MAKALAH MATEMATIKA TERAPAN
HIMPUNAN
Disusun untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Matematika Terapan
Oleh Kelompok 10 ( Kelas A )
RYAN MACHFUDIN 19021057
RONALD JUNIOR KEHUEL RAJA L 19021055
SULTAN ALAM FATAHILLAH 19021059
PROGRAM STUDI TEKNOLOGI PERMAINAN (GAME TECH)
JURUSAN DESAIN
POLITEKNIK NEGERI MEDIA KREATIF
TAHUN AKADEMIK 2019/2020
Kata Pengantar
Puji dan Syukur kami panjatkan ke Hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat limpahan
Rahmat dan Karunia-nya sehingga kami dapat menyusun makalah ini dengan baik dan tepat
pada waktunya. Dalam makalah ini kami membahas mengenai HIMPUNAN.
Makalah ini dibuat dengan berbagai observasi dan beberapa bantuan dari berbagai pihak untuk
membantu menyelesaikan tantangan dan hambatan selama mengerjakan makalah ini. Oleh
karena itu, kami mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang
telah membantu dalam penyusunan makalah ini.
Kami menyadari bahwa masih banyak kekurangan yang mendasar pada makalah ini. Oleh
karena itu kami mengundang pembaca untuk memberikan saran serta kritik yang dapat
membangun kami. Kritik konstruktif dari pembaca sangat kami harapkan untuk
penyempurnaan makalah selanjutnya.
Akhir kata semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi kita sekalian.
Jakarta, Oktober 2019
Daftar Isi
Kata Pengantar ………………………………………………………….
Daftar Isi ………………………………………………………………..
BAB I Pendahuluan ……………………………………………………
I.1 Latar Belakang ......................................................................................
I.2 Rumusan Masalah ……………………………………………………..
I.3 Tujuan ……………………………………………………………
BAB II Pembahasan ……………………………………………………………….
II.A. Pengertian Himpunan
………………………………………………….
II B. Penyajian Himpunan......................................................................................................
II.C. Teori Dasar Himpunan ………………………………………………….
II.D. Operasi Himpunan ……………………………………………………
II.E. E. Penerapan Himpunan dalam bidang Informatika atau pemrograman ……………
BAB III Penutupan …………………………………………………..
III.A. Kesimpulan……………………………………………………………….
III.B. Penutup ……………………………………………………………….
Daftar Pustaka ………………………………………………………….
Bab I
Pendahuluan
I.1 Latar Belakang
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai
arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana
bukan anggota himpunan.
Perhatikan objek yang berada di sekeliling kita, misal ada sekelompok mahasiswa yang sedang
belajar di kelas A, setumpuk buku yang berada di atas meja belajar, sehimpunan kursi di dalam
kelas A, sekawanan itik berbaris menuju sawah, sederetan mobil yang antri karena macet dan
sebagainya, semuanya merupakan contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari.
Benda atau objek yang termasuk dalam himpunan disebut anggota atau elemen atau unsur
himpunan tersebut. Umumnya penulisan himpunan menggunakan huruf kapital A, B, C dan
seterusnya, dan anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil.
Himpunan merupakan salah satu dasar dari matematika. Konsep dalam matematika dapat
dikembalikan pada konsep himpunan, misalnya garis adalah himpunan titik. Sebetulnya
pengertian himpunan mudah dipahami dan dapat diterima secara intuitif. Mengingat demikian
pentingnya teori himpunan, maka dalam kesempatan ini akan dijabarkan beberapa konsep
mengenai teori himpunan.
I.2 Rumusan Masalah
A. Pengertian Himpunan
B. Penyajian Himpunan
C. Teori dasar himpunan
D. Operasi Himpunan
E. Penerapan Himpunan dalam bidang Informatika atau pemrograman
I.3 Tujuan
Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.
Mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis.
Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.
Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri.
Bab II
Pembahasan
A. Pengertian Himpunan
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan sebagai beberapa
liberatur dengan jelas. Benda atau objek dalam himpunan disebut elemen atau anggota
himpunan. Dari defi nisi tersebut, dapat diketahui objek yang termasuk anggota himpunan atau
bukan.
Contoh himpunan:
• Himpunan warna lampu lalu lintas, anggota himpunannya adalah merah, kuning, dan hijau
• Himpunan warna Balon, anggota himpunannya adalah hijau, pink, merah, dan cokelat
• Himpunan bilangan prima kurang dari 10, anggota himpunannya adalah 2, 3, 5, dan 7.
Contoh bukan himpunan:
• Kumpulan baju-baju bagus.
• Kumpulan makanan enak.
• Kumpulan Permen
• Kumpulan Snack
Notasi himpunan dilambangkan menggunakan huruf kapital (A, B, …). Benda atau objek yang
termasuk dalam himpunan tersebut ditulis di antara tanda kurung kurawal {...}. Anggota suatu
himpunan dinotasikan dengan ∈, sedangkan yang bukan anggota himpunan dinotasikan dengan
∉.
Banyak anggota suatu himpunan dinyatakan dengan n.
Contoh:
A adalah himpunan bilangan positif kurang dari 5.
Anggota himpunan bilangan positif kurang dari 5 adalah 1, 2, 3, dan 4.
Jadi, A = {1, 2, 3, 4} dan n(A) = 4.
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Notasi himpunan kosong
adalah { } atau ø.
Contoh:
N adalah himpunan bilangan negatif yang lebih besar dari nol. N dalam notasi himpunan adalah
N = { } karena semua bilangan negatif kurang dari nol.
Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang
dibicarakan. Notasi himpunan semesta adalah S.
Contoh:
Misalkan, himpunan P = {2, 3, 5, 7}. Himpunan semesta yang mungkin dari P adalah
S = {bilangan cacah} atau S = {bilangan prima}.
B. Himpunan
Dalam ilmu matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap
sebagai satu kesatuan.
Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara
elemen himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang
umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti
itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.
Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan
sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.
Himpunan dapat di sajikan dengan cara enumerasi, simbol-simbol baku, notasi pembentuk
himpunan dan dengan diagram venn.
1.
Enumerasi
Enumerasi adalah mendaftarkan semua anggota himpunan.
Contoh :
- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.
- C = {kucing, a, Amir, 10, paku}
- R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
- C = {a, {a}, {{a}} }
- K = { {} }
- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }
- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
2.
Simbol - Simbol Baku
Penulisan himpunan yang sudah baku dikhususkan bagi himpunan yang telah baku dan sering
digunakan dalam penjabaran matematika.
Contoh :
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
Terdapat penulisan simbol Himpunan dalam bentuk Universal atau biasa disebut Himpunan
Semesta, disimbolkan dengan U.
Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.
3.
Notasi Pembentuk Himpunan
Penulisan notasi adalah { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh :
A adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 8
A = { x | x bilangan bulat positif lebih kecil dari 8} atau A = { x | x P, x < 8 } yang ekivalen
dengan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} .
4.
Diagram Venn
Diagram venn adalah cara lain untuk menyatakan suatu himpunan dengan gambar atau
diagram. Diagram venn ini pertama kali ditemukan oleh ahli matematika berkebangsaan
Inggris yang bernama John Venn (1834-1923).
Ketentuan dalam membuat diagram venn sebagai berikut:
o
Himpunan semesta digambarkan dengan sebuah persegi panjang dan di pojok kiri
diberi simbol S.
o
Setiap anggota himpunan semesta ditunjukkan dengan sebuah noktah di dalam persegi
panjang itu, dan nama anggotanya ditulis berdekatan dengan noktahnya.(lihat gambar di atas)
Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
o
Setiap himpunan yang termuat di dalam himpunan semesta ditunjukkan oleh kurva
tutup sederhana.
Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
Karena semua anggota himpunan A dan B termuat di dalam himpunan S, maka himpunan A
dan B di dalam himpunan S.
Yang dimaksud Irisan Himpunan adalah anggota persekutuan antara A dan B (lihat gambar di
atas).
Irisan himpunan dari persekutuan A dan B adalah 2, 4, 6, 8.
C. Teori dasar himpunan
Himpunan(Set) adalah kumpulan objek-objek yang didefinisikan dengan jelas. Objek-objek itu
sering disebut anggota atau elemen. Himpunan dinotasikan dengan huruf kapital.
Jenis-Jenis Himpunan
1. Himpunan Semesta(S = U)
Himpunan semua objek yang sedang dibicarakan atau himpunan semesta pembicaraan
2. Himpunan Kosong(ø = { })
Adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota
3. Himpunan Terhingga
Adalah himpunan yang banyak anggotanya terbatas
4. Himpunan Tak Hingga
Adalah himpunan yang banyak anggotanya tak terbatas
5. Bilangan Kardinal( n {H})
Adalah himpunan H [ ditulis n {H} menyatakan banyaknya anggota himpunan H
Hubungan Himpunan dengan Himpunan
1. Himpunan Bagian(Subset)
Himpunan(Set) adalah kumpulan objek-objek yang didefinisikan dengan jelas. Objek-objek itu
sering disebut anggota atau elemen. Himpunan dinotasikan dengan huruf kapital.
A himpunan bagian B (ditulis A ⊂ B), jika setiap anggota A merupakan anggota B juga.
2. Banyaknya Himpunan Bagian
Misalkan n adalah bilangan cardinal B = 2ⁿ, banyaknya himpunan bagian dari yang
beranggotakan k :
n C k = n!/k!(n-k)!
3. Himpunan Ekuivalen( ∼ )
Himpunnan A dikatakan ekuivalen dengan himpunan B (A~B) jika banyaknya A sama dengan
anggota B
4. Himpunan Sama (=)
Himpunan A sama dengan himpunan B (A=B) jika anggota A sama dengan anggota B
5. Himpunan Kuasa atau Super Set ( ⊃ )
Himpunan A superset B ( A ⊃ B ) jika setiap anggota B merupakan anggota A juga
6. Himpunan Lepas (//)
Himpunan A dan b disebut lepas (//) jika A dan B tidak mempunyai anggota persekutuan.
7. Himpunan Berpotongan ( ∝ )
Adalah himpunan A dan B berpotongan, jika A dan B mempunyai anggota persekutuan dan
juga masing-masing mempunyai anggota bukan persekutuan.
D. Operasi Himpunan
Operasi pada Himpunan
1.
Irisan himpunan
A irisan B ditulis A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}
Contoh :
A= {1, 2, 3, 4, 5}
B= {2, 3, 5, 7, 11}
A ∩ B = {2, 3, 5}
2.
Gabungan Himpunan
A gabungan B ditulis A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}
Contoh :
A= {1, 2, 3, 4, 5}
B= {2, 3, 5, 7, 11}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 11}
3.
Selisih
A Selisih B ditulis A-B = {x | x ∈ A atau x Ï B}
Contoh :
A= {1, 2, 3, 4, 5}
B= {2, 3, 5, 7, 11}
A-B = {1, 4}
4.
Komplemen himpunan
Komplemen A ditulis A1 atau Ac = {x | x ∈ S dan x Ï A}
Contoh :
A= {1, 2, … , 5}
S = {bil. Asli kurang dari 10}
Ac = {6, 7, 8, 9}
E. Penerapan Himpunan dalam bidang Informatika atau pemrograman
Matematika diskrit (discrete mathematics) adalah cabang matematika yang mengkaji objekobjek diskrit, Menurut Wikipedia & ACM (Association for Computing Machinery)
mendefinisikan matematika diskrit sebagai berikut:
“Apa yang dimaksud dengan kata diskrit? Benda yang disebut diskrit jika ia terdiri dari
sejumlah berhingga elemen yang berbeda atau elemen-elemen yang tidak bersambungan.
Himpunan bilangan bulat (integer) dipandang sebagai objek diskrit. Kita dapat memahami
diskrit dengan membandingkan lawan katanya yaitu continue atau menerus (contiuous).
Himpunan bilangan real dipandang sebagai objek continue. Fungsi diskrit digambarkan
sebagai sekumpulan titik-titik, sedangkan fungsi continue digambarkan sebagai kurva”.
Matematika Diskrit berkembang sangat pesat dalam dekade ini. Salah satu alasan yang
menyebabkan perkembangan pesat itu adalah karna computer digital bekerja secara diskrit,
Informasi yang disimpan dan dimanipulasi oleh computer adalah dalam bentuk Diksrit.
Matematika Diskrit merupakan Ilmu paling dasar di dalam pendidikan informatika atau
ilmu computer. Pada dasarnya informatika adalah kumpulan disiplin ilmu dan teknik yang
mengolah dan memanipulasi objek diskrit. Matematika diskrit memberikan landasan
matematis untuk kuliah-kuliah lain di dalam teknik informatika. Mahasiswa yang akan
mengambil mata kuliah Algoritma, Struktur Data, Basis Data, Otomata, Jaringan Komputer,
Keamanan Komputer, System Operasi dan Mata kuliah lain akan akan kesulitan jika tidak
mempunyai landasan matematis dari matematika diskrit.
Bab III
Penutup
A. Kesimpulan
Ada beberapa hal yang bisa disimpulkan dalam pembuatan makalah ini, diantaranya yaitu:
1.
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang
mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota
himpunan dan mana bukan anggota himpunan.
2.
Dengan mempelajari Himpunan, diharapkan kemampuan logika akan semakin terasah dan
memacu kita agar kita mampu berpikir secara logis.
B.
Penutupan
Tanpa kita sadari ternyata begitu banyak manfaat dari aplikasi matematika untuk kehidupan
sehari-hari. Baik dalam bidang ekonomi, pendidikan, dan dalam berbagai disiplin ilmu yang
lainya. Oleh karena itu penulis menyarankan agar kita lebih serius dalam mempelajari
matematika dan jangan dijadikan matematika sebagai sesuatu yang menyeramkan untuk
dipelajari karena matematika adalah bagian sangat dekat yang tak terpisahkan dari kehidupan
kita.
DAFTAR PUSTAKA
http://idawatieuclid.blogspot.com/2014/12/makalah-operasi-operasi-himpunan.html
http://susi-deswati.blogspot.com/2012/12/makalah-matematika-himpunan.html
https://blogwahyu123.blogspot.com/2016/06/makalah-tentang-himpunan-disusun-oleh.html
http://widayusari.blogspot.com/2015/11/makalah-matematika-himpunan.html
