Pengantar Logika

Materi Kuliah IF2091 Struktur Diskrit
Pengantar Logika
Oleh: Rinaldi Munir
Program Studi Informatika
STEI - ITB
1
Logika
• Perhatikan argumen di bawah ini:
Jika anda mahasiswa Informatika maka anda pasti belajar
Bahasa Java. Jika anda tidak suka begadang maka anda
bukan mahasiswa Informatika. Tetapi, anda tidak belajar
Bahasa Java dan anda tidak suka begadang. Jadi, anda
bukan mahasiswa Informatika.
Apakah kesimpulan dari argumen di atas valid?
Alat bantu untuk memahami argumen tsb adalah Logika
2
• Banyak teorema di dalam Ilmu Komputer/Informatika
yang membutuhkan pemahaman logika.
• Contoh:
1. Dua buah bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima
jika gcd(a, b) = 1.
2. Syarat cukup graf dengan n simpul mempunyai sirkuit
Hamilton adalah derajat tiap simpul  n/2.
3. T(n) = (f(n)) jika dan hanya jika O(f(n)) = (f(n)).
3
• Bahkan, logika adalah pondasi dasar algoritma
dan pemrograman.
• Contoh:
if x > y then
begin
temp:=x;
x:=y;
y:=temp;
end;
4
Aristoteles, peletak dasar-dasar logika
5
Proposisi
• Logika didasarkan pada pada hubungan antara
kalimat atau pernyataan (statements).
• Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja
yang menjadi tinjauan  proposisi
• Proposisi: pernyataan yang bernilai benar (true)
atau salah (false), tetapi tidak keduanya.
6
Contoh. Semua pernyataan di bawah ini adalah
proposisi:
(a) 13 adalah bilangan ganjil
(b) Soekarno adalah alumnus UGM.
(c) 1 + 1 = 2
(d) 8  akar kuadrat dari 8 + 8
(e) Ada monyet di bulan
(f) Hari ini adalah hari Rabu
(g) Untuk sembarang bilangan bulat n  0, maka
2n adalah bilangan genap
(h) x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan
riil

7
Contoh. Semua pernyataan di bawah ini bukan
proposisi
(a) Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba
di Gambir?
(b) Tolong tutup pintu!
(c) x + 3 = 8
(d) x > 3

Kesimpulan: Proposisi adalah kalimat berita
8
• Pernyataan yang melibatkan peubah (variable) disebut
predikat, kalimat terbuka, atau fungsi proposisi
Contoh: “ x > 3”, “y = x + 10”
Notasi: P(x), misalnya P(x): x > 3
• Predikat dengan quantifier: x P(x)
• Kalkulus proposisi: bidang logika yang berkaitan dengan
proposisi  dipelajari dalam kuliah IF2091 ini
• Kalkulus predikat: bidang logika yang berkaitan dengan
predikatr dan quantifier  dipelajari dalam kuliah IF2092
Logika Informatika (Semester 3 juga).
9
• Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, ….
• Contoh:
p : 13 adalah bilangan ganjil.
q : Soekarno adalah alumnus UGM.
r: 2+2=4
10
Mengkombinasikan Proposisi
• Misalkan p dan q adalah proposisi.
1. Konjungsi (conjunction): p dan q
Notasi p  q
2. Disjungsi (disjunction): p atau q
Notasi: p  q
3. Ingkaran (negation) dari p: tidak p
Notasi: p
• p dan q disebut proposisi atomik
• Kombinasi p dengan q menghasilkan proposisi majemuk
(compound proposition
11
Contoh. Diketahui proposisi-proposisi berikut:
p : Hari ini hujan
q : Murid-murid diliburkan dari sekolah
p  q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan
dari sekolah
p  q : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari
sekolah
p
: Tidak benar hari ini hujan
(atau: Hari ini tidak hujan)

12
Contoh. Diketahui proposisi-proposisi berikut:
p : Pemuda itu tinggi
q : Pemuda itu tampan
Nyatakan dalam bentuk simbolik:
(a) Pemuda itu tinggi dan tampan
(b) Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan
(c) Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan
(d) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak
tampan
(e) Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan
(f) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun
tampan
Penyelesaian:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
pq
p  q
p  q
(p  q)
p  (p  q)
(p  q)
13
Tabel Kebenaran
p
q
pq
p
q
pq
p
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
T
T
F
T
F
q
F
T
14
Contoh. Bentuklah tabel kebenaran dari proposisi majemuk
(p  q)  (~q  r).
p
q
r
pq
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
F
F
F
F
~q ~q  r (p  q)  (~q  r)
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
F
F
T
F
T
T
T
F
F
F
T
F
15
Dua buah proposisi majemuk, P(p, q, ..) dan Q(p, q, ..)
disebut ekivalen secara logika jika keduanya mempunyai
tabel kebenaran yang identik.
Notasi: P(p, q, …)  Q(p, q, …)
Contoh. Hukum De Morgan: ~(p  q)  ~p  ~q.
p
q
p  q ~ (p  q)
~p
~q ~ p  ~ q
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
F
F
T
T
F
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
T
16
Hukum-hukum Logika
Disebut juga hukum-hukum aljabar proposisi.
1. Hukum identitas:
 p  F  p
 p  T  p
2. Hukum null/dominasi:
 p  F  F
 p  T  T
3. Hukum negasi:
 p  ~p  T
 p  ~p  F
4. Hukum idempoten:
 p  p  p
 p  p  p
5. Hukum involusi (negasi
ganda):
 ~(~p)  p
6. Hukum penyerapan
(absorpsi):
 p  (p  q)  p
 p  (p  q)  p
17
7. Hukum komutatif:
 p  q  q p
 p  q  q p
8. Hukum asosiatif:
 p  (q  r)  (p  q)  r
 p  (q  r)  (p  q)  r
9. Hukum distributif:
10.


p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)


Hukum De Morgan:
~(p  q)  ~p  ~q
~(p  q)  ~p  ~q
18
• Contoh. Tunjukkan bahwa p  ~(p  q) dan p  ~q
keduanya ekivalen secara logika.
Penyelesaian:
p  ~(p  q )  p  (~p  ~q)
(Hukum De Morgan)
 (p  ~p)  (p  ~q) (Hukum distributif)
 T  (p  ~q)
(Hukum negasi)
 p  ~q
(Hukum identitas)
19
Contoh . Buktikan hukum penyerapan: p  (p  q)  p
Penyelesaian:
p  (p  q) = (p  p)  (p  q)
(Hukum distributif)
= p  (p  q)
(Hukum idempoten)
= (p  p)  (p  q) (Hukum distributif)
= p  (p  q)
(Hukum idempoten)
Gagal! Coba cari cara lain:
p  (p  q)  (p  F)  (p  q)
(Hukum Identitas)
 p  (F  q)
(Hukum distributif)
 pF
(Hukum Null)
 p
(Hukum Identitas)
20
Disjungsi Eksklusif
Kata “atau” (or) dalam operasi logika digunakan dalam
salah satu dari dua cara:
1. Inclusive or
“atau” berarti “p atau q atau keduanya”
Contoh: “Tenaga IT yang dibutuhkan harus menguasai
Bahasa C++ atau Java”.
2. Exclusive or
“atau” berarti “p atau q tetapi bukan keduanya”.
Contoh: “Ia dihukum 5 tahun atau denda 10 juta”.
21
Operator logika disjungsi eksklusif: xor
Notasi: 
Tabel kebenaran:
p
q
pq
T
T
F
F
T
F
T
F
F
T
T
F
22
Proposisi Bersyarat
(kondisional atau implikasi)
• Bentuk proposisi: “jika p, maka q”
• Notasi: p  q
p : hipotesis, antesenden, premis, atau kondisi
q: disebut konklusi (atau konsekuen).
 Tabel kebenaran implikasi
p
q
pq
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
23
Contoh.
a. Jika saya lulus ujian, maka saya mendapat hadiah dari
Ayah
b. Jika suhu mencapai 80C, maka alarm akan berbunyi
c. Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap
mengundurkan diri
24
Cara-cara mengekspresikan implikasi p  q:
• Jika p, maka q
• Jika p, q
• p mengakibatkan q
(p implies q)
• q jika p
• p hanya jika q
• p syarat cukup untuk q (hipotesis menyatakan
syarat cukup (sufficient condition) )
• q syarat perlu bagi p
(konklusi menyatakan
syarat perlu (necessary condition) )
• q bilamana p
(q whenever p)
25
Contoh. Proposisi-proposisi berikut adalah implikasi
dalam berbagai bentuk:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur.
Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang.
Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air
laut naik.
Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan.
Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal
hanya jika ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit.
Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan
api dari rokok.
Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia adalah
dengan mengontrak pemain asing kenamaan.
Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi.
26
Soal Latihan 1.
Ubahlah proposisi di bawah ini dalam bentuk
standard “jika p maka q”:
1) Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah
percikan api dari rokok.
2) Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala
Dunia adalah dengan mengontrak pemain asing
kenamaan.
27
Jawaban
1) Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan
api dari rokok.”
Ingat: p  q dapat dibaca p syarat cukup untuk q
Susun sesuai format:
Percikan api dari rokok adalah syarat cukup agar pom
bensin meledak.”
Identifikasi proposisi atomik:
p : Api memercik dari rokok
q : Pom bensin meledak
Notasi standard: Jika p, maka q
Jika api memercik dari rokok, maka pom bensin meledak.
28
2) Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia adalah
dengan mengontrak pemain asing kenamaan.
Ingat: p  q dapat dibaca q syarat perlu untuk p
Susun sesuai format:
Mengontrak pemain asing kenamaan adalah syarat perlu
bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia
Identifikasi proposisi atomik:
q: Indonesia mengontrak pemain asing kenamaan
p: Indonesia ikut Piala Dunia
Notasi standard: Jika p, maka q
Jika Indonesia ikut Piala Dunia, maka Indonesia
mengontrak pemain asing kenaman.
29
• Perhatikan bahwa dalam implikasi yang
dipentingkan nilai kebenaran premis dan
konsekuen, bukan hubungan sebab dan akibat
diantara keduanya.
• Beberapa implikasi di bawah ini valid meskipun
secara bahasa tidak mempunyai makna:
“Jika 1 + 1 = 2 maka Paris ibukota Perancis”
“Jika n bilangan bulat maka hari ini hujan”
30
Contoh. Dua pedagang barang kelontong mengeluarkan moto jitu untuk
menarik pembeli. Pedagang pertama mengumbar moto “Barang bagus tidak
murah” sedangkan pedagang kedua mempunyai moto “Barang murah tidak
bagus”. Apakah kedua moto pedagang tersebut menyatakan hal yang sama?
Penyelesaian:
p : Barang itu bagus
q : Barang itu murah.
Moto pedagang pertama: “Jika barang itu bagus maka barang itu tidak
murah” atau p  ~ q
Moto pedagang kedua: “Jika barang itu murah maka barang itu tidak bagus”
atau q  ~ p.
p
q
~p
~q
p~q
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
T
T
F
T
F
T
F
T
T
T
q~p
F
T
T
T
 p  ~ q  q  ~ p.
 Kedua moto tersebut menyatakan hal yang sama.
31
 Implikasi Dalam Bahasa Pemrograman
if c then S
c: ekspresi logika yang menyatakan syarat/kondisi
S: satu atau lebih pernyataan.
S dieksekusi jika c benar,
S tidak dieksekusi jika c salah.
 Struktur if-then pada bahasa pemrograman berbeda dengan implikasi if-then
yang digunakan dalam logika.
 Pernyataan if-then dalam bahasa pemrograman bukan proposisi karena tidak
ada korespondensi antara pernyataan tersebut dengan operator implikasi
().
 Interpreter atau compiler tidak melakukan penilaian kebenaran pernyataan
if-then secara logika. Interpreter hanya memeriksa kebenaran kondisi c, jika
c benar maka S dieksekusi, sebaliknya jika c salah maka S tidak dieksekusi.
32
Contoh. Misalkan di dalam sebuah program yang ditulis dalam
Bahasa Pascal terdapat pernyataan berikut:
if x > y then y:=x+10;
Berapa nilai y setelah pelaksanaan eksekusi if-then jika:
(i) x = 2, y = 1
(ii) x = 3, y = 5?
Penyelesaian:
(i) x = 2 dan y = 1
Ekspresi x > y bernilai benar
Pernyataan y:=x+10 dilaksanakan
Nilai y sekarang menjadi y = 2 + 10 = 12.
(ii) x = 3 dan y = 5
Ekspresi x > y bernilai salah
Pernyataan y:=x+10 tidak dilakukan
Nilai y tetap seperti sebelumnya, yaitu 5.
33
Soal Latihan 2
Nyatakan pernyataan berikut:
“Anda tidak dapat terdaftar sebagai pemilih dalam
Pemilu jika anda berusia di bawah 17 tahun
kecuali kalau anda sudah menikah”.
dalam notasi simbolik.
34
Penyelesaian Soal Latihan 2
Anda tidak dapat terdaftar sebagai pemilih dalam
Pemilu jika anda berusia di bawah 17 tahun
kecuali kalau anda sudah menikah”.
Format: q jika p
Susun ulang ke bentuk standard: Jika p, maka q
Jika anda berusia di bawah 17 tahun, kecuali kalau
anda sudah menikah, maka anda tidak dapat
terdaftar sebagai pemilih dalam Pemilu
35
Jika anda berusia di bawah 17 tahun, kecuali kalau anda
sudah menikah, maka anda tidak dapat terdaftar sebagai
pemilih dalam Pemilu
m : Anda berusia di bawah 17 tahun.
n : Anda sudah menikah.
r : Anda dapat terdaftar sebagai pemilih dalam Pemilu.
maka pernyataan di atas dapat ditulis sebagai:
(m  ~ n)  ~ r
36
Bikondisional (Bi-implikasi)
 Bentuk proposisi: “p jika dan hanya jika q”
 Notasi: p  q
p
q
pq
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
 p  q  (p  q)  (q  p).
37
p
q
T
T
F
F
T
F
T
F
pq
T
F
F
T
pq
qp
(p  q)  (q  p)
T
F
T
T
T
T
F
T
T
F
F
T
 Dengan kata lain, pernyataan “p jika dan hanya jika q”
dapat dibaca “Jika p maka q dan jika q maka p”.
38
 Cara-cara menyatakan bikondisional p  q:
(a) p jika dan hanya jika q.
(b) p adalah syarat perlu dan cukup untuk q.
(c) Jika p maka q, dan sebaliknya.
(d) p iff q
39
Contoh. Proposisi majemuk berikut adalah bi-implikasi:
(a) 1 + 1 = 2 jika dan hanya jika 2 + 2 = 4.
(b) Syarat cukup dan syarat perlu agar hari hujan
adalah kelembaban udara tinggi.
(c) Jika anda orang kaya maka anda mempunyai
banyak uang, dan sebaliknya.
(d) Bandung terletak di Jawa Barat iff Jawa Barat
adalah sebuah propinsi di Indonesia.
40
Soal latihan 3
Sebagian besar orang percaya bahwa harimau Jawa sudah
lama punah. Tetapi, pada suatu hari Amir membuat
pernyataan-pernyataan kontroversial sebagai berikut:
(a) Saya melihat harimau di hutan.
(b) Jika saya melihat harimau di hutan, maka saya juga
melihat srigala.
Misalkan kita diberitahu bahwa Amir kadang-kadang suka
berbohong dan kadang-kadang jujur (bohong: semua
pernyataanya salah, jujur: semua pernyataannya benar).
Gunakan tabel kebenaran untuk memeriksa apakah Amir
benar-benar melihat harimau di hutan?
41
Penyelesaian soal latihan 3
(a) Saya melihat harimau di hutan.
(b) Jika saya melihat harimau di hutan, maka saya juga
melihat srigala.
Misalkan
p : Amir melihat harimau di hutan
q : Amir melihat srigala
Pernyataan untuk (a): p
Pernyataan untuk (b): p  q
42
Tabel kebenaran p dan p  q
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
pq
T
F
T
T
Kasus 1: Amir dianggap berbohong, maka apa yang dikatakan
Amir itu keduanya salah ( p salah, p  q salah)
Kasus 2: Amir dianggap jujur, maka apa yang dikatakan Amir
itu keduanya benar (p benar, p  q benar).
Tabel menunjukkan bahwa mungkin bagi p dan p  q benar,
tetapi tidak mungkin keduanya salah. Ini berarti Amir
mengatakan yang sejujurnya, dan kita menyimpulkan bahwa
Amir memang benar melihat harimau di hutan.
43
Soal latihan 4
[LIU85] Sebuah pulau didiami oleh dua suku asli.
Penduduk suku pertama selalu mengatakan hal
yang benar, sedangkan penduduk dari suku lain
selalu mengatakan kebohongan. Anda tiba di
pulau ini dan bertanya kepada seorang penduduk
setempat apakah di pulau tersebut ada emas atau
tidak. Ia menjawab, “Ada emas di pulau ini jika
dan hanya jika saya selalu mengatakan
kebenaran”. Apakah ada emas di pulau tersebut?
44
Penyelesaian soal latihan 4
Ada emas di pulau ini jika dan hanya jika saya selalu
mengatakan kebenaran
Misalkan
p : Ada emas di pulau ini
q : Saya selalu menyatakan kebenaran
Ekspresi logika: p  q
Tinjau dua kemungkinan kasus:
Kasus 1, orang yang memberi jawaban adalah orang dari suku
yang selalu menyatakan hal yang benar.
Kasus 2, orang yang memberi jawaban adalah orang dari suku
yang selalu menyatakan hal yang bohong.
45
Kasus 1: orang tersebut selalu menyatakan hal yang benar. Ini berarti q
benar, dan jawabannya terhadap pertanyaan kita pasti juga benar,
sehingga pernyataan bi-implikasi tersebut bernilai benar. Dari Tabel
bi-implikasi kita melihat bahwa bila q benar dan p  q benar, maka p
harus benar. Jadi, ada emas di pulau tersebut adalah benar.
Kasus 2: orang tersebut selalu menyatakan hal yang bohong. Ini berarti q
salah, dan jawabannya terhadap pertanyaan kita pasti juga salah,
sehingga pernyataan bi-implikasi tersebut salah. Dari Tabel biimplikasi kita melihat bahwa bila q salah dan p  q salah, maka p
harus benar. Jadi, ada emas di pulau tersebut adalah benar.
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
pq
T
F
F
T
Dari kedua kasus, kita selalu berhasil menyimpulkan bahwa ada emas
di pulau tersebut, meskipun kita tidak dapat memastikan dari suku
mana orang tersebut. 
46
Argumen
Argumen adalah suatu deret proposisi yang dituliskan sebagai
p1
p2

pn
 q
yang dalam hal ini, p1, p2, …, pn disebut hipotesis (atau premis),
dan q disebut konklusi.
Argumen ada yang sahih (valid) dan palsu (invalid).
47
Definisi. Sebuah argumen dikatakan sahih jika konklusi
benar bilamana semua hipotesisnya benar; sebaliknya
argumen dikatakan palsu (fallacy atau invalid).
Jika argumen sahih, maka kadang-kadang kita mengatakan
bahwa secara logika konklusi mengikuti hipotesis atau
sama dengan memperlihatkan bahwa implikasi
(p1  p2    pn)  q
adalah benar (yaitu, sebuah tautologi). Argumen yang
palsu menunjukkan proses penalaran yang tidak benar.
48
Contoh. Perlihatkan bahwa argumen berikut:
Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka
tsunami datang. Air laut surut setelah gempa di
laut. Karena itu tsunami datang.
adalah sahih.
Penyelesaian:
Misalkan:
p : Air laut surut setelah gempa di laut
q : Tsunami datang:
Argumen:
pq
p
 q
Ada dua cara yang dapat digunakan untuk membuktikan kesahihan
argumen ini.
49
Cara 1: Bentuklah tabel kebenaran untuk p, q, dan p  q
p
q
T
T
F
F
T
F
T
F
pq
T
F
T
T
(baris 1)
(baris 2)
(baris 3)
(baris 4)
Argumen dikatakan sahih jika semua hipotesisnya benar, maka
konklusinya benar. Kita periksa apabila hipotesis p dan p  q
benar, maka konklusi q juga benar sehingga argumen dikatakan
benar. Periksa tabel, p dan p  q benar secara bersama-sama pada
baris 1. Pada baris 1 ini q juga benar. Jadi, argumen di atas sahih.
50
Cara 2: Perlihatkan dengan tabel kebenaran apakah
[ p  (p  q) ]  q
merupakan tautologi. Tabel 1.16 memperlihatkan bahwa [ p  (p  q) ]  q suatu
tautologi, sehingga argumen dikatakan sahih.
Tabel 1.16 [ p  (p  q) ]  q adalah tautologi
p
q
T
T
F
F
T
F
T
F
p q
T
F
T
T
p  (p q) [ p  (p  q) ]  q
T
F
F
F
T
T
T
T
Perhatikanlah bahwa penarikan kesimpulan di dalam argumen ini menggunakan modus
ponen. Jadi, kita kita juga telah memperlihatkan bahwa modus ponen adalah argmen yang
sahih. 
51
Contoh. Perlihatkan bahwa penalaran pada argumen berikut:
“Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang.
Tsunami datang. Jadi, air laut surut setelah gempa di laut”
tidak benar, dengan kata lain argumennya palsu.
Penyelesaian:
Argumen di atas berbentuk
p
q
p q
pq
q
T T
T (baris 1)
T F
F (baris 2)
p
F T
T (baris 3)
F F
T (baris 4)
Dari tabel tampak bahwa hipotesis q dan p  q benar pada
baris ke-3, tetapi pada baris 3 ini konklusi p salah. Jadi,
argumen tersebut tidak sahih atau palsu, sehingga penalaran
menjadi tidak benar.
52
Contoh. Periksa kesahihan argumen berikut ini:
Jika 5 lebih kecil dari 4, maka 5 bukan bilangan prima.
5 tidak lebih kecil dari 4.
 5 adalah bilangan prima
Penyelesaian:
Misalkan p : 5 lebih kecil dari 4
q: 5 adalah bilangan prima.
p
Argumen:
p  ~q
T
~p
T
 q
F
F
q ~q
T
F
T
F
F
T
F
T
p ~q
F
T
T
T
~p
F
F
T
T
Tabel memperlihatkan tabel kebenaran untuk kedua hipotesis dan
konklusi tersebut. Baris ke-3 dan ke-4 pada tabel tersebut adalah baris di
mana p  ~q dan ~ p benar secara bersama-sama, tetapi pada baris ke-4
konklusi q salah (meskipun pada baris ke-3 konklusi q benar). Ini
berarti argumen tersebut palsu.
53
 Perhatikanlah bahwa meskipun konklusi dari argumen
tersebut kebetulan merupakan pernyataan yang benar (“5
adalah bilangan prima” adalah benar),
 tetapi konklusi dari argumen ini tidak sesuai dengan bukti
bahwa argumen tersebut palsu.

54
Latihan
1. Diberikan dua buah premis berikut:
(i) Logika sulit atau tidak banyak mahasiswa
yang menyukai logika.
(ii) Jika matematika mudah, maka logika tidak
sulit.
Tunjukkan dengan pembuktian argumen (atau
cara lain) apakah masing-masing konklusi
berikut sah (valid) atau tidak berdasarkan dua
premis di atas:
a) Bahwa matematika tidak mudah atau logika
sulit.
b) Bahwa matematika tidak mudah, jika banyak
mahasiswa menyukai logika.
55
2. Tentukan validitas argumen berikut:
Mahasiswa diperbolehkan mengambil mata
kuliah Matematika Diskrit jika telah melewati
tahun pertama dan berada pada semester
ganjil. Mahasiswa jurusan Farmasi tidak
diperbolehkan mengambil mata kuliah
Matematika Diskrit. Dengan demikian
mahasiswa jurusan Farmasi belum melewati
tahun pertama atau sedang berada pada
semester genap.
56
3.
Dari keempat argumen berikut, argumen
manakah yang sahih?
–
–
–
–
Jika hari panas, maka Amir mimisan, tetapi hari ini
tidak panas, oleh karena itu Amir tidak mimisan.
Jika hari panas, maka Amir mimisan, tetapi Amir
tidak mimisan, oleh karena itu hari ini tidak panas.
Jika Amir mimisan maka hari panas, tetapi hari ini
tidak panas, oleh karena itu Amir tidak mimisan.
Jika Amir tidak mimisan, maka hari tidak panas,
tetapi Amir mimisan, oleh karena itu hari ini tidak
panas.
57
Aksioma, Teorema, Lemma,
Corollary
Aksioma adalah proposisi yang diasumsikan benar.
Aksioma tidak memerlukan pembuktian kebenaran lagi.
Contoh-contoh aksioma:
(a) Untuk semua bilangan real x dan y, berlaku x + y = y +
x (hukum komutatif penjumlahan).
(b) Jika diberikan dua buah titik yang berbeda, maka
hanya ada satu garis lurus yang melalui dua buah titik
tersebut.
Teorema adalah proposisi yang sudah terbukti benar.
Bentuk khusus dari teorema adalah lemma dan corolarry.
58
• Lemma: teorema sederhana yang digunakan
untuk pembuktian teorema lain
• Corollary: teorema yang dapat dibentuk langsung
dari teorema yang telah dibuktikan.
• atau, corollary adalah teorema yang mengikuti
teorema lain.
59
Contoh-contoh teorema:
a. Jika dua sisi dari sebuah segitiga sama panjang, maka
sudut yang berlawanan dengan sisi tersebut sama besar.
b. Untuk semua bilangan real x, y, dan z, jika x  y dan y 
z, maka x  z (hukum transitif).
Contoh corollary:
Jika sebuah segitiga adalah sama sisi, maka segitiga
tersebut sama sudut.
Corollary ini mengikuti teorema (a) di atas.
Contoh lemma:
Jika n adalah bilangan bulat positif, maka n – 1 bilangan
positif atau n – 1 = 0.
60
Contoh lainnya (dalam kalkulus)
• Teorema: |x| < a jika dan hanya jika –a < x < a,
dumana a > 0
• Corollary: |x|  a jika dan hanya jika –a  x  a,
dumana a > 0
61