Atom Hidrogen

Atom Hidrogen
Zaki Su’ud
Atom Hidrogen
Energi Potensial :
Ze 2
V (r )  
r
Persamaan Schroeding er arah radial
 d2 2 d 
2 
Ze 2 l (l  1) 2 
 2 
 R  2  E 
 R  0

2
r dr 
 
r
2 r 
 dr
Berkonsent rasi ke keadaan te rikat, kita lakukan substitusi
1/ 2
 8 E 
   2  r
  
Persamaan menjadi (E  0)
d 2 R 2 dR l (l  1)
 1


R  (  )R  0
2
2
d
 d

 4
Perilaku pada daerah yang jauh
1/ 2
  
 c

  Z 
2E 
2E



Untuk daerah yang jauh
Ze


2
2
1/ 2




d 2R 1
 R0
2
dr
4
R (  )  e   / 2G (  )
Substitusi kan solusi di atas ke persamaan radial
d 2G
2 dG    1 l (l  1) 
G  0
 (1  )
 

2
2
dr
 d  
 
Solusi deret
G(  )  

l
n
a

 n
n 0
Solusi deret
Rumus rekursi untuk a n kita dapatkan dari :

H (  )   an  n
n 0
dengan
d 2H
2l  2
dH   l  1
(
 1)

H 0
2
d

d

Mengingat G(  )   l H (  ) ke PD untuk G



n2
n 1  2l  2
n 1
 1  (  1  l )an    0
n(n - 1)a n   nan  

n 0 
 




n 1


(n

1){na

(
2
l

2
)
a
}

(


1

l

n
)
a

0

n 1
n 1
n
n 0
Solusi Deret
an 1
n  l 1 

an
(n  1)( n  2l  2)
Untuk n yang besar :
an 1 1

an
n
Seperti halnya pada kasus osilator harmonik,
agar diperoleh solusi maka deret harus diterminas i
Untuk itu :
  nr  l 1
Kita definisika n :bilangan kuantum utama :
n  nr  l 1
nr  0
1. n  l  1
Solusi Deret
2. n bilangan bulat
3.   n, maka
1 2 ( Z ) 2
E  - c
2
n2
mM

mM
Ei  E j mc 2 /( 2 )
1
2 1
wij 

( Z ) ( 2  2 )

1 m / M
ni
nj
Degenerasi Spektrum
1. Untuk λ=1 maka nr=0 dan l=0, sehingga bersifat
unik
2. Untuk λ =2, kita punya dua alternatif:
a. nr=1,l=0
an 1
n  nr

an
(n  1)( n  2l  2)
a1
1

a0
2
H (  ()  ao (1   / 2)
Degenerasi Spektrum
• Distribusi sudut: simetri bola
b. nr=0,l=1
Fungsi gelombang radial adalah konstan
H(ρ)=ao tetapi komponen angular dari
fungsi gelombang mengandung Ylm(θ,φ)
Degenerasinya ada (2l+1)=3
Total degenerasinya ada 3+1=4 (untuk
λ=2)
Degenerasi Spektrum
3. Untuk λ=3, nr=2, l=0
• Di sini a2/a1 = -1/6 dan a1/a0 = -1
• Fungsi gelombang radialnya:
1 2
H (  )  ao (1     )
6
Fungsi Eigen Radial
Z
R10 (r )  2 
 ao 
3/ 2
 Z 

R20 (r )  2
 2 ao 
e
3/ 2
1  Z 


R21 (r ) 
3  2 ao 
 Z 

R20 (r )  2
 2 ao 
3/ 2
 Zr / ao
Zr  Zr / 2 ao
(1 
)e
2 ao
3/ 2
Zr  Zr / 2 ao
e
ao
Zr  Zr / 2 ao
(1 
)e
2 ao
Fungsi Eigen Radial
1  Z 


R30 (r ) 
3  3ao 
3/ 2
4 2 Z 


R31 (r ) 
3  3ao 
2
2 Zr 2( Zr )  Zr / 3ao
(1 

)e
2
3ao 27ao
3/ 2
2 2  Z 


R32 (r ) 
27 5  3ao 
Zr
Zr  Zr / 3ao
(1 
)e
ao
6 ao
3/ 2
Zr 2  Zr / 3ao
( ) e
ao