1 Turunan Fungsi Trigonometri LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK Petunjuk Belajar: 1. Berdoalah sebelum mengerjakan 2. Isilah nama dan nomor absen anggota pada kotak yang telah disediakan 3. Kerjakan soal-soal yang diberikan 4. Tanyakan pada guru bila terdapat soal yang kurang faham Anggota Kelompok : 1. 2. 3. 4. ........... ........... ........... ........... Tuliskan tiga kata yang menggambarkan karakter kelompok Anda - 1 2 Turunan Fungsi Trigonometri RENUNGAN Ketika kita berumur kurang lebih 4 bulan di dalam rahim ibu kita, ditiupkanlah ruh kehidupan pada diri kita beserta dengan segala ‘potensi’ anugerah dari Tuhan dan ketika kurang lebih 9 bulan 10 hari (normal) ditugasilah kita menjadi khalifah di bumi oleh Tuhan Yang Maha Esa. Proses diferensiasi kita tersebut menjadikan kita sebagai mahluk pengabdi kepada Tuhan. Tentu saja konsekuensinya kita di dunia ini dituntut melakukan apa saja cipta karsa dan rasa sebagai manusia yang mengandung muatan ibadah kepada-Nya. Perjalanan kita dalam kehidupan ini diibaratkan suatu fungsi (y) yang terdifferensial menjadi y’ (dy/dx) sehingga ada satu Konstan (c) yang “hilang”. Misal 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 𝑦′ = 𝑑𝑦⁄ 𝑑𝑥 = 𝑚, (𝑐-nya hilang) Akan tetapi sebenarnya tidak hilang, hanya tidak ditampakkan oleh Tuhan karena c yang hilang mengandung muatan ketetapan Tuhan atau dalam agama Islam dinamakan Qadha’ yang harus ditempuh oleh manusia untuk menemukan kembali c yang hilang tersebut dengan segala potensi yang kita miliki dalam fragmen-fragmen kehidupan (taqdir) kita. Muatan c tersebut bisa saja positif jika kita menaati aturan-aturan Tuhan dalam agama dan bisa negatif jika kita menuruti hawa nafsu yang tidak terkontrol oleh hukum positif universal tergantung kita mengisi fungsi y kita dengan nilai variabel yang kita usahakan. Dengan kata lain c adalah seluruh muatan amal kita dalam kehidupan fana ini, sehingga c menjadi hal yang sangat penting bagi manusia itu sendiri. Kembali utuh menjadi F(x) (Integral) 2 3 Turunan Fungsi Trigonometri Kegunaan mempelajari turunan fungsi Konstruksi Bangunan Dalam membuat konstruksi bangunan, percampuran bahan-bahan bangunan yang di lakukan oleh arsitek, pembuatan tiang–tiang, langit-langit, ruangan, dan lainlain, menggunakan konsep turunan. Sehingga bangunan terlihat cantik dan kokoh. Bila salah dalam perhitungan, Penerbangan Dalam dunia penerbangan, turunan mempunyai fungsi terpenting untuk lajunya pesawat. Pesawat akan mengikuti navigasi dari tower yang berada di bandara. Setiap laju pesawat akan terdetek pada navigasi, sehingga laju pesawat tidak salah arah dan percepatannya sesuai dengan panduaan dari tower. Peternakan Dalam dunia peternakan, aplikasi turunan digunakan dalam memperkirakan tingkat kesehatan hewan ternak. Misalnya seorang ahli ingin mengetahui berat badan sapi pada waktu yang akan datang, maka dia harus menguasai konsep turunan. 3 4 Turunan Fungsi Trigonometri Konsep Turunan Fungsi Limit dan turunan fungsi mempunyai hubungan yang sangat erat. Turunan fungsi didapat dari limit fungsi. Turunan adalah bentuk khusus dari limit Definisi Turunan: 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ 𝑓 ′ (𝑥) = lim Sebelum Anda membuktikan beberapa turunan fungsi trigonometri, coba ingat kembali persamaan-persamaan trigonometri dan limit trigonometri berikut ! 1. Jumlah dan selisih sinus cosinus dua sudut: a. sin(𝑥 + 𝑦) = sin 𝑥 cos 𝑦 + cos 𝑥 sin 𝑦 b. sin(𝑥 − 𝑦) = sin 𝑥 cos 𝑦 − cos 𝑥 sin 𝑦 c. cos(𝑥 + 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 − sin 𝑥 sin 𝑦 d. cos(𝑥 − 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 + sin 𝑥 sin 𝑦 2. Sinus cosinus sudut rangkap a. sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥 b. cos 2𝑥 = cos2 𝑥 − sin2 𝑥 = 1 − 2 sin2 𝑥 = 2 cos 2 𝑥 − 1 3. Bentuk dasar limit a. lim 𝑥→0 b. lim 𝑥→0 sin 𝑎𝑥 𝑏𝑥 sin 𝑥 𝑥 𝑎 =𝑏 =1 Cermati turunan fungsi 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 dengan menggunakan definisi turunan berikut ! 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 sin(𝑥 + ℎ) − sin 𝑥 ℎ→0 ℎ 𝑓 ′ (𝑥) = lim sin 𝑥 cos ℎ + cos 𝑥 sin ℎ − sin 𝑥 ℎ→0 ℎ 𝑓 ′ (𝑥) = lim Menggunakan jumlah sinus dua sudut sin 𝑥 cos ℎ − sin 𝑥 + cos 𝑥 sin ℎ ℎ→0 ℎ 𝑓 ′ (𝑥) = lim sin 𝑥 (cos ℎ − 1) + cos 𝑥 sin ℎ ℎ→0 ℎ 𝑓 ′ (𝑥) = lim 4 5 Turunan Fungsi Trigonometri sin 𝑥 (cos ℎ − 1) cos 𝑥 sin ℎ + lim ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ 𝑓 ′ (𝑥) = lim 𝑓 ′ (𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) cos ℎ − 1 sin ℎ = sin 𝑥 × lim + cos 𝑥 × lim ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ = sin 𝑥 × lim 1 −2 sin2 2 ℎ ℎ→0 𝑓 ′ (𝑥) = sin 𝑥 × −2 lim ℎ→0 ℎ 1 sin 2 ℎ ℎ sin ℎ ℎ→0 ℎ + cos 𝑥 × lim sin 𝑥 dan cos 𝑥 dikeluarkan dari limit karena tidak mengandung variabel h Menggunakan sudut rangkap dari cosinus 1 sin ℎ sin ℎ + cos 𝑥 × lim ℎ→0 ℎ 2 1 1 𝑓 ′ (𝑥) = sin 𝑥 × −2 × × sin (0) + cos 𝑥 × 1 2 2 Substitusikan nilai ℎ = 0 𝑓 ′ (𝑥) = sin 𝑥 × −1 × 0 + cos 𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = cos 𝑥 Sudah Paham ? Jadi dapat diketahui bahwa turunan dari 𝒇(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 adalah 𝒇′ (𝒙) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 Coba carilah diinternet, manfaat turunan dalam kehidupan sehari-hari selain yang disebutkan diatas ! ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... 5 6 Turunan Fungsi Trigonometri 1. Tentukan turunan dari fungsi 𝒇(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 dengan menggunakan definisi turunan 6 7 Turunan Fungsi Trigonometri 2. Tentukan turunan dari fungsi 𝒇(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧 𝒂𝒙 dengan menggunakan definisi turunan 7 8 Turunan Fungsi Trigonometri 3. Tentukan turunan dari fungsi 𝒇(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬 𝒂𝒙 dengan menggunakan definisi turunan 8 9 Turunan Fungsi Trigonometri Dari pembuktian diatas dapat kita tuliskan : 1. 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 → 𝑓 ′ (𝑥) = cos 𝑥 2. 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 → 𝑓 ′ (𝑥) = . . . . . . . . . . 3. 𝑓(𝑥) = sin 𝑎𝑥 → 𝑓 ′ (𝑥) = . . . . . . . . . 4. 𝑓(𝑥) = cos 𝑎𝑥 → 𝑓 ′ (𝑥) = . . . . . . . . . Kalian telah membuktikan turunan beberapa fungsi trigonometri dengan menggunakan definisi turunan. Sekarang perhatikan contoh soal berikut ! 1. Tentukan turunan pertama dari fungsi 𝑓(𝑥) = sin 5𝑥 ! Sesuai dengan pembuktian bahwa turunan pertama dari 𝑓(𝑥) = sin 𝑎𝑥 adalah 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑎 cos 𝑎𝑥, maka turunan dari fungsi diatas adalah 𝑓 ′ (𝑥) = 5 cos 5𝑥 2. Tentukan turunan pertama dari fungsi 𝑓(𝑥) = cos(−2𝑥) ! Sesuai dengan pembuktian bahwa turunan pertama dari 𝑓(𝑥) = cos 𝑎𝑥 adalah 𝑓 ′ (𝑥) = −𝑎 sin 𝑎𝑥, maka turunan dari fungsi diatas adalah 𝑓 ′ (𝑥) = −(−2) sin(−2𝑥) = 2 sin(−2𝑥) 3. Tentukan turunan pertama dari fungsi 𝑓(𝑥) = 4 sin 2𝑥 ! 𝑓 ′ (𝑥) = 4 × 2 cos 2𝑥 = 8 cos 2𝑥 4. Tentukan turunan pertama dari fungsi 𝑓(𝑥) = −6 cos 3𝑥 ! 𝑓 ′ (𝑥) = −6 × −3 sin 3𝑥 = 18 sin 3𝑥 Kerjakan Soal-soal dibawah ini dengan benar ! 1. Diketahui fungsi 𝑓(𝑥) = cos(−6𝑥), tentukan: a. Bentuk 𝑓′(𝑥) 𝜋 b. Nilai 𝑓′ (12) 2. Diketahui fungsi 𝑓(𝑥) = 4 cos(3𝑥), tentukan: a. Bentuk 𝑓′(𝑥) 𝜋 b. Nilai 𝑓′ ( 6 ) 3. Diketahui fungsi 𝑓(𝑥) = sin(−2𝑥), tentukan: a. Bentuk 𝑓′(𝑥) 𝜋 b. Nilai 𝑓′ ( 6 ) 4. 9
