BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real: 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , … Barisan tak hingga merupakan suatu fungsi dengan domain berupa himpunan bilangan bulat positif dan range berupa himpunan bilangan real. Barisan tak hingga juga dapat dituliskan dalam bentuk 𝑢𝑛 +∞ 𝑛=1 atau cukup dengan menuliskan 𝑢𝑛 Representasi dari suatu barisan dapat disajikan sebagai fungsi eksplisit Perhatikan barisan bilangan ganjil berikut: 1, 3, 5, 7, … , 2𝑛 − 1, … Doman dari fungsi tersebut adalah bilangan bulat positif, sehingga suatu barisan dapat dipandang sebagai suatu daftar dari nilai-nilai fungsi 𝒇 𝟏 ,𝒇 𝟐 ,𝒇 𝟑 ,…,𝒇 𝒏 ,… Pandang barisan Fibonacci berikut ini: 1, 1, 2, 3, 5, 8, … Barisan di atas dapat dinyatakan secara rekursif dengan, 𝑢1 = 1, 𝑢2 = 1 𝑢𝑛 = 𝑢𝑛−1 + 𝑢𝑛−2 , 𝑛>2 Tuliskan 5 suku pertama dari barisan berikut: Contoh 1 a) 𝑢𝑛 = 3𝑛 b)𝑢1 = 3, 𝑢𝑘+1 = 3(𝑢𝑘 − 1) Penyelesaian: a) Substitusi 𝑛 = 1, 2, 3, 4, 5 ke dalam rumus 3𝑛 menghasilkan barisan berikut ini, 31 , 32 , 33 , 34 , 35 Atau ekivalen dengan 3, 9, 27, 81, 243 Penyelesaian: b) Diketahui nilai awal yaitu 𝑢1 = 3, disubstitusikan 𝑢𝑘+1 = 3(𝑢𝑘 − 1) 𝑘 = 1, 𝑢2 = 3 𝑢1 − 1 = 3 3 − 1 = 6 𝑘 = 2, 𝑢3 = 3 𝑢2 − 1 = 3 6 − 1 = 15 𝑘 = 3, 𝑢4 = 3 𝑢3 − 1 = 3 15 − 1 = 42 𝑘 = 4, 𝑢5 = 3 𝑢4 − 1 = 3 42 − 1 = 123 Jadi, didapatkan barisan 5 suku pertama yaitu: 3,6, 15, 42, 123 Contoh 2 Nyatakan barisan berikut ini ke dalam bentuk notasi kurung. 1 1 1 1 a) 3 , 9 , 27 , 81 , … 1 2 3 4 b) 2 , 3 , 4 , 5 , … Penyelesaian: 1 1 1 c) 1, 2 , 4 , 8 , … d) 2, 4, 6, 8, … e) -1, 2, -3, 4, … Konvergensi Barisan Jika 𝑛 semakin bertambah besar, maka masing-masing barisan tersebut akan menuju ke suatu nilai tertentu atau berosilasi di sekitar nilai tertentu. a) 𝑛 + 1 +∞ 𝑛=1 b) 1 𝑛 +∞ 𝑛=1 e) c) −1 𝑛+1 +∞ 𝑛=1 d) 𝑛 𝑛+1 +∞ 𝑛=1 1 1+ − 2 𝑛 +∞ 𝑛=1 Definisi 1 Konvergensi Barisan Suatu barisan 𝑢𝑛 dikatakan konvergen ke limit 𝑳, ditulis sebagai lim 𝑢𝑛 = 𝐿 𝑛→+∞ jika dan hanya jika untuk sebarang 𝜀 > 0, terdapat suatu bilangan bulat positif 𝑁 sedemikian hingga 𝑢𝑛 − 𝐿 < 𝜀 untuk 𝑛 ≥ 𝑁. Suatu barisan yang tidak konvergen ke suatu limit berhingga disebut barisan divergen. Berdasarkan Definisi 1 di atas, dapat ditunjukkan bahwa lim 𝑛→+∞ 1 +∞ 𝑛 𝑛=1 =0 dan lim 𝑛→+∞ 𝑛 𝑛+1 +∞ 𝑛=1 =1 Teorema 1 Jika diberikan barisan 𝑢𝑛 dan 𝑦𝑛 masing-masing konvergen ke L1 dan L2, dan 𝑐 adalah suatu konstanta, maka berlaku: a) lim 𝑐 = 𝑐 𝑛→+∞ b) lim 𝑐 𝑢𝑛 = 𝑐 lim 𝑢𝑛 = 𝑐 𝐿1 𝑛→+∞ 𝑛→+∞ c) lim 𝑢𝑛 ± 𝑦𝑛 = lim 𝑢𝑛 ± lim 𝑦𝑛 = 𝐿1 ± 𝐿2 𝑛→+∞ 𝑛→+∞ 𝑛→+∞ d) lim 𝑢𝑛 𝑦𝑛 = lim 𝑢𝑛 . lim 𝑦𝑛 = 𝐿1 𝐿2 𝑛→+∞ e) 𝑢𝑛 lim 𝑛→+∞ 𝑦𝑛 𝑛→+∞ = lim 𝑢𝑛 𝑛→+∞ lim 𝑦𝑛 𝑛→+∞ = 𝑛→+∞ 𝐿1 𝐿2 , jika 𝐿2 ≠ 0 Contoh 3 Tentukan apakah barisan-barisan berikut ini konvergen atau divergen. Jika konvergen, dapatkan limitnya. a) (−1)𝑛+1 b) c) d) e) 1 +∞ 1 𝑛 +𝑛 𝑛=1 𝑛 +∞ 𝑒 𝑛 𝑛=1 𝑛 𝑛 3𝑛+1 𝑛 +∞ 𝑛=1 +∞ 𝑛2 2𝑛 −1 𝑛=1 +∞ 𝑛=1 Penyelesaian: a) −1 −1 lim 𝑛→+∞ 𝑛+1 𝑛+1 𝑛 3𝑛 + 1 +∞ 𝑛=1 −1, 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 1, 𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 𝑛 3𝑛 + 1 1 𝑛 𝑛 = lim = lim 1 𝑛→+∞ 𝑛→+∞ 3 𝑛 𝑛 + 1 𝑛 3+𝑛 Lim 1 1 1 𝑛→+∞ = = = 1 3+0 3 lim 3 + lim 𝑛→+∞ 𝑛→+∞ 𝑛 suku-suku bernomor ganjil pada barisan ini dekat ke suku-suku bernomor genap dekat ke − lim 1 = 𝑛→+∞ lim 𝑛→+∞ 1 3+𝑛 1 3 1 3 barisan ini tidak mempunyai nilai limit, sehingga dapat disimpulkan bahwa barisan ini divergen Penyelesaian: b) 1 1+ 𝑛 𝑛 +∞ 𝑛=1 Definisi dari bilangan 𝑒 adalah 𝑒 = lim 𝑥→+∞ 1 1+ 𝑥 𝑥 Sehingga, dapat disimpulkan bahwa untuk 𝑥 bilangan bulat positif, 𝑥 = 𝑛, diperoleh lim 𝑛→+∞ 1 1+ 𝑛 𝑛 Jadi,barisan tersebut konvergen ke 𝑒 =𝑒 Penyelesaian: c) 𝑛 +∞ 𝑒 𝑛 𝑛=1 𝑛 𝑛→+∞ 𝑒 𝑛 lim ∞ mempunyai bentuk tak tentu bertipe ∞. aturan L’Hôpital 𝑥 1 lim 𝑥 = lim 𝑥 = 0 𝑥→+∞ 𝑒 𝑥→+∞ 𝑒 𝑛 𝑛→+∞ 𝑒 𝑛 maka lim Jadi, barisan 𝑛 +∞ 𝑒 𝑛 𝑛=1 =0 konvergen ke 0 Penyelesaian: d) 𝑛 𝑛 +∞ 𝑛=1 Dengan menerapkan aturan L’Hopital, diperoleh lim 𝑛→+∞ 𝑛 𝑛= lim 𝑛1/𝑛 𝑛→+∞ Dengan demikian, barisan 𝑛2 e) 𝑛 2 −1 +∞ 𝑛=1 = lim 𝑒 𝑛→+∞ 𝑛 𝑛 +∞ 𝑛=1 1 𝑛 ln 𝑛 = 𝑒0 = 1 kovergen ke 1. Dengan menggunakan aturan L’Hopital, diperoleh 𝑛2 2𝑛 2 lim 𝑛 = lim = lim =0 𝑛 2 𝑛 𝑥→+∞ 2 − 1 𝑥→+∞ (ln 2)2 𝑥→+∞ (ln 2) 2 Jadi, barisan tersebut konvergen ke 0. Teorema 2 Jika 𝑢𝑛 dan 𝑧𝑛 masing-masing konvergen ke L, dan 𝑢𝑛 ≤ 𝑦𝑛 ≤ 𝑧𝑛 untuk 𝑛 ≥ 𝐾, dengan 𝐾 adalah suatu bilangan bulat tertentu, maka 𝑦𝑛 juga konvergen ke 𝐿. Contoh 4 Tunjukkan bahwa sin3 𝑛 lim 𝑛 𝑛→∞ = 0. Penyelesaian: Untuk n ≥ 1 1, − 𝑛 ≤ sin3 𝑛 𝑛 menurut Teorema 2 ≤ 1 𝑛 1 𝑛 1 𝑛→∞ 𝑛 . Karena lim − = 0 dan lim sin3 𝑛 lim 𝑛→∞ 𝑛 𝑛→∞ = 0. = 0, maka Barisan Monoton Definisi 2 Suatu barisan 𝑢𝑛 dikatakan 𝒏𝒂𝒊𝒌 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑢1 < 𝑢2 < 𝑢3 < ⋯ < 𝑢𝑛 < ⋯ 𝒕𝒊𝒅𝒂𝒌 𝒕𝒖𝒓𝒖𝒏 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑢1 ≤ 𝑢2 ≤ 𝑢3 ≤ ⋯ ≤ 𝑢𝑛 ≤ ⋯ 𝒕𝒖𝒓𝒖𝒏 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑢1 > 𝑢2 > 𝑢3 > ⋯ > 𝑢𝑛 > ⋯ 𝒕𝒊𝒅𝒂𝒌 𝒏𝒂𝒊𝒌 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑢1 ≥ 𝑢2 ≥ 𝑢3 ≥ ⋯ ≥ 𝑢𝑛 ≥ ⋯ Contoh 5 1 1 1 1 1 a) 3 , 9 , 27 , 81 , … , 3𝑛 , … 1 2 3 4 𝑛 adalah barisan turun. b) 2 , 3 , 4 , 5 , … , 𝑛+1 , … adalah barisan naik. c) 1 1 1 1 1,1, 2 , 2 , 3 , 3 , … adalah barisan tidak naik. d) 1, 1, 2, 2, 3, 3, … adlah barisan tidak turun. 1 1 2 3 1 4 e) 1, − , , − , … , −1 𝑛+1 1 𝑛 , … adalah barisan yang tidak naik dan tidak turun Uji Kemonotonan Klasifikasi Barisan Selisih Dua Suku Berurutan Naik 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 > 0 Turun 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 < 0 Tidak Turun 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 ≥ 0 Tidak Naik 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 ≤ 0 Contoh 6 1 2 3 4 𝑛 Tunjukkan bahwa barisan 2 , 3 , 4 , 5 , … , 𝑛+1 , … adalah barisan naik. Penyelesaian: 𝑛 𝑢𝑛 = 𝑛+1 dengan mengganti 𝑛 dengan 𝑛 + 1, diperoleh (𝑛 + 1) 𝑛+1 𝑢𝑛+1 = = (𝑛 + 1) + 1 𝑛 + 2 Dengan demikian, untuk 𝑛 ≥ 1 𝑛+1 𝑛 (𝑛 + 1)2 −𝑛(𝑛 + 2) 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 = − = 𝑛+2 𝑛+1 (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) 𝑛2 + 2𝑛 + 1 − 𝑛2 − 2𝑛 1 = = >0 (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) Karena 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 > 0, maka terbukti bahwa barisan tersebut naik Secara umum, barisan monoton dengan suku-suku positif dapat diklasifikasikan sebagai berikut: Klasifikasi Selisih Dua Suku Barisan Berurutan Naik 𝑢𝑛+1 >1 𝑢𝑛 Turun 𝑢𝑛+1 <1 𝑢𝑛 Tidak Turun 𝑢𝑛+1 ≥1 𝑢𝑛 Tidak Naik 𝑢𝑛+1 ≤1 𝑢𝑛 Contoh 7 𝑛 𝑢𝑛 = 𝑛+1 Penyelesaian: 𝑢𝑛+1 (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) 𝑛+1 = = 𝑢𝑛 𝑛/(𝑛 + 1) 𝑛+2 𝑛+1 𝑛2 + 2𝑛 + 1 = 𝑛 𝑛2 + 2𝑛 Terlihat bahwa 𝑛2 + 2𝑛 + 1 > 𝑛2 + 2𝑛, sehingga rasio dari 𝑢𝑛+1 𝑢𝑛 > 1, untuk 𝑛 ≥ 1, dengan demikian, terbukti bahwa 𝑢𝑛 merupakan barisan monoton naik. Konvergensi Barisan Monoton Teorema 3 Jika 𝑢1 ≤ 𝑢2 ≤ 𝑢3 ≤ ⋯ ≤ 𝑢𝑛 ≤ ⋯ suatu barisan tidak turun, maka terdapat dua kemungkinan, antara lain: a) Terdapat konstanta 𝑀 yang disebut batas atas barisan, sedemikian hingga 𝑢𝑛 ≤ 𝑀 untuk semua 𝑛, dan dalam batas ini barisan tersebut konvergen ke suatu limit 𝐿 ≤ 𝑀. b) Tidak terdapat batas atas, dan dalam kasus ini lim 𝑢𝑛 = +∞. 𝑛→∞ Teorema 4 Jika 𝑦1 ≥ 𝑦2 ≥ 𝑦3 ≥ ⋯ ≥ 𝑦𝑛 ≥ ⋯ suatu barisan tidak naik, maka terdapat dua kemungkinan, antara lain: a) Terdapat konstanta 𝑀, yang disebut batas bawah barisan, sedemikian hingga 𝑦𝑛 ≥ 𝑀 untuk semua 𝑛, dan dalam batas ini barisan tersebut konvergen ke suatu limit 𝐿 ≥ 𝑀. b) Tidak terdapat batas bawah, dan dalam kasus ini lim 𝑢𝑛 = −∞. 𝑛→∞ Latihan Soal 1. Nyatakan barisan-barisan berikut dengan menggunakan notasi 𝑢𝑛 +∞ 𝑛=1 . Kemudian tentukan apakah barisan tersebut konvergen atau tidak. Jika konvergen, dapatkan limitnya. 2 4 6 8 a) 3 , 6 , 9 , 12 , … 1 1 1 b) 1, 4 , 16 , 64 , … c) 1 1 1 1 1 , 3, 4, 5, 6, 7,… 5 5 5 5 5 d) 4, −5, 6, −7, 8, −9, … 1 1 1 e) ln 1 , ln 4 , ln 9 , ln 16 , … 1 4 9 16 f) 𝑒 , 𝑒 2 , 𝑒 3 , 𝑒 4 , … 2. Tuliskan 10 suku pertama dari masing-masing barisan berikut. Kemudian tentukan apakah barisan tersebut konvergen atau tidak. Jika konvergen, dapatkan limitnya. a) +∞ (𝑛+1)2 3𝑛 𝑛=1 b) ln(𝑛+2) +∞ 2𝑛 𝑛=1 c) sin 𝜋/2𝑛 +∞ 𝑛 𝑛=1 d) 2 +∞ 𝑛+1 (−1) cos 3𝑛 𝑛=1 e) 𝑥 2𝑛 − 3𝑛 +∞ 𝑛=1 3. Gunakan Definisi 1 tentang konvergensi barisan untuk membuktikan bahwa: 1+ 1 𝑛 −2 konvergen ke 1. 4. Gunakan 𝑢𝑛+1 /𝑢𝑛 untuk menunjukkan bahwa barisan berikut naik atau turun. a) 1 2𝑛 1 b) 1 − 2𝑛 2𝑛 c) 6𝑛−2 d) 𝑛 − 2𝑛
