t ) dan G (0)  0
0
Dengan mentransformasikan Laplace pada kedua pihak, diperoleh:
L{G ' (t )}  L{F (t )}
 sL{G (t )}  G{0}  f ( s )
 sL{G (t )}  f ( s)
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo168
f (s)
s
 L{G (t )} 
t
 f (s)
Jadi diperoleh L  F (u )du  
s
0

Contoh
 t sin u 
1. Carilah L 
du 
0 u

Misal F (t ) 
sin t
t
Maka L{F (t )}  arctan
1
s
Sehingga menurut sifat transformasi di atas
 t sin u  f ( s ) 1
1
L 
du  
 arctan
s
s
s
0 u

 t sin u  1
1
2. Buktikan L 
du   arctan
s
0 u
 s
Bukti:
t
sin u
du maka F (0)  0
u
0
Misal F (t )  
F ' (t ) 
sin t
dan tF ' (t )  sin t
t
Dengan mengambil transformasi Laplace kedua bagian
L{tF ' (t )}  L{sin t} 

1
s 1
2
d
1
sf ( s )   2
ds
s 1
 sf ( s)   
1
ds
s 1
2
 sf ( s )   arctan s  C
Menurut teorema harga awal, Lim sf ( s)  lim F (t )  F (0)  0
s 
t 0
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo169
Sehingga diperoleh c 

2
.
1
1
Jadi sf ( s)  arctan
s
s
 cos u  ln s 2  1
3. Buktikan L 
du  
u
2s
t

Bukti:

Misal F (t )  
t
cos u
cos t
atau t{F ' (t )}   cos t
du maka F ' (t )  
t
u
L{tF ' (t )}  L{ cos t}
 1 d sf (s)  F (0)  
ds
sf ( s )  

s
s
d 
atau   sf ( s )  2
s 1
s 1
 ds 
2
s
ds
s 1
2


1
ln s 2  1  c
2
Menurut teorema harga akhir, lim sf ( s)  lim F (t )  0, sehingga c = 0.
s 0
t 0
ln( s 2  1)
1
2
Jadi sf ( s )  ln s  1  0 atau f ( s) 
2
2s


g. Perkalian dengan t n
dn
f ( s)  (1) f ( n ) ( s)
Jika L{F (t )}  f ( s) maka L{t F (t )  (1)
n
ds
n
n
Bukti.

Karena f ( s)   e  st F (t )dt maka menurut aturan Leibnitz untuk menurunkan
0
dibawah tanda integral, diperoleh:
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo170


df
d 
 f ' ( s )    e  st F (t )dt 
ds
ds  0


  st
e F (t )dt
s
0


   te  st F (t )dt
0

  e  st {tF (t )}dt
0
  L{tF (t )}
df
  f ' (s)
ds
Jadi L{tF (t )}  
Contoh
1. Tentukan L{t sin at}
Jawab
a
, maka menurut sifat perkalian dari pangkat
s  a2
L{sin at} 
2
t n diperoleh
L{tF (t )}   1
d n f ( s)
, sehingga
ds n
L{t sin at}  (1)
d  a 


ds  s 2  a 2 
n

2as
(s  a 2 ) 2
2
2. Tentukan L{t 2 cos at}
Menurut sifat di atas, L{t 2 cos at}  (1) 2
d2  s 


ds 2  s 2  a 2 

d  a2  s2 


ds  (s 2  a 2 ) 2 

2 s 3  6a 2 s
(s 2  a 2 ) 3
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo171
h. Sifat pembagian oleh t

 F (t ) 
Jika L{F (t )}  f ( s) maka L
   f (u )du
 t  0
Bukti:
Misal G (t ) 
F (t )
maka F (t )  tG(t )
t
Dengan menggunakan definisi transformasi Laplace untuk kedua bagian,
maka diperoleh bentuk L{F (t )}  L{tG(t )} atau f ( s )  
f (s)  
d
L{G (t )} atau
ds
dg
ds
Selanjutnya dengan mengintegralkan diperoleh
dg
 f (s)    ds .
s
g ( s )    f (u )du


  f (u )du
s

 F (t ) 
Jadi L
   f (u )du
 t  0
Soal-soal
1) Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi yang diberikan
a. F (t )  t cos 2t
b. F (t )  t sin 3t
c. F (t )  t (3 sin 2t  2 cos 5t )
d. F (t )  t 2 sin t
e. F (t )  (t 2  3t  2) sin 3t
f.
F (t )  t 3 cos t
g. F (t )  t sin 2 t
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo172
t 2 ,0  t  1
2) Jika F (t )  
0, t  1
Carilah L{F ' ' (t )}
2t ,0  t  1
3) Diketahui F (t )  
t , t  1
a. carilah L{F (t )}
b. carilah L{F ' (t )}
c. apakah L{F ' (t )}  sf ( s)  F (0) berlaku untuk kasus ini

4) Tunjukkan bahwa  te3t sin tdt 
0
3
50
5) Tunjukkan bahwa
t
 1
L    (u 2  u  e u )du   L{t 2  t  e t }
0
 s
6) Perlihatkan bahwa
 e  at  e bt 
sb
a. L
  ln
t
sa


2
2
 cos at  cos bt  1 s  b
b. L  

ln

2
2
t

 2 s a
7) Tunjukkan bahwa:
a.
 1 1  u u  1
1
L   
du   ln 1 
s
0 u
 s
t1
t



 f (s)
b. Jika L{F (t )}  f ( s) maka L  dt1  F (u )du   2
s


0
0

6.4 Transformasi Laplace Invers
Definisi
Jika transformasi Laplace suatu fungsi F(t) adalah f(s), yaitu jika L{F (t )}  f ( s)
maka F(t) disebut suatu transformasi Laplace Invers dari f(s). Secara simbolis
ditulis F (t )  L1{ f (s)} . L1 disebut operator transformasi Laplace invers.
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo173
Contoh.
1
 1 
1
2t
2t
1. Karena L 
  e maka L e  
s2
s  2


s
 s 
1
2. Karena L  2
  cos t 3e maka L cos t 3  2
s 3
 s  3
1
 sinh at 
 1  sinh at
3. Karena L  2
maka L1 

 2
2 
2
a
s  a 
 a  s a
Ketunggalan Transformasi Laplace Invers
Misal N(t) adalah suatu fungsi dan L{N(t)} = 0 maka L{F(t)+N(t)} = L{F(t)}
Dengan demikian dapat diperoleh dua fungsi yang berbeda dengan transformasi
Laplace yang sama.
Contoh
0 untuk t  1
F1 (t )  e 3t dan F2 (t )   3t
e untuk t  1
Mengakibatkan L1{F1 (t )}  L1{F2 (t )} 
1
s3
Jika kita menghitung fungsi-fungsi nol, maka terlihat bahwa transformasi Laplace
invers tidak tunggal. Akan tetapi apabila kita tidak dapat memperhitungkan
fungsi-fungsi nol (yang tidak muncul dalam kasus-kasus fisika) maka ia adalah
tunggal. Hasilnya dinyatakan oleh teorema berikut.
Teorema Lerch
Jika membatasi diri pada fungi-fungsi F(t) yang kontinu secara sebagiansebagaian dalam setiap selang berhingga 0  t  N dan eksponensial berorde
untuk t > N, maka inversi transformasi laplace dari f(s) yaitu L1  f (s)  F (t ) ,
adalah tunggal. Jika tidak ada pernyataan lainnya, maka kita selalu menganggap
ketunggalan di atas.
Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace invers
beberapa fungsi sederhana dibawah ini.
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo174
Nomor
f(s)
L1{ f ( x)}  F (t )
1.
1
s
1
2.
1
s2
t
3.
1
s
tn
n!
, n  0,1,2,3,...
n 1
4.
1
sa
5.
1
s  a2
e at
sin at
a
2
6.
cos at
s
s  a2
1
2
s  a2
2
7.
8.
sinh at
a
cosh at
s
s  a2
s2  a2
(s 2  a 2 ) 2
2
9.
t cos at
6.5 Sifat-sifat transformasi Laplace Invers
Beberapa sifat penting dari transformasi Laplace invers adalah:
1) Sifat Linear
Misal c1 dan c2 adalah sebarang bilangan konstanta, sedangkan f1 ( s) dan
f 2 ( s) berturut-turut adalah transformasi Laplace dari F1 (t ) dan F2 (t ) , maka:
L1{c1 F1 (t )  c2 F2 (t )}  L1{c1 F1 (t )}  L1{c2 F2 (t )}
 L1{c1 F1 (t )}  L1{c2 F2 (t )}
 c1 L1{F1 (t )}  c2 L1{F2 (t )}
 c1 f1 (s)  c2 f 2 (s)
Contoh
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo175
 3s  12 
 1  12 
1  3s
L1  2
L  2
 L  2

 s 9 
s  9
s  9
1 
 s 
1 
 3L1  2
  12 L  2

s  9
s  9
 3 cos 3t  12
sin 3t
3
2) Sifat translasi atau pergeseran pertama
Jika L1{ f ( s)}  F (t ) maka L1{ f (s  a)}  e at F (t )
Contoh
 1  sinh 3t
L1  2

t
s  9
maka



1
1
1 
2t sinh 3t
L1  2
L 
e
2
3
 ( s  2s  13 
 ( s  2)  9 
3) Sifat translasi atau pergeseran kedua
Jika L1{ f ( s)}  F (t ) maka
F (t  a), untuk t  a
L1{e as f ( s)}  
 0, untuk t  a
Contoh
 1 
L1  2
  sin t maka
 s  1


  3s  sin( t  ), untuk t 

 e
 
3
3
L1  2


 s  9  0, untuk t 

 
3
4) Sifat pengubahan skala
Jika L1{ f ( s)}  F (t ) maka L1{ f (ks)} 
1 t
F 
k k
Contoh
3s  1  t 
 s 
1 
Karena L1  2
  cos t maka diperoleh L 
  cos 
2
 s  1
 (3s)  1 3  3 
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo176
5) Transformasi Laplace invers dari turunan-turunan
d n

Jika L1{ f ( s)}  F (t ) maka L1{ f ( n ) ( s)}  L1 
f ( s)  (1) n t n F (t )
 ds

Contoh
 2 
Karena L1  2
  sin 2t
s  4
L1
dan
d  2 
 4s
maka diperoleh
 2
 2
ds  s  4  (s  4) 2
d  2 
 4s 
1 
  (1) n t n sin 2t  t sin 2t
 2
  L  2
2 
ds  s  4 
 ( s  4) 
6) Transformasi Laplace invers dari antiturunan-antiturunan

 F (t )
Jika L1{ f ( s)}  F (t ) maka L1  f (u )du  
t
s

Contoh
 1
 1 1  1
1  1 1 t
Karena L1 
 L  
   e maka
 3s( s  1)  3  s s  1 3 3
 1
 1  1  e t
1
diperoleh L1   
du   
 0 3u 3(u  1)  3  t

`

7) Sifat perkalian dengan s n
Jika L1{ f ( s)}  F (t ) maka L1{sf (s)}  F ' (t )
Dengan demikian perkalian dengan s berakibat menurunkan F(t) Jika
f(t)  0 , sehingga
L1{sf ( s)  F (0)}  F ' (t )
 L1{sf (s)}  F ' (t )  F (0) (t ) dengan  (t ) adalah fungsi delta Dirac atau
fungsi impuls satuan.
Contoh
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo177
 5 
arena L1  2
  sin 5t dan sin 5t  0 maka
 s  25 
 5s  d
L1  2
  (sin 5t )  5 cos 5t
 s  25  dt
8) Sifat pembagian dengan s
 f ( s) 
Jika maka L1 
   F (u )du
 s  0
t
Jadi pembagian dengan s mengakibatkan integral F(t) dari 0 sampai dengan t.
Contoh
 2 
Karena L1  2
  sin 2t maka diperoleh
s  4

 t
2
1
1

L  2
   sin 2u du   cos 2u   cos 2t  1
2
0 2
 s( s  4)  0
t
1
9) Sifat konvolusi
Jika L1{ f ( s)}  F (t ) dan L1{g ( s)}  G(t ) maka
t
L1{ f ( s) g ( s)}   F (u )G(t  u )du  F * G
0
F*G disebut konvolusi atau faltung dari F dan G, dan teoremanya dinamakan
teorema konvolusi atau sifat konvolusi.
Contoh
 1 
1  1 
2t
 4t
Karena L1 
e
  e dan L 
s  2
s  4

 t  4 u 2 ( t u )
1
du  e 2t  e 4t
maka diperoleh L1 
  e e
 ( s  4)( s  2)  0
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo178
6.6 Metode Transformasi Laplace Invers
Menentukan transfomasi Laplace dapat dilakukan dengan beberapa cara,
sehingga dalam transformasi Laplace invers terdapat beberapa metode yang dapat
digunakan, antara lain:
1) Metode pecahan parsial
Setiap fungsi rasional
P( s )
, dengan P(s) dan Q(s) fungsi pangkat banyak
Q( s )
(polinom) dan derajat P(s) lebih kecil dari Q(s). Selanjutnya
ditulis
jumlah
dari
fungsi
rasional
yang
P( s )
dapat
Q( s )
mempunyai
bentuk
A
As  B
atau
dan seterusnya , r  1,2,3,....
r
2
(as  b)
(as  bs  c) r
Dengan memperoleh transformasi Laplace invers tiap pecahan parcial maka
 P( s ) 
dapat ditentukan L1 

 Q( s ) 
Konstanta A, B, C, …… dapat diperoleh dengan menyelesaikan pecahanpecahan dan menyamakan pangkat yang sama dari kedua ruas persamaan yang
diperoleh atau dengan menggunakan metode khusus.
Contoh
 3s  16 
1. Tentukan L1  2

s  s  6
Jawab
3s  16 
 3s  16 
1 
L1  2
L 

s  s  6
 ( s  2)( s  3) 
3s  16
A
B


( s  2)( s  3) s  2 s  3

A( s  3)  B ( s  2)
s2  s  6
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo179

( A  B) s  (2 B  3 A)
s2  s  6
atau A+B = 3 dan 2B-3A = 16 atau 2(3-A)–3A=16 sehingga didapat
A = -2 dan B = 5
 3s  16 
5 
1   2
L1 

L 

 s  2 s  3
 ( s  2)( s  3) 
 2 
1  5 
 L1 
 L 

s  2
 s  3
 2e 2t  5e 3t


s 1
2. Tentukan L1 

2
 ( s  3)( s  2s  2) 
Jawab


s 1
Bs  C 
1  A
L1 
 2
L 

2
 ( s  3)( s  2s  2) 
 s  3 ( s  2s  2) 
A
Bs  C
A( s 2  2s  2)  ( Bs  C )( s  3)
 2

s  3 s  2s  2
( s  3)( s 2  2s  2)
`
As 2  2 As  2 A  Bs 2  (3B  C ) s  3C
( s  3)( s 2  2s  2)
Sehingga

  ( A  B) s 2  (2 A  3B  C ) s  (2 A  3C ) 
s 1



2
( s  3)( s 2  2s  2)
 ( s  3)( s  2s  2)  

Diperoleh A+B = 0, 2A+3B+C=1, 2A+3C=-1
Atau A = 
4
4
1
, B = , dan C =
5
5
5
4
1 
 4

s



s

1

1
5  5
5 
Akhirnya diperoleh L1 
L 

2
2
 ( s  3)( s  2 s  2) 
 s  3 ( s  2 s  2) 


Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo180
4
1 
 4

s


5    4 L1  1   4  ( s  1) 
L1  5  25





5  s  3  5  ( s  1) 2  1
 s  3 ( s  2s  2) 


4
4
  e 3t  e t cos t
5
5
2) Metode Deret
Jika f(s) mempunyai statu uraian dari kebalikan pangkat dari s yang diberikan
oleh
f ( s) 
ao a1 a2 a3
 
  ...
s s2 s3 s4
Maka dibawah persyaratan-persyaratan yang sesuai kita dapat menginversi
suku demi suku untuk memperoleh
a 2 t 2 a3 t
F (t )  ao  a1t 

 ...
2!
3!
Contoh
  1s 
e 
Tentukan L1 

 s 


Jawab
  1s 
1
1
e  1  1

 3  ...

  1  
2
3! s

 s  s  s 2! s


1
1
1 1

=  2 

 ...
3
4
s
s
2! s
3! s


  12 s 
1
1
1
e 

1  1
Sehingga L1 

 ...
L   2 
3
4
2! s
3! s
s s

 s 


 1 t 
t2
t3

+ ...
12 2 2 12 2 2 32
3) Metode persamaan diferensial
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo181
4) Turunan terhadap statu parameter
5) Aneka ragam metode yang menggunakan teorema-teorema
6) Penggunaan tabel
7) Rumus inversi kompleks
8) Rumus Penguraian Heaviside
Andaikan P(s) dan Q(s) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan derajat
P(s) lebih kecil dari Q(s). Misal Q(s) mempunyai n akar-akar yang berbeda
yaitu  k , k= 1, 2, 3, 4, ..., n. Maka
 P( s)  n P( k )  k t
L1 
e

 Q( s)  k 1 Q' ( k )
Bukti rumus di atas diuraikan sebagai berikut:
Karena Q(s) adalah polinomial dengan n akar berbeda  1 ,  2 ,  3 , ... ,  n maka
menurut metode pecahan-pecahan parsial diperoleh
Ak
An
A1
A2
P( s )
.....(1)


 ... 

Q( s ) s   1 s   2
s k s n
Dengan mengalikan kedua ruas dengan (s-  k ) dan mengambil s   k dengan
menggunakan aturan L’Hospital diperoleh
s k 
P( s )
( s   k )  lim P( s)

s  k Q( s )
s  k
 Q( s ) 
Ak  lim
s k 
 lim P( s) lim 

s  k
s  k
 Q( s ) 
s k 
 P( k ). lim 

s  k
 Q( s ) 
 P( k )
1
...
Q' ( s )
Sehingga (1) dapat ditulis sebagai
P( k ) 1
P( n )
P( 2 )
P( s) P(1 )
1
1
1

.

.
 ... 

.
Q(s) Q' (1 ) s  1 Q' ( 2 ) s   2
Q' ( k ) s   k Q' ( n ) s   n
dengan demikian
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo182
P( k )
P( n )
P( 2 )
 P( s ) 
1
1
1
1 
1  P( 1 )
L1 
.

.
 ... 
.
 ... 
.
L 

Q' ( k ) s   k
Q' ( n ) s   n 
 Q( s ) 
 Q' ( 1 ) s   1 Q' ( 2 ) s   2
1  P(
 P( 1 )
1  1  P( 2
1 
1
k
L1 
.
.
.
 L 
  ....  L 
 Q' ( 1 ) s   1 
 Q' ( 2 ) s   2 
 Q' ( k s   k


1 
1  P( n )
.
  ...  L 


 Q' ( n ) s   n 
P( k )  k t
P( n )  nt
P( 1 ) 1t P( 2 )  2t
.e 
.e  ... 
.e  ... 
.e
Q' ( 1 )
Q' ( 2 )
Q' ( k )
Q' ( n )
P( k )  k t
e
k 1 Q' ( k )
n

9) Fungsi Beta
Jika m>0 dan n>0 didefinisikan fungsi beta sebagai
1
B(m,n) =  u m1 (1  n) n1 du a dan kita dapat memperlihatkan sifat-sifat:
0
1. B(m, n) 
 ( m)  ( n )
 ( m  n)

2
2.
 sin
2 m 1
 cos 2 m1  d 
0
1
(m)(n)
B(m, n) 
2
2(m  n)
Soal-soal
1. Tentukan,
 12 
a. L1 

4  s 
 2s  5 
b. L1  2

s  9
 3s  8 4s  24 
c. L1  2
 2

 s  4 s  16 
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo183


7 
 3s  2
d. L  5 

3s  2 
 s 2

1
 s 
e. L1 
3
 (s  1) 
 3s  14 
f. L1  2

 s  4s  8 
 8s  20 
g. L1  2

 s  12s  32 
 s  1
h. L1  3 
 s 2 
 5s  2 
i. L1  2

 3s  4 s  8 

s
4 s  24 
j. L1 


5
2
 ( s  4) 2 s  16 


s 1
k. L1  2
2
 ( s  2s  2) 


1
l. L1 

2
 ( s  4)( s  4) 
 1

m. L1  2
3
 ( s  1) 
2. Buktikan bahwa:
 3s  16 
2t
 2t
a. L1  2
  5e  2e
s  s  6
3 t 1 t
 2s  1 
b. L1  3
  1 e  e
2
2
s  s
s 1

 1 t 2 1  2 t 3
c. L1  2
 e  e
2
 6s  7 s  2  2


11s 2  2  5
3 t
2t
t
d. L1 
  5e  e 2  2e
2
 ( s  2)( 2s  1)( s  1) 
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo184
 27  12s 
 4t
e. L1 
  3e  3 cos(3t )
2
 ( s  4)( s  9) 
 s 2  16s  24  1
  sin( 4t )  cos( 2t )  sin( 2t )
4
2
 s  20s  64  2
1
f. L 

 1
s 1
4 3t
g. L1 
  4 cos t  3 sin t   e
2
5
 ( s  3)( s  2s  2)  5
3. Dengan menggunakan rumus penguraian Heaviside, tunjukkan bahwa
 2s  11 
a. L1 

 ( s  2)( s  3) 


19s  27
b. L1 

 ( s  2)( s  1)( s  3) 
 2s 2  6s  5 
c. L  3

2
 ( s  6s  11s  6 
1


2s 2
d. L1 

 ( s  1)( s  2)( s  3) 
6.7
Penggunaan pada Persamaan Diferensial
a) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Konstan
Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menentukan selesaian suatu
persamaan diferensial dengan koefisien konstan.
Misal ditentukan persamaan diferensial
d 2Y
dY
p
 qY  F ( x) atau Y ' ' pY ' qY  F ( x) dengan p,q adalah konstanta
dx
dx
dan persamaan tersebut mempunyai syarat awal atau batas Y(0)=A dan Y’(0)=B,
A dan B adalah konstanta yang diberikan.
Selesaian persamaan diferensial yang diketahui dapat ditentukan dengan cara
melakukan transformasi Laplace pada masing-masing persamaan dan selanjutnya
gunakan syarat awal yang diberikan. Akibatnya diperoleh persamaan Aljabar
LY ( x)  y(s) .
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo185
Selesaian yang diperlukan diperoleh
dengan menggunakan transformasi
Laplace invers dari y(s). Cara ini dapat diperluas pada persamaan-pers amaan
diferensial tingkat tinggi.
Contoh
Tentukan selesaian persamaan diferencial berikut.
1) Y ' 'Y  x dengan Y(0) = 0 dan Y’(0)=-2
Jawab
Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan
diferensial diperoleh
L{Y "Y}  LY " LY   L{x}
Menurut sifat (5) transformasi Laplace


L F ( n ) (t )  s n L{F (t )}  s n1 F (0)  s n2 F " (0)  ....  sF n2 (0)  F n1 (0) , sehingga
 {s 2 L{Y }  sY (0)  Y ' (0)}  L{Y }  L( x)
 ( s 2 y  s  2)  y 
 ( s 2  1) y 
 y
1
s2
1
 ( s  2)
s2
1
s2
 2
2
s ( s  1) s  1
2
=
1
1
s
2
 2
 2
 2
2
s
s 1 s 1 s 1
=
1
s
3
 2
 2
2
s
s 1 s 1
Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers
s
3 
1
Y  L1  2  2
 2

s  1 s  1
s
1
 s  1  3 
 L1  2   L1  2
 L  2

s 
 s  1
 s  1
 x  cos x  3sin x
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo186
Untuk pemeriksaan jawab di atas
Y  1  cos x  3sin x
Y '   sin x  3 cos x
Y ' '   cos x  3sin x
Y ' 'Y   cos x  3sin x  x  cos x  3sin x  x dan Y(0) = 1, Y’(0)=-2
2) Y ' '3Y '2Y  4e 2 x dengan Y(0) = -3 dan Y’(0)=5
Jawab
Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan diferencial
diperoleh
LY "3Y '2Y   L{4e 2x }
Menurut sifat (5) transformasi Laplace


L F ( n ) (t )  s n f (s)  s n1 F (0)  s n2 F " (0)  ....  sF n2 (0)  F n1 (0) , sehingga
LY "3Y '2Y   L{4e 2x }
 {s 2 L{Y }  sY (0)  Y ' (0)}  3sL{Y }  Y (0)  2L{Y }  L(4e 2 x )
 {s 2 y  3s  5}  3{sy  3}  2 y 
 ( s 2  3s  2) y 
y
4
s2
4
 3s  14
s2
4
3s  14
 2
( s  3s  2)( s  2) s  3s  2
2
 3s 2  20s  24

( s  1)( s  2) 2

7
4
4


s  1 s  2 ( s  2) 2
Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers
 7
4
4 
Y  L1 


2
 s  1 s  2 ( s  2) 
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo187
  7  1  4  1  4 
 L1 
 L 
 L 
2
 s  1
s  2
 ( s  2) 
 7e x  4e 2 x  4 xe2 x
b) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Variabel
Transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk menentukan selesaian
persamaan diferensial dengan koefien variable. Khususnya persamaan diferensial
yang
berbentuk x nY ( n ) ( x)
sehingga
transformasi
Laplace
diperoleh


dm
L x mY ( n ) ( x)  (1) m m L Y ( n ) ( x) 
ds






Hal ini sesuai dengan sifat transformasi Laplace
Jika L{F (t )}  f ( s) maka L{t n F (t )}   1
n
dn
f ( s)   1 f ( n ) ( s)
n
ds
Untuk jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut
Tentukan selesaian persamaan diferensial
1) xY' '2Y ' xY  0 dengan Y(0) = 1 dan Y(  )= 0
Jawab
Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan
diperoleh:
LxY"2Y ' xY  L0
 LxY" L2Y ' LxY  0
 (1)1
 1


d 2
d
s y  sY (0)  Y ' (0)  2( sy  Y (0))  (1)1 ( y )  0
ds
ds


d 2
d
s y  s  1  2( sy  1)  (1)1 ( y )  0
ds
ds
dy
dy


 2sy  s 2
 1  0  2( sy  1)  (1)
0
ds
ds


 2sy  s 2 y'1  2sy  2  y'  0
 (s 2  1) y'  1
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo188
 y'  
1
( s  1)
2
Diperoleh y   
1
ds   arctan s  C
( s  1)
2
Karena y  0 bila s   kita dapatkan c 
y

2
 arctan s  arctan

2
, sehingga
1
s
1  sin t

Akhirnya didapat Y  L arctan  
, hal ini memenuhi Y(  ) =0
s
t

2) Y ' ' xY 'Y  1 , dengan Y(0) = 1 dan Y’(0) = 2
Jawab
Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan
diperoleh:
LY " xY 'Y   L
1
 LY " LxY' LY   L
1


 s 2 y  sY (0)  Y ' (0)  (1)1


 s 2 y  s.1  2 

d
1
{sy  Y (0)}  y 
ds
s
d
( sy  1)  y  0
ds

 s 2 y  s  2  ( y  sy ' )  y ' 
 sy '( s 2  1) y  s  2 
1
s
1
s
Persamaan di atas merupakan persamaan difererensial liner tingkat satu
derajat satu dan dapat diubah menjadi:
1
2 1

 y ' s   y  1   2
s
s s


Faktor integral persamaan di atas adal e
  s 
1
 ds

1
 e2
s 2  2 ln s
1
 s 2e 2
s2
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo189
1
s
d  2 2 s2   2 1  2 2
 s e y   1   2  s e
Maka
 
ds 
s s 

2
s2
s
1
2 1
Sehingga y  e y  (1   2 ) s 2 e 2 ds
s
s s
s2
1 2
c
  2  2 e2
s s
s
Akhirnya diperoleh y  1  2t
Soal-soal
Tentukan selesaian persamaan diferensial berikut:
1) Y ' xY'Y  0 dengan Y(0) = 0 dan Y’(0) = 1
2) xY ' '(1  2 x)Y '2Y  0 dengan Y(0) = 1 dan Y’(0) = 2
3) xY ' '( x  1)Y 'Y  0 dengan Y(0) = 5 dan Y(  ) = 0
4) Y ' 'Y '4xY  0 dengan Y(0) = 3 dan Y’(0) = 0
5) Y ' '4Y  0 dengan Y(0)=0 dan Y’(0)=7
6) Y ' '3Y  2Y  4 x  12e  x dengan Y(0) = 0 dan Y’(0)=-1
6.8
Persamaan Diferensial Simultan
Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang menentukas selesaian persamaan
diferensial dengan rmenggunakan transformasi Laplace dan transformasi Laplace
invrers. Selanjutnya transformasi Laplace dan transformasi Laplace invers dapat
dipergunakan untuk menentukan dua atau lebih persamaan diferensial biasa
simultan. Metode yang digunakan tidak berbeda dengan penjelasan sebelumnya.
Persamaan diferensial simultan adalah persamaan diferensial yang secara
bersama-sama sebagai unsur yang tidak dapat dipisahkan dan didalamnya terdapat
turunan-turunan atau diferensial dari suatu fungsi yang belum diketahui. Di dalam
persamaan difersial simultan diberikan syarat awal yang tertentu dan diketahui
nilainya pada variabel yang saling bergantung.
Berikut ini diberikan beberapa contoh persamaan diferensial simultan.
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo190
 dX
 dt  2 x  3 y
1. 
, bergantung pada X (0)  8, Y (0)  3
 dY  y  2 x
 dt
 dX dZ
 dt  dt  t
, bergantung pada Y (0)  3, Y ' (0)  2, Z (0)  0
2.  2
d
Y

t

Z e
 dt 2
 3Y ' '3Z ' '  te t  3 cos t
3. 
, bergantung pada Y (0)  1, Y ' (0)  2, Z (0)  4, Z ' ' (0)  0
tY
'
'

Z
'

sin
t

Cara menentukan selesaiannya adalah dengan mengambil transformasi
Laplace pada masing-masing bagian persamaan diferensial , selanjutnya gunakan
metode substitusi atau eliminasi variabel persamaan dan dari proses eliminasi atau
substitusi akhirnya gunakan transformasi Laplace invers pada persamaan yang
diperoleh.
Contoh
Tentukan selesaian persamaan diferensial simultan berikut ini
 dX
 dt  2 x  3 y
1) 
, bergantung pada X (0)  8, Y (0)  3
 dY  y  2 x
 dt
Jawab
Gunakan transformasi Laplace pada masing masing persamaan, dengan menggu
gunakan sifat transformasi Laplace sehingga diperoleh:
 dX
L
 dt

  L(2 x)  L(3 y )

 dY 
L
  L( y )  L(2 x)
 dt 
atau
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo191
sx  X (0)  2 x  3 y  ( s  2) x  3 y  8
sy  Y (0)  y  2 x  ( s  1) y  2 x  3
Dengan metode eliminasi terhadap variabel x diperoleh:
( s  2) x  3 y  8 (2)  2( s  2) x  6 y  16
(s  1) y  2 x  3 (s  2)  ( s 2  3s  2) y  2(s  2) x  3s  6
(6  s 2  3s  2) y  22  3s  y 
22  3s
3s  22

2
 ( s  3s  4) ( s  1)( s  4)
Analog, untuk variabel y
( s  2) x  3 y  8 .( s  1)  ( s  1)( s  2) x  3( s  1) y  8( s  1)
( s  1) y  2 x  3.3  3( s  1) y  6 x  9
( s 2  3s  2  6) x  8( s  1)  9  x 
8s  17
( s  1)( s  4)
Sehingga
 3s  22 
2 
2 
 5
1  5 
1 
  L1 
Y  L1 ( y )  L1 

L 
L 

 s 1 s  4 
 s  1
 s 4
 ( s  1)( s  4) 
 8s  17 
3 
3 
 5
1  5 
1 
  L1 
X  L1 ( x)  L1 

L 
L 

 s 1 s  4 
 s  1
 s 4
 ( s  1)( s  4) 
Atau
X  5e t  3e 4t dan Y  5e  t  2e 4t merupakan selesaian persamaan diferensial
 dX
 dt  2 x  3 y
, bergantung pada X (0)  8, Y (0)  3
simultan 
 dY  y  2 x
 dt
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo192
 X ' 'Y '3 X  15e t
2) 
, dengan X (0)  35, X ' (0)  48, Y (0)  27, Y ' (0)  55
Y
'
'

4
X

3
Y

15
sin
2
t

Jawab
Gunakan transformasi Laplace pada masing masing persamaan, dengan menggu
gunakan sifat transformasi Laplace sehingga diperoleh:
L X ' '  L(Y ' )  L(3x)  L(15e t )
LY ' '  L(4 X )  L(3Y )  L(15 sin 2t )
atau
s 2 x  sX (0)  X ' (0)  sy  Y (0)  3x 
15
s 1
s 2 y  sY (0)  Y ' (0)  4( sx  ( X (0))  3 y 
30
s 4
2
atau
s 2 x  35s  48  sy  27  3 x 
15
s 1
s 2 y  27 s  55  4sx  140  3 y 
30
s 4
2
Atau
s
2
 3 x  sy  35s  21 

s
2
 3 y  4sx  27 s  195 

15
s 1
30
s 4
2
Dengan metode eliminasi terhadap variabel x diperoleh:
s
2
 3 4s x  (4s ) sy  (4s )35s  21 

s
2
 3 s 2  3 y  4s s 2  3 x  s 2  3 27 s  195 
x



 

15
s 1
30
s 4
2
35s 3  48s 2  300s  63
15( s 2  3)
30s

 2
2
2
2
2
2
( s  1)( s  9)
( s  1)( s  1)( s  9) ( s  1)( s  4)( s 2  9)
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo193
30s
45
3
2s
 2

 2
2
s 1 s  9 s 1 s  4

Analog, untuk variabel y
s
2


 



 3 s 2  3 x  s 2  3 sy  s 2  3 {35s  21 

s s 2  3 y  4s ( s ) x  s {27 s  195 
15
}
s 1
30
}
s 4
2
27 s 3  55s 2  3s  585
60s
30( s 2  3)
y


s  1 s 2  1 s 2  9 (s 2  1)( s 2  4)( s 2  9)
( s 2  1)( s 2  9)




30s
60
3
2
 2

 2
2
( s  9) ( s  1) s  1 s  4)
Sehingga
Y  L1 ( y)  30 cos 3t  60 sin t  3e t  sin 2t
X  L1 ( x)  30 cos t  15 sin 3t  3e t  2 cos 2t
merupakan selesaian persamaan diferensial simultan
 X ' 'Y '3 X  15e t
, dengan X (0)  35, X ' (0)  48, Y (0)  27, Y ' (0)  55

Y ' '4 X  3Y  15 sin 2t
Soal-soal
Tentukan selesaian persamaan diferensial simultan berikut ini:
Y ' Z '2Y  2Z  sin t
1) 
, dengan Y (0)  Y ' (0)  Z (0)  0
Y ' '2Z 'Y  0
 X '2Y ' '  e t
, dengan X (0)  Y (0)  Y ' (0)  0
2) 
 X '2 X  Y  1
t

tY  Z 'tZ '  (t  1)e
3) 
, dengan Y (0)  1, Z (0)  1
t

Y ' Z  e
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo194
Y ' Z '2Y  2Z  sin t
4) 
, dengan Y (0)  0, Y ' ( )  1, Z (0)  1
Y ' '2Z 'Y  0
Y ' X '  t
5) 
, dengan Y (0)  3, Y ' (0)  2, X (0)  0
t
Y
'
'

X

e

Topik-topik pada bab VI dilaksanakan selama 3 x tatap muka masingmasing tatap muka 150 menit (3 SKS).
Berdasarkan hasil penilaian tugas-tugas yang diberikan oleh peneliti
kepada mahasiswa diperoleh kriteria ketuntasan pembelajaran sebagai berikut:
Nomor
Kriteria Ketuntasan
Jumlah Peserta
Persentase (%)
1
Sangat Memuaskan (A)
7
10,61
2
Memuaskan (B)
32
48,48
3
Cukup (C)
21
31,82
4
Kurang (D)
2
3,03
5
Sangat Kurang (E)
4
6,06
Jumlah
66
100
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo195