MTK 1

Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of mathematics FMIPA UNS
OPTIMASI FUNGSI MULTI VARIABEL DENGAN METODE UNIVARIATE
Dwi Suraningsih (M0110021), Marifatun (M0110053),
Nisa Karunia (M0110061)
I.
Pendahuluan
Latar Belakang. Dalam kehidupan sehari-hari disadari maupun tidak, sebenarnya manusia selalu melakukan opimasi untuk memenuhi kebutuhan hidupnya.
Akan tetapi, optimasi yang dilakukan oleh masyarakat awam lebih banyak
didasar oleh intuisi daripada teori optimasi yang kita pelajari di bangku sekolah.
Optimasi merupakan masalah yang berhubungan dengan keputusan terbaik,
maksimum, minimum dan memberikan cara penentuan solusi yang memuaskan.




Fungsi multivariabel yaitu fungsi yang mengandung lebih dari satu macam
variabel bebas. Nilai-nilai ekstrim (maksimum/minimum) dari sebuah fungsi
multivariabel dapat diperoleh dengan menggunakan konsep diferensial parsial. Pada umumnya pemodelan nonlinear tanpa kendala berbentuk:
minimumkan: = ( , , … , ).
Atau Pada masalah optimasi untuk fungsi lebih dari satu variabel, masalah
minimisasi mempunyai bentuk:
minimumkan
= ( ) dengan
=
⋮
∈
.
Masalah maksimisasi dapat ditinjau lewat metode minimisasi karena:
maksimum ( ) = −minimum(− ( )).
dimana ( , , … , ) adalah fungsi objektif. Pada permasalahan program nonlinear tanpa kendala, kondisi penting untuk x* agar menjadi lokal
minimum dari ( , , … , ).
a.
( , , … , ). dapat diturunkan (differensiable) pada x*.
b. ∇ ( ) = 0 sebuah titik stationer (stationery point) pada x*.
c.
∇
definit positif (kondisi untuk maksimum adalah sama, kecuali
matriks Hessian (∇ ) dari f(x*) harus definit negatif).
Pada beberapa kasus tertentu, kondisi di atas dulit dipenuhi meskipun ( )
tetap mempunyai titik optimum. Dalam hal ini dapat digunakan metode
unconstrained optimization technique. Metode unconstrained optimization
technique dibagi menjadi dua yaitu metode penyelidikan langsung dan
metode gradien. Dalam hal ini hanya akan dibahas mengenai metode
penyelidikan langsung (metode Univariata/One At A Time).
Perumusan Masalah. Berdasarkan latar belakang yang telah disampaikan
dapat dirumuskan masalah sebagai berikut :
1. bagaimana algoritma atau langkah-langkah dalam metode Univariate dan
2. bagaimana menerapkan metode Univariate dalam suatu kasus.
Tujuan. Tujuan dari penulisan makalah ini adalah
1. menjelaskan algoritma atau langkah-langkah dalam metode Univariate dan
2. menerapkan metode Univariate dalam suatu kasus.
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
2.
Department of mathematics FMIPA UNS
Pembahasan
Metode Univariate. Dalam metode Univariate, perubahan dilakukan pada
satu variabel tahap bertahap dengan menganggap variabel lainnya tetap. Mula
– mula variabel pertama dirubah pada titik awal
untuk mendapat titik
.
Kemudian
sebagai titik awal dipakai untuk merubah variabel kedua untuk
mendapatkan
dengan menganggap variabel pertama, ketiga, dan seterusnya tetap. Proses ini dilanjutkan sampai didapat
dalam perubahan variabel
ke . Dan satu siklus proses iterasi telah selesai. Prosedur ini dilanjutkan
sampai tidak ada lagi perubahan fungsiobjektif untuk arah dari satu siklus.
{Skema iterasi dari unconstrained minimization methods terlampir}
Algoritma
Algoritma atau langkah – langkah dari metode ini dapat dinyatakan sebagai :
1. Menentukan titik awal
dengan = 0
2. Menentukan arah pencarian (descent direction)
(1, 0, 0, … , 0)
= 0, , 2 , …
(0, 1, 0, … , 0)
= 1, + 1, 2 + 1, …
=
⋮
(0, 0, 0, … , 1)
= − 1, 2 − 1, 3 − 1, …
dengan adalah banyaknya variabel dari fungsi ( , , … , ). Misal: jika
diketahui suatu fungsi ( , , ), maka diperoleh = 3. Berarti
1
0
0
= 0,
= 1,
= 0,
= , =
0
0
1
dan seterusnya berulang sampai iterasi berhenti.
3. Menentukan apakah berkurang dalam arah
atau − . Dalam langkah
ini, perlu diambil panjang dan menghitung :
= ( )
= ( +
)
= ( −
)
 Jika
< , maka
adalah arah yang tepat untuk meminimumkan
dari .
 Jika
< , maka − adalah arah yang tepat untuk meminimumkan
dari .
4. Menentukan optimum panjang langkah ∗ dengan meminimumkan fungsi
( ±
). Di mana nilai ∗ adalah nilai minimum dari fungsi tersebut.
Catatan :
 Pemakaian tanda + atau – pada fungsi ( ±
) bergantung pada
atau − yang merupakan arah penurunan nilai fungsi obyektif .
 Minimum ∗ diperoleh dengan menggunakan konsep minimum lokal
∗
yaitu ′ ( ) = 0 dan ′′ ( ) > 0 yang berarti
merupakan titik
minimum.
5. Mencari
=
± ∗
dan
= (
)
6. Mengambil nilai baru untuk = + 1 dan kembali ke langkah 2.
Hal ini dilanjutkan sampai tak ada perubahan yang berarti dari nilai fungsi
objektif atau dengan kata lain iterasi STOP ketika nilai dari
>
dan
> .
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of mathematics FMIPA UNS
Contoh Kasus
Minimumkan ( , ) = − + 2
+2
= 0.1 menggunakan metode univariate.
+
dengan titik awal (0,0) dan
Penyelesaian:
{Gambar Plot dan Contour Plot terlampir}
Iterasi k = 0
Step 1 : titik awal
= (0,0)
1
Step 2 : arah pencarian
=
0
Step 3 : = ( ) = 0
) = ( , 0) = 0.102 >
= ( +
) = (− , 0) = −0.9996 <
= ( −
Jadi, − adalah arah yang tepat untuk meminimumkan dari
Step 4 : menentukan optimum panjang ∗ dengan meminimumkan
( −
) = (− , 0) = − + 2
min − +
→
− +2
=0
−1 + 4
Karena
Step 5 : ambil
=0
=
′′ (
=
Iterasi k = 1
Step 1 : titik awal
)=
−
) > 0, maka
= adalah titik minimum.
−0.25
=
dan = ( ) = − .
0
(−1 + 4
= (−0.25,0)
0
Step 2 : arah pencarian
=
1
Step 3 : = ( ) = − = −0.125
= (
+
= (
−
.
)=
− ,
)=
− ,−
= −0.1399 <
= −0.1099 >
Jadi,
adalah arah yang tepat untuk meminimumkan dari .
Step 4 : menentukan optimum panjang ∗ dengan meminimumkan
( +
) = (−0.25, ) =
− 1.5 − 0.125
min
− 1.5 − 0.125 → ′ ( ) =
− 1.5 − 0.125 = 0
2
− 1.5 = 0
= 0.75
karena ′′ ( ) =
Step 5 : ambil
=
Iterasi k = 2
Step 1 : titik awal
+ 0.75
(2
− 1.5) = 2 > 0, maka
= 0.75 titik minimum.
−0.25
=
dan = ( ) = −0.6875.
0.75
= (−0.25, 0.75)
1
Step 2 : arah pencarian
=
0
Step 3 : = ( ) = −0.6875
) = −0.6723 >
= ( +
) = −0.7023 <
= ( −
Jadi, − adalah arah yang tepat untuk meminimumkan dari
Step 4 : menentukan optimum panjang ∗ dengan meminimumkan
.
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
( −
min 2
4
) = (−0.25, ) = 2
− 1.5 − 0.6875 →
− 1.5 = 0
= 0.375
Step 5 : ambil
Department of mathematics FMIPA UNS
=
Iterasi k = 3
Step 1 : titik awal
+ 0.375
=
− 1.5 − 0.6875
2
− 1.5 − 0.6875 = 0
−0.25
dan
0.75
= ( ) = 0.6875.
= (−0.625, 0.75)
0
=
1
Step 3 : = ( ) = −0.96875
= ( +
) = (−0.625,0.76) = −0.97615 <
) = (−0.625,0.74) = −0.96115 >
= ( −
Jadi,
adalah arah yang tepat untuk meminimumkan dari
(penyelesain arah positif)
Step 4 : menentukan optimum panjang ∗ dengan meminimumkan
( +
)=
− 0.75 − 0.96875
sehingga diperoleh ∗ = 0.375
−0.625
Step 5 : menghitung
= + 0.375
=
.
1.125
Step 2 : arah pencarian
Iterasi k = 4
Step 1 : titik awal
= (−0.625, 1.125)
1
=
0
Step 3 : = ( ) = −1.10938
) = (−0.615,1.125) = −1.10168 >
= ( +
) = (−0.635,1.125) = −1.10168 <
= ( −
Jadi, − adalah arah yang tepat untuk meminimumkan dari
(penyelesaian arah negatif)
Step 4 : menentukan optimum panjang ∗ dengan meminimumkan
( −
)=2
− 0.75 − 1.10938
sehingga diperoleh ∗ = 0.1875
Step 5 : hitung
= − ∗
= (−0.8125, 1.125).
Step 2 : arah pencarian
Iterasi k = 5
Step 1 : titik awal
=( -0.8125,1.125)
0
Step 2 : arah pencarian
=
1
Step 3 : = ( ) = −1.17969
) = (−0.8125, 1.135) = −1.18334 <
= ( +
) = (−0.8125, 1.115) = −1.17584 >
= ( −
Jadi,
adalah arah yang tepat untuk meminimumkan
(penyelesaian arah positif).
)=
Step 4 : ( +
− 0.375 − 1.17969
diperoleh ∗ = 0.1875
Step 5 : hitung
= + ∗ = (−0.8125, 1.3125)
Iterasi k = 6
Step 1 : titik awal
= (−0.8125, 1.3125)
1
=
0
= ( ) = −1.21484
Step 2 : arah pencarian
Step 3 :
dari
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of mathematics FMIPA UNS
) = (−0.8025, 1.3125) = −1.21089 >
= ( +
) = (−0.8225, 1.3125) = −1.21839 <
= ( −
Jadi, − adalah arah yang tepat untuk meminimumkan
(penyelesaian arah negatif)
)=2
Step 4 : ( −
− 0.375 − 1.21484
diperoleh ∗ = −0.09375
Step 5 : hitung
= − ∗
= (−0.90625, 1.3125)
dari
Iterasi k = 7
Step 1 : titik awal
= ( −0.90625,1.3125)
0
Step 2 : arah pencarian =
1
Step 3 : = ( ) = −1.23242
) = (−0.90625,1.3225) = −1.2342 <
= ( +
) = (−0.90625, 1.3025) = −1.23045 >
= ( −
Jadi,
adalah arah yang tepat untuk meminimumkan
(penyelesaian arah positif).
)=
Step 4 : ( +
− 0.1875 − 1.23242
diperoleh ∗ = 0.09375
Step 5 : hitung
= + ∗
= (−0.90625, 1.40625)
dari
Iterasi k = 8
Step 1 : titik awal
= ( −0.90625,1.40625)
1
Step 2 : arah pencarian
=
0
Step 3 : = ( ) = −1.24121
) = (−0.89625,1.40625) = −1.23914 >
= ( +
) = (−0.91625,1.40625) = −1.24289 <
= ( −
Jadi, −
adalah arah yang tepat untuk meminimumkan
(penyelesaian arah negatif).
)=2
Step 4 : ( −
− 0.1875 − 1.24121
diperoleh ∗ = 0.046875
Step 5 : hitung
= − ∗
= ( −0.953125, 1.40625)
Iterasi k = 9
Step 1 : titik awal
= (−0.953125,1.40625)
0
Step 2 : arah pencarian
=
1
Step 3 : = ( ) = −1.24561
) = (−0.953125,1.41625)) = −1.24644 <
= ( +
) = (−0.953125,1.39625) = −1.24457 >
= ( −
Jadi,
adalah arah yang tepat untuk meminimumkan dari
(penyelesaian arah positif).
)=
Step 4 : ( +
− 0.09375 − 1.24561
diperoleh ∗ = 0.046875
Step 5 : hitung
= + ∗
= ( −0.953125, 1.45313)
Iterasi k = 10
Step 1 : titik awal x10=( -0.953125,1.45313)
1
Step 2 : arah pencarian U10=
0
Step 3 :
= ( ) = −1.2478
) = (−0.943125,1.45313) = −1.24667 >
= (
+
) = (−0.963125,1.45313) − 1.24854 <
= (
−
dari
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of mathematics FMIPA UNS
Jadi, −
adalah arah yang tepat untuk menurunkan
dari
(penyelesaian arah negatif).
)=2
Step 4 : (
−
− 0.09376
− 1.2478
∗
diperoleh
= 0.02344
∗
Step 5 : hitung
=
−
= (− 0.976565, 1.45313)
Iterasi k = 11
Step 1 : titik awal
= (−0.976565, 1.45313)
0
Step 2 : arah pencarian
=
1
Step 3 :
= ( ) = −1.2489
) = (−0.976565,1.46313) = −1.24927 <
= (
+
) = (−0.963125,1.45313) − 1.24833 >
= (
−
Jadi,
adalah arah yang tepat untuk menurunkan
dari
(penyelesaian arah positif).
)=
Step 4 : (
+
− 0.04687
− 1.2489
∗
diperoleh
=0.023435
∗
Step 5 : hitung
=
−
= (− 0.976565, 1.47657)
Iterasi k = 12
Step 1 : titik awal
= (− 0.976565, 1.47657)
1
=
0
Step 3 :
= ( ) = −1.24945
) = (−0.966565,1.47657) = −1.24878 >
= (
+
) = (−0.986565,1.47657) − 1.24972 <
= (
−
Jadi, −
adalah arah yang tepat untuk menurunkan
dari
(penyelesaian arah negatif).
)=2
Step 4 : (
−
− 0.04688
− 1.24945
∗
diperoleh
= 0.01172
∗
Step 5 : hitung
=
−
= (−0.988285, 1.47657)
Step 2 : arah pencarian
Iterasi k = 13
Step 1 : titik awal
= (− 0.976565, 1.47657)
0
=
1
Step 3 :
= ( ) = −1.24973
) = (−0.988285,1.48657) = −1.24986 <
= (
+
) = (−0.988285,1.46657) = −1.24939 >
= (
−
Jadi,
adalah arah yang tepat untuk menurunkan
dari
(penyelesaian arah positif).
)=
Step 4 : (
+
− 0.02343
− 1.24973
∗
diperoleh
= 0.011715
∗
Step 5 : hitung
=
+
= (−0.988285, 1.48828).
Step 2 : arah pencarian
Iterasi k = 14
Step 1 : titik awal
= (− 0.976565, 1.47657)
1
=
0
Step 3 :
= ( ) = −1.24986
) = (−0.978285,1.48828) = −1.24943 >
= (
+
) = (−0.998285, 1.48828) = −1.2499 <
= (
−
Jadi, −
adalah arah yang tepat untuk menurunkan
dari
(penyelesaian arah negatif).
Step 2 : arah pencarian
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of mathematics FMIPA UNS
)=2
Step 4 : (
−
− 0.02342
− 1.24986
∗
diperoleh
= 0.005855
∗
Step 5 : hitung
=
−
= (−0.99414, 1.48828).
Iterasi k = 15
Step 1 : titik awal
= (−0.99414,1.48828)
0
Step 2 : arah pencarian
=
1
Step 3 :
= ( ) = −1.24993
) = (−0.99414,1.49828) = −1.24995 <
= (
+
) = (−0.99414,1.47828) = −1.24971 >
= (
−
Jadi,
adalah arah yang tepat untuk menurunkan
dari
(penyelesaian arah positif).
)=
Step 4 : (
+
− 0.01172
− 1.24993
∗
diperoleh
= 0.00586
∗
Step 5 : hitung
=
+
= (−0.99414, 1.49414).
Iterasi k = 16
Step 1 : titik awal
= (−0.99414, 1.49414)
1
Step 2 : arah pencarian
=
0
Step 3 :
= ( ) = −1.2499
) = (−0.98414,1.49414) = −1.2496 >
= (
+
) = (−1.00414,1.49414) = −1.2499 <
= (
−
Jadi, −
adalah arah yang tepat untuk menurunkan
dari
(penyelesaian arah negatif).
)=2
Step 4 : (
−
− 0.01172
− 1.24997
∗
diperoleh
= 0.00586
∗
Step 5 : hitung
=
−
= (−1. , 1.49414).
Iterasi k = 17
Step 1 : titik awal
= (−1. , 1.49414)
0
Step 2 : arah pencarian
=
1
Step 3 :
= ( ) = −1.24997
) = (−1. ,1.50414) = −1.24998 <
= (
+
) = (−1. ,1.48414) = −1.24975 >
= (
−
Jadi,
adalah arah yang tepat untuk menurunkan
dari
(penyelesaian arah positif).
)=2
Step 4 : (
+
− 0.01172
− 1.24997
∗
diperoleh
= 0.00586
∗
Step 5 : hitung
=
+
= (−1. , 1.5).
Iterasi k = 18
Step 1 : titik awal
= (−1. , 1.5)
1
Step 2 : arah pencarian
=
0
Step 3 :
= ( ) = −1.25
) = (−1. ,1.50414) = 0.4062 >
= (
+
) = (−1. ,1.48414) = −1.2498 >
= (
−
Iterasi STOP. Sehingga diperoleh
∗
= (−1. , 1.5) dan ( ∗ ) = −1.25
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of mathematics FMIPA UNS
) + (1 −
Minimumkan ( , ) = ( −
= 0.1 menggunakan metode univariate.
Penyelesaian:
{Gambar Plot terlampir}
Iterasi k = 0
Step 1 : menentukan titik awal
= (0,0)
Step 2 : menentukan arah pencarian
Step 3 :
=
1
0
)
dengan titik awal (0,0) dan
= ( )=0
) = (0.1, 0) = 0.81 >
= ( +
) = (−0.1, 0) = 1.21 >
= ( −
Iterasi STOP, sehingga diperoleh ∗ = (0,0) dan ( ∗ ) = 0
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
3.
Department of mathematics FMIPA UNS
Penutup
Kesimpulan. Kesimpulan yang dapat diambil dari pembahasan adalah:
Algoritma metode Univariate dapat dinyatakan sebagai:
1. Menentukan titik awal
dengan = 0
2. Menentukan arah pencarian (descent direction)
(1, 0, 0, … , 0)
= 0, , 2 , …
(0, 1, 0, … , 0)
= 1, + 1, 2 + 1, …
=
⋮
(0, 0, 0, … , 1)
= − 1, 2 − 1, 3 − 1, …
dengan adalah banyaknya variabel dari fungsi ( , , … , ).
Misal : jika diketahui suatu fungsi ( , , ), maka diperoleh
= 3.
1
0
0
Berarti
= 0,
= 1 ,
= 0,
= , =
dan seterusnya berulang
0
0
1
sampai iterasi berhenti.
3. Menentukan apakah berkurang dalam arah
atau − . Dalam langkah
ini, perlu diambil panjang dan menghitung :
= ( )
= ( +
)
= ( −
)
 Jika
< , maka
adalah arah yang tepat untuk meminimumkan
dari .
 Jika
< , maka − adalah arah yang tepat untuk meminimumkan
dari .
4. Menentukan optimum panjang langkah ∗ dengan meminimumkan fungsi
( ±
). Di mana nilai ∗ adalah nilai minimum dari fungsi tersebut.
Catatan :
 Pemakaian tanda + atau – pada fungsi ( ±
) bergantung pada
atau − yang merupakan arah penurunan nilai fungsi obyektif .
 Minimum ∗ diperoleh dengan menggunakan konsep minimum lokal
∗
( ) = 0 dan
( ) > 0 yang berarti
yaitu
merupakan titik
minimum.
5. Mencari
=
± ∗
dan
= (
)
6. Mengambil nilai baru untuk = + 1 dan kembali ke langkah 2.
Hal ini dilanjutkan sampai tak ada perubahan yang berarti dari nilai fungsi
objektif atau dengan kata lain iterasi STOP ketika nilai dari
>
dan
> .
Dari contoh kasus 1, diperoleh minimum dengan ∗ = (−1. ,1.5) dan ( ∗ ) =
−1.25. Sedangkan dari contoh kasus 2, diperoleh minimum dengan ∗ = (0,0)
dan ( ∗ ) = 0.
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of mathematics FMIPA UNS
LAMPIRAN – LAMPIRAN
Ambil k=0
Tentukan (
)
Tentukan vektor
baru
Ambil
=
dan STOP
ya
Tentukan (
Ambil
k=k+1
)
Kekonvergenan
dipenuhi?
tidak
Skema 1. Iterasi dari unconstrained minimization methods
Gambar 1. Plot fungsi ( ,
)=
−
+2
+2
+
sebelum iterasi.
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of mathematics FMIPA UNS
Gambar 2. Contour plot fungsi ( , ) =
iterasi.
Gambar 3. Contour plot fungsi ( ,
Gambar 4. Plot fungsi ( ,
)=
)=(
−
−
−
+2
+2
+2
+2
) + (1 −
+
+
sebelum
setelah iterasi.
) sebelum iterasi.