3-konstanta-propagasi-dan-impednsi-karakteristik

Power System
Sudayatno Sudirham
Isi
Isi Pelajaran #3
Persamaan Tegangan dan Arus
Konstanta Propagasi
Impedansi Karakteristik
Rangkaian Ekivalen
Yang kita peroleh dalam perhitungan impedansi dan admitansi
suatu saluran transmisi adalah nilai per satuan panjang.
Impedansi :  / m
Admitansi : S / m
Impedansi dan admitansi ini terdistribusi sepanjang saluran
transmisi.
Setiap meternya misalnya, mengandung impedansi dan
admitansi.
Hal ini berarti, jika saluran transmisi digunakan untuk
menyalurkan energi, di setiap perubahan posisi sepanjang
saluran akan terjadi penurunan tegangan dan penurunan arus
Persamaan Tegangan dan Arus Saluran Transmisi:
Tinjau saluran transmisi (dua konduktor)
Ir
Vs
Vr
x
ujung
kirim
ujung
terima
suatu posisi x
dihitung dari
ujung terima
Pertanyaan: Jika tegangan dan arus di ujung
terima diketahui, berapakah tegangan dan arus
di posisi berjarak x dari ujung terima?
Tinjau jarak sempit x pada posisi x dari ujung kirim
x
I x  x
Vs
ZxI x
Vx  x
Ir
Ix
Vx
Vr
Yx Vx
Z : impedansi per satuan panjang
Y : admitansi per satuan panjang
x
dalam jarak x ini terdapat
impedansi dan admitansi sebesar:
Zx dan Yx
Dalam jarak sempit ini terdapat tegangan jatuh Vx  Zx I x
dan arus antar kedua konduktor sebesar I x  Yx Vx sehingga
Vx  x  Vx  ZxI x
atau
Vx  x  Vx
 ZI x
x
I x  x  I x  YxI x
atau
I x  x  I x
 YI x
x
Jika x  0, kita tuliskan persamaan orde pertama:
dan persamaan
orde ke-dua
d Vx
 ZI x
dx
d 2 Vx
dx
2
d 2 Vx
dx
2
dI
Z x
dx
 ZYVx
dI x
 YVx
dx
d 2I x
dx
2
d 2I x
dx
2
d Vx
 Y
dx
substitusi
dI x
d Vx
dan
dx
dx
 YZI x
Inilah persamaan tegangan dan arus saluran transmisi. Dalam dua persamaan
orde ke-dua ini faktor YZ muncul di keduanya. Dengan harapan akan
memperoleh kemudahan solusi, didefinisikan:
 2  ZY
atau
  ZY
konstanta propagasi
Konstanta Propagasi:
  ZY
Karena Z maupun Y adalah bilangan-bilangan kompleks, maka 
juga bilangan kompleks:
    j
Konstanta redaman
menyebabkan
penurunan amplitudo
gelombang karena
desipasi daya
sepanjang transmisi.
Nilai  terkait dengan
resistansi saluran
Konstanta fasa
menyebabkan
perubahan fasa dan
bentuk gelombang
terkait dengan
perubahan induktansi
dan kapasitansi
sepanjang saluran
CONTOH:
Dari suatu saluran transmisi telah dihitung impedansi
dan admitansi per satuan panjang:
Z  0,088  j 0,4654 /km dan
Y  j 3,524 S/km
Hitung konstanta propagasi .
Y  j 3,524 S/km  j 3,524  10 6 S/km
  ZY  (0,088  j 0,4654)( j 3,524  10 6 )
 10 3 (0,088  j 0,4654)  j 3,524
 10 3 0,47479,3o  3,52490 o  10 3 1,67169,3o
 10 -3  1,29284,6 o  (0,1205  j1,2863)  10 3 per km
Solusi Persamaan Tegangan:
Persamaan tegangan orde ke-2:
d 2 Vx
dx
2
 ZYVx
2
Dengan konstanta propagasi   ZY
persaman tersebut menjadi
d 2 Vx
dx 2
  Vx
Persaman karakteristik:
Solusi:
d 2 Vx
2
dx 2
  2 Vx  0
s 2   2  0  s  
Vx  K1e x  K 2 e  x
yang untuk x = 0, yaitu di ujung kirim:
Vx  Vr
Persamaan tegangan orde ke-1:
dVx
 ZI x
dx
d Vx
 K1e x  K1e  x
dx
Vr  K1  K 2
ZI r  K1  K 2 
ZI r
 K1  K 2

Vr  K1  K 2
ZI r
 K1  K 2

ZI r
 2K1

Vr 
ZI r
 2K 2

ZI
Vr  r

 K1
2
Vr 
ZI r

Vr 
maka
2
Vx  K1e x  K 2 e  x 
Vr 
ZI r

2
e x 
 K2
Vr 
ZI r

2
e  x
e x  e  x ZI r e x  e  x
 Vr

2

2
 Vr cosh( x) 
Vx  Vr cosh( x) 
ZI r
sinh( x)

Z
I r sinh( x)

Persamaan tegangan orde pertama
d Vx
 ZI x menjadi
dx
d Vx
e x  e  x ZI r e x  e  x
 ZI x  Vr

dx
2

2
 Vr  sinh( x)  ZI r cosh( x)
atau
Ix 

Vr sinh( x)  I r cosh( x)
Z
Dengan demikian kita mempunyai sepasang persamaan
untuk tegangan dan arus, yaitu:
Vx  Vr cosh( x) 
Ix 
Z
I r sinh( x)


Vr sinh( x)  I r cosh( x)
Z
Impedansi Karakteristik
Kita perhatikan persamaan tegangan dan arus:
Vx  Vr cosh(x) 
tegangan
Z
I r sinh(x)

arus
Ini harus merupakan
impedansi
Ix 
arus

Vr sinh(x)  I r cosh(x)
Z
tegangan
arus
Ini harus merupakan
admitansi
Maka didefinisikanlah: Impedansi Karakteristik
Z
Zc  

Z
ZY

Z
Y
Perhatikan: Z adalah impedansi per satuan panjang
Y adalah admitansi per satuan panjang
Zc adalah impedansi karakteristik
CONTOH:
Dari suatu saluran transmisi telah dihitung impedansi
dan admitansi per satuan panjang:
Z  0,088  j 0,4654 /km dan
Y  j 3,524 S/km
Hitung Impedansi Karakteristik.
Y  j 3,524 S/km  j 3,524  10 6 S/km
Z
Zc 

Y
0,088  j 0,4654
j 3,524  10
 366,6  5,35o
6
 10 
3
1,58479,3o
3,52490 o
Dengan menggunakan impedansi karakteristik Zc sepasang
persamaan untuk tegangan dan arus, menjadi:
Vx  Vr cosh( x)  Z c I r sinh( x)
Ix 
Vr
sinh(x)  I r cosh(x)
Zc
Apabila d adalah jarak antara ujung kirim dan ujung
terima, maka tegangan dan arus di ujung kirim dapat
kita peroleh dengan mengantikan x dengan d pada
relasi di atas:
Vs  Vr cosh( d )  Z c I r sinh( d )
Is 
Vr
sinh( d )  I r cosh( d )
Zc
Apabila kita hanya ingin mengetahui keadaan di ujung terima
dan ujung kirim suatu saluran transmissi, persamaan yang
telah kita peroleh telah cukup untuk melakukan perhitungan
Namun karena saluran transmisi terhubung dengan peralatan
lain (transformator misalnya) maka kita perlu menyatakan
saluran transmisi dalam sebuah
Rangkaian Ekivalen
Rangkaian Ekivalen
Kita tinjau rangkaian ekivalen  seperti berikut:
Is
Ir
Zt
Vs
Yt
2
Yt
2
Vr
Pada rangkaian ekivalen, impedansi dan admitansi yang terdistribusi
sepanjang saluran dimodelkan sebagai impedansi dan admitansi tergumpal
Zt dan Yt. Aplikasi hukum Kirchhoff pada rangkaian ini memberikan:
Y


Vs  Vr  Z t  I r  t Vr 
2


 ZY 
 1  t t  Vr  Z t I r
2 

Yt
Y
Vr  t Vs
2
2

Y
Y  Z Y 
 I r  t Vr  t 1  t t  Vr  Z t I r 
2
2 
2 

Is  Ir 
2

Z
Y
t
 Y 

4


 V  1  Z t Yt I
r
 r 
2


Dengan demikian untuk rangkaian ekivalen  kita peroleh persamaan:
 ZY 
Vs  1  t t  Vr  Z t I r
2 


Z t Yt 2 
 ZY

I s  Yt 
Vr  1  t t

4 
2



I r

Zt dan Yt adalah “nilai tergumpal” impedansi dan admitansi saluran.
Jika kita perbandingkan persamaan tegangannya dengan persamaan
tegangan sebelumnya, yaitu Vs  Vr cosh(d )  Z c I r sinh(d )
kita dapatkan
1
Z t Yt
 cosh( d )
2
dan
Z t  Z c sinh( d )
Z t Yt
Y
cosh( d )  1 cosh( d )  1
 cosh( d )  1  t 

2
2
Zt
Z c sinh( d )
Yt Z c cosh( d )  1 (e d  e  d  2) / 2


2
sinh( d )
(e d  e  d ) / 2

e
d / 2
e
d / 2
 e  d / 2


2
 e  d / 2 e d / 2  e  d / 2

 d 
 tanh  
 2 
Yt 
2
 d 
tanh 
Zc
 2 
Jadi dalam rangkaian ekivalen 
Is
Ir
Zt
Vs
Yt
2
Yt
2
Z t  Z c sinh(d )
Yt 
2
 d 
tanh 
Zc
 2 
d  jarak ujung terima dan ujung kirim
Z c  impedansi karakteristik
Vr
Rangkaian ekivalen diturunkan dari
sistem dua konduktor
Untuk aplikasi pada sistem tiga fasa kita menggunakan
komponen simetris.
Masing-masing komponen dalam komponen simetris
merupakan fasa-fasa seimbang sehingga masing-masing
komponen dapat di analisis menggunakan rangkaian
ekivalen satu fasa.
Dengan demikian masing-masing komponen memiliki
rangkaian ekivalen, yaitu rangkaian ekivalen
urutan positif, urutan negatif, dan urutan nol.
I s0
I s1
Ir
I r1
Zt0
Vs 0
Z t1
Yt 0
2
Yt 0
2
Yt1
2
Vr1
Rangkaian Urutan Positif
Rangkaian Urutan Nol
Z 0  Z 00
Yt1
2
Vs1
Vr 0
Y0  Y00
Z1  Z11
I s2
Y1  Y11
Ir2
Zt 2
Vs 2
Yt 2
2
Yt 2
2
Vr 2
Rangkaian Urutan Negatif
Z 2  Z 22
Y2  Y22
Z ii dan Yii adalah nilai dalam diagonal matriks [Z 012 ] dan [Yo12 ]
Konstanta propagasi urutan adalah
 0  Z 0Y0
1  Z1Y1
 2  Z 2Y2
Impedansi karakteristik urutan adalah
Z c0 
Z0
Y0
Z c1 
Z1
Y1
Z c2 
Z2
Y2
Impedansi dan Admitansi ekivalen urutan adalah
Z t 0  Z c 0 sinh(  0 d )
Z t1  Z c1 sinh( 1d )
Z t 2  Z c 2 sinh(  2 d )
2
 d
tanh  0 
Z c0
 2 
2
 d
Yt1 
tanh  1 
Z c1
 2 
Yt 0 
Yt 2 
2
 d
tanh  2 
Z c2
 2 
Dalam analisis sistem tenaga, sering dilakukan asumsi bahwa
sistem beroperasi dalam keadaan seimbang.
Dengan asumsi ini maka hanya rangkaian urutan positif yang
diperlukan, dan dengan mengambil fasa a, rangkaian ekivalen
satu fasa menjadi
Z
Ia
a
a′
R
va
n
Y
2
jX
Y
2
va
n′
CONTOH:
Dari suatu saluran transmisi telah dihitung impedansi
dan admitansi per satuan panjang:
Z  0,088  j 0,4654 /km dan
Y  j 3,524 S/km
dan telah dihitung pula impedansi karakteristik serta
faktor redaman
Z c  366,6  5,35o
  (0,1205  j1,2863 ) 10 3 per km
Tentukan elemen-elemen rangkaian ekivalen jika panjang
saluran transmisi 100 km.
Impedansi dan admitansi ekivalen saluran adalah total:
Z  Z c sinh( d )
dan
Y
1
 d 

tanh 
2 Zc
 2 
Konstanta propagasi  adalah bilangan kompleks. Sebelum
kita lanjutkan perhitungan, kita akan melihat lebih dulu
fungsi hiperbolikus kompleks.
Kita mengetahui bahwa
e x  ex
sinh x 
2
Jika x  a  jb maka:
e ( a  jb )  e ( a  jb ) e a e jb  e  a e  jb
sinh( a  jb) 

2
2
Kita dapat menuliskan e jb  cos b  j sin b dan e  jb  cos b  j sin b
e a (cos b  j sin b)  e  a (cos b  j sin b)
sehingga sinh( a  jb) 
2
(e a  e  a )
(e a  e  a )

cos b  j
sin b
2
2
 sinh a cos b  j cosh a sin b
Dengan cara yang sama kita dapatkan
cosh(a  jb)  cosh a cos b  j sinh a sin b
Sedangkan
tanh(a  jb) 
sinh( a  jb)
cosh(a  jb)
Kembali pada contoh kita:
3
Dengan: Z c  366 ,6  5,35 o   (0,1205  j1,2863 ) 10 per km d  100 km
Z  Z c sinh( d )

 366,6  5,35o sinh (0,1205  j1,2863)  10 3  100

 8,76  j 46,41 
Y
1
 d 

tanh  
2 Zc
 2 
 (0,1205  j1,2863)  10 3  100 


tanh 


2
366,6  5,35o


 0,0000262  j 0,1764  j 0,1764 mS
1
Soal: Tentukan rangkaian ekivalen  keadaan seimbang saluran
transmisi ditransposisi dengan konfigurasi konduktor sebagai berikut :
4m
4m
230 KV L-L
I rated 900 A
r = 1,35 cm
r’ = gmr = 1,073 cm
R = 0,088  / km
Frekuensi Kerja adalah 50 Hz, dan jarak antara ujung kirim dan
ujung terima adalah 200 km.
Tentukan:
Z1
Y1
Zc

Rangkaian ekivalen 
Courseware
Sistem Tenaga Listrik
#3
Terimakasih
Sudaryatno Sudirham