Contoh 2: Selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi berikut ini adalah titik maksimum atau titik minimum ? : p = 3q² – 18q + r ² – 8r + 50 Jawab: Fq = 6q – 18 Fr = 2r – 8 6q – 18 = 0 q=3 2r – 8 = 0 r=4 p = 3 (3)2 – 18(3) + 42 – 8(4) + 50 p = 27 – 54 + 16 – 32 + 50 p=7 Fqq = 6 > 0 Frr = 2 > 0 Karena Fqq dan Frr > 0, titik ekstrimnya adalah titik minimum dengan P min = 7 2. Aplikasi Bisnis Ekonomi Pendekatan deferensiasi parsial untuk diterapkan pada model-model ekonomi yang mengandung lebih dari suatu variabel bebas, dalam hal ini kita hendak menelaah secara parsial pengaruh dari salah satu variabel bebas tadi terhadap variabel terikatnya. 2.1. Permintaan Marjinal dan Elastisitas Permintaan Parsial Apabila dua macam barang mempunyai hubungan dalam penggunaannya, maka permintaan akan masing-masing barang akan fungsional terhadap harga kedua macam barang tersebut. Dengan kata lain jika harga barang A dan barang B mempunyai hubungan pengunaan, maka; Qda = f (Pa’ Pb) dan Qdb = f (Pa’ Pb) Derivatif, pertama dari Qda dan Qdb adalah fungsi-fungsi permintaan marjinalnya, dimana: � � � � � � � � � � � � adalah permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pa adalah permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pb adalah permintaan marjinal akan B berkenaan dengan Pa adalah permintaan marjinal akan B berkenaan dengan Pb Dengan dapat diturunkannya fungsi permintaan marjinal tersebut, dapatlah dihitung elastisitas permintaan parsialnya. Ada 2 macam elastisitas permintaan, yaitu: a) Elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang berkenaan perubahan harga sendiri (elastisitas harga permintaan) b) Elatisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang berkenaan perubahan harga barang lain (elstisitas silang permintaan) Page | 10 RUMUS ∈ = ∈ = ∈ = ∈ = ∈ ∈ %∆ %∆ = %∆ %∆ %∆ %∆ × = × = × = %∆ %∆ dan ∈ × = elatisitas harga permintaan dan ∈ = elatisitas silang permintaan 1. Jika ∈ dan ∈ keduanya negatif (∈ < dan ∈ < ) untuk Pa dan Pb tertentu, berarti hubungan antara barang A dan B adalah komplementer (saling melengkapi), sebab penurunan salah satu barang akan diikuti oleh kenaikan permintaan atas barang tersebut dan kenaikan permintaan atas barang lainnya 2. Jika ∈ dan ∈ keduanya positif (∈ > dan ∈ > ) untuk Pa dan Pb tertentu, berarti hubungan antara barang A dan B adalah kompetitif/substitutif (saling menggantikan), sebab penurunan salah satu barang akan diikuti oleh kenaikan permintaan atas barang tersebut dan penurunan permintaan atas barang lainnya. Contoh Soal: Fungsi permintaan barang A dan B masing-masing ditunjukkan oleh Qda . . – 1 = 0 dan Qdb . .Pb – 1 = 0. Berapa elastisitas permintaan masing-masing barang dan bagaimana hubungan antara kedua barang tersebut? Jawab: Diketahui; Qda . . – 1 = 0 Qdb . .Pb – 1 = 0 Qda = Qdb = . − Qda = � � � ∈ = ∈ = � � � =− × × − . = − − − =− =- . � � � − . − − � � � − . . − . − × × − − . − . − − Qdb = =- = -2 =− − − − . − . . − = -1 Page | 11 ∈ = ∈ = × × =− =− − . − . − − . . − . − = -3 − . − = -3 Barang A adalah barang elastis karena ∈ > Barang B adalah barang unitary-elastic karena ∈ = (Ingat dalam menafsirkan elastisitas harga permintaan cukup dengan melihat besarnya angka perhitungan. Tandanya tidak perlu diperhitungkan). Adapun hubungan antara A dan B adalah bersifat komplementer karena ∈ < dan ∈ < 2.2. Perusahaan dengan Dua Macam Produk dan Biaya Produksi Gabungan Apabila sebuah perusahaan menghasilkan dua macam output, dan biaya yang dikeluarkannya untuk memproduksi kedua macam produk itu merupakan biaya gabungan (joint production cost), maka keuntungan yang diperolehnya dapat diselesaikan dengan pendekatan deferensiasi parsial. Metode ini juga digunakan untuk menganilisis kasus perusahaan yang menghasilkan lebih dari dua macam produk yang biaya produksinya juga merupakan biaya produksi gabungan. Andaikan perusahaan memproduksi dua macam barang A dan B, dimana fungsi permintaannya akan masing-masing barang di cerminkan oleh Qa dan Qb, serta biaya produksinya C = f (Qa, Qd) maka: Penerimaan dari memproduksi A : Ra = Qa. Pa = f (Qa) Penerimaan dari memproduksi B : Rb = Qb. Pb = f (Qb) Penerimaan total: R = Ra + Rb = f (Qa) + f (Qb) Biaya Total: C = f (Qa, Qb) Fungsi Keuntungannya: ∏ = R – C = f (Qa) + f (Qb) - f (Qa, Qb) = g (Qa, Qb) ∏ maksimum bila ∏’ = ∏ Qa = ∏ Qb = �∏ � �∏ � = 0 ........................... persamaan 1 = 0 ........................... persamaan 2 Dari persamaan (1) dan (2) nilai Qa dan Qb . Selanjutnya nilai ∏ bisa dihitung... Contoh Soal: Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan yang memproduksi dua macam barang, A dan B, ditunjukkan oleh C = + + Qa . Qb. Harga jual masing-masing barang per unit adalah Pa = 7 sedangkan Pb = 20. Hitunglah berapa unit masing-masing harus diproduksi agar keuntungannya maksimum dan besar keuntungan maksimum tersebut. Page | 12 Jawab: Penerimaan dari memproduksi A : Ra = Qa. Pa = 7 Qa Penerimaan dari memproduksi B : Rb = Qb. Pb = 20 Qb Penerimaan total: R = Ra + Rb = 7 Qa + 20 Qb Fungsi Keuntungannya: ∏ = R – C = 7 Qa + 20 Qb - - - Qa . Qb ∏ maksimum bila ∏’ = �∏ = 0 → 7 -2 Qa - Qb = 0 persamaan 1 �∏ = 0 → 20 -6 Qb – Qa = 0 persamaan 2 ∏Qa = � ∏Qb = � Dari (1) dan (2) diperoleh Qa = 2 dan Qb = 3 Fungsi Keuntungannya: ∏ = R – C = 7 Qa + 20 Qb - + + Qa . Qb = 7 (2) + 20 (3) – (2)2 - 3 (3)2 – (2) (3) = 37 Jadi keuntungan maksimum perusahaan harus memproduksi 2 unit A dan 3 unit B dengan keuntungan sebesar 37. Kasus dimana perusahaan memproduksi lebih dari satu macam barang dengan biaya produksi gabungan, dapat pula diselesaikan melalui nilai-nilai marjinalnya yakni: - Dengan memformulasikan penerimaan marjinal masing-masing barang yang sama dengan biaya marjinal barang yang bersangkutan. MR = MC Berkenaan soal diatas, ∏ maksimum akan diperoleh bila; MRa = MCa dan MRb = MCb R = 7 Qa + 20 Qb MRa = R’a = 7 MRb = R’b = 20 C= + + Qa . Qb. MCa = C’a = 2 Qa + Qb MCb = C’b = 6 Qb + Qa MRa = MCa → 7 = 2 Qa + Qb Page | 13 7 - 2 Qa - Qb = 0 ............. persamaan 1 MRb = MCb → 20 = 6 Qb + Qa 20 - 6 Qb - Qa = 0 ............. persamaan 2 Dari persamaan (1) dan (2) nilai Qa =2 dan Qb = 3 . Selanjutnya nilai ∏= Latihan Soal: Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan yang memproduksi dua macam barang, A dan B, ditunjukkan oleh C = + + Qa . Qb. Harga jual masing-masing barang per unit adalah Pa = 15 sedangkan Pb = 32. Hitunglah berapa unit masingmasing harus diproduksi agar keuntungannya maksimum dan besar keuntungan maksimum tersebut. 2.3. Keseimbangan Konsumsi: Optimalisasi Bersyarat - Pengganda Lagrange Dalam kenyataan kita sering sekali harus mengoptimalkan suatu fungsi yakni mencari nilai maksimum atau nilai minimumnya tetapi terkekang oleh suatu fungsi lain yang harus dipenuhi, atau dengan kata lain hendak mengoptimumkan tetapi menghadapi kendala. Dalam kasus ekonomi hal ini banyak sekali terjadi, misalnya hendak mengoptimalkan kepuasan tetapi terbentur oleh pendapatan yang terbatas, atau ingin memaksimumkan laba tapi terbentur oleh terbatasnya jumlah produk yang dapat dihasilkan. Kepuasan konsumen dilambangkan dengan U Barang-barang dikonsumsi dilambangkan qi (i = 1,2,3...n), maka fungsi Utilitasnya U = f (q1, q2, q3....qn) Jika konsumen hanya mengkonsumsi dua barang, maka secara sederhana dapat dirumuskan sbb: U = f (x,y) Untuk U = konstanta tertentu, fungsi utilitas U = f (x,y) merupakan suatu persamaan kurva indeferensi (indefferrence curve) yaitu; - Kurva yang menujukkan kombinasi barang X dan Y yang meberikan tingkat kepuasan yang sama. Keseimbangan Konsumsi - Maksudnya suatu keadaan atau tingkat kombinasi konsumsi beberapa macam barang yang memberikan kepuasan optimum. - Secara geometri, keseimbangan konsumsi terjadi pada persinggungan kurva indefernsi dengan garis anggaran konsumen (budget line) Pengganda Lagrange Adalah suatu metode yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah diatas yaitu ingin mengoptimalkan suatu fungsi tetapi terbentur oleh adanya batasan (kendala). Caranya: Page | 14
