22-23-Fungsi-Gamma-Beta

TKS 4007
Matematika III
Fungsi Khusus
(Pertemuan XXIII)
Dr. AZ
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik
Universitas Brawijaya
Pendahuluan
• Fungsi Gamma dan Beta merupakan fungsi-fungsi istimewa
yang sering muncul dalam pemecahan persamaan differensial,
proses fisika, perpindahan panas, gesekan sumber bunyi,
rambatan gelombang, potensial gaya, persamaan gelombang,
mekanika kuantum, dan lainnya.
• Fungsi Gamma dan Beta merupakan fungsi dalam bentuk
pernyataan integral dan mudah untuk dipelajari.
• Kedua fungsi ini biasanya dibahas secara rinci dalam fungsi
bilangan kompleks (di sini hanya dibahas secara definisi dan
sifat-sifat sederhana yang dimiliki fungsi tersebut).
1
Fungsi Gamma
Didefinisikan dalam bentuk :
∞
𝚪 𝐧 =
𝐛
𝐱
𝐧−𝟏 −𝐱
𝐱 𝐧−𝟏 𝐞−𝐱 𝐝𝐱
𝐞 𝐝𝐱 = 𝐥𝐢𝐦
𝐛→∞
𝟎
𝟎
 konvergen untuk n > 0
Hasil integral menyatakan bahwa 𝚪 𝐧 = 𝐧 − 𝟏 !
𝚪 𝐧 disebut juga fungsi factorial atau perkalian berlanjut
dengan n = 1, 2, 3, ….
Fungsi Gamma (lanjutan)
Contoh :
∞
b
x1−1 e−x dx = lim
Γ 1 =
x1−1 e−x dx
b→∞
0
0
b
e−x dx
= lim
b→∞
0
b
b→∞
0
= lim −e−b + e0 = 1
= lim −e−x
b→∞
2
Fungsi Gamma (lanjutan)
Rumus rekursi dari fungsi Gamma :
𝚪 𝐧 + 𝟏 = 𝐧𝚪 𝐧
dimana 𝚪 𝟏 = 𝟏
Contoh :
1. Γ 2 = 1 + 1 = 1Γ 1 = 1
2. Γ 3 = 2 + 1 = 2Γ 1 = 2
3. Γ 3/2 = 1/2 + 1 = 1/2Γ 1 = 1/2
Fungsi Gamma (lanjutan)
Bila n bilangan bulat positif :
𝚪 𝐧 + 𝟏 = 𝐧!
dimana 𝚪 𝟏 = 𝟏
Contoh :
1. Γ 2 = 1 + 1 = 1! = 1
2. Γ 3 = 2 + 1 = 2! = 2
3. Γ 4 = 3 + 1 = 3! = 6
3
Fungsi Gamma (lanjutan)
Bila n bilangan pecahan positif :
𝚪 𝐧 = 𝐧 − 𝟏 . 𝐧 − 𝟐 . ⋯ . 𝛂𝚪 𝛂
dimana 𝟎 < 𝛂 < 𝟏
Contoh :
1. Γ 3/2 = (1/2)Γ 1/2
2.Γ 7/3 = (4/3)(1/3)Γ 1/3
3.Γ 7/2 = (5/2)(3/2)(1/2)Γ 1/2
Fungsi Gamma (lanjutan)
Bila n bilangan pecahan negatif :
𝚪 𝐧 =
𝚪 𝐧+𝟏
𝐧
atau
𝚪 𝐧 =
𝚪 𝐧+𝐦
𝐧 𝐧−𝟏 .⋯
m bilangan
4
Fungsi Gamma (lanjutan)
Beberapa hubungan dalam fungsi Gamma :
• 𝚪 𝟏/𝟐 = 𝛑
• 𝚪 𝐧 = 𝐧−𝟏 !
• 𝚪 𝐧 =
𝚪(𝐧+𝟏)
𝐧
• 𝚪 𝐧 𝚪(𝟏 − 𝐧) =
𝛑
𝐬𝐢𝐧 𝐧𝛑
Fungsi Gamma (lanjutan)
Tabel Nilai fungsi Gamma :
5
Fungsi Gamma (lanjutan)
Contoh :
1. Γ −3/2 =
Γ −3/2+1
−3/2
Γ −1/2
−3/2
=
Γ 1/2
= (−3/2)(−1/2) =
2. Γ −5/2 =
=
Γ −5/2+1
−5/2
Γ −1/2
(−5/2)(−3/2)
Γ 1/2
Γ 1/2
(3/4)
Γ −3/2
−5/2
=
=
= (−15/8) = −
Γ −1/2+1
= (−3/2)(−1/2)
=
4Γ 1/2
3
Γ −3/2+1
= (−5/2)(−3/2)
Γ −1/2+1
(−5/2)(−3/2)(−1/2)
8Γ 1/2
15
Fungsi Gamma (lanjutan)
3. Hitung
∞ 6 −2x
x e dx
0
Jawab :
Misal
2x = y  dx =1/2dy
jika x = 0, maka y = 0
jika x = , maka y = 
∞ 6 −2x
x e dx
0
=
=
=
∞ 1 6 −y 1
∞ 1
( y) e 2 dy = 0 (2)7 𝑦 6 e−y dy
0 2
∞
∞
1
1
(2)7 0 𝑦 6 e−y dy = (2)7 0 𝑦 7−1 e−y dy
1 7
6!
45
2
Γ 7 = 27 =
8
6
Fungsi Gamma (lanjutan)
Latihan :
1. Γ 5/2
2. Γ −1/2
3.
4.
5.
6.
∞
3
7. Hitung 0 y e−y dx , dengan
substitusi y3 = x.
Γ 5/2
Γ 1/2
Γ −1/2
Γ 1/2
8. Hitung
1 dx
0 − ln x
,
dengan
substitusi –ln x = u.
Γ 3 Γ 2,5
Γ 5,5
6Γ 8/3
5Γ 2/3
Fungsi Beta
Didefinisikan dalam bentuk :
𝟏
𝐱 𝐦−𝟏 (𝟏 − 𝐱)𝐧−𝟏 𝐝𝐱
𝚩 𝐦, 𝐧 =
𝟎
 konvergen untuk m > 0 dan n > 0
Sifat :
𝚩 𝐦, 𝐧 = 𝚩 𝐦, 𝐧
7
Fungsi Beta (lanjutan)
Bukti :
𝟏
𝐱 𝐦−𝟏 (𝟏 − 𝐱)𝐧−𝟏 𝐝𝐱
𝚩 𝐦, 𝐧 =
𝟎
𝟏
(𝟏 − 𝐲)𝐦−𝟏 (𝐲)𝐧−𝟏 𝐝𝐱
=
𝟎
𝟏
𝐲 𝐧−𝟏 (𝟏 − 𝐲)𝐦−𝟏 𝐝𝐱 = 𝚩 𝐧, 𝐦
=
𝟎
Terbukti!
Fungsi Beta (lanjutan)
Hubungan fungsi Beta dan fungsi Gamma :
𝚩 𝐦, 𝐧 =
𝚪 𝐦 𝚪 𝐧
𝚪 𝐦+𝐧
Contoh :
Γ(3)Γ(5)
Γ(3)Γ(5)
= Γ(8)
Γ(3+5)
2! 4!
48
1
= 7! = 5040 = 105
1 4
1
x (1 − x)3 dx = 0 x 5−1 (1 − x)4−1 dx
0
Γ(5)Γ(4)
4! 3!
= Β 5,4 = Γ(5+4) = 8!
1. Β 3,5 =
2.
144
1
= 40320 = 280
8
Fungsi Beta (lanjutan)
Latihan :
1. Β 3/2, 2
2. Β 1/3, 2/3
3.
4.
2 x2
dx
0 2−x
1 2
x 1 − x 3 dx
0
Terima kasih
dan
Semoga Lancar Studinya!
9