anvek angga

ANALISA VEKTOR
Oleh
Nama
NIM
Kelas
: I Gusti Bagus Arya Anggara
: E1R014024
: A Reguler Pagi
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS MATARAM
2017
1. Diketahui P = 2t i - 8 j + h k dan Q = (t +3) i + 4 j + 2 k. Jika P = - Q, maka vektor P
dapat dinyatakan ...
Pembahasan
P = - Q, maka
2t
i
8
j+
h
2t
=
2t
=
3t
t
hk = -2k
h
sehingga, P = - 2i - 8 j - 2 k
k
=
-
(t +3)
i
-
4
j
=
=
2
k
(t +3)
3
-3
-1
=
-2
-
t
-
-
2. Diketahui A = i + 4j + 8k dan B = 2i + 6j + 4k, tentukan proyeksi B pada A
Pembahasan
Cari vektor satuan dalam arah A, misakalkan s, maka :
𝑖+4𝑗+8𝑘
𝑖+4𝑗+8𝑘 1
𝐴
s = |𝐴| = 2 2 2 =
= 9 i + 49 j + 89 k
9
√1 +4 +8
Proyeksi B pada A adalah :
1
B ∙ s = (2i + 6j + 4k) ∙ ( 9 i +
2
=9 +
24
9
+
32
9
=
4
9
8
j+9k)
58
9
3. Diketahui X adalah titik berat segitiga ABC dimana A(2,3,-2), B(-4,1,2) dan C(8,5,-3).
Maka panjang vektor posisi X adalah?
Pembahasan
X titik berat segitiga sehingga,
X = 1/3 (A + B + C)
X = 1/3 (2,3,-2) + (-4,1,2) + (8,5,-3)
X = 1/3 (6,9,-3) = (2,3,-1)
Panjang proyeksi D adalah
√22 + 32 + (−1)2 = √14
4. Vektor-vektor P = 2i - mj + k dan Q = 5i + j - 2k saling tegak lurus. Maka harga m
haruslah...
Pembahasan
P tegak lurus Q maka:
P.Q=0
(2i - mj + k) (5i + j - 2k) = 10 - m - 2 = 0
m=8
5. Jika titik-titik A, B, C segaris dan A(-1,1) dan C (3,5) dan AB = BC maka titik
adalah...
Pembahasan
B
AB = BC maka B - A = C - B
2B = C + A
B = 1/2 (C + A)
B = 1/2 (3,5) + (-1,1) = 1/2 (2,6) = (1,3)
6. Diketahui vektor a = 7 i + 5 j - 3k dan b = 5 i + 2 j + 3k serta c = a - b, vektor satuan
yang searah denga c adalah...
Pembahasan
c = a - b = (7 i + 5 j - 3k) - (5 i + 2 j + 3k) = 2 i + 3j - 6k
Diperoleh:
|𝑐| = √22 + 32 + (−6)2 = √49 = 7
Menentukan vektor yang searah dengan c adalah
c = (2, 3, -6) / 7 atau c = 2/7 i + 3/7 j - 6/7 k
7. Jika a = t i - 2 j + hk dan b = (t +2) i + 2 j + 3 k. Jika a = - b maka vektor a dapat
dinyatakan ...
Pembahasan
Karena a = - b diperoleh t i - 2j + hk = - (t +2) i - 2 j - 3 k
t = - (t +2)
t=-t-2
2t = -2
t = -1 lalu h = - 3
Jadi diperoleh a = -i - 2j - 3k
8. Diketahui A (1,2,3), B(3,3,1) dan C(7,5,-3). Jika A, B, dan C segaris, perbandingan
AB : BC =...
Pembahasan
AB
=
B
A
=
(3,3,1)
(1,2,3)
=
(2,1,-2)
2
2
2
IABI
=
√2
+
1
+
(-2)
=
3
BC
=
C
B
=
(7,5,-3)
(3,3,1)
=
(4,2,-4)
2
2
2
IBCI
=
√4
+
2
+
(-4)
=
6
Jadi perbandingan AB : BC = 3 : 6 = 1 : 2
9. Diketahui A = 3𝑖 − 2𝑗 + 𝑘, B = 2𝑖 − 4𝑗 − 3𝑘, dan C = −𝑖 + 2𝑗 + 2𝑘. Tentukan
2𝐴 − 3𝐵 − 5𝐶!
Pembahasan
2𝐴 − 3𝐵 − 5𝐶 = 2(3𝑖 − 2𝑗 + 𝑘) − 3(2𝑖 − 4𝑗 − 3𝑘) − 5(−𝑖 + 2𝑗 + 2𝑘)
= 6𝑖 − 4𝑗 + 2𝑘 − 6𝑖 + 12𝑗 + 9𝑘 + 5𝑖 − 10𝑗 − 10𝑘
= (6 − 6 + 5)𝑖 + (−4 + 12 − 10)𝑗 + (2 + 9 − 10)𝑘
= 5𝑖 − 2𝑗 + 𝑘
10. Jika U = i - 2j + k, V = 2i - 2j - 3k dan W = -i + j + 2k, maka U – 3V – 5W sama
dengan...
Pembahasan
U – 3V – 5W =
(i - 2j + k) -3(2i - 2j - 3k) - 5(-i + j + 2k)
U – 3V – 5W = i - 2j + k - 6i + 6j + 9k + 5i - 5j - 10k = - 9j
11. Vektor U dan vektor V membentuk sudut 60° dengan │𝑈│ = 4 dan │𝑉│ = 5.
Tentukan 𝑈(𝑉 + 𝑈)!
Pembahasan
𝑈(𝑉 + 𝑈) = 𝑈 ∙ 𝑉 + 𝑈 2
= │𝑈││𝑉│𝑐𝑜𝑠 60° + 𝑈 2
1
= 4.5. + 22
2
= 10 + 4
= 14
12. Diketahui dua vektor M = 4𝑖 − 𝑚𝑗 + 2𝑘 dan N = 5𝑖 + 2𝑗 − 4𝑘 saling tegak lurus.
Tentukan nilai m!
Pembahasan
M ∙ N = 0, karena tegak lurus.
(4𝑖 − 𝑚𝑗 + 2𝑘)( 5𝑖 + 2𝑗 − 4𝑘) = 0
20 − 2𝑚 − 8 = 0
𝑚=6
13. Jika vektor A = 10i + 6 j - 3k dan B = 8 i + 3 j + 3k serta C = A - B, maka vektor satuan
yang searah denga c adalah...
Pembahasan
c = a - b = (10 i + 6 j - 3k) - (8i + 3 j + 3k) = 2 i + 3j - 6k
Sehingga
I
c
I
=
√22 + 32 + (−6)2
Maka
vektor
yang
searah
dengan
c = (2, 3, -6) / 7 atau c = 2/7 i + 3/7 j - 6/7 k
=
c
7
adalah
14. Buktikan bahwa penjumlahan vector bersifat asosiatif
Pembahasan
Perhatikan Gambar di atas
̅̅̅̅ = a + b dan pada Δ ACD , ̅̅̅̅
pada Δ ABC , ̅̅̅̅
𝐴𝐶 = ̅̅̅̅
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶
𝐴𝐷 = ̅̅̅̅
𝐴𝐶 + ̅̅̅̅
𝐶𝐷 = (a + b) + c.
̅̅̅̅ + 𝐶𝐷
̅̅̅̅ = b + c dan pada Δ ABD, 𝐴𝐷
̅̅̅̅ = 𝐴𝐵
̅̅̅̅ + 𝐵𝐷
̅̅̅̅ = 𝐵𝐶
̅̅̅̅ = a + (b + c).
Pada Δ BCD, 𝐵𝐷
Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa
̅̅̅̅ = (a + b) + c = a + (b + c) Jadi, penjumlahan vektor bersifat asosiatif.
𝐶𝐷
15. Diketahui titik-titik A (2, 5, 2), B (3, 2, -1), C (2, 2, 2). Jika a = AB dan b = CA dan c
= b - a maka vektor c adalah...
Pembahasan
a
=
AB
=
B
A
=
(3,2,-1)
(2,5,2)
=
(1,-3,-3)
b
=
CA
=
A
C
=
(2,2,2)
(2,5,2)
=
(0,-3,0)
c = b - a = (0,-3,0) - (1,-3,-3) = (-1,0,3)
16. Diketahui vektor A= 2 i - 3 j + 5 k dan B = - 3 i - 5 j + 2 k mengapit sudut Ɵ. Maka
nilai tan Ɵ adalah...
Pembahasan
|𝐴|= √22 + (−3)2 + 52 = √38
|𝐵| = √(−3)2 + (−5)2 + 22 = √38
𝑢.𝑣
cos 𝜃 = Ι𝑢Ι .
Ι𝑣Ι
=
(−6) + 15 + 10
√38 . √38
1
=2
Jadi Ɵ = 60 derajat
Sehingga tan Ɵ = tan 60 = √3
17. Diketahui M = 4 i + 2 j + k dan N = 2i + j dimana O = 3 M - 4 N maka besar
W =...
Pembahasan
W = 4 (3 i + 2 j +
|𝑊| = √42 + 22 + 32 = √29
k)
-
4
(2i +
j)
=
4i +
2j +
3k
18. Jika vektor X dan vektor Y membentuk sudut 60 derajat dimana |𝑋| = 6 dan |𝑌| = 2,
maka X (Y + X) =…
Pembahasan
X (Y + X) = X ∙ Y + X2
= |𝑋| |𝑌| cos 60 + X2
= 6 . 2 . 1/2 + 62
= 4 + 36 = 42
19. Diketahui titik-titik X (3,-1,0), Y(2,4,1) dan Z(1.0,5). Maka panjang proyeksi vektor
XY pada vektor YZ adalah...
Pembahasan
XY = Y - X = (2,4,1) - (3,-1,0) = (-1,5,1)
XZ = Z - X = (1,0,5) - (3,-1,0) = (-2,1,5)
Maka panjang proyeksi vektor XY pada vektor YZ adalah...
𝑋𝑌 ∙ 𝑌𝑍
Ι 𝑋𝑍 Ι
=
(−1,5,1) ∙ (−2,1,5)
√(−2)2 +12 +52
=
(2+5+5)
√30
= 12/30 (√30) = (2/5) √30
20. Jika X = 𝑡𝑖 − 4𝑗 + ℎ𝑘 dan Y = (𝑡 + 2)𝑖 + 4𝑗 + 3𝑘. Jika X = −Y tentukan nilai t dan h
pada vektor X dan nyatakan vektor X tersebut.
Pembahasan
Karena X = −Y maka diperoleh 𝑡𝑖 − 4𝑗 + ℎ𝑘 = −((𝑡 + 2)𝑖 + 4𝑗 + 3𝑘)
𝑡 = −(𝑡 + 2)
𝑡 = −𝑡 − 2
4𝑡 = −2
𝑡 = −2
dan
ℎ = −3
Jadi diperoleh X = −2𝑖 − 4𝑗 − 3𝑘
21. Diketahui vektor X = 7𝑖 + 5𝑗 − 3𝑘 dan vektor Y = 5𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘 serta vektor Z =
X − Y. Tentukan vektor yang searah dengan vektor Z!
Pembahasan
Z=X−Y
Z = (7𝑖 + 5𝑗 − 3𝑘) −( 5𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘)
Z = 2𝑖 + 3𝑗 − 6𝑘
Diperoleh
│Z│ = √22 + 32 + (−6)2
│Z│ = √49
│Z│ = 7
Menentukan vektor yang searah dengan Z
Z
X=
│Z│
2𝑖 + 3𝑗 − 6𝑘
X=
7
2𝑖 3𝑗 6𝑘
X= + −
7
7
7
22. Titik a(1,4,2), 𝐛(3,1, −1), c(4,2,2). Jika A = ab, B = ca, C = B − A. Tentukan vektor
C.
Pembahsan
A = ab = b − a = (3,1, −1) − (1,4,2) = (2, −3, −3)
B = ca = a − c = (1,4,2) − (4,2,2) = (−3,2,0)
C = B − A = (−3,2,0) − (2, −3, −3) = (−5,5,3)
Jadi vektor C = (−5,5,3)
23. Vektor A = 2𝑖 − 3𝑗 + 5𝑘 dan vektor B = −3𝑖 − 5𝑗 + 2𝑘 mengapit sudut. Tentukan
nilai tan 𝜃!
Pembahasan
│A│ = √22 + (−3)2 + 52 = √38
│B│ = √(−3)2 + (−5)2 + 22 = √38
A. B
−6 + 15 + 10 19 1
cos 𝜃 =
=
=
=
38 2
√38√38
│A││B│
𝜃 = 60°
Jadi, 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = tan 60° = √3
24. Buktikan bahwa setiap vektor C pada bidang dapat ditulis secara tunggal sebagai
kombinasi linier sembarang 2 vektor A dan B yang tidak paralel dan bukan vektor nol.
Pembahasan
C OP OP1 OP2
OP1 paralel dengan A sehingga OP1 =
mA
OP2 paralel dengan B sehingga OP2 =
mB
C = mA + nB
25. Vektor u = 2 i - 3 j + 5 k dan v = - 3 i - 5 j + 2 k mengapit sudut Ɵ. Maka nilai tan Ɵ
adalah
Pembahasan
Tentukan terlebih dahulu nilai u dan v kemudian diperoleh nilai sudutnya:
θ
Jadi:
tan θ = tan 60o = √3
=
60o
26. Diketahui titik-titik A (3,-1,0), B(2,4,1) dan C(1.0,5). Maka panjang proyeksi vektor
AB pada vektor BC adalah...
Pembahasan
AB = B - A = (2,4,1) - (3,-1,0) = (-1,5,1)
AC = C - A = (1,0,5) - (3,-1,0) = (-2,1,5)
𝐴𝐵. 𝐵𝐶 (−1,5,1). (−2,1,5) (2 + 5 + 5)
12
=
=
=
|𝐴𝐶|
√30
√30
√(−2)2 + 12 + 52
=
12
(
√30
2
) = 5 (√30)
√30 √30
27. Diketahui A(3,-4,3) dan B(-2,-1,8) tentukanlah A ∙ B
Pembahasan
A ∙ B = ( 3i -4j +3k ) ∙ (-2i - j + 8k)
= -6 + 4 + 24
= 26
28. Diketahui A(2,-4,7) dan B(3,-2,4) tentukanlah B ∙ A
Pembahasan
B ∙ A = ( 3i -2j +4k ) ∙ (2i - 4j + 7k)
= 6 + 8 + 28
= 42
29. Diketahui A(3,-4,-2) dan B(1,6,-3) tentukanlah B x A
Pembahasan
𝑖
𝑗
𝑘
B x A = [3 −4 −2]
1 6 −3
−4 −2
3 −2
3 −4
=i[
]–j[
]+k[
]
6 −3
1 −3
1 6
= 20i +7j + 22k
30. Diketahui A(3,-4,2) dan B(2,5,-3) tentukanlah A x B .
Pembahasan
𝑖
𝑗
𝑘
A x B = [3 −4 2 ]
2 5 −3
−4 2
3 2
3 −4
=i[
]–j[
]+k[
]
5 −3
2 −3
2 5
= 2i +13j + 23k
31. Diketahui A(2,-1,1) dan B (4,2,-4), tentukan apakah A dan B saling tegak lurus ?
Pembahasan
Syarat 2 buah vector saling tegak lurus yaitu, hasil dot-nya samadengan 0.
A ∙ B = (2i – j + j) ∙ (4i + 2j – 4k)
=8-2–4
=0
Karena A ∙ B = 0 , maka A dan B saling tegak lurus
32. Carilah konstanta s sehingga A = 2i – j + 2k dan B = 2si + 3j – 2k saling tegak lurus.
Penyelesaian
Syarat 2 buah vector saling tegak lurus yaitu, hasil dot-nya samadengan 0.
A ∙ B = 0.
(2i – j + 2k) ∙ ( 2si + 3j – 2k ) = 0
4s – 3 – 4 = 0
4s = 7
7
s=4
untuk soal no 34 – 45
Diketahui B = 5t2i + 2t2j -3tk , L = 2t3i + 3t2j - 4tk tentukan nilai dari:
33. B ∙ L
Pembahasan
B ∙ L = (5t2i + 2t2j -3tk) ∙ (2t3i + 3t2j - 4tk)
= 10t6 + 6t4 + 12t2
34. B x L
Pembahasan
𝑖
𝑗
𝑘
2
2
B x L = [5𝑡
2𝑡
3𝑡]
3
2
2𝑡
3𝑡
4𝑡
2
2
2
2
2𝑡
3𝑡
=i[ 2
] – j [5𝑡 3 3𝑡] + k [5𝑡 3 2𝑡 2 ]
3𝑡
4𝑡
2𝑡
4𝑡
2𝑡
3𝑡
3
3
4
4
5
= - t i – (14t – 6t ) j + (15t – 4t ) k
35. L x B
Pembahasan
𝑖
𝑗
𝑘
L x B = [2𝑡 3 3𝑡 2 4𝑡]
5𝑡 2 2𝑡 2 3𝑡
2
3
3
2
= i [3𝑡 2 4𝑡 ] – j [2𝑡 2 4𝑡] + k [2𝑡 2 3𝑡 2 ]
2𝑡
3𝑡
5𝑡
3𝑡
5𝑡
2𝑡
= t3i – (6t4 – 20t3) j + (4t5 – 15t4) k
36. B ∙ ( B x L )
Pembahasan
B ∙ ( B x L ) = (5t2i + 2t2j -3tk) ∙ (- t3i – (14t3 – 6t4 ) j + (15t4 – 4t5) k)
= - 5t5 – (28t5 – 12t6) – (45t5 – 12t6)
= - 5t5 – 28t5 + 12t6 – 45t5 + 12t6
= - 68 t5 + 24 t6
37. B ∙ ( L x B )
Pembahasan
B ∙ ( L x B) = (5t2i + 2t2j -3tk) ∙ (t3i – (6t4 – 20t3) j + (4t5 – 15t4) k)
= 5t5 – 12t6 + 40t5 – 12t6 + 45t5
= 90t5 – 24t6
38. L ∙ ( B x L )
Pembahasan
L ∙ ( B x L ) = (2t3i + 3t2j - 4tk) ∙ (- t3i – (14t3 – 6t4 ) j + (15t4 – 4t5) k)
= - 2t6 – 52t5 + 18t6 – 60t5 + 16t6
= – 112t5 + 32t6
39. L ∙ ( L x B )
Pembahasan
L ∙ ( L x B ) = (2t3i + 3t2j - 4tk) ∙ (t3i – (6t4 – 20t3) j + (4t5 – 15t4) k)
= 2t6 – 18t6 + 60t5 -16t6 + 60t5
= -32t6 + 120t5
𝑑
40. 𝑑𝑡 (B ∙ L)
Pembahasan
𝑑
𝑑𝑡
(B ∙ L) = B ∙
𝑑𝐿
𝑑𝑡
+
𝑑𝐵
𝑑𝑡
∙L
𝑑
𝑑
= (5t2i + 2t2j -3tk) ∙ ( 𝑑𝑡 (2t3i + 3t2j - 4tk)) +( 𝑑𝑡 (5t2i + 2t2j -3tk)) ∙ (2t3i + 3t2j - 4tk)
= (5t2i + 2t2j -3tk) ∙ (6t2i + 6tj – 4k) + (10ti + 4tj – 3k) ∙ (2t3i + 3t2j - 4tk)
= (30 t2 + 12t3 + 12t) + (20t4 + 12t3 + 12t)
= 20t4 + 24t3 + 30 t2 + 24t
𝑑
41. 𝑑𝑡 ( L x B )
Pembahasan
𝑑
𝑑𝑡
(LxB)=Lx
𝑑𝐵
𝑑𝑡
𝑑𝐿
+ 𝑑𝑡 x B
𝑑
𝑑
= (2t3i + 3t2j - 4tk) x ( 𝑑𝑡 (5t2i + 2t2j -3tk)) + ( 𝑑𝑡 (2t3i + 3t2j - 4tk)) x (5t2i + 2t2j -3tk)
= (2t3i + 3t2j - 4tk) x (10ti + 4tj – 3k) + (6t2i + 6tj – 4k) x (5t2i + 2t2j -3tk)
𝑖
𝑗
𝑘
𝑖
= [ 2𝑡 3 3𝑡 2 −4𝑡] + [6𝑡 2
10𝑡
4𝑡
2]
−3
5𝑡 2
𝑘
−4 ]
−3𝑡
= ([7𝑡 i + 40𝑡 2 ] j+ [8𝑡 4 − 30𝑡 3 ] k) + ([−10𝑡 2 ]i - [−18𝑡 3 + 20𝑡 2 ]j +
[12𝑡 4 − 30𝑡 3 ] k)
= (-3t2 ) i + ( 24t3 – 60t2 ) j + (20t4 – 60t3)k
𝑑
42. 𝑑𝑡 ( B x L )
Pembahasan
[−6𝑡 3
𝑗
6𝑡
2𝑡 2
𝑑
𝑑𝑡
(BxL)=Bx
𝑑𝐿
+
𝑑𝑡
𝑑𝐵
𝑑𝑡
xL
= (5t2i + 2t2j -3tk) x (6t2i + 6tj – 4k) + (10ti + 4tj – 3k) x (2t3i + 3t2j - 4tk)
𝑖
𝑗
𝑘
𝑖
= [5𝑡 2 2𝑡 2 −3𝑡] + [10𝑡
6𝑡 2
6𝑡
2𝑡 3
−4
𝑗
4𝑡
3𝑡 2
𝑘
−3 ]
−4𝑡
= [10𝑡 2 ]i - [−20𝑡 2 + 18𝑡 3 ]j + [30𝑡 3 − 12𝑡 4 ] k + [−7𝑡 2 ]i - [−40𝑡 2 + 6𝑡 3 ]j +
[30𝑡 3 − 12𝑡 4 ] k
= (3t2) i + (60t2 – 24t3) j + (60t3 – 24t4) k
𝑑
43. 𝑑𝑡 L ∙ ( L x B )
Pembahasan
𝑑
𝑑𝑡
𝑑
𝑑𝐿
L ∙ ( L x B ) = L ∙ 𝑑𝑡 ( L x B ) + 𝑑𝑡 ∙ ( L x B )
= (2t3 i + 3t2 j - 4t k) ∙ ((-3t2 ) i + ( 24t3 – 60t2 ) j + (20t4 – 60t3)k )+ (6t2i + 6tj – 4k) ∙
(t3i – (6t4 – 20t3) j + (4t5 – 15t4) k)
= - 6t5 + 72t5 – 180t4 – 80t5 + 240t4 + 6t5 – 36t5 + 120t4 – 16t5 + 60t4
= - 60t5 + 240t4
𝑑
44. 𝑑𝑡 B ∙ ( B x L )
Pembahasan
𝑑
𝑑𝑡
B∙(BxL)=B∙
𝑑
𝑑𝑡
(BxL)+
𝑑𝐵
∙(BxL)
𝑑𝑡
= (5t i + 2t j -3tk) ∙ (3t ) i + (60t – 24t3) j + (60t3 – 24t4) k + (10ti + 4tj – 3k) ∙ (- t3i –
(14t3 – 6t4 ) j + (15t4 – 4t5) k)
= 15t4 + 120t4 – 48t5 – 180t4 + 72t5 – 10t4 – 56t4 + 24t5 – 45t4 + 12t5
= - 156t4 + 60t5
Untuk soal no 46 - 50
Diketahui x = - 6 cos t , y = 6 sin t , z = 8t. tentukanlah :
45. Vektor singgung satuan T
Pembahasan
Berdasarkan soal diatas diperoleh r = - 6 cos t i + 6 sin t j + 8t k
2
2
𝑑𝑟
Maka,
𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑟
2
2
= 6 sin 𝑡 𝑖 + 6 cos 𝑡 𝑗 + 8 𝑘
= |𝑑𝑡 | = √ ( 6 sin 𝑡) 2 + ( 6 cos 𝑡) 2 + 82
= √36(1) + 64 = √100 = 10
T=
𝑑𝑟
𝑑𝑡
𝑑𝑠
𝑑𝑡
=
𝑑𝑟
𝑑𝑠
=
6 sin 𝑡
10
𝑖+
6 cos 𝑡
10
8
𝑗 + 10 𝑘
46. Kelengkungan K dan jejari kelengkungan 𝜌
Pembahasan
𝑑𝑇
Cari 𝑑𝑠
𝑑𝑇
𝑑𝑡
=
6 cos 𝑡
10
𝑖−
6 sin 𝑡
10
𝑗
𝑑𝑇
𝑑𝑇
6 cos 𝑡
6 sin 𝑡
𝑑𝑡
=
=
𝑖−
𝑗
𝑑𝑠
𝑑𝑠
100
100
𝑑𝑡
|
𝑑𝑇
𝑑𝑠
| = |𝐾| |𝑁| = 𝐾
𝑑𝑇
Maka, 𝐾 = |𝑑𝑠 | = √(
6 cos 𝑡
)2 + (
100
− 6 sin 𝑡
100
)2 =
6
100
1
100
=
𝐾
6
47. Normal utama N
Pembahasan
𝜌=
𝑑𝑇
𝑑𝑠
1 𝑑𝑇
= 𝐾 𝑁 , maka 𝑁 =
𝐾 𝑑𝑠
100
=
6
6 cos 𝑡
(
100
6 sin 𝑡
𝑖−
100
𝑗)
= cos 𝑡 𝑖 − sin 𝑡 𝑗
48. Binormal B
Pembahasan
B=TxN=[
𝑑𝐵
𝑑𝑡
=
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑖
𝑗
6 sin 𝑡
6 cos 𝑡
𝑘
8
10
10
10
8
cos 𝑡 − sin 𝑡 0
8
(10 sin 𝑡 𝑖 + 10 cos 𝑡 𝑗 −
8
8
cos 𝑡
10
𝑖
8
− 10 sin 𝑡
8
] = 10 sin 𝑡 𝑖 + 10 cos 𝑡 𝑗 −
6
10
6
10
𝑘
𝑘)
𝑗
𝑑𝐵
8
8
cos
𝑡
𝑖
−
𝑑𝐵
10 sin 𝑡 𝑗
= 𝑑𝑡 = 10
𝑑𝑠
𝑑𝑠
10
𝑑𝑡
8
8
= 100 cos 𝑡 𝑖 − 100 sin 𝑡 𝑗
49. Torsi 𝜏 dan jejari torsi 𝜎
Pembahsan
𝑑𝐵
𝑑𝑠
= − 𝜏 𝑁, maka diperoleh :
8
8
cos 𝑡 𝑖 −
sin 𝑡 𝑗
100
100
8
8
= − 𝜏 cos 𝑡 𝑖 + 𝜏 sin 𝑡 𝑖 = 100 cos 𝑡 𝑖 − 100 sin 𝑡 𝑗
− 𝜏 𝑁 = − 𝜏 (cos 𝑡 𝑖 − sin 𝑡 𝑗 ) =
− 𝜏 cos 𝑡 𝑖 =
𝜏= −
8
100
8
cos 𝑡 𝑖
100
1
100
𝜎= = −
𝜏
8
50. Carilah normal satuan terhadap permukaan 2x2y + 4xz = 8 pada titik ( -1,1,2)
Pembahasan
∇θ = ∇( 2𝑥 2 𝑦+4𝑥𝑧 ) = ( 4 𝑥𝑦 + 4 𝑥) 𝑖 + 2𝑥 2 𝑗 + 4 𝑥 𝑘 = [ ( 4 𝑥𝑦 + 4 𝑥), 2𝑥 2 , 4 𝑥 ]
Pada titik ( -1,1,2) diperoleh :
∇θ = ∇ ( −1,1,2 ) = −8 𝑖 + 2 𝑗 − 4 𝑘 = [ -8,2,-4]
𝑈∇( −1,1,2) =
[ −8,2,−4]
√(−8)2 +22 +(−4)2
=
[ −8,2,−4]
√84
=[
−8
√84
,
2
√84
,
−4
√84
]
51. Carilah normal satuan terhadap permukaan 3xy2 – 6yz = 12 pada titik ( 1,-2,-1)
Pembahasan
∇θ = ∇( 3𝑥 2𝑦2−6𝑦𝑧 2 ) = 3𝑦 2 𝑖 + ( 6 𝑥𝑦 − 6𝑧) 𝑗 − 6 𝑦 𝑘 = [ 3𝑦 2 , ( 6 𝑥𝑦 − 6𝑧), −6𝑦 ]
Pada titik ( 1,-2,-1) diperoleh :
∇θ = ∇ (
−1,2,−1 ) = 12 𝑖 − 6 𝑗
[ 12,−6,12]
𝑈∇( 1−,2,−1) =
+ 12 𝑘 = [ 12, −6,12]
√(12)2 +(−6)2 +(12)2
=
[ 12,−6,12]
√324
=[
12
√324
,
−6
√324
,
12
√324
]
52. Carilah persamaan bidang singgung 2x2z – 3 xy – 4x = 8 pada titik P( 2,-2,4)
Pembahasan
∇θ = ∇( 2𝑥 2𝑧−3𝑥𝑦−4𝑥) = (4𝑥𝑧 − 3𝑦 − 4 ) 𝑖 − 3𝑦 𝑗 − 4 𝑘 = [ (4𝑥𝑧 − 3𝑦 − 4 ) , −3𝑦, −4
Pada titik ( 2,-2,4) diperoleh:
∇θ = ∇ ( 2,−2,4 ) = 22 𝑖 + 6 𝑗 − 16 𝑘 = [ 22, 6, −16 ]
Persamaan bidang yang melalui titik p (x0, y0, z0) adalah
𝑉 ≡ 𝐴( 𝑥 − 𝑥0 ) + 𝐵 ( 𝑦 − 𝑦0 ) + 𝐶 ( 𝑧 − 𝑧0 )
Berdasarkan [ 22, 6, −16 ] dan titik P( 2,-2,4), maka diperoleh persamaan bidang yang
melalui titik P( 2,-2,4) yaitu :
𝑉 ≡ 22( 𝑥 − 2) + 6 ( 𝑦 + 2) − 16 ( 𝑧 − 4) = 0
53. Carilah persamaan bidang singgung 3y2z + 4 xy – 6y = 10 pada titik P(-2,3,-1)
Pembahasan
∇θ = ∇( 3𝑦2 𝑧 + 4𝑥𝑦 − 6𝑥) = 4𝑦 𝑖 + ( 6𝑦𝑧 + 4𝑥 − 6 ) 𝑗 + 3𝑦 2 = [ 4𝑦, ( 6𝑦𝑧 + 4𝑥 − 6 ), 3𝑦 2 ]
Pada titik P (-2,3,-1) diperoleh :
∇θ = ∇ ( −2,3,−1 ) = 12 𝑖 − 38 𝑗 + 36 𝑘 = [ 12, −38, 36 ]
Berdasarkan [ 12, −38, 36 ] dan titik P(-2,3,-1), maka diperoleh persamaan bidang
yang melalui titik P(-2,3,-1) yaitu :
𝑉 ≡ 12( 𝑥 + 2) − 38 ( 𝑦 − 3) + 36 ( 𝑧 + 1) = 0
54. Carilah turunan berarah dari 𝜃 = 𝑥𝑦𝑧 2 + 4𝑥 2 𝑧 pada P(1,-2,-1) dalam arah [-2,1,2]
Pembahasan
∇θ = ∇( 𝑥𝑦𝑧2 + 4𝑥2 𝑧 −) = (𝑦𝑧 2 + 8𝑥𝑧) 𝑖 + 𝑥𝑧 2 𝑖 + (2𝑥𝑦𝑧 + 4𝑥 2 )𝑘
= [(𝑦𝑧 2 + 8𝑥𝑧), 𝑥𝑧 2 , (2𝑥𝑦𝑧 + 4𝑥 2 )
Pada P (1,-2,-1) diperoleh :
∇θ = ∇( 1,−2,−1) = −6 𝑖 + 𝑗 + 8 𝑘 = [ −6, 1, 8 ]
Vektor satuan dalam arah [-2,1,2] adalah :
[−2,1,2]
[−2,1,2] −2 1 2
−2 1 2
𝑎=
=
=
𝑖, 𝑗, 𝑘=[
, , ]
3
3 3
3 3 3
√9
√(−2)2 + 12 + 22
Turunan berarah adalah :
−2 1 2
12 1 16
29
∇θ ∙ a = [ −6, 1, 8 ] ∙ [
, , ]=
+ +
=
3 3 3
3
3
3
3
55. Carilah usaha total yang dilakuka untuk menggerakan sebuah partikel dalam medan
gaya yang diberikan oleh A = 4xy i – 6z j + 8 y k sepanjang kurva x = t2 , y = 2t3 , z =
2t2 dari t = 0 hingga t = 1.
Pembahasan
Cari 𝐴 ∙ 𝑑𝑅
𝑅 = [ 𝑡 2 , 2𝑡 3 , 2𝑡 2 ]
𝑑𝑅 = [ 2𝑡, 6𝑡 2 , 4𝑡]
𝐴 ∙ 𝑑𝑅 = [(4𝑡 2 (2𝑡 3 )) – 6(2𝑡 2 ) + 8 ( 2𝑡 3 )] ∙ [ 2𝑡, 6𝑡 2 , 4𝑡]
= 16𝑡 6 − 72𝑡 4 + 64𝑡 4
= 16𝑡 6 − 8𝑡 4
Usaha total = ∫𝐶 𝐴 ∙ 𝑑𝑅
1
= ∫𝑡=0 16𝑡6 − 8𝑡4 𝑑𝑡
16
8
1
= [ 7 𝑡7 − 5 𝑡5 ]
0
16
8
24
= [ 7 − 5 ] − 0 = 35